Conteudo aula2 Geometria analítica

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Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear
Aula 2: Vetores e Espaços Vetoriais – parte II
Apresentação
Na primeira aula começamos a discutir e nos familiarizar com os vetores. Agora,
nesta, completaremos o tópico sobre vetores e espaços vetoriais abordando as
operações com vetores e os produtos escalar, vetorial e misto.
A importância dos conceitos que serão aqui apresentados poderá ser vista, por
exemplo, quando você se deparar com os conceitos de torque e momento angular em
Física e Mecânica e Resistência dos Materiais, duas disciplinas obrigatórias da grade
curricular dos cursos de Engenharia.
Além disso, o produto vetorial encontra aplicações, por exemplo, no ramo da
computação gráfica e do desenvolvimento de jogos eletrônicos.
Objetivos
Descrever operações com vetores;
Reconhecer e calcular os produtos: escalar, vetorial e misto.
Operações com vetores
Adição de vetores e multiplicação por escalar
Dados os vetores →v = x1, y1 e 
→w = x2, y2 e o escalar real α, definem-se:
Adição
→v + →w = x1 + x2, y1 + y2
Multiplicação por escalar
α→v = αx1, αy1
Ou seja:
As operações de adição de vetores e
multiplicação por escalar são definidas
componente a componente.
Observe a Figura 1:
( ) ( )
( )
( )
Os pontos A = (1,1), B = (3,5) e C = (4,3) definem os vetores:
→v =
¯
AB, representado em laranja;
→s =
¯
AC, representado em azul;
→w =
¯
BC, representado em verde.
Podemos definir a soma:
→v + →w = →s
Isto é, o vetor representado pelo segmento orientado de origem A e
extremidade C (vetor em azul) é, por definição, o vetor soma de →v e →w.
Em outras palavras:
¯
AB +
¯
BC =
¯
AC
Sendo →v ∥ →w, a maneira de obter o vetor →v + →w é a mesma.
Se os vetores →v e →w não forem paralelos, há
outra maneira de encontrar o vetor soma →v + →w
?
Sim! Representam-se os vetores →v =
¯
AB e →w =
¯
AD por segmentos orientados de
mesma origem A.
Completa-se o paralelogramo ABCD e o segmento orientado de origem A que
corresponde à diagonal do paralelogramo será o vetor →v + →w.
Observe a Figura 2:
Os pontos A = (1,1), B = (3,2) e D = (2,4) definem os vetores:
→v =
¯
AB;
→w =
¯
AD.
A soma dos vetores →v, representado em laranja, e →w, representado em azul,
corresponde à diagonal do paralelogramo desenhado na Figura 2.
O vetor →v + →w, representado em verde, corresponde ao segmento orientado 
¯
AC
.
Para o caso de determinar a soma de três vetores ou mais, o procedimento é
semelhante e, em particular, se a extremidade do representante do último
vetor coincidir com a origem do representante do primeiro, a soma será o
vetor zero.
Observe a Figura 3:
1 2 3
A soma dos vetores →v, representado em laranja, →w, representado em azul, e 
→
t ,
representado em verde, é equivalente ao vetor →s, representado pela linha
pontilhada em preto.
Propriedades da adição e multiplicação por
escalar
Dados quaisquer vetores →u, →v e →w ∈ ℝ2 e quaisquer escalares α, β ∈ ℝ2, as
operações de adição de vetores e multiplicação de um vetor por um escalar
definidas anteriormente possuem as seguintes propriedades:
Comutativa: →v + →w = →w + →v
Associativa na adição: →u + →v + →w = →u + →v + →w
Existência do vetor nulo, denotado 
→
0 = (0, 0), tal que ∀→v, temos: 
→v +
→
0 = →v
∀→v = (x, y) existe - →v = (-x, - y) tal que →v + - →v = →v - →v =
→
0
Distributiva em relação à soma de vetores: α →v + →w = α→v + α→w
Distributiva em relação à soma de escalares: (α + β)→v = α→v + β→v
( ) ( )
( )
( )
Associativa na multiplicação por escalar: α β→v = (αβ)→v = αβ→v
1→v = →v

Atenção
É importante observar que a subtração de vetores não é definida. O
significado de →v - →w é →v + - →u e que o ponto médio de um segmento de
extremos A x1, y1 e B x2, y2 será o ponto M(x, y) definido por: 
M
x1 + x2
2 ,
y1 + y2
2 .
Vejamos um exemplo para entender melhor:
Dados os vetores →v = (2, - 5) e →w = (-1, 3), os vetores: 3→v -
1
2
→w e →v + 2→w serão,
respectivamente:
13
2 ,
- 33
2 e (0, 1)
17
2 ,
33
2 e (0, 1)
1
2 ,
33
2 e (1, 1)
13
2 ,
33
2 e (0, 0)
10
2 ,
33
2 e (-1, 0)
Resolução:
Vamos definir →s = 3→v -
1
2
→w.
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Logo:
→s = 3(2, - 5) -
1
2 (-1, 3) = (6, - 15) +
1
2 ,
- 3
2 = 
13
2 ,
- 33
2
Vamos definir 
→
t = →v + 2→w.
Logo:
→
t = (2, - 5) + 2(-1, 3) = (2, - 5) + (-2, 6) = (0, 1)

Exemplo
Antes de continuar, veja mais alguns exemplos
<galeria/aula2/anexo/exemplos1.pdf> .
Produto escalar
O produto escalar já foi apresentado a você quando abordamos o ângulo entre
vetores. Vamos agora vê-lo novamente, porém com mais profundidade.
O produto escalar (também denominado produto interno euclidiano) dos
vetores →v e →w é:
→v =
x1
→
i + y1
→
j + z1
→
k
→w =
x2
→
i + y2
→
j + z2
→
k
( ) ( )
1
Se representa por →v · →w (lê-se →v escalar →w) é o número real:
→v · →w = x1x2 + y1y2 + z1z2
O produto escalar de →v por →w também é indicado por →v , →w .
Propriedades do produto escalar
Para quaisquer vetores →v, →w e →u e o número real α, definimos as seguintes
propriedades:
Positividade
→v · →v ≥ 0
Além disso, →v · →v = 0 se, e somente se, →v = 0
Simetria (comutatividade)
→u · →v = →v · →u
Distributividade
→u · →v + →w = →u · →v + →u · →w
Homogeneidade
α →u · →v = α→u · →v = →u · α→v
Veja consequências importantes das propriedades acima:
||→v || = √→v · →v
( )
( )
( ) ( ) ( )
||→u + →v ||2 = ||→u||2 + 2→u · →v + ||→v ||2
||→u - →v ||2 = ||→u||2 - 2→u · →v + ||→v ||2
Desigualdade de Schwarz: ||→u · →v || ≤ ||→u|| · ||→v ||
Desigualdade triangular: ||→u + →v || ≤ ||→u|| + ||→v ||
Isso confirma a propriedade geométrica segundo a qual, em um triângulo, a
soma dos comprimentos de dois lados ||→u|| + ||→v || é maior do que o
comprimento do terceiro lado ||→u + →v || .
A igualdade somente ocorre quando →u e →v forem paralelos e de mesmo
sentido.
Atividade
1. Sendo ||→u|| = 4, ||→v || = 2 e →u · →v = 3, o resultado de 2→u - →v · -3→u + 4→v é
igual a:
 a) 79
 b) 25
 c) -25
 d) -79
 e) 0
Um uso importante para o conceito geométrico do produto escalar é o cálculo
dos ângulos diretores e cossenos diretores de um vetor.
( )
( )
( ) ( )
Seja o vetor não nulo →v = x
→
i + y
→
j + z
→
k:
Os ângulos diretores de →v são:
os ângulos α, β e γ que →v forma com os vetores 
→
i , 
→
j e 
→
k, respectivamente.
Os cossenos diretores de →v são:
Os cossenos de seus ângulos diretores, ou seja, cosα, cosβ e cosγ.
Observe a figura:
 Figura 6: Representação do vetor não nulo 
→
v
 e
seus ângulos diretores 
α
, 
β
 e 
γ
 no espaço. (Fonte:
WINTERLE, 2014)
Para o cálculo desses valores, utilizaremos as fórmulas:
cosα
cosα = 
→v ·
→
i
|| →v || ||
→
i ||
 = 
( x , y , z ) · ( 1 , 0 , 0 )
|| →v || · 1
 = 
x
|| →v ||
cosβ
cosβ = 
→v ·
→
j
|| →v || ||
→
j ||
 = 
( x , y , z ) · ( 0 , 1 , 0 )
|| →v || · 1
 = 
y
|| →v ||
cosγ
cosγ = 
→v ·
→
k
|| →v || ||
→
k ||
 = 
( x , y , z ) · ( 0 , 0 , 1 )
|| →v || · 1
 = 
z
|| →v ||
Você pode observar que os cossenos diretores do vetor →v são precisamente os
componentes do versor de →v:
→v
|| →v ||
 = 
( x , y , z )
|| →v ||
 = 
x
|| →v ||
,
y
|| →v ||
,
z
|| →v ||
 = (cosα, cosβ, cosγ)
Como o versor é um vetor unitário, a consequência imediata é:
cos2α + cos2β + cos2γ = 1
Exemplo
Calcular os ângulos diretores de →v = (1, - 1, 2)
Resolução:
cosα = 
x
|| →v ||
 = 
1
√12 + ( - 1 ) 2 + 22
 = 
√6
6 ∴ α ≅ 65, 9
o
cosβ= 
y
|| →v ||
 = 
- 1
√12 + ( - 1 ) 2 + 22
 = 
- √6
6 ∴ β ≅ 114, 1
o
cosγ = 
z
|| →v ||
 = 
2
√12 + ( - 1 ) 2 + 22
 = 
√6
3 ∴ γ ≅ 35, 3
o
Projetando um vetor sobre outro
Outra aplicação encontrada para o produto escalar surge quando você deseja
projetar um vetor sobre outro.
( )
Sejam os vetores →u e →v não nulos e θ o ângulo formado entre eles, podemos
decompor um dos vetores, por exemplo →v, tal que:
→v
=
→
v1
+
→
v2
→
v1 ∥
→u
→
v2 ⊥
→u
A Figura abaixo ilustra duas situações possíveis, podendo θ ser um ângulo
agudo ou obtuso.
O vetor 
→
v1 é chamado projeção ortogonal de 
→v sobre o →u e indicado por: 
→
v1 = proj→u
→v
(a)
(b)
 Figura 7: Representação do vetor 
→
v
 e projeção
ortogonal de 
→
v
 sobre o 
→
u
. Situações: (a) O ângulo 
θ
agudo; e, (b) O ângulo 
θ
 obtuso. (Fonte: WINTERLE,
2014).
A projeção ortogonal de →v sobre o →u pode ser calculada por:
proj→u
→v =
→v · →u
→u · →u
→u
No caso particular do vetor →u ser um vetor unitário:
O comprimento do vetor projeção de →v sobre →u, sendo →u
unitário, é igual ao módulo do produto escalar de →v por →u.
||proj→u
→v || = ||→v · →u||
( )
Vejamos um exemplo para entender melhor:
Determinar o vetor projeção de →v = (1, 2, 4) sobre →u = (-1, - 1, 0).
Resolução:
→v · →u = (1, 2, 4) · (-1, - 1, 0) = 1 · (-1) + 2 · (-1) + 4 · 0 = -3
→u · →u = ||→u||2 = (-1)2 + (-1)2 + 02 = 2
proj→u
→v = 
→v · →u
→u · →u
→u ∴ proj→u
→v = 
- 3
2 · (-1, - 1, 0) = 
3
2 ,
3
2 , 0
Atividade
2. Dados os vetores →v = (3, - 1, 4) e →u = (-2, 0, 3), a decomposição de →v como
→v =
→
v1 +
→
v2, sendo 
→v ∥ →u e 
→
v2 ⊥
→u, será:
 a) 
→
v1 =
- 12
13 , 0,
18
13 e 
→
v2 =
51
13 , - 1,
34
13
 b) 
→
v1 =
51
13 , - 1,
34
13 e 
→
v2 =
- 12
13 , 0,
18
13
 c) 
→
v1 =
12
13 , 0,
- 18
13 e 
→
v2 =
51
13 , - 1,
- 34
13
 d) 
→
v1 =
- 12
13 , 0,
- 18
13 e 
→
v2 =
- 51
13 , 0,
- 34
13
 e) 
→
v1 =
- 12
13 , 0,
- 18
13 e 
→
v2 =
- 51
13 , 0,
- 34
13
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )

Atenção
Todo o estudo que você realizou até aqui sobre o produto escalar em
relação a vetores no espaço é válido também para os vetores no plano.
A fim de demonstrar a validade da afirmação acima e, ao mesmo tempo,
demonstrar uma aplicação direta do conceito em Física, veja um
exemplo <galeria/aula2/anexo/exemplo2.pdf> .
Produto vetorial
Antes da definição de produto vetorial, algumas considerações são
importantes:
O produto vetorial é um vetor, ao contrário do produto escalar →u · →v, que
é um escalar (número real);
Para a simplicidade de cálculo do produto vetorial, você fará uso de
determinantes.
Embora seja um tópico cuja abordagem será mais profunda em matrizes,
vamos ao mais importante para ser visto aqui:
1
Um determinante de ordem 2 é definido como:
x1 y1
x2 y2
 = x1y2 - x2y1
Veja algumas propriedades dos determinantes para você usar aqui:
| |
I
A permutação de duas linhas livres inverte o sinal do determinante:
3 2
-1 3 = 3 · 3 - (-1) · 2 = 11
-1 3
3 2 = (-1) · 2 - 3 · 3 = -11
II
Se duas linhas forem constituídas de elementos proporcionais, o
determinante é zero (duas linhas iguais é um caso particular):
1 3
2 6 = 1 · 6 - 2 · 3 = 0
3 3
3 3 = 3 · 3 - 3 · 3 = 0
III
Se uma das linhas for constituída de zeros, o determinante é zero:
0 0
3 2 = 0 · 2 - 3 · 0 = 0
| |
| |
| |
| |
| |
2
Um determinante de ordem 3 pode ser dado por:
a b c
x1 y1 z1
x2 y2 z2
 = 
y1 z1
y2 z2
a -
x1 z1
x2 z2
b +
x1 y1
x2 y2
c

Comentário
A expressão da direita é conhecida como desenvolvimento do
determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha.
1 -2 3
0 4 -1
5 -2 1
 = 
4 -1
-2 1 (1) -
0 -1
5 1 (-2) +
0 4
5 -1 (3) = 2 - (-10) + (-60) = -48
Com as considerações tendo sido apresentadas, agora podemos definir:
O produto vetorial dos vetores →u = x1, y1, z1 e 
→v = x2, y2, z2 do ℝ
3, denotado
por →u × →v (lê-se →u vetorial →v), é definido como:
→u × →v = 
→
i
→
j
→
k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
 = 
y1 z1
y2 z2
 
→
i -
x1 z1
x2 z2
 
→
j +
x1 y1
x2 y2
 
→
k
O produto vetorial de →u por →v também é indicado por →u ∧→v e lê-se “→u
vetorial →v”.
| | | | | | | |
| | | | | | | |
( ) ( )
| | | | | | | |

Saiba mais
Antes de continuar seus estudos, leia sobre as propriedades do
produto vetorial
<galeria/aula2/anexo/propriedades_produto_vetorial.pdf> .
Produto misto
A combinação dos produtos escalar e vetorial define um novo produto de
vetores, denominado produto misto.
O produto misto dos vetores →u, →v e →w do ℝ3 é definido como:
→u · →v × →w
Na definição de produto misto, você pode observar que:
01
Esse produto envolve um produto vetorial e um produto escalar e,
necessariamente, o produto vetorial deve ser efetuado primeiro;
02
Pela comutatividade do produto escalar temos: →u · →v × →w = →v × →w · →u;
03
Pela anticomutatividade do produto vetorial temos: →u · →v × →w = - →u · →w × →v .
Observe os vetores:
→u =
( )
( ) ( )
( ) ( )
x1
→
i +y1
→
j +z1
→
k
→v =
x2
→
i +y2
→
j +z2
→
k
→z =
x3
→
i +y3
→
j +z3
→
k
Se eles forem tomados nesta ordem, o número real →u · →v × →w pode ser
calculado por:
→u · →v × →w = 
x1 y1 z1
x2 y2 z2
x3 y3 z3
O produto misto de →u, →v e →w também é indicado por →u, →v , →w .

Saiba mais
Antes de continuar seus estudos, leia sobre as propriedades do
produto misto
<galeria/aula2/anexo/propriedades_produto_misto.pdf> .
( )
( ) | |
( )
Atividade
3. O ponto A(1,-2,3) é um dos vértices de um paralelepípedo, e os três
vértices adjacentes são B(2,-1,-4), C(0,2,0) e D(-1,m,1). Quais os
valores de m para que o volume desse paralelepípedo seja igual a 20 u.v.
(unidade de volume)?
 a) m = 2 ou m = -3
 b) m = 0 ou m = 6
 c) m = -2 ou m = -6
 d) m = 1 ou m = -1
 e) m = 2 ou m = 6
4. A projeção ortogonal do vetor →v = (1, 1, 1) na direção do vetor →u = (2, 2, 0)
equivale ao vetor:
 a) (1,-1,-1)
 b) (0,-1,1)
 c) (0,0,0)
 d) (1,1,0)
 e) (-1,0,1)
5. Dado o triângulo de vértices O(0,0), A(1,2) e B(3,1), qual a medida da
altura relativa ao lado OB? Observe a Figura.
 a) 
√10
2
 b) 10
 c) 
1
2
 d) 5
 e) √2
6. Capitão Logan, após um rigoroso trabalho de investigação, conseguiu
determinar as coordenadas de um tesouro escondido. A área de busca é
um triângulo definido pelos pontos A(1,-1,1), B(0,3,4) e C(-3,-2,-5).
Qual o tamanho aproximado da área a ser explorada pelo Capitão Logan
em unidades quadradas (u.q.)?
 a) 5 u.q.
 b) 12 u.q.
 c) 16 u.q.
 d) 25 u.q.
 e) 36 u.q.
7. O volume do tetraedro de vértices A(0,0,0), B(2,0,0), C(0,4,0) e
D(2,-3,5) em unidades cúbicas (u.c.) é, aproximadamente, igual a:
 a) 6,7
 b) 8,0
 c) 11,1
 d) 13,3
 e) 17,5
8. O vetor não nulo ortogonal ao plano que contém os pontos A(0,-2,1),
B(1,-1,-2) e C(-1,1,0) é:
 a) (1,4,0)
 b) (8,4,4)
 c) (0,0,5)
 d) (-1,1,4)
 e) (8,0,12)
Notas
Produto escalar
Uma definição geométrica para o produto escalar e já abordada antes é:
“O produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo
cosseno do ângulo por eles formado”.
→v · →w = ||→v || · ||→w|| · cosθ, 0o ≤ θ ≤ 180o
Referências
DIAS, G.; SOUZA, A. L.; LIMA, M. A. Álgebra linear (livro proprietário). Rio de
Janeiro: SESES, 2015.
GUIMARÃES, L. G. S. et al. Bases Matemáticas para Engenharia. Rio de Janeiro:
SESES, 2015.
SANTOS, F. J.; FERREIRA, S. F. GeometriaAnalítica. 1. ed. Porto Alegre: Artmed
Editora S.A., 2009. Cap. 9, p. 157-176.
WINTERLE, P. Vetores e Geometria Analítica. 2. ed. São Paulo: Pearson Education
do Brasil, 2014. Cap. 2, p. 47-102.
1
Próximos Passos
A reta e sua equação vetorial;
As diferentes maneiras de se representar uma reta através de equações;
As posições relativas que duas retas podem apresentar entre si.
Explore mais
O tópico operações com vetores e produtos entre vetores, objeto desta nossa
segunda aula, apresenta variadas aplicações práticas. A fim de despertar o seu
interesse e, ao mesmo tempo, demonstrar a importância de tais assuntos no dia a dia
do Engenheiro, seguem sugestões de vídeos para você assistir:
Explicando o produto vetorial e a regra da mão direita
<https://youtu.be/PdtgGJFNZ2I> ;
Relação torque × velocidade <https://youtu.be/wgIPFvg7-yI> .