Conjuntos numéricos123

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1- Conjuntos - elementos e classificações
Números
A evolução da Matemática acompanha o progresso da humanidade. No começo, o homem só utilizava os números naturais, N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}, mas, com o passar do tempo, foi percebendo que algumas situações não podiam ser representadas apenas com esses números, como, por exemplo, dívidas, temperaturas muito baixas, prejuízos financeiros. Sendo assim, apareceram os números inteiros Z = {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}. Mais problemas foram surgindo, muitos deles relacionados a construções e, com eles, a ideia de divisão por dois números inteiros, formando as frações e decimais, chegando então aos números racionais (Q). E assim foi por um longo período de tempo. Até que descobriram que existiam medidas incomensuráveis, como a diagonal de um quadrado, por exemplo. Surgiu, assim, a necessidade de ampliar os conjuntos já conhecidos.
Conjuntos numéricos
Chamamos de conjunto toda coleção ou reunião de elementos que possuem características comuns. Podem ser objetos, letras, números, figuras. O conjunto que apresenta somente números como elementos chamamos de conjuntos numéricos. De forma geral, segundo Silva e Abad (2014), utilizamos letras minúsculas para representar os elementos de um conjunto e letra maiúscula para representar o conjunto. Veja no exemplo a seguir:
A = {a, b, c, d}, em que A é o conjunto, a, b, c, d são seus elementos. Para representar conjunto, podermos utilizar tanto a linguagem matemática quanto diagramas. Nesse exemplo, vamos utilizar a linguagem matemática. Acompanhe:
Temos ainda algumas relações entre elemento e conjunto. Observe: a é um elemento que pertence ao conjunto A. Na linguagem matemática, a A. O símbolo representa pertence, e o símbolo representa não pertence (relações entre elemento e conjunto).
O primeiro conjunto que surgiu foi o conjunto dos números naturais (N), representado por:
N={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,…}
Com a necessidade de utilizar números negativos, o conjunto dos números naturais foi ampliado, surgindo, assim, o conjunto dos números inteiros (Z), que é representado por:
Z={…,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…}
E as frações? Estas representam divisões que pertencem ao conjunto dos números racionais (Q), desde que a divisão representada por a/b, tenha a como número inteiro e b inteiro e diferente de zero. Na linguagem matemática, temos:
SAIBA MAIS
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O sinal * indica que o elemento zero de determinado conjunto está excluído.
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São considerados números racionais: os números naturais, inteiros, decimais exatos, dízimas periódicas.
FIQUE ATENTO
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Dízimas periódicas são números decimais não exatos que apresentam um ou mais algarismos que se repetem indefinidamente. Esses algarismos que se repetem formam o período da dízima. Exemplos: 0,7777...; 45,232323...; 0,358888...; 1,2616161...}
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Ainda encontramos um conjunto numérico em que seus elementos são números que não podem ser escritos na forma de fração, chamado de conjunto dos números irracionais (I). Como exemplos, temos as dízimas não periódicas (3,65789012...), o número π (lê-se: pi, que é aproximadamente 3,141516...) e a √2 (1,4142135…).
Por fim, ao conjunto formado pela união de todos os conjuntos (naturais, inteiros, racionais, irracionais) chamamos de conjunto dos números reais (R). Uma das formas de representatividade do conjunto dos números reais é a união entre o conjunto dos números racionais (Q) com o conjunto dos números irracionais (I):
 Veja, na figura a seguir, o diagrama que representa essa relação.
Figura 1 - Representação do conjunto dos números reais
 Fonte: Elaborada pela autora (2014)
Com esse diagrama, verificamos outra relação existente em conjuntos, que acontece entre os próprios conjuntos e não entre elementos e conjuntos. Atenção! Utilizaremos o seguinte símbolo: (está contido). Assim, temos a seguinte relação definida pelo diagrama representado na figura anterior:
NZQR
FIQUE ATENTO
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Perceba que todo número natural também é considerado número inteiro, todo número inteiro também é considerado número racional, e todo número racional é considerado número real, portanto, N está contido em Z que está contido em Q que está contido em R.
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Esta relação NZQR nos leva ao conceito de subconjunto. Acompanhe!
Vamos utilizar o diagrama representado na figura vista anteriormente, representação do conjunto dos números reais, para entender o que é subconjunto. Ao dizer que o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros, dizemos que N é subconjunto de Z, uma vez que todos os elementos de N também são elementos de Z.
FIQUE ATENTO
______________________________________________________________________________
Se todos os elementos do conjunto M pertencerem ao conjunto N, dizemos que M é subconjunto de N, ou M é parte de N.
______________________________________________________________________________
Fechamento
Até aqui vimos a definição de números e conjuntos numéricos. Vimos também dizimas periódicas e classificações desses conjuntos. Em nossa próxima aula veremos as linguagens dos conjuntos e como podemos fazer operações entre eles.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
•Compreender o que é conjunto e identificar seus elementos
•Identificar e classificar conjuntos numéricos
Referências
DANTE, L. R.Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013
IEZZI, G.Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, I.; ONAGA, D. S.Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva,
2007.
SILVA, E. Q.;ABAD, L. F. S.Coleção Pré-Vestibular Extensivo.São Paulo: Sistema de Ensino
Abril Educação S.A., 2014.
2 - Conjuntos: linguagem e operações
Linguagem dos conjuntos
Para conversamos sobre conjuntos, precisamos primeiro compreender a sua linguagem.
Observe a seguinte situação:
• Uma Instituição de Ensino realizou uma pesquisa entre seus docentes para verificar quantos professores utilizam os aplicativos Facebook, Twitter e Skype. O resultado apresentado foi o seguinte: 90 docentes usam Facebook, 70 usam Skype, 60 usam Twitter, 50 usam Facebook e Skype, 41 usam Facebook e Twitter, 25 usam Skype e Twitter, 12 usam Facebook, Skype e Twitter e 34 não usam nenhum dos três aplicativos. O diretor dessa instituição precisou organizar as informações dadas e lançou um desafio aos alunos do curso de Gestão. Determinem: a) quantos professores responderam à pesquisa, b) quantos professores têm apenas Facebook.
Complicado? Nem um pouco, mas, para resolver esse problema, precisamos conhecer algumas relações entre conjuntos e suas operações que facilitam sua solução. 
Operações entre conjuntos – União, intersecção, diferença
Ao citar o termo operação, logo nos lembramos das operações básicas com as quais estamos acostumados a lidar. No estudo de conjuntos, essas operações apresentam-se de formas diferentes, recebem nomes diferentes e utilizam símbolos diferentes. São elas: união entre conjuntos, interseção entre conjuntos e diferença entre conjuntos. Vamos analisar cada uma delas utilizando exemplos. Acompanhe!
I - Seja o conjunto A = {2,4,6,8,10} e o conjunto B = {2,6,9,10,11,12}. Quando juntamos todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, sem repetir, estamos realizando a união entre os conjuntos. Para isso, utilizamos o símbolo. Veja como:
A B={2,4,6,8,9,10,11,12}
FIQUE ATENTO
______________________________________________________________________________Assim, o conjunto união entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A ou B. Na linguagem matemática, temos: A B={x|xA ou xB}
______________________________________________________________________________
II - Utilizando o mesmo exemplo dado, para fazer a interseção entre o conjunto A e o conjunto B, escrevemos o conjunto formado pelos elementos que são comuns aos dois conjuntos, utilizando o símbolo . Veja:
A B={2,6,10}
FIQUE ATENTO
______________________________________________________________________________
Assim, o conjunto interseção entre dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a A e B. Na linguagem matemática, temos: A B={x|xA e xB}
______________________________________________________________________________
SAIBA MAIS
______________________________________________________________________________
O conectivo OU está relacionado à união (U) e o conectivo E está relacionado à interseção ()
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III - Na diferença entre conjuntos, o resultado é representado por um novo conjunto, chamado de conjunto diferença. Utilizamos a seguinte representação: A – B, em que o conjunto diferença (A – B) é formado pelos elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Veja no exemplo.
A-B={4,8}
Na diferença, a ordem precisa ser respeitada. Se fosse feito B – A, teríamos o conjunto formado pelos elementos que pertencem ao conjunto B e não pertencem ao conjunto A.
B-A={9,11,12}
Ainda temos uma relação importante entre elementos de conjuntos, utilizada em suas operações para calcular o número de elementos, que pode ser representada da seguinte forma:
•No caso de situações que envolvem dois conjuntos A e B, temos: Dados os conjuntos A e B, chamamos de n(A), o número de elementos de A; n(B), o número de elementos de B; n(A B), o número de elementos do conjunto A B; n(A B), o número de elementos do conjunto A B. Assim, n(A B)= n(A)+ n(B)-n(A B)
•No caso de três conjuntos A, B e C, temos: n(A BC)= n(A)+ n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)-n(A C)+n(ABC)
Para compreender melhor os conceitos estudados até aqui, vamos resolver a situação-problema apresentada no início deste tópico. Sendo assim, utilizaremos duas estratégias para facilitar e ajudar na resolução. Acompanhe!
1ª estratégia:
Utilizar o recurso chamado de Diagrama de Venn. Nesse diagrama, são utilizados círculos para representar cada conjunto e suas relações. Observe que, na situação apresentada, temos três conjuntos – conjunto dos usuários de Facebook (F), conjunto dos usuários de Twitter (T) e conjunto dos usuários de Skype (S). Três conjuntos, três círculos. Como há situações de união e interseção, os círculos precisam ser desenhados da seguinte maneira:
 Figura 1 - Imagem 1 -Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
 Figura 2 - Figura 2 - Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
 Figura 3 - Figura 3 - Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
 Figura 4 - Figura 4 - Diagrama de Venn
Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Os resultados são:
a) 150 professores foram entrevistados (11+7+6+38+29+13+12+34).
b) 11 professores utilizam apenas Facebook.
2ª estratégia
Analisar e interpretar as informações dadas e substituir na relação:
n(A BC)= n(A)+ n(B)+n(C)-n(A B)-n(B C)-n(A C)+n(ABC)
Vamos chamar de F (conjunto dos usuários do Facebook); S (conjunto dos usuários do Skype) e T
(conjunto dos usuários do Twitter). Assim, temos:
n(F)=90; n(S)=70; n(T)=60;
n(FS)=50; n(FT)=41; n(TS)=25;
n(FST)=12
34 não utilizam nenhum dos três.
Respondendo as alternativas:
a) Número total de professores que responderam à entrevista:
n(FST)= n(F)+ n(S)+n(T)-n(FS)-n(FT)-n(TS)+n(FST)
Substituindo os valores:
n(FST)= 90+ 70+60-50-41-25+12 = 116
Agora, só falta somar com 34 (número de professores que não responderam) que encontraremos o valor procurado nessa alternativa. Logo, temos: 116 + 34 = 150 professores.
b) Número de professores que usam apenas Facebook. Chamaremos de x.
Devemos calcular o número de elementos do conjunto de usuários de Facebook n(F), subtraindo n(FS)\,n(FT) e n(FST).
Para encontrar o valor dos usuários que utilizam apenas Facebook e Skype, é preciso subtrair o valor dado n(FS)=50 do valor dado pela interseção dos três conjuntos n(FST)=12.
Assim: 50 – 12 = 38.
De forma análoga, calcula-se o valor dos usuários que utilizam apenas Facebook e Twitter.
Veja: n(FT)=41, menos o valor de n(FST)=12. Assim: 41 – 12 = 29.
Agora é só substituir os valores em x:
x=n(F)-n(FS)- n(FT)-(FST)=90-38-29-12=11
Logo, 11 professores utilizam apenas Facebook.
Agora é sua vez, procure resolver os problemas a seguir utilizando a estratégia que achar mais fácil.
Na empresa Soko Mono, o setor de RH resolveu oferecer curso de inglês ou espanhol aos seus 220 funcionários. O gerente desse setor precisava saber quantos funcionários não se inscreveram em nenhum dos dois cursos. Com isso, fez um levantamento e constatou que, dos 220 funcionários, 100 fizeram inscrição em inglês, 80 fizeram inscrição em espanhol e 30 se inscreveram em inglês e espanhol. Ajude o gerente a descobrir quantos funcionários não fizeram inscrição.
Explicação passo-a-passo:
Supondo que os funcionários que se inscreveram em ambos estão juntos com a quantidade de pessoas que se inscreveram em apenas um, 40 funcionários não se inscreveram em nenhum curso.
Cálculo:
100+80=180
220-180=40
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Internet
A Ordem das Operações Matemáticas existe para decidir em qual ordem as operações devem ser executadas. Logo, a resposta para seguinte operação é:
√36+8²+ 2 x (10-6) ÷ 2-2³
Explicação passo-a-passo:
√36+8²+2.(10-6)÷2-2³=
6+64+2.4÷2-8=
6+64+4-8= 
66
Uma empresa de marketing realizou uma pesquisa com 800 clientes de um supermercado para verificar suas preferências em relação às marcas A, B e C de certo produto. Constatou-se que, dos clientes pesquisados: 45% compram a marca A; 75% compram a marca B; 62,5% compram a marca C; 35% compram as marcas A e B; 18,75% compram as marcas A e C; 50% compram as marcas B e C; e 12,5% compram as três marcas. Qual o número de clientes pesquisados que não compram estas marcas, ou seja, preferem outra marca diferente das três citadas ou não compram esse produto? a) 50 b) 70 c) 25 d) 80 e) 45
Vamos lá
Uma empresa de marketing realizou uma pesquisa com 800 clientes de um supermercado para verificar suas preferências em relação às marcas A, B e C de certo produto. Constatou-se que, dos clientes pesquisados: 45% compram a marca A; 75% compram a marca B; 62,5% compram a marca C; 35% compram as marcas A e B; 18,75% compram as marcas A e C; 50% compram as marcas B e C; e 12,5% compram as três marcas. Qual o número de clientes pesquisados que não compram estas marcas, ou seja, preferem outra marca diferente das três citadas ou não compram esse produto? 
A 45% de 800 = 360
B 75% de 800 = 600
C 62.5% de 800 = 500
AB 35% de 800 = 280
AC 18.75% de 800 = 150
BC 50% de 800 = 400
ABC 12.5% de 800  = 100 
agora 
AB' = AB - ABC = 180
AC' = AC - ABC = 50
BC' = BC - ABC = 300
A' = A - AB' - AC' - ABC = 360 - 180 - 50 - 100 = 30 
B'  = B - AB' - BC' - ABC = 600 - 180 - 300 - 100 = 20
C' = C -  AC' - BC' - ABC = 500 - 50 - 300 - 100 = 50 
agora
A' + B' + C' + AB' + AC' + BC' + ABC + x = 800
30 + 20 + 50 + 180 + 50 + 300 + 100 + x = 800
x + 730 = 800
x = 800 - 730 = 70
o número de clientes pesquisados que não compram estas marcas, ou seja, preferem outra marca diferente das três citadas ou não compram esse produto é 70
Letra B
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70 pessoas
A: 3.75 POR CENTO
B: 2.5 POR CENTO 
C: 6.25 POR CENTO
A e B: 22.5
A e C: 6.25
B e C: 37.5
A,B e C: 12.5
Apos a prova do Enem 70 pessoas acharam a prova de linguagem código e suas tecnologias fácil
45 acharam somente a prova de matemática e suas tecnologias fácil
38 acharam ambas as provas de conhecimento fáceis
26 não acharam nenhuma das provas dessas áreas de conhecimento fáceis
A)quantas pessoas acharam fácil apenas a prova de linguagens,codigos e suas tecnologias ?
B)quantas pessoas acharam fácil a prova de matematica ?
C)quantas pessoas foram ouvidas ?
D)quantas acharam faceis pelo menos uma dessas provas
E)quantas acharam faceis somente uma dessas provas
Fiz o exercicio e aqui esta minhas respostas, basta saber se estão corretas?
A)32 B)83 C)141 D)77 E)77
A) 70 - 38 = 32
B) 45 + 38 = 83
C) 32 + 45 + 38 + 26 = 141
D) 32 + 45 + 38 = 115 (Lembre-se, que a expressão "pelo menos" inclui também quem acharam fácil ambas as provas)
E) 32 + 45 = 77 (Já aqui não inclui, pois a expressão "somente" filtra para apenas quem acha uma prova fácil)
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Apos a prova do Enem 70 pessoas acharam a prova de linguagens códigos e suas tecnologias fácil 45 acharam somente a provo de matemática e suas tecnologias fácil 38 acharam ambas as provas das áreas de conhecimento fáceis e 26 não acharam nenhuma das provas dessas áreas de conhecimento fáceis quantas pessoas acharam fácil apenas a prova de linguagens códigos de suas tecnologias
Linguagens Códigos e suas Tecnologias => LCT
Matemática e suas Tecnologias => MT
LCT e MT => 38 acharam fáceis.
LCT => 70 - 38 = 32 acharam fácil
MT => 45 - 38 = 7 acharam fácil
26 não acharam nenhuma das duas fáceis
32 pessoas acharam somente a LCT fácil.
Segue o Diagrama de Venn em anexo completando a resposta.
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Apos a prova do Enem 70 pessoas acharam a prova de linguagem código e suas tecnologias fácil
45 acharam somente a prova de matemática e suas tecnologias fácil
38 acharam ambas as provas de conhecimento fáceis
26 não acharam nenhuma das provas dessas áreas de conhecimento fáceis
quantas pessoas acharam fáceis somente uma dessas provas?
70- linguagem código e suas tecnologias
45- SOMENTE matemática
38- matemática e linguagem
26- nenhuma
70-38=32- SOMENTE linguagem
somente linguagem + somente matemática= acharam somente uma das provas fácil
32+45=77----> acharam somente uma das provas fácil
Espero ter ajudado!
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Em uma indústria, ha dois tipos de maquina para produzir parafusos. Uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra, 45 parafusos por minuto PERGUNTA A) Quantos parafusos sao produzidos por hora com dus maquinas trabalhando? PERGUNTA B) Se a primeira maquina começar a produzir as 8h e a segunda as 8h30min,quantos parafusos serão produzidos pelas duas ate as 10h? PERGUNTA C) Se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5 horas das duas maquinas? POR FAVOR,OBRIGADO DESDE JA
a) 1h=60m então 54*60= 3,240 e a segunda maquina 60*45= 2,700
então a soma das duas é = 5,940
b)8h---10h = 2h = 120min*54 = 6,400
 8:30--10h = 1:30=90min*45 = 4,050
a soma é = 10,450
C) 180 unidades por caixa então:
5horas = 300 min *54 = 16,200/180= 90 caixas 
300*45=13,500/180= 75caixas 
a soma é = 165 caixas 
a) 54 * 60 min = 3240
    45 * 60 min = 2700
3240 + 2700 = 5940 parafusos
b) 1 maquina 8h - 10h = 2h ou 120min
    120 * 54 = 6480
    2 maquina 8h30min - 10h = 1h30min ou 90min
     90 * 45 = 4050
c) 5h = 300min
   1 maquina > 54 * 300 = 16200 
   2 maquina > 45 * 300 = 13500
16200 + 13500 = 29700
29700/180uni = 165 caixas
E é isso de nada.
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Numa tecelagem, duas máquinas produzem inicialmente 60 metros de tecido em 3 horas. Se o número de máquinas for dobrado e as horas de trabalho forem triplicadas, então o total de metros de tecido produzidos por essa tecelagem será:
Eles irão fabricar 120m de tecido em 9horas de trabalho
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Em uma industria ha dois tipos de maquina para produzir parafusos uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto
a) quantos parafusos são produzidos por hora com as duas maquina trabalhado?
hora = 60 minutos
54+45=99 parafusos p/minuto
99 * 60 = 5940 parafusos por hora
Em uma indústria há dois tipos de maquina para produzir parafusos. Uma das maquinas produz 54 por minuto e a outra, 45 por minuto.
a) Quantos parafusos são produzidos por hora com as duas máquinas trabalhando?
b) Se a primeira máquina começar a produzir ás 8h e a segunda ás 8h30min, quantos parafusos serão produzidos pelas duas até as 10h?
c) Se os parafusos produzidos são embalados com caixas com 180 unidades em cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5h das suas máquinas?
a . 50+45 = 99/min x 60min = 5940 parafusos 
b . 120x54 = 6480 (primeira maquina)
      90x45 = 4050 (segunda maquina), logo 6480+4050 = 10530 parafusos
c . ambas juntas produzem  99/min x 300 min =29700 parafusos , são embalados 180 deles por caixas então... 29700/180 = 165 caixas 
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Em uma indústria, há dois tipos de máquinas para produzir parafusos. Uma das máquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra,45 parafusos por minuto.
A) Se a primeira máquina começar a produzir às 8h e a segunda às 8h30min,quantos parafusos serão produzidos pelas duas até as 10h?
B) Se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades cada uma,quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5 horas da duas máquinas?
a primeira maquina produzirá 6 480 parafusos e a segunda fará 4 050
serão necessárias 90 caixas
Em uma das Indústrias há dois tipos de máquina para produzir parafusos uma das máquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto se os parafusos produzidos serão embalados em caixas com 180 unidades em cada uma. Quantas caixas serão necessárias para embalar produção de 5 horas das duas máquinas 165 caixas.
(45x60=2.700 
2700x5=13.500)
(54x60=3.240
3.240x5=16.200)
(16.200+13.500=29.700
29.700÷180=165)
Em uma indústria, há dois tipos de máquina para produzir parafusos. uma das máquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra, 45 parafusos por minuto.
a) Quantos parafusos são produzidos por hora com as duas máquinas trabalhando?
R:
b) Se a primeira máquina começar a produzir ás 8h30min, quantos parafusos serão produzidos pelas duas até as 10h?
R:
c) Se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5 horas das duas máquinas?
R:
a) 5940 
60 minutos=1 hora.
54×60
mais
45×60
b) 8910
54+45× 90
de 90 minutos= 1 hora e meia
c) 165 caixas
5940 de 1 hora de máquinas× 5
5940×5= 29700÷180= 165
Em uma industria ha dois tipos de maquina 
para produzir parafusos uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto
c) se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidadesem cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5horas das duas maquinas?
Vamos a resolução: 5 horas x 60 minutos = 300 minutos x 54 parafusos = 16.200 parafusos são produzidos em cinco horas .
A segunda máquina : 5 horas x 60 minutos = 300 minutos x 45 parafusos = 13.500
16 .200 + 13 . 500= 29.700 : 180 = 165
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Em uma das Indústrias há dois tipos de máquina para produzir parafusos em uma das máquinas todos os 44 parafusos por minuto e a outra 45 por minuto se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades em cada uma Quantas caixas serão necessárias para embalar Popular a produção de 5 das duas máquinas
148 caixas, mas ira sobrar 3 parafusos.
(44x60=2640
2640x5=13.200)
(45x60=2700
2700x5=13.500)
(13.500+13.200=26.700)
(26.700÷180=148,33...)
Em uma indústria, ha dois tipos de maquina para produzir parafusos. Uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra, 45 parafusos por minuto PERGUNTA A) Quantos parafusos são produzidos por hora com duas maquinas trabalhando? PERGUNTA B) Se a primeira maquina começar a produzir as 8h e a segunda as 8h30min,quantos parafusos serão produzidos pelas duas ate as 10h? PERGUNTA C) Se os parafusos produzidos são embalados em caixas com 180 unidades cada uma, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 5 horas das duas maquinas? POR FAVOR,OBRIGADO DESDE JA
letra A=5940
letra B= primeira 6480 segunda 4050
letra C=são necessárias 165 caixas
vc vai fazer 45x60+54x60= 5940
B= 54x120+45x90=4050 C= 5x60x45+5x60x54 dividido por 180=165
Em uma indústria ha dois tipos de maquina 
para produzir parafusos uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto
b)se a primeira maquina começar a produzir as 8 h e a segunda as 8h 30 min quantos parafusos serão produzidos pelas duas ate as 10h
x= minuto
A=54x e B=45x. se a primeira começa as 8h vai faltar duas hora para as dez, e a segunda vai faltar 1:30 então:
A=54•120min= 6.480
B=45•90min= 4.050
Num total de 10.530 parafusos
Em uma indústria ha 2 tipos de maquina para produzir parafusos uma das máquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minuto quantos parafusos são produzidos por hora com as duas maquinas trabalhando
54 Parafusos X 60 Minutos = 3.240 Parafusos
45 Parafusos X 60 Minutos = 2.700 Parafusos
3.240 + 2.700 = 5.940 Parafusos por hora
54x60 = 3240
45x60= 2700
as duas juntas produzem 5940
Em uma indústria ha 2 tipos de maquinas para produzir parafusos. uma das maquinas produz 54 parafusos por minuto e a outra 45 parafusos por minutos se a primeira maquina começar a produzir as 8h e a segunda 8h 30 min, quantos parafusos serão produzidos as 10h?
1ª = 54 × 60 = 3240 peças por hora
2ª = 45 × 60 = 2700 peças por hora
8 horas para 10 horas = 2 horas
3240 × 2 = 6480
8 horas e 30 minutos para 10 horas = 1 hora e 30 minutos
2700 × 1,5 = 4050
6480 + 4050 = 10.530
Resposta: 10.530
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2. Uma loja que vende diferentes marcas de celulares contratou uma empresa de marketing para realizar uma pesquisa acerca de suas preferências em relação a duas marcas de celulares: X, Y. Sabendo que 160 preferem a marca X, 95 preferem a marca Y, 50 preferem as duas e 80 não responderam, determine a quantidade de clientes que foram entrevistados.
3. Um grupo de pessoas prestou concurso para determinado cargo público. Desse grupo, 70 pessoas acharam a prova A fácil; 45 acharam somente a prova B fácil; 38 acharam ambas as provas fáceis; e 26 não acharam nenhuma das provas fáceis. Com base nessas informações, quantas pessoas faziam parte desse grupo?
4. Uma indústria fabrica dois tipos de tecidos: A e B. Das 630 máquinas que essa indústria possui, 350 produzem o tecido A; 210 produzem o tecido B e 90 máquinas produzem os dois tipos de tecidos. Determine: a) quantas máquinas produzem apenas o tecido A? b) quantas máquinas produzem apenas o tecido B? c) quantas máquinas produzem o tecido A ou B? d) quantas máquinas não produzem nenhum dos dois tipos de tecidos?
Fechamento
Nessa aula estudamos os elementos do conjuntos e também as operações entre eles. Relembrando: união entre conjuntos (); interseção entre conjuntos (); diferença entre conjuntos.
Também vimos dois recursos na solução de problemas que envolvem união, interseção e diferença entre conjuntos e outras fórmulas.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
•Entender as operações entre conjuntos;
• Compreender o Diagrama de Venn;
Referências
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SILVA, E. Q.;ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
3 - Função: conceito, lei de formação e representação geométrica
Introdução
Função é um dos conceitos mais importante da Matemática. Ela pode ser percebida quando observamos situações como “o tempo gasto por uma carro para completar um determinado percurso é dado em fundão da sua velocidade”, ou “o número de metros de tecido gastos para fazer uma roupa depende do tamanho da roupa”, ou ainda “a área de uma sala depende de suas dimensões, ou seja, é dada em função destas dimensões: largura e comprimento”. Nessa aula veremos a ideia geral de função.
Função e seus conceitos
Mara, mãe de Felipe, costumava buscá-lo na escola toda quinta-feira. Neste dia, ele geralmente saía mais pensativo do que nos outros dias, pois sua última aula era de Matemática. Toda quinta-feira, Mara costumava passar em um posto de gasolina para abastecer seu carro e nesta não foi diferente. Sendo assim, completou o tanque e gastou R$ 96,00.Felipe prestou atenção em tudo e atento como estava olhava bem fixo para os números que giravam no marcador da bomba de combustível. De repente, teve um estalo e toda a sua aula de Matemática passou a fazer sentido. Ali estava um exemplo de função! Felipe foi associando os números e mentalmente montou o seguinte quadro:
 Figura 1 - Quadro 1 - Preço a pagar em função do número de litros
 Fonte: Elaborado pela autora (2014)
Na verdade, Felipe queria mostrar o seguinte:
Em um veículo, dentre vários fatores, o consumo de combustível depende da sua velocidade. Neste caso, o preço a pagar é dado em função da quantidade de litros adquirida, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados. Assim, podemos escrever uma fórmula que representa esta relação. Chamando de P, o preço a pagar, e de x, o número de litros comprados, temos: P = 2,40 x
No exemplo dado, temos duas variáveis: o preço a pagar P e o número de litros comprados x. Como o preço a pagar (P) depende da quantidade de litros comprados (x), P á a variável dependente. E, como a quantidade de litros comprados (x) é de livre escolha, x é chamado de variável independente.
Perceba que Felipe estava analisando uma grandeza (preço do litro da gasolina) em função de outra grandeza (quantidade de litros de gasolina). Assim, a correspondência entre a quantidade de litros de gasolina adquirida e o preço a pagar é um exemplo de função, já que o preço a pagar varia em função da quantidade de litros adquirida.
Para cada quantidade de litros há um e somente um preço determinado a pagar.
Assim, a fórmula P = 2,40x é chamada de lei da função ou lei de formação da função ou fórmula matemática da função.
FIQUE ATENTO
_________________________________________________________________________
Deste modo, em toda função temos: para cada valor de uma grandeza analisada (y) há um e somente um valor correspondente a outra grandeza (x).
_________________________________________________________________________FIQUE ATENTO
_____________________________________________________________________
Portanto, em Matemática, se x e y são duas variáveis tais que para cada valor atribuído a x existe, em correspondência, um único valor para y, dizemos que y é uma função em x.
Logo, temos: y = f(x) - Lê-se: y é igual a f de x
___________________________________________________________________________
O conjunto D de valores que podem ser atribuídos a x é chamado domínio da função. A variável x é chamada variável independente. O valor y, correspondente a determinado valor atribuído a x, é chamado imagem de x pela função e é representado por f(x). A variável y é chamada variável dependente, porque y assume valores que dependem dos correspondentes valores de x.
O conjunto Im(f) formado pelos valores que y assume, em correspondência aos valores de x, é chamado conjunto imagem da função.
Veja o esquema a seguir que ilustra estes conceitos:
 Figura 2 - Figura 1 -Domínio e Conjunto Imagem de uma função f
Utilizando o exemplo dado como modelo, vamos construir dois conjuntos, A e B, de forma que A é igual aos valores atribuídos a determinada quantidade de litros comprados: A = {1,3,40}, B é igual a valores em reais: B = {2,40; 7,20; 11, 30; 15; 96} e a função P = 2,40x. Assim, temos:
 Figura 3 - Figura 2 -Relação entre os conjuntos A e B
De acordo com Dante (2013, p. 47), “para caracterizar uma função é necessário conhecer três componentes: o domínio (A), o contradomínio (B) e uma regra que associa cada elemento de A a um único elemento y = f(x) de B (conjunto imagem).”. Nesse exemplo, o domínio é A = {1, 3, 40}, o contradomínio é B = {2,40; 7,20; 11,30; 15; 96}, a regra é dada por P = 2,40x, tendo como conjunto imagem Im(f) = {2,40; 7,20; 96}.
Os dados do quadro anterior também podem ser representados, geometricamente, por meio de um gráfico, ajudando a perceber como uma grandeza varia dependendo da outra.
Observe:
Figura 4 - Gráfico 2 - Função que representa o preço a pagar (em reais) por determinada quantidade
de combustível (em litros).
1) (DANTE, 2014, p. 44). Escreva a fórmula matemática que expressa a lei de cada uma das funções a seguir: Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade. Portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas. A Organização Mundial de Saúde (OMS) recomenda que cada cidade tenha no mínimo 14 m^2 (14 m/2)  de área verde por habitante. A área verde mínima y que deve ter uma cidade é dada em função do número x de habitantes.
a) Dados                              Formula                      Resolucao
Venda(V)=20x                  y = Venda - Custo         y = 20x - 12x
Custo (C) = 12x                                                       y = 8x
b) y = 14x
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a) O lucro é a diferença entre a receita e o custo (y = R - C). Se a venda é de 20 reais para cada unidade x e o custo é de 12 reais por unidade x, então, temos que:
y = 20x - 12x
y = 8x
b) Se para cada habitante deve haver uma área verde de 14 m², então para 2 habitantes deve haver 14*2 = 28 m², para 3 habitantes deve haver 14*3 = 42 m² e assim por diante, então a função que descreve a área verde mínima para x habitantes é de:
y = 14x
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Internet
Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade, portanto, o lucro y do fabricante é dado em função do número x de unidades produzidas e vendidas, qual a formula matemática dessa função?
Se x é o número de unidades produzidas e y é igual ao lucro do fabricante. 
Então temos que a fórmula matemática dessa função será:
y = 8x
Pois 20 - 12 é igual a 8. Ou seja o lucro do fabricante será de 8 reais em cima de cada objeto vendido. Pois se ele gasta 12 reais para produzir e vende por 20 reais, então ele tem o lucro de 8 reais em cada unidade do objeto vendido.
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Resposta:
Y = 8X <= função pedida
Explicação passo-a-passo:
.
=> Note que o Lucro é dado por:
Lucro = (Preço de Venda - Preço de Custo) . Quantidade
...Sendo "X" a quantidade de produtos vendidos ..Logo a nossa função será 
(considerando L = Y)
Y = (20 - 12) . x
..ou 
Y = 20X - 12X
...ou ainda
Y = 8X <= função pedida
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Escreva a formula matemática que expressa a lei de cada uma das funções a seguir :
a)Uma fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade , vendendo-os por R$20,00 a unidade .Portanto , o lucro y do fabricante é dado em função do numero x de unidades produzidas e vendidas.
b)Organização Mundial de Saúde (OMS) recomenda que cada cidade tenha no minimo 14 m/2 de área verde por habitante . A área verde minima y que deve ter uma cidade e dada em função do numero x de habitantes.
Vamos lá:
a)Vamos subtrair para descobrir o lucro por peça vendida:
A cada peça vendida, tem-se 8R$ de lucro, portanto, se 2 peças forem vendidas, teremos 16R$, e assim por diante.
A função pode ser descrita assim:
b)Se para cada habitante deve-se ter 14m² de área verde, basta multiplicarmos 14 pelo número de habitantes(que na função seria x):
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Um fabricante, produz objetos a um custo de R $12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade. Por tanto o lucro do fabricante é dado em função do número de unidades produzidas e vendidas. Qual será a fórmula matemática que expresse a lei dessa função?
Vamos lá. 
Veja, amigo, que a resolução é bem simples. 
Se o custo de cada objeto "x" produzido é de R$ 12,00 , então a função custo deste fabricante será dado por: 
C(x) = 12x 
E se cada unidade "x" deste objeto é vendido por R$ 20,00 , então a função receita desse fabricante será dada por: 
R(x) = 20x . 
Agora vamos ver como encontraremos a função lucro. Para isso, basta fazer R(x) - C(x). Então a função lucro será encontrada da seguinte forma: 
L(x) = R(x) - C(x) ----- substituindo-se R(x) e C(x) por suas representações, teremos que a função lucro será: 
L(x) = 20x - 12x 
L(x) = 8x  <--- Esta é a resposta. Esta é a lei de formação da função lucro do fabricante do objeto em questão. 
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Escreva a formula matemática que expressa a lei de cada uma das funções a seguir :
a)Uma fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade , vendendo-os por R$20,00 a unidade .Portanto , o lucro y do fabricante é dado em função do numero x de unidades produzidas e vendidas.
b)Organização Mundial de Saúde (OMS) recomenda que cada cidade tenha no minimo 14 m/2 de área verde por habitante . A área verde minima y que deve ter uma cidade e dada em função do numero x de habitantes.
a) y = 40 (Taxa Fixa) + 20x (valor variável - dependente do número de horas) 
b) y = Venda - Custo = 20x - 12x = 8x 
c) y = 14x (Área necessária varia de acordo com o número de habitantes)
Escrever uma formula matemática que expresse a lei de cada função.
a. Uma firma que concerta televisores cobra uma taxa fixa de R$50,00 de visita mais a taxa R$20,00 por hora de mão de obra. O preço de Y que se deve cobrar pelo concerto é dado em função do número X de horas trabalho(mão de obra).
b. Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 e vende-se a R$20,00 (cada unidade).O lucro L do fabricante é dado em função  do número  de X produzidas e vendidas.
a. Uma firma que concerta televisores cobra uma taxa fixa de R$50,00 de visita mais a taxa R$20,00 por hora de mão de obra. O preço de Y que se deve cobrar pelo concerto é dadoem função do número X de horas trabalho( mão de obra).
y = 50 + 20x
b.Um fabricante produz objetos a um custo de R$12,00 e vende-se a R$20,00 (cada unidade).O lucro L do fabricante é dado em função  do número  de X produzidas e vendidas.
L = (20 - 12) x
L = 8x
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a)
b)
Editado  lucro é a diferença 
2) Escreva a formula matemática que expresse a lei de cada uma das funções abaixo:?
A) uma firma que conserta televisores cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 de visita mas R$20,00 por hora de mão de obra. então o preço Y que se deve pagar pelo conserto de um televisor é dado em função do numero X de horas de trabalho . 
B) Um fabrica produz objetos a um custo de R$12,00 a unidade, vendendo-os por R$20,00 a unidade. Portando, o lucro Y do fabricante é dado em função do numero X de unidades produzidas e vendidas. 
C) A organização mundial da saude recomenta que cada cidade tenha no minimo 14m2 de area verde por habitante. A area verde minima Y que deve ter uma cidade é dada em função do numero X de habitantes.
 Melhor resposta:  a) y = 40 (Taxa Fixa) + 20x (valor variável - dependente do número de horas) 
b) y = Venda - Custo = 20x - 12x = 8x 
c) y = 14x (Área necessária varia de acordo com o número de habitantes)
2) Considere uma função de A em B em que A = {1, 5, 8}, B = {4, 20, 32} e f(x) é o quádruplo de x para todo x A . Construa o diagrama de flechas desta função; Determine o Domínio, a Imagem e o Contradomínio desta função, ou seja, D(x), Im (x) e CD(x).
Fechamento
Neste tema vimos os conceitos básicos da função e a sua lei de formação. Também conheceu três componentes da função: domínio, contradomínio e conjunto imagem.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
•Entender o que é função.
Referências
BRASIL Escola. Plano Cartesiano. [2015]. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2014.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014.
IEZZI, Gelson. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
4 - Funções: construção de gráficos e classificações
Introdução
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática. A função pode ser associada a tabelas, fórmulas e gráficos. Essas representações podem ser feitas por meio da lei de formação e de gráficos. Nessa aula veremos essas demonstrações e como elas podem e devem ser usadas, assim como exemplos teóricos e práticos. Também nesse conteúdo iremos abordar os tipos de funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva.
Representação geométrica de uma função
Para construir o gráfico de uma função, precisamos conhecer sua lei de formação y=f(x). Depois, seguiremos as seguintes etapas:
•construir uma tabela na qual aparecem os valores de x (variável independente) e os valores de y, calculados a partir da lei y=f(x);
•representar cada par ordenado (x,y) da tabela, por um ponto do plano cartesiano;
SAIBA MAIS
______________________________________________________________________________
Plano cartesiano é definido por duas retas perpendiculares (chamadas de eixos), em que a reta horizontal é denominada eixo das abscissas (x) e a vertical, denominada eixo das ordenadas (y). Onde as duas retas (ou eixos) se encontram
 é chamado de origem. Podemos traçar pontos (x,y) no plano que chamamos de par ordenado, em que x representa a abscissa e y a ordenada. Perceba, na figura a seguir, que estas retas (eixos) formam quatro quadrantes.
______________________________________________________________________________
 Figura 1 - Figura 1 -Plano cartesiano e representação de par ordenado no plano
Fonte: Adaptada de Brasil Escola (2015)
•ligar os pontos traçados na etapa 2 por meio de uma curva, que é o próprio gráfico da função y=f(x).
Vamos utilizar um exemplo para aprender cada etapa na construção de um gráfico.
Acompanhe!
Seja a função y = x + 3 com domínio em R.
1ª etapa – Construir uma tabela estabelecendo valores para x. Depois, substituir esses valores na lei y = x + 3, para encontrar os valores correspondentes de y, como apresentado na tabela a seguir:
 
 Figura 2 - Tabela 1 - Valores de x e y na função y = x + 3
2ª etapa e 3ª etapa– A partir da tabela anterior, temos os seguintes pares ordenados: (–2,1); (–1,2); (0,3); (1,4); (2,5). Agora é preciso representá-los no plano cartesiano e depois unir os pontos traçados, que neste exemplo, formam uma reta. Veja:
 Figura 3 - Figura 2 - Gráfico da função y = x + 3
Quando analisamos o gráfico de uma função, observamos algumas propriedades, ou seja, como a função se comporta.
- Uma função é positiva quando f(x)>0, negativa quando f(x)<0, e quando se anula f(x)=0;
FIQUE ATENTO
_____________________________________________________________________________
São chamados de zero (s) ou raiz (es) de uma função f, os valores de x que anulam a função f.
______________________________________________________________________________
- Uma função é crescente, se x1< x2, então f(x1 )<f(x2 );
- Uma função é decrescente, se x1> x2, então f(x1 )>f(x2 ).
No exemplo dado, a função f definida por y = x + 3 é crescente, pois quanto maior for o valor de x, maior será o valor do correspondente y = x + 3.
Que tal treinar um pouco?
Pegue uma régua e papel quadriculado para ajudar e construa os gráficos das funções dos exercícios 1a e 1b apresentados no final de 1.1. Depois analise o comportamento de cada uma, informando se é função crescente ou decrescente.
Funções sobrejetiva, injetiva e bijetiva
Nesta seção vamos conhecer três tipos de funções: sobrejetiva, injetiva e bijetiva. Iniciamos definindo uma função f com domínio A e contradomínio B e x1 e x2 dois elementos de A.
Uma função f é sobrejetiva se e somente se: Im(f)=B, sendo Im(f) o conjunto imagem da função f. Ou seja, uma função f é dita sobrejetiva quando todo elemento de seu contradomínio é imagem de pelo menos um elemento do domínio.
Confira nos exemplos a seguir. Dadas duas funções f e g, definidas pelos conjuntos A e B, temos:
 Figura 4 - Figura 3 - Diagramas de flechas S
Perceba que no diagrama da função f, todos os elementos do contradomínio B recebem, pelo menos, uma flecha, o que indica que a função é sobrejetiva (Im(f) = {1,3,5} = B). Agora, verifique que na função g, existe um elemento de B (3) que não recebe flecha, ou seja, não é imagem de nenhum elemento de A. Assim, a função g não é sobrejetiva (Im(f) = {1,5} B).
Uma função f é injetiva se e somente se x1 x2 f(x1 )f(x2 ). Assim, uma função é dita injetiva quando valores diferentes do domínio estiverem associados a imagens diferentes no contradomínio, ou seja, um elemento de B não pode ser imagem de mais de um elemento de A
. Acompanhe os seguintes exemplos:
 Figura 5 - Figura 4 - Diagramas de flechas I
Repare, no exemplo dado na figura 8, função f, que para cada valor do conjunto A, corresponde a valores diferentes em B, o que define uma função injetiva. Já na função g, dois valores de A (0 e 2) se associam a um mesmo valor de B (1), não sendo g, uma função injetiva.
Uma função f de A em B é dita bijetiva se, e somente se, ela for sobrejetiva e injetiva. Para que isto ocorra, é necessário e suficiente que todo y B seja imagem de exatamente um x A. Veja o esquema as seguir que ilustra este caso:
 Figura 6 - Figura 5 - Diagramas de flechas II
No diagrama de flechas da figura anterior, a imagem de f, que é o conjunto {1,3,5}, coincide com o contradomínio B, o que caracteriza uma função sobrejetiva. Além disso, elementosdiferentes do domínio A estão associados a imagens distintas em B, fazendo com que f seja uma função injetiva. Assim, f é uma função bijetiva. Verifique que todo elemento do contradomínio é imagem de exatamente um elemento do domínio da função f.
Para verificar se compreendeu os conceitos estudados neste tema, faça a atividade a seguir:
• A tabela a seguir relaciona o tempo t (em horas) e a distância d (em quilômetros) percorrida nesse tempo, por um carro que mantém velocidade constante de 100 km/h numa rodovia.
 Figura 7 - Quadro 2 – Relação entre tempo e distância
De acordo com a situação exposta, faça o que se pede:
a) Complete a tabela.
b) Que grandeza foi calculada em função da outra?
c) A cada instante de tempo corresponde uma única distância percorrida? Explique.
d) Qual é a variável dependente? Por quê?
e) Escreva a lei de formação dessa função.
f) Classifique esta função em injetiva, sobrejetiva ou bijetiva.
Em uma rodovia, um carro mantém velocidade constante de 100 km/h.
a)copie e complete esta tabela, que relaciona o tempo t (em horas) e a distancia d (em quilômetros) percorrido nesse tempo.
b)que grandeza foi calculada em função da outra?
c)a cada instante de tempo corresponde uma única distância percorrida?
d)qual é a variável dependente?
e)escreva em seu caderno a lei dessa função ou a equação que fornece d em função de t.
a) Tempo (t) em horas || 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 2,5 | 3
Distância (d) em km |50|100|150|200|250|300
b) A distância em função do tempo.
c)Sim, a não ser que o carro pare durante o percurso.
d) A distância depende do tempo.
e) D=100 × T
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Um carro numa rodovia mantém velocidade constante de 90km/h
1)veja a tabela a seguir,ela relaciona o tempo T(em horas) e distância D(em quilômetros). complete as lacunas
Fechamento
Nesta aula vimos como se dá a construção de gráficos e como traça-los a partir de uma tabela. Vimos também os tipos de função e estudamos suas nomenclaturas e características.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Entender gráficos de função;
• Compreender o que são funções injetivas, sobrejetivas e bijetivas.
Referências
BRASIL Escola. Plano Cartesiano. [2015]. Disponível em: <http://www.brasilescola.com/matematica/plano-cartesiano.htm>. Acesso em 21 de outubro de 2014.
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014.
IEZZI, Gelson. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
5 - Funções – afins e modulares
Introdução
Antes de partirmos para o conteúdo dessa aula, vamos pensar na seguinte situação:
Vanessa está atrasada para o trabalho e decide ir de táxi, mas ela está com pouco dinheiro, pois está acostumada a ir de ônibus. Sabendo que numa corrida de táxi é cobrada uma taxa fixa de R$ 5,00 mais R$ 1,50 por quilômetro rodado, ajude Vanessa a calcular qual o valor que pagará por uma corrida até o seu trabalho que fica a 15 km partindo de onde ela está. No exemplo, o preço a pagar (x) depende da distância percorrida (y). Logo, a lei de formação dessa função é a seguinte: y =1,50x + 5. Portanto, nessa vamos estudar a função definida por situações semelhantes à apresentada: função afim e a função modular, além de resolver algumas situações-problema que envolvem estes conceitos. 
Função afim
De acordo com o exemplo dado na introdução deste material, vimos que a função definida por y=1,50x+5 é uma função que chamamos de função afim.
Deste modo, dados dois números reais a e b,com a0, chama-se função afim ou função do 1o grau àquela dada por f(x)= ax+b. O coeficiente a é chamado de coeficiente angular, enquanto b é chamado de coeficiente linear.
Retomando o problema apresentado, vamos construir uma tabela a partir da função y=1, 50x+5 para depois a representarmos geometricamente por meio de um gráfico. Veja:
 Figura 1 - Tabela 1 - Relação entre distância percorrida (km) x valor a ser pago (R$)
A seguir, observe o gráfico que representa essa função:
 Figura 2 - Gráfico 1 - Gráfico da função y = 1,50x + 5
Assim, podemos concluir que:
O valor desta raiz representa a abscissa do ponto de interseção da reta que representa a função com o eixo Ox.
No exemplo dado em que y = 1,50x + 5, vamos encontrar para qual valor de x esta função é nula. Assim, para calcular a raiz da função y = 1,50x + 5, utilizamos x=-b/a e substituímos a = 1,50
e b = 5. Logo, temos:
O ponto (-3,3;0) é o ponto de interseção da reta no eixo Ox, como pode ser visualizado no gráfico traçado para essa função.
Como vimos que o coeficiente a é chamado de coeficiente angular, e b é chamado de coeficiente linear da função afim, vamos entender um pouco mais sobre isto. Acompanhe!
O número a chama-se taxa de variação da função f, mas também é conhecido como declividade ou coeficiente angular da reta em relação ao eixo horizontal Ox.
Já o número b chama-se valor inicial da função f ou coeficiente linear da reta. Para x = 0, temos y = b. Assim, o coeficiente linear (b) é a ordenada do ponto em que a reta corta o eixo Oy. No exemplo, você pode observar no gráfico da figura anterior esse ponto de interseção com o eixo Oy, que no caso é (0,5).
Agora, que tal ajudar Vanessa com a questão da corrida de táxi? Verificando na tabela 1, constatamos que o valor que ela pagará por uma corrida até o seu trabalho, que fica a 15 km de
onde estava, é de R$27,50. Entretanto, no fim do dia ela resolveu, também, voltar para casa de táxi, pagando no trecho percorrido R$33,50. Qual será a distância do trabalho de Vanessa até sua casa?
Bem, se Vanessa pagou R$33,50, temos que y = 33,50 ou f(x) = 33,50 e, assim, devemos encontrar a distância percorrida, que é o valor de x, utilizando a fórmula y = 1,50x + 5. Logo:
Portanto, a distância da casa da Vanessa até o seu trabalho é de 19 quilômetros.
Para verificar se compreendeu este conceito, resolva os exercícios a seguir:
1 - Assinale a seguir as funções afim e identifique os coeficientes angular e linear a e b.
a) y = 25x + 4,5 b) y = x2 + 3 c) y = 5x + 1/5 d) y = 2x/7 + 43
2 - Dada a função afim y = 2x - 5, determine a raiz desta função e trace seu gráfico.
Função modular
Para estudar a função modular, iniciaremos conceituando o que é módulo e como calcular o módulo de um número:
Módulo é a distância entre um número até o zero e é representado pelo símbolo | |.
O módulo de 9 é representado por |9| = 9, pois a distância do número 9 até o zero, tem 9 unidades. Com o número – 9 é o mesmo. O módulo de – 9 é representado por |– 9|, que indica também, 9 unidades até o zero. Portanto, |– 9| = 9.
Observe a representação destes módulos na reta numerada.
 
 Figura 3 - Figura 1 - Representando distância
Acompanhe um exemplo!
Seja a função f(x)=|x-2|-1, construa o seu gráfico.
Utilizando a definição de módulo, vamos primeiro escrever f(x) usando sentenças sem módulo.
Assim, para:
• x2 x-2 0 f(x)=|x-2|-1=x-2-1=x-3
• x<2 x-2 <0 f(x)=|x-2|-1=-(x-2)-1=-x+1
Logo,
Agora, devemos construir uma tabela para cada função e assim obter o gráfico de f(x).x2 x<2
 
 Figura 4 - Tabela 2 - Função y = x-3
 Figura 5 - Tabela 3 - Função y = -x+1
Traçando o gráfico da função f(x)=|x-2|-1, temos:
 Figura 6 - Gráfico 2 - Função f(x)=|x-2|-1
Confira se está aprendendo, resolvendo a seguinte atividade:
Para cada função modular a seguir, escreva f(x) usando sentenças semmódulo e trace seu gráfico.
• f(x)=|3-x|+4
• f(x)=|2x-8|
Situações-problema envolvendo função afim
• Paulo é segurança de uma casa noturna e recebe um salário fixo de R$840,00. Para aumentar sua renda, ele resolveu fazer plantões noturnos em uma boate, recebendo R$90,00 por noite de trabalho. Sabendo que no mês passado Paulo fez 4 plantões, calcule qual foi o salário que Paulo recebeu após fazer esses plantões.
Resposta comentada:
Para sabermos o salário que o segurança receberá após 5 plantões, vamos escrever a lei de formação da função que representa esta situação. Como o valor a ser pago depende do número de horas trabalhadas, podemos concluir que a grandeza salário (y) e tempo (x) definem a lei de formação: y =90x + 840.
Substituindo a quantidade de plantões feitos (5) em x, temos:
y=90x+840 y=904+840 y=1200
Portanto, Paulo recebeu R$1.200,00.
• Uma empresa que conserta impressoras cobra uma taxa fixa de R$30,00 pela visita e mais R$15,00 por hora de mão de obra. Marcos precisou contratar os serviços desta empresa e gastou R$105,00. Quanto tempo essa empresa ficou na casa de Marcos?
Resposta comentada:
Para sabermos o tempo que a empresa gastou para consertar a impressora de Marcos vamos escrever a lei de formação da função, que representa esta situação. Como o valor a ser cobrado depende do número de horas trabalhadas, temos duas grandezas: valor cobrado e tempo - variáveis dependente e independente, respectivamente. Denotando por x a variável independente (tempo) e por y a variável dependente x (valor a ser cobrado) podemos chegar à seguinte lei de formação: y = 15x + 30.
Substituindo o valor de 105 em y, temos:
105 = 150x + 30 15x = 105 - 30 15x = 75 x = 75/15 x = 5
Portanto, um funcionário desta empresa ficou 5 horas na casa de Marcos.
Agora chegou a sua vez! Resolva as atividades que estão listadas a seguir:
1 - Uma determinada indústria que produz parafusos os vende por R$ 1,20 cada um. Um lote deste mesmo parafuso apresenta um custo total formado por uma taxa fixa de R$ 50,00 mais o custo de produção por R$ 0,45 por parafuso. Com isto:
a) Escreva a lei de formação da função que representa o custo total y de um lote em função do número x de parafusos.
 b) Calcule o custo da produção de um lote com 1500 parafusos. 
c) Qual o valor, em reais, que um comerciante ganharia com a venda de um lote de 1500 parafusos? d) Para que um determinado comerciante não tenha nem lucro nem prejuízo, calcule a quantidade de parafusos para a venda de um lote. 
e) Caso o fabricante venda um lote com 300 parafusos, ele terá lucro ou prejuízo? De quanto seria?
Internet
Um fabricante vende parafusos por RS 0,80 cada um. O custo total de um lote de parafusos é formado por uma taxa fixa de RS 40,00 mais custo de produção de RS 0,30 por parafuso. 
A) Que sentença dá o custo total y de um lote em função de número x de parafusos? 
B) Qual é o custo da produção de um lote de 1000 parafusos?
C Quanto o comerciante arrecada na venda de um lote 1000 parafusos?
D) Qual o número de parafusos de um lote para que, na venda, o fabricante não tenha lucro nem prejuízo?
E) Se vender um lote de 200 parafusos, o comerciante terá lucro ou prejuízo? De quanto? 
Assunto:Função 
A -
y = 40 + 0,3x
B -
y = 40 + (0,3 *1000)
y = 40 + 300
y = R$ 340,00
C -
Preço de venda: R$ 0,80
0,8 * 1000 = R$ 800,00
D - 
Função receita: R(x) = 0,8x
Função custo: C(x) = 40 + 0,3x
Nem lucro nem prejuízo: R(x) = C(x). Assim:
R(x) = C(x)
0,8x = 40 + 0,3x
0,5x = 40
x = 80 unidades
E -
Terá lucro, pois a quantidade mínima para não ter prejuízo são 80 unidades; logo, a venda de 200 parafusos o fará obter lucro.
R(x) = 0,8 * 200
R(x) = R$ 160,00
C(x) = 40 + (0,3 *200)
C(x) = 40 + 60
C(x) = R$ 100,00
Ou seja, o fabricante gastou 100 reais para fabricar 200 parafusos e obteve receita de 160 reais. Lucro de 160 - 100 = R$ 60,00.
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Um fabricante vende parafusos por 0,80 cada um. O custo total de lote de parafusos é formado por uma taxa fixa de 40,00 mais o custo de produção de 0,30 por parafuso. Qual é o número de parafusos de um lote para que, na venda, o fabricante não tenha lucro nem prejuízo?
O custo para fabricar o parafuso:
C(x) = 0,3x + 40
Sendo x o número de parafusos.
A arrecadação com as vendas de cada parafuso:
R(x) = 0,8x
Para saber qual o valor de x que a arrecadação e o custo (sem lucro e sem prejuízo), basta igualar R(x) com C(x):
R(x) = C(x)
0,8x = 0,3x + 40
0,8x - 0,3x = 40
0,5x = 40
x = 40/0,5
x = 80 parafusos
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1a Questão (Ref.: 201404273521) 
 Foi realizado um levantamento com os alunos do seu curso, revelando que 19% estudam inglês; 27% estudam espanhol; 8% estudam inglês e espanhol. Qual o percentual dos que não estudam nem inglês e nem espanhol? 
55% 60% 46% 70% 62% X
 
2a Questão (Ref.: 201404274806) 
Dados os conjuntos A = {2,4,6,8} e B = {1,3,5,9}, é correto afirmar que: 
AUB={1,2,3,4,5,6,8,9}
 
3a Questão (Ref.: 201404273937) 
 Sendo A={x ∈ N│x<6} e B={x ∈ Z|-3<X< U A Determine> 
 {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}X {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5} {-2, -1, 1, 2, 3, 4, 5} {-2, -1, 1, 2, 3, 4} {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4} 
1a Questão (Ref.: 201404116826) 
 A quantidade de pessoas do sexo masculino que frequentam certo SPA atualmente equivale a 1/5 da quantidade de pessoas do sexo feminino. Se a diária para cada mulher é de R$ 120,00, correspondente a 60% da diária paga por cada homem, qual a arrecadação diária desse SPA, paga pelas mulheres e pelos 20 homens? 
 R$ 12.000,00 R$ 8.000,00 R$ 16.000,00X R$ 4.000,00 R$ 7.200,00 
 
2a Questão (Ref.: 201404221870) 
 (FUVEST) A diferença entre o cubo da soma de dois números inteiros e a soma de seus cubos pode ser: 
 7 6 X 4 8 5 
3a Questão (Ref.: 201404114554) 
 
 
Danilo, dono de um restaurante, perguntou a 90 clientes: Entre Lasanha, Pizza e Macarronada, de qual(is) você gosta?. O resultado da pesquisa: 35 gostam de Lasanha; 45 gostam de Pizza; 38 gostam de Macarronada. 11 gostam de Lasanha e Pizza 12 gostam de Pizza e Macarronada 13 gostam de Lasanha e Macarronada 8 gostam das três: Lasanha, macarronada e Pizza A quantidade de clientes que gostam somente de macarronada é igual a: 
 23 25 27 20 21 X
Qual é a fração que representa o número 8,25: 
 8250/100 825/10 825/1000 165/20 X 16/2
2a Questão (Ref.: 201404282013) 
 Qual é a solução da equação 4(x - 2) + 1 = 2x + 3 ? 
 0 5/3 2 5 X ½
Num determinado dia comprei 1kg de café e 1kg de açúcar por R$10 e num outro dia comprei 2kg de café e 3kg de açúcar por R$22. Sabendo-se que nesses dias os preços do café e do açúcar não alteraram: 
O preço do kg do café é R$3 e o preço do kg do açúcar R$7 
O preço do kg do café é R$2 e o preço do kg do açúcar R$8 
O preço do kg do café é R$7 e o preço do kg do açúcar R$3 
O preço do kg do café é R$6 e o preço do kg do açúcar R$4 
O preço do kg do café é R$8 e o preço do kg do açúcar R$2 X
4a Questão (Ref.: 201404116150) 
Se a soma de dois números é igual a 1 e a sua diferença é igual a -2, Então, podemos dizer que o produto 
 
desses dois números é igual a: 
 3/4 1/4 -0,75 X 1,25 2,5
 
5a Questão (Ref.: 201404222774) 
 Em uma panificadora são produzidos 90 pães de 15 gramas cada um. Caso queira produzir pães de 10 gramas, quantos iremos obter? 
 Serão produzidos 135 pães de 10 gramas X
 Serão produzidos 125 pães de 10 gramas 
 Serão produzidos 115 pães de 10 gramas 
 Serão produzidos 120 pães de 10 gramas 
 Serão produzidos 130 pães de 10 gramas 
Francisco resolveu comprar um pacote de viagem que custava R$ 4 200,00, já incluídos R$ 120,00 correspondentes a taxas de embarqueem aeroportos. Na agência de viagens, foi informado de que, se fizesse o pagamento à vista, teria um desconto de 10%, exceto no valor referente às taxas de embarque, sobre o qual não haveria nenhum desconto. Decidiu, pois, pagar o pacote de viagem à vista. Então, é CORRETO afirmar que Francisco pagou por esse pacote de viagem. 
 R$ 3 972,00 
 R$ 3 780,00 
 R$ 3 672,00 
 R$ 3 792,00 X
 R$ 3 900,00 
 
 
1a Questão (Ref.: 201404225665) 
 Um professor ganha o seu salário, dando aulas particulares. Ele cobra para ir à casa dos seus alunos a quantia fixa de R$80,00, a fim de cobrir suas despesas (gasolina, estacionamentos, lanches e outros), mais R$120,00 por cada hora/aula dada. Se este professor foi à casa de 20 alunos distintos e ministrou um total de 40 horas/aulas no mês, o seu salário foi de: 
 R$ 7400,00 
 R$ 6480,00 
 R$ 5400,00 
 R$ 4880,00 
 R$ 6400,00 X
 
 
2a Questão (Ref.: 201404055882) 
 Uma empreiteira está devendo 1,2 milhão de reais a um banco. Para pagar essa dívida, fez um acordo: de imediato pagaria R$ 300 mil e, um mês depois, 20% do saldo devedor. Após esses dois pagamentos, qual será o valor da dívida? 
 R$ 7,2 MILHÕES 
 R$ 1,5 MILHÃO 
 R$ 750 MIL 
 R$ 900 MIL 
 R$ 720 MIL X
 
 
3a Questão (Ref.: 201404052394) 
 Há muitos anos, numa região periférica da cidade, foi instalada uma pequena fábrica. Com o passar dos meses, surgiram residências ao seu redor. Hoje, passados 20 anos, a pequena fábrica transformou-se em uma grande indústria e o vilarejo em uma pequena cidade. Desta cidade, 15% dos habitantes trabalham na indústria, os demais 17.204 habitantes têm outras atividades, mas que, de alguma forma, têm ligações com a indústria. 
Recentemente foi feito um levantamento do número de pessoas que habitam a cidade hoje, qual foi o número de habitantes encontrados e qual o número de pessoas que trabalham na indústria? 
A cidade tem 14.623 habitantes e destes 2.193 trabalham na indústria 
A cidade tem 25.806 habitantes e destes 3.870 trabalham na indústria 
A cidade tem 20.240 habitantes e destes 2.580 trabalham na indústria 
A cidade tem 20.240 habitantes e destes 3.036 trabalham na indústria X
A cidade tem 17.204 habitantes e destes 2.580 trabalham na indústria 
 
 4a Questão (Ref.: 201404087475) 
 Um sapato que custa R$ 300,00, sofreu dois descontos sucessivos de 10% e 15%. Hoje, o sapato custa: 
R$ 229,50 X
R$ 225,00 
R$ 245,50 
R$ 275,00 
R$ 220,50 
 
5a Questão (Ref.: 201404083520) 
Comprei um equipamento para minha empresa por R$ 5.000,00. Este equipamento foi vendido dias depois pelo valor de R$ 6.500,00. Qual a porcentagem de lucro obtida nesta venda em relação ao custo do equipamento? 
 15% 35% 30% X 20% 25% 
 
 6a Questão (Ref.: 201404085936) 
 Um revendedor que não possuía conhecimentos de matemática comprou uma impressora por R$ 2 000,00. Acresceu a esse valor, 50% de lucro. Certo dia, um freguês pediu um desconto, e o revendedor deu um desconto de 40% sobre o novo preço, pensando que, assim, teria um lucro de 10%. Na verdade, esse revendedor: 
 teve prejuízo de 200 reais. X
 teve prejuízo de 100 reais. 
 não teve lucro nem prejuízo. 
 teve lucro de 200 reais. 
 teve lucro de 20%. 
1a Questão (Ref.: 201404261301) 
A função da reta que passa pelo ponto A ( 2, -4 ) e ter coeficiente angular igual a 3 é: 
 y = 3x - 10 X
y = 3x + 10 
y = 3x - 2 
y = 10x - 3 
y = 3x + 2 
2a Questão (Ref.: 201404117970) 
Em uma fábrica, o custo para produzir determinado produto consiste em uma quantia fixa de 200 u.m. (unidade monetária) somada ao custo de produção, que é de 50 u.m. por unidade produzida. Se chamarmos de y o custo total de produção e de x o número de unidades produzidas, podemos representar a relação entre x e y por: y = 50x + 200. Considerando que o custo total for de 1.000 u.m., o número de unidades produzidas é: 
 16 X 1600 160 24 50200 
 
2a Questão (Ref.: 201404272317) 
 A receita mensal em reais de uma fábrica é expressa por R= 10000 p - 1000 p^2, onde p é o preço de venda de cada unidade e p<10. A partir daí, qual o valor de p cobrado para se obter uma receita igual a R$25000,00? 
 R$4,00 R$5,00 X R$6,50 R$6,00 R$5,50 
 
6a Questão (Ref.: 201404272465) 
Sabendo que a função lucro de determinado produto é dado por L(x) = -50x2+1200x-30, determine a quantidade de produto a ser vendida de forma que o lucro seja máximo.
25 24 12 X 20 10 9°a 
 
 
 1a Questão (Ref.: 201404271698) 
 Em uma empresa, o custo de fabricação (C) em função da quantidade produzida (q) é dado pela seguinte função quadrática: 
Qual a tendência de variação do custo com a quantidade quando a produção (q) é de 50 unidades? 
 510 X 0 13.100 850 260
 
2 - Rose é representante de vendas e recebe um salário mensal fixo de R$ 1300,00 mais uma parte que depende da comissão de 12% sobre o total de vendas que faz ao longo do mês. Sabendo que y representa o salário mensal e x o total de vendas, determine:
a) A lei de formação da função representada por y em função de x. 
b) O salário que Rose receberá no mês de julho, caso tenha feito uma venda no valor de R$ 25.000,00.
Internet
Gustavo é representante comercial. Ele recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor R$ 1.200,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 7% (0,07) sobre o total de vendas que ele faz durante o mês. X
Considere S o salário mensal e X o total da vendas do mês.
A) Qual é a variável dependente?
B) Qual é a lei da função ou fórmula que associa S a X?
C) se o total de vendas no mês de setembro foi de R$ 10.000,00,quanto Gustavo recebeu nesse mês?
D) O salário de Gustavo varia de forma diretamente proporcional ao total de vendas que ele faz durante o mês?
A) A variável é x, pois depende do quanto ele vender
B) S=1.200 + x*0,07
C) S= 1.200 + 10.000 * 0,07
    S= 1.200 + 700
    S= 1.900
D) Não. Pois ele tem uma parte do salario que é fixa.
Amanda é representante comercial. Ela recebe mensalmente um salário composto de duas partes: uma fixa, no valor de R$ 850,00, e uma variável, que corresponde a uma comissão de 3% sobre o total de vendas que ela faz durante o mês. Considere “S” o salário mensal e “x” o total das vendas do mês. Qual é a lei da função ou fórmula que associa “S” a “x” ?
A função salário e dada pela soma do valor fixo mas a comissão
   
                 S = 850 + 0,03x      LEI DA FUNÇÃO
Fechamento
Neste conteúdo estudamos o que é função afim, que é representada por f(x)= ax+b, suas propriedades e gráfico. Em seguida, vimos a função modular e suas características. Por fim, aplicamos os conceitos estudados em situações-problema.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Identificar funções afins e modulares;
• Compreender os seus gráficos;
• Resolver problemas desses tipos de funções.
Referências
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, Gelso. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
ABAD, Luis Felipe Silva. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
6 - Funções – quadrática e exponencial
Introdução
Neste material, iremos estudar as parábolas. Esta curva define uma função chamada função quadrática. Além disso, vamos estudar também a função exponencial.
Função quadrática
Para iniciar nosso estudo sobre função quadrática, veja o seguinte problema:
• Na festa de confraternização de uma empresa, havia x pessoas. Cada pessoa cumprimentou todas as outras uma única vez. Chamando de y o número total de saudações, determine a função que representa a situação apresentada. (IEZZI, 2011, p. 60).
Observe que a expressão y em função de x querepresenta o problema é:
 Este é um exemplo de função quadrática ou função do 2ºgrau.
O gráfico de toda função quadrática é representado por uma curva chamada parábola, cujas características estudaremos a seguir. 
A parábola pode apresentar a concavidade para baixo ou para cima, dependendo do sinal do coeficiente a. Veja:
 Figura 1 - Figura 1 -Concavidade
Ao fazer x = 0, temos o ponto de interseção com o eixo Oy. Veja: f(x)=ax^2+bx+c. Como f(x)=y,temos: y= ax^2+bx+c. Logo, substituindo x = 0, teremos: y= a〖×0〗^2+b×0+c. Assim, y=c.
Ao fazer f(x) = 0, temos o ponto de interseção com o eixo Ox. Logo, ax^2+bx+c=0. Neste caso (f(x) = 0), temos o zero da função, ou seja, as raízes que representam a solução da equação do 2o grau ax^2+bx+c=0.
Com isto, dependendo do sinal que Δ assume, temos uma quantidade de raízes definidas da seguinte forma:
• Se Δ <0, não existem raízes reais. Logo, o gráfico não corta o eixo Ox.
 Figura 2 - Figura 2 - Gráfico não corta eixo Ox.
• Se Δ =0, existem 2 raízes reais e idênticas. Logo, o gráfico tangencia o eixo Ox em um único ponto.
 Figura 3 - Figura 3 -Gráfico corta eixo Ox em um único ponto
• Se Δ >0, existem 2 raízes reais e distintas. Logo, o gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.
 Figura 4 - Figura 4 -Gráfico corta o eixo Ox em dois pontos distintos.
Também podemos calcular o valor máximo e mínimo em uma função quadrática. Basta determinarmos o vértice (V) da parábola (V (x_v,y_v), ponto em que a parábola atinge seu valor máximo ou mínimo).
Ilustrando na parábola, temos:
 Figura 5 - Figura 5 -Máximo e Mínimo da Parábola
Podemos encontrar a aplicação destes conceitos nas mais diversas áreas do conhecimento, como: Física, Biologia, Matemática Financeira e Administração, quando tratamos de lançamento de projéteis, em processos de fotossíntese, lucros, prejuízos, entre outros.
Retomando o problema apresentado no início do tópico, vamos calcular quantos cumprimentos são dados, se tivermos 70 pessoas na confraternização. Veja que a função que expressa esta situação é: 
Substituindo x = 70, teremos:
Portanto, 70 pessoas farão 2415 saudações.
Confira outra situação em que usamos a função quadrática.
- Marcos e Felipe adoram jogar futebol. Participando do campeonato patrocinado pela empresa em que trabalham, Marcos e Felipe empataram na artilharia deste campeonato com 3 gols cada um. Sabendo que um dos gols feito por Marcos foi julgado o mais técnico, e que a trajetória desta bola, após o chute, foi descrita por uma parábola definida pela função: y= -x^2+6x, (sendo y a altura, em metros, e x o tempo, em segundos), calcule o instante em que a bola, no chute a gol julgado o mais técnico, atinge sua altura máxima e também qual altura máxima esta bola atingiu.
Resposta comentada
Vamos utilizar o conceito de valor máximo da função, definido pelas expressões:
Temos que a= -1,b=6 e c=0. Substituindo nos pontos do vértice em que a função apresenta valor máximo, temos que:
Para calcular o instante (em segundos) em que a bola atinge sua altura máxima, utilizamos:
x_v=-b/2a x_v=-6/(2×(-1) )=3
Para calcular a altura máxima (em metros) que bola atinge, utilizamos:
y_v=-Δ/4a ⇒ y_v=-36/(4×(-1))=9
Portanto, a bola atinge a altura máxima de 9 metros em 3 segundos após o chute.
Os exercícios a seguir lhe ajudam a conferir se está entendendo o conceito apresentado. Tente resolvê-los!
1) Assinale as funções que são quadráticas:
a) y= 2x^2+1 
b) y= -7x+4
c) y= x^2-6x+9 
d) y= -5x^2+2x+5
2) Para cada função quadrática identificada no exercício 1:
a) Determine os coeficientes a, b e c.
b) Faça o estudo das raízes. 
c) Determine os pontos máximo e mínimo, se existirem. 
d) Trace os gráficos.
Internet
Considerando a função quadrática y = x² - 2x + 3, assinale a alternativa correta:
1) A função é decrescente.
2) O gráfico da função possui concavidade para baixo.
3) A função possui duas raízes reais iguais.
4) O vértice da parábola é V=(1,3).
5) O gráfico da função não intercepta o eixo y.
y = x² - 2x + 3
Sabemos que função da forma ax² + bx + c é uma parábola que tem concavidade voltada para cima sempre que o "a" seja positivo. Também sabemos que esta parábola terá um vértice para x = -b/2a ⇒  x = -(-2)/2(1) ⇒ x = 1. Substituindo este valor de "x" = 1 na expressão do trinômio obteremos  a ordenada do vértice: (1)² -2(1) + 3 =  4 - 2 = 2
Analisando as alternativas apresentadas concluímos que nenhuma delas satisfaz.
Poderia ser a alternativa 4 [ O vértice da parábola é V = (1 3)] somente se  f(x) = x² - 2x + 4 posto que, nessa situação, se substituíssemos o x=1 na expressão do trinômio obteríamos (1)² -2(1) + 4 = 3. Então V = (1 3) da alternativa 4 seria a solução. 
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1)errada
2)errada
3)∆=4-4.1.3. → ∆=-8 errada não existe raiz quadrada negativa no conjunto dos números reais.
4)Xv=-B/2.a. Xv=2/2=1(bateu)
Yv=-∆/4a. Yv=12/4. Yv=3 (bateu)
a4quarta
uma observação: o ∆ é -8 ( 4 -12) ...então -∆/4a = 8/4 = 2... logo todas alternativas NÃO satisfazem... só seria alternativa 4) se a função fosse x² - 2x + 4. Desculpe pela intromissão!! meu objetivo é apenas cooperar!!
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Quais as raízes da função y = 2x2 + 10x + 12?
a) – 2 e – 3
b) 0 apenas
c) – 2 apenas
d) – 3 apenas
e) 2 e 3
As raízes de uma função são encontradas fazendo y = 0 e calculando o valor de x na equação resultante. Observe:
y = 2x2 + 10x + 12
0 = 2x2 + 10x + 12
∆ = b2 – 4·a·c
∆ = 102 – 4·2·12
∆ = 100 – 96
∆ = 4
x = – b ± √∆
      2a
x = – 10 ± √4
     2·2
x = – 10 ± 2
    4
x’ = – 10 + 2 = – 8 = – 2
 4           4
x’’ = – 10 – 2 = – 12 = – 3
 4            4
Gabarito: Alternativa A.
Quais as coordenadas do vértice de uma parábola determinada pela função: y = x2 + x – 6?
a) – 1 e – 6
b) – 0,5 e – 6,25
c) 1 e 6
d) 0,5 e 6,25
e) 1 e 6,25
Utilizando as fórmulas para calcular xv e yv, obtemos as seguintes coordenadas do vértice:
xv = – b
       2a
xv = – 1
       2·1
xv = – 1
          2
xv = – 0,5
yv = – ∆
       4a
yv = – (b2 – 4·a·c)
       4·a
yv = – (12 – 4·1·[– 6])
        4·1
yv = – (1 + 24)
       4
yv = – 25
       4
yv = – 6,25
Gabarito: Alternativa B.
Um canhão dispara uma bala que sobe e, depois, desce, descrevendo em sua trajetória uma parábola, que é a altura da bala em função da distância percorrida por ela. A respeito dessa situação, assinale a alternativa correta.
a) A trajetória da bala do canhão será obrigatoriamente representada por uma função do tipo f(x) = ax2 + bx.
b) A trajetória da bala do canhão terá um ponto de mínimo.
c) O coeficiente a, da função que descreve a trajetória da bala do canhão, será obrigatoriamente positivo.
d) As raízes dessa função representam os pontos de encontro da bala com o solo.
e) NDA.
a) Incorreta!
A trajetória da bala pode ser representada por qualquer função do segundo grau.
b) Incorreta!
A trajetória da bala de canhão terá um ponto de máximo.
c) Incorreta!
Como a bala sobe e, depois, desce, sua trajetória será uma parábola com concavidade voltada para baixo. Portanto, o coeficiente a deve ser negativo.
d) Correta!
e) Incorreta!
Gabarito: Alternativa D.
Um jogador de futebol chutou uma bola que teve sua trajetória descrita pela função f(t) = – t2 + 9, em que t é o tempo em segundos e f(t) é a altura da bola no instante t, em metros. Qual a altura máxima alcançada por essa bola?
a) 7 m
b) 8 m
c) 9 m
d) 10 m
e) 11 m
Para encontrar a altura máxima da bola, basta calcular yv dessa função:
yv = – ∆
       4a
yv = – (02 – 4·(– 1)·9)
       4·a
yv = – (4·9)
        4·(–1)
yv = – (36)
       – 4
yv= 9
A altura máxima que essa bola atingiu foi 9 metros.
Gabarito: Alternativa C.
A função quadrática, ou função de 2º grau, representada graficamente por uma parábola, é aquela cuja equação é representada por y = a.x² + b.x +c, em que os valores a, b e c são denominados coeficientes. Determine os coeficientes "a" e "b" e escreva a equação da função quadrática, cujo gráfico passa pelos pontos (-2; 9) e (5; 2) e possui coeficiente c = - 3
Bom, a gente tem que substituir os valores de x e y que foram dados para montar um sistema e assim descobrir os valores de a e b:
A equação para o ponto x = -2 e y = 9:
9 = a(-2)² + b(-2) + (-3)            (1)
Para o ponto x = 5 e y = 2
2 = a(5)² + b(5) + (-3)               (2)
Resolvendo 1:
4a - 2b -3 = 9     => 4a - 2b = 12      => 2a - b = 6
Resolvendo 2:
25a + 5b - 3 =2  => 25a + 5b = 5     => 5a + b = 1
Somando as duas equações -------------------------------------------
                                                              7a = 7 => a = 1
Substitui o valor de a em uma das equações:
2.1 - b = 6
2 - 6 = b => b = -4
Logo, a = 1 e b = -4.
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Considere a equação do segundo grau 3x2 – 4x + q, na qual q representa um número inteiro. Sabendo-se que –3 é uma das raízes dessa equação, então o produto das duas raízes dessa equação é igual a
Parte superior do formulário
a) –6.
b) –13. X
c) 0.
d) 7.
e) 12.
Sabe-se que g é uma função par e está definida em todo domínio da função f, e a função f pode ser expressa por f(x) = x2 + k . x . g(x).
Se f(1) = 7, qual o valor de f(-1)?
Parte superior do formulário
a) 7
b) 5
c) - 7
d) - 6
e) – 5 X
O gráfico de uma função quadrática, mostrado na Figura a seguir, intersecta o eixo y no ponto (0,9), e o eixo x, nos pontos (-2, 0) e (13, 0).
Se o ponto P(11,k) é um ponto da parábola, o valor de k será
Parte superior do formulário
a) 5,5
b) 6,5
c) 7
d) 7,5
 . e) 9 X
Na próxima seção estudaremos a função exponencial. Este tipo de função pode ser encontrada em problemas que tratam do crescimento e decrescimento de fenômenos da natureza, assim como, situações que envolvem juro composto. 
Função exponencial
Para iniciar nosso estudo sobre função exponencial, observe a seguinte situação:
• Uma maionese malconservada causou mal estar nos frequentadores de um clube. Uma investigação revelou a presença da bactéria salmonela, que se multiplica segundo a lei: n(t)=200×2at, em que n(t) é o número de bactérias encontradas na amostra de maionese t horas após o início do almoço e a é uma constante real. É possível calcular o número inicial de bactérias? (IEZZI, 2011, p. 103). Em alguns seres vivos microscópicos, como as bactérias, o crescimento acontece de forma exponencial. Por isso, é utilizada a função exponencial em problemas desse tipo.
O gráfico de uma função exponencial pode ser representado pela seguinte curva, chamada de curva exponencial
 Figura 6 - Figura 6 -Gráfico da função f(x)=2x
Vamos resolver o problema da bactéria? Como é pedido o número inicial de bactérias, o tempo é zero. Assim, substituindo na função n(t)=200×2at em que t=0, temos:
n(t0 )=200×2^(a×0) n(t0 )=200×2^0 =200×1=200
Portanto, o número inicial de bactérias é 200.
A seguir mais exercícios para checar seu aprendizado. Confira!
1) Identifique qual das funções dadas representam funções exponenciais.
a) f(x)= 9x
 b) f(x)= x2
c) f(x)= y(1/5) 
d) f(x)= 〖1/2〗x
Função Exponencial 
1- Identifique as funções exponenciais 
[separados em espaços são os expoentes]
a) f(x)= (0,3) 2x
b) f(x)=2x 8
c) f(x)= 1 6x
d) f(x)= (8/5) x/7
e) f(x)= (-4) x 
f) f(x)= 12 2/3x
Uma Função Exponencial é toda função do tipo f(x) = aˣ, definida para todo x real com a > 0 e a ≠ 0.
A função exponencial é utilizada para representar situações em que ocorrem grandes variações, e a incógnita (x) se localiza no expoente da função. 
Elas podem ser classificadas em crescentes e decrescentes, de acordo com o valor do termo a.
Crescente para a base a maior que 1 (a > 1).
Decrescente para a base a maior que 0 e menor que 1 (0 < a < 1).
Exemplos:
f(x) = 2ˣ  → função exponencial crescente, a = 2, a > 1.
f(x) = (1/2)ˣ → função exponencial decrescente, a = 1/2 = 0,5 , 0 < a < 1.
Assim, as funções que representam funções exponenciais são todas, exceto a letra b e a letra e.
a) f(x)= (0,3) 2x → decrescente
b) f(x)=2x 8  → não é função exponencial f(x) = aˣ
c) f(x)= 1 6x  → decrescente
d) f(x)= (8/5) x/7  → crescente
e) f(x)= (-4) x  → não é função exponencial, pois a = -4, a < 0.
f) f(x)= 12 2/3x → crescente
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2) O número de bactérias de uma cultura, t horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão n(t)=〖1200 × 2〗0,4t. Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias? (DANTE, 2014, p. 170).
 
A cultura terá 38400 bactérias 12 horas e 30 minutos após o início do experimento.
Para calcularmos o tempo necessário para que o número de bactérias chegue a 38400, basta substituirmos esse valor na expressão.
N(x) = 1200.2⁰'⁴ˣ
38400 = 1200.2⁰'⁴ˣ
2⁰'⁴ˣ = 38400
 1200
 2⁰'⁴ˣ = 32
Agora, vamos representar 32 como uma potência de base 2. Basta fazermos a decomposição em fatores primos.
32 / 2
 16 / 2
  8 / 2
  4 / 2
  2 / 2
   1 
32 = 2⁵
Substituindo, temos:
2⁰'⁴ˣ = 2⁵
Com bases iguais, podemos igualar os expoentes.
0,4x = 5
x =  5  
  0,4
x = 12,5
12 horas e 30 minutos.
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Um pesquisador observou reprodução de determinado tipo de bactéria e percebi que a cada 20 minutos a quantidade bactérias duplicar. Sabendo Que no início da observação havia apenas uma bactéria, responda as questões:
a) Quantas bactérias havia após 2 horas de observação?
b) E ao final de 5 horas?
a) 64 bactérias
b) 32768 bactérias
Explicação:
a) 2h = 120 min
120 ÷ 20 = 6
Então, temos 6 "momentos" de duplicação das bactérias.
Como no início só havia 1 bactéria, temos:
1°   2°   3°  4°    5°   6°
2   4    8   16   32  64
Usando potência, faríamos assim: 2 é a base (pois o número de bactérias sempre está duplicando) e o expoente é o número de duplicações, no caso 6.
2⁶ = 64
b) 5h = 300 min
300 ÷ 20 = 15
Agora, temos 15 "momentos" de duplicação das bactérias.
Usando a potência, temos:
2¹⁵ = 32768
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Fechamento
Neste tema você pode estudou que toda função do tipo f(x)=ax2+bx+c é chamada de função quadrática. E, toda função f(x)=ax é chamada de função exponencial. Estudou também como os gráficos de cada função são representados.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
•Aprender como resolver problemas que envolvem os conceitos matemáticos estudados.
Referências
DANTE, Luiz Roberto. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2014.
IEZZI, Gelson. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, Iracema; ONAGA, Dulce Satiko. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.
SILVA, Eduardo Quintas da; ABAD, Luis Felipe Silva. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
7 - Progressão Aritmética - PA
Introdução
As eleições para presidente no Brasil ocorrem de 4 em 4 anos. Vamos iniciar nossa contagem a partir de 1994. Desse modo, temos a seguinte sequência de anos eleitorais. Veja: 1994 – 1998 – 2002 – 2006 – 2010 – 2014. Perceba que esses números formam uma sequência numérica, pois possuem uma lei de formação bem definida, ou seja, sempre ocorrem de 4 em 4 anos. Esse exemplopode ser representado por progressão aritmética, também conhecida como PA. A PA é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante r.
Sequência numérica
Chamamos de sequência a todo conjunto em que seus elementos estão dispostos em determinada ordem. Quando todos os elementos de uma sequência são números reais ), a sequência é denominada sequência numérica, podendo ser finita ou infinita.
Uma sequência de n elementos é indicada por: com Todos elementos de uma sequência pertencem ao conjunto dos números reais.
São exemplos de sequências numéricas: anos em que acontecem a Copa do Mundo e as Olimpíadas, anos bissextos, entre outros.
Progressão aritmética (PA)
Observe a sequência 5, 10, 15, 20, 25, ... A diferença entre quaisquer dos termos consecutivos dessa sequência é sempre igual a 5 (10 – 5 = 5; 15 – 10 = 5; 20 – 15 = 5).
Dessa forma, chamamos de progressão aritmética (PA) toda sequência de números reais em que a diferença entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre a mesma (constante). Essa constante é chamada razão da PA e indicada por r.
Podemos classificar uma progressão aritmética em crescente, decrescente ou constante. Veja alguns exemplos para ajudá-lo a entender como classificamos uma PA. 
• (3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...) PA crescente, pois a razão dessa PA é igual a 1, logo r > 0. Toda PA cuja razão é maior que zero (r > 0) é classificada como PA crescente. (9 – 8 = 1; 8 – 7 = 1; 7 – 6 = 1 e assim sucessivamente)
• (14, 12, 10, 8, 6, 4, ...) PA decrescente, pois a razão dessa PA é igual a – 2, logo r < 0. Toda PA cuja razão é menor que zero (r < 0) é classificada como PA decrescente. (4 – 6 = – 2 ; 6 – 8 = – 2 ; 10 – 12 = –2 e assim sucessivamente)
• ( 7, 7, 7, 7, 7,...) PA constante, pois a razão é igual a zero (r = 0). Toda PA cuja razão é igual a 0 (r = 0) é classificada com PA constante. (7 – 7 = 0; 7 – 7 = 0 e assim sucessivamente)
Toda PA apresenta uma fórmula geral que é utilizada na resolução de problemas que envolvem esse conceito, que é dada por:
Em que:
Veja a seguinte situação:
• A empresa X observou que o recebimento de currículos para análise em seu departamento de RH aumentava mensalmente segundo uma PA de razão 30. Se, em janeiro, recebeu 120 currículos, quantos currículos a empresa recebeu em março daquele ano?
Vamos resolver?
O recebimento mensal desse currículo forma uma PA com uma razão igual a 30 (, e primeiro termo igual a 120 (). Sendo assim, temos que descobrir o terceiro elemento () dessa PA, pois março é o terceiro mês do ano.
Utilizando a fórmula geral da PA, temos: . Logo, substituindo os valores dados, ficamos com:
Assim, essa empresa recebeu, em março daquele ano, 180 currículos.
Aproveitando a mesma situação, vamos analisar o seguinte: essa empresa precisa fazer um levantamento de quantos currículos receberá ao longo de 1 ano. Para ajudá-la nessa segunda questão, precisamos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.
Desse modo, a empresa X receberá, ao longo de um ano, 3.420 currículos.
Ainda podemos determinar uma PA quando conhecemos seus elementos. A partir da definição de PA já apresentada anteriormente, escrevemos uma representação que ajuda na resolução de problemas. Observe:
Uma PA com três termos pode ter a seguinte representação: Para uma PA com cinco termos, escrevemos:
Veja um exercício para entender melhor.
• Os salários de 5 empregados em uma determinada empresa estão em PA. Se o segundo e quinto
funcionários recebem, respectivamente, R$ 2.500,00 e R$ 4.000,00, quanto recebe o primeiro funcionário? Podemos escrever essa PA da seguinte forma:. O primeiro termo dessa PA é 2.500, o quinto é 4.000, que também é igual a . Assim, temos: . Com isso, podemos calcular a razão dessa PA. Veja:
Para calcular o salário do primeiro funcionário, utilizamos como sendo o primeiro termo desta PA. Dessa forma, temos:
Portanto, o salário do primeiro funcionário é R$ 2.000,00.
Resolva os exercícios a seguir e verifique se está compreendendo.
1) Fabrício trabalha para seu João entregando panfletos na rua. Resolveu fazer uma proposta para seu empregador tentando ganhar um salário diferente do quem vem ganhando em alguns meses. O salário que João paga para Fabrício é de R$ 300,00 por mês. A proposta foi a seguinte: Fabrício disse a João que gostaria de receber um pouco do salário por dia. R$ 1,00 no primeiro dia de cada mês e, a cada dia subsequente, receberia R$ 1,00 a mais do que no dia anterior. O empregador concordou, mas, depois de um tempo, verificou que saiu no prejuízo. Com base na proposta de Fabrício, calcule quanto Fabrício receberá a mais do que receberia com o salário de R$ 300,00, levando em conta um mês com 30 dias.
2) Breno parou em um estacionamento por 5 horas. Calcule quanto ele gastará sabendo que os valores, a partir da segunda hora, seguem uma progressão aritmética com o estabelecimento cobrando R$ 6,00 na primeira hora, R$ 4,00 na segunda hora e R$ 0,50 na sétima hora.
Internet
Um estacionamento cobra R$5,00 pela primeira hora e R$1,00 para cada hora adicional de permanência até o valor máximo de R$15,00.
a) Sendo X a quantidade de horas adicionais que um carro ficou estacionado, escreva uma expressão algébrica que represente o valor a ser pago em função das horas estacionadas. Para essa expressão, X pode assumir valor igual a 10? Por que?
b) Se um automóvel ficou estacionado 4 horas nesse local, quanto o proprietário terá que pagar?
c) E se um automóvel ficar estacionado por um período de 12 horas, qual será o valor pago? 
a) 5 + X
Sim. Pois qualquer hora adicional de permanência pode ocupar o valor de x.
b) 5+4 =9 reais
c) 5+12=17 reais
O valor cobrado por um estacionamento é de R$ 8,00 pela primeira hora e 2,00 a cada hora, isso é, se exceder 30minutos será cobrado 1 hora cheia
a-calcule o valor a ser pago pelo usuário que deixar o carro estacionado por
.3h
.4h 20 min
.10h
b)Escreva a lei de formação que permite calcular o valor de y a ser pago em função do número de horas excedentes x que o carro fica no estacionamento
c)quando tempo um carro ficou no estacionamento se pagou um valor R$ 24,00?
a) 
.R$ 14,00
.R$ 16,00
.R$ 26,00
b)x é as horas e y os valores então:
y= x . 2,00+8,00
por exemplo: 
x= 2 horas 
y= R$2,00 + R$8,00
y= 2 . 2 + 8 = R$ 12,00
c)8 horas 
y= 8 . 2 + 8 = R$ 24,00 
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Fechamento
Neste aula aprendemos o que é sequência numérica e também o que é progressão aritmética. Vimos como resolver problemas de PA utilizando-se de uma fórmula.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Conhecer a fórmula do termo geral de uma PA;
• Entender a fórmula geral da soma dos termos de uma PA;
• Compreender como as classificações de PA.
Referências
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
8 - Progressão Geométrica - PG
Introdução
Nesta aula estudaremos a progressão geométrica, também conhecida como PG. Uma progressão geométrica é uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual ao produto do termo anterior por uma constante, chamada de razão da progressão geométrica. Parece complicado, mas não é!
PG
Veja a situação:
• Um professor titular da Universidade Indústria do Saber recebia R$ 2.000,00 por mês de salário no ano de 2010. O acordo feito de reajuste salarial entre as partes foi o seguinte: o valor do salário seria reajustado em 10% ao ano, nos 4 anos subsequentes sobre o salário do ano anterior. Vejamos uma tabela que representa o reajuste do salário do professor:
Vamos primeirodividir os valores de dois termos consecutivos dessa sequência. Observe, a seguir, que os quocientes das divisões efetuadas serão todos iguais.
 Figura 2 - Tabela 2 - Encontrando a razão da PG
Os salários correspondentes a cada ano representam uma sequência numérica que obedecem a uma lei de formação, em que cada termo (a partir do segundo) é obtido por meio da multiplicação do termo anterior por um fator fixo, denominado razão (q). Chamamos essa sequência de progressão geométrica (PG).
FIQUE ATENTO
__________________________________________________________________________
Define-se progressão geométrica (PG) como uma sequência de números reais não nulos em que o quociente entre um termo qualquer (a partir do segundo) e o termo antecedente é sempre o mesmo (constante). Essa constante é chamada razão da PG e indicada por q.
_____________________________________________________________________________
Uma progressão geométrica pode ser classificada em crescente, decrescente ou alternada (oscilante). Veja os seguintes exemplos:
Agora, retornaremos ao problema do professor universitário, pois ele deseja saber qual será seu salário em 2020. Vamos ajudá-lo? Para isso, precisamos conhecer a fórmula do termo geral da PG.
No exemplo dado, temos que:
Para calcular o salário do professor no ano de 2020, devemos calcular o décimo primeiro termo dessa PG (), uma vez que 2020 ocupa a décima primeira posição, a partir do termo inicial (2010). Para isso, utilizamos a fórmula do termo geral da PG. 
Podemos concluir, então, que o salário desse professor em 2020 será de R$ 5.180,00.
Entretanto, esse professor é muito curioso. Sendo assim, ele quer saber a soma dos seus vencimentos nos anos de 2010, inclusive, até 2014, sem precisar fazer muitos cálculos. Será possível? Claro!
Para ajudar o professor a encontrar a soma desejada, primeiro precisamos calcular o que representa a soma (uma parcela de cada ano) dos salários recebidos de 2010 até 2014.
Mas não terminamos ainda! Considerando que ele recebeu 12 meses de salário, é preciso multiplicar o valor encontrado em por 12. Logo, temos que:
Assim, a soma de todos os salários mensais recebido por esse professor de 2010 até 2014 é aproximadamente R$ 146.400,00.
Que tal mais uma atividade para você verificar se está aprendendo?
• Luiz Marcelo comprou um carro e pagou em 7 parcelas crescentes. A primeira prestação foi de R$ 1.000,00 e cada parcela subsequente o dobro da anterior. Determine qual foi o valor total do carro pago por Luiz Marcelo.
Temos que encontrar o .Veja:
Sabemos que: = 1.000 e q = 2
Portanto, o carro custou R$ 127.000,00.
Agora é sua vez!
Tente resolver os exercícios de PG a seguir.
1) Marta foi contratada por uma empresa e seu salário inicial é de R$ 1.200,00. Supondo que Marta receberá um aumento de 5% a cada mês, qual será seu salário daqui a 6 meses?
2 Na época de Natal, Lohana foi contratada para trabalhar em uma loja de roupas de segunda a sábado. A proprietária da loja ofereceu um salário um pouco diferente. No primeiro dia, o salário seria de R$ 1,00 e, nos dias subsequentes, seria o dobro do que recebeu no dia anterior. Calcule quanto Lohana recebeu em 12 dias de trabalho.
Internet
Nos dias que antecederam o Natal, Jorge foi convidado para trabalhar por 13 dias como vendedor temporário em uma loja de roupas. O salário proposto pelo chefe foi R$ 1,00 pelo primeiro dia de trabalho e nos dias seguintes o salário seria o dobro do que ele recebera no dia anterior. Jorge não hesitou e aceitou o trabalho!
O salário total que Jorge receberá após os 13 dias de trabalho será:
Escolha uma:
a. R$ 8191,00.
b. R$ 2191,00.
c. R$ 221,00.
d. R$ 1191,00.
e. R$ 4291,00.
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024+2048+4096=A resposta correta é: R$ 8.191,00
Fechamento
Neste aula estudamos a progressão geométrica, seu conceito e sua fórmula. Também vimos problemas e como resolve-los a partir da aplicação de fórmulas.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Entender o termo geral de uma PG;
• Aplicar a fórmula geral da soma dos termos de uma PG;
• Compreender as classificações da PG.
Referências
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
9 - Porcentagem - percentuais, acréscimos e decréscimos
Introdução
Com frequência, utilizamos expressões que apresentam termos como: acréscimos, aumentos, descontos e reduções, tomando por base 100 unidades. Essas expressões são parte do estudo da porcentagem, que pode ser aplicada por meio de percentuais, acréscimos e decréscimos, temas dessa aula.
Conceito
Vamos iniciar este tema apresentando as diversas maneiras de escrever um número na forma de porcentagem.
FIQUE ATENTO
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Todo número escrito na forma de porcentagem pode ser representado por uma razão com denominador 100, recebendo, dessa forma, o nome de razão centesimal.
______________________________________________________________________________
Podemos representar a porcentagem na forma de número decimal e, ainda, na forma de fração irredutível, quando possível. Acompanhe os seguintes exemplos:
Veja, a seguir, situações em que ocorre a porcentagem.
Deveria começar por percentual de um valor, exemplo, quanto é 30% de 80 m?
Resposta: 30% x 80 = 0,3x80 = 24
Percentual de uma quantidade
Marcos precisa ler 120 relatórios. Já leu 20%. Quantos relatórios ainda faltam para ler?
Primeiro, vamos calcular quanto representa 20% de 120. Veja:
- Dessa forma, Marcos já leu 24 relatórios e ainda faltam ler 96.
Acréscimos/aumentos
Agora, suponha a seguinte situação: todo ano, os salários dos professores sofrem um acréscimo com base na inflação anual. Caso a inflação tenha sido de 4,5% naquele ano, qual será o valor reajustado do salário de um professor que ganha por mês R$ 1.850,00?
FIQUE ATENTO
__________________________________________________________________________
Como se trata de acréscimo, o cálculo do percentual sobre o valor dado é adicionado.
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Para isso, vamos calcular, primeiro, quanto é 4,5% sobre o salário de 1.850 reais. E depois, adicionar os valores.
Veja:
ou
Logo, o salário do professor após o reajuste será de 1.850 + 83,25 = R$ 1.933,25.
Como se trata de acréscimo, podemos calcular de uma forma mais rápida. Observe:
O salário do professor representa 100% e o percentual de reajuste (acréscimo que o salário sofrerá) é de 4,5%.
Vamos escrever 100% e 4,5% na forma de fração ou de número decimal:
Como desejamos calcular o acréscimo de 4,5% sobre o salário que representa 100%, basta adicionar essas porcentagens e multiplicar pelo valor do salário que o professor recebe que encontraremos o resultado imediato.
Veja:
Como desejamos calcular o acréscimo de 4,5% sobre o salário que representa 100%, basta adicionar essas porcentagens e multiplicar pelo valor do salário que o professor recebe que encontraremos o resultado imediato. Veja:
Descontos/Decréscimos
Suponha que, por conta do início da safra, o preço do tomate sofreu um decréscimo de 28% no mês de setembro em um determinado ano. Sabendo que, em fevereiro, o valor do quilo do tomate era de R$ 6,00, calcule qual o valor do quilo do tomate após sofrer esse decréscimo.
FIQUE ATENTO
________________________________________________________________________
Como se trata de acréscimo, o cálculo do percentual sobre o valor dado é adicionado.
____________________________________________________________________________
Para isso, vamos calcular, primeiro, quanto é 28% de 6 reais. E depois,subtrair os valores. Veja:
ou
Para calcular o valor do quilo do tomate após o decréscimo, basta subtrair 6 – 1,68 = 4,32.
Logo, o valor do quilo do tomate em setembro de um determinado ano é de R$ 4,32.
De forma análoga ao feito em III, utilizamos o mesmo raciocínio para calcular rapidamente o decréscimo/desconto sobre o valor de algo. Veja como ficaria neste exemplo:
SAIBA MAIS
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Desse modo, podemos utilizar uma fórmula geral para cálculos de acréscimos/aumentos e decréscimos/descontos sobre determinada quantidade ou determinado valor. Veja:
e
Em que P representa a quantidade/valor final, x representa a taxa percentual e representa a quantidade/valor inicial.
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Fechamento
Neste tema, você aprendeu que um número escrito na forma de porcentagem pode ser escrito na forma de fração centesimal, em que o denominador é sempre 100 e o numerador o valor do percentual. Também viu as situações em que a porcentagem representa acréscimo ou desconto.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Aprender o que são números percentuais;
• Resolver operações de porcentagem.
Referências
CRESPO, A. A. Matemática Financeira Fácil. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.
DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.
______. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013
10 - Porcentagem – Acréscimos, decréscimos sucessivos e cálculos de juros
Introdução
Com frequência, utilizamos expressões que apresentam termos como: acréscimos, aumentos, descontos e reduções, tomando por base 100 unidades. A porcentagem está presente em diversas situações do nosso cotidiano. Nesta aula veremos acréscimos e decréscimos sucessivos e a fazer cálculos de juros!
Acréscimos e decréscimos sucessivos
Para entender este item, vamos levar em conta a seguinte situação:
• Antônio comprou um carro novo por R$ 45.000,00. Após dois anos e meio, precisou vendê-lo e, para isso, foi pesquisar qual o valor do seu automóvel depois desse tempo. Descobriu que o valor do carro sofreu depreciação de 10% e 7% nos 2 primeiros anos, respectivamente. Qual foi o valor desse veículo após a depreciação?
No caso de acréscimos/decréscimos sucessivos, vamos utilizar a seguinte fórmula:
Sendo assim, temos que: (preço inicial) = 45.000. A primeira taxa é de 10%, ou seja, 0,1 e a segunda taxa é de 7%, ou seja, 0,07.
Logo, utilizando a fórmula, temos que:
37.665
FIQUE ATENTO
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No exemplo dado, utilizamos o conceito de decréscimo sucessivo. Para situações em que ocorrem acréscimos sucessivos, a resolução é análoga à apresentada, só que os valores são somados. Fique atento!
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Acompanhe a situação a seguir:
• Um salão de beleza reajusta o preço de seus produtos semestralmente. Por conta desses valores
reajustados, o preço de um determinado serviço sofreu acréscimos sucessivos de 5% e 8,5% ao longo de um ano. Determine o valor final desse serviço, que, anteriormente, custava R$ 150,00.
Utilizando a fórmula para cálculo de acréscimos sucessivos, temos:
Em que(preço inicial) = 150. A primeira taxa é de 5%, ou seja, 0,05 e a segunda taxa é de 8,5%, ou seja, 0,085.
Substituindo os valores, temos:
170,89
Portanto, o valor final desse serviço é de R$ 170,89.
Uso de porcentagem no cálculo de juro
O juro simples é sempre calculado em relação ao capital inicial, período a período. Assim, o valor do juro é constante a cada período de tempo, ou seja, não se altera.
Veja a seguinte situação:
•Ana foi ao banco e aplicou R$ 5.000,00 com juro simples de 4% ao mês. Qual será o valor total que receberá ao final de 7 meses de aplicação? 4% de 5.000 é 200 x 7 = 1.400 5.000+ 1.400= 6.400
Para resolver essa situação, podemos calcular o percentual de 4% sobre o valor de 5.000 e depois multiplicar pelo tempo de aplicação. Acompanhe:
Agora multiplicamos o valor do juro encontrado por 7, que foi o tempo que o seu dinheiro ficou aplicado. Veja:
Para saber o valor total que Ana receberá, basta adicionar o valor do juro encontrado durante o tempo de aplicação com juro simples ao valor inicial aplicado. Observe:
Portanto, Ana receberá R$ 6.400,00.
FIQUE ATENTO
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Juro simples é a quantia calculada sobre a aplicação de um capital (dinheiro) ao final de um ou mais períodos de aplicação. Nesse caso, ao final de cada período de aplicação, o juro não é incorporado ao capital, mesmo que o dinheiro continue aplicado.
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Portanto,
• A dívida que uma pessoa contrai ou a quantia que uma pessoa investe chama-se capital.
• A soma do capital com os juros, por sua vez, é chamada de montante (capital + juros).
• E, por fim, a taxa de porcentagem que se paga pelo empréstimo do dinheiro chama-se taxa de juros.
FIQUE ATENTO
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Lembre-se de que a taxa percentual pode ser escrita na forma decimal ou fracionária.
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SAIBA MAIS
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A taxa percentual e o período de tempo devem sempre estar na mesma unidade.
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No caso de juro composto, a lógica é a mesma dos aumentos sucessivos, ou seja, o juro é somado ao capital para o cálculo de juros nos períodos seguintes. Utilizando a situação-problema a seguir, podemos entender melhor.
Veja:
•Fernando aplicou R$ 4.000,00 em um banco que paga juro composto de 2% ao mês. Qual será seu montante depois de 3 meses de investimento? 4% de 4.000= 160 3% de 4.000= 120 2% de 4.000= 80
Vamos aos cálculos? Como se trata de juros compostos, utilizamos a fórmula apresentada em acréscimos sucessivos. Acompanhe:
Em que(preço inicial) = 4.000. A taxa é de 2% ao mês, ou seja, 0,02.
Substituindo os valores, temos:
4244,83
Decorridos 3 meses, Fernando terá um montante de R$ 4.244,83.
SAIBA MAIS
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Juro é a quantia calculada sobre a aplicação de um capital (dinheiro) ao final de um ou mais períodos de aplicação. No caso de juros compostos, ao final de cada período de aplicação, o
juro é incorporado ao capital.
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Chegou a vez de você verificar se está compreendendo os conceitos de porcentagem abordados. Assim, procure resolver os exercícios a seguir:
1) Laura ganha R$ 2.500,00 por mês. Utiliza 35% do seu salário para pagar o aluguel do seu imóvel. Quanto sobra do salário de Laura? 2.500 x 35 = 875.00 – Corta duas casas 35% de 2.550= 875 2.550 – 875= 1.625
2) Em certa cidade com 150 mil habitantes, 35% têm mais de 60 anos. Qual o número de habitantes que tem mais de 60 anos? 150.000 x 35= 52.500,00 35% de 150.000= 52.500 
3) Sérgio irá vender seu automóvel, que sofreu 25% de depreciação ao longo de um ano. Qual o valor atual desse automóvel se o preço pago foi de R$ 38.450,00 na época da compra?
4) Um item sofre acréscimos sucessivos de 8% e 10% ao longo de certo período. Se o preço inicial desse item era de R$ 4.800,00, qual o seu valor final?
5) Ana aplicou, a juro simples, R$ 108.000,00 em 180 dias a uma taxa de 3,5% ao mês. Qual o valor que resgatou após esse tempo?
6) Se um determinado equipamento custava R$ 3.500,00 e passou a custar R$ 2.520,00, qual foi o percentual de desconto dado?
7) Certa carta de investimento rende 3,5% ao mês a juros compostos. Se Deise aplicar R$ 120.000,00 por um período de 5 meses, quanto obterá de rendimento?
8) Celma fez um empréstimode R$ 6.000,00 a juros compostos de 2,6% ao mês. Após 4 meses, qual é o valor devido por Celma?
Exemplo 1 
O preço de custo de uma mercadoria é de R$ 210,00. Para que se tenha um lucro de 20% na venda dessa mercadoria, por quanto devo vendê-la? 
Cálculo 
20% = 20/100 = 0,2 
20% de 210 
0,2 x 210 = 42 
210 + 42 = 252 
Devemos vendê-la por R$ 252,00 para que se tenha um lucro de 20%. 
Exemplo 2 
Uma calça custa R$ 82,00. O desconto para pagamento à vista e no dinheiro de 15%. Qual é o preço da calça dentro dessa condição? 
Cálculo 
15% = 15/100 = 0,15 
15% de 82 
0,15 x 82 = 12,3 
82 – 12,3 = 69,7 
O preço da calça para pagamento à vista e no dinheiro é de R$ 69,70. 
Exemplo 3 
Quanto devo pagar por um terreno a prazo se comprando à vista ganho um desconto de 4% equivalente a R$ 1.600,00? 
Cálculo 
4% = 4/100 
Exemplo 4 
O preço de uma televisão à vista é de R$ 825,00. Em quatro prestações mensais iguais ela sofre um aumento de 8%. Qual o valor de cada prestação e quanto pagará de juros uma pessoa que decidir comprar a prazo? 
Resolução 
8% = 8/100 = 0,08 
8% de 825 
0,08 x 825 = 66 
825 + 66 = 891 
Preço a prazo R$ 891 
Dividido em 4 vezes (891 / 4) 
Cada prestação terá o valor de R$ 222,75 
A pessoa que decidir comprar a prazo pagará R$ 66,00 de juros. 
Exemplo 5 
Numa promoção o preço de um objeto foi reduzido de R$ 112,00 para R$ 84,00. De quantos por cento foi redução? 
Resolução 
112 – 84 = 28 
28 em 112 
28/112 = 0,25 
0,25*100 = 25% 
A redução foi de 25%. 
Fechamento
Nesta aula estudamos acréscimo e decréscimo sucessivos e também vimos como calcular juro. Lembrando que juro é o valor que se paga ou recebe por um capital (C), emprestado ou aplicado, a uma taxa combinada por um período de tempo determinado, e que este pode ser calculado como juro simples ou como juros compostos, dependendo da situação.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Aplicar acréscimo e decréscimo em um problema-solução;
• Resolver questões de cálculos de juros.
Referências
CRESPO, A. A. Matemática Financeira Fácil. 14. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.
DANTE, L. R. Matemática. 1. ed. São Paulo: Ática, 2012.
______. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
SOUZA, P. S. Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.
11 - QUESTÕES DE CONCURSOS PÚBLICOS PASSADOS
I - Divisão proporcional, regra de três simples e composta, regra de sociedade e porcentagens
1. (ESAF/92) Uma empresa deseja investir um total de $ 135.000,00 divididos entre duas aplicações. Um dos diretores acha que a divisão deve ser feita em partes proporcionais diretamente a 2/3 e 4/7 enquanto outro acha que as partes devem ser diretamente proporcionais a 2/21 e 4/9. Por fim decidem dividir o dinheiro em duas partes que sejam, simultaneamente, diretamente proporcionais a 2/3 e 4/7 e também a 2/21 e 4/9. Qual será o valor investido em cada uma das duas aplicações?
a) $ 27.000 e $ 108.000
b) $ 35.000 e $ 100.000
c) $ 40.000 e $ 95.000
d) $ 25.000 e $ 110.000
e) $ 30.000 e $ 105.000
Resposta: (a)
Solução
Na divisão proporcional compostas, isto é, a dois números, simultaneamente, divide-se pelo produto desses números, da seguinte maneira:
Para encontrar a primeira parte divide-se o valor $135.000 proporcionalmente a :
2/3 × 2/21 = 4/63
Para encontrar a segunda parte, divide-se proporcionalmente a: 4/7 × 4/9 = 16/63
Dividir em partes diretamente proporcionais a 4/63 e 16/63 é o mesmo que dividir proporcionalmente a 4 e 16. Assim, temos:
1ª parte: 135.000 × 4 = 27.000,00
 20 
2ª parte: 135.000 × 16 = 108.000,00
 20 
 2. (TTN/92) Duas pessoas devem dividir entre si a importância de $ 180.000.000,00 A primeira pretende receber 2/3 da importância total e a segunda acha tem direito a receber $ 72.000.000,00.
Por fim concordaram em dividir importância total proporcionalmente às respectivas pretensões.
Quanto recebeu cada uma?
a) $ 120.000.000,00 e $ 60.000.000,00
b) $ 115.500.000,00 e $ 64.500.000,00
c) $ 112.500.000,00 e $ 67.500.000,00
d) $ 108.000.000,00 e $ 72.000.000,00
e) $ 96.000.000,00 e $ 84.000.000,00
Resposta: (c)
3. (TTN/92) A família A, de cinco pessoas, e a família B, de quatro pessoas, combinaram passar férias numa casa de campo, dividindo as despesas de forma diretamente proporcional ao número de pessoas de cada uma. Terminadas as férias, verificou-se que a família A pagara $ 842.400,00 do total das despesas e a família B, $ 934.200,00, razão pela qual tiveram que fazer um acerto de
contas. Que quantia a família A teve que dar à família B?
a)$ 91.800,00
b) $ 144.600,00
c) $ 197.400,00
d) $ 240.000,00
e) $ 475.200,00
Resposta: (b)
Solução:
O total das despesas é $ 842.400 + $934.200 = 1.776.600. Dividido proporcionalmente ao numero de pessoas das famílias, ou seja, a 5 e 4 pessoas, temos: 
Família A (5 pessoas) Família B (4 pessoas)
1.176.600 × 5 = 987.000 1.176.600 × 4 = 789.600 
 9 9 
Se à família A coube, proporcionalmente, $ 987.000, mas e ela pagou $ 842.400, então deve complementar o pagamento, pagando $ 144.600,00:
987.000 – 842.400 = 144.600,00
Se à família B coube, proporcionalmente, $ 789.600, mas e ela pagou $ 934.200, então deve receber de troco $ 144.600,00:
934.200 – 789.600 = 144.600,00
Concluindo: a família A deve pagar à família B a importância de 144.600,00
4. (TTN/92) Um prêmio de $ 152.000,00 será distribuído aos cinco participantes de um jogo de futebol de salão, de forma inversamente proporcional ao número de faltas de cada jogador. Quanto caberá a cada um, se os números de faltas foram 1, 2, 2, 3 e 5 respectivamente?
a) $ 60.000,00; $ 30.000,00; $ 30.000,00; $ 22.000,00; $ 10.000,00
b) $ 60.000,00; $ 30.000,00; $ 30.000,00; $ 20.000,00; $ 12.000,00
c) $ 58.100,00; $ 35.800,00; $ 23.200,00; $ 23.200,00; $ 11.700,00
d) $ 42.000,00; $ 40.000,00; $ 40.000,00; $ 20.000,00; $ 10.000,00
e) $ 40.000,00; $ 38.000,00; $ 38.000,00; $ 24.000,00; $ 12.000,00
Resposta: (b)
5. (TTN/92) Um comerciante deseja premiar, no primeiro dia útil de cada mês, os três primeiros fregueses que chegarem ao seu estabelecimento, dividindo $ 507.000,00 em partes inversamente proporcionais a 9/4, 5/3 e 1,2. Nessas condições, o prêmio de menor valor a ser pago será de
a) $ 110.000,00
h) $ 118.905,54
c) $ 225.000,00
d) $ 222.947,88
e) $ 120.000,00
Resposta: (e)
6. (Analista de Finanças e Controle/STN/2005) Marcos descontou um título 45 dias antes de seu
vencimento e recebeu R$ 370.000,00. A taxa de desconto comercial simples foi de 60% ao ano.
Assim, o valor nominal do título e o valor mais próximo da taxa efetiva da operação são,
respectivamente, iguais a:
a) R$ 550.000,00 e 3,4% ao mês
b) R$ 400.000,00 e 5,4% ao mês
c) R$ 450.000,00 e 64,8% ao ano
d) R$ 400.000,00 e 60% ao ano
e) R$ 570.000,00 e 5,4% ao mês
Resposta: b
Solução:
A=N(1-in) N= A 
 1-in
Em que:
A= Valor atual ou valor líquido
N = Valor nominal
i = taxa
n = prazo
Transformando os dados para referência mensal temos:
n = 45 dias 1,5 mês
i = 60% a.a. 5 % ao mês (0,05, em termos de taxa unitária)
N = 370.000 = 370.000 = 400.000,00
1-1,5 × 0,05 0,925 
Sendo o desconto igual a R$ 30.000 (R$ 400.000 – R$ 370.000), para cálculo da taxa efetiva é só determinar a taxa que o desconto representa sobre o valor líquido, no prazo de 1,5 mês, assim
i e 30.000____ = 0,054 5,4% a.m.
 370.000 ×1,5 
7. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Oscapitais de R$ 2.000,00, R$ 3.000,00, R$
1.500,00 e R$ 3.500,00 são aplicados à taxa de 4% ao mês, juros simples, durante dois, três, quatro
e seis meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.
a) quatro meses
b) quadro meses e cinco dias
c) três meses e vinte e dois dias
d) dois meses e vinte dias
e) oito meses
Resposta: (a)
Solução
Prazo médio = 2.000 × 2 + 3.000 × 3 + 1.000 × 4 + 3.500 × 6 = 38.000 = 4
 2.000 + 3.000 + 1.000 + 3.500 9.500
8. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Os capitais de R$ 3.000,00, R$ 5.000,00 e R$
8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, à taxa de juros simples de 6% ao mês, 4% ao
mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais.
a) 4,83% ao mês
b) 4,859% ao mês
c) 4,4167% ao mês
d) 3,206% ao mês
e) 4% ao mês
Resposta (e)
Solução
Prazo médio = 3.000 × 6 + 5.000 × 4 + 8.000 × 3,25 = 64.000 = 4
 3.000 + 5.000 + 8.000 16.000
9. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2003) Os capitais de R$ 2.500,00, R$ 3.500,00, R$
4.000,00 e R$3.000,00 são aplicados a juros simples durante o mesmo prazo, às taxas mensais de
6%, 4%, 3% e 1,5%, respectivamente. Obtenha a taxa média mensal de aplicação desses capitais.
a) 2,9%
b) 3%
c) 3,138%
d) 3,25%
e) 3,5%
Resposta (e)
Solução
Taxa média = 2.500 × 6 + 3.500 × 4 + 4.000 × 3 + 3.000 × 1,5 = 45.500 = 3,5 3,5
 2.500 + 3.500 + 4.000 + 3.000 13.000
10. (TTN192) Certa sociedade constituída por 3 sócios, com o capital de $ 180.000,00, teve $ 25.200,00 de lucro. Sabendo-se que o sócio A entrou com 1/3 do capital, que o sócio B entrou com 2/5 e que o sócio C entrou com o restante, determinar o lucro de cada sócio.
a) $ 7.200,00; $ 9.500,00 e $ 8.500,00
b) $ 8.200,00; $ 8.500,00 e $ 8.500,00
c) $ 9.000,00; $ 10.200,00 e $ 6.000,00
d) $ 8.400,00; $ 10.080,00 e $ 6.720,00
e) $ 9.200,00; $ 10.000,00 e $ 6.000,00
Resposta: (d)
11. (TTN/92) Três pessoas formaram uma sociedade entrando com a mesma quantia, sendo que o capital da 1ª pessoa esteve empregado durante 2 anos, o da 2ª pessoa durante 3 anos e o da 3ª
pessoa durante 20 meses. Se o lucro auferido foi de $ 400.000.000,00, quanto receberá a 1ªpessoa, sabendo-se que ela ainda tem mais 10% do lucro, conforme contrato?
a) $ 108.000.000,00
b) $ 120.000.000,00
c) $ 148.000.000,00
d) $ 160.000.000,00
e) $ 200.000.000,00
Resposta: (c)
12. (TIN/92) Distribuir o lucro de $ 28.200,00 entre dois sócios de uma firma, sabendo que o primeiro aplicou $ 80.000,00 na sociedade durante 9 meses e que o segundo aplicou $20.000,00 durante 11 meses.
a) $ 18.000,00 e $10.200,00
b) $ 21.000,00 e $ 7.200,00
c) $ 20.000,00 e $ 8.200,00
d) $ 18.200,00 e $ 10.000,00
e) $ 21.600,00 3 $ 6.600,00
Resposta: (e)
13. (TIN/94) Dois amigos constituem uma sociedade, participando o 1º com R$ 10.000,00 e o 2º com R$ 8.000,00. Após 10 meses de existência da empresa, o 1º sócio aumentou seu capital em mais R$ 5.000,00. Decorridos 2 meses dessa data, o 2º sócio retirou R$ 2.000,00 de sua cota inicial. Sabendo-se que ao final de 2 anos apurou-se um lucro de R$ 23.900,00, ao 2º sócio coube a participação no lucro de R$
a) 8.400,00
b) 8.900,00
c) 8.800,00
d) 8.700,00
e) 9.200,00
Resposta: (a)
Solução
Para capitais diferentes e permanências também diferentes, divide-se resultado (lucro ou prejuízo) em partes proporcionais aos produtos dos capitais pelos tempos.
Considerando que o período a que se refere o resultado é 24 meses, temos:
O 1° sócio permaneceu com R$10.000,00 durante 10 meses, a partir daí aumentou para R$15.000,00 pelos 14 meses restantes;
O 2° sócio permaneceu com R$ 8.000,00 durante 12 meses, a partir daí reduziu para R$6.000,00
pelos 12 meses restantes.
Resumindo, temos:
1° sócio 10.000,00 10 meses 15.000,00 14 meses
2° sócio 8.000,00 12 meses 6.000,00 12 meses
Os produtos dos respectivos capitais pelos tempos de permanência são, portanto:
	1° sócio
	10.000,00
	10 meses
	15.000,00
	14 meses
	2° sócio
	8.000,00
	12 meses
	6.000,00
	12 meses
Os produtos dos respectivos capitais pelos tempos de permanência são, portanto:
1° sócio => 10.000,00 × 10 + 15.000,00 × 14 = 310.000,00
2° sócio => 8.000,00 × 12 + 6.000,00 × 12 = 168.000,00
 Soma . . . . . . 478.000,00
Parte do 2° sócio no lucro => 23.900,00 × 168.000,00 = 8.400,00
 478.000,00
14. (TTN/92) Maria vendeu um relógio por $ 18.167,50 com um prejuízo 15,5% sobre o preço de compra. Para que tivesse um lucro de 25% sobre o custo, ela deveria ter vendido por
a) $ 22.709,37
b) $ 26.875,00
c) $ 27.675,00
d) $ 21.497,64
e) $ 26.785,00
Resposta: (b)
15. (CESPF194) Um trabalhador gastava 30% do seu salário com aluguel. A certo período seu aluguel havia aumentado 700%, enquanto seu salário reajustado em 500%. Então, a porcentagem do salário que ele passou a gastar com aluguel foi
a) 34%
b) 38%
c) 40%
d) 42%
e) 45%
Resposta: (c)
16. (CESPE/96) Urna empresa admitiu um funcionário no mês de outubro deste ano, sabendo que,
já em janeiro de 1997, ele terá 25% de aumento de salário. A empresa deseja que o salário desse
funcionário, a partir de janeiro, seja de R$ 1.500,00. Assim a empresa admitiu-o com um salário de
X reais. Então, X satisfaz à condição
a) X < 1. 100,00
b) 1.100,00 ≤ X < 1. 170,00
c) 1. 170,00 ≤ X < 1. 190,00
d) 1. 190,00 ≤ X < 1.220,00
e) X ≤ 1.220,00
Resposta: (d)
17. (CESPE/95) Uma loja adota a seguinte política de venda: à vista com 10% de desconto sobre o preço de tabela, ou pagamento em 30 dias após a compra com 8% de acréscimo sobre o preço de tabela. O preço de uma mercadoria que à vista é vendida por R$ 540,00, para pagamento em 30 dias, será de
a) R$ 594,00
b) R$ 641,00
c) R$ 648,00
d) R$ 652,42
e) R$ 653,27
Resposta: (c)
Solução:
Preço a vista 90% do preço de tabela
Preço a prazo 108% do preço de tabela
Então, forma-se a seguinte proporção:
Preço a vista = 90 Substituindo, temos: ___ 540,00___ = _90_ donde
Preço a prazo 108 Preço a prazo 108 
Preço a prazo = 540,00 × 108 = 648,00
 90 
18. (AFC-ESAF/93) Uma jazida de minério é explorada comercialmente, reduzindo-se em 10% a cada ano. No fim do terceiro ano restavam 3.645 toneladas do minério. Qual a jazida inicial, em toneladas?
a) 5.207
b) 5.000
c) 4.738,5
d) 4.645
e)4.500
Resposta: (b)
19. (CESPE/96) O prefeito de uma cidade dispensou 20% dos funcionários públicos municipais e concedeu, aos que permaneceram, um reajuste salarial que elevou a folha de pagamentos em 10%.
Assim, o salário médio dos funcionários sofreu uma variação de
a) 10,0%
b) 30,0%
c) 35,5%
d) 37,5%
e) 40,5%
Resposta: (d)
20. (AFTN/96) O salário mensal de um vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$ 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se em 10% o porcentual de descontos diversos que incidem sobre seu salário bruto. Em dois meses consecutivos, o vendedor recebeu, líquido, respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. 
Com esses dados, pode-se afirmar que suas vendas no segundo mês foram superiores às do primeiro mês em
a) 18%
b) 20%
c) 30%
d) 33%
c) 41%
Resposta: (c)
Solução
Cálculo do salário bruto:
Se os descontos correspondem a 10% do salário bruto, então o salário líquido corresponde aos 90% restantes. Daí, podemos estabelecer a seguinte proporção:
salário líquido está para 90
 assim como
 salário bruto está para 100
Ou seja, estabelecendo que x= salário bruto, temos:
4.500,00 = _x__ x= 4.500,00× 100 = 5.000,00
 90 100 90 
Da mesma forma, para o salário bruto do segundo mês, temos:
5.310,00 = y_ y= 5.310,00 × 100 = 5.900,00
 90 100 90 
Calculando o total das vendas:
 Salário bruto Parte fixa Parte variável 100%
1° mês => 5.000,00 - 2.300,00 2.700,00 90.000,00 100.000,00
1° mês => 5.900,00 -2.300,00 3.600,00 120.000,00 130.000,00
 dif=> 1,30
Se a parte variável corresponde a 3% das vendas que excederem R$10.000,00, então as vendas
totais(incluindo os R$10.000,00) são iguais a:
1° mês => 2.700,00 × 100 + 10.000,00 = 100.000,00
 3
2° mês => 3.600,00 × 100 + 10.000,00 = 130.000,00
 3
Calculando a diferença percentual entre as vendas dos dois meses:
Os 30.000,00 faturados a maior no 2° mês representam, pois 30%, com relação ao faturamento do 1° mês:
30.000,00 × 100 = 30
 100.000,00 
21. (CESPE/95) Um carro cujo custo é de R$ 7.000,00 desvaloriza-se 20% a cada ano. Após dois
anos o proprietário decide trocá-lo por um carro novo, do mesmo modelo. O preço desse carro novo
é 30% maior em relação ao valor praticado dois anos antes. Na troca do carro velho pelo carro novo, o proprietário deverá desembolsar a quantia de
a) R$ 4.200,00
b) R$ 4.620,00
c) R$ 4.700,00
d) R$ 4.820,00
e) R$ 4.900,00
Resposta: (b)
22. (TCU-Analista de Finanças e Controle Externo) A empresa X paga, a cada um de seus funcionários, salário de $ 10.000.000,00, com reajuste mensal de 10%. A empresa Y paga salário de $ 14.400.000,00, com reajuste semestral de 60%. Indique o número de semestres após os quais o salário na empresa Y começará a ser menor que na empresa X. Utilize as aproximações: log 1,44 =0,16; log 1,1 = 0,04; log 1,6 = 0,2.
a) Seis.
b) Cinco.
c) Quatro.
d) Três.
e) Essa possibilidade jamais ocorrerá.
f) Desconheço a resposta correta.
Resposta: (c)
23. (CESPE/UnBTCU/AFCE/95) Julgue os itens abaixo.
a) À taxa de juros simples de 6% anuais, o valor presente de uma dívida de 20.600 reais a vencer em 180 dias é de exatamente 20.000 reais (considere o "ano comercial" de 360 dias).
b) Qualquer importância aplicada a juros simples de 5% anuais dobrará, em 20 anos.
c) Se o salário de um indivíduo eleva-se de 100 para 300 reais, a taxa de reajuste é de 300%.
d) Se o crescimento da renda nacional é de 6% e o aumento da população é de 4%, para determinar
quanto cresceu a renda per capita, procede-se como se segue:
(1 + 0,06) = (1,06) = 1,0192
 (1+0,04) 1,04 
Subtraindo-se deste resultado a unidade e multiplicando-se o novo resultado por 100, conclui-se que a elevação da renda per capita foi de 1,92%.
e) Se a taxa de inflação for de 6% no primeiro mês, 7% no segundo e 10% no terceiro, no trimestre, a taxa de inflação será de 23%.
Resposta: C-C-E-C-E
24. (CESPE/94) As ações de uma certa empresa subiram 20% ao mês durante dois meses consecutivos e baixaram 20% ao mês em cada um dos meses seguintes Com relação à variação
sofrida por essas ações durante esses quatro meses, é correto afirmar que
a) o valor das ações permaneceu inalterado.
b) as ações desvalorizaram 7,84%.
c) as ações valorizaram 7,84%.
d) as ações desvalorizaram 8,48%.
e) as ações valorizaram 8,48%.
Resposta: (b)
II - Juros simples e compostos
25. (AFTN/91) Um capital no valor de 50, aplicado a juro simples a uma de 3,6% ao mês, atinge, em 20 dias, um montante de
a) 51
b) 51,2
c) 52
d) 53,6
e) 68
Resposta: (b)
Solução:
M= C(1+it), em que:
M= montante
C= capital
i= taxa (para introduzir na fórmula utiliza-se taxa unitária, ou seja 0,036)
t= tempo
Já que a taxa é mensal, há necessidade de transformação do prazo em mensal. Assim, 20 dias equivalem a 2/3 do mês. Substituindo os valores na fórmula, temos:
M= 50 (1+ 0,036× 20/30) = 51,20
26. (TTN/92) Se em 5 meses o capital de $ 250.000,00 rende $ 200.000,00 de juros simples à taxa
de 16% ao mês, qual o tempo necessário para se ganhar os mesmos juros se a taxa fosse de 160% ao ano?
a) 6 meses
b) 7 meses
c) 8 meses
d) 9 meses
e) 10 meses
Resposta: (a)
27. (TTN/94) Qual é o capital que diminuído dos seus juros simples de 18 meses, à taxa de 6% a.a., reduz-se a R$ 8.736,00?
a) R$ 9.800,00
b) R$ 9.760,66
c) R$ 9.600,00
d) R$ 10.308,48
e) R$ 9.522,24
Resposta: (c)
28. (TTN-RJ/92) Um fogão é vendido por $ 600.000,00 à vista ou com uma entrada de 22% e mais
um pagamento de $ 542.880,00, após 32 dias. Qual a taxa de juros mensal envolvida na operação?
a) 5%
b) 12%
c) 15%
d) 16%
e) 20%
Resposta: (c)
29. (TTN/92) Quanto se deve aplicar a 12% ao mês, para que se obtenha mesmos juros simples que os produzidos por $ 400.000,00 emprestados 15% ao mês, durante o mesmo período?
a) $ 420.000,00
b) $ 450.000,00
c) $ 480.000,00
d) $ 520.000,00
e) $ 500.000,00
Resposta: (e)
Solução:
Já que o tempo é o mesmo para ambas aplicações, admitamos que os R$ 400,00 tenham ficado aplicados, por exemplo, 3 meses. Então os juros são:
J=C.i.t J = 400.000 × 0,15 × 3 = 180.000
Na questão pergunta-se quanto se deve aplicar (ou seja, que capital) para que se obtenha os mesmos 180,00 durante o mesmo tempo (3 meses) à taxa de 12%. Então, temos:
180 = C × 0,12 × 3 C=__180___ = 500 
 0,12 × 3 
30. (TTN/92) Três capitais são colocados a juros simples: o primeiro 25% a.a., durante 4 anos; o segundo a 24% a.a., durante 3 anos e 6 meses; e o terceiro a 20% a.a., durante 2 anos e 4 meses.
Juntos renderam um juro de $ 27.591,80. Sabendo-se que o segundo capital é o dobro do primeiro
que o terceiro é o triplo do segundo, o valor do terceiro capital é de
a) $ 30.210,00
b) $ 10.070,00
c) $ 15.105,00
d) $ 20.140,00
e) $ 5.035,00
Resposta: (a)
Solução
1 ° capital hipotético => 1.000,00
2 ° capital hipotético (dobro do primeiro) => 2.000,00
1 ° capital hipotético (triplo do segundo) => 6.000,00
Cálculo dos juros sobre os capitais hipotéticos:
Juros do primeiro capital hipotético => 1.000,00 × 0,25 × 4 = 1.000,00
Juros do segundo capital hipotético => 2.000,00 × 0,24 × 3,5 = 1.680,00
Juros do terceiro capital hipotético =>6.000,00 × 0,25 ×2 1 = 2.800,00
 3
 Soma . . . . . . . 5.480,00
Cálculo do terceiro capital (x):
Terceiro capital (x) = _Terceiro capital hipotético_
 Soma dos juros Soma dos juros hipotéticos
Substituindo, teremos:
 x = 6.000,00_ x= 27.591,80 × 6.000,00 = 30.210,00
27.591,80 5.480,00 5.480,00 
31. (TTN/94) Mário aplicou suas economias, a juros simples comerciais, em um banco, a juros de 15% a.a., durante 2 anos. Findo o prazo reaplicou montante e mais R$ 2.000,00 de suas novas economias, por mais 4 anos, à taxa de 20% a.a., sob mesmo regime de capitalização. Admitindo-se os juros das 3 aplicações somaram R$ 18.216,00, o capital inicial da primeira aplicação era de R$
a) 11.200,00
b) 13.200,00
c) 13.500,00
d) 12.700,00
e) 12.400,00
Resposta: (e)
32. (TI'N/94) Carlos aplicou 1/4 de seu capital a juros simples comercial 18% a.a., pelo prazo de 1 ano, e o restante do dinheiro a uma taxa de 24 %a.a., pelo mesmo prazo e regime de capitalização.
Sabendo-se que uma das aplicações rendeu R$ 594,00 de juros a mais do que a outra, o capital inicial era de (em R$)
a) 4.600,00
b) 4.400,00
c) 4.200,00
d) 4.800,00
c) 4.900,00
Resposta: (b)
33. (AFC-ESAF/93) Um banco paga juros compostos de 30% ao ano, com capitalização semestral.Qual a taxa anual efetiva?
a) 27,75%
b) 29,50%
c) 30%
d) 32,25%
e) 35%
Resposta: (d)
34. (Auditor-Fiscal da Previdência Social /Ent. Fec. de Prev. Complementar Esaf/2002) Obtenha os
juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante
a) 22,5%
b) 24%
c) 25%
d) 26,906%
e) 27,05%
Resposta (e)
35. (Auditor-Fiscal da Previdência Social/Esaf/2002) Um capital é aplicado a juros compostos à taxa de 20% ao período durante quatro períodos e meio. Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado, considerando a convenção linear para cálculo do montante.
Considere ainda que:
(1,20)4 = 2,0736;
(1,20)4,5 = 2,2751515; e
(1,20)5 = 2,48832.
a) 107,36%
b)127,1515%
c) 128,096%
d) 130%
e) 148,832%
Resposta: (c)
36. (Analista Técnico/SUSEP/Esaf/2002) Um capital é aplicado a juros simples durante três meses e dez dias a uma taxa de 3% ao mês. Calcule os juros em relação ao capital inicial.
a) 9%
b) 10%
c) 10,5%
d) 11%
e) 12%
Resposta: (b)
37. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2000) Um capital é aplicado a juros compostos durante
seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos
juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear?
a) 46,11%
b) 50,36%
c) 41,85%
d) 48,00%
e) 44,69%
Resposta: (e)
38. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/2003/Esaf) Uma pessoa tem que pagar 10 parcelas no valor
de R$1.000,00 cada que vencem todo dia 5 dos próximos dez meses. Todavia ela combina com o
credor um pagamento único equivalente no dia 5 do décimo mês para quitar a dívida. Calcule este
pagamento considerando juro simples 4% ao mês
a) R$ 11.800,00
b) R$12.006,00
c) R$ 12.200,00
d) R$ 12.800,00
e) R$ 13.486,00
Resposta: (a)
Solução:
Para facilitar, os juros são calculados parcela por parcela, conforme segue. Os juros da primeira parcela referem-se aos 9 meses que faltam para o término dos pagamentos. Os juros da 2ª parcela
referem-se ao prazo de 8 meses e assim por diante.
Montante 1 = 1.000,00 × (1+ 9× 0,04) = 1.360,00 montante da 1ª parcela com os juros dos 9 meses;
Montante 2 = 1.000,00 × (1+ 8× 0,04) = 1.320,00 montante da 2ª parcela com os juros dos 8 meses;
Montante 3 = 1.000,00 × (1+ 7× 0,04) = 1.280,00 montante da 3ª parcela com os juros dos 7 meses;
Montante 4 = 1.000,00 × (1+ 6× 0,04) = 1.240,00 montante da 4ª parcela com os juros dos 6 meses;
Montante 5 = 1.000,00 × (1+ 5× 0,04) = 1.200,00 montante da 5ª parcela com os juros dos 5 meses;
Montante 6 = 1.000,00 × (1+ 4 × 0,04) = 1.160,00 montante da 6ª parcela com os juros dos 4 meses;
Montante 7 = 1.000,00 × (1+ 3× 0,04) = 1.120,00 montante da 7ª parcela com os juros dos 3 meses;
Montante 8 = 1.000,00 × (1+ 2× 0,04) = 1.080,00 montante da 8ª parcela com os juros dos 2 meses;
Montante 9= 1.000,00 × (1+ 1 × 0,04) = 1.040,00 montante da 9ª parcela com os juros dos 1 mês;
Montante 10= 1.000,00 × (1+ 0 × 0,04) = 1.000,00 montante da 10ª sem juros;
 Total 11.800,00
39. (ESAF) Se para um mesmo capital, aplicado durante qualquer período de tempo maior do que
zero e a uma certa taxa, chamarmos
M1 -Montante calculado no regime de juros simples;
M2 - Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção exponencial;
M3 -Montante calculado no regime de juros compostos pela convenção linear.
Teremos
a) M3 > M1 para qualquer t > 0.
b) M3 = M1 para qualquer 0 < t < 1.
c) M3 < M2 para qualquer t > 0, desde que não seja inteiro.
d) M3 < M2 quando t é inteiro.
e) M2 > M1 para qualquer t > 0.
Resposta: (b)
40. (CEB-Contador-Superior-IDR-94) A aplicação de R$ 5.000,00 à taxa de juros compostos de 20% a.m. irá gerar, após 4 meses, o montante de
a) R$ 10.358,00
b) R$ 10.368,00
c) R$ 10.378,00
d) R$ 10.388,00
Resposta: (b)
41. (AFC-ESAF/93) Em quantos meses o juro ultrapassará o valor do capital aplicado se a taxa de
juros for de 24% ao ano, capitalizados trimestral mente?
a) 12
b) 20
c) 24
d) 30
e) 36
Resposta: (e)
42. (TCDF) Uma empresa solicita um empréstimo ao banco no regime de capitalização composta à base de 44% ao bimestre. A taxa equivalente composta ao mês é de
a) 12%
b) 20%
c) 22%
d) 24%
Resposta: (b)
43. (ESAF) A aplicação de um capital de $ 10.000,00, no regime de juros compostos, pelo período
de três meses, a uma taxa de 10% ao mês, resulta no final do terceiro mês, num montante acumulado
a) de $ 3.000,00.
b) de $ 13.000,00.
c) inferior a $ 13.000,00.
d) superior a $ 13.000,00.
e) menor do que aquele que seria obtido pelo regime de juros simples.
Resposta: (d)
44. (ESAF) Se um capital cresce sucessiva e cumulativamente durante 3 anos na base de 10% ao
ano, seu montante final é
a) 30% superior ao capital inicial.
b) 130% do valor do capital inicial.
c) aproximadamente 150% do capital inicial.
d) aproximadamente 133% do capital inicial.
Resposta: (d)
45. (TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) Um investidor aplicou a quantia de $ 100.000,00 à taxa de juros compostos 10% a.m. Que montante esse capital irá gerar
após 4 meses?
a) $ 140.410,00
b) $ 142.410,00
c) $ 144.410,00
d) $ 146.410,00
Resposta: (d)
46. (CEB-Contador- Superior-IDR-94) A caderneta de poupança remunera seus aplicadores à taxa
nominal de 6% a.a., capitalizada mensalmente no regime de juros compostos. Qual é o valor do juro obtido pelo capital de R$ 80.000,00 durante 2 meses?
a) R$ 801,00
b) R$ 802,00
c) R$ 803,00
d) R$ 804,00
Resposta: (b)
47. (TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) No Brasil as cadernetas de poupança pagam, além da correção monetária, juros compostos à taxa nominal de 6% a.a., com capitalização mensal. A taxa efetiva bimestral é então de
a) 1,00025% a.b.
b) 1,0025% a.b.
c) 1,025% a.b.
d) 1,25% a.b.
Resposta: (b)
Solução
	Taxa efetiva mensal (proporcional aos 6% a.a )=>
	 6% a.a.
 12
	= 0,5% a.m.
Taxa bimestral equivalente aos 0,5 % a.m.:
[ (1+0,005)2 -1] × 100 = [1,010025 – 1] × 100 = 1,0025 => 1,0025% a. b.
48. (Banco Central/94-Superior) A taxa de 30% ao trimestre, com capitalização mensal, corresponde a uma taxa efetiva bimestral de
a) 20%
b) 21%
c) 22%
d) 23%
e) 24%
Resposta: (b)
49. (Analista de Finanças e Controle/STN/2005) Em uma campanha promocional, o Banco A anuncia uma taxa de juros de 60 % ao ano com capitalização semestral. O Banco B, por sua vez, anuncia uma taxa de juros de 30% ao semestre com capitalização mensal. Assim, os valores mais
próximos das taxas de juros efetivas anuais dos Bancos A e B são, respectivamente, iguais a:
a) 69 % e 60%
b) 60 % e 60%
c) 69 % e 79%
d) 60 % e 69%
e) 120%e 60%
Resposta: (c)
Solução
Banco A 60% a.a. correspondem proporcionalmente a 30% ao semestre (período da capitalização)
A taxa anual equivalente, é pois: (1+0,3)2 -1 = 69 69%
Banco B 30% a. sem. correspondem proporcionalmente a 5% ao mês (período da capitalização)
A taxa anual equivalente é, pois: : (1+0,5)12 -1 = 69 79,58
50. (Analista de Finanças e Controle/STN/2005) Considere três títulos de valores iguais a R$ 5.000,00, R$ 3.000,00 e R$2.000,00. Os prazos e as taxas de desconto bancário simples são, respectivamente, três meses a 6% ao mês, quatro meses a 9% ao mês e dois meses a 60% ao ano. Desse modo, o valor mais próximo da taxa média mensal de descontos é igual a:
a) 7%
b) 6%
c) 6,67%
d) 7,5%
e) 8%
Resposta: (a)
Solução
A taxa média corresponde à média aritmética ponderada, cujos pesos são o capital e o prazo. Para aplicação à fórmula é necessário transformar a taxa anual de 60% em taxa mensal (=5%), já que as demais taxas referem-se ao período mensal.
i média = 5.000,00 × 3 × 6% + 3.000,00 × 4 × 9% + 2.000,00 × 2 × 5% = 218.000 = 7%
 5.000,00 × 3 + 3.000,00 ×4 + 2.000,00 × 2 31.000 
51. (TCU-Analistade Finanças e Controle Externo) O preço de uma mercadoria é $ 2.400,00 e o comprador tem um mês para efetuar o pagamento. Caso queira pagar à vista, a loja dá um desconto
de 20%. 0 mercado financeiro oferece rendimento de 35% ao mês. Assinale a opção correta.
a) A melhor opção é o pagamento à vista.
b) Não há diferença entre as duas modalidades de pagamento.
c) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 192,00.
d) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 210,00.
e) No pagamento a prazo, o comprador lucra, no fim do mês, $ 252,00.
Resposta: (c)
52. (AFTN/91) Uma aplicação é realizada no dia primeiro de um mês, rendendo uma taxa de 1 % ao dia útil, com capitalização diária. Considerando que o referido mês possui 18 dias úteis, no fim do mês o montante será o capital inicial aplicado mais
a) 20,324%
b) 19,6147%
c) 19,196%
d) 18,174%
e) 18%
Resposta: (b)
53. (AFC-ESAF/93) Um título de valor inicial $ 1.000,00, vencível em um ano com capitalização mensal a uma taxa de juros de 10% ao mês, deverá ser resgatado um mês antes do seu vencimento. Qual o desconto comercial simples à mesma taxa de 10% ao mês?
a) $ 313,84
b) $ 285,31
c) $ 281,26
d) $ 259,37
e) $ 251,81
Resposta: (a)
54. (AFC-TCU/92) Um certo tipo de aplicação duplica o valor da aplicação a cada dois meses. Essa
aplicação renderá 700% de juros em
a) 5 meses e meio
b) 6 meses
c) 3 meses e meio
d) 5 meses
c) 3 meses
Resposta: (b)
55. (AFTN/96) A taxa de 40% ao bimestre, com capitalização mensal, é equivalente a uma taxa
trimestral de
a) 60,0%
b) 66,6%
c) 68,9%
d) 72,8%
e) 84,4%
18
Resposta: (d)
56. (AFTN/96) Uma empresa aplica $ 300 à taxa de juros compostos de 4% ao mês por 10 meses. A taxa que mais se aproxima da taxa proporcional mensal dessa operação é
a) 4,60%
b) 4,40%
c) 5,00%
d) 5,20%
e) 4,80%
Resposta: (e)
57. (CESPE/UnB-TCDF/AFCE/95) Para que se obtenha R$ 242,00, ao final de seis meses, a uma
taxa de juros de 40% a.a., capitalizados trimestralmente, deve-se investir, hoje, a quantia de
a) R$ 171,43
b) R$ 172,86
c) R$ 190,00
d) R$ 200,00
e) R$ 220,00
Resposta: (d)
58. (CESPEIUnB-TCDF/AFCE/95) Determinada quantia é investida à taxa de juros compostos de 20% a.a. capitalizados trimestralmente Para que tal quantia seja duplicada, deve-se esperar
a)_log 5 trimestres
 log1,05
b)_log 2__ trimestres
 log1,05
c)__log 5___ trimestres
 log 1,2
d)__log 2__ trimestres
 log 1,2
b) log 20 trimestres
 log 1,2
Resposta: (b)
59 (CESPE/UnB-TCU/AFCE/96) Acerca das taxas utilizadas em juros compostos, julgue os itens a
seguir.
a) Capitalização composta é aquela em que a taxa de juros incide sempre sob o valor obtido pela
soma do capital inicial e dos juros acumulados até o período anterior.
b) Duas taxas referentes a períodos distintos de capitalização são equivalentes quando produzem o mesmo montante no final de determinado período de tempo, pela aplicação de um mesmo capital
inicial.
c) Quanto maior o número de capitalizações, maior é a taxa efetiva.
d) Para uma mesma taxa nominal, pagamentos de menor periodicidade implicam taxa efetiva mais
elevada.
e) A taxa efetiva de 21% ao ano corresponde à taxa nominal anual de 20%, capitalizadas semestralmente
Resposta: C-C-E-E-C
60. (CESPE/UnB-Senado Federal/96) Acerca de uma aplicação realizada na mesma data e referente a dois capitais (C1 e C2) de valores iguais, prazo de um ano, capitalizados semestralmente, à taxa nominal de 42% ano, para o capital C1 e à taxa efetiva de 21% ao ano, para o capital C2, julgue os itens abaixo.
a) A taxa nominal, para a aplicação do capital C2, é igual a 20% ao ano.
b) A taxa de capitalização semestral do capital C1 é igual a 20%.
c) A taxa de capitalização semestral do capital C1 é exatamente o dobro da taxa de capitalização
semestral do capital C2.
d) O montante do capital C1 é 21 % maior que o montante do capital C2, no prazo estabelecido para
a aplicação.
e) Se apenas o capital C2 for reaplicado por mais um ano, à mesma taxa estabelecida, o montante de C2 (ao final do 2º ano de aplicação) será igual ao montante de C1 (ao final do 1º ano de aplicação).
Resposta: C-E-E-C-C
III - - Taxas de juros: nominal, efetiva, equivalentes, real e aparente
61. (CEB-Contador-Superior-IDR-94) Se uma aplicação rendeu 38% em um mês e, nesse período, a inflação foi de 20%, a taxa real de juros foi de
a) 14%
b) 15%
c) 16%
d) 17%
Resposta: (b)
62. (Banco Central/94-Superior) Um investimento rendeu 68% em um mês no qual a inflação foi de
40%. O ganho real nesse mês foi de
a) 20%
b) 22%
c) 24%
d) 26%
e) 28%
Resposta: (a)
Solução
Taxa do ganho nos dois meses: (1+0,5)2 - 1 = 1,25 => 125%
Inflação acumulada nos dois meses: (1+0,4)× (1+0,5) –1 = 1,1 => 110%
Taxa real: ( 1+ 1,25) - 1 = 0,07143 ==> 7,1%
 1+ 1,1
63. (TCU-Analista de Finanças e Controle Externo) Uma financeira pretende ganhar 12% a.a. de juros reais em cada financiamento. Supondo que a inflação anual seja de 2.300%, a financeira, a título de taxa de juros nominal anual, deverá cobrar
a) 2.358%
b) 2.588%
c) 2.858%
d) 2.868%
e)2.888%
Resposta: (b)
64. (Auditor Fiscal da Previdência Social/Esaf/2002) Calcule o montante ao fim de dezoito meses por um capital unitário aplicado a uma taxa de juros nominal de 36% ao ano com capitalização mensal.
a) 1,54
b) 1,7024
c) 2,7024
d) 54%
e) 70,24%
Resposta: (b)
65. (Analista de Planejam. e Execução financeira/CVM/Esaf/2000) Um indivíduo colocou o seu capital a juros compostos com capitalização mensal, a uma taxa de juros nominal de 24% ao ano.
Ao fim de um ano e meio, qual foi o aumento percentual de seu capital inicial?
a) 36%
b) 38,08%
c) 40%
d) 42,82%
e) 48%
Resposta: (d)
66. (Analista Geral/Banco Central/Esaf/2001) Uma pessoa recebeu um empréstimo de um banco comercial de R$ 10.000,00 para pagar R$ 12.000,00, ao final de cinco meses, mas foi obrigada a manter R$ 2.000,00 de saldo em sua conta durante a vigência do empréstimo. Considerando que a pessoa retirou os R$ 2.000,00 do empréstimo recebido e os utilizou para pagamento do montante final, indique a taxa real de juros paga.
a) 20% ao semestre
b) 4% ao mês, considerando juros simples
c) 10% ao mês, considerando juros simples
d) 20% no período
e) 5% ao mês, juros simples
Resposta: (e)
67. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2000) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal.
a) 12,3600%
b) 12,5508%
c) 12,6825%
d) 12,6162%
e) 12,4864%
Resposta: (c)
IV - Descontos simples e composto (racional e comercial ou bancário)
68. (TTN/94) José descontou 2 duplicatas em um banco, no regime de juros simples comerciais, a uma taxa de juros de 15% a.a. O primeiro título vencia em 270 dias e o segundo em 160 dias, sendo
que o último valor nominal 50% superior ao primeiro. Sabendo-se que os dois descontos somaram o valor de R$ 382,50, o título que produziu o maior desconto tinha valor nominal, em R$, de
a) 1.850,00
h) 1.750,00
c) 1.800,00
d) 1.700,00
e) 1.900,00
Resposta: (c)
69. (TTN/94) O valor atual racional de um título é igual a 1/2 de seu valor nominal. Calcular a taxa
de desconto, sabendo-se que o pagamento desse título foi antecipado de 5 meses.
a) 200% a.a.
b) 20% a.m.
c) 25% a.m.
d) 28% a.m.
e) 220% a.a.
Resposta: (b)
70. (TTN/94) Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 dias, com desconto comercial (por fora). No segundo caso, com desconto racional (por dentro), mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos, por fora e por dentro, foi de R$ 635,50, o valor nominal do título era de R$
a) 6.510,00
b) 6.430,00
c) 6.590,00
d) 5.970,00
e) 6.240,00
Resposta: (a)
71. (AFTN/96) Você possui uma duplicata cujo valor de face é $ 150,00. Essa duplicata vence em 3 meses.O banco com o qual você normalmente opera, além da taxa normal de desconto mensal
(simples por fora), também fará uma retenção de 15% do valor de face da duplicata a título de saldo médio, permanecendo bloqueado em sua conta este valor desde a data desconto até a data do vencimento da duplicata. Caso você desconte a duplicata no banco você receberá líquidos, hoje, $
105,00. A taxa de desconto que mais se aproxima da taxa praticada por este banco é
a) 5,0%
b) 5,2%
c) 4,6%
d) 4,8%
e) 5,4%
Resposta: (a)
72. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) No desconto simples bancário de 4 títulos à mesma taxa de desconto, cada um no valor de R$ 2.000,00, com vencimentos mensais e sucessivos, a partir de 30 dias, obteve-se um valor líquido de R$ 7.000,00.
Com relação à situação descrita, julgue os itens que se seguem.
a) A taxa de desconto simples do título que vence em 120 dias corresponde à taxa de juros simples
de 6,25 % ao mês.
b) A taxa de desconto simples para cada título é igual a 5% ao mês
c) O desconto obtido para o título que vence em 90 dias é o triplo do desconto obtido para o título
que vence em 30 dias.
d) As taxas mensais de juros simples dos valores atuais dos títulos são diferentes.
e) No desconto simples bancário, a taxa de desconto incide sobre o valor atual ou líquido.
Resposta: C-C-C-C-E
73. (Auditor-Fiscal da Previdência Social/Ent Fech.de Prev.Coplementar/Esaf/2002)Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes de seu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal.
a) R$ 890,00
b) R$ 900,00
c) R$ 924,96
d) R$ 981,00
e) R$ 1.090,00
Resposta: (b)
74. (Analista de Comércio Exterior/Esaf/2002) Um título deveria sofrer um desconto comercial simples de R$ 672,00 quatro meses antes de seu vencimento. Todavia, uma negociação levou à troca do desconto comercial simples por um desconto racional composto. Calcule o novo desconto considerando a mesma taxa de 3% ao mês.
a) R$ 600,00
b) R$ 620,15
c) R$ 624,47
d) R$ 643,32
e) R$ 672,00
Resposta: (c)
75. (Analista de Planej. e Execução Financeira/CVM/Esaf/2000) Um título de valor de face de R$ 100.000,00 vence no dia 31 de julho. Calcule o desconto comercial simples no dia 11 do mesmo mês, a uma taxa de desconto de 6% ao mês.
a) R$ 4.000,00
b) R$ 3.000,00
c) R$ 2.000,00
d) R$ 1.500,00
e) R$ 1.000,00
Resposta: (a)
Solução
D = 100.000,00 × 0,06× 20= 4.000,00
 30
76. (Analista Geral-Banco Central/Esaf/2001) Um título deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 560,00 três meses antes de seu vencimento. Todavia uma negociação levou à troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a taxa de 4% ao mês.
a) R$ 500,00
b) R$ 540,00
c) R$560,00
d) R$600,00
e) R$ 620,00
Resposta: (a)
77. (Analista Técnico - SUSEP/Esaf/2002) Um título sofreu um desconto simples comercial de R$1.856,00, quatro meses antes do seu vencimento a uma taxa de desconto de 4% ao mês. Calcule o valor do desconto correspondente à mesma taxa, caso fosse um desconto simples racional.
a) R$ 1.600,00
b) R$1.650,00
c) R$ 1.723,75
d) R$ 1.800,00
e) R$ 1.856.00
Resposta: (a)
78. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2000) O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$ 800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.
a) R$ 640,00
b) R$ 960,00
c) R$973,32
d) R$ 666,67
e) R$ 800,00
Resposta: (b)
Solução:
Elementos de cálculo:
D´(desconto racional) = 800,00
D (desconto comercial) = ?
i= 4% a.m.
n= 5 meses
N = Valor nominal
Cálculo do valor nominal:
D´= __N.i.n___ 
 1 + 0,04.5
800,00= N × 0,04 ×5 N= 800,00 × (1 + 0,04 ×5) = 4.800,.00
 1 + 0,04 ×5 0,04 × 5
Cálculo do desconto comercial:
D= 4.800,00 × 0,04 × 5 = 960,00
79. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2000) Um título foi descontado por R$ 840,00, quatro meses antes de seu vencimento. Calcule o desconto obtido, considerando um desconto racional composto a uma taxa de 3% ao mês.
a) R$ 105,43
b) R$ 104,89
c) R$ 140,00
d) R$ 93,67
e) R$ 168,00
Resposta: (a)
80. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Um título sofre um desconto composto racional de R$6.465,18, quatro meses antes de seu vencimento. Indique o valor mais próximo do valor descontado do título, considerando que a taxa de desconto é de 5% ao mês.
a) R$ 25.860,72
b) R$ 28.388,72
c) R$ 30.000,00
d) R$ 32.325,90
e) R$ 36.465,18
Resposta: (c)
81. (CEB-Contador-Superior-IDR-94) Antecipando em dois meses o pagamento de um título, obtive um desconto racional composto, que foi calculado com base na taxa de 20% a.m. Sendo R$ 31.104,00 o valor nominal do título, quanto paguei por ele?
a) R$ 21.600,00
b) R$ 21.700,00
c) R$ 21.800,00
d) R$ 21.900,00
Resposta: (a)
Solução:
Elementos de cálculo:
A= Valor líquido
N = Valor nominal = 31.104
i= taxa = 20% a.m.
n= número de períodos = 2
A= ___N_____ A= 31.104 = 21.600,00
 (1 + i)n 1,2 2 
82. (TCDF-Analista de Finanças e Controle Externo-Superior-IDR/94) Uma empresa tomou emprestada de um banco, por 6 meses, a quantia de $ 1.000.000,00 à taxa de juros compostos de
19,9% a.m. No entanto, 1 mês antes do vencimento a empresa decidiu liquidar a dívida. Qual o valor a ser pago, se o banco opera com uma taxa de desconto racional composto de 10% a.m.? Considere 1,1996 = 2,97.
a) $ 2.400.000,00
b) $ 2.500.000,00
c) $ 2.600.000,00
d) $ 2.700.000,00
Resposta: (d)
Solução
Valor a ser pago no vencimento:
1.000.000,00 × (1+ 0,199) 6 = 1.000.000,00 × 2,97 = 2.970.000,00
Valor líquido do desconto:
2.970.000,00 = 2.700.000,00
 (1+0,1) 1 
83. (ESAF) Uma empresa descontou uma duplicata de $ 500.000,00 60 (sessenta) dias antes do vencimento, sob o regime de desconto racional composto. Admitindo-se que o banco adote a taxa
de juros efetiva de 84% a.a., o líquido recebido pela empresa foi de (desprezar os centavos no resultado final)
a) $ 429.304,00
b) $ 440.740,00
c) $ 446.728,00
d) $ 449.785,00
e) $ 451.682,00
Dados:
3
1,84 = 1,22538514
4
1,84 = 1,1646742
6
1,84 = 1,10697115
Resposta: (e)
84. (AFTN/9 1) Um comercial paper com valor de face de US$ 1,000,000.00 e vencimento daqui a três anos deve ser resgatado hoje a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano, e considerando o desconto racional, obtenha o valor do resgate.
a) US$ 751,314.80
b) US$ 750,000.00
c) US$ 748,573.00
d) US$ 729,000.00
e) US$ 700,000.00
Resposta: (a)
85. (TCDF) Uma empresa estabelece um contrato de leasing para o arrendamento de um equipamento e recebe como pagamento uma promissória valor nominal de $ 1.166.400,00, descontada dois meses antes de seu vencimento, à taxa de 8% a.m. Admitindo-se que foi utilizado o sistema de capitalização composta, o valor do desconto racional será de
a) $ 194.089,00
h) $ 186.624,00
c) $ 166.400,00
d) $ 116.640,00
Resposta: (c)
86. (Auditor da Receita Federal/AFRF/2005) O valor nominal de uma dívida é igual a 5 vezes o desconto racional composto, caso a antecipação seja de dez meses. Sabendo-se que o valor atual da dívida (valor de resgate) é de R$ 200.000,00, então o valor nominal da dívida, sem considerar os centavos, é igual a:
a) R$ 230.000,00
b) R$ 250.000,00
c) R$ 330.000,00
d) R$ 320.000,00
e) R$ 310.000,00
Resposta: (b)
Solução:
N= valor nominal
A= valor atual
D= desconto racional
N = A + D
Se N = 5D, então, 5D= A + D 4D = A
Se A = 200.000,00, então
4D = 200.000,00 D= 200.000,00/4 = 50.000,00
Assim, N = 200.000,00 + 50.000,00 = 250.000,00
V - Equivalência de capitais
87. (CESPE/PMDF/96) O preço de um televisor de 20 polegadas damarca Alpha é R$ 400,00. O vendedor propõe a um comprador as seguintes alternativas de pagamento:
I - pagamento em 30 dias, com acréscimo de 5% sobre o preço de tabela;
II - pagamento à vista, com 4% de desconto sobre o preço de tabela.
Considere X como sendo a diferença entre os preços do televisor para pagamento em 30 dias e para pagamento à vista. Assim, X representa uma porcentagem do preço à vista do televisor igual a:
a) 9%
b) 9,25%
c) 9,375%
d) 9,5%
e) 9,725%
Resposta: (c)
88. (Analista de Finanças e Controle/STN/2005) Uma imobiliária coloca à venda um apartamento por R$ 85.000,00 a vista. Como alternativa, um comprador propõe uma entrada de R$ 15.000,00 e
mais três parcelas: duas iguais e uma de R$ 30.000,00. Cada uma das parcelas vencerá em um prazo a contar do dia da compra. A primeira parcela vencerá no final do sexto mês. A segunda, cujo valor é de R$ 30.000,00, vencerá no final do décimo segundo mês, e a terceira no final do décimo oitavo mês. A transação será realizada no regime de juros compostos a uma taxa de 4% ao mês. Se a imobiliária aceitar essa proposta, então o valor de cada uma das parcelas iguais, desconsiderando os centavos, será igual a:
a) R$ 35.000,00
b) R$ 27.925,00
c) R$ 32.500,00
d) R$ 39.925,00
e) R$ 35.500,00
Resposta: (d)
89. (Analista de Finanças e Controle/STN/2005) Uma pessoa contraiu uma dívida no regime de juros compostos que deverá ser quitada em três parcelas. Uma parcela de R$ 500,00 vencível no final do terceiro mês; outra de R$ 1.000,00 vencível no final do oitavo mês e a última, de R$ 600,00
vencível no final do décimo segundo mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é de 5% ao mês. No
final do sexto mês, o cliente decidiu pagar a dívida em uma única parcela. Assim, desconsiderando
os centavos, o valor equivalente a ser pago será igual a:
a) R$ 2.535,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.153,00
d) R$ 1.957,00
e) R$ 1.933,00
Resposta: (e)
Solução:
Os prazos das três dívidas no final do sexto mês são, respectivamente:
Para os 500,00 mais três meses
Para os 1.000,00 menos dois meses
Para os 600,00 menos 6 meses
Assim, iremos calcular o montante composto gerado pelo capital de 500,00 em três; o capital correspondente ao montante de 1.000,00 em dois meses e o capital correspondente ao montante de 600,00 em 6 meses.
500,00 (1+ 0,05)3 = 578,81
1.000,00 (1+0,05)-2 = 907,03
600,00 (1+0,05)6 =__447,73__
 1.933,57
90. (TTN192) Um negociante tem duas dívidas a pagar, uma de $ 3.000,00, com 45 dias de prazo e outra de $ 8.400,00, pagável em 60 dias. O negociante quer substituir essas duas dívidas por uma única, com 30 dias de prazo Sabendo-se que a taxa de desconto comercial é de 12% a.a. e usando a data zero, o valor nominal dessa dívida será de
a) $ 11.287,00
b) $ 8.232,00
c) $ 9.332,00
d) $ 11.300,00
e) $ 8.445,00
Resposta: (d)
Solução
Taxa => 12% a.a. => 1% a.m.(proporcional) =>0,01 ( na forma unitária)
Prazo 1 => 45 dias = 1,5 mês
Prazo 2 => 60 dias = 2 meses
Prazo 3 => 30 dias = 1 mês
Valor do conjunto de obrigações na data focal zero:
91. (Auditor-Fiscal da Previdência Social/Esaf/2002) Um consumidor comprou um bem de consumo durável no valor de R$15.000,00 financiado totalmente em dezoito prestações mensais de R$1.184,90, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima prestação, o consumidor acerta com o financiador o refinanciamento do saldo devedor em
doze prestações mensais à mesma taxa de juros, vencendo a primeira prestação ao fim do primeiro
mês seguinte. Calcule o valor mais próximo da nova prestação mensal.
a) R$ 504,00
b) R$ 561,00
c) R$ 625,00
d) R$ 662,00
e) R$ 796,00
Resposta: (d)
92. (AFTN/96) Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor
total dos pagamentos a serem efetuados, juros mais principal, é de $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento, deste financiamento, será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do décimo primeiro mês. O que mais se aproxima do valor financiado é
a) $ 816,55
b) $ 900,00
c) $ 945,00
d) $ 970,00
e) $ 995,00
Resposta: (b)
93. (AFTN/96) Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este
financiamento foi contratado, há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição
financiadora não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações. 
Condições pactuadas inicialmente: pagamento de duas prestações iguais sucessivas de $ 11.024,00 a serem pagas em 60 e 90 dias.
Condições desejadas: pagamento em três prestações iguais: a primeira ao final do 10º mês; a segunda ao final do 30º mês; a terceira ao final do 70º mês;
Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é
a) $ 8.200,00
h) $ 9.333,33
c) $ 10.752,31
d) $ 11.200,00
e) $ 12.933,60
Resposta: (d)
Solução
Valor do conjunto atual na data zero:
94. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Indique qual o capital hoje equivalente ao capital
de R$ 4.620,00 que vence dentro de cinqüenta dias, mais o capital de R$ 3.960,00 que vence dentro de cem dias e mais o capital de R$ 4.000,00 que venceu há vinte dias, à taxa de juros simples de 0,1% ao dia.
a) R$ 10.940,00
b) R$ 11.080,00
c) R$ 12.080,00
d) R$ 12.640,00
e) R$ 12.820,00
Resposta: (c)
Solução:
95. Auditor-Fiscal da Receita Federal? Esaf/2002) Uma empresa recebe um financiamento para pagar por meio de uma anuidade postecipada constituída por vinte prestações semestrais iguais no valor de R$ 200.000,00 cada. Imediatamente após o pagamento da décima prestação, por estar em dificuldades financeiras, a empresa consegue com o financiador uma redução da taxa de juros de 15% para 12% ao semestre e um aumento no prazo restante da anuidade de dez para quinze semestres. Calcule o valor mais próximo da nova prestação do financiamento.
a) R$ 136.982,00
b) R$ 147.375,00
c) R$ 151.342,00
d) R$ 165.917,00
e) R$ 182.435,00
Resposta: (b)
96. (Auditor da Receita Federal/AFRF/2005) Ana quer vender um apartamento por R$ 400.000,00 a vista ou financiado pelo sistema de juros compostos a taxa de 5% ao semestre. Paulo está interessado em comprar esse apartamento e propõe à Ana pagar os R$ 400.000,00 em duas parcelas iguais, com vencimentos a contar a partir da compra. A primeira parcela com vencimento em 6 meses e a segunda com vencimento em 18 meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:
a) R$ 220.237,00
b) R$ 230.237,00
c) R$ 242.720,00
d) R$ 275.412,00
e) R$ 298.654,00
Resposta: (a)
Solução:
97. (TCU-Analista de Finanças e Controle Externo) Uma concessionária vendia certo tipo de automóvel por $ 1.600.000,00 à vista. Tinha um plano de pagamento em 6 meses com juros fixos
compostos mensalmente. Um cliente comprou um desses automóveis, efetuando pagamentos ao fim de 2 e 6 meses. Se o primeiro pagamento foi de $ 2.136.000,00 e se os juros foram de 40% ao mês, o segundo pagamento foi de
a) $ 3.184.600,00
b) $ 3.416.800,00
c) $ 3.641.800,00
d) $ 3.841.600,00
e) $ 3.846.100,00
Resposta: (d)
98. (Auditor da Receita Federal/AFRF/2005) Uma casa pode ser financiada em dois pagamentos.
Uma entrada de R$ 150.000,00 e uma parcela de R$ 200.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe mudar o esquema de pagamentos para seis parcelas iguais, sendo a primeira parcela paga no ato da compra e as demais vencíveis a cada trimestre. Sabendo-se que a taxa contratada é de 6 % ao trimestre, então, sem considerar os centavos, o valor de cada uma das parcelas será igual a:
a) R$ 66.131 ,00
b) R$ 64.708,00
c) R$ 62.927,00
d) R$ 70.240,00
e) R$ 70.140,00
Resposta : (c)
Solução:99. (AFC-ESAF193) Determinar a taxa mensal para que sejam equivalentes hoje os capitais de $1.000,00 vencível em dois meses e $ 1.500,00 vencível em três meses, considerando-se o desconto simples comercial.
a) 15%
b) 20%
c) 25%
d) 30%
e) 33,33%
Resposta: (b)
100. (Auditor da Receita Federal/AFRF/2005) Uma empresa adquiriu de seu fornecedor mercadorias no valor de R$ 100.000,00 pagando 30% a vista. No contrato de financiamento realizado no regime de juros compostos, ficou estabelecido que para qualquer pagamento que for
efetuado até seis meses a taxa de juros compostos será de 9,2727% ao trimestre. Para qualquer pagamento que for efetuado após seis meses, a taxa de juros compostos será de 4% ao mês. A empresa resolveu pagar a dívida em duas parcelas. Uma parcela de R$ 30.000,00 no final do quinto
mês e a segunda parcela dois meses após o pagamento da primeira. Desse modo, o valor da segunda parcela, sem considerar os centavos, deverá ser igual a:
a) R$ 62.065,00
b) R$ 59.065,00
c) R$ 61.410,00
d) R$ 60.120,00
e) R$ 58.065,00
Resposta: (e)
101. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Calcule o valor mais próximo do valor atual no
início do primeiro período do seguinte fluxo de pagamentos vencíveis ao fim de cada período: do período 1 a 6, cada pagamento é de R$ 3.000,00, do período 7 a 12, cada pagamento é de R$2.000,00, e do período 13 a 18, cada pagamento é de R$ 1.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de desconto racional é de 4% ao período.
a) R$ 33.448,00
b) R$ 31.168,00
c) R$ 29.124,00
d) R$ 27.286,00
e) R$ 25.628,00
Resposta: (d)
Solução:
102. (Analista Técnico/SUSEP/Esaf/2002) Uma pessoa física deve fazer aplicações ao fim de cada um dos próximos doze meses da seguinte maneira: R$2.000,00, ao fim de cada um dos três primeiros meses, R$ 3.000,00, ao fim de cada um dos três meses seguintes e R$ 4.000,00, ao fim de cada um dos seis últimos meses. Calcule o montante das aplicações ao fim dos doze meses,
 onsiderando uma taxa de juros compostos de 3% ao mês, desprezando os centavos.
a) R$ 41.854,00
b) R$ 42.734,00
c) R$ 43.812,00
d) R$ 44.380,00
e) R$ 45.011,00
Resposta: (e)
103. (Auditor Fiscal da Receita Federal/Esaf/2000) Uma empresa deve pagar R$ 20.000,00 hoje, R$10.000,00 o fim de trinta dias e R$ 31.200,00 ao fim de noventa dias. Como ela só espera contar com os recursos necessários dentro de sessenta dias e pretende negociar um pagamento único ao fim desse prazo, obtenha o capital equivalente que quita a dívida ao fim dos sessenta dias, considerando uma taxa de juros compostos de 4% ao mês.
a) R$ 62.200,00
b) R$64.000,00
c) R$ 63.232,00
d) R$ 62.032,00
e) R$ 64.513,28
Resposta: (d)
104. (Auditor Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Uma conta no valor de R$ 2.000,00 deve ser paga em um banco na segunda-feira, dia 8. O não-pagamento no dia do vencimento implica uma multa fixa de 2% sobre o valor da conta mais o pagamento de uma taxa de permanência de 0,2% por dia útil de atraso, calculada como juros simples, sobre o valor da conta. Calcule o valor do pagamento devido no dia 22 do mesmo mês, considerando que não há nenhum feriado bancário no período.
a) R$ 2.080,00
b) R$ 2.084,00
c) R$ 2.088,00
d) R$2.096,00
e) R$ 2.100,00
Resposta: (a)
105. (Auditor Fiscal da Receitas Federal/Esaf/2002) A quantia de R$ 500.000,00 é devida hoje e a
quantia de R$ 600.000,00 é devida no fim de um ano ao mesmo credor. Na medida em que os dois compromissos não poderiam ser honrados, uma negociação com o credor levou a acerto de um pagamento equivalente único ao fim de dois anos e meio. Calcule o valor deste pagamento considerando que foi acertada uma taxa de juros compostos de 20% ao ano, valendo a convenção exponencial para cálculo do montante (despreze os centavos).
a) R$ 1.440.000,00
b) R$ 1.577.440,00
c) R$ 1.584.000,00
d) R$ 1.728.000,00
e) R$ 1.733.457,00
Resposta: (b)
106. (ESAF) João tem um compromisso representado por 2 (duas) promissória: uma de $200.000,00 e outra de $ 150.000,00, vencíveis em quatro e seis meses, respectivamente. Prevendo que não disporá desses valores nas datas estipuladas, solicita ao banco credor a substituição dos dois títulos por um único a vencer em 10 (dez) meses. Sabendo-se que o banco adota juros compostos de 5% a.m., o valor da nova nota promissória é de (desprezar centavos no resultado final)
a) $ 420.829,00
b) $ 430.750,00
c) $ 445.723,00
d) $ 450.345,00
e) $ 456.703,00
Resposta: (d)
07. (ESAF) Sejam dois títulos com as seguintes características:
I - um certificado de depósito a prazo, de $ 50.000,00, efetuado 17 meses atrás, que rende juros compostos de 4% ao mês. Os rendimentos são tributados em 8% (Imposto de Renda) no ato do resgate;
II - uma promissória de $ 112.568,00, vencível de hoje a 7 meses, que pode ser resgatada mediante
 esconto racional composto de 5% ao mês. Os dois títulos, se resgatados hoje, desprezados os centavos, valem
a) $ 169.603
b) $ 173.603
c )$ 177.395
d) $ 181.204
e) $ 185.204
Resposta: (b)
Solução
Juros do certificado => 50.000,00 × (1+0,04)17 – 50.000,00 = 47.395,02
Imposto de Renda incidente sobre os juros => 0,8 × 47.395,02 = 3.791,60
Valor líquido por ocasião do resgate:
50.000,00+ 47.395,02 – 3.791,60 = 93.603,42
Valor presente da nota promissória: 112.568,00 = 80.000,00
 (1+0,05)7
Valor de resgate dos dois títulos nesta data: 93.603,42 + 80.000,00 = 173.603,42
108. (ESAF) Dois esquemas financeiros são ditos equivalentes, a uma determinada taxa de juros,
quando apresentam a) os mesmos valores de aplicações nas datas iniciais e aplicações diferenciadas nas demais datas, sendo equivalentes as taxas de juros de aplicação .
b) o mesmo valor atual, em qualquer data, à mesma taxa de juros.
c) a mesma soma de pagamentos nos seus perfis de aplicação.
d) o mesmo prazo total para suas aplicações.
Resposta: (b)
109. (CESPE/UnB - Senado Federal/96) Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa
com um desembolso de R$ 10.000,00, no início do primeiro mês, outro desembolso, de R$5.000,00, ao final do primeiro mês, e duas entradas líquidas mensais de R$ 11 .000,00 e R$12.100,00, no final segundo e do terceiro meses, respectivamente. Considerando uma taxa nominal de juros de 120% ao ano, julgue os itens a seguir.
a) As taxas anuais, tanto efetivas quanto nominais, têm o mesmo significado e assumem valores iguais quando se trata de fluxo de caixa.
b) Os valores atuais de entradas líquidas, no fim do primeiro mês, somam R$ 20.000,00.
c) A soma dos montantes dos desembolsos, no fim do terceiro mês, é exatamente igual a R$19.000,00.
d) O valor atual do fluxo de caixa, no fim do primeiro mês, é igual R$ 4.000,00.
e) No fim do terceiro mês, o montante do fluxo de caixa é negativo.
Resposta: E-C-E-C-E
110. (Banco Central94-Superior) Tomei emprestados $ 1.000.000,00 a juros compostos de 10% ao
mês. Um mês após o empréstimo, paguei $ 500.000,00 dois meses após esse pagamento, liquidei a dívida. 0 valor desse último pagamento foi de
a) $ 660.000,00
b) $ 665.500,00
c) $ 700.000,00
d) $ 726.000,00
c) $ 831.000,00
Resposta: (d)
111.Um carro pode ser financiado no regime de juros compostos em dois pagamentos. Uma entrada de R$20.000,00 e uma parcela de R$20.000,00 seis meses após a entrada. Um comprador propõe como segunda parcela o valor de R$ 17.000,00, que deverá ser pago oito meses após a entrada.
Sabendo-se que a taxa contratada é de 2% ao mês, então, sem considerar os centavos, o valor da entrada deverá ser igual a:
a) R$ 23.455,00
b) R$ 23.250,00
c) R$ 24.580,00
d) R$ 25.455,00
e) R$ 26.580,00
Resposta: (b)
112. (Metrô-Assistente Administrativo-2ºG-IDR-94) Um comerciante deve dois títulos, ambos com
o mesmo valor nominal de $ 100.000,00. O vencimento do primeiro ocorre dentro de 2 meses, e o
do segundo, em 4 meses, mas ele deseja substituir ambos os títulos por um outro, com vencimento
em 3 meses.
Se o banco que realizará esta transação operacom uma taxa racional composta de 25% a.m., qual será o valor do novo título?
a) $ 200.000,00
b) $ 205.000,00
c) $ 210.000,00
d) $ 215.000,00
Resposta: (b)
113. (ESAF) Um automóvel, que custa à vista $ 1.400.000,00, está sendo vendido com financiamento nas seguintes condições:
- entrada igual a 30% do preço à vista e o saldo em duas parcelas iguais, taxa de juros compostos 7% ao mês.
Se a primeira parcela deverá ser paga 30 dias após o pagamento da entrada e a segunda parcela 60 dias após a primeira, o valor de cada parcela deverá ser de (desprezar os centavos no resultado final)
a) $ 515.608,00
b) $ 569.767,00
c) $ 542.029,00
d) $ 559.719,00
e) $ 506.570,00
Resposta: (d)
114. (AFTN/91) A uma taxa de 25% ao período, uma quantia de 100 no fim do período t, mais uma
quantia de 200 no fim do período t + 2 são equivalentes, no fim do período t + 1, a uma quantia de
a) 406,25
b) 352,5
c) 325
d) 300
e) 285
Resposta: (e)
Considere os fluxos de caixas mostrados na tabela abaixo, para resolução da questão seguinte. Os valores constantes desta tabela ocorrem no final dos meses ali indicados.
Tabela de Fluxos de Caixa
115. (AFTN/96) Considere uma taxa efetiva (Juros compostos) de 4,0% a.m. O fluxo de caixa, da tabela acima, que apresenta o maior valor atual (valor no mês zero) é
a) fluxo UM
b) fluxo DOIS
c) fluxo TRÊS
d) fluxo QUATRO
e) fluxo CINCO
Resposta: (c)
116. (AFFN/96) Uma empresa obteve um financiamento de $ 10.000,00 à taxa de 120% ao ano capitalizados mensalmente (juros compostos). A empresa pagou $ 6.000,00 ao final do primeiro mês e $ 3.000,00 ao final do segundo mês. O valor que deverá ser pago ao final do terceiro mês para liquidar o financiamento (juros + principal) é:
a) $ 3.250,00
b) $ 3.100,00
c) $ 3.050,00
d) $ 2.975,00
e) $ 2.750,00
Resposta: (e)
117. (CESPE/Assist. Admin. - NOVACAP/96) Fernando possui uma quantia suficiente para adquirir um aparelho de som, mas a loja oferece três formas diferentes de pagamento:
I - à vista, com 20% de desconto;
II - em duas prestações mensais e iguais, com 10% de desconto, vencendo a primeira um mês após a compra;
III - em três prestações mensais e iguais, sem desconto, vencendo primeira no ato da compra.
Admitindo que a taxa de rendimento das aplicações financeiras seja de 3% ao mês, assinale a opção que indica as escolhas que Fernando pode fazer em ordem decrescente de vantagem para ele, isto é, da mais vantajosa para a menos vantajosa.
a) I - II - III
b) I - III - II
c) II - III - I
d) III - I - II
e) III - II – I
Resposta: (a)
118. (AFTN/96) Uma pessoa tomou um empréstimo à taxa de 4% ao mês, com juros compostos capitalizados mensalmente. Este empréstimo deve ser pago em 2 parcelas mensais e iguais de $1.000,00 daqui a 13 e 14 meses respectivamente. O valor que mais se aproxima do valor de um único pagamento, no décimo quinto mês que substitui estes dois pagamentos é:
a) $ 2.012,00
b) $ 2.121,00
c) $ 2.333,33
d) $ 2.484,84
e) $ 2.516,16
Resposta: (b)
119. (CESPE/UnB – TCDF/AFCE/95) Um cidadão contraiu, hoje, duas dívidas junto ao Banco Azul. A primeira terá o valor de R$ 2.000,00, no vencimento, daqui a seis meses; a segunda terá o valor, no vencimento, daqui a dois anos, de R$ 4.400,00. Considerando a taxa de juros de 20% a.a., capitalizados trimestralmente, se o cidadão optar por substituir as duas dívidas por apenas uma, a vencer daqui a um ano e meio, ele deverá efetuar o pagamento de
a) R$ 6.420,00
b) R$ 6.547,00
c) R$ 6.600,00
d) R$ 6.620,00
e) R$ 6.680, 00
Resposta: (a)
120. (CESPE/Espec. de Assist. à Educ.-FEDF/96) Uma escola oferece as seguintes opções para o pagamento da taxa de matrícula, quando efetuada no dia 5 de dezembro:
I - desconto de 10% para pagamento à vista;
II - pagamento em duas vezes, sendo 50% no ato da renovação de matrícula e 50% um mês após,
isto é, no dia 5 de janeiro.
Um pai de aluno não quer ter lucro nem prejuízo, optando por qualquer uma das duas modalidades
de pagamento, no ato da renovação de matrícula. Para tanto, se optar por II, deve investir a diferença entre os valores que seriam pagos em 5 de dezembro, nas modalidades I e II, em uma aplicação financeira com uma taxa mensal de rendimento de
a) 5%
b) 10%
c) 20%
d) 25%
e) 30%
Resposta: (d)
121. (CESPE/Aux. de Admin. - NOVACAP/96) Paulo quer comprar um refrigerador e tem as seguintes alternativas:
I - à vista, por R$ 900,00;
II - em duas prestações mensais e iguais a R$ 500,00, vencendo a primeira no ato da compra;
III - em três prestações mensais e iguais a R$ 350,00, vencendo a primeira no ato da compra.
Supondo que ele possa aplicar o dinheiro a uma taxa de 4% ao mês, assinale a opção que indica as formas de pagamento, em ordem crescente de vantagem para Paulo.
a) I - II - III
b) II - I - III
c) III - I - II
d) III - II - I
e) II - III – I
Resposta: (d)
Solução:
A mais vantajosa alternativa é de R$900,00 e a menos vantajosa é a de R$1.010,13.
Portanto, em ordem crescente de vantagem são: R$ 1.010,13; R$ 980,77 e R$ 900,00, que correspondem à opção d: III-II-I
122. (ESAF) Uma empresa imobiliária está vendendo um terreno por $ 200.000,00 de entrada e um pagamento adicional de $ 200.000,00 no 6º mês após a compra. Um determinado comprador propõe alterar o valor do pagamento adicional para $ 250.000,00, deslocando-o para o 8º mês após a compra. A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., o valor da entrada no esquema proposto,
desprezados os centavos, é
a) $ 161.221,00
b) $ 163.221,00
c) $ 173.221,00
d) $ 184.221,00
e) $ 164.221,00
Resposta: (e)
VI - Anuidades, rendas uniformes e variáveis. Amortização
123. (Auditor-Fiscal da Previdência Social/Ent.Fech.de Prev. Complementar/Esaf/2002) Obtenha o
valor mais próximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada mÊs, considerando uma taxa de rendimento de 2% ao mês, juros compostos, com o objetivo de se obter R$ 50.000,00 ao fim de dez meses.
a) R$ 5.825,00
b) R$ 5.000,00
c) R$ 4.782,00
d) R$ 4.566,00
e) R$ 3.727,00
Resposta: (d)
Solução:
124. (ESAF) João pretende comprar uma motocicleta cujo preço à vista é $ 1.000.000,00. A firma vendedora exige 10% sobre o preço à vista e financia o restante à taxa de juros compostos de 6%
a.m., em prestações iguais e sucessivas. João dispõe para pagar, mensalmente, da quantia $74.741,01, Nessas condições, o número de prestações é de
a) 22 meses
b) 23 meses
c) 24 meses
d) 25 meses
e) 30 meses
Resposta: (a)
Solução:
125. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2002) Considerando a série abaixo de pagamentos no
fim de cada ano, obtenha o número que mais se aproxima do valor atual total destes pagamentos no início do ano 1, a uma taxa de desconto racional de 10% ao ano, juros compostos
	Ano 
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	Valor
	400
	400
	400
	400
	200
	200
	200
	200
	200
	1.200
a) 2.208,87
b) 2.227,91
c) 2.248,43
d) 2.273,33
e) 2.300,25
Resposta: (c)
Solução:
126. (CESPE/UnB-TCU/AFCF-196) Um empréstimo de R$ 600.000,00 deverá ser liquidado em 6 prestações mensais e iguais a R$ 137.764,43, utilizando-se o Sistema de Amortização Francês (Tabela Price), com taxa de juros de 10% ao mês. Nessas condições, julgue os itens seguintes.
a) A parcela de amortização do capital é obtida pela diferença entre o valor da prestação e o valor da parcela de juros.
b) À medida que a parcela referente aos juros diminui, a parcela referente à amortização do capital aumenta.
c) Após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é igual a R$ 522.235,57.
d) Na segunda prestação está incluído o valor da parcela de juros correspondentes a aproximadamente R$ 52.223,56.
e) A parcela de amortização do capital, na sexta prestação, é igual ao saldo devedor obtido após o
pagamento da quinta prestação.
Resposta: C-C-C-C-C
Solução:
Elementos de cálculo:
Empréstimo: 600.000,00
Prestação: 137.764,43
i = 10% a.m.
n = 6
Procedimentos para preenchimento do quadro:
A parcela de amortização do capital (coluna c) éobtida pela diferença entre o valor da
prestação(coluna e) e o valor da parcela de juros (coluna d)
O saldo atual (coluna b) é obtido a subtraindo-se do saldo anterior (bt-1) a amortização do mês atual
(coluna c);
Os juros são obtidos aplicando-se a taxa de 10% sobre o saldo da época anterior. O quadro permite observar que:
a) à medida que a parcela de juros diminui a parcela referente à amortização do capital aumenta;
b) após o pagamento da primeira parcela, o saldo devedor é igual a %$522.235,57 (coluna b);
c) na segunda prestação (R$ 137.764,43) está incluída a parcela de juros correspondentes a R$52.223,56(coluna d)
d) na sexta prestação, a parcela de amortização do capital (R$ 125.240,38)é igual ao saldo devedor obtido após o pagamento da quinta prestação
127. (ESAF) O preço de um automóvel é de $ 500.000,00. Um comprador ofereceu $ 200.000,00 de entrada e o pagamento do saldo restante em 12 prestações iguais, mensais. A taxa de juros compostos é de 5% a.m. 0 valor de cada prestação, desprezados os centavos, é
a) $ 36.847
b) $ 25.847
c) $ 31.847
d) $ 33.847
e) $ 30.847
Resposta: (d)
128.(Analista de Finanças e Controle/AFC/STN/2005) Ana comprou, no regime de juros compostos, um apartamento financiado a uma taxa de 2% ao mês. O apartamento deverá ser pago em 12 prestações mensais iguais a R$ 8.000,00, vencendo a primeira delas 30 dias após a compra.
Após pagar a sétima prestação, Ana resolveu transferir o contrato de compra para Beatriz, que seguirá pagando as prestações restantes. Assim, para assumir a dívida de modo que nenhuma das duas seja prejudicada, Beatriz deverá pagar a Ana, sem considerar os centavos, o valor de:
a) R$ 61.474,00
b) R$ 51.775,00
c) R$ 59.474,00
d) R$ 59.775,00
e) R$ 61.775,00
Resposta: (c)
129. (ESAF) Um banco de desenvolvimento empresta sob as seguintes condições:
i) taxa nominal de juros de 6% a.a., com capitalização semestral;
ii) prestações semestrais;
iii) Sistema de Amortização Constante - SAC ou Sistema Francês.
Pede-se: para um empréstimo de $ 12.000.000,00, qual seria o valor da primeira prestação pelo Sistema de Amortização Constante -SAC, se pelo Sistema Francês, as prestações são iguais a $1.406.766,00?
a) $ 1.560.000,00
b) $ 1.776.000,00
c) $ 1.512.000,00
d) $ 1.680.000,00
e) $ 1.726.000,00
Resposta: (a)
130. (ESAF) Um microcomputador, que está custando $ 480.000,00 à vista, foi vendido em 3 prestações mensais, iguais e consecutivas, sem entrada. Sabendo-se que a primeira prestação só será paga 30 dias apos a compra, o valor da prestação mensal à taxa de juros compostos de 13% ao mês será de (desprezar os centavos no resultado final)
a) $ 203.290,00
b) $ 179.903,00
c) $ 287.752,00
d) $ 161.370,00
e) $ 254.648,00
Resposta: (a)
131. (Analista de Finanças e Controle/STN/2005) No dia 10 de setembro, Ana adquiriu um imóvel
financiado em 10 parcelas mensais e iguais a R$ 20.000,00. A primeira parcela vence no dia 10 de
novembro do mesmo ano e as demais no dia 10 dos meses subsequentes. A taxa de juros compostos contratada foi de 60,1032% ao ano. Assim, o valor financiado no dia 10 de setembro, sem considerar os centavos, foi de:
a) R$ 155.978,00
b) R$ 155.897,00
c) R$162.217,00
d) R$ 189.250,00
e) R$ 178.150,00
Resposta: (a)
Solução:
Tratado as prestações como postecipadas, isto é, pagas no final de cada mês, temos:
VP= valor atual ou valor presente em 10 de outubro
n = número de prestações (=10)
i = taxa mensal equivalente 60,10132% a.a. (1+6010132) 1/12 – 1 = 4 4% a.m.
Fator = 8,110896
P = prestação = 20.000,00
VP = P × = 20.000,00 × 8,110896 = 162.217,72 valor presente em 10 de outubro
Valor presente em 10 de setembro:
162.217,72 = 155.978,77 Valor presente em 10 de setembro 155.978,77
 (1+0,04) 
132. (AFTN/96) Um empréstimo de $ 20.900,00 foi realizado com uma taxa de juros de 36% ao ano, capitalizados trimestralmente, e deverá ser liquidado através do pagamento de 2 prestações trimestrais, iguais e consecutivas (primeiro vencimento ao final do primeiro trimestre, segundo vencimento ao final do segundo trimestre). O valor que mais se aproxima do valor unitário de cada
prestação é
a) $ 10.350,00
b) $ 10.800,00
c) $ 11.881,00
d) $ 12.433,33
e) $ 12.600,00
Resposta: (c)
Solução:
Elementos de cálculos:
VP=20.900,00
i = 36% a.a. (9% ao trim.)
n=2
= 1,759111(tabela financeira)
P= 20.900,00 = 11.881,00
 1,759111
133. (AFC-ESAF193) Um indivíduo deseja comprar um carro novo aproveitando o seu carro usado
como entrada. Sabendo que o saldo a financiar é de $ 211.506,82, que a taxa mensal de juros é de 2%, pelo sistema de juros compostos, e que o pagamento deve ser efetuado em doze prestações
iguais, a primeira das quais um mês após a compra, qual a prestação?
a) $ 18.000,00
b) $ 19.231,30
c) $ 20.000,00
d) $ 22.000,00
e) $ 28.735,70
Resposta: (c)
134. (AFTN/91) Uma alternativa de investimento possui um fluxo de caixa com um desembolso de
20.000 no início do primeiro ano, um desembolso de 20.000 no fim do primeiro ano e dez entradas
líquidas anuais e consecutivas de 10.000 a partir do fim do segundo ano, inclusive. A uma taxa de
18% ao ano, obtenha o valor atual desse fluxo de caixa, no fim do primeiro ano.
a) 24.940,86
b) 11.363,22
c) 5.830,21
d) 4.940,86
e) 1.340,86
Resposta: (e)
Solução:
Elementos de cálculo:
VP = Valor atual do fluxo de caixa no final do 1º ano
i = taxa (18%)
n = número de períodos dos desembolsos uniformes
= 4,494086 (tabela financeira)
135. (Auditor-Fiscal da Previdência Social/AFPS/Ent. Fech. de Prev. ComplementarI2002/Esaf). Um financiamento habitacional no valor de R$ 120.000,00 vai ser pago por prestações mensais
calculadas pelo sistema de amortizações constantes, a uma taxa de juros nominal de 12% ao ano, durante dez anos. Calcule a décima prestação mensal do financiamento.
a) R$ 2.200,00
b) R$ 2.120,00
c) RS 2.110,00
d) R$ 2.100,00
e) R$ 2.000,00
Resposta: (c)
Solução:
Amortização mensal = 120.000,00/12.000,00 = 1.000,00
Taxa mensal de juros (proporcional) = 12/12 = 1 0,01 (em termos de taxa unitária)
136. (Auditor-Fiscal da Receita Federal/Esaf/2003) Calcule o valor mais próximo do montante ao fim de dezoito meses do seguinte fluxo de aplicações realizadas ao fim de cada mês: dos meses 1 a 6, cada aplicação é de R$ 2.000,00; dos meses 7 a 12, cada aplicação é de R$ 4.000,00 e dos meses 13 a 18, cada aplicação é de R$ 6.000,00. Considere juros compostos e que a taxa de remuneração das aplicações é de 3% ao mês.
a) R$ 94.608,00
b) R$ 88.149,00
c) R$ 82.265,00
d) R$ 72.000,00
e) R$ 58.249,00
Resposta: (b)
137. (AFTN/96) Uma pessoa paga uma entrada no valor de $ 23,60 na compra de um equipamento
e paga mais 4 prestações mensais, iguais e sucessivas, no valor de $ 14,64 cada uma. A instituição
financiadora cobra uma taxa de juros de 120% a.a., capitalizados mensalmente (juros compostos).
Com base nestas informações podemos afirmar que o valor que mais se aproxima do valor à vista
do equipamento adquirido é
a) $ 70,00
b) $ 76,83
c) $ 86,42
d) $ 88,00
e) $ 95,23
Resposta: (a)
Solução:
Elementos de cálculo:
VP = Valor presente
i = 120% 1.1.(10% a.m.)
p = 14,64
Entrada = 23,60
Resposta:
2.110,00
n = 4
= 3,169865 (tabela financeira)
138. (AFTN/91) O pagamento de um empréstimo no valor de 1.000 unidades de valor será efetuado
por intermédio de uma anuidade composta por seis prestações semestrais, a uma taxa de 15% ao
semestre, sendo que a primeira prestação vencerá seis meses após o recebimento do empréstimo
valor da referida prestação será
Obs.: (1,15)6 = 2,31306
a) 1.000 ÷ 6
b) 1.000 × 2,31306
c) 1.000 ÷ 3,784482
d) 1.000 ÷ 8,753738
e) 1.000 ÷ 2,31306
Resposta: (c)
139. (Analista de Planejamento e Execução Financeira/Esaf/2000) Um cliente negociou com o seu
banco depositar a quantia de R$ 1.000,00, ao fim de cada mês, para obter R$ 21.412,31, ao fim de
18 meses. A que taxa efetiva anual o banco remunerou o capital do seu cliente?
a)12%
b) 12,68%
c) 18%
d) 24%
e) 26,82%
Resposta: (e)
140. (AFCE/TCU/2000/Esaf) Um financiamento no valor de R$ 19.908,00 deve ser amortizado em
12 prestações mensais iguais, vencendo a primeira ao fim de 30 dias, e assim sucessivamente, a
uma taxa de 3% ao mês. Calcule o valor do saldo devedor do financiamento imediatamente após o pagamento da sexta prestação.
a) R$ 9.954,00
b) R$ 10.834,38
c) R$ 10.252,62
d) R$ 10.000,00
e) R$ 12.000,00
Resposta (b)
Solução:
Elementos de cálculo:
VP= 19.908,00
n = 12
i = 3%
= 9,954004 (valor da tabela)
P(prestação) = ?
Como foi preenchido o quadro:
A prestação é única para todos os períodos= 2.000,00
Os juros correspondem a 3% do saldo do período anterior. Por exemplo, os juros do período 1 corresponde a 3% de 19.908,00, que é 597,24;
A amortização é a diferença entre a prestação e os juros. Por exemplo, a amortização do primeiro
período é 2.000,00 –597,24 = 1.402,76
O saldo atual é obtido subtraindo, do saldo anterior, a amortização. Por exemplo, o saldo do primeiro período é 19.908 – 1.402,76 = 18.505,24 e assim por diante.
141 (AFTN/91) Quanto devo depositar, mensalmente, para obter um montante de 12.000, ao fim de um ano, sabendo-se que a taxa mensal de remuneração do capital é de 4% e que o primeiro depósito é feito ao fim do primeiro mês?
a) 12.000 ÷ 15,025805
b) 12.000 ÷ (12 × 1,48)
c) 12.000 ÷ 9,385074
d) 12.000 ÷ (12 × 1,601032)
e) 12.000 ÷ 12
Resposta: (a)
142. (Analista GeraI/Banco Centra/Esaf/2001) Um consumidor compra um bem de consumo durável no valor de R$10.000,00, financiado totalmente em dezoito prestações mensais d R$727,09, vencendo a primeira ao fim do primeiro mês. Junto com o pagamento da décima segunda prestação, o consumidor acerta com o financiador um pagamento para quitar o resto da dívida.
Calcule o valor mais próximo do pagamento do consumidor que quita o saldo devedor, à mesma
taxa de juros do financiamento original.
a) R$ 3.840,00
b) R$ 3.938,00
c) R$ 4.025,00
d) R$ 4.178,00
e) R$ 4.362,00
Resposta: (b)
143. (ESAF) Uma roupa é vendida por $ 4.000,00 à vista ou financiada em 5 prestações iguais, sem entrada. A taxa de juros é de 24% a.a., utilizando-se a tabela price. A 1ª prestação vence 1 mês após a compra. O valor da prestação, desprezados os centavos, e a taxa de juros efetiva cobrada, em termos anuais, são, respectivamente,
a) $ 848,00 e 24,8%
b) $ 858,00 e 26,8%
c) $ 878,00 e 26,8%
d) $ 848,00 e 26,8%
e) $ 858,00 e 24,8%
Resposta: (d)
144. (Analista Geral/Banco Central/Esaf/2001) Um contrato de aplicação financeira prevê que depósitos de mesmo valor sejam feitos mensalmente em uma conta de aplicação, durante dezoito
meses, com o objetivo de atingir o montante de R$ 100.000,00 ao fim desse prazo. Obtenha o valor
mais próximo da quantia que deve ser depositada ao fim de cada mês, considerando uma taxa de
rendimento de 3% ao mês.
a) R$ 5.555,00
b) R$ 4.900,00
c) R$ 4.782,00
d) R$ 4.270,00
e) R$ 4.000,00
Resposta: (d)
145. (Auditor- Fiscal da Receita Fedferal/Esaf/2002) Uma pessoa, no dia 1º de agosto, contratou
com um banco aplicar mensalmente R$ 1.000,00 durante seis meses, R$ 2.000,00 mensalmente
durante os seis meses seguintes e R$ 3.000,00 mensalmente durante mais seis meses. Considerando que a primeira aplicação seria feita em 1º de setembro e as seguintes sempre no dia primeiro de
cada mês e que elas rendem juros compostos de 2% ao mês, indique qual o valor mais próximo do
montante que a pessoa teria dezoito meses depois, no dia 1º de fevereiro.
a) R$ 36.000,00
b) R$ 38.449.,00
c) R$ 40.000,00
d) R$ 41.132,00
e) R$ 44.074,00
Resposta: (d)
146. (ESAF) Um agricultor recebeu $ 700.000,00 de empréstimo e deverá resgatá-lo em 6 prestações semestrais, iguais e consecutivas, à taxa nominal de 36% a.a. capitalizadas semestralmente. Calcular o valor das prestações, sabendo-se que a primeira prestação será paga no final do 18º mês após ter contraído o empréstimo (desprezar os centavos no resultado final).
a) $ 278.670,00
b) $ 328.831,00
c) $ 171.670,00
d) $ 145.483,00
e) $ 239.034,00
Resposta: (a)
147.(Analista de Finanças e Controle/AFC/STN/2005) O preço a vista de um imóvel é R$180.000,00. Um comprador propõe pagar 50% do preço a vista em 18 prestações mensais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro mês após a compra, a uma taxa de 3% ao mês. Os 50% restantes do valor a vista ele propõe pagar em 4 parcelas trimestrais iguais, vencíveis a partir do final do primeiro trimestre após a compra, a uma taxa de 9% ao trimestre. Desse modo, o valor que o comprador desembolsará no final do segundo trimestre, sem considerar os centavos, será igual a:
a) R$ 34.323,00
b) R$ 32.253,00
c) R$ 35.000,00
d) R$ 37.000,00
e) R$ 57.000,00
Resposta: (a)
148. (ESAF) Um indivíduo deve $ 181.500,00, vencíveis de hoje a 6 meses, e $ 380.666,00, vencíveis de hoje a 12 meses. Para transformar suas dívidas em uma série uniforme de 4 pagamentos postecipados trimestrais, a partir de hoje, a juros e desconto racional compostos de 10% ao trimestre, o valor do pagamento trimestral é, desprezados os centavos
a) $ 102.500,00
b) $ 118.207,00
c) $ 140.541,00
d) $ 136.426,00
e) $ 129.343,00
Resposta: (e)
Solução
149. (Auditor Fiscal/Esaf/2000) Um indivíduo faz um contrato com um banco para aplicar mensalmente R$1.000,00 do primeiro ao quarto mês, R$ 2.000,00 mensalmente do quinto ao oitavo
mês, R$ 3.000,00 mensalmente do nono ao décimo segundo mês. Considerando que as aplicações
são feitas no fim de cada mês, calcule o montante ao fim dos doze meses, considerando uma taxa de juros compostos de 2% ao mês (despreze os centavos).
a) R$ 26.116,00
b) R$ 29.760,00
c) R$ 21.708,00
d) R$ 22.663,00
e) R$ 35.520,00
53
Resposta: (a)
Solução:
150. (Analista de Comércio Exterior/Esaf/2002) Um contrato prevê que aplicações iguais sejam feitas mensalmente, em uma conta durante doze meses, com o objetivo de atingir o montante de R$100.000,00 ao fim deste prazo. Quanto deve ser aplicado ao fim de cada mês, considerando rendimentos de juros compostos de 2% ao mês?
a) R$ 7.455,96
b) R$ 7.600,00
c) R$ 7.982,12
d) R$ 8.270,45
e) R$ 9.000,00
Resposta: (a)
11 - Razão e proporção – conceitos
Introdução
A proporcionalidade pode se apresentar em tamanhos diferentes, razões e situações diversas. Esse será o assunto dessa aula e nela você ainda estudará assuntos como conceitos de razão, proporção e grandes diretamente proporcionais.
 Entendendo a razão
Observe a seguinte situação:
Numa certa empresa no setor X, há 15 homens e 20 mulheres. Uma das maneiras de comparar esses números é calcular a razão entre eles, estando atento à ordem considerada. Veja: a razão entre o número de homens e o número de mulheres pode ser representada por:
15:20 = 0,75 = 75%
Note que podemos escrever a razão entre dois números na forma de fração (), na forma de fração irredutível, quando possível, ( ), na forma de número decimal (0,75) ou na forma de porcentagem (75%). Portanto,
A razão entre dois números a e b, com b diferente de 0, é o quociente de, que pode ser indicado por ou qualquer outra forma equivalente.
Destaca-se aqui que a ordem dos números no cálculo de uma razão é importante. Por isso, cada número recebe um nome.
Retornando à situação apresentada no início deste tópico, vamos analisar outros dois setores (Y e Z) desta mesma empresa. Temos, assim, que a razão entre o número de homens e o número de mulheres:
• no setor Y, que tem 14 homens e 18 mulheres, é , pois
• no setor Z, que tem 12 homens e 16 mulheres, é , pois
Observe que a razão entre o número de homens e o de mulheres é o mesmo no setor X e no setor Z. Em casos como esse, as duas razões formam uma proporção .
FIQUE ATENTO
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Quando temos uma igualdade entre duas razões, formamos uma proporção.
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Entendendo a proporção
A proporcionalidadeestá presente no dia a dia de muitas pessoas. Não só aparece na ampliação e na redução de fotos, como vimos na imagem no início deste tema, mas também nas mais diversas atividades, tais como: a análise da planta de uma casa, o desenho de um mapa, a interpretação de um gráfico, a dosagem de um remédio, a leitura de uma receita, entre muitas outras. Nessas situações, a noção de razão é fundamental para o desenvolvimento da ideia de proporcionalidade e dos cálculos nela presentes.
Utilizando o exemplo anterior, indicamos a proporção da seguinte maneira: e lemos “15 está para 20 assim como 12 está para 16”. De modo geral, podemos escrever:
Se duas razões são iguais, elas formam uma proporção.
Assim, se a razão entre os números a e b é igual à razão entre os números c e d, dizemos que a razão é uma proporção.
Assim, temos que a leitura da proporção é: a está para b assim como c está para d.
O primeiro e o último termos citados na leitura são os extremos da proporção (a e d). Os outros dois termos são os meios da proporção (b e c).
Para facilitar alguns cálculos que envolvem proporção em situações-problema, é preciso aprender a propriedade da proporção. 
Aprendendo a propriedade fundamental da proporção
Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. Veja simbolicamente:
--->
Ainda existem outras propriedades das proporções. Vamos conhecê-las?
• Adição entre seus termos:
• Subtração entre seus termos:
No exemplo dado no início deste material, verificamos que uma empresa possui setores X, Y e Z contendo quantidades distintas de homens e mulheres. Nas razões especiais, estudamos a relação entre comprimento, tempo e área. Estas quantidades representam grandezas.
Fechamento
Nesta aula você aprendeu que razão é o quociente de a:b, com b diferente pode ser indicada por ou qualquer outra forma equivalente Você estudou também que, se duas razões são iguais, elas foram uma proporção. Assim, se a razão entre os números a e b for igual à razão entre os números c e d, dizemos que é uma proporção.
Proporção foi o segundo assunto que abordamos neste tema, afirmando que em toda proporção direta o produto dos meios é igual ao produto dos extremos – propriedade fundamental das proporções.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Compreender os conceitos de razão e proporção matematicamente;
• Resolver razão e proporção em situações-problema.
Referências
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
SOUZA, P. de S. Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.
12 - Razão e Proporção – Grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Introdução
Nessa aula, estudaremos as grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Vamos também aprender a identificá-las e como aplicá-las e resolvê-las em problemas.
Entendendo grandezas diretamente e inversamente proporcionais
Grandezas diretamente proporcionais
Observe a seguinte situação:
•Marcos, conversando com sua mãe, perguntou o seguinte:
“Quando a gente compra café, o preço depende da quantidade comprada?”
Repare no quadro a seguir o que acontece com o preço do café em relação à quantidade comprada:
 Figura 1 - Tabela 1 – tabela de preço x quantidade de café
Fonte: Marques (2014)
Se comprarmos 1 quilo de café, pagamos 4 reais; se comprarmos metade da quantidade, ½ quilo, pagamos 2 reais, a metade do primeiro preço. E se comprarmos o dobro de café, 2 quilos, o preço também dobra (2 x 4), ficando 8 reais. Assim, podemos concluir que peso e preço são, então, grandezas que variam de modo proporcional. É fácil perceber que quanto maior a quantidade de café comprada maior é o preço pago por ele.
Grandezas que apresentam esse tipo de comportamento são diretamente proporcionais. Desta forma, podemos concluir:
Quando o valor de uma grandeza dobra, triplica ou fica metade, o valor de outra grandeza também dobra, triplica ou fica a metade, e assim por diante. Dizemos, então, que as duas grandezas envolvidas nessa situação são diretamente proporcionais ou apenas que são proporcionais.
SAIBA MAIS
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• Duas grandezas são diretamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma corresponde ao aumento (ou diminuição) da outra na mesma razão;
• Quando duas grandezas A e B são diretamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na mesma razão.
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No exemplo dado, conforme afirmamos, as grandezas são diretamente proporcionais, assim as razões entre preço e quantidade de café formam a seguinte proporção: . Simplificando cada uma dessas razões, temos: , e Perceba que todas obtiveram como resultado da simplificação. Logo, a razão de proporcionalidade =
Mas e quando as grandezas variam de modo inverso? 
Grandezas inversamente proporcionais
Para estudar as grandezas, observe a seguinte situação:
• Inês gosta muito de ler. Se ela consegue ler 8 páginas de determinado livro por hora, ela lerá este livro em 12 horas. Entretanto, ela resolveu ser mais rápida na leitura e conseguiu ler 16 páginas por hora levando 6 horas para terminar de ler o mesmo livro.
Perceba que ao aumentar a quantidade de páginas lidas em uma hora, o tempo que Inês levou para ler o livro diminuiu. Por quê? Neste caso, quando a grandeza (número de páginas) aumenta o dobro (8 páginas para 16 páginas) a outra (tempo) diminui pela metade (12 horas para 6 horas).
Vamos complicar um pouco mais?
• Mara, Raphael e Luiza fizerem um mesmo percurso de três formas diferentes: de bicicleta, de calhambeque e de carro veloz. Mara, de bicicleta, fez esse percurso com uma velocidade média de 15 km/h e gastou 120 minutos (2h). Em seu Calhambeque, Raphael fez o mesmo percurso com uma velocidade média de 30 km/h e gastou 60 minutos (1h). Já a Luiza, em seu carro novo, andou a uma velocidade média de 90 km/h e gastou 20 minutos.
Observe que quem gastou mais tempo foi Mara, em seu veículo de velocidade menor. Além disso, pode-se perceber que a velocidade e o tempo não são grandezas diretamente proporcionais, pois a velocidade dobrou (15 para 30) e o tempo não dobrou (120 para 60).
Agora, vamos analisar o quadro a seguir, com os valores dessa situação envolvendo duas grandezas: velocidade (em km/h) e tempo (em min).
 Figura 2 - Tabela 2 – Tabela velocidade x tempo de um mesmo percurso
Note que na primeira coluna da tabela, quando a velocidade dobra (15 para 30) o tempo, representado na segunda coluna, se reduz pela metade (120 para 60). Depois, a velocidade de 30 km/h passa para 90 km/h, ou seja, a velocidade triplicou. E o tempo? Nesse caso o tempo reduziu a terça parte (60 para 20). Assim, dobrando a velocidade, o tempo reduz-se à metade. Multiplicando a velocidade por 3, o tempo fica dividido por 3.
Multiplicando a velocidade por 6, o tempo fica dividido por 6.
Grandezas que se relacionam desse modo são inversamente proporcionais. Essa é uma situação de proporcionalidade inversa. Dizemos que velocidade e tempo são grandezas inversamente proporcionais.
Desta forma, podemos concluir que:
• Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma corresponde a uma diminuição (ou aumento) da outra, na razão inversa;
• Quando duas grandezas A e B são inversamente proporcionais, os números que expressam essas grandezas variam na razão inversa, ou seja, existe uma constante k tal que: .
Na situação apresentada no início desta seção (leitura do livro), para encontrar o coeficiente de
proporcionalidade, devemos multiplicar os valores das grandezas que se correspondem, ou seja, o produto entre 8 e 12, 16 e 6 vai ser o mesmo. Confira: 8 x 12 = 96; 16 x 6 = 96. Logo, k = 96.
Vamos utilizar o mesmo raciocíniono exemplo do percurso percorrido por Mara, Raphael e Luiza para encontrar o coeficiente de proporcionalidade. Assim, basta multiplicar os valores das grandezas correspondentes. O produto vai ser sempre o mesmo. Veja: 15 x 120 = 1800; 30 x 60 = 1800 e 90 x 20 = 1800. Logo, k = 1800.
Dividir é uma tarefa quase sempre não muito agradável para a maioria das pessoas. Contudo, no próximo tópico, você aprenderá uma divisão muito interessante que pode ser aplicada em diversas situações. 
Dividindo números proporcionalmente
Agora, vamos estudar a divisão proporcional de números. Veja a seguinte situação.
• Inês e Monica receberam uma herança no valor de R$4.000.000,00 de uma tia milionária, que estabeleceu que a divisão fosse feita de forma diretamente proporcional às idades das sobrinhas na época de seu falecimento. Sabendo que Inês e Monica tinham, respectivamente, 19 e 21 anos, determine a quantia que cada uma recebeu de herança.
Para resolver o problema apresentado, precisamos entender como dividir números em partes proporcionais.
Vamos iniciar escrevendo uma proporção em que as partes procuradas, x e y, devem ser diretamente proporcionais à idade de cada sobrinha, ou seja, x e y devem ser diretamente proporcionais a 19 e 21. Deste modo, começamos dividindo a herança de R$4.000.000,00 em partes diretamente proporcionais a 19 e 21.
Agora vamos escrever a proporção: e encontrar os valores de x e y. Veja:
• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos x = 1.900.000
• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos y = 2.100.000
Portanto, Inês recebeu R$1.900.000,00 de herança e Monica recebeu R$2.100.000,00 de herança.
FIQUE ATENTO
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As quantias investidas são diretamente proporcionais às partes no lucro ou no prejuízo.
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Em seguida, analisaremos outra situação para entendermos melhor o assunto. Veja.
• Três irmãos, Raphael, Renan e Magda, resolveram fazer uma sociedade abrindo uma empresa de calçados. Cada um entrou com os respectivos capitais: R$35.000, R$10.000,00 e R$30.000,00. Após um ano de sociedade, esta empresa obteve um lucro de R$15.000,00. Calcule o valor que cada irmão recebeu de lucro.
Vamos começar dividindo o lucro de R$15.000,00 em partes diretamente proporcionais a R$35.000,00, R$10.000,00 e R$30.000,00. Para facilitar, vamos usar a forma simplificada de escrever esses valores. Veja: 15, 35, 10 e 30 mil.
Agora podemos escrever a proporção: e encontrar os valores de x, y e z. Veja:
• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos x = 7
• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos y = 2
• , aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos z = 6
Portanto, Raphael ficou com 7 mil reais do lucro, Renan ficou com 2 mil reais do lucro e Magda ficou com 6 mil reais do lucro.
Problemas como os apresentados anteriormente fazem parte do nosso cotidiano e muitas vezes temos dúvidas ou simplesmente não sabemos como resolvê-los. A Matemática nos ajuda em quase tudo na vida. Por isso é tão importante estudar os conceitos apresentados para que você seja capaz de utilizar os conhecimentos adquiridos nas mais variadas situações. Desde as mais simples, como dividir proporcionalmente certas quantidades de prêmios em escolas, empresas, festas, como as mais sofisticadas, como lucro ou prejuízo em sociedades ou divisão de bens.
Fechamento
Nesta aula estudamos as grandeza. Aprendemos que duas grandezas são diretamente proporcionais quando o valor de uma grandeza dobra, triplica ou fica a metade e o valor de outra grandeza também dobra, triplica ou fica a metade, e assim por diante. E são inversamente proporcionais quando o aumento (ou diminuição) de uma corresponde uma diminuição (ou aumento) da outra, na razão inversa.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Resolver questões de grandezas diretamente proporcionais em situações-problema.
• Resolver questões de grandezas inversamente proporcionais em situações-problema.
Referências
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
SOUZA, P. de S. Matemática Financeira no Ensino Básico no Município de Montanha. Dissertação de Mestrado. Universidade Federal do Espírito Santo, São Mateus, 2011.
13 - Regra de três simples
Introdução
Na Matemática, utilizamos algumas técnicas ou processos que facilitam a resolução de problemas. Nessa aula vamos aprender a resolver problemas que envolvem proporcionalidade entre grandezas utilizando o recurso chamado regra de três.
Entendendo regra de três simples
Para resolver um problema que envolve proporcionalidade utilizando regra de três, vamos começar analisando a seguinte situação:
•Em três minutos, uma torneira despeja 4 litros de água em um tanque. Se o tanque leva 5 horas para ficar cheio, qual é a capacidade desse tanque?
Vamos resolver a questão descrita de duas formas.
1ª) Montamos uma proporção e descobrimos o valor desconhecido, chamado de x, utilizando a propriedade fundamental da proporção. Veja que as grandezas envolvidas são tempo (minuto) e capacidade (litro).
FIQUE ATENTO
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É preciso colocar as grandezas na mesma unidade.
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Assim, vamos transformar 5 horas em minutos. Como 1 hora = 60 minutos, temos que 5 horas = 300 minutos.
Quanto mais tempo, mais volume de água despejada no tanque, logo, as grandezas tempo e capacidade são grandezas diretamente proporcionais, e as razões e são razões equivalentes. Assim, podemos escrever a seguinte proporção:
Tempo (min) Capacidade (l)
Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:
Logo, 400 é a solução da proporção apresentada anteriormente e a solução da situação-problema. Portanto, a capacidade do tanque é de 400 litros.
2ª) Em nossa segunda resolução, podemos construir uma tabela em que as grandezas de mesma espécie são dispostas em colunas e as grandezas de espécies diferentes são mantidas na mesma linha. Depois, é só montar a proporção e resolver a equação encontrada. 
 Figura 1 - Tabela 1 – Relação entre tempo e capacidade
3x = 4.300 3x = 1200 x = 1200 : 3 x = 400
Repare que encontramos a mesma proporção apresentada anteriormente. O resultado é o mesmo, certo? x = 400, ou seja, a capacidade do tanque é de 400 litros.
Como as relações entre grandezas podem ser diretamente ou inversamente proporcionais, vamos estudar como aplicar a regra de três nesses dois casos. Confira!
Aplicando regra de três simples em situações que envolvam grandezas diretamente proporcionais
• Uma empreiteira utiliza canos de ferro com 6 metros de comprimento e peso igual a 10kg. Sabendo que a empreiteira precisa aumentar o comprimento desses canos para um trabalho específico, vamos ajudá-la a calcular qual o peso que esse mesmo tipo de cano de ferro deveria ter se tivesse 9 metros de comprimento.
Veja que esta é uma situação de proporcionalidade direta, já que, dobrando o comprimento do cano, o peso dobra, triplicando o comprimento, o peso triplica e assim por diante.
Agora vamos utilizar o método da construção de uma tabela e, a partir dela, escrever uma proporção que permite o cálculo do valor procurado.
 Figura 2 - Tabela 2 – Relação entre comprimento e peso
Para montar a proporção, analisamos a relação entre as grandezas e colocamos uma seta ao lado de cada coluna.
Como as grandezas são diretamente proporcionais, as setas ficam no mesmo sentido, mostrando como a proporção deve ser montada. Veja: (no sentido da seta). Assim, aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos a equação: . Desse modo, para canos de ferro do mesmo tipo, com 9 metros de comprimento, o peso seráde 15kg.
FIQUE ATENTO
______________________________________________________________________________Ao resolver problemas que utilizam regra de três simples, usamos setas no mesmo sentido quando as grandezas forem diretamente proporcionais para informar como a proporção deve ser apresentada.
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A seguir, estudaremos casos em que utilizamos a regra de três simples na resolução de problemas que envolvam grandezas inversamente proporcionais. 
Aplicando regra de três simples em situações que envolvam grandezas inversamente proporcionais
Veja o exemplo a seguir:
• Renan precisa, para sua festa, de 7 litros de refrigerante. Se comprar latas de refrigerante de 350 ml, ele vai precisar de 20 latas para sua festa. Quantas latas Renan deve comprar se escolher latas de 500 ml?
Observe a tabela que traduz a situação descrita.
 Figura 3 - Tabela 3 – Relação entre capacidade e número de latas de refrigerante
As grandezas envolvidas, capacidade (ml) e quantidade de latas são inversamente proporcionais, já que, aumentando a capacidade de cada lata, diminuímos a quantidade de latas de refrigerante que é preciso comprar.
Para poder montar essa proporção, devemos nos lembrar de analisar o sentido das setas, que, nesse caso, ficam em sentidos opostos. Assim, temos a seguinte proporção: . Lembra como resolvemos? Basta usar a propriedade fundamental da proporção, não é mesmo? Dessa forma, encontramos a equação:
Resolvendo então, temos:
Portanto, se Renan escolher latas de 500 ml, deverá comprar 14 latas de refrigerante.
Internet
Se comprar latinhas de refrigerante de 350ml Renato vai precisar de 20 latinhas para sua festa. Quantas latinhas ele deve comprar se escolher latinhas de 500ml e quiser manter o mesmo número de litros
350 × 20 = 7000
Então ele necessita de 7 litros ( 7000 ml ).
7000 ÷ 500 = 14
Se deseja manter a quantidade precisará de 14 latinhas de 500ml.
Que tal treinar um pouco mais resolvendo os exercícios a seguir?
1) Um grupo de funcionários, trabalhando 8 horas por dia, concluiu uma determinada tarefa em 20 dias. Qual o tempo que esse grupo de funcionários levará se a jornada de trabalho passar para 5 horas diárias? 
Internet
uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o numero de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?
Grandezas inversamente proporcionais: ( Regra de Três Simples)
8/5 = x/20
5x=160
x=160/5
x= 32  dias
Nota-se que se diminuir o tempo, irá aumentar os dias, trata-se de uma regra de três inversamente proporcional.
horas          dias
 8                20.
 5                x
-                  +   
5x=20.8
x=160/5
x=32 dias
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2) Marília leva 48 minutos com seu carro, a uma velocidade de 80 km/h, para ir da cidade X para a cidade Y. Quanto tempo ela levaria para traçar o mesmo percurso, se mantivesse uma velocidade de 60 km/h? 
Internet
Para fazer um certo percurso à velocidade de 80 km/h, um automóvel leva 20 min. Quanto tempo levará para fazer o mesmo percurso à velocidade de 100 km/h
É só fazer uma regra de três simples:
80km/h ---------- 20 min
100km/h --------- x
Note que conforme a velocidade aumenta, o tempo diminui. Porque trata-se de uma relação de velocidade e tempo. Portanto, são inversamente proporcionais. 
Então podemos multiplicar 80 por 20 e 100 por x. Observe:
100x = 80×20
100x = 1600
x = 1600 / 100
x = 16 minutos. 
Resposta: 16 minutos
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3) Uma costureira utiliza 24 metros de tecido para fazer 16 calças. Quantos metros ela gastaria se fosse costurar 10 calças? 
Internet
Para fazer 16 calças gastamos 24 metros de tecido quando gastamos pra fazer 10 calças ?
É só fazer uma regra de três.
16 está para 24 assim como 
10 está para x.
(multiplica cruzado)
---------------
16x = 10 x 24
16x = 240
x = 240/16
x = 15 metros de tecido
Se uma costureira faz 16 calças com 24 metros de tecido quantos metros ela usa para fazer 20 calças?
24m para 16 calças, ela usa 1,5 para cada calça, aí é só multiplicar 1,5×20=30, ela usa 30 m de tecido pra fazer 20 calças! Espero ter ajudado!!
podemos resolver assim:
dividimos quanto ela gasta pelo número de calças que ela fez ou seja 24÷16=1,5. sabemos então que ela gasta 1,5m de tecido por calça para saber de 20 calças é só multiplicar 1,5 por 20 que da 30. então ela gasta 30m
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4) Determine quanto tempo uma torneira leva para encher um reservatório com capacidade máxima de 18 litros, se ela despeja em 8 minutos 25 litros de água?
Internet
Uma torneira despeja 25 litros de agua em 5 min. Quanto tempo levará para encher um tanque de 360 litros?
360litros/25litros=14,4
14,4*5=72minutos.
25 litros    -----------  5 min
360 litros  ----------- x min
25x = 1800
x = 1800/25
x = 72
Resposta: 72 minutos.
Regra de três , uma torneira despeja 20 litros de água em 8 minutos . quanto tempo esta torneira levará para encher um reservatório de 15 litros ??
20/8=15/x
20x=120
x=120/20
x=6 minutos
20 L ----------- 8 minutos
15 L ----------- x minutos
20 x = 15 * 8
20 x = 120
x = 
x = 6 minutos
Fechamento
Neste aula estudamos que, para calcular usando a regra de três simples, podemos montar uma proporção ou elaborar uma tabela e analisar as grandezas. Em ambos os casos, é preciso montar a proporção, aplicando sua propriedade fundamental, para encontrar uma equação e resolvê-la. Vimos também que n as situações em que as grandezas são diretamente proporcionais, basta montar uma tabela, escrever setas ao lado de cada coluna no mesmo sentido e montar a proporção, mantendo o sentido dessas setas. Depois, é só resolver a proporção encontrada. E, nas situações em que as grandezas são inversamente proporcionais, basta montar uma tabela, escrever setas ao lado de cada coluna no sentido oposto e montar a proporção, mantendo o sentido dessas setas.
Depois, é só resolver a proporção encontrada.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Resolver exercícios que envolvam proporções diretamente e inversamente proporcionais
Referências
CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa. 3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SPINELLI, W.; SOUZA, M. H. Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora Ática, 2001.
14 - Regra de três composta
Introdução
A regra de três pode ser simples ou composta. Quando há a presença de duas ou mais grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, utilizamos a regra de três composta. Esse é o tema desta aula.
Entendendo regra de três composta
Os problemas em que utilizamos a regra de três composta na sua solução devem envolver mais de duas grandezas dos mais variados tipos, desde que tomadas duas a duas e sejam diretamente ou inversamente proporcionais. Vamos analisar o problema a seguir para compreender melhor.
• Na empresa de Pedro, decidiu-se fazer uma reforma. Alguns setores serão pintados e, para isso, sua equipe precisa calcular a quantidade de latas de tinta que deverão ser compradas. Sabendo que, para pintar o setor de recursos humanos, que possui uma parede com 12 metros de comprimento e 3 metros de altura, serão gastas 4 latas de tinta, quantas latas deverão ser compradas para pintar o setor de vendas, em que a parede mede 18 metros de comprimento com 5 metros de altura?
Primeiro, vamos montar uma tabela da mesma forma da regra de três simples: colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondam.Figura 1 - Tabela 1 – Relação entre a quantidade de latas de tinta, comprimento e altura
Agora, vamos analisar se a grandeza do termo desconhecido (x) é diretamente ou inversamente proporcional às demais grandezas, considerando que a grandeza não envolvida é constante. Primeiro, colocamos setas para cima ou para baixo. A primeira seta, para baixo, fica na coluna que tem o valor desconhecido x. Veja:
 Figura 2 - Tabela 2 – Análise das grandezas
1) As grandezas quantidade de tinta e comprimento da parede são diretamente proporcionais, uma vez que, quanto maior for o comprimento da parede, mais tinta será gasta para pintá-la. Logo, a seta será para baixo também; 2) As grandezas quantidade de tinta e altura da parede são diretamente proporcionais, uma vez que, quanto maior for a altura da parede, mais tinta será gasta para pintá-la. Seta para baixo; 3) Observe que as grandezas analisadas (comprimento e altura) são diretamente proporcionais à grandeza quantidade de tinta (grandeza com o termo desconhecido).
Para montar a proporção a partir da tabela dada, devemos escrever a razão que contém o termo desconhecido (x) e igualar com o produto das outras duas razões de acordo com o sentido das setas. Veja:
Assim, podemos aplicar a propriedade fundamental da proporção. Observe:
Portanto, deverão ser compradas 10 latas de tintas.
Agora vamos resolver outro exemplo:
• Em uma determinada obra, 2 pedreiros levam 9 dias para levantar uma parede de 2 metros de altura. Calcule o tempo que seria necessário para levantar uma parede com 4 metros de altura se tivéssemos 3 pedreiros trabalhando.
 Figura 3 - Tabela 3 – Relação entre tempo e quantidade de pedreiros
Analisando o comportamento das grandezas:
Se diminuirmos a quantidade de pedreiros, o tempo gasto para construir essa parede aumenta. Logo, as grandezas pedreiros e tempo são inversamente proporcionais. Se aumentarmos o tempo gasto, a altura da parede também aumenta, logo, tempo e altura são diretamente proporcionais.
Assim:
Aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:
Portanto, 3 pedreiros levarão 12 dias para levantar uma parede com 4 metros.
FIQUE ATENTO
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Ao resolver problemas que utilizam regra de três composta, analisamos as grandezas sempre tomando duas a duas. Depois, utilizamos o mesmo recurso da regra de três simples. Se as grandezas forem diretamente proporcionais, as setas ficam no mesmo sentido. Se as grandezas forem inversamente proporcionais, as setas ficam em sentidos opostos, mostrando, assim, como as proporções devem ser apresentadas.
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A regra de três é muito utilizada em diversas situações, como puderam constatar. É mais um recurso que a Matemática disponibiliza na resolução de situações-problema. Cabe a você, aluno, escolher qual deles irá usar no dia a dia.
Resolva os exercícios e verifique se compreendeu o conteúdo estudado.
1) Em uma determinada obra, o caminhão de Antônio carregava areia e estava com sua capacidade máxima. Se, em 9 horas, 15 caminhões iguais ao de Antônio descarregam 180m3 de areia, quantos caminhões serão necessários para descarregar 120m3 em 4 horas? 
Internet
Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m³ de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m³?
Caminhão / Horas / m³ de areia
      20           8         160
       x            5         125
Comparando:
MENOS horas, MAIS caminhão --->inversas---> 5/8
MENOS areia, MENOS caminhão-->diretas----> 160/125=32/25
20/x = 5/8 . 32/25
20/x = 160/200 (simplificando)
20/x = 4/5 
4x = 100 ---> x= 25 caminhões
Leia mais em Brainly.com.br - https://brainly.com.br/tarefa/503532#readmore
1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
	Horas
	Caminhões
	Volume
	8
	20
	160
	5
	x
	125
Identificação dos tipos de relação:
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que, aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto, a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
	
	
Logo, serão necessários 25 caminhões.
2) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
Solução: montando a tabela:
	Homens
	Carrinhos
	Dias
	8
	20
	5
	4
	x
	16
Observe que, aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).
Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, serão montados 32 carrinhos.
3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?
Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostrado abaixo:
Montando a proporção e resolvendo a equação, temos:
Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.
Exercícios complementares
Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:
1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? 
3t  1pc  10h
10t  2pc  xh
10/x = 1/2 * 10/3
1*10*x = 10*2*3, corta o 10 nos dois lados, fica:
x = 2*3
x = 6 horas
   
Resposta: 6 horas.
 Torneiras                          Piscinas                 Horas
      3                                       1                          10
    10                                       2                           x
================================================
Comparando as torneiras com as piscinas.
Mais torneiras menos horas (Inversamente proporcional)
Mais piscinas mais horas (Diretamente proporcional)
===============================================
10      1      10
----  . ---- = ----
 3       2       x
========================
10     10
---- = ----
 6       x
===============
10x = 60
   x = 60/10
   x = 6 horas
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Exercício envolvendo regra de três.
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 3 Torneiras ⇨  1 Piscina ⇨ 10 Horas
10 Torneiras ⇨ 2 Piscinas ⇨ x Horas
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Analisando as grandezas :
Se 3 torneiras enchem em 10 horas , 10 torneiras encherão em menos tempo , pois quanto mais torneiras tiver , menos tempo gastará para encher, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
Se 1 piscina enche em 10 horas , 2 piscinas logicamente precisará de mais tempo para serem enchidas  , portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
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10/x = 10/3 * 1/2
10/x = 10/6
10 * x = 10 * 6
10x = 60
x = 60/10
x = 6
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
Portanto, 10 torneiras encherão 2 piscinas em 6 horas.
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
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2) uma equipe composta de 15 homens extrai em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?
15h 30d 3,6t
20h  xd  5,6t
30/x = 3,6/5,6 * 20/15
3,6*20*x = 30*5,6*15
72x = 2520
x = 2520/72
x = 35 dias
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2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão?   Resposta: 35 dias.
HOMENS |  DIAS |  TONELADAS DE CARVÃO
   15         |  30     |      3,6
    20        |  x       |      5,6
Se eu aumento o número de dias, eu aumento as toneladas de carvão. (mesmo sentido da fração)
se eu aumento o número de dias, eu diminuo a quantidade de homens trabalhando.(inverte o sentido da fração) 
 
= .  
= 
72x = 2520
x = 
x = 35 dias
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Exercício envolvendo regra de três.
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15 Homens ⇨  30 Dias ⇨ 3,6 Toneladas
20 Homens ⇨  x  Dias ⇨ 5,6 Toneladas
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Analisando as grandezas :
Se 15 homens extraem em 30 dias , 20 homens extrairão em menos dias , pois quanto maior for o número de homens ,menor será o número de dias, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
Se em 30 dias é extraído 3,6 toneladas , para extrair 5,6 toneladas precisará de mais dias , pois quanto mais carvão for extraído , mais dias precisará , portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
30/x = 20/15 * 3,6/5,6
30/x = 72/84
72 * x = 84 * 30
72x = 2520
x = 2520/72
x = 35
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
Portanto , 20 homens conseguirão extrair 5,6 toneladas em 35 dias.
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1- precisa-se saber quantas toneladas 20 homens conseguem extrair em 30 dias pela regra de 3:
15 homens = 3,6 toneladas
20 homens = x toneladas
15x = 20 . 3,6
15x = 72
 x = 72/15
 x = 4,8
 2- Agora vamos ver em quantos dias eles conseguem extrair 5,6 toneladas de carvão:
 30 dias = 4,8 toneladas
x    dias = 5,6 toneladas
4,8x = 30 . 5,6
4,8x = 168
x = 168/4,8
x = 35
RESOLUÇÃO: 20 homens conseguem extrair em 35 dias 5,6 toneladas de carvão
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Resolução:
Regra de três composta:
Homens x dias  →  ton carvão
15 . 30  →  3,6
20 . X   →  5,6
3,6 . 20. X = 15 . 30 . 5,6
X = 2520 / 72
X = 35 
Resposta: Para extrair 5,6 toneladas de carvão com 20 homens serão necessários 35 dias.
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3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?    
Resposta: 15 dias.
3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m?
20 operários -- 8h/d -- 18 dias -- 300 metros 
16 operários    -- 9h/d -- * dias --- 225 metros... 
Relacione as colunas: 
1ª Quanto mais operários menos dias serão necessários ===> grandezas INVERSAMENTE proporcionais.
2ª Quanto mais horas por dia menos dias serão necessários ===> grandezas INVERSAMENTE proporcionais.... 
3ª Quanto mais metros serão construídos  mais  dias serão necessários , grandezas DIRETAMENTE proporcionais... 
Fica assim então:
16op -- 9h/d -- 18 dias -- 300m 
20op -- 8h/d -- x dias ---- 225m 
x/18 = 20/16* 8/9 * 225/300
x = 20 * 8 * 225 * 18 / 16 * 9 * 300 
x = 648.000/43.200 
x = 15 dias
eles demorariam 15 dias
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operários         horas           dias           m
20                       8                   18            300
16                        9                     x             225
x=18.225.8.20 \ 300.9.16
x=64000 \  43200
x=15
Exercício envolvendo regra de três.
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20 Operários ⇨ 8 Horas ⇨ 18 Dias ⇨ 300 Metros
 16 Operários ⇨ 9 Horas ⇨ x Dias ⇨ 225 Metros
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Analisando as grandezas :
Se 300 metros de muro é feito em 18 dias , para se fazer 225 metros , levará menos tempo, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
Se trabalhando 8 horas por dia , o muro é feito em 18 dias , trabalhando 9 horas por dia o muro será construído mais rápido , portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
Se 20 operários fazem o muro em 18 dias , 16 operários precisarão de mais tempo para fazer , portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
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18/x = 300/225 * 9/8 * 16/20
18/x = 2700/1800 * 16/20
18/x = 43200/36000
43200 * x = 18 * 36000
43200x = 648000
x = 648000/43200
x = 15
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Portanto , 16 operários , trabalhando 9 horas por dia , constroem um muro de 225 metros em 15 dias.
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4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h?    
Resposta: 10 horas por dia.
0 dias -    8 h      -  50 km/h
20 dias -     x        -  60 km/h
   (I)                            (I)
8/x = 20/30 * 60/50
8/x = 12/15
12x = 120
x = 120/12
x = 10 horas por dia.
(vamos adotar que esse um mês equivale a trinta dias) 
Dias       horas      velocidade média 
 30            8                      50 km/h
 20            x                      60 km/h
Inicialmente precisamos repassar a coluna com a incógnita para o começo, os demais valores serão invertidos porque eles são inversamente proporcionais, ou seja, os dias diminuirão e consequentemente as horas vão aumentar, pois levará mais tempo para fazer o mesmo serviço.  A mesma regra com a velocidade, ela aumentou e as horas vão diminuir. 
 
8/ x= 20/30 X 60/50 
8/x= 1200/1500 
1200x= 12.000
x= 12.000/1200
x= 10 horas 
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Exercício envolvendo regra de três .
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Sabemos que 1 mês é 30 dias .
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30 Dias ⇨ 8 Horas/Dia ⇨ 50Km/Hora
20 Dias ⇨ x Horas/Dia ⇨ 60Km/Hora
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Analisando as grandezas :
Se viajando 8 horas por dia ele entrega em 30 dias , para entregar em 20 dias ele terá que viajar por mais horas por dia , portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
Se ele percorrendo a 50 km/h  consegue viajar 8 horas por dia , se ele percorrer a 60km/h irá precisar viajar por menos tempo, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
8/x = 20/30 * 60/50
8/x = 1200/1500
1200 * x = 1500 * 8
1200x = 14400
x = 12000/1200
x = 10
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
Portanto a uma velocidade média de 60 km/h ele viajará 10 horas por dia durante 20 dias.
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃Leia mais em Brainly.com.br - https://brainly.com.br/tarefa/272905#readmore
5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos?    
Resposta: 2025 metros.
tamanho           largura            tempo
 5400m              90cm              50min
    x                    120                 25min
*se a largura aumenta o tamanho diminui, logo é tamanho e largura são inversamente proporcional.
5400/x = 90/120     
(em caso de inversamente a multiplicação é numerador com numerador e denominador com denominador, ficando )
120x = 5400 . 90
     x = 3. 1350
     x = 4050 ( esse valor é em 50min de produção, como é só 25 min, divide-se por 2 ficando 2025)
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Seriam produzidos 2025 metros de tecidos com 120 cm de largura em 25 minutos.
Explicação passo-a-passo:
produção (m) | largura | tempo
5400               |  90cm   |  50 min
   X                   | 120cm   |  25min
Agora verificar a proporcionalidade das grandezas em relação à coluna que tem o valor desconhecido (X):
A largura da fita é inversamente proporcional à quantidade produzida, pois se eu aumentar a largura, a quantidade produzida diminui. Então eu coloco 120 em cima do 90.
O tempo é diretamente proporcional pois se diminuir o tempo, a quantidade produzida também diminuirá. Nesse caso, a grandeza permanece na mesma ordem. 50/25.
5400  = 120. 50
   X         90.25
5400 = 6000    
   X        2250 
agora é só utilizar regra de 3.
6000X = 12.150.000
X = 12.150.000/6000
X = 2.025 
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tamanho           largura            tempo
 5400m              90cm              50min
    x                    120                 25min
*se a largura aumenta o tamanho diminui, logo é tamanho e largura são inversamente proporcional.
5400/x = 90/120     
(em caso de inversamente a multiplicação é numerador com numerador e denominador com denominador, ficando )
120x = 5400 . 90
     x = 3. 1350
     x = 4050 ( esse valor é em 50min de produção, como é só 25 min, divide-se por 2 ficando 2025)
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Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Exercício envolvendo regra de três.
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8 Horas ⇨ 20 Caminhões ⇨ 160 metros cúbicos
5 Horas ⇨  x  Caminhões ⇨ 125 metros cúbicos
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
Analisando as grandezas :
Se 20 caminhões fazem em 8 horas, para se fazer em 5 horas, precisará de mais caminhões, pois se quer fazer em menos tempo, terá que ter mais caminhões trabalhando, portanto as grandezas são inversamente proporcionais.
Se 20 caminhões descarregam 160 metros cúbicos de areia, para descarregar 125 metros cúbicos, precisará de menos caminhões, pois quanto menor for a quantidade de areia, menor será a quantidade de caminhões necessários, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
20/x = 5/8 * 160/125
20/x = 800/1000
800 * x = 20 * 1000
800x = 20000
x = 20000/800
x = 25
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
Portanto , será necessário 25 caminhões , para descarregar 125 metros cúbicos de areia em 5 horas.
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
Espero ter ajudado!
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Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
        Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:
	Horas
	Caminhões
	Volume
	8
	20
	160
	5
	x
	125
        Identificação dos tipos de relação:        Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).
        A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x.
        Observe que:
        Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).
        Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.
Montando a proporção e resolvendo a equação temos:
	
	
2) Marcos possui uma fábrica de skates. Sabendo-se que 10 empregados montam 30 skates em 5 dias, determine quantos skates podem ser montados em 15 dias por 5 homens. 
Internet
Em uma fábrica de skate sobraram 275 rodas de uma produção realizada no mês anterior .Quantos skates igual ao da imagem podem ser montados por essa quantidade de rodas?
Tem uma imagem de um skate de 4 rodas
275 : 4 RODAS  = 68 SKATES
E SOBRAM  3 RODAS  *** RESPOSTA
3) Em uma fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias? 
Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montaram 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?
REGRA DE TRÊS SIMPLES
homens carrinhos   dias
   8             20            5
   4              x            16
 
 VERIFICAR  se  (DP) e (IP)
DP Diretamente Proporcional
AUMENTA um AUMENTA outro
DIMINUI um DIMINUI outro
IP = Indiretamente Proporcional
DIMINUI um AUMENTA outro
AUMENTA um DIMINUI outro
entre
homens e carrinhos
    8               20
    4                x  (DIMINUI homem DIMINUI carrinho) fique assim(DP)
entre 
carrinhos  e dias
     20             5
      x              16 AUMENTOU dias AUMENTA carrinho (fique assim) DP
NADA MUDA
homens carrinhos   dias
   8             20            5
   4              x            16
8     5      20
--x---- = ------
4    16      x
8x5        20
------- = ------
4x16      x
40       20
---- = ------  ( SÓ curzar)
64        x
40(x) = 20(64)
40x =1.280
x = 1.280/40
x =  32  ( carrinhos)
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Exercício envolvendo regra de três.
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
8 Homens ⇨ 20 Carrinhos ⇨ 5 Dias
4 Homens ⇨  x  Carrinhos ⇨ 16 Dias
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
Analisando as grandezas :
Se 8 homens montam 20 carrinhos, 4 homens montarão menos carrinhos, pois quanto menor for o número de homens, menor será a quantidade de carrinhos montados, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
Se 20 carrinhos são montados em 5 dias, em 16 dias serão montados mais carrinhos, pois quanto maior for a quantidade de dias, maior será a quantidade de carrinhos, portanto as grandezas são diretamente proporcionais.
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
20/x = 8/4 * 5/16
20/x = 40/64
40 * x = 64 * 20
40x = 1280
x = 1280/40
x = 32
▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃▃
Portanto , serão montados 32 carrinhos por 4 homens em 16 dias.
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Primeiramente vamos calcular para vermos quanto apenas um homem produz por dia.
8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias .
então:
20/5(carrinho dividido pela quantidade de dias levados para ficarem prontos) = 4 carinhos montados por dia.
4/8 (carrinhos dividido pela quantidade de pessoas)= 0,5 carinho montado por dia por uma unica pessoa.
então podemos chegar a conclusão de que 1 homem monta 1 carinho a cada dois dias. 
quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias ?
Vamos lá: 
1 homem monta 2 carinhos a cada 2 dias então, nesses 16 dias umhomem montará 8 carinhos, pois:
16/2(quantidade de dias dividido pelo tempo para se produzir um carrinho)= 8 
sendo 8 carinhos por pessoa e um total de 4 pessoas.
8*4(quantidade de carrinhos produzido por pessoa nos 16 dias multiplicado pela quantidade de pessoas)= 32 carrinhos montados em 16 dias.
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4) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?
Fechamento
Nesta aula você aprendeu que a regra de três composta pode ser usada para resolver problemas que envolvam mais de duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais, desde que tomadas duas a duas. Para montar a proporção, nesse caso, é preciso escrever a razão que contém o termo desconhecido (x) e igualar com o produto das outras duas razões de acordo com o sentido das setas.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• resolver problemas que envolvam regra de três composta em situações de proporcionalidade direta e inversa.
Referências
CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa. 3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.
DANTE, L. R. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SPINELLI, W.; SOUZA, M. H. Matemática. 1. ed. São Paulo: Editora Ática, 2001.
15 - Revendo os conteúdos estudados – razão e proporção e porcentagem
Introdução
Neste material, veremos situações-problema que envolvem alguns conceitos matemáticos já estudados, como: razão e proporção e porcentagem aplicada em diversos contextos. Ao rever esses conteúdos, você tem a possibilidade de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou. 
.
Aplicando razão e proporção em situações-problema
Para as situações a seguir, você deve rever os conceitos de razão e proporção, lembrando como se comportam as grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Também, é muito importante estudar a propriedade fundamental da proporção. Ao resolver as atividades propostas, automaticamente você vai lembrando os conceitos, as fórmulas e as estratégias necessárias na sua resolução, não é mesmo? Então, veja:
•A empresa Vale Tudo precisou demitir três empregados, Péricles, Mauro e Leonardo. O total da verba rescisória que a empresa precisou dispor foi de R$ 36.000,00 repartida em partes diretamente
proporcionais ao número de meses trabalhados por cada empregado. Se cada funcionário trabalhou, respectivamente, 50, 70 e 60 meses, quanto cada um recebeu?
Resposta comentada
As partes recebidas por cada funcionário são chamadas de A, B e C. Devemos escrever uma proporção com as seguintes razões: . Aplicando a propriedade da soma e encontrando os valores de A, B e C, temos:
Portanto, Péricles recebeu R$ 10.000,00, Mauro recebeu R$ 14.000,00 e Leonardo recebeu R$ 12.000,00.
• A empresa Lucrativa distribui, anualmente, uma parte do seu lucro entre seus gerentes. Este ano
resolveu alterar a forma como esse lucro era repartido e publicou o seguinte: a PL (participação no lucro será repartida em partes inversamente proporcionais ao número de faltas que cada gerente obteve nos meses de maio, junho e julho. Essa empresa possui 5 gerentes A, B, C, D e E. Sabendo que a parte do lucro que seria repartida é de R$ 1.520.000,00, e que cada gerente faltou, respectivamente, 1, 2, 2, 3 e 5 dias, calcule quanto cada empregado recebeu de PL neste ano.
Resposta comentada
Como o lucro será repartido em partes inversamente proporcionais ao número de faltas, para resolver este problema, precisamos escrever uma proporção em que as partes procuradas, x, y, z, w e t devem ser diretamente proporcionais ao inverso da quantidade de faltas que cada gerente teve, ou seja, x, y, z, w e t devem ser diretamente proporcionais a .
Para montar a proporção, devemos escrever frações equivalentes (com mesmo denominador) às frações.
Observe que o mmc (1, 2, 3, 5) = 30. Assim, as frações equivalentes a são: . Escrevemos, então, a seguinte proporção: .
Agora vamos aplicar a propriedade da soma para encontrar o coeficiente de proporcionalidade e, assim, os valores procurados, x, y, z, w e t. Veja:
Encontrando x, y, z, w e t:
Portanto, o gerente A recebeu de PL R$ 600.000,00, o gerente B recebeu de PL R$ 300.000,00, o gerente C recebeu de PL R$ 300.000,00, o gerente D recebeu de PL R$ 200.000,00 e o gerente E recebeu de PL R$ 120.000,00.
Agora, alguns exercícios para você treinar um pouco.
1) Três amigos, Antonio, Marcio e Gilberto, fazem um bolão para jogar na Mega-Sena. Antonio entra com R$45,00, Marcio com R$ 90,00 e Gilberto com R$ 180,00. Se ganharem, o prêmio acumulado de 22 milhões e 50 mil reais será dividido em partes proporcionais às quantias jogadas. Vamos ajudar esses amigos a descobrirem quanto cada um receberia se fossem sorteados?
45,00+90,00+180,00 = 315,00 22.050.000.000,00: 315,00=70.000.000,00 
70.000.000,00 x 45,00= 3.150.000.000,00 70.000.000,00 x 90,00= 6.300.000.000,00
70.000.000,00 x 180,00= 12.600.000.000,00 
2) Um pai e um filho montaram uma sociedade. Cada uma investiu, inicialmente, as seguintes quantias: o filho investiu R$ 25.000,00 e o pai investiu R$ 45.000,00. Para ajudar o filho, ficou acordado que o lucro seria dividido de forma inversamente proporcional aos investimentos iniciais de cada um. Sabendo que no primeiro trimestre o lucro foi de R$ 1.050.000,00, determine qual o valor do lucro que caberá a cada um após esse período.
Internet
Um pai resolveu dividir R$ 700,00 entre seus três filhos. A quantia recebida por cada um deveria ser diretamente proporcional as suas idades. Sabendo que o mais novo tem 8 anos, o do meio tem 12 anos e o mais velho tem 15 anos, é CORRETO afirmar que o mais velho recebeu: a) R$ 200,00. b) R$ 240,00. c) R$ 280,00. d) R$ 300,00. e) R$ 360,00.
Para resolvermos a questão, inicialmente vamos somar as idades dos filhos, para sabermos em quantas partes os R$ 700,00 deverão ser divididos:
8 + 12 + 15 = 35
Agora, vamos dividir os R$ 700,00 por 35 partes:
R$ 700,00 ÷ 35 = R$ 20,00 para cada parte unitária
Assim, os valores que cabem a cada um, serão:
- Ao mais novo: R$ 20,00 × 8 = R$ 160,00
- Ao do meio: R$ 20,00 × 12 = R$ 240,00
- Ao mais velho: R$ 20,00 × 15 = R$ 300,00
R.: A alternativa correta é a letra d) R$ 300,00
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Alguém me ajuda com essa questão por favor ?
Um pai deseja dividir R$ 800,00 com seus dois filhos de 10 anos e de 15 anos, em quantias
diretamente proporcionais às suas idades. Quanto recebem, respectivamente, o filho mais novo e o filho mais velho ?
A) R$ 100,00 e R$ 700,00. B) R$ 210,00 e R$ 590,00. C) R$ 320,00 e R$ 480,00. D) R$ 430,00 e R$ 370,00. E) R$ 540,00 e R$ 260,00
logo de cara podemos desconsiderar as duas ultimas alternativas já que ambas o filho mais novo recebe mais dinheiro sendo que o mais velho deveria receber mais e também a letra A pois a proporção é claramente 8. 
Para resolver essa questão devemos entender que esse é um exercício de proporcionalidade então o mais fácil é colocar em uma fração: idade do mais novo(10)\idade do mais velho(15) simplificando por 5 =>2\3 então a as quantias devem representar essa fração e somadas der 800 chamando de X o irmão mais novo e Y o mais velho temos  X+Y=800  e X\Y=2\3 =>3x=2y(multiplicando cruzado) desenvolvendo esse sistema da forma que você achar mais pratica você encontra: RESPOSTA LETRA C
você também poderia fazer por logica dividindo o primeiro número de cada alternativa por 3 e multiplicando por 2.
Esse sistema pode ser resolvido da seguinte maneira(multiplicando a primeira por dois e substituindo os valores da segunda 2X+3X=1600 =>5X=1600 X=320 => 800-320=Y => Y=480
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bom fiz assim, somei a idade dos dois filhos 10+15=25 e peguei os 800 e dividi por25 seria pegar o total do dinheiro e dividir pela idade já que era p ser proporcional a idade dos garotos o resultado dessa divisão é 32 ou seja cada ano é 32 reais.
Sendo assim, 32x10=320 e 32x15=480 :)
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Acompanhe, a seguir, situações-problemas que envolvem o conceito de porcentagem.
Aplicando o conceito de porcentagem em situações-problema
Nesta seção, faremos uma revisão, por meio das atividades apresentadas, sobre diversas situações em que aparece a porcentagem. Um dos pontos mais importantes da porcentagem é lembrar que todo número escrito na forma de razão centesimal é uma porcentagem (numerador igual a 100). Além disso, também iremos rever que um número escrito na forma de porcentagem pode ser escrito na forma de fração, fração irredutível, número
decimal e taxa percentual. 
 • Para montar uma confecção de fantasias infantis, uma cooperativa de costureiras fez um investimento inicial de R$ 120.000,00. Cada fantasia será vendida por R$ 30,00, com margem de lucro de 20% (sobre o preço de custo). Se a venda mensal é de 2.000 fantasias, calcule a quantidade de meses necessários para que a corporativa recupere o investimento inicial.
Resposta comentada
Vamos calcular o custo da fantasia, sabendo que 30 é o preço vendido. Assim,
Já sabemos que o custo da fantasia é de R$ 25,00. Como são vendidas 2.000 fantasias por mês, as costureiras têm um custo mensal de . De forma análoga, calculamos a receita mensal dessa corporativa que é de . Assim, o lucro mensal é de R$ 10.000 (60.000 – 50.000). Agora, dividimos R$ 120.000,00 (investimento inicial) pelo lucro mensal R$ 10.000,00, obtendo, assim, . Essa divisão foi feita para encontramos a quantidade de meses necessários para recuperar o investimento inicial. Portanto, são precisos 12 meses para que a corporativa de costureiras recupere o investimento inicial.
• Em um concurso público, Glória acertou 28 questões, que correspondem a 40% do total de questões da prova. Quantas questões a prova continha?
Resposta comentada
Chamando de A a quantidade de questões que a prova continha, temos que: 40% de A = 28. Assim:
Portanto, a prova continha 70 questões.
Acompanhe, a seguir, situações-problemas que envolvem aumentos e descontos sucessivos e o conceito de juros.
Aumentos e descontos sucessivos e juros
• Sandra e Ana eram sócias em uma loja de camisas femininas. Resolveram reajustar os preços de suas mercadorias, uma vez que houve alta da inflação de 3% no primeiro mês e de 6,5% no segundo mês.
Dessa forma, aplicaram aumentos sucessivos de 3% e 6,5% em todas as camisas que a loja possuía. Qual será o preço de uma camisa que, antes do primeiro aumento, custava R$ 85,00?
Vamos utilizar a fórmula para chegar ao resultado mais rapidamente. Acompanhe.
No caso do exemplo dado, a fórmula usada é:
Temos que: Assim, substituindo os valores, encontramos a resposta desejada. Veja:
Logo, Sandra e Ana deverão vender a camisa por R$ 93,24.
• Priscila investiu R$ 120.000,00 em determinado banco por 3 meses com juro composto de 1,5%. Qual foi o valor retirado por Sandra ao final desse investimento?
Vamos aos cálculos? Como se trata de juro composto, utilizamos a fórmula apresentada em acréscimos sucessivos. Acompanhe:
Em que (valor inicial) = 120.000. A taxa é de 1,5% ao mês, ou seja, 0,015.
Substituindo os valores, temos:
125.481,41
Portanto, Priscila retirou, ao final do investimento, R$ 125.481,41.
Confira se está compreendendo resolvendo os exercícios a seguir.
1) Um comerciante vende uma mercadoria por R$ 3.965,00. Se ele lucra 12% sobre o custo com essa venda, qual o custo dessa mercadoria?
Internet
Um comerciante vende uma mercadoria que custa r$10,00 com lucro de 30% sobre o preço de custo. como oferta, resolveu vender a mesma mercadoria com 10% de desconto sobre o preço de venda. Então, seu lucro será
10x30/100=3 30% de 10 = 3 reais  13$ total
agora 10% de 13$ = 13x10/100 = 1,30 13-1,30= 11,70
 o lucro de vai ser de 10 - 11,70= lucro de 1,70 se ele vender com 10% de desconto sobre o preço de venda.
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Um comerciante vende uma única mercadoria em seu estabelecimento. Compra esse produto a R$ 45,00. Qual deverá ser o preço de venda se o mesmo quiser um lucro de 66% sobre o preço de compra? 
R$ 65,00 
R$ 72,00 
R$ 48,00 
R$ 39,00 
R$ 74,70
66% de 45 reais = 29,70 
então é só somar 45 + 29,70 = R$ 74,70
Resposta E - 74,70
45,00 x 66% = 29,70
45,00 + 29,70 = 74,70 
Um comerciante vende uma mercadoria por um valor 20% superior ao preço de custo. Se o preço de custo aumentar 50% e o comerciante aumentar o preço de venda 80%, o novo preço de venda ficará maior que o novo preço de custo em
A 44%. X
B 60%.
C 56%.
D 50%.
E 32
SEJA PC1 =preço de custo antigo e PV1=preço de venda antigo
SEJA PC2 =preço de custo novo e PV2=preço de venda novo
PV1 = 1,2 PC1 -----------(PREÇO DE VENDA ANTIGO)
PC2 = 1,8 PC1----------- (PREÇO DE CUSTO NOVO)
PV2 = 1,8 PV1 -----------(PREÇO DE VENDA NOVO)
PV2 = 1,8 * (1,2 PC1)
PV2 = 2,16 PC1
A QUESTÃO PEDE A RELAÇÃO PREÇO DE VENDA NOVO SOBRE PREÇO DE CUSTO NOVO:
2,16 PC1/1,5PC1 = 1,44 ou seja::: 44% maior.
Outro modo :
Preço de custo inicial = X 
Preço de venda inicial = 1,2X 
Preço de custo aumenta 50% : 
X + 50% = 1,5X 
Preço de venda aumenta 80%: 
1,2X+80%=2,16X 
Agora devemos ver quantos % o novo preço de venda ( 2,16 X) equivale em relação ao novo preço de custo( 1,5X) 
Para isso, devemos fazer uma regra de 3: 
1,5 é 100% 
2,16 é Y % 
1,5Y=216 
Y=216/1,5 
Y=144% 
Portanto o novo preço de venda equivale a 144% do novo preço de custo, ou seja, o novo preço de venda é um número 44% maior do que o novo preço de custo.
Um comerciante vendeu um produto com um desconto de 25% sobre o preço anunciado e ainda assim obteve um lucro de 20% sobre o preço de custo. Se tivesse vendido o produto sem desconto qual teria sido o seu lucro?
a) 45%
b) 50%
c) 60% X
d) 65%
e) 70%
LUCRO = PREÇO DE VENDA - PREÇO DE CUSTO
O PV com desconto de 25% fica 0,75 do preço.
PV2 = 0,75 PV1--------------(PREÇO DA VENDA COM DESCONTO DE 25%)
L = PV2 - PC
L = 0,75 PV1 - PC
e é dado que o lucro sobre o custo nesse caso com desconto seria:
L / PC = 0,2
L = 0,2 PC
então
0,2 PC = 0,75 PV1 - PC
descobrimos o PREÇO DE VENDA SEM DESCONTO.
PV1 = 1,6 PC
agora faz a conta sem considerar o desconto.
como LUCRO = PREÇO DE VENDA - PREÇO DE CUSTO
L = 1,6 PC - PC
L = 0,6 PC
L/PC = 0,6 = 60%
2) O grupo de dança de Joana está organizando um churrasco. Nele, irão 80% do grupo. Se o grupo tem 35 dançarinos, quantos irão participar do churrasco? 
Um grupo de 16 motoristas organizaram um churrasco, na semana do churrasco 6 deles desistiram por conta disso cada um dos restantes teve que pagar 57 a mais. Qual o valor pago por eles
Como 6 desistiram, restarem 10
10x57 reais= 570
570÷6= 95 
95 e o valor que todos deveriam pagar
95x16 = 1520,00 que eles pagaram
3) Um aparelho de celular custa R$ 1.500,00 à vista. Se for vendido em três prestações, terá um acréscimo de 4%. Qual será o valor de cada prestação?
Um videogame custa R$150,00 à vista. Se for vendido em 3 prestações, terá um acréscimo de 4%. Qual será o valor de cada prestação ?
4% = 4 : 100 = 0,04
150 x 0,04 = 6
150 + 6 = 156
156 : 3 = 52
Resposta: 3 prestações de R$ 52,00 
4) Seu Moreira possui uma farmácia que apresentou prejuízo em dois meses consecutivos. Dessa forma, resolveu vender alguns produtos com desconto. Sabendo que o valor de um desses produtos sofreu descontos sucessivos de 14% nesses dois meses e custava R$ 85,35, determine seu valor de venda.
Se uma mercadoria sofre dois descontos sucessivos de 15% e depois um acréscimo de 8%,qual seu preço final em relação do seu preço inicial?
O preço da  mercadoria representa 100%
Primeiro desconto de 15%
100-15=85%
100x85/100=8500/100=85Preço da mercadoria : 85
Segundo desconto de 15%
100-15=85%
85.85/100=
7225/100=
72,25
Preço da Mercadoria : 72,25
Acréscimo de 8%
100+8=108%
72,25.108/100=
7803/100=
78,03
O preço final do produto será 78,03% do preço original
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Vamos considerar o preço inicial como sendo "x".
Vamos determinar o preço do produto após o 1° desconto de 15%:
x - 15% de x =
x - (15/100) * x =
x - 15x/100 = 
x - 0,15x =
0,85x
Portanto, após o 1° desconto de 15% o preço do produto passa a ser de "0,85x".
Agora, vamos determinar o preço do produto após o 2° desconto de 15%.
0,85x - 15% de 0,85x =
0,85x - (15/100) * 0,85x =
0,85x - (12,75x/100) =
0,85x - 0,1275x =
0,7225x
Portanto, após o 2° desconto de 15%, o preço do produto passou a ser de "0,7225x".
Por fim, vamos determinar o preço do produto após o aumento de 8%.
0,7225x + 8% de 0,7225x =
0,7225x + (8/100) * 0,7225x =
0,7225x + (5,78x/100) =
0,7225x + 0,0578x =
0,7803x
Portanto, após o aumento de 8% o produto passou a valer 0,7803x.
Vamos determinar o percentual "y" do preço final do produto (0,7803x) em relação ao preço inicial (x).
x            ⇒ 100%
0,7803x ⇒ y 
Multiplicando em "cruz", temos que:
x * y = 0,7803x * 100
y = 78,03x / x
y = 78,03
Portanto, o preço final corresponde a 78,03% do preço inicial.
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(FUVEST)Uma mercadoria sofreu dois descontos sucessivos de 14%.Para que ela volte ao seu preço inicial, deverá sofrer um acrescimo de:
a)28%
b)14%
c)26,04%
d)29,96%
e)35,21%
P= preço original
Desconto de 14% passa a 0,86 P (0,86=1-0,14)
14/100= 0,14
O outro desconto de 14% vai ser (0,86*0,86= 0,7396 P)
Agora é volta para o preço original:
LETRA E
uponhamos que o valor seja 100,reais
100 x 14/100=14
86 x 14/100=12,04
86-12,04=73,86
Os descontos foram :
14+12,04=26,04
Reais       porcentagem
73,86        100
26,04           x
   -                -
73,86x 100x 26,04
x=2604/73,86
x=35,21%
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Fechamento
Neste tema você revisou os conceitos matemáticos estudados anteriormente, tendo uma melhor compreensão dos conteúdos de razão e proporção e de porcentagem aplicada em diversos contextos.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Compreender problemas que envolvam os conceitos estudados nos materiais anteriores
Referências
CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa. 3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.
DANTE, L. R.. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.
______. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
16 - Revendo os conteúdos estudados – regra de três simples e composta
Introdução
Neste material, veremos situações-problema que envolvem os conceitos matemática da regra de três simples e composta. Ao rever esses conteúdos, você tem a possibilidade de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou.
Aplicando os conceitos de regra de três simples e composta em situações-problema
Neste tópico, a regra de três será utilizada para facilitar na resolução dos problemas apresentados. Para tanto, é importante lembrar como as grandezas se comportam, utilizando as setas de acordo com o sentido apropriado para cada situação. Também é importante relembrar a propriedade fundamental da proporção. Acompanhe!
• Um funcionário consegue comprar 21 bilhetes únicos, ao custo unitário de R$ 1,80, com o auxílio
transporte que a empresa fornece. Sabendo que o preço do bilhete único aumentará para R$ 2,10, calcule quantos bilhetes esse funcionário poderá comprar nesse novo valor.
Resposta comentada
Temos que o preço do bilhete único (B) e a quantidade de passagens (P) são grandezas inversamente proporcionais, pois, ao aumentar o preço, o número de passagens que poderá comprar diminui. Logo,
 Figura 1 - Tabela 1 – Relação entre preço e quantidade
Observando qual o sentido das setas para montar a proporção e aplicando a propriedade fundamental da proporção, temos:
Portanto, o funcionário poderá adquirir 18 bilhetes únicos com esse novo valor de passagem.
• Em determinado setor de um supermercado, 10 empregados trabalham 8 horas por dia e levam 12 dias para etiquetar os produtos daquele setor. Sabendo que serão contratados mais 6 empregados para esse mesmo setor, calcule quantos dias essa nova quantidade de empregados, trabalhando 6 horas por dia, realizará o mesmo serviço.
Primeiro montamos a tabela e depois analisamos qual será o sentido das setas. Veja:
Figura 2 - Tabela 2 – Relação entre número de dias, número de empregados e tempo em horas
Analisando o comportamento das grandezas, temos:
Ao aumentarmos o número de empregados, os dias para realizar o mesmo serviço diminui. Portanto, as grandezas empregados e dia são inversamente proporcionais. Ao diminuirmos o tempo de horas trabalhados por dia, a quantidade de dias aumentará. Logo, as grandezas dias e horas são inversamente proporcionais. Sendo a grandeza dias inversamente proporcional ao tempo em horas e inversamente proporcional ao número de empregados, ela (grandeza dias) será diretamente proporcional ao produto entre os inversos do tempo em horas e do número de empregados.
Veja como a proporção deve ser montada e depois resolvida aplicando a propriedade fundamental das proporções.
Portanto, 16 empregados, trabalhando 6 horas por dia, realizarão esse mesmo trabalho em 10 dias.
Resolva os exercícios a seguir e verifique seu aprendizado.
1) Ao reservar R$ 560,00 por mês do seu salário, Marcos consegue economizar uma determinada quantia em 10 meses. Se quiser obter esse mesmo valor em 7 meses, quanto Marcos deverá guardar? 
2) Em uma indústria de sabonetes, 8 máquinas produzem, em 6 dias, 400 sabonetes. O setor de vendas recebeu um pedido urgente para produzir 300 sabonetes em 3 dias. Desse modo, quantas máquinas essa indústria irá utilizar?
Uma fábrica de sabonete produz em 1 dia 3.480 sabonetes. sabendo que cabem 24 sabonetes em 1 caixa, quantas caixas serão necessárias para embalar a produção de 1 dia?
3.480 Dividido por 24 = 145 ... 145 x 24= 3.480
Uma indústria embala os sabonetes que produz em caixas que cabem em 40 unidades. um supermercado encomendou 5600 unidades dos sabonetes. ao descarregar a encomenda, um funcionário a transportou no carrinho que cabe 20 caixas de sabonetes. quantas viagens no mínimo Ele precisará para fazer a descarga toda da mercadoria?
Resposta:
7 viagens 
Explicação passo-a-passo:
5600/40= 140 caixas
140/20= 7 viagens
Dados === Cada caixa cabe 40 unidades
Encomendado === 5600 unidades
5600 : 40 === 140 caixas
Foi transportado em um carrinho que cabe 20 caixas por viagem.
140 : 20 === 7 viagens
Resposta: Ele precisará fazer 7 viagens.
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Fechamento
Neste tema revisamos a regra de três simples e composta e como aplicá-las em exercícios. Para isso utilizamos de vários exemplos e respostas explicadas.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Entender problemas que envolvam os conceitos estudados nos materiais anteriores;
Referências
CENTURIÒN, M., JAKUBOVIC, J.; LELLIS, M. Matemática na medida certa. 3. ed. São Paulo: Scipione, 2003.
DANTE, L. R.. Tudo é Matemática. São Paulo: Editora Ática, 2009.
______. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias edesafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
17 - Revendo os conteúdos estudados – PA e PG
Introdução
Neste material, você terá a oportunidade de rever algumas situações-problema que envolvem conceitos matemáticos de já estudados, como: progressão aritmética (PA) e, progressão geométrica (PG). Ao revisar esses conteúdos, você terá a possibilidade de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou.
Utilizando PA em situações-problema
Para as situações a seguir, você deve rever os conceitos de PA e utilizar as fórmulas, quando necessário. Assim, temos:
• Fórmula do termo geral de uma PA :
é o termo geral da PA;
é o primeiro termo da PA;
é o número de termos (até );
é a razão da PA.
• Fórmula geral da soma dos termos de uma PA: é o enésimo termo; é o primeiro termo; é o número de termos; é a soma nos termos.
• Um ciclista percorre 20km na primeira hora; 17km na segunda hora, e assim por diante, em progressão aritmética. Quantos quilômetros percorrerá em 5 horas? (DANTE, 2013, p. 219)
Sabemos que = 20; r = 3 e a5 é o último termo da PA (decrescente) que representa a quinta hora. Precisamos calcular o .
Calculando o a5:
Então a soma dos cinco primeiros elementos da PA será:
Portanto, o ciclista percorrerá, em 5 horas, 70 quilômetros.
Vejamos outra situação:
• Marcelo criou uma conta em uma rede social. Nesse mesmo dia, três pessoas começaram a segui-lo. Após um dia, ele já tinha 20 seguidores e após 2 dias, já eram 37 seguidores. Marcelo percebeu que a cada novo dia, ele ganhava 17 seguidores. Considerando que o crescimento dos seguidores permaneça constante, após quantos dias ele ultrapassará 1000 seguidores? (DANTE, 2013, p. 216).
Precisamos descobrir n (o dia em que terá 1.000 seguidores): temos que = 3; r = 17 e = 1.000. Logo, utilizando a fórmula do termo geral de uma PA, e substituindo os valores já conhecidos, temos:
Portanto, ultrapassará 1.000 seguidores após 59 dias.
Resolva os exercícios a seguir e verifique se está compreendendo.
1. Um funcionário de RH entrevistou um determinado grupo de pessoas em 10 dias. No primeiro dia, entrevistou 11 pessoas, no segundo dia, 13 pessoas, e assim por diante. Qual foi o total de entrevistas realizadas ao longo desse período?
 2. Magda financiou um apartamento ao longo de 20 anos. Fechou o seguinte contrato com o banco financiador: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e, além disso, o valor da prestação mensal em determinado ano é 100 reais a mais que o valor pago mensalmente no ano anterior. Sabendo que o valor da prestação no primeiro ano é de 500,00, qual o valor da prestação no último ano?
Ao financiar uma casa no total de 20 anos, Carlos fechou o seguinte contrato com a financeira: para cada ano, o valor das 12 prestações deve ser igual e o valor da prestação mensal em um determinado ano é R$ 50,00 a mais que o valor pago, mensalmente, no ano anterior. Considerando que o valor da prestação no primeiro ano é de R$ 150,00, determine o valor da prestação no último ano.
an = a1 + (n – 1) * r
a20 = 150 + (20 – 1) * 50
a20 = 150 + 19 * 50
a20 = 150 + 950
a20 = 1100O valor da prestação no último ano será de R$ 1 100,00.
Vamos, agora, resolver situações-problemas que envolvem o conceito de PG. Veja!
Utilizando PG em situações-problema
Será preciso utilizar as fórmulas de PG, quando necessário. Assim, temos:
• Fórmula do termo geral de uma PG representa o termo geral da PG; representa o primeiro termo; é o número de termos (até o ); q é a razão da PG.
• Fórmula geral da soma dos termos de uma PG é o primeiro termo; é o número de termos; q é a razão da PG; é a soma nos termos.
Acompanhe o seguinte problema:
• O preço de um equipamento de informática desvaloriza 20% ao ano, nos seus 4 primeiros anos de uso. Se esse equipamento custou R$ 12.000,00, qual será o seu valor, em reais, após os 4 anos de uso?
Resposta comentada
Utilizando a fórmula do termo geral de uma PG, temos:
Em que:
= 12.000, q = 80% (100% – 20%). Lembrando que a porcentagem deve ser usada na forma de fração centesimal ou decimal. Queremos determinar o referente a 4 anos de uso, logo, n = 5. Assim, substituindo os valores, temos:
Portanto, o valor desse equipamento, após 4 anos de uso será de R$ 4.915,20.
Que tal mais uma situação para reforçar o conceito de PG?
• Uma empresa de marketing envia e-mails para possíveis clientes sobre um determinado produto. Na primeira hora de divulgação, a empresa enviou 15 e-mails, na segunda hora enviou 30 e-mails, na terceira hora enviou 60 e-mails, e assim por diante, formando uma PG. Ao final de uma jornada de 8 horas de trabalho, quantos e-mails foram enviados por essa empresa?
Temos que a razão dessa PG é calculada por , n = 9 (representa a oitava hora). Utilizando a fórmula geral dos termos de uma PG e substituindo os valores, temos:
Portanto, foram enviados 7.665 e-mails após 8 horas de trabalho.
Chegou a vez dos exercícios. 
1) Carlos comprou uma moto e vai pagá-la em 7 prestações crescentes, de modo que a primeira prestação seja de R$ 500,00 e que cada uma das seguintes seja o dobro da anterior. Qual o preço dessa moto? 
Comprei um automóvel e vou pagá-lo em 7 prestações crescente, de modo que a primeira prestação seja de 100 reais e cada um das seguintes seja o dobro da anterior. Qual é o preço do automóvel?
a) R$:12 700,00
b) R$ 13 000,00
c) R$ 11 800,00
d) R$ 13 200,00
e) R$ 20 300,00
Sabemos que são 7 prestações, a primeira prestação é de R$ 100 e cada prestação é o dobro da anterior, então:
100 + 200 + 400 + 800 + 1600 + 3200 + 6400 = R$:12.700,00
Se quiser fazer por P.G, o preço do automóvel será igual a soma de todos os termos:
Preço = 100(2^7 - 1) / (2-1) = 100*127 / 1 = R$ 12.700.
a) R$ 12.700,00
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x1=100
x2=200
x3=400
x4=800
x5=1600
x6=3200
x7=6400
= 12700
Resposta: R$12.700,00 (alternativa a)
2) Uma fábrica de lingerie produziu 10.000 unidades de camisolas em 2014. Essa fábrica aumentará sua produção em 20% a cada ano subsequente em relação ao ano anterior. Determine quantas camisolas essa fábrica produzirá no período de 2015 até 2020.
Fechamento
Neste tema, você pôde rever conceitos matemáticos estudados anteriormente por meio da resolução de situações-problema que auxiliam em uma melhor compreensão dos conteúdos de PA e PG.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Compreender problemas que envolvam os conceitos estudados nos temas anteriores.
Referências
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: idéias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
18 - Revendo os conteúdos estudados – conjuntos
Introdução
Neste material, você terá a oportunidade de rever algumas situações-problema que envolvem conceitos matemáticos dos conjuntos. Ao revisar esses conteúdos, você terá a possibilidade de verificar se está compreendendo e se realmente aprendeu o que estudou.
Utilizando operações de conjuntos em situações-problema
Nesta seção, o conceito de conjuntos e suas operações será revisto por meio de situações que podem ser resolvidas pela relação, no caso de dois conjuntos ou pela relação, no caso de três conjuntos. Ou, ainda, utilizando o Diagrama de Venn. 
•O departamento de RH fez uma seleção com 40 candidatos a coordenador de TI. Uma das etapas dessa seleção consiste em uma prova de duas questões. Sabe-se que, dos 40 candidatos, 25 acertaram a 1ª questão, 20 acertaram a 2a questão e 10 acertaram as duas questões. Quantos candidatos foram reprovados nessa etapa, já que erraram as duas questões?
Resposta comentada
Quandoutilizamos o Diagrama de Venn, desenhamos círculos. Como são duas questões, teremos dois círculos representando cada questão. Temos, então, 3 regiões distintas. A região comum é a interseção entre as questões, ou seja, representa o número de candidatos que acertaram as duas questões. Chamamos de A o conjunto dos candidatos que acertaram a 1a questão e de B o conjunto dos candidatos que acertaram a 2a questão. Logo representa a quantidade de candidatos que acertaram as duas questões. Acompanhe o passo a passo nas figuras
a seguir:
Sabemos que: n(A) = 25; n(B) = 20 n) = 10
Inserimos, primeiro, o valor da interseção ( = 10).
 
 Figura 1 - Figura 1 – Diagrama de Venn
A partir daí, subtraímos o valor total dos elementos de A da interseção.
n(A) – = 25 – 10 = 15
O mesmo fazemos para o valor de B.
n(B) – = 20 – 10 = 10
 Figura 2 - Figura 2 – Diagrama de Venn da situação-problema.
Somamos os valores das três regiões (15+10+10) e subtraímos da quantidade total de candidatos que fizeram a prova.
Assim, 40 – 35 = 5.
Portanto, 5 candidatos foram reprovados nessa etapa da seleção.
Agora, veremos uma situação-problema que envolve três conjuntos. 
• Em uma firma de advogados, verificou-se que 33% dos advogados atendem a causas criminalistas, 29% atendem a causas cíveis e 22% atendem a causas tributárias, 13% atendem a causas criminalistas e cíveis, 6% atendem a causas cíveis e tributárias, 14% atendem a causas criminalistas e tributárias e 6% atendem às três causas. Quantos por cento não atendem a nenhuma dessas causas?
Resposta comentada
Vamos chamar de A (conjunto criminalistas); B (conjunto cíveis) e C (conjunto tributárias). Para resolver essa questão, podemos utilizar o Diagrama de Venn ou a relação:
Analisando os valores dados, temos que:
. Resolvendo pelo Diagrama de Venn, acompanhe o passo a passo:
 Figura 3 - Figura 3 – Solução pelo Diagrama de Venn parte I
 Figura 4 - Figura 4 – Solução pelo Diagrama de Venn parte II
Interseção entre criminalista e cível: 13. Assim, 13 – 6 = 7.
• Interseção entre cível e tributário: 6. Assim, 6 – 6 = 0.
• Interseção entre criminalista e tributário: 14. Assim, 14 – 6 = 8.
 Figura 5 - Figura 5 – Solução pelo Diagrama de Venn parte III
Agora, é preciso somar todos os valores contidos nas regiões dos círculos. Veja:
= 57%
Precisamos subtrair de 100% (que representa o total de advogados) para encontramos o valor procurado nessa alternativa (percentual de advogados que não atendem a nenhuma das causas).
Logo, temos: 100% 57% = 43%. Portanto, 43% dos advogados dessa firma não atendem a nenhuma das três causas.
Veja como fica essa resolução se utilizarmos a relação:
Substituímos os valores que já sabemos e encontramos o total de advogados que trabalham com as três causas: criminalistas, cíveis e tributárias.
= 57%
De forma análoga, subtraímos de 100% (que representa o total de advogados) e encontramos o valor procurado nessa alternativa (percentual de advogados que não atendem a nenhuma das causas). Logo, temos: 100% 57% = 43%. Portanto, 43% dos advogados dessa firma não atendem a nenhuma das três causas. Verifique que as respostas são as mesmas, independentemente da estratégia utilizada.
Resolva os exercícios a seguir, utilizando a estratégia que achar mais fácil, a fim de verificar seu aprendizado.
1) Uma emissora de TV entrevistou 438 pessoas. Foram contratados 156 atores para atuar como protagonistas, 195 atores para atuar como coadjuvantes, 237 para atuar como figurantes, 90 atores para atuar como protagonista e coadjuvante, 75 para atuar como protagonista e figurante, 130 para atuar como coadjuvante e figurante e 53 para atuar com os três tipos. Calcule quantos atores não foram contratados.
2) O gerente de infraestrutura de uma empresa dividiu a execução de um projeto da seguinte forma: 23 pessoas executaram a fase I, 15 executaram somente a fase II, 9 executaram as duas fases e 20 não participaram do projeto. Determine:
• a) quantas pessoas executaram a fase II;
• b) quantas pessoas trabalham nesse setor.
Fechamento
Neste tema, você pôde rever conceitos matemáticos estudados anteriormente por meio da resolução de situações-problema que auxiliam em uma melhor compreensão dos conteúdos de conjuntos.
Nesta aula, você teve a oportunidade de:
• Compreender problemas que envolvam os conceitos estudados nos temas anteriores.
Referências
DANTE, L. R. Matemática: contextos & aplicações. 2. ed. São Paulo: Ática, 2013.
IEZZI, G. Matemática. 5. ed. Rio de Janeiro: Saraiva, 2011.
MORI, I.; ONAGA, D. S. Matemática: ideias e desafios. 14. ed. São Paulo: Editora Saraiva, 2007.
SILVA, E. Q.; ABAD, L. F. S. Coleção Pré-Vestibular Extensivo. São Paulo: Sistema de Ensino Abril Educação S.A., 2014.
1 - Números consecutivos podem ser entendidos como aqueles que seguem imediatamente o outro, ou seja, de modo imediato ou em sequência, ou ainda, são números seguidos. Nesse sentido, considere dois números inteiros, a e b, consecutivos e positivos. Qual das expressões corresponde necessariamente a um número par?
Escolha uma:
a. a + b
b. 1 + a + b X
c. 1 + ab
d. 2a + b
e. 2 + a + b
A letra b
Pois A vai ser um numero impar(ou par) e B um numero par(ou impar)
EX: A=2   B=3
1+2+3=6
EX₂= A =5   B=6
1+5+6= 12 
2 - Uma prova de anatomia geral era composta de três questões. A primeira questão envolvia o sistema circulatório, enquanto a segunda associava o sistema respiratório e, por fim, a terceira trabalhava com o sistema nervoso. É sabido que dos 29 discentes que realizaram a prova, especificamente:
-  quinze acertaram a primeira questão;
-   sete acertaram somente a segunda questão;
-   um acertou somente a terceira questão;
-   onze acertaram a segunda e a terceira questão;
-   nenhum errou todas as questões.
Quantos discentes conseguiram resolver corretamente as três questões da prova de anatomia geral?
Escolha uma:
a. 4
b. 3
c. 2
d. 5 X
e. 6
O total de discentes em relação a prova de anatomia é de:
Resposta: a) 5. 
Explicação passo-a-passo:
Resolveremos esta questão pelo sistema de conjuntos. Temos:
Total de alunos = 29 discentes
n (A - 1ª Q) = 15 ------------> alunos que acertaram a 1º questão
n (B - 2ª Q) = 18 + Y ------> alunos que acertaram a 2º questão
n (c - 3ª Q) = 12 + z--------> alunos que acertaram a 3º questão
A UNIÃO entre os conjuntos é representada por:
n (A ∩ B) = y + x
n (A ∩ C) = x + z
n (B ∩ C) = 11
n (A ∩ B ∩ C) = X
Onde:
n (A ∩ B ∩ C) = n (A) + n(B) + n(C) - n (A ∩ B) - n (A ∩ C) - n (B ∩ C) + n (A U B  U C)
29 = 15 + (18 + y) + (12 + z) + (-y -x) + (-x-z) -11 + x
29 =  15 + 18 +12 - x - x - 11 + x
29 = 34 - x
x = 34 - 29
x = 5
3 - Considere o conjunto A = {{0}, 0, x, {x}} e as afirmações envolvendo o conjunto A descritas na sequência:
I. {0}  A
II. {0}   A
III. x    A
Com relação às afirmações, pode-se concluir que:
Escolha uma:
a. Apenas a afirmativa I é verdadeira.
b. Apenas a afirmativa II é verdadeira.
c. Apenas a afirmativa III é verdadeira.
d. Todas as afirmativas são falsas.
e. I, II e III, são verdadeiras. X
A alternativa certa é a letra e) Todas as afirmativas estão corretas.
Seja o conjunto A={{0},0,X,{X}}
e as afirmações:
I  ) {0} ∈ A
II ) {0} ⊂ A
III)  X  ∈ A
Pense em conjuntos como caixas e em elementos como objetos que podem ser posto nas caixas.
Para poder diferenciar quando estamos falando sobre caixa ou sobre objetos é feita as seguintes definições:
Quando um elemento x está dentro de um conjunto A, dizemos que o elemento pertence ao conjunto A.  x∈A
Quando um conjunto B está dentro de A, dizemos que B está contido em a ou ainda, que A contém B. B⊂A
0 é um elemento de A portanto, a alternativa I é correta.
A alternativa II é verdadeira porque {0} é um conjunto e estácontido em A.
A alternativa III É verdadeira.
X é Elemento de {X} e, como A={{0},0,X,{X}} então X é também elemento de A.
4 - A população de uma cidade X utiliza três marcas diferentes de sabonetes, designadas por A, B e C, conforme o quadro a seguir.
O número de consumidores que só utilizam a marca C é igual a:
Escolha uma:
a. 8
b. 5 X
c. 15
d. 7
e. 9
B e C são 7 
7 - 3 = 4 
A, B e C são 3 
A e C são 6 
6 - 3 = 3 
3 + 3 + 4 = 10 
15 - 10 = 5 
Então apenas 5 pessoas usam só o sabonete C. 
A resposta é a letra b
5 - Consideremos A e B dois conjuntos quaisquer e consideremos as afirmações descritas a seguir:
I.              Se A   {     }, então, A = {     }.
II.            Se A = {x / x é um número inteiro e x² = 1}, então, A é um conjunto unitário.
III.           O conjunto {     } é subconjunto tanto de A quanto de B.
Sendo assim, está (ão) correta (s):
Escolha uma:
a. Apenas a afirmativa I.
b. Apenas as afirmativas I e III. X
c. Apenas a afirmativa II.
d. Apenas a afirmativa III.
e. Apenas as afirmativas II e III.
I. Verdadeiro, pois se A está contido em um conjunto que é vazio, ele é o próprio vazio.
II. Falso. Conjunto unitário significa que contém apenas um elemento, então não, pois existem dois números inteiros que elevados ao quadrado dá 1. São eles 1 e -1.
III. Verdadeiro, pois os números naturais estão dentro dos números inteiros. Sendo os naturais os números positivos e os inteiros os números positivos e negativos.
IV. Verdadeiro. O conjunto vazio é representado por C= { }. Ou seja, zero elementos.
6 - Os números inteiros são constituídos pelos números naturais, juntamente com o zero e com as quantidades negativas, sendo que uma de suas particularidades é que os mesmo podem ser simétricos.
 Nesse sentido, sabendo-se que um determinado número inteiro k é um múltiplo de 3, e que a metade desse número k é um número inteiro par, é correto afirmar que?
Escolha uma:
a. a metade de k é um múltiplo de 4.
b. o quadrado de k é um múltiplo de 10.
c. a metade de k é um múltiplo de 9.
d. a metade de k é um múltiplo de 5.
e. o quadrado de k é um múltiplo de 18. X
Se é multiplo de 3, procura o menor número inteiro que satisfaça as duas.
3; 6; 9; 12; 15; 18...
o menor que satisfaz é 12 (múltiplo de 3 e sua metade é 6, número par).
Usando as eliminações, não pode ser a, b, c, d, .
Usando k = 12 (menor valor), o quadrado é 144 que é múltiplo de 18. 
7 - Conjuntos numéricos são os conjuntos descritos por números, sendo de fundamental importância para a descrição da resolução de problemas nas mais variadas áreas. Nesse sentido, observe a relação de inclusão entre os principais conjuntos numéricos conforme é mostrado na figura a seguir.
Fonte: Elaborado pelo autor (2016).
 
Sendo assim, todo número natural é um número inteiro, enquanto que todo número inteiro é um número racional, que por sua vez é um número real. Além disso, vemos que um número irracional é um número real. Sendo assim, considerando quaisquer que sejam o racional x e o irracional y, é correto afirmar que:
Escolha uma:
a. x + 2y é irracional. X
b. y.y é irracional.
c. x + y é racional.
d. x – y + √2 é irracional.
e. x.y é irracional.
Número Racional (Q) e Irracional (I) 
a) x . y é um número racional (F), pois ao multiplicarmos um número Q por um número I, obteremos I, ex: 2 . (raiz de 2) = 2 . (raiz de 2) será Irracional; 
b) y.y é irracional (F), ex: (raiz de 2) que é irracional vezes (raiz de 2) que é irracional, teremos o número 2 que é racional 
c) x+y é racional (F), ex: 2 + (raiz de 2), será um número irracional 
d) x+2y é irracional (V), ex: 2 + 2(raiz de 2) será um número irracional 
OBS: Para as alternativas c e d, existe um teorema, SEMPRE quando somarmos ou subtraírmos um número I por Q, obteremos um Irracional. 
8 - É sabido que o mundo globalizado, cada vez mais, procura profissionais dinâmicos e com maior grau de raciocínio, principalmente, na resolução de problemas que envolvam quantidades e, por conseguinte, números. Segundo Aristóteles, “os números atuais governam as pessoas, os negócios e o mundo”. Dessa forma, considere que um subconjunto X de números naturais contém 12 múltiplos de 4, 7 múltiplos de 6, 5 múltiplos de 12 e 8 números ímpares. Qual é a cardinalidade do conjunto X em questão?
Escolha uma:
a. 16
b. 18
c. 20
d. 14
e. 22 X
Resolução:
Para resolvermos esse problema, temos que lembrar das propriedades dos múltiplos de um número. Se um número é múltiplo de 12, ele será obrigatoriamente múltiplo de 4 e também de 6, pois 12 é múltiplo de 4 e de 6.
Então como o subconjunto X, possui 5 múltiplos de 12, esses 5 números são também múltiplos de 4 e de 6. Quando ele diz que há 12 múltiplos de 4, entre eles estão aqueles cinco múltiplos que são também múltiplos de 12. Assim com entre os 7 múltiplos de 6, estão incluídos os 5 múltiplos de 12.
Para contarmos os elementos do conjunto, só podemos contar uma vez cada elemento. Então:
múltiplos de 12 = 5
múltiplos de 4 = 12 - 5 = 7 (temos que tirar os 5 que já contamos entre os múltiplos de 12)
múltiplos de 6 = 7 - 5 = 2 (temos que tirar os 5 que já contamos entre os múltiplos de 12 também)
números ímpares = 8 (nenhum ímpar pode ser múltiplo de 4, de 6 ou de 12, por isso ainda não contamos nenhum desses números com certeza).
 
O número de elementos será a soma desses elementos:
5 + 7 + 2 + 8 = 22 elementos.
 
Se você quiser visualizar melhor, pode fazer um desenho dos conjuntos. Mas não podem esquecer que o conjunto dos múltiplos de 4 tem uma região comum (intersecção) ao conjunto dos múltiplos de 6. É justamente aí que estão os múltiplos de 12, na intersecção. E o conjunto dos ímpares está separado dos outros conjuntos (é disjunto).
9 - Considere A e B dois conjuntos não vazios de modo que A   B, sendo assim, pode-se afirmar que:
Escolha uma:
a. A e B não tem elementos em comum.
b. x  B, então, x   A. 
c. Sempre existe x e x  B tal que x  A.
d. x  B, então, x  A. 
e. Sempre existe x e x  A tal que x  B. X
10 - Sabe-se que um algoritmo é uma sequência finita de passos desenvolvidos com o objetivo de resolver ou até mesmo estruturar a solução de uma determinada situação problema. São elementos fundamentais para o funcionamento dos programas e linguagens computacionais. Sendo assim, uma passagem de um determinado algoritmo descreve um valor numérico que é dado pela seguinte situação: se ao dobro de um número real somarmos 5, multiplicarmos esse resultado por 3, subtrairmos 15 e dividirmos pelo próprio número, qual o valor numérico do algoritmo?
Escolha uma:
a. 5
b. 10
c. 9
d. 6 X
e. 8
Se o dobro de um número real somarmos 5, multiplicarmos esse resultado por 3, subtrairmos 15 e dividimos pelo próprio número, podemos afirmar que o resultado obtido: a)pode ser fracionario b) pode ser negativo c) é sempre 2 d) é sempre 6 e) depende do número considerado
 
Obteremos sempre o número 6
supondo que o número seja x
{[(2x+5)3]-15} / x  = 
{[6x +15]-15} / x  =
{6x+15-15} /x  =
{6x} / x = 
Primeiro você monta a equação. 
(dobro do x +5, vezes 3 menos 15, dividido pelo próprio X) 
(2x+5).3-15 /x ------------------> Você faz a distribuição do 3 
6x+15-15 /x ---------------------> Subtrai o 15 
6x /x --------------------------------> Dividi pelo próprio X. 
Será sempre 6, resposta D.
4 - Matematicamente falando, um conjunto nada mais é do que uma coleção que envolve elementos e surge diretamente dos conceitos primitivos de elemento, conjunto e igualdade entre conjuntos. Especificamente falando, a relação entre elemento e conjunto é chamada relação de pertinência, enquanto que o número de elementos de um conjunto caracteriza a sua cardinalidade. Neste sentido, qual é a cardinalidade do conjunto numérico 
Escolha uma:
a. 1
b. Zero
c. 3 X
d. 2
e. 4
10 - Um conjunto nada mais é do que um agrupamento de elementos, enquanto que a cardinalidade de um conjunto mensura o númerode elementos do mesmo. Desta maneira, a cardinalidade ao quadrado do conjunto interseção entre os conjuntos {a} e {{a}}, é dada por:
Escolha uma:
a. 4 
b. 0 X
c. 3
d. 5
e. 2
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Temos que
{a) ∩ {{a}} = 0, pois a ≠ {a}, ou seja, a primeiro conjunto é composto pelo elemento letra a, já o segundo conjunto é composto do conjunto {a}.
Portanto, alternativa correta é a letra b).
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
{a} ∩ {{a}} = Ф
n ( {a} ∩ {{a}} ) = 0
0² = 0
Letra B
1 - O Produto Interno Bruto (PIB) é a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos por determinado país durante determinado período. É excluído deste cálculo, porém, os bens e serviços intermediários que possam causar viés nos números. Grosso modo, o PIB é um dos indicadores mais utilizados em macroeconomia que busca mensurar a atividade econômica do país. Desta forma, no gráfico apresentado abaixo, temos a evolução do PIB brasileiro nos anos 80 e 90, tomando como base o valor de 100 unidades, em 1979. 
A partir desse gráfico é correto concluir que:
Escolha uma:
a. O crescimento dos valores do PIB foi maior no período de 1983 a 1986 do que no período de 1986 a 1989. X
b. A diferença entre os valores do PIB dos anos 1989 e 1987 foi igual a dos anos 1992 e 1990.
c. Os valores do PIB foram decrescentes (diminuíram) no período de 1980 a 1989.
d. O PIB permaneceu inalterado durante todo o período de análise.
e. Os valores do PIB foram decrescentes no período de 1987 a 1992.
2 - Dois atletas brasileiros (A e B) fazem teste de cooper em uma pista retilínea, ambos praticando velocidade constante e sem variações. A distância (d) que cada um percorre é mostrada na figura:
Com base na representação gráfica anterior é correto afirmar que:
Escolha uma:
a. A e B correm na mesma velocidade.
b. B percorre 1 km em 20 min. X
c. B é mais veloz que A, pois percorre 400 m em 5 min.
d. A é mais veloz que B, pois percorre 600 m em 20 min.
e. A é mais veloz que B, pois percorre 900 m em 20 min.
SE  
Vm = 50m/min
50 m --------------------------> 1 min
 (x) ----------------------------->  20 min   ( SÓ CRUZAR)
1(x) = 20(50)
1(x) = 1.000
(x) = 1.000/1
(x ) = 1.000
(x) = 1.000 m
SE
1.000 m = 1km
então 
B percorre 1 km (1000m) em 20 minutos
3 - A função quadrática é comumente utilizada em problemas envolvendo máximos e mínimos. Nesse sentido, a função f, definida no conjunto dos números reais por f(x) = x² – 6x + (k – 1), tem ponto de mínimo P(3, -1). 
Nestas condições, o valor da constante numérica k é dado por:
Escolha uma:
a. 9 X
b. 7 
c. 8
d. 10
e. 12 
4 - 
Escolha uma:
a. Interceptam-se em um único ponto de ordenada negativa.
b. Interceptam-se em um único ponto de abscissa positiva. E
c. Interceptam-se em um único ponto de abscissa negativa.
d. Não se interceptam. E
e.Interceptam-se em dois pontos. C
5 - Sabe-se que as grandezas de custo total e quantidade produzida estão intimamente ligadas por meio do conceito de função. Assim, para certo equipamento de uma fábrica automotiva, o custo total na produção de um lote de x peças é de y reais, com:  y = 100 + 0,01x + 0,001x2 . Nesse sentido, a diferença de custo entre a produção de um lote de 500 peças e um de 498 peças, em reais, é equivalente a:
Escolha uma:
a. 4,026
b. 129,7804
c. 100,024
d. 0,024
e. 2,016 X
A Automotive Ltda é uma multinacional situada na cidade de São Paulo-SP, sendo uma empresa já consolidada no mercado, produzindo itens para veículos automotivos desde o ano de 1992, particularmente falando com relação a componentes utilizados no revestimento envolvendo painéis e portas de veículos automotivos. Quando se fala em ciclo produtivo sabe-se que as grandezas custo total e quantidade produzida estão intimamente ligadas, já que se aumentarmos o número de itens produzidos consequentemente aumentamos o custo de produção. Especificamente falando, para certo equipamento produzido pela Automotive Ltda, o custo total na produção de um lote de x itens de um componente para portas de veículos em R$ é dado pela expressão y = 100 + 0,01x + 0,001x2 . Nesse sentido, a diferença de custo entre a produção de um lote de 500 peças e um de 498 peças, em reais é equivalente a?
1º passo
y=100+0,01*500+0,001*500^2
y=100+5+250
y=355
2º passo
y=100+0,01*498+0,001*498^2
y=100+4,98+248,004
y=352,984
3º passo
355-352,984=2,016
6 - Um ditado chinês diz que um gráfico fala mais do que mil palavras. Geometricamente falando, o CPF de uma função é exatamente o gráfico que representa o conjunto dos pontos do plano cartesiano y = f(x). Nesse sentido, quais gráficos a seguir representam funções?
Escolha uma:
a. 4 e 1
b. 1, 2 e 4
c. 2 e 4 X
d. 1 e 3
e. 3 e 2
7 - Segundo estudos de órgãos governamentais, o crescimento demográfico na América Latina, no período compreendido entre 2004 e 2020, é da ordem de  1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar, se a taxa de crescimento continuar dessa forma?
Escolha uma:
a. 18 anos, aproximadamente. 
b. 38 anos, aproximadamente. 
c. 48 anos, aproximadamente.
d. 28 anos, aproximadamente.
e. 58 anos, aproximadamente. X
Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no período de 2004 à 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma?
8 - O crescimento exponencial aparece em toda parte: no crescimento de populações, no cálculo de juros compostos, no decaimento de substâncias radioativas, etc. Sendo assim, a função exponencial pode ser enunciada por uma lei do tipo , onde é o número inicial, N é o número no instante t, e k é o percentual de crescimento do fenômeno em estudo. 
Classifique as afirmativas I a IV, como V para verdadeiras e F para falsa:
 
I - (     ) Para = 200 e k = 2, teremos N(3) = 603,43.
 
II -  (     ) Se uma substância radioativa tem sua massa reduzida em 25% a cada milhão de anos, então a massa de tal substância é dada por uma expressão da forma , onde t é o tempo medido em milhões de anos.
 
III - (     ) Para que a função N(t) represente um “decaimento” é necessário que k seja um número negativo.
 
IV -   (     ) Para que a função N(t) represente um “decaimento” é necessário que k seja um número positivo.
 
As alternativas, I a IV, são respectivamente:
Escolha uma:
a. V, V, V, F.
b. F, F, F, F
c. V, F, V, F.
d. F, F, V, F. X
e. V, V, V, V
9 - Geometricamente falando, uma função de 1° grau tem uma reta como curva característica. Nesse sentido, examine a representação geométrica de uma função de 1° grau na figura a seguir:
Figura 1: Representação gráfica da função do 1° grau em questão
Fonte: Elaborado pelo autor.
Com base no enunciado e na Figura 1, é possível afirmar que:
Escolha uma:
a. Se x < 0, então f(x) < 0.
b. Se x > 0, então f(x) >0
c. Se x > 2, então f(x) > f(2).
d. Se f(x) < 0, então x < 0.
e. Se f(x) < 0, então x > 3. X
10 - A figura a seguir mostra os gráficos I, II e III referindo-se, respectivamente, às funções exponenciais descritas pelas leis y = aX y = bX e y = cX.
Desta forma, é correto afirmar que:
Escolha uma:
a. a = b = c
b. a < 0 < c < b
c. a < 0 < b < c 
d. 0 < a < b < c X
e. 0 < b < c < a 
A figura a seguir mostra os gráficos I, II e III referindo-se,
respectivamente, às funções exponenciais descritas pelas leis y = aX y = bX
e y = cX.
(...)
ORIENTAÇÃO: Todas serão maiores que zero, porque uma equação exponencial
é entre 0 e 1.
Se está do lado esquerdo é negativo e menor que 1.
Se está do lado direito é positivo e maior que 1.
Mas, ainda assim, podemos concluir que o coeficiente de III (c) é maior que II
(b) porque está mais afastado:
0 < a < b < c
Outra resposta correta seria:0 < a 1 < b < c (mas você não tem essa
opção), dessa forma a alternativa que responde é: 0 < a < b < c
 (mesmo que não disse que é menor que 1, afirma que é maior que 0).
A figura a seguir mostra os gráficos I, II e III referindo-se, respectivamente, às funções exponenciais descritas pelas leis y = aX y = bX e y = cX.
 
Desta forma, é correto afirmar que:
Escolha uma:
a. a = b = c
b. a < 0 < c < b
c. a < 0 < b < c  E
d. 0 < a < c < b C
e. 0 < b < c < a E
2 - Alessandro é, desde a década de 90, um pequeno produtor de laranjas na cidade paulista de Limeira. Em suas terras, ele possui um pomar com 30 laranjeiras que produzem, cada uma, 600 laranjas por ano. No mesmo local, ele plantou, no último ano, x novas laranjeiras. Depois de certo período, Alessandro identificou que, devido à competição por nutrientes do solo, cada laranjeira (nova ou velha) estava produzindo 10 laranjas a menos por ano. Se f(x) denota a produção anual do pomar, então a fórmula característica para  de f(x) é:
Escolha uma:
a. 10.x² + 600.x + 18000
b. 10.x² + 300.n + 18000
c. – 10.n² + 300.n + 1800
d. – 10.x² + 300.x + 18000 X
e. – 10.x² + 600.x + 18000
Inicialmente, a quantidade de laranjas é calculada multiplicando a quantidade de laranjeiras pela quantidade de laranjas produzidas por cada laranjeira. Ao somar um valor x ao número de laranjeiras, cada laranjeira começou a produzir 10 laranjas a menos. Assim, a função que calcula a quantidade de laranjas produzidas após o aumento da quantidade de laranjeiras será:
Portanto, a produção anual pode ser calculada através da seguinte equação:
30 laranjeiras produz 600 laranjas
aumentando x unidades o numero total de laranjas diminui 10 
entao
(x + 30) laranjeiras
 produzem
(600 - 10x) laranjas 
obs: nas expressoes acima que quando x = 1 aumenta para 31 e diminui 10 
quando x = 2 aumenta para 32 e diminui 20 
e assim por diante ....
a função sera 
f(x) = ( x + 30) ( 600 - 10x)
f(x) = -10x^2+600x +1800 -300x
f(x) = - 10x^2 + 300x + 1800
4 - A figura a seguir apresenta a representação gráfica de três parábolas (1), (2) e (3), de equações características dadas por y = a.x², y = b.x² e y = c.x², respectivamente. 
Figura 2: Representação geométrica da situação da questão.
Fonte: Elaborado pelo autor.
Com relação às constantes numéricas a, b e c, é correto afirmar que:
Escolha uma:
a. 0 < a < b < c
b. Nenhuma das alternativas anteriores é verdadeira.
c. a < b < c < 0
d. c < b < a < 0
e. 0 < c < b < a X
6 - Sabe-se que função é um caso particular de relação que descreve a associação entre grandezas das mais variadas formas. Sendo a função f:  tal que f (a + b) = f(a) + f(b), pode-se afirmar que f(3a) é equivalente a?
Escolha uma:
a. [f(a)]³
b. [f(a)]²
c. f(2ª) + f(b)
d. f(a³)
e. 3.f(a) X
Utilizando somente a propriedade dada da função, temos que f(3a) = 3f(a).
Explicação passo-a-passo:
Então temos que a função f(x) tem a seguinte propriedade:
Então temos:
Onde podemos escrever 3a = a + 2a:
Assim podemos usar a propriedade:
Da mesma forma 2a = a + a:
Assim temos que f(3a) = 3f(a 
8 - “Por quase um século antes de seu tempo, os filósofos escolásticos vinham discutindo a quantificação das formas variáveis, um conceito de Aristóteles aproximadamente equivalente a qualidades. Nicole Oresme conhecia bem esse resultado e ocorreu-lhe, em algum momento antes de 1361, um pensamento brilhante – por que não traçar uma figura ou gráfico da maneira pela qual variam as coisas? Por isso, ele traçou um gráfico velocidade-tempo para um corpo que se move com aceleração constante.” 
(BOYER, Carl B., História da matemática. Tradução: Elza Gomide. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 1974. p. 192).
 
Considerando o texto acima, analise as seguintes afirmações:
I. Usando um eixo para a velocidade e outro para o tempo, o gráfico citado corresponde ao de uma função polinomial do primeiro grau.
II. Se o corpo em estudo tem aceleração positiva, a função correspondente ao gráfico é crescente.
III. Nicole Oresme usou as grandezas velocidade e tempo na construção de seu gráfico primordial porque tais grandezas já eram objeto de estudo de seus predecessores.
 
Assim sendo, é correto afirmar:
Escolha uma:
a. Apenas a III é verdadeira.
b. Apenas a I é verdadeira.
c. Apenas a II é verdadeira.
d. Todas são falsas.
e. Todas são verdadeiras. X
9 - Uma expressão que ajuda a verificar se uma pessoa do sexo feminino precisa ou não de dieta pode ser dada por   ,  na qual “m” representa a massa da pessoa (em kg) e “a” a sua altura (em m). Se I estiver concentrado entre os valores 20 e 50, a pessoa não precisa de dieta. Empregada a fórmula, uma mulher com 51,2 kg obteve I = 20. Desta forma, qual a sua altura?
Escolha uma:
a. 1,60 m X
b. 1,72 m
c. 1,78 m
d. 1,58 m
e. 1,55 m
I = m/a², p/ m = 51,2 // I = 20
20 = 51,2/a² => a² = 51,2/20 => a² = 2,56 => a = √2,56 => a = 1,6
A altura dessa mulher é 1,6 m.
10 - Assinale a alternativa que contém o gráfico que melhor representa a função  :
Escolha uma:
 
E
E