Trabalho - Bernoulli - Diogo

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UERN – Universidade do Estado do Rio Grande do Norte
Campus Avançado de Natal
Curso de Ciência e Tecnologia
Disciplina: Mecânica dos Fluidos
Professor Dyego Monteiro
Setembro, 2019
Natal, Rio Grande do Norte.
UERN – Universidade do Estado do Rio Grande do Norte
Campus Avançado de Natal
Curso de Ciência e Tecnologia
EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Severino Diogo Rodrigues Dantas
Setembro, 2019
Natal, Rio Grande do Norte.
ÍNDICE
DANIEL BERNOULLI: VIDA E OBRA ...........................................................01
PRINCIPIOS E EQUAÇÃO DE BERNOULLI ............................................... 02
DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI ............................................... 04
REFERÊNCIAS .................................................................................................. 07
DANIEL BERNOULLI: VIDA E OBRA
Daniel Bernoulli nasceu Groningen e viveu entre os anos de 1700 e 1782, foi um dos matemáticos mais importante que surgiram durante o período renascentista. Responsável por desenvolver o principio da hidrodinâmica, foi membro da academia de São Petersburgo e foi também eleito para a academia de ciências de Paris. Aos 13 anos de idade Bernoulli ingressa na universidade de Basileia para estudar filosofia e lógica. Durante esse período teve aula de matemática com seu pai e seu irmão mais velho e por indicação da família ingressou na faculdade de medicina, onde, aplicou seus estudos sobre as teorias de energia cinética em uma tese aplicada a mecânica da respiração.
Em 1724 Bernoulli publicou seu primeiro trabalho intitulado de “Exercícios matemáticos” e abordou quatro assuntos específicos: probabilidade; fluxo de água; equação diferencial de Riccatie; geometria de figuras limitadas por dois arcos e um círculo. No ano seguinte ele foi convidado, junto com seu irmão, para lecionar matemática na academia de São Petersburgo, na Rússia. Em 1727, Bernoulli recebeu como indicação de trabalho, Leonard Euler, ambos trabalharam juntos até que Daniel voltasse à Basileia para ocupar o cargo de professor de botânica, anatomia e física na universidade da cidade.
Em 1738 Daniel Bernoulli publicou seu famoso trabalho sobre hidrodinâmica (hoje conhecido como princípio de Bernoulli era antes chamado de princípio de hidrodinâmica), onde faz sua analise completa de como a água flui através de um orifício em um recipiente, baseando-se no principio de conservação de energia. Nesse trabalho ele aborda também sobre bombas e outras máquinas para bombear água, como também, discute a base da teoria cinética dos gases e apresenta a lei dos gases e a equação de estado, detalhadas mais tarde por Van der Waals.
Bernoulli também contribui em estudos nas áreas de astronomia, náutica, correntes oceânicas, magnetismo, mecânica, matemática, física, etc. Se tornou um dos primeiros a aplicar muitas das teorias de Newton em conjunto com os cálculos de Leibniz. Recebeu, por duas vezes, o prêmio da academia de ciências de Paris. Veio a falecer com 82 anos. 
PRINCÍPIOS E EQUAÇÃO DE BERNOULLI
O princípio de Bernoulli foi exposto pela primeira vez em sua obra denominada Hidrodinâmica em 1738 e descreve basicamente o comportamento de um fluido movendo-se ao longo de uma linha de corrente e traduz para os fluidos o principio de conservação de energia. Dessa forma, se o fluido for ideal (sem viscosidade e atrito) em regime de circulação por um condutor fechado, a energia que possui o fluido permanece constante ao longo de seu percurso. A energia de um fluido em qualquer momento consta de três componentes, são eles: energia cinética (é a energia que deriva da velocidade que possui o fluido em movimento); energia potencial gravitacional (é a energia que deriva da altitude que o fluido possui); energia de fluxo (é a energia que um fluido contém devido a pressão que possui).
A equação original possui duas formas iniciais, são elas:
 ; 
; 
Onde as variáveis e constantes representam: 
 (velocidade); 
 (aceleração gravitacional); 
 (altura na direção gravitacional); 
 (pressão ao longo da linha de corrente); 
 (densidade do fluido).
A equação que deriva dessas, utilizada para relacionar a pressão, a velocidade e a altura de quaisquer dois pontos em um fluxo constante de fluido com uma densidade especifica é normalmente escrita da seguinte forma:
Sabendo disso para aplicar a equação de Bernoulli algumas suposições devem ser atendidas, são elas: a viscosidade do fluido e o atrito interno devem ser iguais a zero, ou seja, se considera que a linha de corrente sobre a qual se aplica se encontra em uma zona não viscosa do fluido; a vazão deve ser constante; o fluxo deve ser incompressível com densidade constante; a equação deve ser aplicada ao longo de uma linha de corrente ou em um fluxo irrotacional. Nesses princípios se desenvolveram as relações dos fluidos: velocidade, pressão e densidade. E chega-se à conclusão que a pressão em um fluido diminui à medida que aumenta a sua velocidade, e vice-versa.
DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI
Supomos a existência de um fluido incompressível em regime estacionário, escoando por um cano com área de secção transversal variável, sofre mudanças na sua velocidade de forma que a vazão volumétrica permanece constante, respeitando o principio da conservação de massa. Pode-se concluir, utilizando as leis de Newton, que se a velocidade muda é devido a diferença de pressão que existe ao longo do cano, sendo a força resultante uma superposição da força gravitacional e da força associada à diferença de pressão no cano.
Nos guiado a partir desses axiomas iremos obter a equação de Bernoulli que relaciona a pressão e a velocidade de um fluido ideal, incompressível, que escoa em regime laminar sob efeito da gravidade ao longo de um tubo de corrente. Considerando também os seguintes pontos: o escoamento do fluido deve ser linear; o fluido deve ser incompreensível e de densidade constante; o fluido não deve possuir viscosidade; o escoamento deve ser irrotacional; a figura abaixo.
 Figura 1. Representação necessária para dedução da equação de Bernoulli.
A dedução pode ser feita através da integração das equações de Euler ou pela aplicação da lei da conservação de energia em suas secções ao longo da corrente, e desprezando a viscosidade, a compressibilidade e os efeitos térmicos. Pode-se dizer que: o trabalho mecânico feito pelas forças no fluido mais a redução na energia potencial é igual ao aumento na energia cinética do sistema.
O trabalho feito pelas forças é:
A diminuição da energia potencial é:
O aumento da energia cinética é:
Juntando todas as equações em um sistema não linear, ficamos com:
Podemos dividir a equação acima por para encontrar:
 e podemos dividir por g para encontrar 
Para fluidos compressíveis a dedução depende apenas da conservação da massa e da conservação de energia empregados pelo sistema. Segundo o principio da conservação da massa, levando em consideração o desenho da imagem 1, em um certo intervalo de tempo, a quantidade de massa que passa pela área 1 é igual a quantidade de massa que passa por fora da fronteira definida pela área 2. Temos que:
Agora podemos aplicar a conservação de energia assumindo que a mudança na energia do volume do duto limitado pelas áreas 1 e 2 é totalmente devido a energia que entra ou sai por quaisquer uma dessas duas fronteiras. Dessa forma, em uma situação como uma vazão de um fluido acompanhada de radiação, a conservação de energia não é satisfeita. Assumindo então no caso de o fluxo estar em estado estacionário e que a mudança liquida de energia é zero, temos que:
Sabendo também que a energia entrando pela área 1 é a soma da energia cinética, da energia potencial gravitacional, da energia termodinâmica e do trabalho mecânico do fluidoafluente, temos:
Consequentemente podemos obter uma expressão similar para a variação de energia no segundo momento da análise:
Reescrevendo essa expressão ficaremos com:
E por último podemos usar o resultado obtido anteriormente a partir da conservação de massa para obtermos a solução esperada:
	
REFERÊNCIAS
[1] Clancy, L.J., Aerodynamics, Capítulo 3.
[2] Batchelor, G.K. (1967), Seção 3.5, pp. 156-64.
[3] Hidrodinâmica, Britannica Online Encyclopedia. Consultado em 30 de outubro de 2008.
[4] Equação de Bernoulli. Wikipedia, 2019. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Bernoulli >. Acesso em: 27 de novembro de 2019.
[5] Daniel Bernoulli. Ebiografia, 2019. Disponível em: < https://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_de_Bernoulli >. Acesso em: 27 de novembro de 2019.
[6] WHITE, F.M.; Mecânica dos Fluidos, 4ª Edição, Mc Graw-Hill, Rio de Janeiro, 2002.
[7] Garcia, Valdemar; Mecânica dos Fluidos/Hidráulica Geral I, Instituto Politécnico de Bragança, 2006.
[8] Quintela, A. C.; Hidráulica, Fundação Calouste Gulbenkian, 9ª edição, Lisboa, 2005.
[9] MUNSON, B. R. Fundamentos da Mecânica de Fluidos. 4. e d. São Paulo: EDGARD BLUCH ER, 2004.
[10] What is Bernoullis Equation. Khanacademy, 2019. Disponível em: <https://pt.khanacademy.org/science/physics/fluids/fluid-dynamics/a/what-is-bernoullis-equation>. Acesso em: 27 de novembro de 2019.