Gabarito Lista_2_FETRANS

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Fenômenos de Transporte
Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro
Lista 2
Monitora: Monique Feitosa
Questão 1 – Instalações hidráulicas 
• Ar escoa para fora de uma câmara de teste de uma sala limpa através de um duto de 150 mm de diâmetro 
e de comprimento L. O duto original tinha uma entrada de borda viva, mas foi substituído por outro de 
entrada bem arredondada. A pressão na câmara é 2,5 mm de água acima do ambiente. As perdas por 
atrito são desprezíveis comparadas com as perdas de entrada e de saída. Estime o aumente na vazão 
volumétrica que resulta da mudança no contorno da entrada. 
1. ��
� − ��
� ≈ ��
�
2. Tubo horizontal, �� = ��
3. Perdas maiores desprezíveis, ℎ�= 0
��
�
+
��
�
2
+ ��� −
��
�
+
��
�
2
+ ��� = ℎ�� ℎ�� = ℎ� + ℎ��
ℎ�� = �
��
2
∆� = �����ℎ
�� − ��
���
=
��
�
2
+ �
��
�
2
 
�����ℎ 
���
= 1 + �
��
�
2
�� =
2�����ℎ 
��� 1 + �
�
=
2 ∗ 998 ∗ 9,81 ∗ 0,0025
1,21 1 + �
 
�
= 
40,46
1 + �
�
Questão 1 – Instalações hidráulicas 
• Ar escoa para fora de uma câmara de teste de uma sala limpa através de um duto de 150 mm de diâmetro 
e de comprimento L. O duto original tinha uma entrada de borda viva, mas foi substituído por outro de 
entrada bem arredondada. A pressão na câmara é 2,5 mm de água acima do ambiente. As perdas por 
atrito são desprezíveis comparadas com as perdas de entrada e de saída. Estime o aumente na vazão 
volumétrica que resulta da mudança no contorno da entrada. 
Borda Viva K=0,5 Borda Arredondada K=0,04
�� = 
40,46
1 + �
�
�� = 
40,46
1 + 0,5
�
= 5,19 �/� �� = 
40,46
1 + 0,04
�
= 6,24 �/�
% =
∆�
�
∗ 100 =
���� − ����
����
∗ 100 =
6,24 − 5,19
5,19
∗ 100 = 20,23%
• Dois tubos de ferro galvanizado de diâmetro D estão conectados a um grande reservatório de água, 
conforme mostrado. O tubo A tem comprimento L e o tubo B tem comprimento 2L. Ambos os tubos 
descarregam para a atmosfera. Por qual tubo passará a maior vazão? Justifique (sem calcular a vazão 
em cada tubo). Calcule a maior vazão se H = 10 m, D = 5 cm e L = 50 m. 
1. ��
� − ��
� ≈ ��
�
2. �� = �� = ����
R: No tubo A passa a maior vazão
Questão 2 – Instalações hidráulicas 
��
�
+
��
�
2
+ ��� −
��
�
+
��
�
2
+ ��� = ℎ��
ℎ� = �
�
�
��
2
ℎ�� = �
��
2
� �� − �� =
��
�
2
+ �
�
�
��
2
+ �
��
�
2
 
 
�� =
��
�
2
�
�
�
+ � + 1
��
� =
2���
�� + �(� + 1)
��
� =
2���
�2� + �(� + 1)
�� > ��
�� = ��
�� > ��
• Dois tubos de ferro galvanizado de diâmetro D estão conectados a um grande reservatório de água, 
conforme mostrado. O tubo A tem comprimento L e o tubo B tem comprimento 2L. Ambos os tubos 
descarregam para a atmosfera. Por qual tubo passará a maior vazão? Justifique (sem calcular a vazão 
em cada tubo). Calcule a maior vazão se H = 10 m, D = 5 cm e L = 50 m. 
• Borda Viva K=0,5
•
�
�
=
�,�����
�,��
= 0,003
•  =998 kg/m³
•  = 1,01x10-3 N.s/m²
• Re = 4 x 105 ~ f = 0,026
Questão 2 – Instalações hidráulicas 
�� =
2���
�� + �(� + 1)
�
=
2 ∗ 0,05 ∗ 9,81 ∗ 10
0,026 ∗ 50 + 0,05(0,5 + 1)
�
= 2,67 �/�
�� = 
���
�
=
998 ∗ 2,67 ∗ 0,05
1,01x10−3
= 1,31 x 10� pela tabela � = 0,027
�� =
2 ∗ 0,05 ∗ 9,81 ∗ 10
0,027 ∗ 50 + 0,05(0,5 + 1)
�
= 2,62 �/�
� = �� = 2,62 ∗
�0,05�
4
= 0,00514
��
�
= 5,14x10��
��
�
• Obtenha a potência mínima da bomba da instalação mostrada na figura, em watt. O fluido é água (ρ = 
1000 kg/m3; μ = 10-3 Pa.s) e a vazão é de Q = 1000 L/h. Toda a tubulação é trefilada. A tubulação
de sucção tem comprimento Ls = 5 m e diâmetro Ds = 20 mm, enquanto que a de recalque tem 
comprimento Lr = 18 m e diâmetro Dr= 15 mm. Na tubulação de sucção existem quatro joelhos e uma 
válvula de pé, e na de recalque há cinco joelhos e uma válvula gaveta. A diferença de níveis entre os 
reservatórios é H = 8 m. 
1. ��
� = ��
�
2. �� = �� = ����
Questão 3 – Instalações hidráulicas 
��
�
+
��
�
2
+ ��� −
��
�
+
��
�
2
+ ��� = ℎ��
ℎ� = �
�
�
��
2
ℎ�� = �
��
2
ℎ�� = ��
�
��
��
�
2
+ ����
��
�
2
+ ��
�
��
��
�
2
+ ����
��
�
2
� = �� ∴ � =
�
�
• Obtenha a potência mínima da bomba da instalação mostrada na figura, em watt. O fluido é água (ρ = 
1000 kg/m3; μ = 10-3 Pa.s) e a vazão é de Q = 1000 L/h. Toda a tubulação é trefilada. A tubulação
de sucção tem comprimento Ls = 5 m e diâmetro Ds = 20 mm, enquanto que a de recalque tem 
comprimento Lr = 18 m e diâmetro Dr= 15 mm. Na tubulação de sucção existem quatro joelhos e uma 
válvula de pé, e na de recalque há cinco joelhos e uma válvula gaveta. A diferença de níveis entre os 
reservatórios é H = 8 m. 
• Sucção:
Questão 3 – Instalações hidráulicas 
� = �� ∴ � =
�
�
 Q = 1000
�
ℎ
∗
1 ��
1000 ���
∗
1 ℎ
3600 �
= 2,77�10����/�
�
�
=
1,5x10��
2x10��
= 7,5x10��
��� = 
����
�
=
����
��
��
�
4
=
4��
����
=
4 ∗ 1000 ∗ 2,77x10��
2x10��∗π ∗ 10−3
= 1,76 x 10� pela tabela �� ≈ 0,027
��
��
=
5
2x10��
= 250
����
��
= 4 ∗ 30 + 420 = 540 �� =
�
��
=
�
�
��
�
4
=
4 ∗ 2,77x10��
� ∗ 2x10��
= 0,881 �/�
• Obtenha a potência mínima da bomba da instalação mostrada na figura, em watt. O fluido é água (ρ = 
1000 kg/m3; μ = 10-3 Pa.s) e a vazão é de Q = 1000 L/h. Toda a tubulação é trefilada. A tubulação
de sucção tem comprimento Ls = 5 m e diâmetro Ds = 20 mm, enquanto que a de recalque tem 
comprimento Lr = 18 m e diâmetro Dr= 15 mm. Na tubulação de sucção existem quatro joelhos e uma 
válvula de pé, e na de recalque há cinco joelhos e uma válvula gaveta. A diferença de níveis entre os 
reservatórios é H = 8 m.
• Recalque:
Questão 3 – Instalações hidráulicas 
�
�
=
1,5x10��
1,5x10��
= 10��
��� = 
4 ∗ 1000 ∗ 2,77x10��
1,5x10��∗π ∗ 10−3
= 2,35 x 10� pela tabela �� ≈ 0,025
��
��
=
18
1,5x10��
= 1200
����
��
= 5 ∗ 30 + 8 = 158
�� =
�
��
=
�
�
��
�
4
=
4 ∗ 2,77x10��
� ∗ 1,5x10��
= 1,57 �/�
• Obtenha a potência mínima da bomba da instalação mostrada na figura, em watt. O fluido é água (ρ = 
1000 kg/m3; μ = 10-3 Pa.s) e a vazão é de Q = 1000 L/h. Toda a tubulação é trefilada. A tubulação
de sucção tem comprimento Ls = 5 m e diâmetro Ds = 20 mm, enquanto que a de recalque tem 
comprimento Lr = 18 m e diâmetro Dr= 15 mm. Na tubulação de sucção existem quatro joelhos e uma 
válvula de pé, e na de recalque há cinco joelhos e uma válvula gaveta. A diferença de níveis entre os 
reservatórios é H = 8 m.
���� = 0,78 ���� = 1
Questão 3 – Instalações hidráulicas 
ℎ�� = ��
�
��
��
�
2
+ ����
��
�
2
+ ��
�
��
��
�
2
+ ����
��
�
2
ℎ�� = 0,027 ∗ 250 + 540 + 0,78 ∗
0,881� 
2
+ 0,025 ∗ 1200 + 158 + 1 ∗
1,57� 
2
= 51,59 ��/�²
−�
�̇
= ℎ�� − � �� − �� = ℎ�� + ��
−� = �� ℎ�� + �� = 1000∗2,77x10
��∗(51,59+9,81∗8) = 36,03 W
• Você quer projetar uma tubulação de PVC (ε/D ≈ 0) para o chuveiro da piscina de sua casa, de forma a
garantir uma vazão mínima Q = 3 L/s. A caixa d’água de sua casa fica sob o telhado a uma altura Δh = 7 
m, mas o comprimento total do tubo necessário é de L = 12 m. Supondo que você precisará incluir na 
tubulação uma válvula gaveta (8), uma válvula de esfera(3) e cinco joelhos (90°)(30), é que o chuveiro 
que você pretende comprar trabalha com uma pressão manométrica mínima de 2 metros de coluna 
d’água, determine o diâmetro mínimo da tubulação. K = 0,5
1. ��
� − ��
� ≈ ��
�
Questão 4 – Instalações hidráulicas 
��
�
+
��
�2
+ ��� −
��
�
+
��
�
2
+ ��� = ℎ��
ℎ� = �
�
�
��
2
ℎ�� = �
��
2
�� − ��
�
+ � �� − �� −
��
�
2
= �
�
�
��
�
2
+ �
��
�
2
−(��−��)
�
+ �� =
��
�
2
�
�
�
+ � + 1 =
8�²
�²�4
�
�
�
+
���
�
+ � + 1
� = �� ∴ �� =
4�
��²
���
�
= 8 + 3 +5*30 = 161
� =
(��−��)
��
+
8�²
��²�4
�
�
�
+
���
�
+ � + 1
• Você quer projetar uma tubulação de PVC (ε/D ≈ 0) para o chuveiro da piscina de sua casa, de forma a
garantir uma vazão mínima Q = 3 L/s. A caixa d’água de sua casa fica sob o telhado a uma altura Δh = 7 
m, mas o comprimento total do tubo necessário é de L = 12 m. Supondo que você precisará incluir na 
tubulação uma válvula gaveta, uma válvula de esfera e cinco joelhos (90°), é que o chuveiro que você 
pretende comprar trabalha com uma pressão manométrica mínima de 2 metros de coluna d’água, 
determine o diâmetro mínimo da tubulação. 
Questão 4 – Instalações hidráulicas 
D e/D Re f H Delta h
0,02 0,00005 1,91E+05 0,0160 65,60 7,00 
0,03 0,00005 1,27E+05 0,0168 12,07 
0,04 0,00005 9,55E+04 0,0019 2,73 
0,035 0,00005 1,09E+05 0,0170 7,03 
� =
(��−��)
��
+
8�²
��²�4
�
�
�
+
���
�
+ � + 1
� =
20000
9,81 ∗ 1000
+
8 ∗ (3�10��)²
9,81 ∗ �� ∗ �4
�
12
�
+ 161 + 1,5
�� = 
���
�
=
���
��
��
4
=
4��
���
=
4 ∗ 1000 ∗ 3x10��
10�� ∗ ��
Questão 5 – Formulação diferencial 
• Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior move para a 
esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior esta parada. O espaçamento entre as placas é 3 
mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão 
resultante zero em uma seção transversal. 
Questão 5 – Formulação diferencial 
• Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior move para a 
esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior esta parada. O espaçamento entre as placas é 3 
mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão 
resultante zero em uma seção transversal. 
1. ��� = 0
2. Regime Permanente
3. Escoamento completamente desenvolvido
4. Fluido Newtoniano
��� = 0
��
��
=
����
��
=
�
��
�
��
��
= �
���
���
���
���
=
1
�
��
��
 
� =
1
2�
��
��
�� + ��� + ��
��� = �
��
��
Questão 5 – Formulação diferencial 
• Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior move para a 
esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior esta parada. O espaçamento entre as placas é 3 
mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão 
resultante zero em uma seção transversal. 
Condições de contorno
y = 0; u = -V
y = H; u = 0
� =
1
2�
��
��
�� + ��� + ��
Para y = H; u = 0:
0 =
1
2�
��
��
�� + ��� − �
�� = −
1
2�
��
��
� +
�
�
� =
1
2�
��
��
�� + −
1
2�
��
��
� +
�
�
� − �
� =
1
2�
��
��
(�� − ��) + �
�
�
− 1
Para y = 0; u = -V:
−V = ��
� =
1
2�
��
��
�� + ��� − �
Questão 5 – Formulação diferencial 
• Água a 60°C escoa para a direita entre duas grandes placas planas. A placa inferior move para a 
esquerda com velocidade de 0,3 m/s; a placa superior esta parada. O espaçamento entre as placas é 3 
mm e o escoamento é laminar. Determine o gradiente de pressão necessário para produzir vazão 
resultante zero em uma seção transversal. 
� =
1
2�
��
��
�� + ��� + ��
� =
1
2�
��
��
(�� − ��) + �
�
�
− 1
� = � �. ��
�
�
= � �. ���
�
�
�
�
=
1
2�
��
��
��
3
− �
�
2
�
+ �
��
2�
− �
��
��
=
−6��
��
=
−6 ∗ 4,64�10�� ∗ 0,3
0,003�
= −92,8
�
��
= −92,8
��
�
• Um bloco retangular com massa específica ρbloco = 2000 kg/m
3, com L = 20 cm de comprimento, b = 15 
cm de largura e h = 5 cm de altura desliza ao longo de um plano inclinado, com velocidade constante 
V, sob uma camada de um óleo viscoso (ρoleo = 800 kg/m
3, μóleo = 0,005 Pa.s), com espessura a =
0,1 mm.
a) Determine a força (N) e tensão (Pa) na superfície do bloco para deslizar com velocidade V constante
b) Determine o perfil de velocidade na folga em função dos parâmetros do problema
c) Determine a velocidade de deslizamento do bloco em m/s 
Questão 6 – Formulação diferencial 
a)
S� = 0 
P. senθ = �. ��
mg. senθ = �. ��
� � =
������. ��ℎ. g. senθ
��
= ������. ℎ. g. senθ = 2000 ∗ 0,05 ∗ 9,81 ∗ sen30 = 490,5 ��
F = � � . �� = 490,5 ∗ 0,2 ∗ 0,15 = 14,715 N
• Um bloco retangular com massa específica ρbloco = 2000 kg/m
3, com L = 20 cm de comprimento, b = 15 
cm de largura e h = 5 cm de altura desliza ao longo de um plano inclinado, com velocidade constante 
V, sob uma camada de um óleo viscoso (ρoleo = 800 kg/m
3, μóleo = 0,005 Pa.s), com espessura a =
0,1 mm.
a) Determine a força (N) e tensão (Pa) na superfície do bloco para deslizar com velocidade V constante
b) Determine o perfil de velocidade na folga em função dos parâmetros do problema
c) Determine a velocidade de deslizamento do bloco em m/s 
Questão 6 – Formulação diferencial 
�) S� = 0 
��
��
=
����
��
��
��
=
����
��
+ ���
����
��
= −������
��� = −������ � + ��
Condições de contorno
y = a; ���= ���(�) y = 0; u = 0 ��=0 
�� = ��� � + ������ � � =
������ ���
��
�
���� � �
�
+ ��
��� = −������ � + ��� � + ������ � � =
������ ���
��
�
���� � �
�
�
��
��
= ������ (� − �) + ��� �
�� =
������ ��� ���� �
�
 ��
• Um bloco retangular com massa específica ρbloco = 2000 kg/m
3, com L = 20 cm de comprimento, b = 15 
cm de largura e h = 5 cm de altura desliza ao longo de um plano inclinado, com velocidade constante 
V, sob uma camada de um óleo viscoso (ρoleo = 800 kg/m
3, μóleo = 0,005 Pa.s), com espessura a =
0,1 mm.
a) Determine a força (N) e tensão (Pa) na superfície do bloco para deslizar com velocidade V constante
b) Determine o perfil de velocidade na folga em função dos parâmetros do problema
c) Determine a velocidade de deslizamento do bloco em m/s 
Questão 6 – Formulação diferencial 
c)
� � =
������ �. � −
��
2 + ��� � �
�
� � =
�����30
�
��
2
+
��� � �
�
=
800 ∗ 9,81 ∗ 0,5
0,005
∗
0,0001�
2
+
490,5 ∗ 0,0001
0,005
= 9,814 �/�
• Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Use um volume de 
controle cilíndrico conforme mostrado. Indique as forças que atuam sobre o volume de controle. 
Usando a equação da quantidade de movimento, desenvolva uma expressão para a distribuição de 
velocidade. 
1. ��� = 0
2. Regime Permanente
3. Escoamento completamente desenvolvido
4. Fluido Newtoniano
Questão 7 – Formulação diferencial 
��� = � −
��
��
��
2
��� ��� = � +
��
��
��
2
���
��� = ��� 2�� ��
��� = �
��
��
��� = 0
��� =
�
2
��
��
= �
��
��
��
��
=
�
2�
��
��
 
� =
��
4�
��
��
+ ��
• Considere escoamento laminar completamente desenvolvido em um tubo circular. Use um volume de 
controle cilíndrico conforme mostrado. Indique as forças que atuam sobre o volume de controle. 
Usando a equação da quantidade de movimento, desenvolva uma expressão para a distribuição de 
velocidade. 
Condição de Contorno
r=R; u=0
Questão 7 – Formulação diferencial 
� =
��
4�
��
��
+ ��
�� = −
��
4�
��
��
� =
��
4�
��
��
+ −
��
4�
��
��
• Um misturador rotativo é construído comdois discos circulares (CD = 1,17), conforme mostrado. O 
misturador é acionado a 60 rpm dentro de um grande vaso contendo uma solução de salmoura [ρ = 
1100 kg/m3; μ = 1,7 x 10-5 N/(m2 s)]. Despreze o arrasto nas hastes. Estime o torque e a potência 
mínimos para acionar o aparelho. 
Questão 8 – Escoamento viscoso externo 
�� =
��
1
2 ��
��
 � = �. � � = � ∗ �
�� = ��
1
2
���� =
1
2
����
���
���
4
=
1
8
����
������
� = 2�. � 
� =
1
4
����
������ ∗ r =
1
4
∗ 1,17 ∗ 1100 ∗ 4�� ∗ 0,6� ∗ � ∗ 0,1� = 86,19
�
�
� = � ∗ � = 86,19 ∗ 2 ∗ π = 541,6 �
� = 60 ��� ∗
2�
60
���
�
= 2�
• Um prédio possui 22 andares com 3 metros de altura cada andar. O prédio possui base quadrada de 
1200 m2. O prédio é localizado em região sujeita a fortes ventos. As fundações do prédio foram 
projetadas para resistir a um momento na base do prédio de 90 MJ. Estime o vento máximo que o 
prédio é capaz de resistir, sabendo que o coeficiente de arrasto de uma estrutura retangular muito 
comprida é igual a CD =1,05 e que o ar está a 20°C. 
Questão 9 – Escoamento viscoso externo 
�� =
��
1
2 ��
��
 �� = �.
ℎ
2
�� =
1
2
����
��
�� =
1
2
����
��.
ℎ
2
=
1
4
����
��ℎ�
� =
4��
����ℎ
�
�
=
4 ∗ 90 ∗ 10�
1,05 ∗ 1,21 ∗ 34,6 ∗ 66²
�
= 46,36 �/�
• Suponha o escoamento de camada limite laminar para estimar o arrasto em quatro placas quadradas 
(cada uma de dimensão 7,5 cm x 7,5 cm) colocado paralelo a um fluxo de 3 m/s de água, para as duas
configurações mostradas. Antes de calcular, qual a configuração que você espera ter o menor arrasto? 
Assume-se que as placas fixadas com uma corda são longe o suficiente para não ter influencia entre si 
e que a água é a 20°C. 
Questão 10 – Escoamento viscoso externo 
�� = 
���
�
=
998 ∗ 1 ∗ 0,075
1,01�10��
= 7,4x10� < ���
�� = � �. ��
�
�
= � �. ���
�
�
=
�
�
� 0,644. �. �. �
�
�
2
�
1
��
��
�
�
�� =
�
�
� 0,644. �. �. �
�
�
2
2 �
�
=
1,01�10��
998
�
0,644.998.0,075. 1
�
� 0,075
�
= 0,01328 N
�� = 4 ∗ �� = 0,0531 �
• A lei de arrasto de Stokes para esferas lisas deve ser verificada experimentalmente, deixando cair 
esferas de aço de rolamentos (daço = 7,8) em glicerina (dglicerina = 1,26; υ = 0,0012 m²/s). Avalie o maior 
diâmetro de esfera de aço para o qual Re < 1 para a velocidade terminal. Calcule a altura da coluna de 
glicerina necessária para que uma esfera atinja 95% da sua velocidade terminal. 
•
Questão 11 – Escoamento viscoso externo 
S� = � − � − �� F = m. a m = ρ∀ ∀=
�
�
��� =
�
�
�
�
�
�
=
�
�
��
�
��
��
= �� − ��∀ − 3����
<
0,0012�
0,288 ∗ 9,81
�
< 0,00799 �
• A lei de arrasto de Stokes para esferas lisas deve ser verificada experimentalmente, deixando cair 
esferas de aço de rolamentos (daço = 7,8) em glicerina (dglicerina = 1,26; υ = 0,0012 m²/s). Avalie o maior 
diâmetro de esfera de aço para o qual Re < 1 para a velocidade terminal. Calcule a altura da coluna de 
glicerina necessária para que uma esfera atinja 95% da sua velocidade terminal. 
Questão 11 – Escoamento viscoso externo 
��ç�∀�
��
��
= ��ç�∀� − ��∀� − 3����
� = 2,05
��ç�
��ç� − ��
��
� = 2,05
��ç�
��ç� − ��
��
�