Modulo8 - Critério de Lyapunov para estabilidade exponencial

Prévia do material em texto

Mo´dulo 8
Crite´rio de Lyapunov para Estabilidade Exponencial
1 Estabilidade exponencial
Estabilidade e´ o desempenho mı´nimo de todo sistema de controle. Por esse motivo a
ana´lise de estabilidade e´ o ponto de partida para o projeto de sistemas de controle.
Estabilidade e´ uma propriedade do sistema que garante a convergeˆncia das varia´veis
de estado para a situac¸a˜o desejada em regime permanente. Existem va´rios tipos de
estabilidade, dependendo de como e´ a situac¸a˜o desejada em regime permanente. As
varia´veis de estado podem ser constantes em regime permanente, e nesse caso chamamos
essa condic¸a˜o de operac¸a˜o de ponto equil´ıbrio, ou oscilam com certa frequeˆncia e amplitude
e nesse caso a condic¸a˜o de operac¸a˜o e´ chamada de ciclo limite. Podemos ainda classificar
a estabilidade dependendo de como se da´ a convergeˆncia do estado para a situac¸a˜o de
regime permanente, isto e´, se converge exponencialmente ou assintoticamente para a
situac¸a˜o de equil´ıbrio.
Nesta experieˆncia iremos estudar sistemas cujas varia´veis de estado convergem expo-
nencialmente para um ponto de equil´ıbrio.
No final do se´culo 19, um cientista russo, chamado Lyapunov, observou que sistemas
cujas varia´veis de estado convergem exponencialmente para um ponto de equil´ıbrio sa˜o
aqueles cuja energia total (energia de todas as varia´veis de estado) decresce ao longo do
tempo, isto e´, sa˜o sistemas que possuem algum tipo de energia dissipada. Considere o
exemplo do movimento de um peˆndulo de massa M e haste r´ıgida de comprimento L que
descreve um movimento circular de raio L. Ao soltar o peˆndulo de uma dada posic¸a˜o,
as energias cine´ticas e potencial das varia´veis de estado (posic¸a˜o e velocidade angulares)
oscilam entre valores ma´ximos e mı´nimos, mas se houver dissipac¸a˜o de energia (devido a`
presenc¸a de atrito no caso) o movimento vai convergir para a situac¸a˜o de equil´ıbrio onde
as varia´veis de estado sa˜o constantes, e isso ocorre apenas quando a energia de todas as
varia´veis de estado foram completamente dissipadas.
Para caracterizar matematicamente a estabilidade de sistemas podemos utilizar tanto
a resposta de estado zero quanto a de entrada zero. A primeira explora o fato que todo
sistema esta´vel, com condic¸o˜es iniciais nulas, produz sa´ıdas limitadas sempre que as en-
tradas forem limitadas. A segunda explora o fato que todo sistema esta´vel sem excitac¸a˜o
externa possui um transito´rio que desaparece qualquer que seja a condic¸a˜o inicial que
lhe deu origem. Para sistemas lineares invariantes no tempo essas duas formas distintas
de definir estabilidade sa˜o na realidade equivalentes aos crite´rios cla´ssicos baseados na
localizac¸a˜o dos po´los do sistema. As definic¸o˜es que iremos utilizar ao longo de todo esse
documento se baseiam na resposta de entrada nula.
Para caracterizar o conceito de estabilidade exponencial de sistemas algumas de-
finic¸o˜es e resultados preliminares se fazem necessa´rios.
1
Definic¸a˜o 1 Seja o sistema
x˙ = f(t, x) f(t, 0) = 0 ∀t ∈ [0,∞) (1)
onde f : [0,∞) × X 7→ Rn e´ cont´ınua por partes em t e localmente Lipschitz em x,
sendo X ⊆ Rn uma dada vizinhanc¸a da origem. A origem e´ um ponto de equil´ıbrio
exponencialmente esta´vel se existem constantes positivas c, k, λ tais que
‖x(t)‖ ≤ k‖x(t0)‖e
−λ (t−t0) ∀‖x(t0)‖ < c (2)
e globalmente exponencialmente esta´vel se isto ocorre para toda condic¸a˜o inicial x(t0)
finita. ✷
Para testar se a origem de um sistema e´ exponencialmente esta´vel atrave´s do seguinte
resultado.
Teorema 1 Considere o sistema (1) e seja V : [0,∞)× X 7→ R uma func¸a˜o continua-
mente diferencia´vel tal que
k1‖x‖
a ≤ V (t, x) ≤ k2‖x‖
a (3)
∂V
∂t
+
∂V
∂x
′
f(t, x) ≤ −k3‖x‖
a (4)
∀x ∈ X ∀t ∈ [0,∞)
onde a, ki sa˜o constantes positivas. Enta˜o o equil´ıbrio x = 0 de (1) e´ exponencialmente
esta´vel. Se ale´m disso, X = Rn enta˜o a origem e´ globalmente exponencialmente esta´vel.
Prova: Observe que
V˙ (t, x) ≤ −k3‖x‖
a ≤ −
k3
k2
V (t, x) (5)
de onde conclu´ımos pelo Lema da Comparac¸a˜o (Lemma 3.4 [4]) que
V (t, x) ≤ e
−
k3
k2
(t−t0)V (t0, x(t0)) (6)
Logo
‖x(t)‖ ≤ (V (t, x(t))/k1)
1
a ≤
(
e
−
k3
k2
(t−t0)V (t0, x(t0))/k1
) 1
a
≤
(
e
−
k3
k2
(t−t0)k2‖x(t0)‖
a/k1
) 1
a
= (k2/k1)
1
a ‖x(t0)‖e
−
k3
a k2
(t−t0)
(7)
que mostra a estabilidade exponencial. Para estabilidade global basta que x(t0) seja
qualquer em X = Rn. ✷
A func¸a˜o V (t, x) representa a energia total das varia´veis de estado do sistema e e´
chamada de func¸a˜o de Lyapunov. As condic¸o˜es do teorema acima indicam essencialmente
que a func¸a˜o V (t, x) e´ positiva e limitada, como toda func¸a˜o que representa energia, e sua
derivada temporal e´ negativa sempre, indicando decrescimento da func¸a˜o V (t, x). Logo
o sistema dissipa energia com o passar do tempo. Como e´ muito dif´ıcil obter a expressa˜o
anal´ıtica da energia total do sistema, o projetista deve escolher uma func¸a˜o de Lyapunov
que represente a energia total. Pore´m o teorema na˜o fornece nenhuma pista de como
determina´-la no caso geral.
Para algumas classes de sistemas, como sistemas lineares por exemplo, ja´ se conhece
te´cnicas de determinac¸a˜o de func¸o˜es de Lyapunov muito eficientes. Este e´ o tema das
2
pro´ximas sec¸o˜es. Antes pore´m, alguns resultados preliminares se fazem necessa´rios, pois
o me´todo utiliza um tipo especial de func¸a˜o quadra´tica conhecida como forma quadra´tica.
Formas Quadra´ticas
Uma forma quadra´tica e´ toda func¸a˜o V : Rn 7→ R do tipo:
v(x) =
n∑
i=1
n∑
j=1
aijxixj , aij = aji
onde xi, xj sa˜o duas componentes quaisquer da varia´vel vetorial x e aij sa˜o constantes.
A condic¸a˜o aij = aji e´ simplesmente uma normalizac¸a˜o e pode ser feita sem perda de
generalidade. Veja no exemplo
V (x) = 2x21 + 3x1x2 + 5x2x1 + 10x
2
2
= 2x21 + 8x1x2 + 10x
2
2
= 2x21 + 4x1x2 + 4x2x1 + 10x
2
2
Assim, toda forma quadra´tica pode ser representada em termos matriciais atrave´s de uma
matriz sime´trica cujos elementos sa˜o as constantes aij. Ainda no exemplo anterior temos
V (x) =
[
x1
x2
]′ [
2 4
4 10
] [
x1
x2
]
= x′Ax
e note que a matriz A e´ sime´trica. A mesma normalizac¸a˜o acima pode ser feita em termos
matriciais. Retornando ao exemplo, defina
B =
[
2 4
4 10
]
, A = (B +B′)/2 , A˜ = (B − B′)/2
e note que B = A + A˜. Como x′B′x e´ um escalar real temos x′B′x = (x′B′x)′ = x′Bx.
Logo temos
x′Bx = x′Ax+ x′A˜x = x′Ax+ (x′Bx− x′B′x)/2 = x′Ax
Em situac¸o˜es particulares, tipicamente quando representamos o sistema por sua func¸a˜o
de transfereˆncia, podemos precisar trabalhar com formas quadra´ticas complexas. Quando
aij sa˜o constantes complexas, basta trocar a relac¸a˜o aij = aji por aij = a¯ji, onde a¯ji e´ o
conjugado complexo de aij . Nesse caso a matriz A recebe o nome de hermitiana e satisfaz
a relac¸a˜o A = A¯′ = A∗ onde o s´ımbolo A∗ representa o transposto conjugado complexo
de A.
Propriedades:
1. Toda matriz sime´trica possui autovalores reais.
Para ver isso, sejam g, λ um par qualquer de autovetor e autovalor de P , isto e´,
Pg = λg. Assim temos1 g¯P g = λg¯g. Como P e´ sime´trica temos (g¯P g) = g¯P g e
portanto g¯P g e´ real. Ale´m disso g¯g tambe´m e´ real, pois e´ o quadrado do mo´dulo
do vetor g. Logo, da igualdade g¯P g = λg¯g conclu´ımos que λ tambe´m e´ real.
1O s´ımbolo g¯ indica o transposto do conjugado complexo de g.
3
2. A func¸a˜o x′Px e´ limitada acima e abaixo, como indicado a seguir:
λminx
′x ≤ x′Px ≤ λmaxx
′x (8)
onde λmin, λmax sa˜o respectivamente os autovalores mı´nimo e ma´ximo de P .
Para ver isso basta considerar a decomposic¸a˜o P = T ′DT onde T e´ a matriz
de autovetores2 de P e D e´ a matriz diagonal dos autovalores λi de P . Enta˜o
x′Px = z′Dz onde z = Tx. Como z′Dz =
∑n
i=1 λiz
2
i temosz
′Dz ≤ λmax
∑n
i=1 z
2
i =
λmaxz
′z = λmaxx
′T ′Tx = λmaxx
′x pois T ′ = T−1. De forma ana´loga temos
z′Dz ≥ λmin
∑n
i=1 z
2
i = λminz
′z = λminx
′T ′Tx = λminx
′x.
Lembrando que x′x =
∑n
i=1 x
2
i , podemos concluir com (8) que se P possui todos
os autovalores positivos enta˜o x′Px e´ um nu´mero positivo para todo x na˜o nulo.
Note que o contra´rio tambe´m e´ verdadeiro. Nesse caso, dizemos que v(x) e´ uma
func¸a˜o positiva definida (notac¸a˜o: v(x) > 0), e P e´ uma matriz positiva definida
(notac¸a˜o: P > 0). A tabela abaixo mostra a relac¸a˜o entre o sinal da func¸a˜o x′Px
e os autovalores da matriz P .
Nomenclatura
Sinal de v(x) autovalores de P Func¸a˜o v(x) Matriz P
positivo todos positivos positiva definida positiva definida
para todo x 6= 0 v(x) > 0 P > 0
positivo ou nulo todos positivos positiva semi-definida positiva semi-definida
para todo x 6= 0 ou nulos v(x) ≥ 0 P ≥ 0
negativa todos negativos negativa definida negativa definida
para todo x 6= 0 v(x) < 0 P < 0
negativa ou nula todos negativos negativa semi-definida negativa semi-definida
para todo x 6= 0 ou nulos v(x) ≤ 0 P ≤ 0
3. Uma matriz P e´ positiva definida (P > 0) se, e somente se, os determinantes
menores principais de P forem positivos. Esse resultado e´ conhecido como crite´rio
de Sylvester. Por exemplo para
P =

 P1 P2 P3P2 P4 P5
P3 P5 P6


os determinantes Menores Principais sa˜o:
• P1 > 0
•
∣∣∣∣ P1 P2P2 P4
∣∣∣∣ = P1P4 − P22 > 0
•
∣∣∣∣∣∣
P1 P2 P3
P2 P4 P5
P3 P5 P6
∣∣∣∣∣∣ = P1P4P6 + 2P2P5P3 − P3
2P4 − P2
2P6 − P1P5
2 > 0
2Se P e´ sime´trica a transformac¸a˜o que a diagonaliza e´ ortonormal, isto e´, T ′ = T−1. Veja que como
P e´ sime´trica temos P = T−1DT = (T−1DT )′ = T ′D(T−1)′. Logo por igualdade deduzimos T ′ = T−1.
4
4. A func¸a˜o v(x) = x′Px e´ uma medida de distaˆncia do ponto x a` origem quando P e´
positiva definida. Note que x′x = ‖x‖2 e´ o quadrado da norma euclidiana do vetor
x. Assim, vemos com (8) que x′Px e´ uma medida de distaˆncia que esta´ abaixo de
λmaxx
′x e acima de λminx
′x.
Por exemplo, a seguinte func¸a˜o e´ positiva definida:
v(x) = x′Px, x =
[
x1
x2
]
P =
[
1 0
0 4
]
v(x) =
[
x1 x2
] [ 1 0
0 4
] [
x1
x2
]
= x1
2 + 4x2
2
O conjunto de todos os vetores x tais que v(x) = c, onde c e´ uma constante positiva
qualquer, formam uma elipse quando P > 0.
Os semi-eixos da elipse sa˜o
√
c
λi
onde λi sa˜o os autovalores de P . Mais detalhes sobre
func¸o˜es e matrizes positivas e formas quadra´ticas podem ser encontradas nos apeˆndices
do livro [2].
2 Estabilidade de sistemas lineares invariantes
Para sistemas lineares invariantes no tempo o teorema 1 pode ser simplificado tornando-
se equivalente aos resultados cla´ssicos de Routh-Hurvitz e Nyquist.
Teorema 2 O sistema linear invariante
x˙ = Ax (9)
e´ exponencialmente esta´vel, isto e´, os autovalores da matriz A possuem parte real estri-
tamente negativa, se, e somente se, a soluc¸a˜o P sime´trica da equac¸a˜o matricial:
A′P + PA+Q = 0 (10)
for positiva definida, onde Q e´ uma matriz positiva definida dada que pode ser arbitrari-
amente escolhida.
Prova: Se ∃P > 0 soluc¸a˜o de A′P + PA+Q = 0 com Q > 0 dada, enta˜o v(x) = x′Px e´
func¸a˜o de Lyapunov para o sistema x˙ = Ax pois para v(x) = x′Px temos:
v˙(x) = x˙′Px+ x′P x˙ = x′(A′P + PA)x = −x′Qx < 0
e como v(x) > 0 e v˙(x) < 0 para todo ponto x da trajeto´ria do sistema x˙ = Ax,
conclu´ımos que o estado converge para a origem. A estabilidade exponencial se mostra
como no teorema 1.
Por outro lado, se o sistema e´ exponencialmente esta´vel, enta˜o a matriz de transic¸a˜o
de estados Φ = eAt e´ limitada e converge para zero quando t → ∞. Isto implica que,
para qualquer matriz Q > 0, temos Φ(t)′QΦ(t) = eA
′tQeAt > 0, tambe´m limitada e
convergindo para zero quando t→∞.
Logo, a matriz
P =
∫ ∞
0
eA
′tQeAtdt (11)
5
e´ positiva definida, finita e satisfaz a equac¸a˜o A′P +PA+Q = 0. Para ver isso substitua
P acima na equac¸a˜o para obter
A′P + PA =
∫ ∞
0
(A′eA
′tQeAt + eA
′tQeAtA)dt =
∫ ∞
0
(
d
dt
eA
′tQeAt)dt
Como limt→∞ e
A′tQeAt = 0 pois o sistema e´ esta´vel, temos
A′P + PA =
∫ ∞
0
d
dt
eA
′tQeAtdt = −Q
✷
Exemplo 1 O sistema x˙ = Ax com:
A =
[
0 1
−1 −2
]
e´ esta´vel pois λ(A) = {−1,−1}. Logo, devemos encontrar uma soluc¸a˜o P > 0 para
A′P + PA + Q = 0, sendo Q > 0 uma matriz positiva definida que podemos escolher de
forma arbitra´ria. Escolhendo Q igual a` identidade temos:[
0 1
−1 −2
]′ [
P1 P2
P2 P3
]
+
[
P1 P2
P2 P3
] [
0 1
−1 −2
]
+
[
1 0
0 1
]
= 0
que resulta:
[
−P2 −P3
P1 − 2P2 P2 − 2P3
]
+
[
−P2 P1 − 2P2
−P3 P2 − 2P3
]
+
[
1 0
0 1
]
= 0
Logo: 

−2P2 + 1 = 0
−P3 + P1 − 2P2 = 0
2P2 − 4P3 + 1 = 0
⇒


P2 = 1/2
P3 = 1/2
P1 = 3/2
⇒ P =
[
1.5 0.5
0.5 0.5
] 

Menores Principais:
P1 = 1.5 > 0
det(P ) = 1.5× 0.5− 0.52 > 0
Logo P > 0, pois seus menores principais sa˜o positivos3, e portanto o sistema e´
exponencialmente esta´vel. A equac¸a˜o de Lyapunov pode ser resolvida no matlab com o
aux´ılio da func¸a˜o lyap.
O teorema de Lyapunov pode ser usado se escolhemos Q ≥ 0 ao inve´s de Q > 0. Para
esse fim, vamos decompor a matriz Q na forma Q = C ′C onde C e´ uma matriz qualquer.
Se C possuir posto completo, enta˜o Q = C ′C e´ positiva definida. Caso contra´rio, Q = C ′C
sera´ positiva semi-definida.
Teremos uma soluc¸a˜o P > 0 para A′P + PA + C ′C = 0 se, e somente se, o sistema
x˙ = Ax for exponencialmente esta´vel, isto e´, λ(A) ∈ C−, e o (A,C) for observa´vel, isto e´:
Posto


C
CA
...
CAn−1

 = n, A ∈ Rn×n, C ∈ Rm×n
3Verifique que os autovalores de P sa˜o positivos.
6
Para entender esse fato note que a trajeto´ria do sistema x˙ = Ax para uma dada condic¸a˜o
inicial x0 e´ x(t) = e
Atx0. Se o sistema e´ esta´vel, a soluc¸a˜o da equac¸a˜o A
′P+PA+C ′C = 0
e´ dada por (11) e assim temos
x′0Px0 =
∫ ∞
0
x′0e
A′tC ′CeAtx0dt =
∫ ∞
0
x′0e
A′tC ′CeAtx0dt =
∫ ∞
0
y(t)′y(t)dt (12)
onde y(t) = Cx(t) = CeAtx0 e´ uma sa´ıda fict´ıcia. Se o par (A,C) e´ observa´vel enta˜o na˜o
existe nenhuma condic¸a˜o inicial que leva y(t) a ser nula o tempo todo. Logo temos P > 0
pela expressa˜o (12). Por outro lado, se o sistema e´ esta´vel pore´m existe uma condic¸a˜o
inicial x0 tal que y(t) = 0, ∀t ≥ 0 enta˜o o par (A,C) na˜o e´ observa´vel. Nessas condic¸o˜es
temos pela expressa˜o (12) que x′0Px0 = 0. Logo P possui algum autovalor nulo, isto e´,
P e´ positiva semi-definida.
Em resumo, o sistema sera´ exponencialmente esta´vel se P ≥ 0 e o par (A,C) for
detecta´vel. Aqui a matriz C e´ a decomposic¸a˜o de Q em Q = C ′C.
A equac¸a˜o A′P + PA + Q = 0 e´ conhecida como equac¸a˜o de Lyapunov e possui
soluc¸a˜o u´nica para uma dada Q se os autovalores da matriz A satisfazem λi + λj 6= 0
para i 6= j = 1, . . . , n.
3 Estabilidade local baseada em linearizac¸a˜o
Vimos na sec¸a˜o anterior que o sistema linear x˙ = Ax e´ exponencialmente esta´vel se
e somente se todos os autovalores da matriz A possuem parte real negativa. Veremos a
seguir que se A e´ a matriz jacobiana de um sistema na˜o linear e todos seus autovalores
possuem parte real negativa enta˜o o sistema na˜o linear e´ localmente exponencialmente
esta´vel, isto e´, existe uma vizinhanc¸a (possivelmente pequena) do ponto de equil´ıbrio
na qual todas as trajeto´rias ali iniciadas convergem exponencialmente para o ponto de
equil´ıbrio. Para apresentar o resultado suponha que o ponto de equil´ıbrio seja a origem4
e que g(x) represente os termos na˜o lineares da expansa˜o de f(x) por Taylor, isto e´:
x˙ = f(x) = Ax+ g(x) (13)
Vamos definir uma vizinhanc¸a do equil´ıbrio como sendo o conjunto de pontos do espac¸ode estado x que satisfaz a seguinte relac¸a˜o5
x : ‖g(x)‖ ≤ k‖x‖ (14)
Para estudar a estabilidade do sistema acima vamos utilizar uma func¸a˜o de Lyapunov do
tipo v(x) = x′Px onde P e´ a matriz sime´trica que resolve a equac¸a˜o de Lyapunov
A′P + PA+ I = 0 (15)
Sabemos da sec¸a˜o anterior que se os autovalores da matriz A possuem parte real negativa
enta˜o a soluc¸a˜o P da equac¸a˜o acima e´ u´nica e positiva definida e satisfaz (8). Tomando
a derivada de v(x) para o sistema (13) temos
v˙(x) = x′P x˙+ x˙′Px = (Ax+ g(x))′Px+ x′P (Ax+ g(x))
= x′(A′P + PA)x+ 2x′Pg(x) = −x′x+ 2x′Pg(x) (16)
4Se o ponto de equil´ıbrio na˜o for a origem basta fazer uma translac¸a˜o para a origem antes de aplicar
os resultados aqui apresentados.
5Aqui usaremos a notac¸a˜o ‖z‖ = (z′z)
1
2 (norma euclidiana do vetor z).
7
Como x′Pg(x) ≤ ‖x‖ ‖P‖ ‖g‖ e ‖g(x)‖ ≤ k‖x‖ obtemos a seguinte relac¸a˜o6
2x′Pg(x) ≤ 2 ‖x‖ ‖P‖ ‖g‖ ≤ 2 k ‖x‖2 ‖P‖ = 2 k ‖P‖ x′x (17)
Assim ficamos com
v˙(x) ≤ −x′x+ 2 k ‖P‖ x′x = −αx′x , α = 1− 2k‖P‖ (18)
Basta que a vizinhanc¸a do equil´ıbrio, definida pela constante k, seja pequena suficiente
teremos α > 0 indicando que v˙(x) sera´ definida negativa. Isso juntamente com (8)
mostram que o sistema sera´ exponencialmente esta´vel pelo Teorema 1. No entanto a
estabilidade sera´ va´lida apenas numa vizinhanc¸a X do ponto de equil´ıbrio (estabilidade
local) pois dificilmente poderemos aumentar muito a constante k para termos X = Rn
(estabilidade global). Felizmente, ao mostrar a estabilidade local, a func¸a˜o de Lyapunov
tambe´m fornece uma estimativa da regia˜o de atrac¸a˜o do ponto de equil´ıbrio.
Para obter essa estimativa note com (8) e (18) que
v˙(x) ≤ −α x′x ≤ −α
x′Px
λmax
= −τ v(x) , τ =
α
λmax
(19)
Da inequac¸a˜o diferencial v˙ ≤ −τv conclu´ımos que v(x) ≤ e−τtv(x0). Da´ı, para todo x0
tal que v(x0) ≤ c, sendo c alguma constante positiva, obtemos v(x) ≤ e
−τtc para todo
instante de tempo t ≥ 0. Isso mostra que para todo ponto do espac¸o de estado na regia˜o
{x : v(x) ≤ c} a energia da trajeto´ria ali iniciada decresce mais ra´pido que a exponencial
e−τtc. Na˜o podemos esquecer, no entanto, que o decaimento exponencial ocorre quando
a constante k em (14) for pequena suficiente para que α = 1 − 2k‖P‖ seja positivo e
ale´m disso para todo ponto da regia˜o {x : v(x) ≤ c} devemos ter v˙(x) < 0. Em outras
palavras todo ponto da regia˜o de atrac¸a˜o X = {x : v(x) ≤ c} tambe´m deve satisfazer a
condic¸a˜o (14) onde temos garantia que v˙(x) < 0. Veja que o valor de k define o tamanho
da regia˜o (14) mas tambe´m define a taxa de decaimento da energia atrave´s da constante
α. Assim, dado o valor desejado de α tiramos o valor correspondente de k que limita
a regia˜o (14). Em seguida ajustamos o valor da constante c para que a regia˜o X esteja
contida na regia˜o delimitada por k em (14). Na figura 1 a regia˜o X e´ representada pelo
c´ırculo e deve estar contida na regia˜o R delimitada pelas duas linhas que representa a
regia˜o onde (14) esta´ satisfeita.
4 Estabilidade de sistemas lineares variantes no tempo
Para sistemas lineares variantes no tempo temos o seguinte resultado.
Teorema 3 O sistema linear variante no tempo
x˙ = A(t) x (20)
6Por trabalharmos com a norma euclidiana de vetores usaremos a norma espectral de matrizes que e´
a norma de matrizes induzida pela norma euclidiana. A norma espectral de uma matriz M e´ definida
como sendo o maior valor singular de M , isto e´ ‖M‖ = σmax(M). Lembre que valores singulares de
uma matriz M sa˜o as ra´ızes quadradas dos autovalores de M ′M . No caso matrizes sime´tricas definidas
positivas os valores singulares coincidem com os autovalores da matriz.
8
XR x1
x2
Figura 1: Ilustrac¸a˜o da regia˜o de atrac¸a˜o.
onde x ∈ Rn e A(t) e´ cont´ınua ∀t ≥ 0, e´ globalmente exponencialmente esta´vel se e
somente se existe P (t) : [0,∞) 7→ Rn×n, sime´trica positiva definida7 , cont´ınua e limitada
∀t ≥ 0, que satisfaz a seguinte equac¸a˜o diferencial
P˙ (t) + A(t)′P (t) + P (t)A(t) +Q(t) = 0 (21)
onde Q(t) : [0,∞) 7→ Rn×n e´ sime´trica positiva definida, cont´ınua e limitada ∀t ≥ 0 e
pode ser arbitrariamente escolhida. Em caso afirmativo, a func¸a˜o V (t, x) = x′P (t)x e´
uma func¸a˜o de Lyapunov para o sistema.
Prova: Suponha que o sistema seja globalmente exponencialmente esta´vel e defina
P (t) =
∫ ∞
t
φ(τ, t)′Q(τ)φ(τ, t)dτ (22)
onde φ(t, t0) e´ a matriz de transic¸a˜o do sistema que satisfaz x(t) = φ(t, t0) x(t0). Como
(2) deve estar satisfeito para toda condic¸a˜o inicial conclu´ımos que φ(t, t0) possui norma
limitada por uma exponencial decrescente. Logo para qualquer matriz Q(t) : [0,∞) 7→
Rn×n sime´trica positiva definida, cont´ınua e limitada ∀t ≥ 0, temos que φ(τ, t)′Q(τ)φ(τ, t)
tambe´m sime´trica positiva definida, cont´ınua ∀t ≥ 0 e converge exponencialmente para
zero quando τ → ∞. Da´ı conclu´ımos com (22) que P (t) e´ sime´trica positiva definida,
cont´ınua e limitada ∀t ≥ 0. Portanto satisfaz a relac¸a˜o
k1‖x‖
2 ≤ λmin(P (t))x
′x ≤ x′P (t)x ≤ λmax(P (t))x
′x ≤ k2‖x‖
2
k1 = mint≥0 λmin(P (t)) > 0 k2 = maxt≥0 λmax(P (t)) > 0
(23)
Por outro lado sabemos que
∂
∂t
φ(τ, t) = −φ(τ, t)A(t) (24)
e portanto
P˙ (t) =
∫∞
t
(
φ˙(τ, t)′Q(τ)φ(τ, t) + φ(τ, t)′Q(τ)φ˙(τ, t)
)
dτ+
φ(∞, t)′Q(∞)φ(∞, t)− φ(t, t)′Q(t)φ(t, t)
(25)
7Uma matriz P (t) e´ positiva definida (P (t) > 0) se todos seus autovalores sa˜o positivos ∀t ≥ 0.
9
Com (24) e lembrando que Q(t) e´ limitada ∀t ≥ 0, φ(∞, t) = 0 e φ(t, t) = In a expressa˜o
acima se reescreve na forma
P˙ (t) = −A(t)′
∫∞
t
φ(τ, t)′Q(τ)φ(τ, t) dτ −
∫∞
t
φ(τ, t)′Q(τ)φ(τ, t) dτ A(t)−Q(t) (26)
que nos leva a` (21) com (22).
Suponha agora que existe P (t) : [0,∞) 7→ Rn×n, sime´trica positiva definida, cont´ınua
e limitada ∀t ≥ 0, que satisfaz a equac¸a˜o diferencial (21) onde Q(t) : [0,∞) 7→ Rn×n
e´ sime´trica positiva definida, cont´ınua e limitada ∀t ≥ 0 e pode ser arbitrariamente
escolhida. Defina a func¸a˜o V (t, x) = x′P (t)x e observe que ela satisfaz (23). Calculando
sua derivada temporal para o sistema (20) encontramos
V˙ (t, x) = x˙′P (t)x+ x′P (t)x˙+ x′P˙ (t)x
= x′(P˙ (t) + A(t)′P (t) + P (t)A(t))x = −x′Q(t)x ≤ −k3x
′x
k3 = min
t≥0
λmin(Q(t))
Logo o sistema e´ globalmente exponencialmente esta´vel pelo teorema 1. ✷
Conforme visto anteriormente, para sistemas lineares invariantes no tempo, onde
A(t) = A, ∀t ≥ 0, a estabilidade pode ser caracterizada em termos dos autovalores
da matrix A. Assim poder´ıamos pensar que um sistema variante no tempo seria esta´vel
se os autovalores da matriz A(t) possuem parte real negativa ∀t ≥ 0. No entanto isso na˜o
e´ verdade em geral como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo 2 ([4]) Considere o sistema linear (20) onde
A(t) =
[
−1 + 1.5 cos(t)2 1− 1.5 sin(t) cos(t)
−1− 1.5 sin(t) cos(t) −1 + 1.5 sin(t)2
]
(27)
Os autovalores de A(t) sa˜o −0.25 ± j0.25
√
(7) ∀t ≥ 0. Logo a matrix A(t) possui
todos os autovalores com parte real negativa o tempo todo. Pore´m a origem na˜o e´ esta´vel
como podemos verificar pela matriz de transic¸a˜o indicada abaixo.
φ(t, 0) =
[
e0.5t cos(t) e−t sin(t)
e0.5t sin(t) e−t cos(t)
]
(28)
Observe que x(t) = φ(t, 0)x(0) pode divergir dependendo da condic¸a˜o inicial.
E´ interessante notar que a matriz Q(t) em (21) pode ser arbitrariamente escolhida.
A escolha mais simples e´ Q(t) = In pore´m podemos eliminar a matriz Q(t) da equac¸a˜o.
Como Q(t) > 0 a equac¸a˜o (21) e´ equivalente a` desigualdade
P˙ (t) + A(t)′P (t) + P (t)A(t) < 0 (29)
Para ver isso basta verificar que se (21) esta´ satisfeita para alguma P (t), Q(t) enta˜o
P˙ (t) + A(t)′P (t) + P (t)A(t) = −Q(t) < 0. Logo (29) tambe´m esta´ satisfeita. Por outro
lado se (29) esta´ satisfeita para alguma P (t) enta˜o podemos definir Q(t) como sendo
Q(t) = −(P (t) +A(t)′P (t) +P (t)A(t)) e observe que Q(t) >0. Logo (21) esta´ satisfeita.
Se por um lado as expresso˜es (21) e (29) sa˜o equivalentes, por outro elas possuem
propriedades bem distintas. Em particular, as vantagens de (29) sera˜o exploradas em
estrate´gias de controle e filtragem com abordagem via desigualdades matriciais lineares
(linear matrix inequalities - LMIs).
10
Exerc´ıcios:
1 Considere o sistema de 4 tanques linearizado num ponto de equil´ıbrio escolhido.
Mostre atrave´s da equac¸a˜o A′P + PA + Q = 0 que o sistema de malha aberta e´
esta´vel.
2 Para a matriz P obtida no item anterior, pede-se:
(i) Encontre, se poss´ıvel, um vetor x ∈ R4 tal que x′Px ≤ 0.
(ii) Obtenha por simulac¸a˜o a resposta do sistema x˙(t) = Ax(t) para a condic¸a˜o
inicial x(0) =
[
1 2 3 4
]′
. Escolha treˆs pontos quaisquer dessa trajeto´ria cor-
respondentes a treˆs instantes de tempo distintos x(t1), x(t2), x(t3) com t1 < t2 < t3.
Calcule o valor da func¸a˜o v(x(t)) = x(t)′Px(t) para esses treˆs pontos. O resultado
obtido era esperado? Porque?
3 Defina a matriz Q = C ′C onde C e´ a matriz de sa´ıda do sistema e calcule a soluc¸a˜o
da equac¸a˜o A′P + PA+ C ′C = 0. O sistema e´ observa´vel? A matriz P e´ positiva
definida? Suponha agora que C representa a matriz de sa´ıda para os medidores nos
tanques 1 e 4. O que acontece com a matriz P ? Justifique.
Refereˆncias
[1] Karl Henrik Johansson, The Quadruple-Tank Process: A Multivariable Laboratory Process
with an Adjustable Zero,IEEE TRANSACTIONS ON CONTROL SYSTEMS TECHNO-
LOGY, VOL. 8, NO. 3, MAY 2000.
[2] K.Ogata, ”Engenharia de controle moderno”, Prentice Hall do Brasil, 2a
¯
edic¸a˜o, 1990.
[3] U. Mackenroth, ”Robust Control Systems”, Springer Verlag, Berlin, 2004.
[4] H.K.Khalil, ”Nonlinear Systems”, Prentice Hall, 1996.
11