3ªLista_2015_GABARITO

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Universidade Federal de Juiz de Fora
Faculdade de Economia
3ª. Lista de ECONOMERIA II_GABARITO
– Prof. Ricardo Freguglia –
1. Qual a motivação para o uso da estimação por variáveis instrumentais? Como se pode definir um bom instrumento? Defina o estimador de variáveis instrumentais para β. 
Solução: Sob a hipótese cov(u,x) = 0, 	(I)	MQO é consistente
 Sob a hipótese E(u|x) = 0, 	 	(II)	MQO é não-viesado 
Se essas hipóteses forem violadas, MQO será viesado e inconsistente, sendo necessário buscar um novo método de estimação. Nesse caso, o método de regressão por “variáveis instrumentais” (VI) é uma solução possível que fornece estimadores consistentes dos parâmetros de interesse. Uma das principais causas do viés do estimador de MQO é a omissão de variáveis relevantes que faz com que a hipótese I não seja verificada e, por conseguinte, prefere-se a estimação da regressão por VI, pois esse método de estimação reconhece a presença da variável omitida. 
Considere a equação:
	 (*)
onde:	E(u) = 0
	cov(x,u) ( 0 
Independentemente do motivo para a existência de correlação entre x e u, o método de VI fornece um estimador consistente dos parâmetros de interesse. O método se baseia na utilização de uma variável adicional z, não incluída em (*), que satisfaça certas condições:
Cov(z,u) = 0
Cov(z,x) ( 0 
Quando uma variável z satisfaz ambas as condições acima, dizemos que z é uma variável instrumental de x. Vale notar que a condição (1) não é testável, pois refere-se à covariância entre z e um erro não observável (para manter Cov(z,u) = 0, recorre-se ao comportamento econômico ou à introspecção). A condição (2), porém, pode ser testada em uma regressão de x em z (
). A avaliação de z como instrumento para x é feita com base na rejeição da hipótese nula de que o coeficiente referente a z seja igual a zero (rejeita-se H0:
=0). De outra forma, caso o coeficiente de z seja estatisticamente significativo (a 5% ou 1%), a hipótese (2) é assegurada.
Para a estimação consistente do parâmetro 
, dada uma amostra aleatória, estimamos as quantidades populacionais pelos análogos da amostra. Assim:
Vale observar que, quando z = x, obtemos o estimador de MQO de 
.
2. Quais as propriedades do estimador de variáveis instrumentais quando se possui uma variável instrumental fraca (fraco instrumento)? 
Solução: Vale notar que a condição (2) acima pode ser satisfeita com uma correlação entre z e x diferente de zero, mas baixa. Esse é o caso de um instrumento fraco. Em consequência disso, as estimativas de VI também podem ter grandes erros-padrão e, ainda mais sério, a variância (assintótica) do estimador VI aumenta (viés assintótico) – ou seja, o estimador perde precisão. Isso pode ser derivado em termos de correlações e desvios-padrão populacionais como:
						=>
Por essa razão, devemos procurar um instrumento que tenha a mais alta correlação possível com x. Isto é, deve-se buscar bons instrumentos para x.
3. Qual a diferença da estimação de variáveis instrumentais para a estimação de mínimos quadrados em dois estágios? Explique e mostre as hipóteses de identificação necessárias (o apêndice 15A pode auxiliar na resposta). 
Solução: O MQ2E equivale ao caso com múltiplas variáveis instrumentais. Seja: 
A forma reduzida para y2 (variável explicativa endógena) é:
Onde: E(v2) = 0, cov(z1,v2) = 0, cov(z2,v2) = 0, cov(z3,v2) = 0
A melhor VI de y2 é a combinação linear de zj que tenha a maior correlação possível com y2. Como z1, z2 e z3 tem correlação zero com v2, qualquer combinação linear dessas variáveis também terá correlação zero com v2. Temos, portanto, um bom instrumento. Para que esta VI não seja perfeitamente correlacionada com z1, precisamos, pelo menos π2 ou π3 seja diferente de zero. Essa é a hipótese fundamental de identificação, uma vez que assumimos que z’s são exógenos. Com isso, a estimação em dois estágios é obtida da seguinte forma:
1º Estágio: Regredimos y2 sobre z1, z2 e z3 e obtemos os valores estimados:
 
2º Estágio: Uma vez obtido e, verificado que z2 e z3 são conjuntamente significativas (aplica-se teste F) a um nível de significância razoavelmente pequeno (até 5%), podemos usá-la como VI de y2.
Questões 4 e 5 não fazem parte do capítulo de variáveis instrumentais. São referentes ao capítulo 16.
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