Curso Online de Estatística Descritiva

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Curso Online - Raciocínio Lógico-Quantitativo para Traumatizados em 
Exercícios, incluindo Matemática, Matemática Financeira e Estatística 
Profs. Alexandre Lima e Moraes Junior 
Aula 6 - Questões Comentadas e Resolvidas 
Estatística Descritiva. Gráficos, tabelas, séries, tipos de variáveis, 
distribuições de freqüência, medidas de posição (média, mediana e 
moda), medidas de dispersão (desvio padrão etc.), medidas de 
assimetria, medidas de curtose, diagramas de caixa (box plots) e 
diagrama de ramo-e-folhas. 
Olá, tudo bem? Esperamos que você esteja aproveitando bastante as nossas 
aulas de raciocínio lógico-quantitativo. Hoje inicia-se uma nova etapa deste 
curso, em que aprenderemos, juntos, probabilidade, estatística e análise 
combinatória, ou simplesmente "estatística", como alguns preferem. 
Reconhecemos que o assunto não é de fácil compreensão. Um bom 
aproveitamento desta nova matéria requererá muita dedicação e esforço, o 
que significará, na prática, que você deverá treinar exaustivamente por meio 
da resolução dos exercícios. Garantimos que se você treinar, treinar e treinar, 
o bom desempenho na prova de raciocínio lógico-quantitativo será mera 
consequência do treinamento. Por outro lado, a tarefa dos professores 
consistirá em apresentar os elementos sensíveis do assunto, numa ordem 
sugestiva e com uma distribuição adequada do conteúdo. Nós o incentivamos a 
perguntar via forum web sempre que tiver dúvidas. 
Acreditamos que o segredo para ser aprovado em qualquer concurso reside na 
capacidade de abstrair, que consiste, a rigor, em apreender o essencial e 
ignorar o incidental, ver o que é significativo e pôr de lado o irrelevante, 
reconhecer o importante como importante e o negligenciável como 
negligenciável. Portanto, o importante é que você chegue ao final deste 
módulo com uma compreensão razoável das ideias fundamentais da estatística 
que será cobrada na prova. Não tente aprender tudo o que será ensinado de 
uma só vez. Há que digerir os conceitos. A nossa experiência mostra que quem 
tenta aprender tudo de uma só tacada não aprende nada. 
Voltemos ao curso. Aprenderemos estatística através de exercícios até a aula 
13 (11/11). É uma longa caminhada (mas valerá a pena, pode estar certo(a) 
disso!). Não obstante, continuaremos a propor exercícios para revisar os 
assuntos que foram ensinados até a aula 5 (matemática básica, matemática e 
raciocínio lógico). Esses exercícios serão propostos ao final da aula, na seção 
intitulada "Exercícios de Revisão". Na aula 7 (próxima aula) serão propostos 
exercícios de revisão dos conceitos vistos até a aula 6, e assim 
sucessivamente. Com esta metodologia, esperamos que você mantenha o 
treinamento nos tópicos vistos até a aula atual. 
Vamos começar? 
Julgue os itens a seguir. 
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1. A estatística descritiva usa os dados de uma amostra para fazer estimativas 
e testar hipóteses a respeito das características de uma população. 
Resolução 
O item dá a definição de Inferência Estatística. Aproveitaremos a 
oportunidade para enunciar os conceitos de população e amostra. 
POPULAÇÃO 
Uma população é o conjunto de todos os elementos de interesse em 
determinado estudo. 
AMOSTRA 
Uma amostra é um subconjunto de uma população. 
GABARITO: Errado 
2. A inferência estatística aborda a organização e a descrição dos dados 
experimentais. 
Resolução 
O item define a Estatística Descritiva. Detalhemos um pouco mais a 
definição. 
A maioria das informações estatísticas publicadas no jornais, revistas, 
relatórios de empresas, etc., consiste em dados sumariados e apresentados de 
forma fácil de entender para o leitor. Esses sumários de dados, que podem ser 
tabulares, gráficos ou numéricos, são conhecidos como Estatística Descritiva. 
GABARITO: Errado 
3. Uma variável estatística será qualitativa quando resultar de uma 
classificação por tipos ou atributos. 
Resolução 
A variável será qualitativa quando resultar de uma classificação por tipos ou 
atributos, como, por exemplo: 
a) População: moradores de uma cidade. 
Variável: sexo (masculino ou feminino). 
b) População: peças produzidas por uma máquina. 
Variável: qualidade (perfeita ou defeituosa). 
GABARITO: Certo 
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4. Uma variável estatística será quantitativa quando seus valores forem 
expressos em números. 
Resolução 
Item certo. As variáveis quantitativas podem ser discretas ou contínuas. Uma 
variável contínua é aquela cujos possíveis valores pertencem a um intervalo de 
números reais e que resulta de uma mensuração, como, por exemplo, a 
estatura de um indivíduo. Uma variável discreta é aquela cujos possíveis 
valores formam um conjunto finito ou enumerável de números, e que 
resultam, freqüentemente, de uma contagem. 
Exemplos de variáveis discretas: 
a) População: casais residentes em um distrito de uma cidade. 
Variável: número de filhos. 
b) População: carros produzidos em uma linha de montagem. 
Variável: número de defeitos por unidade. 
Exemplos de variáveis contínuas: 
a) População: detergentes de uma certa marca e tipo. 
Variável: peso líquido. 
b) População: peças produzidas por uma máquina. 
Variável: diâmetro externo. 
GABARITO: Certo 
5. O rol é um arranjo dos dados brutos. 
Resolução 
Um rol é um arranjo dos dados em ordem crescente ou decrescente. 
Assim, {10, 8, 20, 12, 15, 3, 2, 4} são dados brutos e {2, 3, 4, 8, 10, 12, 15, 
20} constituem o rol. 
GABARITO: Errado 
6. Série estatística é toda tabela que apresenta um conjunto de dados 
estatísticos distribuídos em função da época, do local ou da espécie. 
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Resolução 
A definição é correta. As séries estatísticas podem ser classificadas em 
• históricas; 
• geográficas; 
• específicas; e 
IPCA (%) 
Jun/2011 0,15 
Mai/2011 0,47 
Abr/2011 0,77 
Mar/2011 0,79 
Fev/2011 0,80 
Jan/2011 0,83 
Dez/2010 0,63 
Nov/2010 0,83 
Out/2010 0,75 
Set/2010 0,45 
Ago/2010 0,04 
Jul/2010 0,01 
Jun/2010 0,00 
Fonte: IBGE 
2) Série geográfica: os 10 maiores PIB do mundo 
PIB 2010 
País US$ (bilhões) 
EUA 14.582 
China 5.878 
Japão 5.497 
Alemanha 3.309 
França 2.560 
Reino Unido 2.246 
Brasil 2.087 
Itália 2.051 
Canadá 1.574 
Fonte: Banco Mundial 
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distribuição de frequências. 
Exemplos: 
1) Série histórica: Índice Nacional de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA) 
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3) Série específica: número de formandos por curso de graduação de uma 
universidade 
NÚMERO DE ALUNOS 
EGRESSOS - 2010 
Cursos No de egressos 
Engenharia 100 
Direito 250 
Administração 150 
Economia 50 
Contabilidade 50 
(*) Valores hipotéticos 
4) Distribuição de frequências: 
Altura dos alunos de uma 
academia ginástica 
Alturas (m) No de alunos 
1,50 |-- 1,60 25 
1,60 |-- 1,70 45 
1,70 |-- 1,80 80 
1,80 |-- 1,90 15 
1,90 |-- 2,00 5 
2,00 |-- 2,10 1 
(*) Valores hipotéticosA frequência de um dado valor de uma variável (qualitativa ou quantitativa) é 
definida como o número de vezes que esse valor foi observado. Seja f a 
frequência do i-ésimo valor observado. Se o número total de elementos 
observados é n, então vale a relação 
em que k denota o número de diferentes valores existentes da variável. 
A associação das respectivas frequências a todos os diferentes valores 
observados define a distribuição de frequências do conjunto de valores 
observados. Também podemos trabalhar com a noção de frequência relativa 
de um valor observado, definida como 
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Observe que 
10,4 10,5 10,8 10,2 10,6 
10,6 10,2 10,7 10,4 10,5 
10,3 10,5 10,4 10,7 10,4 
10,9 10,5 10,3 10,6 10,5 
10,4 10,5 10,6 10,9 10,7 
Na Tabela abaixo, temos os dados acima organizados em termos de 
frequências e de frequências relativas, simples e acumuladas. 
xi fi Fi pi Pi 
10,2 2 2 0,08 0,08 
10,3 2 4 0,08 0,16 
10,4 5 9 0,20 0,36 
10,5 6 15 0,24 0,60 
10,6 4 19 0,16 0,76 
10,7 3 22 0,12 0,88 
10,8 1 23 0,04 0,92 
10,9 2 25 0,08 1,00 
25 1,00 
A próxima figura é uma representação gráfica das duas primeiras colunas da 
Tabela acima. É importante que você aprenda a interpretar corretamente o 
gráfico da figura a seguir. Por exemplo, a frequência 2 associada ao valor 10,3 
quer dizer, na verdade, que temos dois valores compreendidos entre os limites 
10,25 e 10,35, que foram aproximados, no processo de medição, para 10,3. 
Portanto, uma representação gráfica correta deverá associar a frequência 2 ao 
intervalo 10,25 - 10,35. Isto é feito por meio de uma figura formada com 
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retângulos cujas áreas representam as frequências dos diversos 
intervalos existentes. 
A distribuição de frequências é o tipo de série mais importante para a prova. 
Exemplo. Considere a variável comprimento de peças produzidas em uma 
fábrica, dada em centímetros: 
histograma. Tal figura é denominada 
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No caso das variáveis contínuas, as frequências sempre serão associadas a 
intervalos de variação da variável e não a valores individuais. Tais intervalos 
são chamados de classes de frequências. Estas classes são usualmente 
representadas pelos seus pontos médios. 
GABARITO: Certo 
7. A média dos números 3, 4, 8, 11 e 13 é maior que 7. 
Resolução 
Generalizando o resultado obtido, temos que a média aritmética, ou média, de 
um conjunto de n números xl3x2,...,xn é definida por (leia-se "x barra") 
GABARITO: Certo 
8. Se 4, 7, 5, 2 ocorrerem com as frequências 3, 2, 4 e 1, respectivamente, a 
média aritmética será um número entre 5 e 6. 
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Média = 
Resolução 
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Em geral, se k valores distintos observados xl3x2,...,xk ocorrerem com as 
frequências f1, f2,..., fk, respectivamente, a média será 
em que pj denota a j-ésima frequência relativa. 
INTERPRETAÇÃO DA MÉDIA 
A média caracteriza o centro da distribuição de frequências; fazendo uma 
analogia com a mecânica, poderíamos interpretar a média como sendo o 
"centro de gravidade" de uma distribuição de frequências. 
PROPRIEDADES DA MÉDIA 
a) multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante, a 
média do conjunto fica multiplicada por essa constante. Seja x a variável de 
GABARITO: Errado 
9. Seja a distribuição em classes de frequência dada na tabela abaixo. 
Classe 
(limites reais) 
fi xi (ponto 
médio do 
intervallo) 
xifi 
40,0 - 45,0 6 42,5 255 
45,0 - 50,0 16 47,5 760 
50,0 - 55,0 32 52,5 1.680 
55,0 - 60,0 24 57,5 1.380 
60,0 - 65,0 14 62,5 875 
65,0 - 70,0 6 67,5 405 
70,0 - 75,0 2 72,5 145 
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Então a média da distribuição é inferior a 60. 
Resolução 
interesse, c um valor constante e y = cx. Então 
b) somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma 
variável, a média do conjunto fica acrescida ou diminuída dessa constante. 
Seja x a variável de interesse, c um valor constante e 
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O cálculo acima mostra que todos os valores incluídos num certo intervalo de 
classe devem ser considerados coincidentes com o ponto médio do intervalo 
quando os dados são apresentados em uma distribuição de frequências. 
GABARITO: Certo 
GABARITO: Errado 
11. O desempenho em um curso de graduação é avaliado por meio das notas 
obtidas nas provas bimestrais P1 e P2 e pela nota de Atividades (A). Sabendo-
se que a P2 tem peso 5, que a P1 tem peso 2 e que A tem peso 3, então a 
média final do aluno que obteve as notas (em uma escala de 0 a 10) P1 = 5,0, 
P2 = 4,5 e A=8,5 é maior que 5,0. 
Resolução 
MÉDIA PONDERADA 
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10. As médias geométrica e harmônica dos números 2, 4 e 8 são, em valores 
aproximados, iguais a 3,43 e 4, respectivamente. 
Resolução 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
MÉDIA HARMÔNICA 
Generalização das fórmulas das médias geométrica e harmônica: 
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Generalização da fórmula da média ponderada: 
iguais. 
GABARITO: D 
13. (ATM-Recife/2003/ESAF) Em uma amostra para obter-se informações 
sobre a distribuição salarial de homens e mulheres, encontrou-se que o salário 
médio vale R$ 1.200,00. O salário médio observado para homens foi de R$ 
1.300,00 e para as mulheres foi de R$ 1.100,00. Assinale a opção correta: 
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denotam os fatores de ponderação ou pesos. 
Nota: a média geométrica de um conjunto de números positivos 
menor do que ou igual a sua média aritmética, mas é maior do que ou igual a 
sua média harmônica: 
GABARITO: Certo 
12. (Analista da SUSEP/2006/ESAF) Para um conjunto determinado de 
Resolução 
A média geométrica (G) de um conjunto de números positivos 
menor ou igual a média aritmética 
harmônica: 
mas é maior ou igual a média 
A igualdade entre as médias ocorre quando todos os números 
números positivos temos: como a média aritmética, G como a média 
geométrica e H como a média harmônica, podemos afirmar que 
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A) O número de homens na amostra é igual ao número de mulheres. 
B) O número de homens na amostra é o dobro do número de mulheres. 
C) O número de homens na amostra é o triplo do número de mulheres. 
D) O número de mulheres na amostra é o dobro do número de homens. 
E) O número de homens na amostra é o quádruplo do número de mulheres. 
Resolução 
Dados fornecidos: 
Os dados fornecidos pela banca sugerem que a questão poderá ser resolvida 
através da aplicação da fórmula da média combinada, a qual corresponde à 
1.300 Nh + 1.100 NM = 1.200NH + 1.200 NM 
A nossa tentativa deu certo. Concluímos que o número de homens na amostra 
é igual ao número de mulheres (alternativa "A"). 
GABARITO: A 
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- média salarial dos homens: 
- média salarial das Mulheres: 
- salário médio (média combinada) 
Variáveis incógnitas: 
- NH: número de homens; 
- NM: número de mulheres. 
O que esta questão está cobrando? O que está por detrás das alternativas? 
Diríamos que a pergunta a ser respondida é a seguinte: 
Qual é a relação existente entre as variáveis 
média ponderada das médias salariais 
certo? Então vamos lá. 
Não custa nada tentar, 
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Julgue os itens a seguir. 
14. A mediana da série ordenada {12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30} é 20. 
Resolução 
A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n ímpar, é 
definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Na questão, n = 9 e 
(n+1)/2 = (9+1)/2 = 10/2 = 5, ou seja, a mediana é o quinto valor da série: 
{12, 14, 15, 19, 20, 22, 26, 27, 30}. 
Classe frequência 
40,0 - 45,0 6 
45,0 - 50,0 16 
50,0 - 55,0 32 
55,0 - 60,0 24 
60,0 - 65,0 14 
65,0 - 70,0 6 
70,0 - 75,0 2 
Soma: 100 
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mediana = 20 
Se n for par, consideraremos a mediana como o valor médio entre os valores 
de ordem n/2 e (n/2) + 1 do conjunto de dados. Exemplo: 
A mediana dos oito valores já ordenados, 
12 14 15 19 20 26 27 30 
é igual a (19+20)/2 = 19,5. 
A mediana caracteriza o centro de uma distribuição de frequências com base 
na ordem dos valores que formam o conjunto de dados. A mediana é o 
valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. A mediana é o 
valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% menores 
valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. 
GABARITO: Certo 
15. Considere os dados da tabela a seguir. A mediana dessa distribuição é 
menor que 50. 
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Resolução 
Você não precisa decorar nenhuma fórmula para saber determinar o valor da 
mediana, haja vista que ela pode ser obtida através da aplicação de uma mera 
regra de três. Então como é que a gente calcula a mediana? Vamos lá. A 
princípio não sabemos o valor exato da mediana. Mas isso não nos impede de 
determinar a sua classe (esse é o "pulo do gato"!). A tabela mostra que a 
primeira classe tem frequência 6%, a segunda tem frequência 16% e a 
terceira tem frequência 32%. Note que 6% + 16% = 22%, sendo este o valor 
da frequência acumulada até a segunda classe. A frequência acumulada da 
terceira classe é 22% + 32% = 54%. Agora precisamos dar uma parada. 
Repare que a frequência acumulada da terceira classe é 54% > 50%. Logo, a 
terceira classe contém a mediana (e é por isso que o item é errado). Deve-se 
montar a seguinte regra de três: 
a amplitude da classe da mediana (55,0 - 50,0 = 5,0) está para a 
frequência da classe da mediana (32), assim como a amplitude da classe 
até a mediana (X) está para a frequência acumulada até a mediana 
subtraída da frequência acumulada até a classe inferior à classe da 
mediana (50% - 22% = 28%): 
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Portanto, 
mediana = 50,0 + X = 54,375. 
O procedimento de cálculo da mediana descrito acima pode ser generalizado 
por meio da fórmula 
acima supõe que os valores observados da variável tenham se distribuído 
homogeneamente dentro das diversas classes. 
COMENTÁRIOS 
Em certos casos práticos, como aqueles que envolvem distribuições de 
frequência com valores extremos, é mais conveniente usar a mediana como 
medida de tendência central, pois a média sofre influência de valores 
em que L é o limite inferior da classe que contém a mediana, n é o número de 
elementos do conjunto de dados, é a soma das frequências das classes 
anteriores à que contém a mediana, é a frequência da classe que contém a 
é a amplitude da classe que contém a mediana. A expressão 
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extremos. Neste caso, a mediana fornecerá uma melhor idéia do centro da 
distribuição de frequências da variável sob análise. 
A mediana de uma distribuição em classes de frequências pode ser 
geometricamente interpretada como o ponto tal que uma vertical por ela 
traçada divide a área sob o histograma em duas partes iguais. 
A mediana e a média são coincidentes quando a distribuição é simétrica. Em 
distribuições assimétricas, a média tende a deslocar-se para o lado da cauda 
mais longa (vide figura abaixo). 
Distribuição 
Distribuição assimétrica 
simétrica 
média = mediana 
A mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos 
com igual número de elementos. Há outras maneiras de se dividir os dados 
ordenados. Os quartis (Q1, Q2, Q3) dividem o conjunto ordenado de valores 
em quatro subconjuntos com igual número de elementos. O primeiro quartil 
(Q1) ou quartil inferior (Q) delimita os 25% menores valores; o segundo 
quartil é a própria mediana e o terceiro quartil (Q3) ou quartil superior (Qs) é o 
valor que separa os 25% maiores valores (veja a próxima figura). Além dos 
quartis, podemos definir os decis (D1, D2,..., D9), que são os valores que 
dividem os dados ordenados em dez partes iguais (note que a mediana 
corresponde ao quinto decil D5) e os percentis, que são os valores que 
dividem os dados ordenados em 100 partes iguais, sendo representados por 
P1, P 2 , . . . , P99 (a mediana é o percentil P50). 
De maneira geral, os quartis, decis e percentis e outros valores obtidos 
mediante subdivisões dos dados em partes iguais são denominados quantis. 
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GABARITO: Errado 
16. Considere os dados do item anterior. O valor aproximado da moda da 
distribuição é 53,3. 
Resolução 
A moda de uma distribuição pode ser calculada pelo método de Czuber ou pelo 
método de King. Caso a questão da prova não especifique o método, assuma 
que o cálculo deve ser feito pela fórmula de Czuber. 
FÓRMULA DE CZUBER 
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A moda de uma distribuição é dada pelo valor mais freqüente ou de 
máxima frequência. Assim, a classe modal da distribuição é 50,0 — 55,0, 
pois esta classe possui a maior frequência, cujo valor é 32. 
em que L é o limite inferior da classe modal, d1 é a diferença entre a 
frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior, d2 é a 
diferença entre a frequência da classe modal e a da classe imediatamente 
seguinte e h é a amplitude das classes. 
classe modal e h é a amplitude da classe modal. 
Se todas as realizações do conjunto de valores observados ocorrem com a 
mesma frequência, diz-se que a série estatística é amodal, ou seja, não tem 
valor modal. 
Exemplo. Seja a série estatística {2, 1, 9, 4, 5, 20, 8, 7, 11, 19}. Essa série é 
amodal, pois não há repetição de valores (todos ocorrem o mesmo número de 
vezes). 
Pode haver mais de uma moda em um conjunto de valores. Se houver apenas 
uma moda, a distribuição é dita unimodal. Se houver duas, é bimodal, se 
possuirtrês é trimodal e assim sucessivamente. 
A figura a seguir ilustra as posições relativas da moda, mediana e média para 
uma distribuição de frequência (levemente) inclinada para a direita. 
GABARITO: Certo 
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INFORMAÇÕES ADICIONAIS 
Método de King: 
em que L denota o limite inferior da classe modal, 
classe posterior a classe modal, é a frequência da classe anterior a 
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(Agente Fiscal de Rendas SP/2009/FCC/Adaptada) Para resolver as 
próximas duas questões, considere a tabela de frequências relativas abaixo, 
que mostra a distribuição dos valores arrecadados, em 2008, sobre 
determinado tributo, referente a um ramo de atividade escolhido para análise. 
Sabe-se que: 
I - As frequências absolutas correspondem às quantidades de recolhimentos, 
sendo as frequências relativas do segundo e terceiro intervalos de classe iguais 
a x e y, respectivamente. 
II - A média aritmética da distribuição, valor arrecadado por recolhimento, é 
igual a R$ 3.350,00 (valor encontrado considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
desse intervalo). 
Valores Arrecadados (R$) Frequências Relativas 
1.000,00 | 2.000,00 0,10 
2.000,00 | 3.000,00 x 
3.000,00 | 4.000,00 y 
4.000,00 | 5.000,00 0,20 
5.000,00 | 6.000,00 0,10 
Total 1,00 
17. A porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou 
iguais a R$ 3.000,00 é 
A) 70% 
B) 65% 
C) 55% 
D) 45% 
E) 40% 
Resolução 
Seja a tabela abaixo, em que xdenota o ponto médio da classe i, prepresenta 
a frequência relativa da classe i e Pi é a frequência acumulada da classe i. 
Classes (em R$ mil) xi Pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 x 0,10 + x 
3,0 |--- 4,0 3,5 y 0,10 + x + y 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,30 + x + y 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 0,40 + x + y 
Total 1,00 
Temos duas frequências relativas incógnitas: x e y. Logo, precisaremos montar 
um sistema de duas equações a duas incógnitas para resolver x e y. 
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Classes (em R$ mil) xi Pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,45 
3,0 |--- 4,0 3,5 0,25 0,70 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,90 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00 
Total 1,00 
E a porcentagem de recolhimentos com valores arrecadados maiores ou 
iguais a R$ 3.000,00 é: 0,25 + 0,20 + 0,10 = 0,55 = 55%. 
GABARITO: C 
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Por outro lado, sabemos que 
Chegamos então ao sistema 
Podemos resolver o sistema da seguinte forma: multiplique a equação (2) por 
-2,5 e some-a com a equação (1): 
-2,5x - 2,5y +2,5x + 3,5y = 1,75 - 1,50 
O enunciado diz que 
0x + 1,0y = 0,25 
Substituindo o valor de y em (2), tem-se que 
= 0,60 - 0,25 = 0,35. 
Então a solução é: 
A versão final da tabela é: 
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18. Utilizando o método da interpolação linear, tem-se que o valor da 
respectiva mediana é 
A) R$ 3,120,00 
B) R$ 3,200,00 
C) R$ 3,400,00 
D) R$ 3,600,00 
E) R$ 3,800,00 
Resolução 
Classes (em R$ mil) xi Pi Pi 
1,0 |--- 2,0 1,5 0,10 0,10 
2,0 |--- 3,0 2,5 0,35 0,45 
3,0 |--- 4,0 (classe da mediana) 3,5 0,25 0,70 
4,0 |--- 5,0 4,5 0,20 0,90 
5,0 |--- 6,0 5,5 0,10 1,00 
Total 1,00 
A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% 
menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. 
Fazendo a interpolação linear (regra de três), temos que: (4,0 - 3,0) = 1,0 
(amplitude da classe da mediana) está para X (amplitude na classe da 
mediana correspondente à mediana) assim como (70% - 45%) está (50% -
45%): 
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Logo: md = 3,0 + 0,2 = R$ 3,2 mil. 
GABARITO: B 
19. (APOFP-SP/2009/ESAF) Determine a mediana das seguintes 
observações: 
17, 12, 9, 23, 14, 6, 3, 18, 42, 25, 18, 12, 34, 5, 17, 20, 7, 8, 21, 13, 31, 24, 
9 
A) 13,5 
B) 17 
C) 14,5 
D) 15,5 
E) 14 
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Resolução 
A mediana de um conjunto de n valores ordenados, sendo n ímpar, é 
definida como o valor de ordem (n+1)/2 desse conjunto. Se n for par, a 
mediana poderia ser definida como qualquer valor situado entre o de ordem 
n/2 e o de ordem (n/2) + 1. Por simplificação, para n par, consideraremos a 
mediana como o valor médio entre os valores de ordem n/2 e (n/2) + 1 
do conjunto de dados 
Total de elementos do conjunto = n = 23 (ímpar) 
Mediana (número ímpar de elementos) => Posição = (n+1)/2 = 24/4 = 12 
Vamos colocar os elementos do conjunto em ordem crescente: 
3, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 12, 12, 13, 14, 17, 17, 18, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 31, 34, 
42 
Elemento na Posição 12 = 17 
GABARITO: B 
20. (ICMS-SP/2006/FCC) O histograma de frequências absolutas, abaixo, 
demonstra o comportamento dos valores arrecadados de um determinado 
tributo, no ano de 2005, em uma região a ser analisada: 
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Observação: Considere que todos os intervalos de classe de histograma são 
fechados à esquerda e abertos à direita. 
Utilizando-se as informações contidas neste histograma, calculou-se a média 
aritmética destes valores arrecadados, considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio 
deste intervalo. Também calculou-se a mediana de tais valores pelo método da 
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interpolação linear. Então, o módulo da diferença entre a média aritmética e a 
mediana é igual a 
A) R$ 100,00 
B) R$ 400,00 
C) R$ 800,00 
D) R$ 900,00 
E) R$ 1.000,00 
Resolução 
Quando os dados são apresentados em uma distribuição de freqüências, todos 
os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados 
coincidentes com o ponto médio do intervalo. 
Seja a tabela para o cálculo da média aritmética: 
Então, 
Aprendemos que a mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, 
deixando os 50% menores valores de um lado e os 50% maiores 
valores do outro lado. 
Considere a tabela abaixo (cálculo da mediana): 
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Fazendo a interpolação linear (regra de três), temos que: (4,0 - 3,0) = 1,0 
(amplitude da classe da mediana) está para X (amplitude na classe da 
mediana correspondente a mediana) assim como (55% - 30%) está (50% -
30%): 
GABARITO: A 
21. A amplitude do conjunto 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 10 é 
A) 6 
B) 13 
C) 10 
D) 3 
E) 7 
Resolução 
A amplitude é a diferença entreo maior valor e o menor valor do conjunto de 
dados: 
Então R = 10 - 3 = 7. 
GABARITO: E 
22. Considere o conjunto de dados {2, 5, 8, 11, 14}. Então a variância desse 
conjunto é 
A) 8 
B) 20,25 
C) 18 
D) 24 
E) 22 
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Então, md = 3,0 + 0,8 = 3,8 (em R$ mil). 
Variância = 82 - 64 = 18. 
COMENTÁRIOS 
A variância tem, entre outras, as seguintes propriedades: 
a) Se multiplicarmos todos os valores de uma série por uma constante, então 
a variância da nova série ficará multiplicada pelo quadrado dessa constante. 
Por exemplo, multiplique a série desta questão por 2. Você obterá a nova série 
{4, 10, 16, 22, 28}, cuja variância será 22 x 18 = 4 x 18 = 72. A prova desta 
propriedade será dada em outro exercício, mais adiante. 
b) Somando-se ou subtraindo-se uma constante a todos os valores de uma 
série, a variância não se altera. Por exemplo, some 2 a todos os valores da 
série desta questão. Obteremos a nova série {4, 7, 10, 13, 16}, que possui a 
mesma variância (confira!). 
Fórmula para cálculo da variância 
GABARITO: C 
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Resolução 
Fórmula "maceteada" da variância: 
Média (aritmética) do conjunto: 
VARIÂNCIA = Média dos Quadrados - Quadrado da Média 
Média (aritmética) dos quadrados: 
Quadrado da média: 
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23. (Adm. Jr./REFAP/2007/CESGRANRIO) O setor de recursos humanos 
de uma empresa tem o hábito de divulgar separadamente a média e a 
variância das notas das avaliações dos funcionários do sexo feminino e do 
masculino. Na última avaliação, os resultados obtidos foram: 
Feminino Masculino 
Número de funcionários 20 30 
Média 6 7 
Variância 3,4 4 
A média e a variância das notas dos funcionários dessa empresa, 
respectivamente, valem: 
A) 6,5 e 3,7 
B) 6,6 e 3,4 
C) 6,6 e 4,0 
D) 7,5 e 3,7 
E) 13,0 e 7,5 
Resolução 
= 4 (conjunto masculino). 
A média combinada corresponde à média ponderada das médias dos 
conjuntos: 
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Considere o conjunto de dados A com NA elementos, 
Pode-se demonstrar 
que a variância da população conjunta A+B, também denominada 
variância combinada, é dada por 
o conjunto B com NB elementos, média 
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O resultado acima já nos permite eliminar as opções A, D e E. Restaram as 
alternativas B e C. 
A variância combinada é dada por 
Calcularemos a variância combinada se soubermos os valores das somatórias 
(soma dos quadrados de B). 
A média do conjunto A é 6 
A média do conjunto B é 7 
(soma de A = 120). 
(soma de B = 210), 
A variância de A é 3,4. Então, 
A variância de B é 4,0. Logo, 
Finalmente, temos que 
variância combinada = 4,0. 
COMENTÁRIO 
Se as médias dos conjuntos A e B forem iguais, ou seja, se 
variância combinada pode ser calculada por meio da fórmula simplificada 
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em que N = NA + NB. Repare que trata-se de uma média ponderada das 
variâncias individuais. 
Atenção: a fórmula acima é um caso particular da fórmula geral da variância 
combinada. Você só poderá aplicá-la quando as médias dos conjuntos A e B 
forem iguais! 
GABARITO: C 
24. Sejam os conjuntos de números {2, 5, 8, 11, 14} e {2, 8, 14}. Assinale a 
opção com a variância dos conjuntos combinados ou reunidos. 
A) 8 
B) 20,25 
C) 18 
D) 24 
E) 22 
Resolução 
Temos a série estatística A = {2, 5, 8, 11, 14} com média 
e a série B = {2, 8, 14} com média 
Como as médias são iguais, podemos aplicar a fórmula simplificada 
Variância do 1° conjunto: 
Variância do 2° conjunto: 
Variância combinada: 
GABARITO: B 
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25. (Agente Fiscal de Rendas SP/2006/FCC) Considerando as respectivas 
definições e propriedades relacionadas às medidas de posição e de 
variabilidade, é correto afirmar: 
A) Concedendo-se um reajuste de 10% em todos os salários de uma empresa, 
tem-se também que a respectiva variância fica multiplicada por 1,10. 
B) Definindo-se coeficiente de variação (CV) como sendo o quociente da 
divisão do desvio padrão pela respectiva média aritmética (diferente de zero) 
de uma sequência de valores, tem-se então que CV também poderá ser obtido 
dividindo a correspondente variância pelo quadrado da média aritmética. 
C) Subtraindo um valor fixo de cada salário dos funcionários de uma empresa, 
tem-se que o respectivo desvio padrão dos novos valores é igual ao valor do 
desvio padrão dos valores anteriores. 
D) Dividindo todos os valores de uma sequência de números estritamente 
positivos por 4, tem-se que o respectivo desvio padrão fica dividido por 2. 
E) Em qualquer distribuição de valores em estudo, a diferença entre a mediana 
e a moda é sempre diferente de zero. 
Resolução 
Análise das alternativas: 
Média dos Quadrados - Quadrado da Média. 
de um conjunto de dados é dada pela fórmula 
PROVA: a variável x representa o salário de um empregado. Se é concedido 
um reajuste de 10% em todos os salários (então o salário reajustado passará 
tem-se que a nova 
ou seja, a nova variância ficará multiplicada pelo quadrado da constante. 
B) O Coeficiente de Variação (CV) é definido como o quociente entre o desvio 
padrão (que por sua vez é dado pela raiz quadrada positiva da variância) e a 
média, sendo frequentemente expresso em porcentagem: 
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Se multiplicarmos todos os salários por 1,1 (reajuste de 10%), então a 
variância da nova série ficará multiplicada por 1,12 = 1,21 (a demonstração é 
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Grupo A 
Grupo B 
A respeito desses diagramas, considere as seguintes afirmativas: 
I. O salário médio dos dois grupos é o mesmo. 
II. A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita. 
III. Há mais pessoas no grupo A do que no grupo B. 
Assinale: 
A) se somente a afirmativa I for verdadeira. 
B) se somente a afirmativa II for verdadeira. 
C) se somente a afirmativa III for verdadeira. 
D) se somente as afirmativas I e II forem verdadeiras. 
E) se somente as afirmativas II e III forem verdadeiras. 
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alternativa é VERDADEIRA. 
D) Quando todos os valores de uma série são multiplicados por uma constante, 
a variância do conjunto fica multiplicada pelo quadrado dessa constante. Logo, 
se dividirmos todos os valores de uma série por 4, tem-se que o desvio padrão 
também ficará dividido por 4 ^ FALSA. 
E) Esta afirmação é verdadeira somente para distribuições assimétricas ^FALSA. 
GABARITO: C 
26. (ICMS-RJ/2009/FGV) Para comparar as rendas de dois grupos de 
pessoas, A e B, foram preparados diagramas de caixas (box-plots) 
com os valores observados dos salários, representados na figura a seguir: 
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Resolução 
PRELIMINARES 
O desvio interquartílico (InterQuartile Range - IQR), definido por 
1 BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro Alberto. Estatística Básica. São Paulo: Ed. Saraiva, 2010. 
2 A média aritmética é sensível a outliers. Um único valor "ruim" do conjunto de dados pode distorcer a média, ou seja, 
pode mover a média para longe do centro da distribuição de frequências. As médias geométrica e harmônica, assim 
como a aritmética, também não são robustas a outliers. Elas são úteis quando os dados são bem modelados pela 
distribuição log-normal ou quando a distribuição é fortemente assimétrica. 
3 MONTGOMERY, Douglas C.; RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. Rio de 
Janeiro: LTC, 2008. 
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em que dq denota o desvio interquartílico, Qs é o quartil superior (ou terceiro 
quartil Q3) e Qo quartil inferior (ou primeiro quartil Q1), pode ser usado como 
uma medida de dispersão. Em distribuições mais dispersas, os valores dos 
quartis ficam mais distantes. Em distribuições simétricas, a distância entre o 
quartil inferior e a mediana é igual à distância entre a mediana e o quartil 
superior, enquanto que em distribuições assimétricas essas distâncias são 
diferentes. 
Exemplo. O primeiro e o terceiro quartis da distribuição das alturas dos 
estudantes da Universidade de São Paulo são 165,56 cm e 178,59 cm, 
respectivamente. Calcule o desvio interquartílico dessa distribuição. 
diagrama (veja a próxima figura), consideramos um retângulo onde estão 
representados a mediana, o primeiro quartil (Q1) e o terceiro quartil (Q3). A 
partir do retângulo, para cima, segue uma linha até o ponto mais remoto que 
não pode exceder LS = Q3 + 1,5.IQR, chamado limite superior. De modo 
análogo, a partir do retângulo, para baixo, segue uma linha até o ponto mais 
remoto que não seja menor que LS = Q1 -1,5.IQR, chamado limite inferior. 
Os valores compreendidos entre esses dois limites são chamandos valores 
adjacentes. As observações que estiverem acima do limite superior ou abaixo 
do limite inferior serão denominadas pontos exteriores. Essas observações 
são destoantes das demais e podem ou não ser o que chamamos de outliers 
ou valores atípicos1,2. Um outlier pode ser produto de um erro de observação 
ou de arredondamento. Contudo, as denominações pontos exteriores e outliers 
são frequentemente usadas com o mesmo significado por alguns autores3: 
observações fora de lugar, discrepantes ou atípicas. 
O box plot nos dá uma noção da posição, dispersão, assimetria, caudas e 
dados discrepantes da distribuição. A posição central é dada pela mediana e a 
dispersão por IQR. As posições relativas de Q1, Q2 e Q3 nos dão uma idéia da 
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assimetria da distribuição. Os comprimentos das caudas são dados pelas linhas 
que vão do retângulo aos valores remotos e pelos valores atípicos. Os 
comprimentos das caudas são dados pelas linhas que vão do retângulo aos 
valores remotos e pelos valores atípicos. 
Exemplo. Considere um conjunto de dados com os seguintes percentis: 
0% 25% 50% 75% 100% 
1,7524 4,6901 5,7004 6,1768 7,3658 
A próxima figura é um box plot do conjunto de dados que gerou a tabela de 
percentis acima. A cauda inferior é longa e isto indica que a distribuição é 
assimétrica. Note também a presença de outliers na parte inferior do box plot 
(são os pontos vermelhos). 
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A figura abaixo mostra o histograma associado ao box plot do exemplo. 
ANÁLISE DAS AFIRMATIVAS 
I- Os diagramas de caixas indicam que as medianas dois grupos A e B são 
iguais e não as suas respectivas médias ^ FALSA. 
II- A distribuição dos salários no grupo A é assimétrica à direita porque a 
distância entre o terceiro quartil (Q3) e a mediana (md), ou seja, Q3 — md, é 
maior do que a distância entre a mediana e o primeiro quartil, dada por md — 
Q1. ^ VERDADEIRA. 
III- O número de pessoas nos dois grupos é igual, haja vista que as distâncias 
entre os extremos superior e inferior nas distribuições dois dois grupos é 
aproximadamente 2.500 (3.100 — 600 = 2.500 para o grupo A e 2.900 — 400). 
^ FALSA. 
GABARITO: B 
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27. (ICMS-RJ/2008/FGV) Uma companhia utiliza um sistema de avaliação 
de desempenho de seus funcionários por meio de dois indicadores de 
performance: Qualidade das tarefas e a Tempestividade com que as tarefas 
são realizadas. 
Os funcionários receberam, na última avaliação, as medidas indicadas na 
tabela a seguir: 
Medidas 
Indicador 
Medidas Qualidade Tempestividade 
Média 50 25 
Desvio-Padrão 10,0 6,0 
Coeficiente de 
Variação (%) 20 24 
Com base na tabela, é correto afirmar que: 
A) a média aritmética não é uma boa medida para representar a performance 
dos funcionários em face do elevado nível de dispersão das avaliações. 
B) as avaliações da Qualidade foram mais dispersas do que as avaliações da 
Tempestividade. 
C) as avaliações da Qualidade foram mais homogêneas do que as da 
Tempestividade. 
D)os funcionários demoram mais para realizar as tarefas, mas a qualidade das 
tarefas, mas a qualidade das tarefas é melhor. 
E) nada se pode afirmar sem o conhecimento do tamanho da amostra. 
Resolução 
Análise das afirmativas: 
A) A média aritmética é uma medida de posição de uma distribuição de 
frequências. Logo, é uma medida válida ("boa") para caracterizar o 
desempenho dos funcionários. Além disso, não se pode afirmar que a média 
não seja uma medida "boa" devido ao elevado nível de dispersão da 
distribuição. Posição e dispersão são características distintas de uma 
distribuição de frequências ^ ERRADA. 
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B) As medidas de coeficiente de variação 
ou seja, as avaliações da Tempestividade foram mais dispersas do que as 
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C) As avaliações da Qualidade foram mais homogêneas, ou seja, menos 
dispersas, do que as da Tempestividade, haja vista que 
cv(qualidade) = 20 < 24 = cv(tempestividade) ^ CERTA. 
D) Qualidade e Tempestividade são variáveis distintas; logo, essa comparação 
não faz sentido (não podemos comparar "banana" com "laranja"). A qualidade 
das tarefas é melhor em relação a quê? Os funcionários demoram mais para 
realizar as tarefas em relação a qual métrica de comparação? ^ ERRADA. 
E) Está implícito que a companhia avaliou todos os seus funcionários. Logo, as 
medidas referem-se à população dos funcionários. As medidas tabeladas não 
são estimativas de parâmetros da população, mas sim os verdadeiros 
valores de média, desvio-padrão e coeficiente de variaçãodas variáveis 
Qualidade e Tempestividade ^ ERRADA. 
GABARITO: C 
28. (Assessor Especializado/IPEA/2004/FCC) Numa distribuição de 
frequências com assimetria negativa mais de 50% dos dados situam-se 
A) sobre a média 
B) acima da média 
C) entre a média e a moda 
D) entre a média e a mediana 
E) acima da mediana 
Resolução 
PRELIMINARES 
em que s3 denota o desvio padrão elevado ao cubo e 
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Assimetria é o grau de desvio, ou afastamento da simetria, de uma 
distribuição. As distribuições alongadas à direita são ditas positivamente 
assimétricas, e as alongadas à esquerda, negativamente assimétricas. 
Uma medida conveniente de assimetria, por ser adimensional, é dada pelo 
coeficiente de assimetria (A), definido como: 
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é o momento centrado de terceira ordem. O coeficiente de assimetria indica o 
sentido da assimetria e pode ser usado para comparar vários casos porque é 
adimensional. O sinal do coeficiente de assimetria será positivo ou negativo se 
a distribuição for assimétrica à direita ou à esquerda, respectivamente. 
A assimetria também pode ser medida pelo primeiro coeficiente de 
assimetria de Pearson: 
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em que x é a média e mo denota a moda. 
Para evitar o emprego da moda, pode-se adotar a fórmula empírica 
(média - moda) = 3(média - mediana), 
de forma que a fórmula do primeiro coeficiente de assimetria de Pearson pode 
ser reescrita como 
conhecida como segundo coeficiente de assimetria de Pearson. 
Uma outra medida de assimetria, denominada coeficiente quartílico de 
assimetria (Aq), é definida pela fórmula 
Voltando à resolução da questão ... 
Assimetria Negativa ou à Esquerda: Média < Mediana < Moda 
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Assimetria Negativa (você puxa a seta com a mão esquerda): 
1) A seta puxa a média 
2) A moda está no topo 
3) A mediana está no meio 
Note que uma distribuição de frequências com assimetria negativa é 
alongada à esquerda. 
A mediana é o valor que divide a distribuição ao meio, deixando os 50% 
menores valores de um lado e os 50% maiores valores do outro lado. Logo, 
numa distribuição de frequências com assimetria negativa, mais de 
50% dos dados estão acima da média (pois a média é menor do que a 
mediana). 
Assimetria Positiva ou à Direita: Média > Mediana > Moda ou 
Moda < Mediana < Média 
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Assimetria Positiva ou à Direita (você puxa a seta com a mão direita): 
1) A seta puxa a média 
2) A moda está no topo 
3) A mediana está no meio 
GABARITO: B 
29. (ICMS-RJ/2007/FGV) Considere as informações contidas no Box Plot 
abaixo, referente aos salários dos engenheiros de uma empresa, por sexo. 
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É correto afirmar que: 
A) o salário médio dos homens é igual ao das mulheres. 
B) a distribuição dos salários das mulheres é assimétrica negativa. 
C) o desvio interquartílico dos salários das mulheres é maior do que o dos 
homens. 
D) a distribuição dos salários dos homens é atípica. 
E) o salário mediano das mulheres é superior ao dos homens. 
Resolução 
Análise das afirmativas: 
A) Os diagramas de caixa indicam que as medianas dos salários, e não os 
salários médios, são iguais, com um valor aproximado de R$ 3.700 ^ 
ERRADA. 
B) A distribuição dos salários das mulheres é assimétrica positiva, pois é 
alongada à direita (a distância entre o quartil superior e a mediana é maior do 
que distância entre o quartil inferior e a mediana) ^ ERRADA. 
C) O desvio interquartílico dos salários das mulheres é aproximadamente igual 
a 4.400 — 3.400 = 1.000. O desvio interquartílico dos salários dos homens é 
aproximadamente igual a 3.900 — 3.300 = 600. Logo a afirmativa está CERTA. 
D) O enunciado não fornece dados para se fazer este tipo de conclusão. Qual 
seria a distribuição dos salários dos homens típica? ^ ERRADA. 
E) O salário mediano das mulheres é igual ao dos homens ^ ERRADA. 
GABARITO: C 
30. (Analista IRB/2004/ESAF) O desenho esquemático (diagrama de caixa) 
apresentado abaixo representa o resumo de cinco números 
{51,00;54,75;69,50;78,00;95,00} para um conjunto 
amostrais do atributo Y. Assinale a opção que dá o valor 
assimetria de Pearson para a amostra em apreço. 
de observações 
do coeficiente de 
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A) -0,269 
B) -0,500 
C) 0,000 
D) 0,294 
E) -0,294 
Resolução 
Temos cinco números: {51,00;54,75;69,50;78,00;95,00}. É razoável admitir 
que eles representem as seguintes medidas: 
- Valor Mínimo = 51,00 
- Q1 = 54,75 
- Mediana (md) = 69,50 
- Q3 = 78,00 
- Valor Máximo = 95,00 
Note que o diagrama de caixa apresentado não representa de forma fidedigna 
as cinco medidas do atributo Y. Paciência! Não vale a pena brigar com a banca. 
O objetivo é ser aprovado no concurso! 
Vimos que o primeiro coeficiente de assimetria de Pearson é dado pela fórmula 
Entretanto, não é possível calcular o coeficiente de assimetria de Pearson com 
os dados da questão (quais são os valores da média e da moda?). O que está 
acontecendo nesta questão? Calma ... pode ser que a banca tenha alguma 
outra medida de assimetria em mente. Que tal calcular o coeficiente quartílico 
de assimetria? Não custa nada. Então vamos lá! 
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Coeficiente quartílico de assimetria = -0,269 
GABARITO: A 
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31. (AFRF/2001/ESAF) Numa amostra de tamanho 20 de uma população de 
contas a receber, representadas genericamente por X, foram determinadas a 
média amostral M = 100 e o desvio-padrão s = 13 da variável transformada (X 
— 200)/5. Assinale a opção que dá o coeficiente de variação amostral de X: 
A) 3,0% 
B) 9,3% 
C) 17,0% 
D) 17,3% 
E) 10,0% 
Resolução 
Y = (X - 200)/5 => X = 5Y + 200 
(AFRF/2002/ESAF) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um 
atributo financeiro (X) foram examinados 200 itens de natureza contábil 
do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu a tabela de 
freqüências abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores de 
X em reais e a coluna P representa a freqüência relativa acumulada. Não 
existem observações coincidentes com os extremos das classes. As 
questões de 32 a 37 referem-se a esses ensaios. 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
32. Assinale a opção que dá o valor médio amostral de X. 
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+ 200 = 5 x 100 + 200 = 700 
s = sy =13 
Logo, sx = 5sy = 5 x 13 = 65 
GABARITO: B 
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A) 140,10 
B) 115,50 
C) 120,00 
D) 140,00 
E) 138,00 
Resolução 
conforme a tabela acima. 
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em que pj denota a j-ésima frequência relativa. 
Quando os dados são apresentados em uma distribuição de freqüências, todos 
os valores incluídos num certo intervalo de classe são considerados 
coincidentes com o ponto médio do intervalo. As fórmula acima será válida 
GABARITO: E 
ocorrerem com as freqüências Se k valores distintos observados 
respectivamente, a média será 
como o ponto médio e para esses dados agrupados quando se interpretar 
como a frequência relativa 
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33. Assinale a opção que corresponde à estimativa do quinto decil da 
distribuição de X. 
A) 138,00 
B) 140,00 
C) 136,67 
D) 139,01 
E) 140,66 
Resolução 
A mediana é o quinto decil. A mediana (md) de uma distribuição em classes 
de freqüências é dada pela expressão 
Classe 
(limites 
reais) 
Pj fj Fj 
70 — 90 0,05 200 x 0,05 = 10 10 
90 — 110 0,10 200 x 0,10 = 20 10 + 20 = 30 
110 — 130 0,25 200 x 0,25 = 50 30 + 50 = 80 
130 — 150 0,30 200 x 0,30 = 60 80 + 60 = 140 
150 — 170 0,15 200 x 0,15 = 30 140 + 30 = 170 
170 — 190 0,10 200 x 0,10 = 20 170 + 20 = 190 
190 — 210 0,05 200 x 0,05 = 10 190 + 20 = 200 
Soma 1,00 200 = n 
GABARITO: C 
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em que Ll é o limite inferior da classe que contém a mediana, n é o número de 
é a soma das frequências das classes elementos do conjunto de dados, 
anteriores à que contém a mediana, é a frequência da classe que contém a 
é a amplitude da classe que contém a mediana. 
Seja a Tabela das freqüências freqüências acumuladas 
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34. Seja S o desvio padrão do atributo X. Assinale a opção que corresponde à 
medida de assimetria de X como definida pelo primeiro coeficiente de Pearson. 
A) 3/S 
B) 4/S 
C) 5/S 
D) 6/S 
E) 0 
Resolução 
A questão aborda o cálculo do índice de assimetria de Pearson, dado por 
Inicialmente, temos que calcular a moda mo. Como a questão não especificou o 
método de cálculo, se de Czuber ou de King, devemos usar a fórmula de 
Czuber: 
Classe fj 
(limites reais) 
70 - 90 10 
90 - 110 20 
110 - 130 50 
130 - 150 60 
150 - 170 30 
170 - 190 20 
190 - 210 10 
Soma 200 = n 
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em que: 
- L é o limite inferior da classe modal, 
- d é a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe 
imediatamente anterior, 
- d2 é a diferença entre a freqüência da classe modal e a da classe 
imediatamente seguinte e 
- h é a amplitude das classes. 
Seja a Tabela das freqüências (f) abaixo (a classe modal está destaca em 
negrito): 
Número de elemento abaixo de 145 = 10 + 20 + 50 + 45 = 125 
Total de elementos = 200 
Freqüência Relativa = 125/200 = 0,625 = 62,5% 
GABARITO: A 
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GABARITO: A 
35. Assinale a opção que corresponde à estimativa da freqüência relativa de 
observações de X menores ou iguais a 145. 
A) 62,5% 
B) 70,0% 
C) 50,0% 
D) 45,0% 
E) 53,4% 
Resolução 
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36. Considere a transformação Z = (X-140)/10. Para o atributo Z encontrou-se 
A) 720,00 
B) 840,20 
C) 900,10 
D) 1200,15 
E) 560,30 
Resolução 
GABARITO: B 
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transformado. Assinale a opção que dá a variância amostral do atributo 
é a freqüência simples da classe i e Zo ponto médio de 
e Além disso, 
variância de Z. Seja a Tabela abaixo: 
fórmula que facilita o cálculo da 
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37. Entende-se por curtose de uma distribuição seu grau de achatamento em 
geral medido em relação à distribuição normal. Uma medida de curtose é dada 
pelo quociente 
onde Q é a metade da distância interquartílica e P90 e P10 representam os 
percentis de 90% e 10%, respectivamente. Assinale a opção que dá o valor da 
curtose k para a distribuição de X. 
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A) 0,263 
B) 0,250 
C) 0,300 
D) 0,242 
E) 0,000 
Resolução 
em que D9 denota o nono decil e D1 representa o primeiro 
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pode ser generalizada para os quantis, como a A fórmula 
seguir 
Logo, 
GABARITO: D 
38. (Analista do BACEN/2006/FCC) A média aritmética dos valores das 
vendas diárias realizadas pelas 50 empresas do Setor A é de R$ 1.000,00, com 
desvio padrão de R$ 100,00. Sabe-se ainda que a média aritmética dos valores 
das vendas diárias realizadas pelas 200 empresas do Setor B é de R$ 
2.000,00, com desvio padrão de R$ 200,00. A variância em (R$)2 dos valores 
das vendas diárias realizadas pelos dois setores reunidos é 
A) 34.000,00 
B) 50.000,00 
C) 194.000,00 
D) 207.500,00 
E) 288.000,00 
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Resolução 
A banca pediu para o candidato calcular a nvariância em (R$)2 dos valores das 
vendas diárias realizadas pelos dois setores reunidos". O que ela quis dizer 
com isso? 
Considere que os valores das vendas diárias realizadas pelas 50 empresas do 
Setor A constituem a população A 
em que N1 = 50, e que os valores das vendas diárias realizadas pelas 200 
empresas do Setor B constituem a população B 
em que N2 = 200. 
A banca pediu para o candidato determinar a variância da população 
conjunta 
A fórmula da variância da população conjunta A+B é 
em que N = N1 + N2 = 50 + 200 = 250. A variância 
vez conhecidos os valores dos somatórios 
somatórios serão calculados em função das médias aritméticas A 
respectivamente. Os somatórios serão determinados em 
função de respectivamente. 
A fim de facilitar as contas, cortaremos três zeros dos dados fornecidos: 
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GABARITO: C 
39. (ICMS-RJ/2010/FGV) A média, a mediana e a variância das idades de 
um grupo de vinte pessoas são, hoje, iguais, respectivamente, a 34, 35 e 24. 
Daqui a dez anos, os valores da média, da mediana e da variância das idades 
dessas pessoas serão, respectivamente: 
A) 44, 35 e 34 
B) 44, 45 e12 
C) 44, 45 e 24 
D) 34, 35 e 12 
E) 44, 45 e 124 
Resolução 
Está implícito que todas as pessoas do grupo estarão vivas daqui a dez anos. A 
dispersão da distribuição de frequências (das idades) não mudará com o 
envelhecimento das pessoas do grupo (ou seja, a forma da distribuição se 
mantém ao longo do tempo). Logo, a variância daqui a dez anos ainda será 
igual a 24. A única opção com este valor é a C. 
Para dar a resposta final, devemos multiplicar a variância (= quadrado do 
desvio-padrão) obtida acima por (1.000)2, haja vista que dividimos as médias 
e desvios-padrão por 1.000: 
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Daqui a dez anos, a média e a mediana serão acrescidas de 10 unidades 
(anos), haja vista que a distribuição de frequências sofrerá um deslocamento 
para a direita de 10 unidades. Assim, a média e a mediana serão iguais a 44 e 
45, respectivamente. 
GABARITO: C 
40. (AFPS/2002/ESAF) O diagrama de ramos e folhas abaixo corresponde 
às observações (82, ..., 158) do atributo X. Assinale a opção que dá o valor 
mediano de X 
A) 105 
B) 110 
C) 104 
D) 107 
E) 115 
Resolução 
Não existe uma regra fixa para construir o diagrama de ramo-e-folhas, mas a 
idéia básica é dividir cada observação em duas partes: a primeira (o ramo) é 
colocada à esquerda de uma linha vertical, a segunda (a folha) é colocada à 
direita. Assim, para os valores 90 e 93, o 9 é o ramo e 0 e 3 são as folhas. 
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Na tabela abaixo, f denota a frequência simples e Fi é a freqüência acumulada 
das observações: 
Ramos Folhas fi Fi 
8 2 1 1 
8 0 1 
9 003 3 4 
9 9 1 5 
10 0011222344 10 15 
10 577777 6 21 
11 013 3 24 
11 55679 5 29 
12 00114 5 34 
12 5557 4 38 
13 004 3 41 
13 5556 4 45 
14 03 2 47 
14 5 1 48 
15 0 48 
15 8 1 49 
A tabela acima mostra que foram acumuladas 24 observações até a última 
folha do sétimo ramo. Note que há 49 observações no total e que a mediana 
corresponde à 1a folha do oitavo ramo, cujo valor é 115. 
GABARITO: E 
41. (ICMS-RJ/2011/FGV) Em uma repartição, foi tomada uma amostra do 
número de filhos de 4 funcionários. O resultado foi {2, 1, 4, 2}. A média 
geométrica simples dessa amostra é 
A) 2,25. 
B) 1,75. 
C) 2. 
D) 2,4 
E) 2,5 
Resolução 
MÉDIA GEOMÉTRICA 
GABARITO: C 
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42. (Técnico Administrativo/BNDES/2010/CESGRANRIO) Dez mulheres 
adultas foram submetidas a uma pesquisa. A cada uma delas perguntou-se: 
"Quantos filhos você tem?". O entrevistador foi anotando cada uma das 
respostas na ordem em que foram obtidas. No entanto, devido à pressa, 
esqueceu-se de registrar uma das respostas. A listagem abaixo reproduz as 
respostas dadas, na ordem em que foram registradas. 
2 0 3 1 1 0 1 4 1 
A partir das informações acima, analise as afirmativas a seguir. 
I - A moda das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da 
resposta não registrada. 
II - A mediana das quantidades de filhos dessas dez mulheres depende da 
resposta não registrada. 
III - A média das quantidades de filhos dessas dez mulheres independe da 
resposta não registrada. 
Está correto APENAS o que se afirma em 
A) I. 
B) II. 
C) III. 
D) I e II. 
E) II e III. 
Resolução 
ANÁLISE DAS AFIRMATIVAS 
I - A observação de maior frequência (moda) possível é forçosamente o valor 
"1", haja vista que poderá ocorrer até 5 vezes (estamos assumindo que a 
resposta não registrada tenha sido um filho). Caso a reposta não registrada 
tenha sido zero filho, então o valor "0" poderá ocorrer 3 vezes, e assim 
sucessivamente para os demais valores. Desta maneira, a moda das 
quantidades de filhos das dez mulheres é o valor 1, independentemente da 
resposta não registrada. Afirmativa correta. 
II - Temos uma distribuição de frequências sem intervalos de classe. Neste 
caso, basta identificar a freqüência acumulada imediatamente superior à 
metade da soma das freqüências, que é igual a 5 nesta questão, pois há 10 
mulheres. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal 
freqüência acumulada. Para responder se a mediana das quantidades de filhos 
das dez mulheres depende ou não da resposta não registrada, faremos uma 
análise exaustiva de várias hipóteses: 
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• Hipótese 1: três mulheres responderam que têm zero filho; 
• Hipótese 2: cinco mulheres responderam que têm 1 filho; 
• Hipótese 3: duas mulheres responderam que têm 2 filhos; e 
• Assim sucessivamente. 
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Hipótese 1: 3 mulheres responderam que têm 0 filho. 
Hipótese 2: 5 mulheres responderam que têm 1 filho. 
mediana 
mediana 
Hipótese 3: 2 mulheres responderam que têm 2 filhos. 
mediana 
Hipótese 4: 2 mulheres responderam que têm 3 filhos. 
mediana 
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Hipótese 5: 2 mulheres responderam que 
mediana 
têm 4 filhos. 
Hipótese 6: 1 mulher respondeu que têm 5 ou mais filhos. 
mediana 
Observe que a mediana é igual a 1 para todos os casos. Portanto, a mediana 
das quantidades de filhos dessas dez mulheres INDEPENDE da resposta não 
registrada. Afirmativa incorreta. 
III - Calcule a média considerando a hipótese 1 (3 mulheres responderam que 
têm 0 filho): 
GABARITO: A 
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Agora, calcule a média considerando a hipótese 2 (5 mulheres responderam 
que têm 1 filho): 
Constatamos que a média das quantidades de filhos das dez mulheres 
DEPENDE da resposta não registrada. Afirmativa incorreta. 
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43. (AFTE-R0/2010/FCC) Em uma cidade é realizado um levantamento 
referente aos valores recolhidos de determinado tributo estadual no período de 
um mês. Analisando os documentos de arrecadação, detectou-se 6 níveis de 
valores conforme consta no eixo horizontal do gráfico abaixo, em que as 
colunas representam as quantidades de recolhimentos correspondentes. 
Com relação às medidas de posição deste levantamento tem-se que o valor da 
A) média aritmética é igual ao valor da mediana.. 
B) média aritmética supera o valor da moda em R$ 125,00. 
C) moda supera o valor da mediana em R$ 500,00. 
D) mediana supera o valor da média aritmética em R$ 25,00. 
E) média aritmética é igual a metade da soma da mediana e a moda. 
Resolução 
Freq. Freq. 
Acumulada 
Valor x Freq 
30 30 15.000 
50 80 50.000 
60 140 90.000 
30 170 60.000 
20 190 50.000 
10 200 30.000 
200 295.000 
Temos que: 
• Moda = 1.500 (valor mais frequente) 
• Média = 295.000/200 = 1.475 
• Mediana (*) = 1.500 = Média + 25 ^ alternativa A. 
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(*) Lembre do procedimento de cálculo da mediana para uma distribuição de 
frequências sem intervalos de classe. Você deverá identificar a freqüência 
acumulada imediatamente superior à metade da soma das freqüências, cujo 
valor é 100, uma vez que a soma das frequências dá 200. Na tabela acima, a 
frequência acumulada para o valor 1.500 é 140, valor imediatamente superior 
a 100. 
GABARITO: A 
(Analista de Estatística/Perito/MPU/2010/CESPE) Considere que um 
perito tenha efetuado um estudo acerca do tempo gasto — X —, em meses, 
por empresas notificadas para quitar suas pendências com a Previdência 
Social. Uma amostra de 35 empresas notificadas com pendências foi 
selecionada de um banco de dados da Previdência. A partir dessa amostra, o 
perito fez uma análise exploratória da variável X, cujos resultados são 
apresentados a seguir. 
Estatísticas Descritivas: 
tempo mínimo = 2 meses 
tempo máximo = 128 meses 
Gráfico 1 
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Nesse estudo, o perito efetuou avaliações acerca do número de irregularidades 
- Y - que geraram pendências em função do porte das empresas: com menos 
de 20 empregados e com 20 ou mais empregados. Os resultados foram os 
seguintes. 
Com base nessas informações julgue os itens de 44 a 49. 
44. O diagrama de caixas, conhecido como boxplot, indica que a distribuição 
de X é assimétrica. Portanto, o número de observações acima do segundo 
quartil (Q2) foi proporcionalmente superior ao número de observações abaixo 
de Q2. 
Resolução 
É correto afirmar que o boxplot indica que a distribuição de X é assimétrica, 
pois a distribuição tem cauda levemente alongada para a direita (note que a 
distância entre o quartil superior e a mediana é maior que a distância entre o 
quartil inferior e a mediana). Mas é incorreto dizer que o número de 
observações acima do segundo quartil (mediana) foi proporcionalmente 
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a 
mediana divide o conjunto ordenado de dados em dois subconjuntos 
com igual número de elementos. Portanto, o item está errado. 
GABARITO: Errado 
superior ao número de observações abaixo da mediana, haja vista que 
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45. O tempo mediano da variável X foi aproximadamente igual a 29,34 meses. 
Resolução 
O box plot indica que a mediana é inferior a 20 meses. Item errado. 
GABARITO: Errado 
46. No diagrama de caixas, quatro observações foram identificadas como 
valores atípicos por estarem fora do intervalo [0; 77,25]. 
Resolução 
O box plot indica que os valores 88, 92, 110 e 128 (vide diagrama de ramo e 
folhas) são outliers. Item Certo. 
GABARITO: Certo 
47. O diagrama apresentado a seguir é o resumo dos 5 números para a 
distribuição de X. 
Resolução 
O diagrama com o resumo dos 5 números tem a seguinte interpretação: 
Os diagramas de caixas e de ramo e folhas confirmam que os dados 
relacionados acima estão corretos. 
GABARITO: Certo 
48. Nessa situação, a variabilidade do número de irregularidades nas 
empresas com menos de 20 empregados corresponde à metade da 
variabilidade do número de irregularidades nas empresas com 20 ou mais 
empregados. 
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Resolução 
Considere que o número de irregularidades nas empresas com menos de 20 
empregados seja representado pela variável A e o número de irregularidades 
nas empresas com 20 ou mais empregados pela variável B. A comparação 
entre as variabilidades (dispersões) das distribuições de A e B deve 
ser feita em termos relativos. Para tal, deve-se usar o coeficiente de 
variação (cv), que é definido como a razão entre o desvio padrão e a 
média. Esta medida de dispersão caracteriza o espalhamento dos valores da 
distribuição em termos relativos ao seu valor médio (*). 
(*) Não faz sentido comparar objetos diferentes (por exemplo,^ banana com 
laranja), utilizando uma medida absoluta como o desvio padrão. É por isso que 
é necessário trabalhar com um adimensional como o coeficiente de variação. 
GABARITO: Certo 
49. O desvio padrão amostral de X foi inferior a 31 meses. 
Resolução 
Variância = Média dos Quadrados - Quadrado da Média 
ou 
QUADRADO DA MÉDIA: 
MÉDIA DOS QUADRADOS: 
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O desvio padrão é superior a 31 meses. 
GABARITO: Errado 
(Analista de Estatística/Perito/MPU/2010/CESPE) Uma pesquisa sobre 
obesidade resultou na seguinte distribuição da massa corporal para um grupo 
de 100 pessoas. 
frequência 
absoluta 
10 
20 
30 
25 
15 
assimetria, respectivamente, em que Dk representa o k-ésimo decil e Qk 
representa o k-ésimo quartil, julgue os itens subsequentes. 
50. A moda dessa distribuição é igual a 65. 
Resolução 
MODA (MÉTODO DE CZUBER) 
em que Li é o limite inferior da classe modal (= 60), d1 é a diferença entre a 
frequência da classe modal e a da classe imediatamente anterior (= 30 - 20 = 
10) e d2 é a diferença entre a frequência da classe modal e a da classe 
imediatamente seguinte (= 30 - 25 = 5) e h representa a amplitude da classe. 
51. A distribuição da massa corporal, segundo a medida A2, é assimétrica 
positiva. 
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Considerando que são medidas de curtose e de 
GABARITO: Errado 
frequência 
absoluta (%) 
frequência 
acumulada (%) 
10 10 
20 30 
30 60 
25 85 
15 100 
PRIMEIRO QUARTIL (Q1) 
A classe de Q1 (ponto que delimita os 25% menores valores) é 50 60, pois 
a sua frequência acumulada é 30% e a frequência da classe anterior é 10%. 
Regra de três: "a amplitude da classe de Q1 (= 10) está para a frequência 
absoluta da classe de Q1 (= 20) assim como X está para 25 (frequência 
acumulada até Q1) subtraído da frequência acumulada da classe 
imediatamente anterior (= 10)": 
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Logo, Q1 = 50 + 7,5 = 57,5. 
SEGUNDO QUARTIL ou MEDIANA (Q2) 
A classe de Q2 (ponto que divide a distribuição ao meio) é 60 70, pois a sua 
frequência acumulada é 60% e a frequência acumulada da classe anterior é 
30%. 
Regra de três: "a amplitude da classe de Q2 (= 10) está para a frequência 
absoluta da classe de Q2 (= 30) assim como X está para 50 (frequência 
acumulada até Q2) subtraído da frequência acumulada da classe 
imediatamente anterior (=30)": 
Logo, Q2 = 60 + 6,7 = 66,7. 
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Resolução 
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TERCEIRO QUARTIL (Q3) 
A classe