Demarcação de Territórios no Brasil

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em 
Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
Aula 4 - Questões Comentadas e Resolvidas 
Trigonometria. 
Geometria. 
(Assistente em Administração-FUB-2010-Cespe) 
Um país loteado 
A parcela do território do Brasil destinada à preservação do meio ambiente, a 
comunidades indígenas e quilombolas e à reforma agrária já chega a quase 
90%. Nos próximos anos, esse número deve subir ainda mais, haja vista a 
meta do governo de demarcar mais 334 reservas ambientais, 232 áreas 
indígenas, 948 quilombos e de fornecer 50.000 lotes para a reforma agrária. 
Para o desenvolvimento da agricultura e das demais atividades econômicas 
serão destinados apenas 8% do território. 
I Extensão territorial já demarcada atualmente: 
- reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental: 5,5 milhões 
de quilômetros quadrados, equivalentes a 64,5% do território nacional ou ao 
território dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, 
Mato Grosso do Sul, Tocantins, Pará e Maranhão; 
- cidades e infraestrutura: 255 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 3% 
do território nacional ou ao território dos estados do Ceará, Rio Grande do 
Norte e Paraíba; 
- reservas indígenas e quilombos: 1,11 milhões de quilômetros quadrados, 
equivalentes a 13,1% do território nacional ou ao território dos estados de 
Goiás, Sergipe, Distrito Federal, Minas Gerais, Espírito Santo e Rio de Janeiro; 
- assentamentos de reforma agrária: 850 mil quilômetros quadrados, 
equivalentes a 10% do território nacional ou ao território dos estados de São 
Paulo, Paraná, Santa Catarina, Rio Grande do Sul e Alagoas. 
II Extensão a ser demarcada, equivalente ao território do estado de 
Pernambuco: 
- reservas indígenas e quilombos: 72,6 mil quilômetros quadrados ou 0,85% 
do território nacional; 
- assentamentos de reforma agrária: 15 mil quilômetros quadrados ou 0,2% 
do território nacional; 
- reservas e demais áreas de preservação ambiental: 15 mil quilômetros 
quadrados ou 0,2% do território nacional. 
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III Quanto sobraria do território nacional para a produção agrícola e o 
desenvolvimento de atividades econômicas: 
- 700 mil quilômetros quadrados, equivalentes a 8% do território nacional ou 
ao território dos estados da Bahia e do Piauí. 
A farra da antropologia oportunista. In: Veja, ed. n.° 2.163, 5/5/2010, p. 154-61 (com adaptações). 
Tendo o texto acima como referência, julgue os próximos itens. 
1. Considere que a área dos territórios dos estados do Pará e Amazonas 
corresponda a 40% da área já demarcada de reservas ambientais e demais 
áreas de preservação ambiental. Nessa situação, é correto afirmar que a área 
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Resolução 
Atenção! Não se assuste com o tamanho da questão. Temos que tentar retirar, 
sempre, os dados necessários para resolver os itens. 
De acordo com os dados da questão: 
I - Extensão territorial já demarcada atualmente: 
- reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental: 5,5 
milhões de quilômetros quadrados, equivalentes a 64,5% do território 
nacional ou ao território dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, 
Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Tocantins, Pará e Maranhão. 
As reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental equivalem da 
64,5% do território nacional (ou ao território dos estados do Acre, Amazonas, 
Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Pará e Maranhão. 
De acordo com o item, a área dos estados do Pará e Amazonas corresponde a 
40% da área já demarcada de reservas ambientais e demais áreas de 
preservação ambiental. 
Portanto, temos as seguintes relações: 
Área dos estados do Acre, Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato 
Grosso do Sul, Pará e Maranhão = 64,5% do Território Nacional 
Desse valor, 40% equivalem à área dos estados do Pará e Amazonas: 
Área dos estados do Pará e Amazonas = 40% x Área dos estados do Acre, 
Amazonas, Rondônia, Amapá, Mato Grosso, Mato Grosso do Sul, Pará e 
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Resolução 
De acordo com os dados da questão, extensão a ser demarcada de 
reservas indígenas e quilombos, equivalente ao território do estado de 
Pernambuco: 
- reservas indígenas e quilombos: 72,6 mil quilômetros quadrados ou 
0,85% do território nacional; 
O símbolo de quilômetro é Km. Portanto, quilômetros quadrados serão 
representados por Km2. 
Área das Reservas Indígenas + Área dos Quilombos = 72,6 mil quilômetros 
quadrados = 72,6 x 1.000 Km2 ^ 
^ Área das Reservas Indígenas + Área dos Quilombos = 72.600 Km2 
Se as áreas dos terrenos das reservas indígenas e dos quilombos forem iguais: 
Número de Áreas Indígenas Demarcadas = 232 
Número de Quilombos Demarcados = 948 
Total = 232 + 948 = 1.180 
72.600 2 2 
Área de cada um dos terrenos = = 61,52 m2 > 60 m2 
1.180 
GABARITO: Certo 
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do território nacional. 
GABARITO: Certo 
2. Se as áreas dos terrenos das reservas indígenas e dos quilombos a serem 
demarcadas forem iguais, então cada um desses terrenos terá área superior a 
60 km2. 
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3. Infere-se do texto que a extensão territorial do Brasil é inferior a sete 
milhões de quilômetros quadrados. 
Resolução 
Vamos interpretar a questão: 
I - A parcela do território do Brasil destinada à preservação do meio 
ambiente, a comunidades indígenas e quilombolas e à reforma agrária 
já chega a quase 90%. 
Parcela destinada à preservação = 90% x Território do Brasil 
II - Extensão territorial já demarcada atualmente: 
- reservas ambientais e demais áreas de preservação ambiental: 5,5 
milhões de quilômetros quadrados... 
Reservas ambientais e demais áreas de preservação = 5,5 milhões de 
quilômetros quadrados 
- reservas indígenas e quilombos: 1,11 milhões de quilômetros 
quadrados... 
Reservas indígenas e quilombos = 1,11 milhões de quilômetros quadrados 
Portanto, teremos: 
Reservas ambientais e demais áreas de preservação 5,5 
Reservas indígenas e quilombos 1,11 
Parcela Destinada à Preservação 6,61 
Parcela Destinada à Preservação = 6,61 milhões de quilômetros quadrados 
Fazendo uma regra de três: 
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milhões de metros quadrados, que é maior 
que 7 milhões de quilômetros quadrados. 
GABARITO: Errado 
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4. Considerando-se 3,14 como valor aproximado para n, é correto afirmar que 
a área ocupada pelos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba é 
inferior à de um círculo de raio igual a 300 km. 
Resolução 
Para resolver a questão, precisamos conhecer a fórmula para calcular a área 
do círculo. 
Circunferência e Círculo: circunferência é a linha que limita o círculo (parte 
interna). 
Portanto, a área de um círculo de raio R é igual a: 
Área do Círculo = n.R2 
De acordo com o item: 
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Área do Círculo = 3,14 x (300 Km)2 = 3,14 x 90.000 Km2 = 282.600 Km2 
De acordo com os dados da questão a área ocupada pelos estados do 
Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba é: 
- cidades e infraestrutura: 255 mil quilômetros quadrados, 
equivalentes a 3% do território nacional ou ao território dos estados 
do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba. 
Área dos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba = 255 mil 
quilômetros quadrados 
Área dos estados do Ceará, Rio Grande do Norte e Paraíba = 255.000 
Km2, que é inferior a área de um círculo de raio 300 Km (282.600 
Km2). 
GABARITO: Certo 
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(Técnico em Metrologia e Qualidade-Área: Eletrônica-Inmetro-2010-
Cespe) 
5. Um quarto tem o formato de um paralelepípedo retângulo com volume de 
60 m3. Sabendo-se que o piso desse quarto tem área de 20 m2 e perímetro de 
18 m, é correto afirmar que a soma das 3 dimensões do quarto é igual a 
A 9 m. 
B 10 m. 
C 11 m. 
D 12 m. 
E 13 m. 
Resolução 
Vamos ver os conceitos: 
Paralelepípedo: 
Vamos interpretar a questão: 
I - Um quarto tem o formato de um paralelepípedo retângulo com 
volume de 60 m3. 
Volume do Quarto (Paralelepípedo) = área da base x altura = 60 m3 
Se considerarmos o paralelepípedo acima, a base é um retângulo de lados b e 
c. Portanto, a área da base é b.c. Além disso, a altura do paralelepípedo é a. 
Logo, o volume do paralelepípedo será: 
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Volume = b . c . a = 60 m3 
m3 = metros cúbicos 
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II - Sabendo-se que o piso desse quarto tem área de 20 m2 e 
perímetro de 18 m, é correto afirmar que a soma das 3 dimensões do 
quarto é igual a... 
Piso do Quarto = 20 m2, que corresponde à área do retângulo (b.c). 
b.c = 20 m2 (2) 
m2 = metros quadrados 
Além disso, de acordo com a questão, o perímetro do piso (retângulo) é igual a 
18 m. 
Vamos resolver a equação do segundo grau pelas relações de Girard? Não 
lembra? Então vamos relembrar: 
Comparando (II) com (I), temos as Relações de Girard: 
Portanto, na nossa equação temos: b2 - 9b + 20 = 0 
As raízes são b' e b " . 
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E aí? Quais são os números cuja soma é 9 e o produto é 20? Vamos, você 
consegue! Exato, são os números 4 e 5. 
Portanto, temos: 
b '= 4 m 
b ' ' = 5 m 
Quando b '= 4, c (o outro lado do piso do quarto) é igual a quanto? Basta 
substituir na equação (2): 
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Quando b '= 5, c (o outro lado do piso do quarto) é igual a quanto? Basta 
substituir na equação (2): 
Portanto, os lados do piso do quarto são: 4 m e 5 m. 
Substituindo os valores dos lados do piso na equação (1): 
Portanto, a soma das três dimensões do quarto será: 
Soma das Três Dimensões = 3 + 4 + 5 = 12 m 
GABARITO: D 
A -1. 
B 0. 
C 1. 
D 2. 
E 3. 
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Resolução 
Vamos estudar os principais conceitos sobre trigonometria: 
O seno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pela 
hipotenusa e será representado por sen(x). 
O cosseno de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto adjacente pela 
hipotenusa e será representado por cos(x). 
A tangente de um ângulo x é o resultado da divisão do cateto oposto pelo 
cateto adjacente e será representada por tg(x). A tangente de um ângulo x 
também pode ser calculada com o resultado da divisão do seno de x pelo 
cosseno de x. 
A cotangente de um ângulo x é o inverso da tangente ou é o resultado da 
divisão do cateto adjacente pelo cateto oposto e será representada por 
cotg(x). A cotangente de um ângulo x também pode ser calculada com o 
resultado da divisão do cosseno de x pelo seno de x. 
Portanto, em fórmulas matemáticas, teríamos: 
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Teorema de Pitágoras 
O teorema de Pitágoras corresponde a seguinte relação: o quadrado da 
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 
a = hipotenusa 
b = cateto 
c = cateto 
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 (I) 
Se dividirmos todos os termos da equação 
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Substituindo o seno e o cosseno de B na equação (II), teríamos: 
Relação fundamental: o quadrado do seno de um ângulo fi qualquer somado 
ao quadrado do cosseno desse mesmo ângulo é igual a 1 (um). 
Relação entre Cosseno e Tangente 
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Vamos à resolução da questão: 
Considerando a equação trigonométrica 2cosx - 3tgx = 0, o valor da 
expressão 4cos2 x - 4senx é igual a... 
Temos uma equação: 2cosx - 3tgx = 0 (I) 
Daqui, podemos tirar uma relação entre o seno e cosseno. 
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Já sabemos que: 
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Resolvendo a equação do segundo grau: 
a = 2 
b = 3 
c = -2 
Esse valor não é possível, pois o seno de um 
ângulo possui valores entre -1 e 1. 
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Multiplicando por cos x os dois lados da igualdade (para eliminar o cosseno do 
denominador): 
Pela equação fundamental: 
Repare que precisamos conhecer a equação fundamental para resolver a 
questão. 
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A expressão a calcular é: 4cos2 x - 4senx 
Colocando a expressão somente em função do seno. 
Pela equação fundamental: sen2 x + cos2 = 1 ^ cos2 x = 1 - sen2 x 
4cos2 x - 4senx = 4 . (1 - sen2 x) - 4 sen x 
Como sabemos que seno 
GABARITO: C 
(Polícia Civil do Espírito Santo -Nível Superior-2010-Cespe) 
Tecnologia no combate ao crime 
Desde dezembro de 2009, uma aeronave não tripulada sobrevoa e monitora as 
fronteiras do Brasil com o Paraguai, o Uruguai e a Argentina na região de Foz 
do Iguaçu. Ao todo, serão 6 estações equipadas com 2 aeronaves cada, 
operadas pela Polícia Federal, somando investimento da ordem de US$ 655,6 
milhões. 
Segurança pública com cidadania. Equipe CGPLAN/MJ, agosto/2010 (com adaptações). 
Considere que tenham sido sugeridos os seguintes critérios para a escolha das 
rotas de vôo da aeronave mencionadano texto acima. 
- Se a rota passar pelo Brasil ou pelo Paraguai, então ela deverá passar pelo 
Uruguai; 
- Se a rota passar pelo Paraguai, então ela não deverá passar pela Argentina; 
- Se a rota passar pelo Uruguai e pela Argentina, então ela deverá passar pelo 
Paraguai. 
Suponha, também, que as estações A, B e C tenham sido construídas em 
pontos equidistantes, de modo que a distância de uma dessas três estações 
para outra seja de 150 km. 
Com referência às informações contidas no texto acima e às considerações 
hipotéticas que a ele se seguem, e considerando 1,73 como valor aproximado 
para V3 , julgue os itens seguintes. 
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7. Supondo que uma nova estação, D, seja instalada em um ponto 
equidistante das estações A, B e C, então a distância da estação D para as 
estações A, B e C será inferior a 87 km. 
Resolução 
Repare que as estações A, B e C são equidistantes (150 km). Portanto, as 
retas que unem as estações formam um triângulo equilátero. 
Além disso, a estação D deve ser construída de forma que seja equidistante 
das estações A, B e C. 
Vamos aos conceitos: 
Os triângulos correspondem a polígonos de três lados. Os triângulos não 
possuem diagonais e a soma dos ângulos internos é igual a 180° (cento e 
oitenta graus). Os triângulos podem ser eqüiláteros, isósceles e escalenos. 
Vejamos: 
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Pontos Importantes em Triângulos 
Mediana: é um segmento de reta que passa por um vértice do triângulo e 
intercepta o lado oposto em seu ponto médio, ou seja, divide o lado oposto em 
duas partes iguais. 
Propriedade das Medianas de um Triângulo: as três medianas de um 
triângulo interceptam-se em um ponto G, denominado baricentro, que divide 
cada mediana em duas partes, onde a parte que contém o vértice é o dobro da 
outra. No triângulo acima, teríamos: 
Bissetriz Interna: é um segmento de reta que passa por um vértice do 
triângulo e divide o ângulo interno do vértice e duas partes iguais. 
P 
Propriedade das Bissetrizes Internas de um Triângulo: as três bissetrizes 
internas de um triângulo interceptam-se em um ponto S, denominado 
incentro, que está a igual distâncias dos lados do triângulo. 
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B T P C 
As distâncias do incentro S a cada um dos lados são os segmentos de reta 
ST, SU e SV, que são perpendiculares aos respectivos lados. Pela 
propriedade acima: ST = SU = SV. 
Nota: O incentro é centro da circunferência inscrita no triângulo, onde o raio 
da circunferência é ST = SU = SV. 
B 
A 
T P C 
Mediatriz: é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo e que 
divide o lado em duas partes iguais. 
b 
C 
A mediatriz b divide o lado AC em duas partes iguais: 
A mediatriz c divide o lado AB em duas partes iguais: 
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Propriedade das Mediatrizes de um Triângulo: as três mediatrizes de um 
triângulo interceptam-se em um ponto O, denominado circuncentro, que está 
a igual distância dos vértices do triângulo. 
C 
Vamos montar o nosso triângulo eqüilátero para resolver a questão: 
Se o triângulo é eqüilátero, os três ângulos internos são iguais a 60o (sessenta 
graus), tendo em vista que a soma dos ângulos do triângulo é igual a 180o. 
A 
C 
B 
150 
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A nova estação D deve ser equidistante às três estações. Portanto teríamos o 
seguinte: 
150 
H 
B 
Como o ponto D é equidistante (mesma distância) aos pontos A, B e C, temos: 
CD = AD = BD 
Como o triângulo é eqüilátero, a reta AH é perpendicular ao lado BC do 
triângulo e divide este lado em duas partes iguais 
disso, essa mesma reta é a bissetriz do ângulo Â, dividindo o ângulo em dois 
ângulos iguais 
Como o triângulo é eqüilátero, a reta CM é perpendicular ao lado AB do 
triângulo e divide este lado em duas partes iguais Além 
disso, essa mesma reta é a bissetriz do ângulo C, dividindo o ângulo em dois 
ângulos iguais 
Como o triângulo é eqüilátero, a reta BN é perpendicular ao lado AC do 
triângulo e divide este lado em duas partes iguais 
disso, essa mesma reta é a bissetriz do ângulo B, dividindo o ângulo em dois 
ângulos iguais 
Portanto, para calcular a distância de D as demais estações, basta calcular o 
valor da hipotenusa de um dos triângulos retângulos formados: triângulos CDH 
BDH, BDM, ADM, CDN e ADN. 
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Considerando o triângulo BDH, teríamos: 
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A hipotenusa do triângulo acima é DB. 
Além disso, sabemos que o cosseno de um ângulo é igual ao cateto adjacente 
sobre a hipotenusa. Além disso, sabemos que o cosseno de 30o é igual a 
(temos que saber!). 
No triângulo BDH, teríamos: 
Cosseno 30o 
De acordo com a questão, devemos considerar que 
GABARITO: Certo 
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(Polícia Militar-ES-2010-Cespe) 
Considerando que os números x, x + 7 e x + 8 sejam as medidas, em 
centímetros, dos lados de um triângulo retângulo, julgue os próximos itens. 
8. A soma das medidas dos lados desse triângulo é superior a 28 cm. 
Resolução 
Vamos aos conceitos: 
O teorema de Pitágoras corresponde a seguinte relação: o quadrado da 
hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos catetos. 
a = hipotenusa (maior lado do triângulo retângulo) 
b = cateto 
c = cateto 
Teorema de Pitágoras: a2 = b2 + c2 
Em português, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da 
hipotenusa. 
Temos as seguintes medidas dos lados de um triângulo retângulo: 
x, x + 7 e x + 8. 
Repare o lado maior é x + 8, que, nesse caso, representa a hipotenusa (que é 
o maior lado de um triângulo retângulo). Portanto, os lados x e x + 7 são os 
catetos. 
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Lembrando que: 
Portanto, pelo Teorema de Pitágoras, teríamos: 
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Calculando as raízes da equação: 
Como x é um dos lados do triângulo retângulo, não pode 
Portanto, x = 5 e os lados do triângulo retângulo são: 
x = 5 cm 
x + 7 = 5 + 7 = 12 cm 
x + 8 = 5 + 8 = 13 cm 
A soma dos lados do triângulo retângulo é:Soma = 5 + 12 + 13 = 30 cm > 28 cm 
GABARITO: Certo 
9. A área desse triângulo é inferior a 32 cm2. 
Resolução 
Vamos relembrar o cálculo da área de triângulo: 
Triângulo: Área = a.h/2; Perímetro = a + b + c; 
a = base; h = altura 
Nota: Triângulo Eqüilátero de lado 
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Três caixas de água têm os seguintes formatos: paralelepípedo retângulo, com 
altura de 1 m e base quadrangular de 2 m de lado; cilíndrico, com altura de 1 
m e base circular de raio igual a 1 m; e cone invertido, com base circular de 1 
m de raio e altura igual a 3 m. Com referência a essas informações, tomando 
3,14 como o valor aproximado da constante n e desprezando a espessura das 
paredes das caixas, julgue os itens subsequentes. 
10. A caixa com o formato cônico tem um volume de 3,14 m3. 
Resolução 
Vamos aos conceitos: 
Cone: 
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No triângulo retângulo, temos que um dos catetos é a base e o outro é a 
altura. Portanto, a área de um triângulo retângulo é: 
a = base = cateto 1 
h = altura = cateto 2 
Área = (base x altura)/2 = (cateto 1 x cateto 2)/2 
Os catetos de nosso triângulo são: 
x = 5 cm 
x + 7 = 5 + 7 = 12 cm 
Portanto, a área será: 
= 5 x 6 = 30 cm2 < 32 cm2 Área = 
GABARITO: Certo 
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De acordo com os dados da questão, temos: cone invertido, com base circular 
de 1 m de raio e altura igual a 3 m. 
Repare que, como a questão fala em "caixa", o cone é invertido. Portanto, para 
visualizar a caixa basta colocar o cone acima ao contrário (com o vértice para 
baixo). 
O volume do cone seria: 
Volume = 3,14 m3 
11. A caixa com a maior capacidade é a que tem o formato de um 
paralelepípedo retângulo. 
Resolução 
Para sabermos qual é a caixa de maior capacidade, temos que calcular o 
volume de todos os sólidos dados (já calculamos o volume do cone no item 
anterior). 
Vamos aos conceitos: 
Paralelepípedo Retângulo: 
Área = 2.(ab + bc + ac) 
Volume = área da base x altura = a.b.c 
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Volume 
Onde: 
n = 3,14 (dado da questão) 
Raio = r = 1 m 
Altura = h = 3 m 
GABARITO: Certo 
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Cilindro reto: 
Vamos à resolução da questão: 
I - Cálculo do volume do paralelepípedo 
Dados da questão: paralelepípedo retângulo, com altura de 1 me base 
quadrangular de 2 m de lado. 
Sempre podemos calcular o volume dos sólidos pela regra geral, ou seja, o 
volume de um sólido é igual a área de sua base multiplicada pela altura. 
No caso do paralelepípedo, a base é um quadrado de lado 2 metros. Portanto, 
a área do quadrado é: 
Quadrado: quatro lados iguais (a) 
A altura do paralelepípedo é igual a 1 m. Portanto: 
Volume do Paralelepípedo = Área da Base x Altura = 4 x 1 = 4 m3 
II - Cálculo do volume do paralelepípedo cilíndrico (ou cilindro reto). 
Dados da questão: paralelepípedo cilíndrico, com altura de 1 m e base circular 
de raio igual a 1 m. 
Sempre podemos calcular o volume dos sólidos pela regra geral, ou seja, o 
volume de um sólido é igual a área de sua base multiplicada pela altura. 
No caso do cilindro, a base é um círculo de raio 1 metro. Portanto, a área do 
cilindro é: 
Circunferência e Círculo: circunferência é a linha que limita o círculo (parte 
interna). 
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Área do Quadrado = 
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Área do Círculo = n.R2 = 3,14 x 12 = 3,14 m2 
A altura do cilindro é igual a 1 m. Portanto: 
Volume do Cilindro = Área da Base x Altura = 3,14 x 1 = 3,14 m3 
Resumindo, temos: 
Volume do Cone = 3,14 m3 
Volume do Paralelepípedo Cilíndrico (Cilindro) = 3,14 m3 
Volume do Paralelepípedo Retângulo = 4 m3 
Portanto, a caixa com a maior capacidade é a que tem o formato de um 
paralelepípedo retângulo. 
GABARITO: Certo 
12. A caixa com o formato cilíndrico tem capacidade menor que a caixa com 
formato cônico. 
Resolução 
Conforme calculado no item anterior, a caixa com o formato cilíndrico 
tem a mesma capacidade que a caixa com formato cônico. 
GABARITO: Errado 
(TRE/ES-Nível Superior-2010-Cespe) 
No prisma reto da figura acima, que representa, esquematicamente, uma urna 
eletrônica, as bases são trapézios retos, em que a base maior mede 27 cm, a 
base menor, 14 cm, e a altura, 13 cm. A altura do prisma é igual a 42 cm. No 
retângulo da parte frontal do prisma mostrado na figura, em um dos 
retângulos destacados, localizam-se as teclas e, no outro, uma tela em que 
aparece a foto do candidato escolhido pelo eleitor. Para atender aos eleitores 
portadores de deficiência visual, cada tecla possui, além do caractere comum, 
sua correspondente representação na linguagem braille. Cada caractere na 
linguagem braille é formado a partir de seis pontos colocados em duas colunas 
paralelas de três pontos cada. Seguindo as regras da linguagem braille, cada 
caractere é formado levantando o relevo de alguns desses pontos, que pode 
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I - No prisma reto da figura acima, que representa, esquematicamente, 
uma urna eletrônica, as bases são trapézios retos, em que a base 
maior mede 27 cm, a base menor, 14 cm, e a altura, 13 cm. 
Portanto, as laterais da urna eletrônica são trapézios retângulos, com base 
maior de 27 cm, base menor de 14 cm e altura de 13 cm, conforme abaixo: 
Trapézio Retângulo ABCD ^ o s ângulos A e D são retos (iguais a 90°). 
Propriedades dos Trapézios: Considere um trapézio qualquer ABCD. 
1) A + D = B + C = 180° 
2) Caso o trapézio ABCD seja isósceles: 
2.1) Os ângulos de cada base são congruentes: A = B e D = C. 
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2.2) As diagonais são congruentes: AC = BD 
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ser apenas um ponto ou até cinco pontos. A partir dessas informações e 
considerando 1,4 como valor aproximado de 
seguem. 
julgue os itens que se 
13. Se duas urnas serão armazenadas, sem sobras de espaço, em uma caixa 
que tem a forma de um paralelepípedo retângulo, então a soma das dimensões 
dessa caixa será igual a 96 cm. 
Resolução 
Vamos interpretar a questão: 
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III - No retângulo da parte frontal do prisma mostrado na figura, em 
um dos retângulos destacados, localizam-se as teclas e, no outro, uma 
tela em que aparece a foto do candidato escolhido pelo eleitor. 
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17 
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IV - Para atender aos eleitores portadores de deficiência visual, cada 
teclapossui, além do caractere comum, sua correspondente 
representação na linguagem braille. Cada caractere na linguagem 
braille é formado a partir de seis pontos colocados em duas colunas 
paralelas de três pontos cada. Seguindo as regras da linguagem 
braille, cada caractere é formado levantando o relevo de alguns desses 
pontos, que pode ser apenas um ponto ou até cinco pontos. 
Exemplo de apresentação em Braille (seis pontos em duas colunas, três pontos 
em cada coluna, sendo que, cada caractere é formado levantando o relevo de 
alguns desses pontos): 
Vamos à resolução da questão: 
I - Se duas urnas serão armazenadas, sem sobras de espaço, em uma 
caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo,... 
A caixa tem a forma de um paralelepípedo retângulo. Portanto, a caixa seria no 
seguinte formato: 
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Se a duas urnas foram colocadas nessa caixa, sem sobra de espaço, então foi 
colocada uma urna sobre a outra, sendo que a urna de cima ficou de cabeça 
para baixo. É como se uma urna encaixasse na outra formando um único 
sólido sem sobre de espaço. Vamos visualizar as urnas: 
27 cm 14 cm 
Repare que a altura da caixa será igual a altura do trapézio lateral da urna (13 
cm), a largura da caixa será igual a soma da base menor do trapézio de uma 
urna com a base maior do trapézio da outra urna (27 cm + 14 cm = 41 cm) e 
o comprimento da caixa será igual à altura do prisma que a urna representa 
(42 cm). 
Portanto, a soma das dimensões da caixa seria: 
Soma das dimensões da caixa = 13 + 41 + 42 = 96 cm 
GABARITO: Certo 
14. A área da face da urna onde estão localizados a tela e as teclas é superior 
a 7 dm2. 
Resolução 
A face de urna onde estão localizadas a tela e as teclas é um retângulo. Um 
lado do retângulo é a altura do prisma (42 cm). O outro lado do retângulo 
corresponde a um dos lados do trapézio. Não temos o valor de desse lado, mas 
podemos calcular. 
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211 
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Altura do Prisma = 42 cm 
Base Maior = 27 cm 
Vendo somente o trapézio, teríamos: 
Repare que a base maior do trapézio corresponde ao segmento CD: 
CD = 27 cm 
A base menor corresponde ao segmento AB: 
AB = 14 cm 
Como o trapézio é retângulo, o ângulo dos vértices B e C é igual a 90o. 
Se traçarmos uma reta, partindo do vértice A, paralela ao lado CB, está reta 
também será perpendicular (ângulo de 90o) ao lado CD. Se a reta AH é 
paralela ao lado CB, então AB = CH. 
Portanto, formamos o triângulo retângulo AHD, onde: 
AH = BC = 13 cm 
HD = CD - CH = CD - AB = 27 - 14 = 13 cm 
De acordo com a questão, devemos considerar: 
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Área do Retângulo = 42 cm x 18,2 cm = 764,4 cm2 
Cuidado, pois o item informa a área em decímetros ao quadrado (dm2). Vamos 
relembrar: 
Para medir superfície: 
Quilômetro Quadrado (km2) = 1.000.000 m2 = 106 m2 
Hectômetro Quadrado (hm2) = 10.000 m2 = 104 m2 
Decâmetro Quadrado (dam2) = 100 m2 = 102 m2 
Metro Quadrado (m2) = 1 m2 
Decímetro Quadrado (dm2) = 0,01 m2 = 10-2 m2 
Centímetro Quadrado (cm2) = 0,0001 m2 = 10-4 m2 
Milímetro Quadrado (mm2) = 0,000001 m2 = 10-6 m2 
1 dm = 10 cm 
Se elevarmos os valores ao quadrado dos dois lados, a igualdade não se 
altera: 
GABARITO: Certo 
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Portanto, a área do retângulo lateral será: 
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15. O volume do prisma é superior a 11 dm3. 
Resolução 
O volume do prisma formado pela urna vai ser igual ao resultado da 
multiplicação da área da base (trapézio retângulo) pela altura do prisma (42 
cm). 
Lembre que, a regra geral para cálculo do volume de um sólido é essa: 
Volume do Sólido = Área da Base x Altura 
Vamos calcular a área do trapézio retângulo: 
Repare que a área do trapézio retângulo é formada pela soma das áreas do 
retângulo ABCH, de lados 13 cm (BC = AH) e 14 cm (AB = CH), com o 
triângulo retângulo AHD, de altura 13 cm (AH) e base 13 cm (HD). 
Área do Retângulo ABCH = AB x BC = 14 x 13 = 182 cm2 
Portanto, a área do trapézio retângulo será: 
Finalmente, o volume do prisma será: 
0 item informa o resultado em dm3 (dec/metros cúb/cos). Fazendo a 
conversão: 
1 dm = 10 cm 
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Fazendo uma regra de três: 
16. A quantidade de caracteres braille distintos que podem ser formados pelo 
aumento do relevo de apenas dois pontos em uma tecla é igual a 30. 
Resolução 
Essa é uma questão de análise combinatória, mas vamos resolver utilizando 
apenas bom senso. 
Cada tecla é formado por 6 pontos, na seguinte disposição: 
De acordo com o item, só teremos dois pontos em relevo. Vamos fixar o 
primeiro ponto em relevo na primeira posição e "andar" com outro. Veja 
quantos caracteres diferentes teríamos. 
• o 
• o 
o o 
• o 
o • 
o o 
• o 
o o 
• o 
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Pontos em relevo 
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• o 
o o 
o • 
Total de 5 caracteres. 
Agora, se fixarmos um ponto em relevo na segunda posição e "andarmos" com 
o outro. 
o • 
• o 
o o 
o • 
o • 
o o 
o • 
o o 
• o 
o • 
o o 
o • 
Total de 4 caracteres. 
Agora, se fixarmos um ponto em relevo na terceira posição e "andarmos" com 
o outro. 
o o 
• • 
o o 
o o 
• o 
• o 
o o 
• o 
o • 
Total de 3 caracteres. 
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Agora, se fixarmos um ponto em relevo na quarta posição e "andarmos" com o 
outro. 
O o 
o • 
o • 
Total de 2 caracteres. 
Finalmente, se fixarmos um ponto em relevo na quinta posição e "andarmos" 
com o outro. 
o o 
o o 
• • 
Total de 1 caractere. 
Portanto, o total de caracteres seria = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 
GABARITO: Errado 
17.(Fiscal de Rendas-ISS/RJ-2010-Esaf) Um círculo está inscrito em um 
triângulo eqüilátero que, por sua vez, está inscrito em outro círculo. Determine 
a razão entre a área do círculo maior e a área do círculo menor. 
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Resolução 
Vamos, novamente, relembrar os conceitos importantes sobre triângulos: 
Mediana: é um segmento de reta que passa por um vértice do triângulo e 
intercepta o lado oposto em seu ponto médio, ou seja, divide o lado oposto em 
duas partes iguais. 
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A 
Propriedade das Medianas de um Triângulo: as três medianas de um 
triângulo interceptam-se em um ponto G, denominado baricentro, que divide 
cada mediana em duas partes, onde a parte que contém o vértice é o dobro da 
outra. No triângulo acima, teríamos: 
Bissetriz Interna: é um segmento de reta que passa por um vértice do 
triângulo e divide o ângulo interno do vértice e duas partes iguais. 
P 
Propriedade das Bissetrizes Internas de um Triângulo: as três bissetrizes 
internas de um triângulo interceptam-se em um ponto S, denominado 
incentro, que está a igual distâncias dos lados do triângulo. 
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A 
B T P C 
A 
B T P C 
Mediatriz: é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo e que 
divide o lado em duas partes iguais. 
C 
a 
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Propriedade das Mediatrizes de um Triângulo: as três mediatrizes de um 
triângulo interceptam-se em um ponto O, denominado circuncentro, que está 
a igual distância dos vértices do triângulo. 
C 
No caso da questão, como o triângulo é eqüilátero, os centros dos círculos 
inscrito (dentro do triângulo) e circunscrito (fora do triângulo) ocupam a 
mesma posição. Teríamos a seguinte figura: 
A 
O ponto O é o centro dos círculos inscrito e circunscrito ao triângulo. Como o 
triângulo é eqüilátero (três lados iguais e três ângulos iguais a 60o), o 
segmento BM é perpendicular (90o) ao lado AC e divide o lado AC em duas 
partes iguais, assim como o segmento AH é perpendicular (90o) ao lado BC e 
divide o lado BC em duas partes iguais, assim como o segmento CN é 
perpendicular (90o) ao lado AB, e divide o lado AB em duas partes iguais. 
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Pela propriedade acima: 
Nota: O circuncentro é centro da circunferência inscrita no triângulo, onde o 
raio da circunferência é 
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Além disso, como o triângulo é eqüilátero, o segmento BM divide o ângulo B 
em dois ângulos iguais a 30o, assim como o segmento AH divide o ângulo B em 
dois ângulos iguais a 30o, o segmento CN divide o ângulo B em dois ângulos 
iguais a 30o. 
O raio do círculo circunscrito é igual a OC = OB = AO. 
O raio do círculo inscrito é igual a OM = ON = AH. 
Para calcular a razão das áreas, precisamos calcular os valores dos raios dos 
círculos inscrito e circunscrito ao triângulo em função do lado do triângulo 
eqüilátero (X) ou uma relação entre eles. Então, !et's go. 
Considerando o triângulo COH 
O 
H 
Portanto temos um triângulo retângulo, com os seguintes lados: 
Guarde esta relação, pois vale para os triângulos eqüiláteros: o raio do 
círculo circunscrito ao triângulo equilátero equivale a duas vezes o raio 
do círculo inscrito ao triângulo equilátero. 
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OH = Raio do círculo inscrito = r 
OC = Raio do círculo circunscrito = R 
Aqui, precisamos lembrar que: 
Usando as propriedades do triângulo retângulo: 
Multiplicando em cruz: 2 r = R 
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Circunferência e Círculo: circunferência é a linha que limita o círculo (parte 
interna). 
Portanto, a razão entre as áreas do círculo circunscrito e do círculo inscrito 
será: 
Razão = Área do Círculo Circunscrito/ Área do Círculo Inscrito 
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Área do Círculo Inscrito 
Área do Círculo Circunscrito 
Como R é igual a 2r: 
Área do Círculo Circunscrito 
GABARITO: E 
(Agente de Trabalhos de Engenharia-ISS/RJ-2010-Esaf) 
18. Considere um cubo C no qual a área de cada face mede 4 cm2. Sabendo-
se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une dois vértices não 
pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo C mede, em 
centímetros: 
Resolução 
Cubo: possui todas as dimensões (largura, comprimento e altura) iguais. 
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Vamos interpretar a questão: 
I - Considere um cubo C no qual a área de cada face mede 4 cm2. 
Um cubo possui 6 faces (lembra do dado, dos jogos de tabuleiro?) e cada face 
é um quadrado, 
Portanto, considerando um quadrado de lado a, teríamos: 
Como calcularemos a diagonal? Vejamos: 
Portanto, a diagonal AB pode ser calculada aplicando o Teorema de Pitágoras 
no triângulo ABC, que é retângulo em C. Já conhecemos um lado do triângulo 
(BC). 
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II - Sabendo-se que a diagonal do cubo é o segmento de reta que une 
dois vértices não pertencentes à mesma face, então a diagonal do cubo 
C mede, em centímetros: 
Outro conceito importante: a diagonal do cubo é o segmento de reta que une 
dois vértices não pertencentes à mesma face. 
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Repare, também, que o lado AC é a hipotenusa de outro triângulo (ACD) e 
pode ser calculado pelo Teorema de Pitágoras também: 
19. Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V, então o 
volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da base 2d é: 
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Resolução 
Cone: 
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Vamos interpretar a questão: 
I - Se o volume de um cone de altura h e diâmetro da base d é V,... 
Volume de um cone de altura h e diâmetro da base d. 
Lembre que o raio de um círculo é metade de seu diâmetro. Portanto, o raio da 
base será: 
d 
r = 
2 
Portanto, o volume V do cone será: 
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II - ...então o volume de um cone de mesma altura h e diâmetro da 
base 2d é 
Agora, temos um cone de altura h e diâmetro da base 2d. 
Lembre que o raio de um círculo é metade de seu diâmetro. Portanto, o raio da 
base será: 
Portanto, o volume V do novo cone será: 
Se multiplicarmos por 4 os dois lados da igualdade, ela não se altera: 
Substituindo (III) em (II): V = 4V 
GABARITO: B 
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20. Um quadrado de lado unitário está inscrito em um círculo que, por sua 
vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. Determine o valor mais 
próximo de L. 
a) 1,732 
b) 1,414 
c) 2 
d) 1,5 
e) 1,667 
Resolução 
Vamos interpretar a questão: 
I - Um quadrado de lado unitário está inscrito emum círculo... 
Portanto, temos um quadrado de lado igual a 1 (unitário) inscrito em um 
círculo. 
Há que se ressaltar que as diagonais do quadrado correspondem ao diâmetro 
do círculo circunscrito ao quadrado (se o quadrado está inscrito em um círculo, 
o círculo está circunscrito ao quadrado). 
Portanto, é possível calcular o diâmetro do círculo pelo Teorema de Pitágoras 
do triângulo retângulo formado pelos dois lados do quadrado (catetos) e a 
diagonal do quadrado (hipotenusa). 
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II - ...que, por sua vez, está inscrito em outro quadrado de lado L. 
Determine o valor mais próximo de L. 
Agora, o círculo anterior está inscrito em outro quadrado de lado L, ou seja, o 
outro quadrado está circunscrito ao círculo. 
Temos que saber o valor da 
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A 
Repare que o lado do quadrado equivale ao segmento AB. Mas quem é o 
segmento AB? É o próprio diâmetro do círculo já calculado. Portanto: 
L = Diâmetro do Círculo Inscrito = 1,414 
GABARITO: B 
21. Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, B, C e 
D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. Um ponto está sobre a 
diagonal BD a uma distância de 10m da intercessão das diagonais do 
quadrado. Qual é o valor mais próximo da distância deste ponto até o vértice 
C? 
a) 30 m 
b) 17,32 m 
c) 34,64 m 
d) 28,28 m 
e) 14,14 m 
Resolução 
Vamos interpretar a questão: 
I - Considere um terreno quadrado com área de 1600 m2 e vértices A, 
B, C e D, sendo que A e C são vértices não adjacentes. 
Portanto, temos um terreno quadrado com área de 1.600 m2, com vértices A, 
B, C e D. Além disso, os vértices A e C são não adjacentes, ou seja, não estão 
lado a lado. 
A B 
L 
D C 
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A área do quadrado é 1.600 m2. Portanto, podemos calcular o valor do lado L 
do quadrado. 
A questão fala em diagonal BD do quadrado. A diagonal do quadrado pode ser 
calculada pelo Teorema de Pitágoras utilizado no triângulo BDC, onde a 
diagonal BD é a hipotenusa e os lados do quadrado CD e BC são os catetos. 
Como já calculamos que o lado do quadrado é igual a 40 metros: 
Outro ponto importante no quadrado é o ponto O, que corresponde ao 
cruzamento das diagonais do quadrado (interseção das diagonais). Esse ponto 
divide a diagonal em duas partes iguais. Portanto, temos: 
Além disso, as diagonais são perpendiculares, ou seja, formam um ângulo de 
90o no ponto de interseção O. 
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Essa é fórmula geral para o cálculo da diagonal do quadrado: 
II - Um ponto está sobre a diagonal BD a uma distância de 10m da 
intercessão das diagonais do quadrado. Qual é o valor mais próximo 
da distância deste ponto até o vértice C? 
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Finalmente, se temos um ponto P sobre a diagonal BD que está a uma 
distância de 10 metros da interseção das diagonais, a distância de P ao vértice 
C pode ser calculada por meio do triângulo retângulo POC. Vejamos: 
A B 
D C 
L 
GABARITO: A 
22. O álcool x° GL tem X% de fração em volume composto por álcool etílico e 
o restante por água. Sendo assim, 750 ml de uma mistura em volumes iguais 
de álcool 96° GL e álcool 70° GL são, por sua vez, misturados com 250 ml de 
álcool com fração em volume desconhecida, resultando em um litro de álcool 
76° GL. Calcule a fração em volume desconhecida desses 250 ml de álcool. 
a) 46% 
b) 50% 
c) 55% 
d) 76% 
e) 83% 
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OP = cateto = 10 metros (dado da questão) 
PC = hipotenusa 
Aplicando o Teorema de Pitágoras: 
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Resolução 
Vamos fazer uma questão para relembrar conceitos de aulas anteriores? 
Vamos interpretar a questão: 
I - O álcool x° GL tem X% de fração em volume composto por álcool 
etílico e o restante por água. 
De acordo com a questão, X% de fração em volume do álcool xo GL é 
composto por álcool etílico e o restante, ou seja, (100% - X%), é água. 
Álcool xo GL: 
Álcool Etílico = X% 
Água = 100% - X% 
II - Sendo assim, 750 ml de uma mistura em volumes iguais de álcool 
96° GL e álcool 70° GL são, ... 
Repare que, inicialmente, temos uma mistura de 750 ml, em volumes iguais de 
álcool 96o GL e álcool 70o GL. Se são volumes iguais, metade da mistura é de 
álcool 96o GL e a outra metade é de álcool 70o GL. 
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Lembre que, de acordo o item I, se o álcool é xo GL, temos: 
Álcool Etílico = X% 
Água = 100% - X% = 1 - X% 
Portanto, para o álcool 96o GL, temos: 
Álcool Etílico = 96% 
Água = 100% - 96% = 4% 
Como temos, nessa mistura inicial, 375 m/ de álcool 96o GL: 
Álcool Etílico = 96% x 375 ml = 360 ml 
Portanto, para o álcool 70o GL, temos: 
Álcool Etílico = 70% 
Como temos, nessa mistura inicial, 375 m/ de álcool 70o GL: 
Álcool Etílico = 70% x 375 ml = 262,5 ml 
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Finalmente, nessa mistura inicial de 750 ml temos: 
Álcool Etílico = 360 ml + 262,5 ml = 622,50 ml 
III - ...por sua vez, misturados com 250 ml de álcool com fração em 
volume desconhecida, resultando em um litro de álcool 76° GL. 
Os 750 ml da mistura obtida no item II foram misturados a 250 ml de um 
álcool com fração em volume desconhecida, ou seja, o x0 GL do álcool mistura 
agora é desconhecido. 
Contudo, essa nova mistura de 1 litro (750 ml + 250 ml) originou um álcool 
76o GL. Portanto, para essa fração de álcool teríamos: 
Portanto, para o álcool 76o GL, temos: 
Álcool Etílico = 76% 
Água = 100% - 76% = 24% 
Como temos, nessa mistura inicial, 1 litro (= 1.000 ml) de álcool 96o GL: 
1 litro = 1.000 mililitros Volume Total do Álcool Etílico = 76% x 1.000 ml = 760 ml 
IV - Calcule a fração em volume desconhecida desses 250 ml de álcool. 
Como antes da mistura de 250 ml, tínhamos 622,50 ml de álcool etílico, o 
valor de álcool adicionado na mistura foi de: 
Volume Total do Álcool Etílico 760 
(-) Álcool Etílico Antes da Mistura de 250 ml (622,50) 
Volume de Álcool Adicionado na Mistura 137,50 ml 
Como foram adicionados 250 ml à mistura, é possível calcular a fração de 
álcool: 
137,50 
Fração em Volume de Álcool Etílico = = 0,55 = 55% de álcool etílico 
250 
r / _ 
Portanto, o álcool misturado aos 750 ml foi: Álcool 55o GL 
GABARITO: C 
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23. Dois ciclistas participam de uma corrida sendo que um deles, após uma 
queda, ficou 9 km atrás do outro. No entanto, considere que o ciclista que caiu 
e ficou atrás corre a uma velocidade 50% maior que o ciclista que está na 
frente e que o ciclista que caiu e ficou atrás consegue alcançar o da frenteem 
30 minutos. Assim, qual é a velocidade do ciclista que caiu, admitindo que as 
velocidades dos ciclistas podem ser consideradas constantes dadas as 
condições das pistas? 
a) 36 km/h 
b) 60 km/h 
c) 54 km/h 
d) 45 km/h 
e) 72 km/h 
Resolução 
Mais uma questão de matéria de aulas anteriores. É a teoria do caos. Risos. 
Afinal de contas, na hora da prova, vem tudo misturado! 
Vamos interpretar a questão: 
I - Dois ciclistas participam de uma corrida sendo que um deles, após 
uma queda, ficou 9 km atrás do outro. 
Portanto, temos uma corrida entre dois ciclistas. Um caiu e ficou 9 km atrás do 
outro. Vamos considerar o seguinte: 
Ciclista 1 = C1 
Ciclista 2 = C2 
Ciclista 2 caiu. Logo, C1 está 9 km a frente de C2. 
II - No entanto, considere que o ciclista que caiu e ficou atrás corre a 
uma velocidade 50% maior que o ciclista que está na frente ... 
A velocidade do ciclista 2 é 50% maior que a velocidade do ciclista 1. 
Velocidade do Ciclista 1 = V1 
Velocidade do Ciclista 2 = V2 
V2 = V1 + 50% x V1 = V1 + 0,50 x V1 = 1,50 x V1 
III - ...e que o ciclista que caiu e ficou atrás consegue alcançar o da 
frente em 30 minutos. 
Repare que temos uma questão de movimento uniforme. Antes de resolver, 
vamos estudar os conceitos. 
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Movimento Uniforme 
É o movimento que se caracteriza pela velocidade constante em qualquer 
instante ou intervalo de tempo. Podemos dizer ainda que o móvel percorre 
distâncias iguais em intervalos de tempos iguais. 
a = aceleração = zero 
v = velocidade = constante e diferente de zero 
s = posição no instante t 
s0 = posição no instante t0 
s = s0 + v.t 
Velocidade = Distância Percorrida/Variação do Tempo 
Voltando a nossa questão, temos (considerando que o momento 0 corresponde 
ao momento que o ciclista 2 está 9 km atrás do ciclista 1): 
De acordo com a questão, o ciclista 2 alcança o ciclista 1 após 30 minutos (0,5 
hora). Portanto, nesse momento, S2 deve ser igual a S1, o seja a distância 
percorrida pelo ciclista 2 será igual a distância percorrida pelo ciclista 1. 
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24. Por definição, um triângulo equilátero é o que tem os três lados iguais. 
Considere então a proposição: "Um triângulo é equilátero se e somente se os 
três ângulos são iguais". Uma conclusão falsa desta proposição é: 
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero 
é a de que os três ângulos sejam iguais. 
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. 
c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. 
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o 
triângulo não é equilátero. 
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns 
dos outros. 
Resolução 
De acordo com a questão: "Um triângulo é equilátero se e somente se os três 
ângulos são iguais" 
Vamos analisar as alternativas: 
a) uma condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero 
é a de que os três ângulos sejam iguais. 
A alternativa está correta, pois a expressão "se e somente se" indica que a 
condição necessária e suficiente para que um triângulo seja equilátero é a de 
que os três ângulos sejam iguais. 
b) os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais. 
Aqui, não há dúvida: os três ângulos de um triângulo equilátero são iguais 
(60o). A alternativa está correta. 
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IV - Assim, qual é a velocidade do ciclista que caiu, admitindo que as 
velocidades dos ciclistas podem ser consideradas constantes dadas as 
condições das pistas? 
V2 = 54 km/h 
Resolução 
Vamos interpretar a questão: 
I - Um quadrado possui um círculo circunscrito e um círculo inscrito. 
Qual a razão entre a área do círculo circunscrito e a área do círculo 
inscrito? 
Portanto, temos um quadrado com dois círculos, um circunscrito e outro 
inscrito. 
Vamos considerar que o quadrado possui lado L. 
Logo, o diâmetro do círculo inscrito é igual a L (segmento HM da figura abaixo) 
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e o diâmetro do círculo circunscrito é igual a 
lembra?). 
(diagonal de um quadrado, 
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c) um triângulo é equilátero somente se os três ângulos são iguais. 
Um triângulo será equilátero somente se o três ângulos forem iguais a 60o. A 
alternativa está correta. 
d) se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, então o 
triângulo não é equilátero. 
Se um dos ângulos de um triângulo é diferente de outro ângulo, ou seja, o 
triângulo não possui os três ângulos iguais, então ele não é equilátero. A 
alternativa está correta. 
e) se um triângulo não é equilátero, então os três ângulos são diferentes uns 
dos outros. 
Não necessariamente se um triângulo não é equilátero, os três ângulos são 
diferentes uns dos outros. Ele pode ser um triângulo isósceles, que possui dois 
ângulos iguais e um diferente. A alternativa está incorreta. 
GABARITO: E 
25.(Agente de Fazenda-ISS/RJ-2010-Esaf) Um quadrado possui um 
círculo circunscrito e um círculo inscrito. Qual a razão entre a área do círculo 
circunscrito e a área do círculo inscrito? 
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AC = Diagonal do Quadrado = Diâmetro do Círculo Circunscrito 
HM = BC = Lado do Quadrado = Diâmetro do Círculo Inscrito = 
Raio do Círculo Circunscrito = RC = Diâmetro/2 = 
Razão entre as áreas = Área do Círculo Circunscrito/ Área do Círculo Inscrito 
GABARITO: C 
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Raio do Círculo Inscrito = 
Área do Círculo Circunscrito 
Área do Círculo Circunscrito = 
Área do Círculo Inscrito = 
Área do Círculo Inscrito = 
Razão entre as áreas 
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26.(AFRFB-2009-Esaf) Um projétil é lançado com um ângulo de 30° em 
relação a um plano horizontal. Considerando que a sua trajetória inicial pode 
ser aproximada por uma linha reta e que sua velocidade média, nos cinco 
primeiros segundos, é de 900 km/h, a que altura em relação ao ponto de 
lançamento este projétil estará exatamente cinco segundos após o 
lançamento? 
a) 0,333 km 
b) 0,625 km 
c) 0,5 km 
d) 1,3 km 
e) 1 km 
Resolução 
Esta é uma questão de aplicação prática do triângulo retângulo e suas 
relações. 
A questão estabelece que a trajetória inicial pode ser aproximada por uma 
linha reta. Portanto, inicialmente, vamos determinar quanto que o projétil 
percorreu em 5 segundos: 
Velocidade Média = 900 km/h, ou seja, o projétil é capaz de percorrer 900 km 
em 1 hora. 
Fazendo uma regra de três: 
Portanto, temos o triângulo retângulo abaixo, onde a hipotenusa é distância 
percorrida e a altura do projétil após 5 segundos será um dos catetos: 
A questão pede a altura (h) que o projétil estará a 5 segundos do lançamento. 
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1 hora = 60 minutos = 60 x 60 = 3.600 segundos 
5 segundos 
Multiplicando em cruz: 
Distância x 3.600 = 900 x 5 
Contudo, a trajetória do projétil forma um ângulo de 30° em relação ao plano 
horizontal. 
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Das relações trigonométricas, temos: 
27.(ATRFB-2009-Esaf) Duas estradas retas se cruzam formando um ângulo 
de 90 graus uma com a outra. Qual é o valor mais próximo da distância 
cartesiana entre um carro que se encontra na primeira estrada, a 3 km do 
cruzamento e outro que se encontra na outra estrada a 4 km do mesmo 
cruzamento? 
Resolução 
Questão de triângulo retângulo clássico: 3, 4 e 5. 
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Seno 30° = 
Também sabemos que: Seno 30° 
Portanto, temos: 
GABARITO: B 
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28.(AFT-2010-Esaf) Quando se faz alguns lados de um polígono tenderem a 
zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número de lados 
podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. Dessa 
maneira, considere um quadrilátero com duas diagonais iguais e de 
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comprimento cada uma. Sendo A a área desse quadrilátero, então: 
Resolução 
A questão fala em um quadrilátero com duas diagonais iguais e de 
comprimento 
Se for um quadrado (área máxima): A diagonal será a hipotenusa de um 
triângulo retângulo, cujos catetos são dois lados do quadrado (X). 
De acordo com a questão, quando se faz alguns lados de um polígono 
tenderem a zero ele degenera naturalmente em um polígono de menor número 
de lados podendo até eventualmente degenerar em um segmento de reta. 
Como um segmento de reta possui área zero, teríamos: 0 < A < 25. 
GABARITO: D 
29.(ATRFB-2009-Esaf) Em uma superfície plana horizontal, uma esfera de 5 
cm de raio está encostada em um cone circular reto em pé com raio da base 
de 5 cm e 5 cm de altura. De quantos cms é a distância entre o centro da base 
do cone e o ponto onde a esfera toca na superfície? 
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Resolução 
Para resolver a questão vamos, inicialmente, utilizar a vista frontal do cone 
circular reto e da esfera. Repare que o raio da esfera é igual a altura do cone. 
A questão pede a distância entre A e B, onde: 
A = ponto onde a esfera toca na superfície 
B = centro da base do cone circular 
Portanto, como CB é a altura do triângulo (faz um ângulo reto com a 
superfície), temos que o ângulo DCB é igual a 45°. Lembre-se que a soma dos 
ângulos internos do triângulo é igual a 180°. 
Como a altura do cone é igual ao raio da esfera, OC é paralelo à superfície. 
Deste modo, o ângulo OCB é igual a 90°. Como o ângulo DCB é igual a 45°, 
temos: 
Ângulo OCE = ângulo OCB - ângulo DCB = 90° - 45° = 45° 
O triângulo OEC também é um triângulo retângulo, pois o ponto de tangência 
entre a esfera e a lateral do cone forma um ângulo reto (90°). Portanto, 
temos: 
Triângulo OEC: 
Ângulo OEC = 90° 
Ângulo OCE = 45° 
Ângulo COE = 180° - 90° - 45° = 45° 
Logo, o triângulo OEC também é um triângulo retângulo isósceles e: 
OE = EC = 5 
Pelo Teorema de Pitágoras: 
Como OC é paralelo à superfície, 
GABARITO: D 
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Repare que o triângulo BCD é um triângulo retângulo isósceles 
Resolução 
Vamos relembrar algumas relações: 
Partindo do valor para achar o ângulo (a questão não irá informar 
estes valores ^ temos que saber para a prova): 
Partindo do valor para achar o ângulo: 
Arco Seno 0° 30° 45° 60° 90° 
Arco Cosseno 90° 60° 45° 30° 0° 
cos (x - y) = cos (45° - 30°) ^ aqui, temos que utilizar a equação de 
diferença de ângulos para o cosseno, tendo em vista que não conhecemos o 
valor de cos 15°, que é 45° - 30°. 
Relembrando: 
Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
cos (45° - 30°) = cos 45° . cos 30° + sen 45° . sen 30° ^ 
então o valor da expressão cos(x - y) é 
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30.(Analista de Finanças e Controle-CGU-2008-Esaf) Sabendo que 
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Vamos aproveitar para relembrar outras relações importantes: 
Cosseno da soma: cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b 
Cosseno da diferença: cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b 
Seno da soma: sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a 
Seno da diferença: sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a 
Curiosidade: A fórmula do seno da soma me faz lembrar um professor meu 
do antigo "segundo grau" (é, estou ficando velho), que dizia (para memorizar 
a fórmula): 
"Minha terra tem palmeiras onde canta o sabiá, seno a cosseno b, seno 
b cosseno a". E aí, sentiu a sonoridade? Risos. 
Tangente da soma: tg (a + b) = 
Tangente da diferença: tg (a - b) = 
Cotangente da soma: cotg (a + b) = 
Cotangente da diferença: cotg (a - b) = 
GABARITO: A 
31.(Auditor-Fiscal do Trabalho-MTE-2006-Esaf) Sabendo-se que 3 cos x 
+ sen x = -1, então um dos possíveis valores para a tangente de x é igual a: 
a) -4/3 
b) 4/3 
c) 5/3 
d) -5/3 
e) 1/7 
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Resolução 
3 cos x + sen x = -1 (I) 
A questão só fornece uma equação, mas temos que conhecer a equação 
oriunda do Teorema de Pitágoras (equação fundamental): 
sen2 x + cos2 x = 1 (II) 
Portanto, temos um sistema: 
3 cos x + sen x = -1 (I) 
sen2 x + cos2 x = 1 (II) 
De (I), temos: sen x = -1 - 3 cos x (III) 
Substituindo (III) em (II): 
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Nota: Se A x B = 0, ou A = 0 ou B = 0 ou A e B = 0. 
GABARITO: A 
Soluções da equação: cos x . (10 cos x + 6) = 0 
cos x = 0 
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32.(Analista de Finanças e Controle-STN-2005-Esaf) O sistema dado 
pelas equações 
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possui duas raízes, x e y. Sabendo-se que "a" é uma constante, então a soma 
dos quadrados das raízes é igual a 
Resolução 
Dica: em questões deste tipo, tente sempre obter os quadrados dos 
senos e cossenos para tentar substituir pela equação abaixo (equação 
fundamental): 
x.cos a + y.sen a = sen 2a 
Lembrando da equação: sen2 x + cos2 x = 1 (esta fórmula tem que estar "no 
sangue". Você precisa comer a fórmula com "arroz e feijão"), temos: 
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Logo, a fórmula fica: x2 + y2= 1 (que é a resposta da questão: soma 
dos quadradosdas raízes) 
GABARITO: A 
33.(Analista de Finanças e Controle-STN-2002-Esaf) A expressão dada 
por y = 4 (cosseno x) + 4 é definida para todo número x real. Assim, o 
intervalo de variação de y é: 
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Resolução 
Vamos estudar alguns conceitos: 
Resolvendo a questão: 
y = 4 (cosseno x) + 4 
Sabemos que -1 < cosseno x < 1 
Portanto, calculando y para os limites do intervalo do cosseno, temos: 
34.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) Sabendo que x = 3 sen t e y = 
4 cos t, então, uma relação entre x e y, independente de t é dada por: 
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Resolução 
Observe que, nesta questão, novamente, temos que tentar obter: 
2 2 
sen2 x + cos2 x = 1 
x = 3 sen t (I) 
y = 4 cos t (II) 
Multiplicando (I) por 4: 4x = 12 sen t (I') 
Multiplicando (II) por 3: 3y = 12 cos t (II') 
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1 04 
35.(Oficial de Chancelaria-MRE-2002-Esaf) A função composta de duas 
funções f(x) e g(x) é definida como (g o f) (x) = g[f(x)]. Sejam as funções f(x) 
= sen2 (x -1) e g(x) = x - 1. Então, (f o g) (2) é igual a: 
Resolução 
Temos que: (g o f) (x) = g[f(x)] 
f(x) = sen2 (x -1) 
g(x) = x - 1 
Cuidado! Repare que a questão explica a função (g o f) (x) = g[f(x)], mas 
pede a função (f o g) (inverteu o f com o g). 
(f o g) (2) = f[g(2)] 
g(2) = 2 - 1 = 1 
Como f[g(2)] = f(1), pois g(2) = 1, temos: (f o g) (2) = f(1) 
GABARITO: E 
Elevando (I') ao quadrado: (4x)2 = (12 sen t)2 : 
Elevando (II') ao quadrado: (3y)2 = (12 cos t)2 
Somando ( I ' ' ) com (II ' ' ): 
16x2 + 9y2 = 144 sen2 t + 144 cos2 t = 144 . (sen2 t + cos2 t) 
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36.(Analista de Finanças e Controle-SFC-2001-Esaf) A condição 
necessária e suficiente para a identidade sen 2 a = 2 sen a ser verdadeira é 
que a seja, em radianos, igual a: 
a) -1 < y < 7 
b) -7 < y < 1 
c) -7 < y < -1 
d) 1 < y < 7 
e) 1 < y < 7 
Resolução 
y = 3 sen x + 4 
Sabemos que -1 < seno x < 1 
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4444 
Logo, a solução, considerando as duas possibilidades é: nrc sendo n um 
número inteiro qualquer. 
GABARITO: C 
37.(Analista de Finanças e Controle-STN-2000-Esaf) A expressão dada 
por y = 3 sen x + 4 é definida para todo número x real. Assim, o intervalo 
de variação de y é 
Logo, temos duas possibilidades: 
ou 
c) n % sendo n um número inteiro qualquer 
d) n n/2, sendo n um número inteiro qualquer 
e) n n/3 ,sendo n um número inteiro qualquer 
Resolução 
Relembrando: 
sen (a + a) = sen 2a = sen a . cos a + sen a . cos a = 2 . sen a . cos a 
a) 
b) 
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Portanto, calculando y para os limites do intervalo do seno, temos: 
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Logo, 1 < y < 7 
GABARITO: E 
38.(AFTN-1998-Esaf) O valor de y para o qual a expressão trigonométrica: 
(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 representa uma identidade é: 
a) 2 
b) 0 
c) -1 
d) -2 
e) 1 
Resolução 
Para que a identidade seja satisfeita, pelo menos um dos termos deve ser zero 
(raízes da equação). 
Logo, temos: 
ou 
39.(AFTN-1998-Esaf) Sejam três retas: a reta R1 que é a bissetriz do 
primeiro quadrante; a reta R2 que é a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 
que é dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do triângulo cujos lados 
coincidem com essas três retas é: 
seno x = 
seno x = 
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a) 1,5 
b) 2,5 
c) 0,5 
d) 2 
e) 1 
Resolução 
Bissetriz ^ divide o ângulo em dois ângulos iguais. 
Ciclo Trigonométrico possui raio igual 1. 
Exemplo: Cosseno 0° = 1 
2Q = Segundo Quadrante 
3Q = Terceiro Quadrante 
4Q = Quarto Quadrante 
A questão pede área do triângulo formado pelas retas acima (Triângulo ABC). 
Repare que a distância AH é igual a 1 (raio do ciclo trigonométrico). Com isso, 
conseguimos obter os outros lados do triângulo, pois: 
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1 04 
1Q = 
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Lembrando a tabela: 
Considerando o triângulo retângulo ACH (ângulo reto = 90° em H): 
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Angulo 
Seno 
Cosseno 
Tangente 
Cotangente 
Considerando o triângulo retângulo ABH (ângulo reto = 90° em H): 
Tangente 45° = 
Tangente 45° = 
Área do Triângulo ABC = (Base x Altura)/2 
Podemos considerar como base o lado BC e a altura seria AH: 
BC = BH + CH = 1 + 1 = 2 
AH = 1 (raio do ciclo trigonométrico) 
Área do Triângulo ABC = 2 x 1/2 = 1 cm2 
GABARITO: E 
40.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e 
Previdência Social-MA-2009-FCC) Entre 110° e 170°, o ângulo que possui 
seno igual ao cosseno de 30° é 
(A) 120° 
(B) 130° 
(C) 145° 
(D) 150° 
(E) 160° 
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Resolução 
Pela nossa tabe a de valores: 
Portanto, o cosseno de 30° é igual ao seno de 120°. 
GABARITO: A 
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41.(Professor de Matemática-Secretaria de Estado da Administração e 
Previdência Social-MA-2009-FCC) Uma torre vertical será fixada ao solo 
conforme indica a figura. 
Adotando tg 27° = 0,5, conclui-se que a medida do ângulo formado entre os 
dois cabos de menor comprimento, ambos do mesmo lado da torre, indicada 
na figura por x, é igual a 
(A) 18° 
(B) 21° 
(C) 23° 
(D) 26° 
(E) 29° 
Resolução 
Repare que temos os seguintes triângulos retângulos: o menor, que possui o 
ângulo y, e o maior, que possui o ângulo x + y. 
6 
6 
12 
Repare que, se fôssemos calcular a tangente de y, no triângulo menor, 
teríamos: 
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É dado da questão, por não ser um ângulo conhecido, que tg 27° = 0,5. 
Portanto, temos que y é igual a 27°. 
No triângulo maior, temos: 
Este ângulo, temos que saber. Da nossa tabela, tg 45° = 1. Portanto, temos: 
GABARITO: A 
42.(Professor de Matemática-Secretaria do Estado da Educação-SP-
2010-FCC) Qualquer que seja o número real x, a expressão sen4x - cos4x é 
equivalente a 
(A) 2cos2 x - 1 
(B) 1 - sen2x 
(C) cos2x 
(D) -2cos2 x + 1 
(E) sen2x 
Resolução 
Temos que um conceito sobre equações. Sabemos que: 
a2 - b2 = (a + b).(a - b) 
Se consideramos que: 
a = sen2 x 
b = cos2 x 
a2 - b2 = (sen2 x)2 - (cos2