Capítulo 9 - Momento de inércia - pg 215 a 241

Prévia do material em texto

Mecânica 
Geral
MOMENTO 
DE INÉRCIA - PARTE 2
APRESENTAÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo! Neste módulo, vamos estudar duas propriedades do momento de 2ª ordem, ou momento de inércia de uma área, muito importantes e de 
grande utilidade em engenharia.
São elas: a propriedade dos eixos paralelos e a propriedade dos eixos perpendiculares.
Vamos também conhecer e aprender a calcular um parâmetro muito útil para o dimensio-
namento de estruturas, denominado raio de giração de uma área.
Vamos começar?
Bom estudo!
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
Ao final desse módulo você deverá ser capaz de:
• compreender e utilizar corretamente a propriedade dos eixos paralelos;
• compreender a definição de momento de inércia polar de uma área;
• utilizar corretamente a propriedade dos eixos perpendiculares no cálculo do momento de 
inércia polar;
• compreender e aprender a calcular o raio de giração de uma área.
FI
CH
A
 T
ÉC
N
IC
A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE 
EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Gestão Pedagógica
Coordenação
Gabrielle Nunes Paixão
Transposição Pedagógica
Joelma Andréa de Oliveira
Produção de 
Design Multimídia
Coordenação
Rodrigo Tito M. Valadares
Design Multimídia
Alan Galego Bernini
Raphael Gonçalves Porto Nascimento
Infra-Estrututura e Suporte
Coordenação
Anderson Peixoto da Silva
AUTORIA DA DISCIPLINA 
Profa. Valéria Cunha Figueiredo
BELO HORIZONTE - 2015
MOMENTO DE INÉRCIA - PARTE 2
Introdução
Vamos iniciar com a definição do momento de inércia de uma massa dm em relação aos 
eixos X e Y, indicados na figura 1, e do momento de 2ª ordem da área A em relação aos 
eixos X e Y.
Fig. 1 – Massa dm de um corpo homogêneo, de espessura e e área A.
Fonte: próprio autor
Os momentos de inércia da massa dm em relação aos eixos X e Y são:
2
2
X
Y
dI y dm
dI x dm
 =

=
; como dm=rdV=redA, onde dV é o volume da massa dm,
podemos escrever:
2
2
X
Y
dI y dA
dI x dA
ρε
ρε
 =

=
; os momentos de inércia totais da área A em relação aos eixos X e Y são:
2
2 
X
Y
I y dA
I x dA
ρε
ρε
 =

=
∫
∫
.
As integrais indicadas 2y dA∫ e 2x dA∫ são os momentos de 2ª ordem da área A em relação 
aos eixos X e Y respectivamente, e usualmente indicados por IX e IY:
2
2
X
Y
I y dA
I x dA
 =

=
∫
∫
.
Propriedade dos eixos paralelos
Apresentamos, na tabela 1, momentos de inércia (ou momentos de 2ª ordem) básicos de 
áreas comuns, em relação a eixos específicos, isto é, momentos de inércia válidos apenas 
para os eixos ali especificados, situados em uma posição bem definida sobre cada área.
Momento de Inércia - Parte 2 215
TABELA 1 – MOMENTOS DE INÉRCIA DE ÁREAS COMUNS
Forma da 
área
Área com o eixo
Momento de 
inércia
Observações
Retangular
3
3E
BHI =
Eixo E: eixo que coin-
cide com um lado do 
retângulo.
B: lado do retângulo 
paralelo ao eixo.
H: altura relativa ao 
lado B.
Triangular
3
12E
BHI =
Eixo E: eixo que coin-
cide com um lado do 
triângulo.
B: lado do triângulo 
na direção do eixo.
H: altura relativa ao 
lado B.
Quadrante 
de círculo de 
raio R
4
16E
RI π=
Eixo E: eixo que coin-
cide com um lado do 
reto do quadrante.
Semicírculo 
de raio R
4
1 8
RI π= Eixo 1: eixo diametral.
4
2 8
RI π=
Eixo 2: eixo de sime-
tria (passa pelo centro 
de gravidade).
Círculo de 
raio R
4
4C
RI π=
Eixo C: eixo de sime-
tria (no plano da área) 
que passa pelo centro 
de gravidade.
Fonte: próprio autor,
Momento de Inércia - Parte 2216
Imagine agora a seguinte situação: 
Precisamos obter o momento de 
inércia da área da figura 2, em relação 
ao eixo X.
Fig. 2 – Área composta por um retângulo e um semicírculo
Fonte: próprio autor
Como se trata de uma área composta, o momento de inércia total será a soma dos 
momentos de inércia de cada uma das áreas em relação ao eixo X, como ilustra a figura 3.
Fig. 3: O eixo X e a decomposição da área
Fonte: próprio autor
X XRetângulo XSemicírculoI I I= + , mas como obter o valor de XSemicírculoI ?
A tabela 1 também informa que o momento de inércia da área retangular será 
3
 
3retângulo
BHI = ,
onde B é o lado do retângulo paralelo ao eixo.
Mas quanto ao momento de inércia do semicírculo, precisamos de um recurso que nos 
permita obter este valor, uma vez que a posição do eixo X no problema não pode ser 
alterada.
A propriedade dos eixos paralelos possibilita a resolução de situações como essa, propor-
cionando grande versatilidade ao cálculo de momentos de inércia de áreas em relação a 
um eixo, em qualquer situação, dentro ou fora de uma área.
PROPRIEDADE DOS EIXOS PARALELOS
Para propormos esta propriedade, precisamos de uma área A, sobre a qual traçamos dois 
eixos paralelos E e C separados por uma distância D, sendo o eixo C, obrigatoriamente, 
no centro de gravidade da área, como mostra a figura 4.
Momento de Inércia - Parte 2 217
Fig. 4 – A área A e os eixos E e C separados por uma distância D
Fonte: próprio autor
Vamos tomar uma área infinitesimal dA situada à distância x do eixo C e à distância x+D 
do eixo E.
Seguindo as definições apresentadas na introdução
2
2
X
Y
I y dA
I x dA
 =

=
∫
∫
, o momento de inércia ou de 2ª ordem da área infinitesimal dA em relação 
ao eixo E é igual a:
( )2EdI x D dA= + .
O momento de 2ª ordem total da área A em relação ao eixo E é a soma de todos os 
momentos de inércia, de todas as áreas infinitesimais que compõem a área A.
Logo:
( ) ( )2 2 22EI x D dA x xD D dA= + = + +∫ ∫ .
Devemos analisar o significado das três integrais de IE, para chegarmos à formulação da 
propriedade dos eixos paralelos.
Temos que:
2 22EI x dA D xdA D dA= + +∫ ∫ ∫ .
• 2x dA∫ : como x é a distância de cada área dA até o eixo C (veja a fig.4), esta integral 
é o momento de 2ª ordem ou momento de inércia da área A em relação ao eixo C 
e escreveremos 2CI x dA= ∫ .
• xdA∫ : x é a distância de cada área dA até o eixo C, portanto esta integral é o momen-
to de 1ª ordem da área A em relação ao eixo C.
Lembrando que o momento de 1ª ordem de uma área, em relação a qualquer eixo 
que passe pelo seu centro de gravidade, é nulo, concluímos que 0xdA =∫ .
Este valor nulo da xdA∫ é o motivo da exigência de que um dos eixos paralelos passe 
no centro de gravidade da área, pois, caso contrário, teremos 0xdA ≠∫ .
• xdA∫ : é o valor da área A, com momento de inércia IE em relação ao eixo E.
Logo, escrevemos xdA A=∫ .
Substituindo estas informações na expressão de IE , formularemos a importante proprie-
dade dos eixos paralelos como se segue, observando a figura 5:
2
E CI I AD= + .
Momento de Inércia - Parte 2218
Esta propriedade estabelece a relação entre dois momentos de inércia relativos a dois 
eixos paralelos, com qualquer orientação, DESDE QUE UM DELES PASSE PELO CENTRO 
DE GRAVIDADE DA ÁREA!
Fig. 5 – A área A e dois eixos paralelos E e C separados pela distância D
Fonte: próprio autor
Agora já sabemos como proceder no problema referente às figuras 2 e 3, para obter o 
valor do momento de inércia do semicírculo em relação ao eixo X.
Devemos traçar, sobre o centro de gravidade do semicírculo, um eixo C, paralelo ao eixo X, 
como mostra a figura 6, para aplicar a propriedade dos eixos paralelos.
Fig. 6 – O momento de inércia IXSemicirculo é obtido com a propriedade dos eixos paralelos.
Fonte: próprio autor
Momento de inércia de áreas 
comuns em relação ao eixo C
O primeiro uso que faremos da propriedade dos eixos paralelos será acrescentar mais 
informações fundamentais à tabela 1.
Vamos obter a expressão do momento de inércia em relação ao eixo C, isto é, em relação 
ao eixo que passa pelo centro de gravidade de cada uma das formas de área.
Tais informações nos permitirão obter momentos de inércia de diversas áreas compostas, 
incluindo também o problema da figura 6.
MOMENTO DE INÉRCIA DA ÁREA 
RETANGULAR EM RELAÇÃO AO EIXO C
Estabelecemos, na tabela 1, que o momento de inércia da área retangular em relação ao 
eixo E é igual a:
3
3E
BHI = .
Momento de Inércia - Parte 2 219
E ele é um eixo que coincide com um lado do retângulo;logo, situado fora do centro de 
gravidade.
Vamos obter, para esta forma de área, a expressão do momento de inércia em relação ao 
eixo C.
Temos, na figura 7, as informações relevantes para nosso objetivo.
Fig. 7 – Os eixos E e C sobre a área retangular, separados pela distância H/2. 
Fonte: próprio autor
A propriedade dos eixos paralelos informa que:
2 
E CI I AD= + .
Sabemos que:
3
3
 
2
E
BHI
A BH
HD

=
 =

 =

.
Logo:
23 3
2
3 2 12C E
BH H BHI I AD BH  = − = − = 
 
.
ATENÇÃO
Generalização
Vamos estender o uso deste resultado para o eixo C, paralelo a um lado do retângulo, inde-
pendentemente de sua orientação, como mostra a figura 8.
Fig. 8 – Os eixos E e C sobre a área retangular, separados pela distância H/2 
Fonte: próprio autor
Momento de Inércia - Parte 2220
Temos que:
3
3
3
12
E
C
BHI
BHI

=

 =
, onde 
 
 
B lado paraleloaoeixo
H altura relativa aolado B
=
 =
.
MOMENTO DE INÉRCIA DA ÁREA 
TRIANGULAR EM RELAÇÃO AO EIXO C
Estabelecemos, na tabela 1, que o momento de inércia da área retangular em relação ao 
eixo E é igual a:
3
12E
BHI = .
Lembramos que o eixo E coincide com um lado do triângulo, localizado, portanto, fora do 
centro de gravidade da área.
Usaremos aqui o mesmo procedimento, para obtermos o momento de inércia da seção 
triangular em relação a um eixo, paralelo ao eixo E, que passe pelo seu centro de gravida-
de, como mostra a figura 9.
Fig. 9 – Os eixos paralelos E e C separados no triângulo pela distância D = H/3
Fonte: próprio autor
Pela propriedade, temos:
2
E CI I AD= + .
Sabemos que:
3
12
2
3
E
BHI
BHA
HD

=

 =


=

.
Logo:
23 3
2
12 3 36C E
BH H BHI I AD BH  = − = − = 
 
.
Momento de Inércia - Parte 2 221
ATENÇÃO
Generalização
O uso deste resultado pode ser estendido para qualquer área triangular com um eixo que 
passe pelo seu centro de gravidade, isto é, um eixo C paralelo a um de seus lados, como 
indica a figura 10.
Fig. 10 – Os eixos E e C sobre a área triangular separados pela distância H/3
Fonte: próprio autor
Temos que:
3
3
12
36
E
C
BHI
BHI

=

 =
, onde, 
 
 
B lado paraleloaoeixo
H altura relativa aolado B
=
 =
.
MOMENTO DE INÉRCIA DO SEMICÍRCULO 
DE RAIO R EM RELAÇÃO AO EIXO 3
A tabela 1 nos mostra que o momento de inércia da área semicircular em relação ao eixo 
diametral, que denominamos eixo 1, é igual a:
4
1 8
RI π= .
Agora vamos utilizar essa informação, para obter o momento de inércia da área em relação 
ao eixo 3, sobre o centro de gravidade e paralelo ao eixo 1, conforme mostra a figura 11.
Fig. 11 – Os eixos paralelos 1 e 3 separados pela distância D=0,424R
A figura 11 mostra que:
• O eixo 1, fora do centro de gravidade, corresponde ao eixo E
e
• O eixo 3, sobre o centro de gravidade, corresponde ao eixo C.
Momento de Inércia - Parte 2222
Desta forma, temos que:
4
4
1
2
2
0,393
8
1,57
2
0,424
RI R
RA R
D R
π
π

= ≅


= ≅

=


Logo:
( )22 4 2 43 1 0,393 1,57 0,424 0,110I I AD R R R R= − = − = .
Antes de estabelecermos este resultado de forma definitiva, 
vamos fazer uma observação importante!
Considere uma área retangular e outra na forma de um 
triângulo retângulo, e os eixos CX e CY, ambos mutuamente 
perpendiculares e situados sobre o centro de gravidade 
dessas áreas, como indicado na figura 12.
Fig. 12 – Dois eixos perpendiculares sobre o centro de gravidade de cada uma das áreas
Fonte: próprio autor
Para a área retangular, temos que:
3
3CX CY
BHI I= = .
E para a área triangular, temos que:
3
12CX CY
BHI I= = .
Ou seja, recorremos à mesma relação para ICX e ICY, e tomamos como B o lado paralelo ao 
eixo e como H a altura da área relativa ao lado B.
O semicírculo é uma forma de área, para a qual essa 
condição não é válida! Os eixos 2 e 3 são mutuamente 
perpendiculares e ambos se situam no centro de 
gravidade da área, mas têm condições distintas na área.
Momento de Inércia - Parte 2 223
• O eixo 2 é eixo de simetria da área e
4
2 8
RI π= .
• O eixo 3 é paralelo ao diâmetro, não é eixo de simetria e 
4
3 0,110I R≅ .
Fique sempre atento, quando for trabalhar com momentos de inércia da área semicircular.
Vamos sintetizar as informações da área semicircular com o auxílio da figura 13.
Fig. 13 – A área semicircular e os eixos 1, 2 e 3
Fonte: próprio autor
Temos que:
4
1
4
2
4
3
 
8
0,110
 
8
RI
I R
RI
π
π

=
 =

 =

, onde: ( )
( )
1 : 
 2 : . .
 3 : . .
Eixo eixodiametral
Eixo eixode simetria noc g
Eixo paraleloaodiâmetro noc g





.
Vamos reunir, de forma sintética, todos os resultados obtidos na tabela 2, a seguir.
TABELA 2 – MOMENTOS DE INÉRCIA DE ÁREAS COMUNS
Forma da 
área
Área com o eixo
Momento de 
inércia
Observações
Retangular
3
3E
BHI =
3
12C
BHI =
Eixo E: eixo sobre um 
dos lados da área.
Eixo C: eixo sobre o 
c.g. paralelo a um dos 
lados da área.
B: lado do retângulo 
paralelo ao eixo.
H: altura relativa ao 
lado B.
Triangular
3
12E
BHI =
3
36C
BHI =
Eixo E: eixo sobre um 
dos lados da área.
Eixo C: eixo sobre o 
c.g. paralelo a um dos 
lados da área.
B: lado do triângulo na 
mesma direção do eixo.
H: altura relativa ao 
lado B.
Quadrante 
de círculo 
de raio R
4
16E
RI π=
40,055CI R≅
Eixo E: eixo sobre um 
dos lados retos da 
área.
Eixo C: eixo sobre o 
c.g. paralelo a um dos 
lados retos da área.
Momento de Inércia - Parte 2224
Forma da 
área
Área com o eixo
Momento de 
inércia
Observações
Semicírculo 
de raio R
4
1 8
RI π=
4
2 8
RI π=
4
3 0,110I R≅
Eixo 1: eixo diametral.
Eixo 2: eixo de sime-
tria sobre o c.g.
Eixo 3: eixo paralelo 
ao diâmetro, sobre 
o c.g.
Círculo de 
raio R
4
4C
RI π=
Eixo C: eixo de sime-
tria (no plano da área) 
sobre o c.g. da área.
PROPRIEDADES
Propriedade dos eixos 
paralelos
2
E CI I AD= +
Propriedade dos eixos 
perpendiculares
 P X YJ I I= +
Fonte: próprio autor
Exemplo 1:
Determine o momento de inércia da seção T, indicada na figura 14, em relação ao eixo Y.
Fig. 14 – A área composta em T e o eixo Y
Fonte: próprio autor
A seção é composta de duas áreas retangulares 1 e 2, como mostra a figura 15, e o 
momento de inércia total será igual à soma:
1 2Y Y YI I I= + .
Momento de Inércia - Parte 2 225
Fig. 15 – O eixo Y e sua posição em relação às áreas 1 e 2
Fonte: próprio autor
Cálculo de IY1
O eixo Y se encontra fora do centro de gravidade da área 1; logo, aplicaremos a proprie-
dade dos eixos paralelos, ou seja:
2
1 Y CI I AD= + .
ATENÇÃO
Sempre que você for utilizar essa propriedade, é necessário:
• Localizar o centro de gravidade da área.
• Traçar sobre ele o eixo C, paralelo ao eixo em relação ao qual deseja - se obter o 
momento de inércia.
• Avaliar a distância entre os dois eixos paralelos.
Na tabela 2, obtemos:
3
12C
BHI = ,
onde B é o lado do retângulo paralelo ao eixo C e H é a altura relativa ao lado B.
Logo:
( )3 4
4
96 30
12
216000
CI cm
cm
=
=
( )( ) 2
2
96 30
2880
A cm
cm
=
=
( )45 15
60
D cm
cm
= +
=
( )2 4 41 216000 2880 60 10584000YI cm cm = + =  .
Cálculo de IY2
O eixo Y coincide com um lado do retângulo da área 2.
Nesse caso, também temos o eixo fora do centro de gravidade da área, mas a tabela 2 
fornece o momento de inércia da área retangular em relação ao eixo nesta condição, que 
corresponde ao eixo E.
Teremos então:
3
3E
BHI =
.
Momento de Inércia - Parte 2226
É importante você compreender que cabe o uso da propriedade dos 
eixos paralelos, sempre que precisarmos de momentos de inércia 
em relação a eixos fora do centro de gravidade de uma área.
Entretanto, a informação IE=BH 3/3 e todas as outras relações 
referentes a eixos fora do centro de gravidade, mas situados na 
borda das áreas da tabela 2, são resultados que também foram 
obtidos com o uso desta propriedade.
Como estes valores de momento de inércia são de grande utilidade, 
é comum sua disponibilização, juntamente com os valores de IC de 
cada área, nastabelas de materiais didáticos sobre o assunto.
Prosseguindo no cálculo de IY2, teremos:
3
2 3Y E
BHI I= = ,
sendo B o lado do retângulo paralelo ao eixo Y e H a altura relativa ao lado B.
Portanto:
( )33 4 4
2
30 120
17280000
3 3Y
BHI cm cm= = = .
O momento de inércia total da área em relação ao eixo Y é igual a:
4
1 2 27864000Y Y YI I I cm= + = .
Exemplo 2:
Obter o momento de inércia da mesma seção T, agora em relação ao eixo X, como indica 
a figura 16.
Fig. 16 – A seção em T e o eixo X
Fonte: próprio autor
Trabalhando, separadamente, com as duas áreas retangulares, como mostra a figura 17, 
teremos: 
1 2 X X XI I I= + .
Momento de Inércia - Parte 2 227
Fig. 17 - O eixo X e sua posição em relação às áreas 1 e 2
Fonte: próprio autor
Cálculo de IX1
Vemos que o eixo X coincide com um lado da área 1; logo, consultando a tabela 2, 
teremos:
3
1 3X E
BHI I= = .
Tomando agora B=30cm e H=96cm, obtemos:
( )3 4 4
1
30 96
8847360
3X
I cm cm= = .
Cálculo de IX2
O eixo X está fora do centro de gravidade da área e devemos aplicar a propriedade dos 
eixos paralelos:
2
2X CI I AD= + .
com
3
12C
BHI = ,
lembrando que B é o lado do retângulo paralelo ao eixo e H a altura relativa a B.
As informações do problema fornecem:
( )3 4
4
120 30
12
270000
CI cm
cm
=
=
( )( ) 2
2
120 30
3600
A cm
cm
=
=
( )96 15
111
D cm
cm
= +
=
O momento de inércia total da área em relação ao eixo X é igual a:
( )2 4 42 270000 3600 111 44625600 XI cm cm = + =  .
REFLITA 
Comparando os valores de IY e IX obtidos, respectivamente, nos exemplos 1 e 2 para a seção 
T, observamos que IX é quase o dobro de IY.
Lembre-se de que acréscimos na distância da área (ou da massa) a um eixo produzem 
aumentos consideráveis no momento de inércia em relação a este eixo!
Retorne às figuras 14 e 16 e confira o que acabamos de dizer.
Momento de Inércia - Parte 2228
Exemplo 3:
Obter o momento de inércia da área indicada na figura 16 em relação ao eixo X.
Fig. 18 – A seção triangular e o eixo X
Fonte: próprio autor
O eixo X se situa sobre o vértice A, fora do centro de gravidade da área; logo, aplicaremos 
a propriedade dos eixos paralelos.
Vamos localizar o centro de gravidade da área e traçar sobre ele o eixo C, paralelo ao eixo X.
Sabemos que a distância do centro de gravidade de um triângulo em relação a qualquer 
um de seus lados é igual a 1/3 da altura relativa a este lado.
Desta forma, localizaremos o eixo C 4m acima do lado BC do triângulo, e a distância entre 
os eixos paralelos será de 8m, como mostra a figura 19.
Fig. 19 – A distância entre os eixos é também a distância do c.g. até o eixo X
Fonte: próprio autor
Consultando a tabela 2 e reunindo todas as informações, teremos:
2
X CI I AD= +
com
3
36C
BHI = .
( )3 4
4
24 12
36
1152
CI cm
cm
=
=
( )( ) 2
2
24 12
2
144
A cm
cm
=
=
( )12 4
8
D cm
cm
= −
=
Obtemos:
( )2 4 41152 144 8 10368XI cm cm = + =  .
Momento de Inércia - Parte 2 229
Exemplo 4:
Determinar o momento de inércia da área indicada na figura 20, em relação ao eixo Y.
Fig. 20 – O eixo Y e a área composta pelo retângulo e o semicírculo
Fonte: próprio autor
A área A da figura 20 é uma composição de um retângulo (área 1), do qual removemos 
um semicírculo (área 2), como vemos na figura 21.
O momento de inércia total da área em relação ao eixo Y será igual a:
1 2Y Y YI I I= − .
Fig. 21 – O eixo Y em relação às áreas 1 e 2
Fonte: próprio autor
Cálculo de IY1
O eixo Y se situa sobre um lado do retângulo, e, lembrando que B é o lado paralelo ao 
eixo, obtemos:
( )33 4 4
1
6 4
128
3 3Y
BHI m m= = =
.
Cálculo de IY2
O eixo Y, sobre o lado do retângulo, está distante do centro de gravidade do semicírculo; 
logo, precisaremos da propriedade dos eixos paralelos.
Localizamos o centro de gravidade do semicírculo e traçamos sobre ele o eixo C, paralelo 
ao eixo Y.
Momento de Inércia - Parte 2230
O centro de gravidade do semicírculo se situa sobre o seu 
eixo de simetria, à distância de 0,424R da linha do diâmetro.
E observando a figura 21, vemos que o eixo C corresponde 
ao eixo 3 da tabela 2, uma vez que ele é paralelo ao diâmetro 
do semicírculo.
Logo,
2
2Y CI I AD= +
com
( )4 4
4
0,110 2,4
3,65
CI m
m
=
≅
2
2
2
2, 4
2
9,05
A m
m
π
=
≅
( )( )4 0,424 2,4
2,98
D m
m
= −  
=
E obtemos:
( )2 4 42 3,65 9,05 2,98 84,0YI m m = + ≅  .
Concluindo:
( ) 4 41 2 128 84,0 44,0Y Y YI I I m m= − = − = .
Exemplo 5:
Determinar o momento de inércia da área indicada na figura 22, em relação ao eixo X.
Fig. 22 – O eixo X e a área composta pelo retângulo e o semicírculo
Fonte: próprio autor
Novamente, o cálculo de IX deve acompanhar a composição da área A mostrada na figura 
23.
Faremos:
1 2 X X XI I I= − .
Momento de Inércia - Parte 2 231
Fig. 23 – O eixo X e as áreas 1 e 2
Fonte: próprio autor
Cálculo de IX1
O eixo X se situa sobre um lado do retângulo, e, como B é o lado paralelo ao eixo, 
obtemos:
( )33 4 4
1
4 6
288
3 3X
BHI m m= = = .
Cálculo de IX2
O eixo X, sobre o lado do retângulo, novamente encontra-se distante do centro de gravi-
dade do semicírculo.
Logo, precisaremos da propriedade dos eixos paralelos.
Localizamos o centro de gravidade do semicírculo e traçamos sobre ele o eixo C, paralelo 
ao eixo X, como mostra a figura 23.
Neste caso, o eixo C corresponde ao 
eixo 2 da tabela 2, uma vez que ele é o 
eixo de simetria do semicírculo.
Logo,
2
2X CI I AD= +
com
( )4 4 42, 4 13,0
8C
I m m
π
= ≅
( )2 2 22, 4 9,05
2
A m m
π
= ≅ 3D m=
( )2 4 42 13,0 9,05 3 94,5XI m m = + ≅  .
Concluindo:
( ) 4 41 2 288 94,5 194X X XI I I m m= − = − ≅ .
Momento de Inércia - Parte 2232
Propriedade dos eixos perpendiculares
Já definimos o momento de 2ª ordem ou momento de inércia de uma área infinitesimal 
dA em relação aos eixos X e Y como:
2 2edI y dA dI x dAX Y= = ,
onde x e y são as distâncias de dA aos eixos Y e X respectivamente, como mostra a 
figura 24.
Fig. 24 – As distâncias x e y são respectivamente perpendiculares aos eixos Y e X
Fonte: próprio autor
ATENÇÃO
Cabe mencionar que os eixos X, Y e Z não exercem aqui o papel de eixos cartesianos.
Foram denominados assim apenas por analogia, devido às suas direções mutuamente 
perpendiculares.
Da mesma forma que definimos dIx e dIy, podemos utilizar a distância r para definirmos 
um terceiro momento de 2ª ordem ou momento de inércia, em relação ao eixo normal à 
área que, provisoriamente, chamaremos aqui de eixo Z.
Observe que r é perpendicular ao eixo Z.
De acordo com a figura 24, escrevemos:
2
ZdI r dA=
Mas, pelo teorema de Pitágoras:
2 2 2r x y= +
Logo:
2 2( )Z X YdI x y dA dI dI= + = +
O momento de inércia total IZ é igual a:
X YZ
dI dI dI= +∫ ∫ ∫ , ou seja, 
z X YI I I= +
Momento de Inércia - Parte 2 233
Vamos agora trazer a terminologia correta para este novo momento de inércia de áreas.
• O eixo Z é um eixo polar no ponto P (veja figura 24).
• Eixo polar: é um eixo normal ao plano da área A. 
• IZ é o momento de inércia polar em relação ao ponto P.
• O momento de inércia polar em relação ao ponto P é indicado por JP .
Vamos agora enunciar a propriedade dos eixos perpendiculares.
O momento de inércia polar de uma área A, em relação ao ponto P, é igual à soma de dois 
momentos de inércia, relativos a dois eixos perpendiculares que se interceptam no ponto P, 
como mostra a figura 25.
P X YJ I I= +
Fig. 25 – O eixo polar e a propriedade dos eixos perpendiculares
Fonte: próprio autor
A propriedade significa que, para obtermos o momento de inércia polar de uma área em 
relação a um ponto Q:
• traçamos sobre este ponto dois eixos perpendiculares no plano da área;
• calculamos o momento de inércia da área em relação a cada um desses eixos, 
empregando todos os recursos que aprendemos;
• adicionamos os dois momentos de inércia calculados e obtemos, assim, o momento 
de inércia polar em relação ao eixo normal à área (eixo polar) no ponto Q.
Outro ponto importante é o momento de inércia polarem relação a um ponto não depen-
der da orientação dos dois eixos perpendiculares traçados sobre ele. Veja a figura 26.
1 2PJ I I= +
3 4PJ I I= +
Fig. 26 – O valor de JP independe da escolha dos eixos perpendiculares em P
Fonte: próprio autor
Momento de Inércia - Parte 2234
Exemplo 6:
Obter o momento de inércia polar da seção triangular da figura 27, em relação ao centro 
de gravidade.
Fig. 27 – Triângulo isósceles do exemplo 6
Fonte: próprio autor
Como este triângulo é isósceles, seu centro de gravidade se situa sobre o eixo de simetria 
e à distância de 2,5m do lado AC.
Fig. 28 – Os eixos X e Y traçados sobre o centro de gravidade da área
Fonte: próprio autor
O momento de inércia polar da área em relação ao centro de gravidade é
c X YJ I I= +
Cálculo de IX
De acordo com as informações da tabela 2, 
3
36X C
BHI I= = onde B é o lado do triângulo 
paralelo ao eixo X e H a altura do triângulo relativa ao lado B.
Logo:
3
4 46(7,5) 70,3
36X
I m m= ≅
Cálculo de IY
ATENÇÃO
Apesar de o eixo Y se situar sobre o centro de gravidade da área, não há lado vertical paralelo 
ao eixo Y, que nos permita utilizar a relação 
3
36
BH .
Momento de Inércia - Parte 2 235
O cálculo de IY deve ser feito com dois triângulos retângulos compartilhando o eixo Y no 
cateto vertical comum a ambos, como mostra a figura 28.
Teremos então:
3 3
4 47,5(3)2 33,8
12 12Y
BHI m m= = ≅
O momento de inércia polar é igual a:
4 4(70,3 33,8) 104C X YJ I I m m= + = + ≅
Exemplo 7:
Obter o momento de inércia polar em relação ao ponto P, situado no centro de gravidade 
da seção retangular da área.
Fig. 29 – A seção composta por um retângulo e um semicírculo
Fonte: próprio autor
Vamos traçar sobre o ponto P dois eixos perpendiculares, como vemos na figura 30.
Fig. 30 – Os eixos X e Y no ponto P
Fonte: próprio autor
Sabemos que:
P X YJ I I= +
Cálculo de IX
Vamos obter a soma X Xret XscI I I= +
Acompanhe, nas figuras 31 e 32, a obtenção de cada um dos momentos de inércia 
indicados.
Momento de Inércia - Parte 2236
Fig. 31 – O momento de inércia em relação ao eixo X
Fonte: próprio autor
O eixo X está no centro de gravidade do retângulo; logo:
3 3
42(6) 36
12 12Xret
BHI m= = =
O eixo X encontra-se fora do semicírculo; logo, faremos:
2
Xsc CI I AD= +
com 40,110CI R= , uma vez que o eixo C é paralelo ao diâmetro.
Temos que:
4 4 40,110(3) 8,91CI m m= ≅
2
2 2(3) 14,1
2
A m mπ= ≅ [3 (0,424)(3)]m 4,27 mD = + =
2 4[8,91 (14,1)(4,27) ]XscI m= + =
4266m 
4(36 266)X Xret XscI I I m= + = + =
4302m
Cálculo de IY
Observando que o eixo Y é também o eixo de simetria da área, ele passa pelo centro de 
gravidade das áreas individuais.
Desta forma, teremos:
Y Yret YscI I I= +
Fig. 32 – O momento de inércia em relação ao eixo Y
Fonte: próprio autor
Momento de Inércia - Parte 2 237
3 36(2)
12 12Yret
BHI = = = 44m
 
4(3)
8Ysc
I π= = 431,8m
 
4(4 31,8)Y Yret YscI I I m= + = +
4= 35,8m
O momento de inércia polar em relação ao ponto P é igual a:
4(302 35,8)P X YJ I I m= + = +
4= 337,8m
Raio de giração de uma área
No início do estudo de momento de inércia, propusemos o sistema compacto, mostrado 
na figura 33, constituído por um eixo 1 ao qual acoplamos uma massa m presa a uma 
haste de comprimento r.
Aplicando a força F

 normal ao plano da figura, o sistema vai girar em torno do eixo 
indicado.
Fig. 33 – Massa m gira em torno do eixo 1 sob a ação do torque da força F

.
Fonte: próprio autor
A força F

 produz um torque (ou momento) M

 em relação ao eixo 1, que coloca a massa 
m em movimento circular em torno do eixo.
Este sistema compacto possui momento de inércia em relação ao eixo 1 igual a 
2
1I mr=
onde r é denominado raio de giração da massa m em relação ao eixo 1 e calculado como 
1Ir
m
=
No desenvolvimento do nosso estudo do momento de inércia, aprendemos que, para um 
corpo homogêneo, de espessura constante ε , podemos definir o momento de 2ª ordem 
da área A, da sua seção transversal, em relação a um eixo.
Vimos que esta grandeza depende diretamente da forma da área da seção transversal do 
corpo e de como ela se distribui em torno deste eixo.
Momento de Inércia - Parte 2238
Sendo assim, da mesma forma que substituímos o momento de inércia da massa pelo 
momento de 2ª ordem da área, vamos definir o raio de giração de uma área em relação 
a um eixo 1, como:
1
1
Ik
A
=
O raio de giração:
• usualmente, é indicado pela letra k, onde o índice e nomeia o respectivo eixo de 
referência;
• é medido em unidade de comprimento: m, cm, mm, etc;
• é um valor característico de uma área, que depende do valor de A, da sua forma e, 
consequentemente, do seu momento de 2ª ordem em relação ao eixo de interesse;
• é um parâmetro da área, que nos informa a relação geométrica e física possível 
entre a forma da área A e seu valor e seu momento de inércia em relação ao eixo 1, 
por exemplo, na razão 1I A;
• é uma grandeza importante no dimensionamento de estruturas, quando se trata de 
conferir a elas a resistência necessária.
Exemplo 8:
Determinar o raio de giração de juma seção circular de raio igual a 2m, mostrada na figura 
34, em relação ao eixo polar no centro de gravidade.
Fig. 34 – Os eixos perpendiculares X e Y se interceptam no C.G. da área
Fonte: próprio autor
Devido à simetria do problema proposto, teremos que:
C X YJ I I= +
E ainda,
4 4
4 4(2) 12,6
4 4X Y
RI I m mπ π= = = ≅
Logo:
4 4(2)(12,6) 25,2CJ m m= =
A área é 2 2 2.2 12,6A m mπ= =
O raio de giração desta área em relação ao eixo polar no c.g. será igual a:
1,41CC
J
K m
A
= ≅
Momento de Inércia - Parte 2 239
Exemplo 9:
Determine o raio de giração da área da figura 35, em relação aos eixos X e Y. 
Fig. 35 – A área do exemplo 9 e os eixos X e Y
Fonte: próprio autor
Obtivemos os momentos de inércia desta área em relação aos eixos X e Y nos exemplos 
5 e 4, respectivamente.
São eles:
4194XI m= 
e
444,0YI m=
A área da região é 
2
2 2(2, 4)(4)(6) 15,0
2
A m mπ
 
= − ≅ 
 
Teremos então:
4
2
194 3,60
15,0
X
X
I mk m
A m
= = ≅
 
e 
4
2
44,0 2,93
15,0
Y
Y
I mk m
A m
= = ≅
Momento de Inércia - Parte 2240
241
Síntese
Iniciamos o módulo com a definição do momento de 2ª ordem de uma área em relação 
a um eixo e com uma lista, na tabela 1, dos valores de momentos de 2ª ordem de áreas 
comuns, em relação a eixos situados na borda dessas áreas.
Aprendemos a propriedade dos eixos paralelos e a sua importância, ao estabelecer a 
relação entre dois momentos de inércia de uma área, relativos a dois eixos paralelos, com 
qualquer orientação, desde que um deles se situe no centro de gravidade da área.
Obtivemos, com o auxílio desta propriedade, os momentos de inércia de áreas comuns, 
em relação a eixos situados no centro de gravidade dessas áreas e reunimos essas infor-
mações na tabela 2.
Em seguida, utilizamos amplamente a propriedade dos eixos paralelos, para obter momen-
tos de inércia de áreas compostas, em relação a diversos eixos, dentro e fora delas.
Aprendemos a propriedade dos eixos perpendiculares, que define o momento de inércia 
polar de uma área, em relação a um eixo normal à área.
Definimos e aprendemos a calcular também o parâmetro de uma área, denominado raio 
de giração da área, cujo valor mostra a relação existente entre a forma de uma área A e 
seu momento de inércia em relação a um determinado eixo.
O raio de giração será de grande importância posteriormente, para o dimensionamento 
adequado de estruturas.
Agora, avalie se você conseguiu assimilar bem todos os conceitos, pois, caso contrário, é 
importante que você retorne ao texto, para rever os tópicos que não ficaram claros.
Referências
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: estática. 5. ed. rev. São Paulo: Makron 
Books, 1991.
BEER, F. P.; JOHNSTON, E. R.; EISENBERG, E. R. Mecânica Vetorial para Engenheiros: estática. 7. ed. Rio de 
Janeiro: McGrawHill, 2006.
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para engenharia. 10. ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall,2005.
HIBBELER, R.C. Estática: Mecânica para engenharia. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2011.
SHAMES, I. H. Estática: Mecânica para engenharia. 4. ed. São Paulo: Prentice Hall, 2002.