APs2 - 19 1 - 16 1 e AD2 19 1 - ME1

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MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL (AP2) 
2º. Semestre de 2017 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Uma pesquisa foi feita com um grupo de pessoas em relação ao tipo de prato de 
sua preferência. A partir dos resultados apresentados na tabela abaixo, resolva os 
problemas de 1 a 5. 
 
Região / Tipo de Prato Salada (X) Doce (Y) Salgado (Z) Total 
Norte/Nordeste (A) 40 20 30 90 
Sul (B) 10 40 50 100 
Sudeste (C) 20 30 40 90 
Centro-Oeste (D) 30 30 40 100 
Total 100 120 160 380 
 
Se uma pessoa deste grupo for selecionada aleatoriamente, determine a probabilidade de 
ela: 
 
1) (0,5 pt) Ser das regiões Norte ou Nordeste; 
2) (0,7 pt) Ser do Sul ou preferir prato doce; 
3) (0,5 pt) Ser do sudeste que prefere salgado; 
4) (0,5 pt) Preferir salada, sabendo que ela é da região Centro-Oeste; 
5) (0,8 pt) Ser do Norte ou Nordeste, sabendo que prefere prato salgado. 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: a pessoa é da Região Norte/Nordeste; 
B: a pessoa é da Região Sul; 
C: a pessoa é da Região Sudeste; 
D: a pessoa é da Região Centro-Oeste; 
X: a pessoa prefere salada; 
Y: a pessoa prefere doce; 
Z: a pessoa prefere salgado. 
 
1) 
𝑃(𝐴) =
90
380
= 𝟎, 𝟐𝟑𝟔𝟖. 
2) 
𝑃(𝐵 ∪ 𝑌) = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝑌) − 𝑃(𝐵 ∩ 𝑌) =
100
380
+
120
380
−
40
380
=
180
380
= 𝟎, 𝟒𝟕𝟑𝟕. 
3) 
𝑃(𝐶 ∩ 𝑍) =
40
380
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟓𝟑. 
4) 
𝑃(𝑋|𝐷) =
𝑃(𝑋 ∩ 𝐷)
𝑃(𝐷)
=
30
380
100
380
=
30
100
= 𝟎, 𝟑. 
5) 
𝑃(𝐴|𝑍) =
𝑃(𝐴 ∩ 𝑍)
𝑃(𝑍)
=
30
380
160
380
=
30
160
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟕𝟓. 
 
Com o contexto a seguir, resolva os problemas 6, 7 e 8. 
Uma loja tem suas peças provenientes de três fabricantes específicos: A, B e C. O 
fabricante A é responsável por 26% das peças vendidas na loja, o fabricante B é 
responsável por 40% das peças e o fabricante C é responsável pelo restante das 
peças vendidas na loja. Sabe-se de antemão que cada fabricante possui um 
percentual de peças defeituosas produzidas, sendo 2,1%, 3,2% e 1,5% os 
respectivos percentuais dos fabricantes A, B e C. Se uma peça desta loja for 
sorteada aleatoriamente, determine a probabilidade de ela: 
 
6) (0,5 pt) Ter sido produzida pelo fabricante C; 
7) (1,0 pt) Ser defeituosa; 
8) (1,0 pt) Ter sido produzida pelo fabricante A, dado que ela é defeituosa. 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
A: a peça foi produzida pelo fabricante A; 
B: a peça foi produzida pelo fabricante B; 
C: a peça foi produzida pelo fabricante C; 
D: a peça é defeituosa. 
 
De acordo com dos dados do enunciado, temos: 
 
𝑃(𝐴) = 0,26, 𝑃(𝐵) = 0,40, 
𝑃(𝐷|𝐴) = 0,021, 𝑃(𝐷|𝐵) = 0,032, 𝑃(𝐷|𝐶) = 0,015 
 
6) Como os três fabricantes são os únicos, então eles formam uma partição do 
espaço amostral, logo: 
𝑃(𝐶) = 1 − [𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)] ⇒ 𝑃(𝐶) = 1 − (0,26 + 0,40) 
⇒ 𝑃(𝐶) = 1 − 0,66 
⇒ 𝑷(𝑪) = 𝟎, 𝟑𝟒 
7) Pelo Teorema da Probabilidade Total: 
𝑃(𝐷) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐷|𝐴) + 𝑃(𝐵)𝑃(𝐷|𝐵) + 𝑃(𝐶)𝑃(𝐷|𝐶) 
𝑃(𝐷) = (0,26 × 0,021) + (0,40 × 0,032) + (0,34 × 0,015) 
𝑃(𝐷) = 0,00546 + 0,0128 + 0,0051 
𝑷(𝑫) = 𝟎, 𝟎𝟐𝟑𝟑𝟔. 
 
8) Pelo Teorema de Bayes: 
𝑃(𝐴|𝐷) =
𝑃(𝐴)𝑃(𝐷|𝐴)
𝑃(𝐷)
=
0,00546
0,02336
= 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟕. 
 
A aprovação do Presidente dos Estados Unidos, Donald Trump, nos dois primeiros 
meses de seu mandato é de 40%. Isso quer dizer que a cada 10 americanos, 6 não 
aprovam seu início de governo. Suponha que uma amostra de 5 cidadãos 
americanos seja feita. Resolva as questões de 9 a 13. 
 
9) (0,5 pt) Qual a probabilidade de nenhum deles aprovarem o governo Trump? 
10) (0,5 pt) Qual a probabilidade de pelo menos 2 aprovarem o governo Trump? 
11) (0,5 pt) Qual a probabilidade de no máximo 4 aprovarem o governo Trump? 
12) (0,5 pt) Qual a probabilidade de 2 a 4 cidadãos aprovarem o governo Trump? 
13) (0,5 pt) Quantos cidadãos espera-se que aprove o governo Trump? 
 
 
Solução: 
Temos que cada pessoa representa um experimento Bernoulli com probabilidade de 
sucesso 𝑝 = 0,4 (se sucesso representa “aprovação do Governo Trump). Logo: em um 
grupo de 5 pessoas, temos uma distribuição Binomial, de modo que se 𝑋 for o número 
de pessoas que aprovam o Governo Trump, então: 
 
𝑋 ∼ 𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑎𝑙(5; 0,4) 
 
9) 
𝑃(𝑋 = 0) = (
5
0
) (0,4)0(0,6)5 = 1 × 1 × 0,07776 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟕𝟕𝟔. 
 
10) 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] = 1 − [0,07776 + (
5
1
) (0,4)1(0,6)4] 
= 1 − [0,07776 + (5 × 0,4 × 0,1296)] = 1 − [0,07776 + 0,2592]
= 1 − 0,33696 = 𝟎, 𝟔𝟔𝟑𝟎𝟒. 
11) 
𝑃(𝑋 ≤ 4) = 1 − 𝑃(𝑋 = 5) = 1 − [(
5
5
) (0,4)5(0,6)0] 
= 1 − (1 × 0,01024 × 1) = 1 − 0,01024 = 𝟎, 𝟗𝟖𝟗𝟕𝟔. 
 
12) 
𝑃(2 ≤ 𝑋 ≤ 4) = 𝑃(𝑋 = 2) + 𝑃(𝑋 = 3) + 𝑃(𝑋 = 4) 
= (
5
2
) (0,4)2(0,6)3 + (
5
3
) (0,4)3(0,6)2 + (
5
4
) (0,4)4(0,6)1 
= (10 × 0,16 × 0,216) + (10 × 0,064 × 0,36) + (5 × 0,0256 × 0,6) 
= 0,3456 + 0,2304 + 0,0768 = 𝟎, 𝟔𝟓𝟐𝟖. 
 
13) 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 5 × 0,4 = 𝟐. 
𝑬𝒔𝒑𝒆𝒓𝒂−se que 2 dos 5 cidadãos aprovem o Governo Trump. 
 
 
Considere X uma variável aleatória discreta tal que 𝑿 ∼ 𝑩𝒊𝒏𝒐𝒎𝒊𝒂𝒍 (𝒏; 𝒑) de modo 
que 𝑬(𝑿) = 𝟕 e 𝑽𝑨𝑹(𝑿) = 𝟔. Considere 𝒁 =
𝑿−𝟐𝟕
𝟏𝟎
. Com estes valores, resolva os 
problemas de 14 a 17. 
 
14) (0,5 pt) Qual a probabilidade de sucesso (p)? 
15) (0,5 pt) Qual o número de experimentos (n)? 
16) (0,5 pt) Obtenha 𝐸(𝑍); 
17) (0,5 pt) Obtenha 𝑉𝐴𝑅(𝑍). 
 
Solução: 
14) Temos que 𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝. Como 𝐸(𝑋) = 7, então temos: 
𝑛𝑝 = 7 (𝐼) 
Por outro lado, 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 𝑛𝑝(1 − 𝑝). Assim, utilizando o fato de que 𝑉𝐴𝑅(𝑋) = 6, 
temos: 
𝑛𝑝(1 − 𝑝) = 6 (𝐼𝐼) 
 
Substituindo (I) em (II), temos: 
7(1 − 𝑝) = 6 ⇒ 
1 − 𝑝 =
6
7
 ⇒ 
 𝒑 =
𝟏
𝟕
 
15) Substituindo o valor de p obtido no item anterior em (I), temos: 
𝑛 ×
1
7
= 7 ⇒ 
𝑛 = 7 × 7 = 𝟒𝟗. 
 
16) Para a esperança de Z, temos: 
𝐸(𝑍) = 𝐸 (
𝑋 − 27
10
) =
1
10
𝐸(𝑋 − 27) =
1
10
[𝐸(𝑋) − 𝐸(27)] 
=
1
10
[7 − 27] = −
20
10
= −𝟐. 
 
17) Temos: 
𝑉𝐴𝑅(𝑍) = 𝑉𝐴𝑅 (
𝑋 − 27
10
) =
1
100
𝑉𝐴𝑅(𝑋 − 27) =
1
100
[𝑉𝐴𝑅(𝑋) − 𝑉𝐴𝑅(27)] 
=
1
100
[𝑉𝐴𝑅(𝑋) − 0] =
1
100
𝑉𝐴𝑅(𝑋) =
6
100
= 𝟎, 𝟎𝟔. 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º Semestre de 2017 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Um grupo de pessoas foi pesquisado em relação à preferência de marca de 
smartphone. Com o resultado da pesquisa na tabela abaixo, resolva os 
problemas de 1 a 5. 
 
Idade / Marca Apple (A) Samsung (S) Huawei (H) Outras (O) Total 
Até 14 anos (X) 16 8 8 48 80 
15 a 21 anos (Y) 10 12 8 30 60 
22 a 35 anos (W) 6 10 4 20 40 
36 anos ou mais (Z) 8 10 8 34 60 
Total 40 40 28 132 240 
 
Se uma pessoa deste grupo for sorteada aleatoriamente, qual a probabilidade de ela: 
 
1) (0,5 pt) Preferir smartphones da marca Samsung? 
2) (0,5 pt) Preferir smartphones da marca Huawei e ter de 22 a 35 anos? 
3) (0,5 pt) Ter de 15 a 21 anos ou preferir smartphones da marca Apple? 
4) (0,5 pt) Ter até 14 anos, dado que prefere uma das outras marcas de 
Smartphone? 
5) (0,5 pt) Preferir smartphones da marca Apple, dado que tem 36 anos ou mais? 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
A: a pessoa prefere Apple; 
S: a pessoa prefere Samsung; 
H: a pessoa prefere Huawei; 
O:a pessoa prefere outras marcas; 
X: a pessoa tem até 14 anos; 
Y: a pessoa tem de 15 a 21 anos; 
W: a pessoa tem de 22 a 35 anos; 
Z: a pessoa tem 36 anos ou mais. 
 
1) 
ܲ(ܵ) =
40
240
= ૙, ૚૟૟ૠ. 
2) 
ܲ(ܪ ∩ ܹ) =
4
240
= ૙, ૙૚૟૟ૠ. 
3) 
ܲ(ܣ ∪ ܻ) = ܲ(ܣ) + ܲ(ܻ) − ܲ(ܣ ∩ ܻ) =
40
240
+
60
240
−
10
240
=
90
240
= ૙, ૜ૠ૞. 
4) 
ܲ(ܺ|ܱ) =
ܲ(ܺ ∩ ܱ)
ܲ(ܱ)
=
ସ଼
ଶସ଴
ଵଷଶ
ଶସ଴
=
48
132
= ૙, ૜૟૜૟. 
5) 
ܲ(ܣ|ܼ) =
ܲ(ܣ ∩ ܼ)
ܲ(ܼ)
=
଼
ଶସ଴
଺଴
ଶସ଴
=
8
60
= ૙, ૚૜૜૜. 
 
Use o contexto a seguir para resolver os problemas de 6 a 8. 
Uma loja vende produtos oriundos de três fabricantes A, B e C. O fabricante A é 
responsável por 45% dos produtos vendidos nesta loja, sendo 2% produzidos com 
algum defeito. O fabricante B é responsável por 25% dos produtos vendidos na loja, 
sendo 3,5% defeituosos e os são produzidos pelo fabricante C, sendo 3% defeituoso. 
Um produto desta loja será sorteado aleatoriamente para averiguação. Determine a 
probabilidade de este produto: 
 
6) (0,5 pt) Ter sido produzido pelo fabricante C; 
7) (1,0 pt) Não ser defeituosa; 
8) (1,0 pt) Ter sido produzido pelo fabricante B, dado que é defeituoso. 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: o produto foi produzido pelo fabricante A; 
B: o produto foi produzido pelo fabricante B; 
C: o produto foi produzido pelo fabricante C; 
D: o produto é defeituoso; 
N: o produto não é defeituoso; 
 
Do enunciado, é possível ter as probabilidades: 
ܲ(ܣ) = 0,45, ܲ(ܤ) = 0,25, ܲ(ܦ|ܣ) = 0,02, ܲ(ܰ|ܣ) = 0,98 
ܲ(ܦ|ܤ) = 0,035, ܲ(ܰ|ܤ) = 0,965, ܲ(ܦ|ܥ) = 0,03, ܲ(ܰ|ܥ) = 0,97 
 
6) 
ܲ(ܥ) = 1 − ሾܲ(ܣ) + ܲ(ܤ)ሿ = 1 − ሾ0,45 + 0,25ሿ = 1 − 0,70 = ૙, ૜૙. 
 
7) Pelo Teorema da Probabilidade Total, 
ܲ(ܰ) = ܲ(ܣ)ܲ(ܰ|ܣ) + ܲ(ܤ)ܲ(ܰ|ܤ) + ܲ(ܥ)ܲ(ܰ|ܥ) 
= (0,45 × 0,98) + (0,25 × 0,965) + (0,30 × 0,97) 
= 0,4410 + 0,24125 + 0,2910 = ૙, ૢૠ૜૛૞. 
 
8) Pelo Teorema de Bayes, 
ܲ(ܤ|ܦ) =
ܲ(ܤ)ܲ(ܦ|ܤ)
ܲ(ܦ)
=
0,25 × 0,035
1 − ܲ(ܰ)
=
0,00875
1 − 0,97325
=
0,00875
0,02675
= ૙, ૜૛ૠ૚૙. 
 
Use o contexto a seguir para resolver os problemas 9 e 10. 
Uma urna contém 10 bolas, sendo 6 pretas e 4 brancas. Três bolas serão retiradas, em 
sequência, desta urna. Seja X a variável aleatória que conta o número de bolas pretas 
obtidas. Obtenha a distribuição de probabilidades de X quando as retiradas são feitas: 
 
9) (1,0 pt) Com reposição; 
10) (1,0 pt) Sem reposição. 
 
Solução: 
Os valores que X pode assumir são: 
ܺ = 0: Quando as três bolas retiradas são brancas; 
ܺ = 1: Quando apenas 1 das 3 bolas é preta; 
ܺ = 2: Quando 2 das 3 bolas é preta; 
ܺ = 3: Quando as três bolas retiradas são pretas. 
 
9) 
ࡼ(ࢄ = ૙) = ܲ(ܤ)ܲ(ܤ|ܤ)ܲ(ܤ|ܤ ∩ ܤ) =
4
10
×
4
10
×
4
10
=
64
1000
= ૙, ૙૟૝. 
ࡼ(ࢄ = ૚) = (ܲܤܤ) + (ܤܲܤ) + (ܤܤܲ) 
= ൬
6
10
×
4
10
×
4
10
൰ + ൬
4
10
×
6
10
×
4
10
൰ + ൬
4
10
×
4
10
×
6
10
൰ 
=
96
1000
+
96
1000
+
96
1000
=
288
1000
= ૙, ૛ૡૡ. 
ࡼ(ࢄ = ૛) = (ܲܲܤ) + (ܲܤܲ) + (ܤܲܲ) 
= ൬
6
10
×
6
10
×
4
10
൰ + ൬
6
10
×
4
10
×
6
10
൰ + ൬
4
10
×
6
10
×
6
10
൰ 
=
144
1000
+
144
1000
+
144
1000
=
432
1000
= ૙, ૝૜૛. 
ࡼ(ࢄ = ૜) = ܲ(ܲ)ܲ(ܲ|ܲ)ܲ(ܲ|ܲ ∩ ܲ) =
6
10
×
6
10
×
6
10
=
216
1000
= ૙, ૛૚૟. 
 
Logo: 
ࢄ 0 1 2 3 
࢖(࢞) 0,064 0,288 0,432 0,216 
 
10) Sem reposição, o espaço amostral muda a cada retirada e o número de 
elementos também. 
ࡼ(ࢄ = ૙) = ܲ(ܤ)ܲ(ܤ|ܤ)ܲ(ܤ|ܤ ∩ ܤ) =
4
10
×
3
9
×
2
8
=
24
720
= ૙, ૙૜૜૜. 
ࡼ(ࢄ = ૚) = (ܲܤܤ) + (ܤܲܤ) + (ܤܤܲ) 
= ൬
6
10
×
4
9
×
3
8
൰ + ൬
4
10
×
6
9
×
3
8
൰ + ൬
4
10
×
3
9
×
6
8
൰ 
=
72
720
+
72
720
+
72
720
=
216
720
= ૙, ૜. 
ࡼ(ࢄ = ૛) = (ܲܲܤ) + (ܲܤܲ) + (ܤܲܲ) 
= ൬
6
10
×
5
9
×
4
8
൰ + ൬
6
10
×
4
9
×
5
8
൰ + ൬
4
10
×
6
9
×
5
8
൰ 
=
120
720
+
120
720
+
120
720
=
360
720
= ૙, ૞. 
ࡼ(ࢄ = ૜) = ܲ(ܲ)ܲ(ܲ|ܲ)ܲ(ܲ|ܲ ∩ ܲ) =
6
10
×
5
9
×
4
8
=
120
720
= ૙, ૚૟૟ૠ. 
 
Logo: 
ࢄ 0 1 2 3 
࢖(࢞) 0,0333 0,3 0,5 0,1667 
 
Use o contexto a seguir para resolver os problemas 11 e 12. 
O número de Smart TVs vendidos diariamente por um vendedor em uma loja de 
eletrodomésticos é uma variável aleatória X com a seguinte distribuição de 
probabilidades: 
ܺ 0 1 2 3 4 5 
݌(ݔ) 0,3 0,4 0,2 0,07 0,02 0,01 
 
11) (0,5 pt) Qual a probabilidade de em um dia ser vendidas pelo menos duas Smart 
TVs? 
12) (1,0 pt) Quantas Smart TVs esperam-se ser vendidas por dia? 
 
Solução: 
11) 
ࡼ(ࢄ ≥ ૛) = ܲ(ܺ = 2) + ܲ(ܺ = 3) + ܲ(ܺ = 4) + ܲ(ܺ = 5)
= 0,2 + 0,07 + 0,02 + 0,01 = ૙, ૜. 
12) 
ࡱ(ࢄ) = (0 × 0,3) + (1 × 0,4) + (2 × 0,2) + (3 × 0,07) + (4 × 0,02) + (5 × 0,01) 
= 0 + 0,4 + 0,4 + 0,21 + 0,08 + 0,05 = ૚, ૚૝. 
 
Espera-se que seja vendida 1 Smart TV por dia. 
 
Use o contexto a seguir para resolver os problemas de 13 a 15. 
Em uma comunidade, 30% das pessoas já foram picadas pelo Mosquito do Aedes 
Aegypti. Em um grupo de 6 pessoas selecionadas aleatoriamente desta comunidade, qual 
a probabilidade de que: 
 
13) (0,5 pt) Nenhuma tenha sido picada pelo mosquito Aedes Aegypti? 
14) (0,5 pt) Pelo menos duas pessoas tenham sido picadas pelo mosquito Aedes 
Aegypti? 
15) (0,5 pt) No máximo 5 pessoas tenham sido picadas pelo mosquito Aedes 
Aegypti? 
 
Solução: 
Seja X a quantidade de pessoas que já foram picadas pelo Aedes Aegypti: 
 
ܺ ∼ ܤ݅݊݋݈݉݅ܽ(6; 0,3) 
13) 
ࡼ(ࢄ = ૙) = ቀ60ቁ
(0,3)଴(0,7)଺ = 1 × 1 × 0,117649 = ૙, ૚૚ૠ૟૝ૢ. 
14) 
ࡼ(ࢄ ≥ ૛) = 1 − ܲ(ܺ < 2) = 1 − ሾܲ(ܺ = 0) + ܲ(ܺ = 1)ሿ 
= 1 − ቂቀ60ቁ
(0,3)଴(0,7)଺ + ቀ61ቁ
(0,3)ଵ(0,7)ହቃ 
= 1 − ሾ(1 × 1 × 0,117649) + (6 × 0,3 × 0,16807)ሿ 
= 1 − ሾ0,117649 + 0,302526ሿ = 1 − 0,420175 = ૙, ૞ૠૢૡ૛૞. 
15) 
ࡼ(ࢄ ≤ ૞) = 1 − ܲ(ܺ > 5) = 1 − ܲ(ܺ = 6) = 1 − ቀ66ቁ
(0,3)଺(0,7)଴ 
= 1 − (1 × 0,000729 × 1) = 1 − 0,000729 = ૙, ૢૢૢ૛ૠ૚. 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
2º Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes (UFF) 
(Pode usar calculadora) 
 
Gabarito 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS 1 E 2, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
Em certa linha de montagem, quatro máquinas B1, B2, B3 e B4 produzem 30%, 20%, 15% e 35% dos 
produtos, respectivamente. Sabe-se, de experiência anterior, que 2%, 4%, 3% e 2% dos produtos feitos 
por cada máquina, respectivamente, são defeituosos. Suponha que um produto já acabado seja selecionado 
aleatoriamente. 
1. (1,0 ponto) Qual a probabilidade que ele não apresente defeito? 
2. (1,0 ponto) Percebendo-se defeito neste produto, qual a probabilidade que ele tenha sido 
produzido por B1 ou B4? 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
D: o produto apresenta defeito 
N: o produto não apresenta defeito. 
 
Temos então as seguintes probabilidades: 
98,0)|Pr(02,0)|Pr(
97,0)|Pr(03,0)|Pr(
96,0)|Pr(04,0)|Pr(
98,0)|Pr(02,0)|Pr(
35,0)Pr(
15,0)Pr(
20,0)Pr(
30,0)Pr(
44
33
22
11
4
3
2
1








BNBD
BNBD
BNBD
BNBD
B
B
B
B
 
 
1) 
Pede-se 
)Pr(N
. Pelo Teorema da Probabilidade Total, 
 
.9745,0343,01455,0192,0294,098,035,097,015,096,020,098,030,0
)|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()|Pr()Pr()Pr( 44332211

 BNBBNBBNBBNBN
Logo: 
.9745,0)Pr( N
 
 
2) 
Aqui usemos o Teorema de Bayes. O que se pede é: 






)Pr(1
)|Pr()Pr()|Pr()Pr(
)Pr(
))Pr((
)|Pr( 44114141
N
BDBBDB
D
DBB
DBB
 
 
.5098,0
0255,0
013,0
0255,0
007,0006,0
9745,01
02,035,002,030,0





 
Logo: 
5098,0)|Pr( 41  DBB
. 
 
3. (1,0 ponto) Um estudante tem dificuldadepara acordar e para solucionar o problema resolveu colocar 
três despertadores. Determine a probabilidade de pelo menos um despertador funcionar, se cada um deles 
tem 98% de chance de funcionar (use 6 casas decimais). 
 
Solução: 
Pelo menos um despertador funcionar é o complementar de nenhum despertador funcionar. 
Sejam os seguintes eventos: 
D1: O despertador 1 funciona; 
𝐷2: O despertador 2 funciona; 
𝐷3: O despertador 3 funciona. 
Logo: 
𝑃(𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝑃(𝑛𝑒𝑛ℎ𝑢𝑚 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) 
= 1 − 𝑃(𝐷1 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑒 𝐷2 𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑒 𝐷3𝑛ã𝑜 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎) 
= 1 − 𝑃(�̅�1 ∩ �̅�2 ∩ �̅�3) 
 
Como o funcionamento de um despertador não depende do funcionamento do outro, estes eventos são 
independentes. Logo: 𝑃(�̅�1 ∩ �̅�2 ∩ �̅�3) = 𝑃(�̅�1)𝑃(�̅�2)𝑃(�̅�3). 
 
Assim: 
𝑃(𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑟) = 1 − 𝑃(�̅�1)𝑃(�̅�2)𝑃(�̅�3) 
= 1 − (0,02 × 0,02 × 0,02) = 1 − 0,000008 = 𝟎, 𝟗𝟗𝟗𝟗𝟗𝟐. 
 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 4 A 7, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
A tabela abaixo traz o resultado de uma pesquisa realizada em uma Universidade com alunos de 
Graduação, Especialização, Mestrado e Doutorado sobre o tempo de uso diário de um Laboratório de 
Informática: 
 
 Graduação Especialização Mestrado Doutorado Total 
Menos de 1 hora 320 200 150 80 750 
Entre 1 e 4 horas 260 180 170 90 700 
Mais de 4 horas 220 120 230 180 750 
Total 800 500 550 350 2.200 
 
De posse destas informações, determine a probabilidade de um aluno dentre estes selecionado 
aleatoriamente: 
 
4. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por pelo menos uma hora por dia? 
5. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por mais de 4 horas por dia e ser aluno de 
Graduação? 
6. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por menos de 1 hora por dia, dado que é aluno 
de pós-graduação? 
7. (0,5 ponto) Usar o Laboratório de Informática por um período entre 1 e 4 horas por dia ou ser 
aluno de Mestrado ou Doutorado? 
 
Solução: 
 
Considere os eventos: 
A: o aluno usa o laboratório por menos de 1 hora 
B: o aluno usa o laboratório entre 1 e 4 horas 
C: o aluno usa o laboratório por mais de 4 horas 
G: graduação, E: especialização. M: mestrado e D: doutorado. 
 
4) 
Deseja-se saber 
)Pr( CB
. 
.659,0
200.2
450.1
200.2
750
200.2
700
)Pr()Pr()Pr(  CBCB
 
 
.659,0)Pr( CB
 
 
5) 
Neste caso, deseja-se 
)Pr( GC 
, que é o equivalente na célula de interseção entre alunos de 
graduação e uso do laboratório por mias de 4 horas. 
 
.1,0
200.2
220
)Pr( GC
 
 
6) 
Agora, pede-se 
))(|Pr( DMEA 
, pois aluno de pós-graduação pode ser qualquer um que não 
seja graduação. 
200.2
350
200.2
550
200.2
500
200.2
80
200.2
150
200.2
200
)Pr()Pr()Pr(
)Pr()Pr()Pr(
)|Pr(






DME
DAMAEA
DMEA
 
.307,0
400.1
430
200.2
400.1
200.2
430

 
Logo: 
.307,0)|Pr(  DMEA
 
 
7) 
Aqui se pede a probabilidade da união de dois eventos. A saber: 
 
200.2
90170
200.2
350550
200.2
700
))(Pr()Pr()Pr())(Pr(



 DMBDMBDMB
 
 
.609,0
200.2
340.1
200.2
260
200.2
900
200.2
700

 
Logo: 
.609,0))(Pr(  DMB
 
 
 
PARA RESOLVER OS PROBLEMAS DE 8 A 11, USE O ENUNCIADO A SEGUIR. 
Uma prova é composta de 5 (cinco) questões de múltipla escolha com 5 (cinco) alternativas cada ((a), 
(b), (c), (d) e (e)), sendo apenas uma das alternativas correta. Para que um aluno seja aprovado é 
necessário que ele acerte pelo menos 80% da prova. Se ele errar 80% da prova ou mais, ele será 
reprovado. Suponha que um aluno faça esta prova de forma aleatória (no chute). 
 
8. (0,5 ponto) Qual a probabilidade de este aluno ser aprovado? 
9. (0,5 ponto) Qual a probabilidade de este aluno ser reprovado? 
10. (0,5 ponto) Qual o número de questões certas esperadas para este aluno? 
11. (0,5 ponto) Qual o desvio padrão do número de questões certas deste aluno? 
 
Solução: 
Temos um problema de distribuição Binomial, onde n=5 e p=0,2 (5 alternativas, sendo uma correta). 
Seja X o número de questões certas. Como n=5, 80% representa 4 questões: 
 
8) 
100032,018,00016,05)8,0()2,0(
5
5
)8,0()2,0(
4
5
)5()4()4Pr( 0514 











 ppX
 
.00672,000032,00064,0 
 
Logo: 
.00672,0)4Pr( X
 
 
9) 
Para que ele erre 80% ou mais, ele terá que errar pelo menos 4 questões. Isso significa que ele irá 
acertar no máximo 1 questão para ser reprovado. 
4096,02,0532768,011)8,0()2,0(
1
5
)8,0()2,0(
0
5
)1()0()1Pr( 4150 











 ppX
 
.73728,04096,032768,0 
 
Logo: 
.73728,0)1Pr( X
 
 
10) 
 Como é um caso de Distribuição Binomial de Probabilidade, então a média será dada pela esperança: 
.12,05)(  npXE
 
Logo: 
1 questão certa. 
 
11) 
O desvio padrão segue a mesma lógica da média. Inicialmente, calculamos a variância para depois 
calcularmos o desvio padrão. 
 
.8,08,02,05)1()(  pnpXV
 
 
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. 
 
.8944,08,0 
 
 
Uma moeda honesta é lançada 3 vezes e sua face voltada para cima é verificada. Defina a variável 
aleatória 𝑋 como sendo o número de vezes que a face “cara” cai voltada para cima. Sabendo que a 
probabilidade de sair cara é a mesma de sair coroa, resolva as questões de 12 a 15. 
 
12. (1,0 ponto) Obtenha a distribuição de probabilidades de 𝑋; 
13. (0,5 ponto) Obtenha 𝐸(𝑋); 
14. (0,5 ponto) Obtenha 𝑃(𝑋 ≥ 2); 
15. (1,0 ponto) Obtenha a função de distribuição acumulada de 𝑋. 
 
Solução: 
Sejam os eventos: 
C: sair cara 
K: sair coroa. 
 
12. 
Ao lançar três vezes, existem as seguintes possibilidades para X: 𝑋 = 0, 𝑋 = 1, 𝑋 = 2, 𝑋 = 3. 
É possível listar todas as possibilidades: 
𝑋 = 0: (𝐾, 𝐾, 𝐾), 1 possibilidade. 
𝑋 = 1: (𝐶, 𝐾, 𝐾), (𝐾, 𝐶, 𝐾), (𝐾, 𝐾, 𝐶), 3 possibilidades. 
𝑋 = 2: (𝐶, 𝐶, 𝐾), (𝐶, 𝐾, 𝐶), (𝐾, 𝐶, 𝐶), 3 possibilidades. 
𝑋 = 3: (𝐶, 𝐶, 𝐶), 1 possibilidade. 
 
As possibilidades listadas acima listadas são o espaço amostral, com 8 possibilidades. 
 
Assim é possível montar a distribuição de probabilidades: 
𝑋 0 1 2 3 
𝑝(𝑥) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
 
 
13) 
𝐸(𝑋) = (0 ×
1
8
) + (1 ×
3
8
) + (2 ×
3
8
) + (3 ×
1
8
) = 0 +
3
8
+
6
8
+
3
8
=
12
8
=
𝟑
𝟐
. 
 
14) 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 𝑝(2) + 𝑝(3) =
3
8
+
1
8
=
4
8
=
𝟏
𝟐
. 
 
15) 
A função de distribuição acumulada será dada por: 
 
𝑓(𝑥) =
{
 
 
 
 
 
 
0, 𝑠𝑒 𝑥 < 0
1
8
, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 < 1
4
8
, 𝑠𝑒 1 ≤ 𝑥 < 2
6
8
, 𝑠𝑒 2 ≤ 𝑥 < 3
1, 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 3
 
 
 
 
MÉTODOS ESTATÍSTICOS I 
2ª. AVALIAÇÃO PRESENCIAL 
1º. Semestre de 2016 
Prof. Moisés Lima de Menezes 
(pode usar calculadora) 
 
GABARITO 
 
Para as questões de 1 a 5, use o enunciado a seguir: 
Uma pesquisa realizada em uma escola revela a preferência de estudantes pré-vestibulandos à uma das áreas 
de ensino: ciências exatas, ciências humanas ou ciências biológicas de acordo com o sexo. A tabela abaixo 
informa o resultado desta pesquisa. 
 
 Área de interesse 
Total 
S
ex
o
 C. Exatas C. Humanas C. Biológicas 
Feminino 27 43 28 98 
Masculino 32 52 48 132 
Total 59 95 76 230 
 
Assuma que um destes estudantes pesquisados foi selecionado aleatoriamente.1) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele ser do sexo feminino? 
2) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele preferir a área de exatas e ser do sexo masculino? 
3) (0,5 pt) Qual a probabilidade de ele preferir a área de humanas ou ser do sexo feminino? 
4) (0,5 pt) Assumindo que o estudante sorteado é do sexo masculino, qual é a probabilidade de ele 
preferir ciências biológicas? 
5) (0,5 pt) Verifique se os eventos “ser do sexo feminino” e “preferir ciências exatas” são 
independentes. 
 
Solução: 
Considere os seguintes eventos: 
E: O estudante prefere Ciências Exatas; 
H: O estudante prefere Ciências Humanas; 
B: O estudante prefere Ciências Biológicas; 
F: O estudante é do sexo feminino; 
M: O estudante é do sexo masculino. 
 
1) 
𝑃(𝐹) =
98
230
= 0, 𝟒𝟐𝟔𝟏. 
 
2) 
𝑃(𝐸 ∩𝑀) =
32
230
= 𝟎, 𝟏𝟑𝟗𝟏. 
3) 
𝑃(𝐻 ∪ 𝐹) = 𝑃(𝐻) + 𝑃(𝐹) − 𝑃(𝐻 ∩ 𝐹) =
95
230
+
98
230
−
43
230
=
150
230
= 𝟎, 𝟔𝟓𝟐𝟐. 
4) 
𝑃(𝐵|𝑀) =
𝑃(𝐵 ∩𝑀)
𝑃(𝑀)
=
48
230
132
230
=
48
132
= 𝟎, 𝟑𝟔𝟑𝟔. 
5) Para que dois eventos sejam independentes, verificamos se a probabilidade da interseção é igual ao 
produto das probabilidades. 
𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) =
27
230
= 𝟎, 𝟏𝟏𝟕𝟑𝟗. 
𝑃(𝐹) × 𝑃(𝐸) =
98
230
×
59
230
=
5.782
52.900
= 𝟎, 𝟏𝟎𝟗𝟑𝟎. 
Como 0,11739 ≠ 0,10930, então: 
 
“NÃO SÃO INDEPENDENTES.” 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Para as questões de 6 a 8, use o enunciado a seguir: 
Os percentuais de atraso nas entregas das empresas de logística I, J e K, responsáveis por todas as encomendas 
feitas on-line da loja virtual “Subaquática” são de respectivamente, 23%, 12% e 17%. Sabendo que estas 
empresas são responsáveis por 23%, 44% e 33% respectivamente, das entregas da “Subaquática” e que uma 
entrega vai ser selecionada aleatoriamente para averiguação, determine: 
 
6) (0,5 pt) Qual a probabilidade de esta entrega ter sido feita pela empresa J ? 
 7) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta entrega ter chegado no prazo? 
8) (1,0 pt) Sabendo que esta entrega chegou com atraso, qual a probabilidade que ela tenha sido feita 
pela empresa K ? 
 
Solução: 
Considere os eventos: 
A: A entrega chegou com atraso; 
I: A entrega foi feita pela empresa I; 
J: A entrega foi feita pela empresa J; 
K: A entrega foi feita pela empresa K. 
 
São dados do enunciado do problema: 
𝑃(𝐼) = 0,23, 𝑃(𝐽) = 0,44, 𝑃(𝐾) = 0,33 
𝑃(𝐴|𝐼) = 0,23, 𝑃(𝐴|𝐽) = 0,12, 𝑃(𝐴|𝐾) = 0,17. 
 
6) Como colocado no enunciado, 𝑃(𝐽) = 𝟎, 𝟒𝟒. 
 
7) Use o Teorema da Probabilidade Total. Para calcular a probabilidade de chegada no prazo, vamos 
calcular a probabilidade de atraso e depois verificar seu complementar. 
 
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐼)𝑃(𝐴|𝐼) + 𝑃(𝐽)𝑃(𝐴|𝐽) + 𝑃(𝐾)𝑃(𝐴|𝐾) 
= (0,23 × 0,23) + (0,44 × 0,12) + (0,33 × 0,17) 
= 0,0529 + 0,0528 + 0,0561 = 0,1618. 
A probabilidade de chegada no prazo é o complemento da probabilidade de chegada em atraso. 
𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴) = 1 − 0,1618 = 𝟎, 𝟖𝟑𝟖𝟐. 
8) Use o Teorema de Bayes: 
𝑃(𝐾|𝐴) =
𝑃(𝐾)𝑃(𝐴|𝐾)
𝑃(𝐴)
=
0,33 × 0,17
0,1618
=
0,0561
0,1618
= 𝟎, 𝟑𝟒𝟔𝟕. 
 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 
 
Para as questões de 9 a 12, use o enunciado a seguir: 
As vendas diárias de carros em um determinada concessionária é uma variável aleatória discreta X com a 
seguinte distribuição de probabilidades: 
𝑋 0 1 2 3 4 
𝑃(𝑥) 0,1 0,2 0,4 0,15 0,15 
 
9) (0,5 pt) Qual a probabilidade de que em um dia sejam vendidos mais de 2 carros? 
10) (0,5 pt) Qual a média de vendas diária? 
11) (1,0 pt) Obtenha a função de distribuição acumulada; 
12) (1,0 pt) Obtenha 𝑃(𝑋 ≥ 1|𝑋 < 4). 
 
Solução: 
9) 
𝑃(𝑋 > 2) = 𝑝(3) + 𝑝(4) = 0,15 + 0,15 = 𝟎, 𝟑𝟎. 
 
10) 
𝐸(𝑋) = (0 × 0,1) + (1 × 0,2) + (2 × 0,4) + (3 × 0,15) + (4 × 0,15) 
= 0 + 0,2 + 0,8 + 0,45 + 0,6 = 𝟐, 𝟎𝟓. 
 
11) A função de distribuição acumulada é dada por: 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥). 
Assim, 
𝐹(0) = 0,1, 𝐹(1) = 0,3, 𝐹(2) = 0,7, 𝐹(3) = 0,85, 𝐹(4) = 1. 
Logo: 
 
𝐹(𝒙) =
{
 
 
 
 
𝟎, 𝒔𝒆 𝒙 < 𝟎,
𝟎, 𝟏, 𝒔𝒆 𝟎 ≤ 𝒙 < 𝟏,
𝟎, 𝟑, 𝒔𝒆 𝟏 ≤ 𝒙 < 𝟐,
𝟎, 𝟕, 𝒔𝒆 𝟐 ≤ 𝒙 < 𝟑,
𝟎, 𝟖𝟓, 𝒔𝒆 𝟑 ≤ 𝒙 < 𝟒
𝟏, 𝒔𝒆 𝒙 ≥ 𝟒.
 
12) 
𝑃(𝑋 ≥ 1|𝑋 < 4) =
𝑃(1 ≤ 𝑋 < 4)
𝑃(𝑋 < 4)
=
𝑝(1) + 𝑝(2) + 𝑝(3)
𝑝(0) + 𝑝(1) + 𝑝(2) + 𝑝(3)
=
0,75
0,85
= 𝟎, 𝟖𝟖𝟐𝟑𝟓. 
------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 
 
Para as questões de 13 a 16, use o enunciado a seguir: 
De acordo com o Journal of Higher Education, 40% dos formandos do ensino médio, nos Estados Unidos, 
trabalham durante o verão para ganhar dinheiro para pagar as mensalidades do semestre na faculdade. 
 
13) (0,5 pt) Em um grupo de 6 alunos, qual é a probabilidade de no máximo 1 trabalhar durante o 
verão? 
14) (0,5 pt) Em um grupo de 5 alunos, qual é a probabilidade de todos trabalharem durante o verão? 
15) (0,5 pt) Em um grupo de 7 alunos, qual é a probabilidade de pelo menos 2 trabalharem durante o 
verão? 
16) (0,5 pt) Em um grupo de 50 alunos, quantos são esperados que trabalhem durante o verão? 
. 
Solução: 
Considere a variável X: Número de alunos que trabalham durante o verão. Então X segue uma distribuição 
Binomial com probabilidade de sucesso 𝑝 = 0,4. 
 
13) 𝑛 = 6. 
𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1) = (
6
0
) (0,4)0(0,6)6 + (
6
1
) (0,4)1(0,6)5 
= (1 × 1 × 0,046656) + (6 × 0,4 × 0,07776) 
= 0,046656 + 0,186624 = 𝟎, 𝟐𝟑𝟑𝟐𝟖. 
14) 𝑛 = 5. 
𝑃(𝑋 = 5) = (
5
5
) (0,4)5(0,6)0 = 1 × 0,01024 × 1 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟎𝟐𝟒. 
 
 
15) 𝑛 = 7. 
𝑃(𝑋 ≥ 2) = 1 − 𝑃(𝑋 < 2) = 1 − [𝑃(𝑋 = 0) + 𝑃(𝑋 = 1)] 
= 1 − [(
7
0
) (0,4)0(0,6)7 + (
7
1
) (0,4)1(0,6)6] 
= 1 − [(1 × 1 × 0,027994) + (7 × 0,4 × 0,046656)] 
= 1 − [0,027994 + 0,130637] = 1 − 0,1586304 = 𝟎, 𝟖𝟒𝟏𝟑𝟕. 
 
16) 
𝐸(𝑋) = 𝑛𝑝 = 50 × 0,4 = 𝟐𝟎. 
ME´TODOS ESTATI´STICOS I
AVALIAC¸A˜O A` DISTAˆNCIA 2 (AD2)
1o Semestre de 2019
Prof. Moise´s Lima de Menezes
Gabarito
1. (5,0 Pontos) Um grupo de pessoas foi pesquisado sobre o tipo de programac¸a˜o que prefere ver
na TV. O resultado desta pesquisa esta´ na tabela abaixo:
Faixa eta´ria/Tipo de programac¸a˜o Novela Esportes Not´ıcias Total
ate´ 20 anos 20 40 10 70
de 21 a 31 anos 30 20 40 90
de 32 a 59 anos 40 10 40 90
60 anos ou mais 20 10 20 50
Total 110 80 110 300
Suponha que uma pessoa dentre estas pesquisadas seja sorteada ao acaso:
(a) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ter pelo menos 60 anos?
(b) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ser uma pessoa de 21 a 31 anos que prefere assistir
not´ıcias na TV?
(c) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela ter no ma´ximo 20 anos ou preferir ver esportes na
TV?
(d) (1,0 pt) Qual a probabilidade de ela preferir assistir novela, uma vez que tem idade de 32
a 59 anos?
(e) (1,0 pt) Os eventos: “ter 60 anos ou mais” e “preferir ver novela na TV” sa˜o independentes?
2. (5,0 Pontos) Das pec¸c¸as vendidas em um estabelecimento comercial, 28% sa˜o produzidas pela
indu´stria A , sendo 0,1% delas defeituosas, 42% sa˜o produzidas pela indu´stria B , sendo 0,3%
delas defeituosa e as demais sa˜o produzidas pela indu´stria C , que tem 0,2% das pec¸as produzidas
com defeito. Ao comprar uma pec¸a neste estabelecimento, responda:
(a) (1,0 pt) Qual a probabilidade que ela tenha sido produzida pela indu´stria C?
(b) (1,0 pt) Qual a probabilidade de esta pec¸a na˜o ser defeituosa?(c) (1,0 pt) Ao chegar em casa com a pec¸a, verificou-se que ela esta´ com defeito. Qual a
probabilidade de ela ter sido produzida pela indu´stria A?
(d) (2,0 pt) Se ao chegar em casa, perceber-se que a pec¸a de fato na˜o estaria com defeito.
Qual seria a indu´stria mais prova´vel de teˆ-la produzida?
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Soluc¸a˜o
1. Considere os seguintes eventos:
• A: A pessoa tem ate´ 20 anos;
• B: A pessoa tem de 21 a 31 anos;
• C: A pessoa tem de 32 a 59 anos;
• D: A pessoa tem 60 anos ou mais;
• X: A pessoa prefere Novela;
• Y: A pessoa prefere Esportes;
• Z: A pessoa prefere Not´ıcias;
(a)
P (D) =
50
300
= 0,1667
(b)
P (B ∩ Z) = 40
300
= 0,1333
(c)
P (A ∪ Y ) = P (A) + P (Y )− P (A ∩ Y ) = 70
300
+
80
300
− 40
300
=
110
300
= 0,3667
(d)
P (X|C) = P (X ∩ C)
P (C)
=
40/300
90/300
=
40
90
= 0,4444
(e) Para que dois eventos A e B sejam independentes, e´ necessa´rio que P (A∩B) = P (A)P (B) .
Na ocasia˜o, os eventos sa˜o: D e X .
P (D ∩X) = 20
300
= 0,06667.
P (D)P (X) =
50
300
× 110
300
= 0, 16667× 0, 36667 = 0,06111.
Como P (D ∩X) 6= P (D)P (X), enta˜o NA˜O SA˜O INDEPENDENTES!!!!!!
2. Considere os seguintes eventos:
• A: A pec¸a foi produzida pela indu´stria A;
• B: A pec¸a foi produzida pela indu´stria B;
• C: A pec¸a foi produzida pela indu´stria C;
• D: A pec¸a e´ defeituosa;
• N: A pec¸a na˜o e´ defeituosa.
2
Sa˜o dados do enunciado do problema:
P (A) = 0, 28, P (B) = 0, 42, P (D|A) = 0, 001, P (D|B) = 0, 003, P (D|C) = 0, 002
P (N |A) = 0, 999, P (N |B) = 0, 997, P (N |C) = 0, 998
(a) Com as informac¸o˜es acima, pode-se obter P (C).
P (C) = 1− [P (A) + P (B)] = 1− [0, 28 + 0, 42] = 1− 0, 7 = 0,3.
(b) Para calcular P (N), devemos usar o Teorema da Probabilidade Total:
P (N) = P (A)P (N |A) + P (B)P (N |B) + P (C)P (N |C)
= (0, 28× 0, 999) + (0, 42× 0, 997) + (0, 30× 0, 998)
= 0, 27972 + 0, 41874 + 0, 2994
= 0,99786
(c) Deseja-se saber P (A|D) . Pode ser feita a partir do Teorema de Bayes ou pela definic¸a˜o de
probabilidade condicional.
P (A|D) = P (A)P (D|A)
P (D)
=
0, 28× 0, 001
1− P (N)
=
0, 00028
1− 0, 99786
=
0, 00028
0, 00214
= 0,130841
(d) Neste caso, precisamos verificar dentre P (A|N) , P (B|N) e P (C|N) qual possui maior
probabilidade.
P (A|N) = P (A)P (N |A)
P (N)
=
0, 27972
0, 99786
= 0,2803.
3
P (B|N) = P (B)P (N |B)
P (N)
=
0, 41874
0, 99786
= 0,4196.
P (C|N) = P (C)P (N |C)
P (N)
=
0, 2994
0, 99786
= 0,3.
Como, dentre as probabilidades encontradas, P (B|N) e´ a maior, enta˜o a indu´stria B e´ a mais
prova´vel de ter produzido a pec¸a.
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