Domínios e Estádios

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CAPÍTULO 3: FLEXÃO SIMPLES 
Ouro Preto, 2015/2 
 
Universidade Federal de Ouro Preto - Escola de Minas 
Departamento de Engenharia Civil 
CIV620-Construções de Concreto Armado 
Curso: Arquitetura e Urbanismo 
 
 Rovadávia Aline Jesus Ribas 
 
 
 
1. Hipóteses básicas 
2. Comportamento à flexão 
3. Dimensionamento de seções retangulares e vigas de seção 
retangular 
4. Exercícios 
 
Plano de aula 
 Vigas 
 Lajes maciças 
 Pilares 
 Fundações 
 
 
 
 
Concreto armado: elementos estruturais básicos 
Concreto armado: elementos estruturais básicos 
Sequência de cálculo: lajes, vigas, pilares (superestrutura) e fundações (infra-
estrutura) – Sequência inversa da construção. 
Uso de computadores e programas avançados de cálculo: estudo global da 
estrutura. 
Esquema estrutural 
Discretização da estrutura 
(Modelo estrutural) 
Hipóteses básicas 
Designam-se por solicitações normais os esforços solicitantes que 
produzem tensões normais (perpendiculares) nas seções transversais das 
peças estruturais (momento fletor e força normal). 
Tipos de solicitação: 
Solicitações normais: momento fletor e força normal 
Solicitações tangenciais: força cortante e momento torsor. 
 
Tipos de flexão: 
 
PURA: momento fletor. Caso particular de flexão, em que não há esforço 
cortante atuante (V=0); nas regiões de vigas em que isso ocorre, o momento 
fletor é constante. 
 
SIMPLES: momento fletor + força cortante. Ocorre quando não há esforço 
normal. 
 
COMPOSTA: momento fletor + força normal. Ocorre em pilares. 
 
 
Hipóteses básicas 
Flexão pura na região central da viga simplesmente apoiada 
Vigas: São elementos de barras (L > 3h), normalmente retas e horizontais, que 
recebem cargas de lajes, outras vigas, paredes e pilares, dentre outros, e têm 
como função vencer vãos e transmitir ações para seus apoios (pilares). 
Hipóteses básicas 
ESTÁDIOS DE DEFORMAÇÃO 
Experimentalmente, submetendo uma viga de concreto armado a um 
carregamento crescente, é possível medir as deformações que 
ocorrem em sua zona central, ao longo de sua altura. 
A seção transversal central da viga de concreto armado, retangular, 
submetida a um momento fletor (M) crescente, passa por três níveis 
de deformação, denominados ESTÁDIOS, os quais determinam o 
comportamento da viga até sua ruína. 
 
Distinguem-se basicamente três fases distintas: estádio I, estádio II-a 
e estádio II-b. 
 
Hipóteses básicas 
Estádio I 
 
 
 
Sob a ação de um momento fletor MI de pequena intensidade, a tensão de 
tração no concreto (ct) não ultrapassa sua resistência à tração (fct): 
- Diagrama de tensão normal ao longo da seção é linear (Lei de Hooke) 
- As tensões nas fibras mais comprimidas são proporcionais às deformações 
- Não há fissuras visíveis 
Rcc = Resultante de compressão no concreto 
Rct = Resultante de tração no concreto 
Hipóteses básicas 
Estádio II-a 
 
 
 
Aumentando o valor do momento fletor para MII: 
- O concreto não mais resiste à tração (considera-se que apenas o aço passa a 
resistir aos esforços de tração) e a seção começa a fissurar na região de tração 
- A contribuição do concreto tracionado é desprezada 
- No estádio II-a, é considerado que a parte comprimida ainda mantém um 
diagrama de tensões aproximadamente linear de tensões, permanecendo válida a 
lei de Hooke 
Rs = Resultante de tração na armadura 
Hipóteses básicas 
Estádio II-b 
 
 
 
Aumentando o valor do momento fletor até um valor próximo da ruína, MIII: 
- A zona comprimida plastifica-se e o concreto dessa região está na iminência da 
ruptura 
- Admite-se que o diagrama de tensões seja da forma parabólico-retangular, 
também conhecido como diagrama parábola-retângulo 
- Nesse estádio, o dimensionamento é feito considerando-se o Estado Limite 
Último (cálculo na ruptura), quando o principal objetivo é projetar estruturas que 
resistam aos esforços de forma econômica, sem chegar ao colapso 
Hipóteses básicas 
Diagrama retangular equivalente do Estádio II-b 
 
 
 
A NBR 6118 permite, para efeito de cálculo, que se trabalhe com um diagrama 
retangular simplificado equivalente ao diagrama parábola-retângulo. 
 
A resultante de compressão e o braço em relação à linha neutra devem ser 
aproximadamente os mesmos para os dois diagramas. 
Rst 
Rcc 
Hipóteses básicas 
Distribuição de tensões de compressão segundo o diagrama 
parábola-retângulo e retangular simplificado 
O diagrama retangular simplificado conduz a equações mais simples e com 
resultados muito próximos aos obtidos com o diagrama parábola-retângulo. 
Hipóteses básicas 
Para o cálculo, são feitas as considerações 
a) que há uma perfeita aderência entre o aço e o concreto (solidariedade entre os 
materiais) 
b) que seções planas permanecem planas durante sua deformação 
c) que a deformação limite (encurtamento máximo) permitida para o concreto seja 
de 3,5‰ para seção parcialmente comprimida, e entre 3,5 ‰ a 2,0 ‰ para seção 
totalmente comprimida, sendo o limite de 2,0 ‰ estabelecido para seções sob 
compressão centrada 
d) que a deformação limite (alongamento máximo) permitida para as armaduras 
de aço sob tração seja de 10 ‰ 
e) que para a distribuição de tensão no concreto ao longo da altura da seção 
transversal do elemento sejam considerados os estádios já definidos 
 
Hipóteses básicas 
Domínios de deformação na seção transversal 
Os diferentes tipos de solicitação definem diferentes formas de ruína do elemento 
de concreto que são verificadas pelas deformações limites. 
Essas formas de ruínas podem ser verificadas quando a deformação na seção de 
concreto intercepta um dos pontos A, B ou C dos domínios de deformação. 
1% = 10‰. 
0,2% = 2‰. 
0,35% = 3,5‰. 
Hipóteses básicas 
Pontos A, B, C 
Para a reta a e domínios 1 e 2: o diagrama gira em torno do ponto A 
Para os domínios 3, 4 e 4a: o diagrama gira em torno do ponto B com cu = 0,35% 
(3,5‰) 
Para o domínio 5 e reta b: o diagrama gira em torno do ponto C, correspondente a 
deformação de 0,2% (2‰) e distante 3/7h da borda mais comprimida 
Hipóteses básicas 
h: altura total da seção transversal de uma peça 
d: altura útil ou distância entre o centro de gravidade da armadura longitudinal 
tracionada até a fibra mais comprimida do concreto 
d’: distância entre o centro de gravidade da armadura transversal comprimida e a 
fibra mais comprimida do concreto 
yd: deformação especifica correspondente ao inicio do escoamento do aço 
Nomenclatura 
e definições 
Hipóteses básicas 
Reta a 
Reta a: linha correspondente ao alongamento constante e igual a 1%. 
Hipóteses básicas 
Domínio 1 
Início: na reta a, onde s = 1% e c = 1% 
Término: s = 1% e c = 0 
A seção resistente é composta por aço, não havendo participação do concreto, que 
se encontra totalmente tracionado. 
Hipóteses básicas 
Domínio 2 
Início: s = 1% e c = 0 Término: s = 1% e c = 0,35% 
O estado limite último é caracterizado pela deformação s = 1% . 
O concreto não alcança a ruptura: c < 0,35% . 
A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido. 
Hipóteses básicas 
Domínio 3 
Início: s = 1% e c = 0,35% 
Término: s = yd (deformação espec. de escoamento do aço) e c = 0,35% 
A ruptura do concreto ocorre simultaneamente ao escoamento da armadura: 
situação ideal, pois os dois materiais atingem sua capacidade resistente máxima . 
A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido 
Hipóteses básicas 
... Ainda no 
Domínio 3A ruína ocorre com aviso (RUPTURA DÚCTIL) e grandes deformações. 
As peças que chegam ao estado-limite último no domínio 3 são denominadas 
“SUBARMADAS” . 
 
Na fronteira entre os domínios 3 e 4, as peças são denominadas NORMALMENTE 
ARMADAS. 
 
Hipóteses básicas 
Domínio 4 
Início: s = yd e c = 0,35% Término: s = 0 e c = 0,35% 
O concreto encontra-se na ruptura, mas o aço tracionado não atinge o escoamento. 
Portanto, ele é mal aproveitado. Neste caso, a seção é denominada 
SUPERARMADA. A ruína ocorre sem aviso, pois os deslocamentos são pequenos 
e há pouca fissuração. O dimensionamento deve ser evitado no domínio 4. 
. 
A seção resistente é composta por aço tracionado e concreto comprimido. 
Hipóteses básicas 
Domínio 4a 
Início: s = 0 e c = 0,35% Término: s < 0 e c = 0,35% 
A ruptura é frágil, sem aviso, pois o concreto se rompe com o encurtamento da 
armadura (não há fissuração nem deformação que sirvam de advertência). 
 
A seção resistente é composta por aço e concreto comprimidos. 
Hipóteses básicas 
Domínio 5 
Início: s < 0 e c = 0,35% Término: s = 0,2% e c = 0,2% 
Seção totalmente comprimida (x>h). 
εc constante e igual a 0,2% na linha distante 3/7 h da borda mais comprimida. 
O domínio 5 só é possível na compressão excêntrica. 
Hipóteses básicas 
Reta b 
Na reta b tem-se deformação uniforme de compressão, com encurtamento igual a 
0,2% (compressão simples). 
Hipóteses básicas 
Conclusão 
Nos domínios 2, 3 e 4 correspondem a flexão simples ou compostas. 
No início do domínio 2 tem-se c=0, e no final do domínio 4, s=0, que são as 
piores situações que podem ocorrer (um dos dois materiais não contribui na 
resistência). O melhor é que a peça trabalhe no domínio 3; o domínio 2 é aceitável; 
e o domínio 4 deve ser evitado. 
Comportamento à flexão 
Equação de compatiblidade de deformações 
d 
d’’ 
LN 
x h 
As 
εcd 
εsd 
xdx
sdcd



d
x
x  
Md 
 
cd
x
x
sd 
  1
Comportamento à flexão 
Domínio 2 
%1sd %35,00  cd
%1



cd
cd
x
sdcd
cd
x 


0 0 
0,35% 0,259 
xcd
 
cd
x
x
sd 

 


1
Comportamento à flexão 
Domínio 3 
ydsd  %1 %35,0cd
sd
x
sdcd
cd
x 





%35,0
%35,0
1% 0,259 
xsd
yd limx
aço 
CA-25 1,035 0,772 
CA-50 2,070 0,628 
CA-60 2,484 0,585 
limx
 000yd
s
yk
s
yd
yd
E
f
E
f 15,1/

Comportamento à flexão 
Domínio 4 
ydsd  0 %35,0cd
sd
x
sdcd
cd
x 





%35,0
%35,0
0 1 
xsd
yd limx
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Para o dimensionamento 
)(628,0 50-CAaço
Domínio 2 
0 
Domínio 3 Domínio 4 
0,259 1 
x
limx =
 
Por meio de x = x/d, é possível saber em qual domínio a peça está 
trabalhando. 
O melhor é que a peça trabalhe no domínio 3; o domínio 2 é aceitável; e 
o domínio 4 deve ser evitado. Para isso basta aumentar a altura útil da 
viga ou utilizar uma armadura de compressão (viga com armadura 
dupla). 
Equações de equilíbrio 
Rcc – Resultante de Compressão no Concreto 
Rst – Resultante de tração nas armaduras 
y – altura do diagrama retangular (y = 0,8x) 
z – distância entre as resultantes Rcc e Rst 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Rst 
Rcc 
stcc RR 
zRzRM stccd 
d
x
x 
xymas  8,0, dy x  8,0
ydz  5,0  ddz x  8,05,0
ddz x  4,0
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Rst 
Rcc 
cccdcc
cc
cc
cd AR
A
R
  ybfR wcdcc  85,0
xymas  8,0 xbfR wcdcc  8,085,0
dxmas x   dbfR xwcdcc  68,0
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Rst 
Rcc 
sdsxwcd Adbf  68,0
dbfRcomo xwcdcc  68,0
stcc RR 
s
st
sd
A
R

Para o equilíbrio 
à translação: 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Rst 
Rcc 
Para o equilíbrio à rotação: 
dbfRcomo xwcdcc  68,0
zRzRM stccd 
ddz x  4,0
 xxwcdd dbfM   4,0168,0 2
  cdxxd
w
fM
db



 4,0168,0
12
c
d
w k
M
db
fazendo 
 2
,
  cdxx
c
f
k

  4,0168,0
1
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Rst 
Rcc 
limlimlim ddccxx
MMkkSe  
c
d
w k
M
db
quetenho 
 2





)(4
32
lim
lim
duplaarmaduradomínioMM
oudomínioMM
Se
dd
dd
lim
2
min
lim
c
w
d
k
db
M


w
cd
b
kM
d lim
2
min

 limmin c
w
d k
b
M
d 
dmin = altura útil mínima para que a seção resista com armadura simples 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
  cdxx
c
f
k

  4,0168,0
1
Voltando à equação de kc : 
Rearranjando: 










cdc
x
fk
355,2
1125,1
 
c
ck
cdcdxc
f
fondeffk   ,,
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Rearranjando: 
sdsxwcd Adbf  68,0
Definindo o coeficiente ks : 
 xxwcdd dbfM   4,0168,0 2
 xsdsd dAM   4,01
 xsdd
s
M
dA
 


4,01
1
s
d
s k
M
dA
fazendo 

 xsd
sk  

4,01
1
  ydsdsdxs fquesetemedomíniosnosfk   ,43;,
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
ks é tabelado e: 
d
M
kA dss 
Conclusões: 
)50CA(628,0 aço
Domínio 2 
0 
Domínio 3 Domínio 4 
0,259 1 
x
limx =
 
Relembrando: É melhor que a peça trabalhe no domínio 3; o domínio 2 é 
aceitável; e o domínio 4 deve ser evitado. Para isso basta aumentar a altura útil da 
viga ou utilizar uma armadura de compressão (viga com armadura dupla). 
No domínio 4 pode-se obter o maior momento resistente para a seção da peça, no 
entanto, o aço não vai trabalhar com toda a sua resistência, pois s< yd 
acarretando consumo excessivo de aço e perigo de ruptura brusca. 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Na flexão simples, o limite entre os domínios 3 e 4 (que corresponde a x = 0,628, 
para aço CA-50) conduz ao maior momento resistente para uma seção retangular, 
com melhor aproveitamento dos materiais. 
No cálculo, se a altura útil (d) for definida, verifica-se que: 
• Se x < xlim (Md < Mdlim ), o cálculo incide nos domínios 2 ou 3. 
• Se x > xlim (Md > Mdlim ), o cálculo incide no domínio 4: deve-se aumentar a altura 
útil da viga ou adotar armadura dupla. Caso haja liberdade na escolha de d e 
mantidos os demais valores fixos, adota-se o valor dmín, tal que o cálculo reincida 
nos domínio 2, 3 ou limite dos domínios 3 e 4 e não seja necessário utilizar 
armadura dupla. 
limmin c
w
d k
b
M
d 
Comportamento à flexão 
Resumindo: 
• Se d > dmin  x < xlim  s > yd  domínio 2 ou 3  seção 
subarmada (altura maior da viga com área de aço menor) 
 
• Se d < dmin  x > xlim  s < yd  domínio 4  seção superarmada 
 
• Se d = dmin  x = xlim  s = yd  limite dos domínios 3 e 4  seção 
normalmente armada (altura menor da viga com área de aço maior) 
 
 
 
 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
a) Armadura mínima de tração (As,min)Valores limites para armaduras longitudinais de vigas 
c
s
A
A min,
min 
cs AA  minmin, 
A armadura mínima deve ser colocada para evitar rupturas bruscas na seção. 
 
 
 
 
 
Detalhamento: Arranjo das armaduras 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
b) Armadura máxima de tração e compressão 
 
 
 
 
 
css AAA  %4
'
Espaçamento entre as barras 
O arranjo das armaduras deve propiciar que ela cumpra sua função estrutural 
(aderência, manutenção da altura útil etc) e proporcionar condições adequadas de 
execução, principalmente em relação ao lançamento e adensamento do concreto. 
Os espaços entre as barras longitudinais devem ser projetados de modo a 
possibilitar a introdução de vibradores, evitando que ocorram vazios e segregação 
dos agregados. 
 
 
A especificação de valores máximos decorre da necessidade de assegurar 
condições de ductilidade e de respeitar o campo de validade dos ensaios que 
deram origem às prescrições de funcionamento do conjunto aço-concreto. 
 
 
 
 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
cnom 
O espaçamento mínimo livre entre as faces das barras, medido horizontalmente 
(ah,mín) e verticalmente (av,mín) no plano da seção transversal, deve ser, em cada 
direção, o maior dos três valores: 
 
 
 
 
 







agregadomáx
nlmính
d
nfeixe
mm
a
,
,
2,1
)(,
20








agregadomáx
nlmínv
d
nfeixe
mm
a
,
,
5,0
)(,
20

av 
ah 
CG 
cnom = cobrimento nominal 
 
No caso de barras de diâmetros diferentes vale o diâmetro da barra mais grossa. 
 
 
d 
d’’ 
 
h 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Largura mínima (bw,min) 
 
 
 
 
 
hltnomw anncb  )1(22min, 
n = número de barras 
 
 
 
 
 
 
Número de camadas 
 
 
 
 
 





camadabb
camadademaisbb
se
ww
ww
1
1
min,
min,
cnom 
av 
ah 
CG 
d 
d’’ 
 
h 
Os esforços nas armaduras podem ser considerados concentrados no centro de 
gravidade correspondente, se a distância () desse centro ao ponto da seção de 
armadura mais afastada da linha neutra, medida normalmente a essa, for menor 
que 10%h. Ou seja,   10%h. 
 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
EXERCÍCIO 
Flexão simples na ruína para armadura dupla 
 
 
 
 
Há situações em que, por imposições de projeto, arquitetônicas etc, é necessário 
utilizar para a viga uma altura menor que a altura mínima exigida pelo momento 
fletor atuante de cálculo Md. Nesse caso, a seção com essa altura menor só irá 
resistir (trabalhando no domínio 3 ou no limite entre os domínios 3 e 4) a uma 
parcela desse momento. 
 
 
 
 
No domínio 4, é possível aplicar uma altura menor que a mínima (pois é onde se 
consegue o maior momento resistente), mas esse domínio deve ser evitado. 
 
 
 
 
Uma solução possível, sem utilizar o domínio 4, é complementar a peça com uma 
armadura de compressão. Determina-se o momento em que a seção consegue 
resistir com a sua altura real e a armadura apenas tracionada, trabalhando no 
limite entre os domínios 3 e 4 (M1). A diferença entre o momento atuante Md e o 
momento M1, chamada de M2, será resistida por uma armadura de compressão. 
A viga terá uma armadura inferior tracionada e uma superior comprimida 
(armadura dupla). 
 
 
 
 
12 MMM d 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Tem-se então: 
• M1: momento obtido impondo que a seção trabalha no limite entre os domínios 3 
e 4, é resistido pelo concreto comprimido e por uma armadura tracionada As1 
• M2: momento resistido por uma armadura comprimida A’s e, para que haja 
equilíbrio, por uma armadura tracionada As2. 
 
 
 
T1 
C’s 
T2 
C 
M2 M1 Md 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Rcc 
Rst1 
R’cs 
Rst2 
Dimensionamento de M1 
 
 
 
 
 
lim,1 dMM 
  cdxx
c
f
ke


lim,lim,
lim,
4,0168,0
1
lim,
2
1
c
w
k
db
M


d
M
kA ss
1
lim,1 
Segue as mesmas premissas do dimensionamento para armadura simples: 
 
 
 
 
 lim,
lim,
4,01
1
xyd
s
f
ke 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Dimensionamento de M2 
 
 
 
 
 
)()( '''22 ddRddRM csst 
sdsst
s
st
sd AR
A
R
mas   22
2
2
C’s 
C 
M2 M1 Md 
'''
'
'
'
sdscs
s
cs
sd AR
A
R
e  
Equação de equilíbrio: 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Rcc 
Rst1 
R’cs 
Rst2 
)()( ''''22 ddAddAM sdssds   ydsd fmas 
)( '22 ddfAM yds  )(
'''
2 ddAMe sds  
)( '
2
2
ddf
M
A
yd
s

 )( ''
2'
dd
M
Ae
sd
s



12: MMMquesabemos d 
)( '
1
2
ddf
MM
A
yd
d
s



)( ''
1'
dd
MM
A
sd
d
s




21 sss AAA 
Armadura total de tração (As): 
 
 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
)( ''
1'
dd
MM
A
sd
d
s




Armadura de compressão, A’s: 
 
 
 
 
 
)(, '' sdsd f  
Equação de compatibilidade 
ε'sd 
εsd 
d 
d’’ 
Xlim 
d’ 
No limite entre os domínios 3 e 4: 
 
 
 
 
ydsd   %35,0cd εcd 
lim
'
lim
'
xdx
cdsd  

%35,0
lim
'
lim' 


x
dx
sd
:dpordividindo
%35,0
lim,
'
lim,' 


x
x
sd
d
d



ydsdydydsd fSe 
'' %)207,0( 
Ou seja, a tensão na armadura comprimida é 
igual a tensão de escoamento do aço. 
 
2
'
ss AAAssim 
Dimensionamento de seções retangulares e 
vigas com seção retangular 
Área e massa linear de 
fios e barras de aço 
(NBR 7480:1996) 
Tabela de kc e ks para 
os aços CA-25, CA-50 
e CA-60 
Área de aço e largura 
bw mínima 
EXERCÍCIO