APOSTILA MATEMATICA VOLUME 2

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O objetivo dessa apostila é trazer um pouco da matemática do ensino médio para 
quem está precisando de algum reforço escolar, como também preparando-se para 
concursos públicos e vestibulares. A mesma pode apresentar erros quanto à grafia, pois 
não tive tempo de revisá-la. Agradeço ao professor Delair Bavaresco por disponibilizar 
um banco de questões para que essa apostila tivesse mais recheada de exercícios. 
Espero que seja de grande valia esse material e caso perceba algum erro, envie um email 
para: matematicabyjose@gmail.com. 
Muito obrigado! 
Conheça nosso site: matematicabyjose.com 
 
APOSTILA 
DE 
MATEMÁTICA 
 
MATEMÁTICA 
VOLUME 2 
Prof: José Erlan 
 
 
SUMÁRIO 
SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA NUMÉRICA ( PA E PG) 3 
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA FINANCEIRA 7 
FUNÇÕES 9 
GEOMETRIA PLANA 21 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 36 
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO QUALQUER 37 
GEOMETRIA ESPACIAL 40 
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 46 
POLINÔMIOS 50 
MATRIZES 54 
DETERMINANTES 56 
SISTEMAS LINEARES 58 
GEOMETRIA ALNALÍTICA 61 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 66 
PROBABILIDADE 69 
INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA 70 
NÚMEROS COMPLEXOS 72 
GABARITO DOS EXERCÍCIOS DE APROFUNDAMENTO 75 
 
 
 
 
SUCESSÃO OU SEQUÊNCIA 
NUMÉRICA 
Até o momento, temos trabalhado com 
conjuntos sem levar em consideração a ordem 
em que os elementos se sucedem, entretanto 
existem casos em que esta ordem é importante. 
 • O conjunto ordenado (Nova, 
Crescente, Cheia, Minguante) é chamado, 
sequência ou sucessão das fases da lua. 
 • O conjunto ordenado (Janeiro, 
Fevereiro,....., Novembro, Dezembro) é 
chamado, seqüência ou sucessão dos meses do 
ano. 
Os parênteses sugerem que estamos 
trabalhando com um conjunto de números 
colocados numa certa ordem. 
Seqüência numérica é todo conjunto de 
números dispostos numa certa ordem. 
A representação matemática de uma 
seqüência é: ( a1, a2, a3, ...,an) em que a1, indica o 
1º termo, a2 indica o segundo termo e an indica o 
enésimo termos. 
Uma seqüência numérica pode ser finita ou 
infinita. 
I. (-3, -1, 0, 4, 7, 9) Seqüência finita. 
II. (-1, 0, 1, 4, 7, 8, 9, ...) Seqüência infinita. 
LEI DE FORMAÇÃO DE UMA 
SEQUÊNCIA 
Algumas sequências possuem elementos que 
se sucedem obedecendo a uma certa lei, chamada 
lei de formação da sequência, a qual permite 
encontrar qualquer um dos seus elementos, 
conhecendo-se sua posição. Ela fornece o termo 
geral da sequência. 
Exemplos: 
Escreva a sucessão dada pelo termo geral an = 2n 
e n ∈ { 1, 2, 3, 4, 5}. 
 
Escrever os seis primeiros termos da sequência 
 
 
 
 , com n ∈ N* 
 
 
 
 
 
1) Ache o 4º termo da sequência 
 
 
, 
com n ∈ N*. 
2) Ache os seis primeiros termos da sequência 
dada por: 
a1 = a e an+1 = an . a e n ϵ N
*
 
 
 
Resp.: 1) 2 2) (a, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6
) 
 
PROGRESSÃO ARITMÉTICA 
Uma sequência (a1, a2, a3, a4, ..., an) de 
números reais, com a1 = primeiro termo, a2 = 
segundo termo, assim sucessivamente até o 
último termo an, é uma progressão aritmética 
(PA), se a diferença entre um termo qualquer a 
partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, 
produzir um resultado (RESTO) constante real, 
denominado razão ( r ) da progressão. 
Daqui tiramos que , com n 
∈ N*. 
Consequentemente teremos: 
 , onde r é a 
razão da PA. 
 
EXERCÍCIOS 
1) Calcular a razão de cada uma das seguintes 
progressões aritméticas: 
a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
2) Determine o valor de x, de modo que os 
números e estejam 
nessa ordem, em PA. 
3) São dadas duas sequências: 
e . Sabe-se que y1 = 1 e y2 = 2 , 
que e que a primeira sequência é 
uma progressão aritmética de razão 3. 
a) Escreva os 4 primeiros termos da seqüência 
( xn ). 
 
 4 
 
b) Escreva os 4 primeiros termos da seqüência 
( yn ). 
FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA 
PA 
A definição de progressão aritmética ( PA ), 
sugere que: 
a2 = a1 + r 
a3 = a1 + 2r 
a4 = a1 + 3r 
e assim sucessivamente. 
Generalizando para termo de ordem n ( n = 
ao número de termos da progressão), temos a 
fórmula geral: 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PA 
Sabendo que (a1, a2, a3, a4, ..., an) é uma PA e 
Sn a soma desses termos, ou seja, Sn = a1 + a2 + a3 
+ a4 + ... + an. A fórmula seguinte permite 
calcular a soma dos n termos de uma PA: 
 
 
 
 
 
 
 
1) Quantos múltiplos de 5 há entre 21 e 623? 
2) Ache a1 numa P.A., sabendo que e 
a17 = 27. 
3) Se x = (1+3+...+49) é a soma dos ímpares de 
1 a 49, e se y = (2+4+...+50) é a soma dos pares 
de 2 a 50, calcule x - y. 
4) Numa estrada existem dois telefones 
instalados no acostamento: um no km 3 e outro 
no km 88. Entre eles serão colocados mais 16 
telefones, mantendo-se entre dois telefones 
consecutivos sempre a mesma distância. 
Determinar em quais marcos quilométricos 
deverão ficar esses novos telefones. 
5) Escrever a PA em que a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 
35. 
6) Três números estão em PA, de tal forma que 
a soma deles é 18 e o produto é 66. Calcular os 
três números. 
Resp: 4) (8, 13, 18, 23, 28, 33...83) 
5) (1, 4, 7...) 6) (1, 6 e 11) 
 
PROGRESSÃO GEOMÉTRICA 
Uma sequência (a1, a2, a3, a4, ..., an) de 
números reais, com a1 = primeiro termo, a2 = 
segundo termo, assim sucessivamente até o 
último termo an, é uma progressão geométrica 
(PG), se a divisão entre um termo qualquer a 
partir do segundo, pelo seu antecessor imediato, 
produzir um resultado (quociente) constante real, 
denominado razão ( q ) da progressão. 
Assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
TERMO GERAL DE UMA PG 
A fórmula do termo geral de uma progressão 
geométrica vai permitir encontrar qualquer termo 
da progressão. 
Seja a PG: 
 a1 a2 a3 a4 ... an-1 an 
 xq xq xq xq 
 
Considerando a sequência (a1, a2, a3, a4,.., an) 
como uma PG de razão q, podemos escrever: 
a2 = a1.q a3 = a2 . q a4 = a3 . q a5 = a4 . q 
 a3 = a1.q.q
 
a4 = a1.q
2
.q a4 = a1.q
3
.q 
 
 a3 = a1.q
2 
a4 = a1.q
3
 a4 = a1.q
4
 
 
 
 Prosseguindo dessa forma, encontramos, por 
exemplo: 
 A10 = a1.q
9 
a20 = a1.q
19 
a34 = a1.q
33 
E, sendo an um termo qualquer dessa PG, 
temos: 
 
 
Essa é a fórmula do termo geral de uma PG. 
 
 
 
 5 
 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG FINITA 
A seguinte fórmula dá a soma dos termos de 
uma PG finita: 
 
 
 
 
 
Onde “Sn” representa a soma dos n termos, “n” 
representa a quantidade de termos, “q” representa a 
razão da Pg e “a1” oprimeiro termo. 
Essa fórmula pode ainda ser representada 
assim: 
 
 
 
 
 
 
1) Determine o valor de x, de modo que os 
números x+1, x+4, x+10 formem, nesta ordem, 
uma P.G. 
2) Numa P.G. de 4 termos, a razão é 5 e o 
último termo é 375. Calcular o primeiro termo 
desta P.G. 
3) Determine o número de termos da P.G. (1, 2, 
..., 256). 
4) Dar o valor de x na igualdade 
x + 3x + ... +729x = 5465, sabendo-se que os 
termos do 1º membro formam uma P.G. 
5) Em uma PG tem-se a1 + a2 = 72 e 
a3 + a4 = 200. Calcular o 5º termo. 
6) Se 2, a e 8 são termos consecutivos de uma 
PA e a, b e 20 são termos consecutivos de uma 
PG, determine o valor de a + b, sabendo que 
a > b. 
Resp: 5) 
 
 
 
 
 
 6) - 5 
SOMA DOS TERMOS DE UMA PG 
INFINITA 
Sendo (a1, a2, a3, a4, ..., an) uma PG de razão 
-1 < q < 1 e Sn a soma desses termos, Sn = a1 + a2 
+ a3 + a4 + ... , temos uma forma simplificada 
para o somatório de qualquer sequência infinita 
em PG, dada pela fórmula: 
 
 
 
 
∞ = símbolo que representa o infinito 
PROPRIEDADE DAS PG 
Em uma PG o produto de dois termos 
eqüidistantes dos extremos é igual ao produto 
dos extremos. 
Exemplo: 
( 2, 4, 8, 16, 32, 64 ) 
Podemos observar que: 
2 x 64 = 4 x 32 = 8 x 16 = 128 
PRODUTO DOS TERMOS DE UMA PG 
FINITA 
Seja (a1, a2, a3, a4, ..., an) uma PG finita de razão 
q. Com a seguinte fórmula conseguimos 
encontrar o produto dos termos de uma PG: 
 ou 
OBS: O sinal do produto vai depender dos sinais 
dos termos da progressão. 
Exemplo: 
( 2, -6, 18, -54, 162 ) : Nessa sequência podemos 
notar que o termo a2 e a4 são negativos, mas o 
produto dos termos dessa progressão será 
positivo pois temos uma quantidade par de 
termos negativos. Se tivéssemos uma quantidade 
ímpar de termos negativos o produto seria 
negativo. 
 
 
 
1) Obter a soma dos termos da PG 
 
2) Resolver a equação 
 
 . 
3) (UFV-MG) Uma bactéria de determinada 
espécie divide-se em cada 2 horas. Depois de 24 
horas, qual será o número total de bactérias. 
4) Simplifique a expressão: 
A = 
 
 
 
 
 . 
5) Determine o produto dos seis primeiros 
termos da PG 
 
 . 
 
 6 
 
6) Determine o produto dos termos da PG 
 . 
 
Resp: 1) 4/3 2) x = 4 3) 4096 4) 5) -216 
6) 
 
 
1) (UFSM-2007) O diretório acadêmico de uma 
Universidade organizou palestras de 
esclarecimento sobre o plano de governo dos 
candidatos a governar. O anfiteatro, onde 
foram realizados os encontros, possuía 12 filas 
de poltronas distribuídas da seguinte forma: 
na primeira fila 21 poltronas, na segunda 25, 
na terceira 29, e assim sucessivamente. 
Sabendo que, num determinado dia, todas as 
poltronas foram ocupadas e que 42 pessoas 
ficaram de pé, o total de participantes, 
excluído o palestrante, foi de: 
a) 474 b) 516 c) 557 d) 558 e) 559 
2) (UFSM) Tisiu ficou sem parceiro para jogar 
bolita (bola de gude); então pegou sua coleção 
de bolitas e formou uma seqüência de “T” (a 
inicial de seu nome), conforme a figura: 
 
 
 
Supondo que o guri conseguiu formar 10 “T” 
completos pode-se, seguindo o mesmo padrão, 
afirmar que ele possuía: 
a) mais de 300 bolitas 
b) pelo menos 230 bolitas 
c) menos de 220 bolitas 
d) exatamente 300 bolitas 
e) exatamente 41 bolitas 
3) Sejam (a0, a1, a2,...) uma progressão 
aritmética (PA) e (b0, b1, b2,...) uma 
progressão geométrica (PG) decrescente. Se 
0 0a b=
, 
2 22a b=
 e 
4 44a b=
, então a 
razão da PG vale: 
a) 2
2
-
 b) 
2-
 c) 1 d) 2
2
 e) 
2
 
4) (PEIES-2003) A seqüência 
( , , 15)x y
 é 
uma PA de razão 
r
, e a seqüência 
( , , 20)x y
 é uma PG decrescente de razão 
q
. Então: 
a) 
47
3
r q+ = -
 b) 
43
3
r q+ = -
 
c) 
40
3
r q+ = -
 d) 
47
3
r q+ =
 
e) 
33
2
r q+ =
 
5) Um militar comanda 325 soldados e quer 
formá-los em disposição triangular, de modo 
que a primeira fila tenha 1 soldado, a segunda 
2, a terceira 3 e assim por diante. O número 
de filas assim constituídas será: 
a) 20 b) 24 c) 25 d) 27 e) 28 
6) (UFSM-2007) A construção da cobertura 
de um palanque usado na campanha política, 
para o 1º turno das eleições passadas, foi 
realizada conforme a figura. Para fixação da 
lona sobre a estrutura de anéis, foram usados 
rebites assim dispostos: 4 no primeiro anel, 16 
no segundo, 64 no terceiro e assim, 
sucessivamente. Portanto, se a estrutura era 
composta de 5 anéis, o número mínimo de 
caixas, com 100 rebites em cada uma, 
utilizadas na obra foi de: 
a) 10 
b) 12 
c) 14 
d) 16 
e) 18 
 
 
 
 
 
 
 7 
 
7) (CESGRANRIO) Quantos são os números 
inteiros, compreendidos entre 100 e 200, que 
são múltiplos de 3 e, simultaneamente, não são 
múltiplos de 5? 
a) 13 b) 16 c) 21 d) 26 e) 27 
8) (PUC-SP) Um pêndulo, oscilando, 
percorre sucessivamente 18 cm, 15 cm, 12 cm, 
... A soma dos percursos até o repouso é em 
cm: 
a) 45 b) 63 c) 90 d) 126 e) 150 
9) Calcule a soma S = 3 + 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
10) (EPCAR) O valor de x na equação 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 é igual a: 
a) 
 
 
 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) 
 
 
 
11) (EEAr) As seqüências 
 yx ,3,
 e 
 xy ,5,
 são, respectivamente, progressões 
aritmética e geométrica. Se a progressão 
aritmética é crescente, a razão da progressão 
geométrica é: 
a)
5
5 b) 
5
52 c) 5 d) 52 
12) (EEAr) Inscrevendo-se nove meios 
aritméticos entre 15 e 45, obtém-se uma PA 
cujo sexto termo é 
 
a) 25 b) 30 c) 33 d) 42. 
 
13) (EsSA) Quantos múltiplos de 9 ou 15 há 
entre 100 e 1000? 
a) 100 b) 120 c) 140 d) 160 e) 180 
 
 
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA 
FINANCEIRA 
PORCENTAGEM 
Uma loja de móveis anunciou a seguinte 
oferta: 
Qualquer móvel para seu quarto com 30% de 
desconto. 
Praticamente todos os dias, observamos no 
comércio, nos meios de comunicação etc. 
expressões matemáticas relacionadas com a 
porcentagem. O termo por cento vem do latim 
per centum e quer dizer por um cento. 
Para entender o significado dessa expressão, 
vamos considerar um grupo de 100 pessoas em 
que 47 são mulheres. 
A razão entre o número de mulheres e a 
quantidade de pessoas do grupo pode ser 
expressa pela razão centesimal 
 
 
 . 
Essa razão pode ser representada assim: 47% 
(lê-se quarenta e sete por cento) e, nesse caso, a 
razão centesimal recebe também o nome de taxa 
de porcentagem ou taxa percentual. 
Portanto, 47% = 
 
 
 = 0,47. 
Toda razão 
 
 
 , na qual b = 100, chama-se 
taxa percentual. 
CÁLCULO DE PORCENTAGEM 
Para se calcular a% de um número b, 
realizamos o produto: 
a% . b = 
 
 
 
JUROS 
Juro ( J ) é toda compensação em dinheiro 
que se paga, ou que se recebe, pelo dinheiro que 
se empresta, ou que se pede emprestado. 
Exemplo: Depositei uma importância de R$ 
1000,00 na poupança e pretendodeixá-lo 
rendendo por volta de 6 meses. Quanto vou 
receber após esse tempo? 
Existem duas formas de o problema ser 
encarado: 
 Os juros só serão acrescentados ao capital 
inicialmente aplicado após o término da 
aplicação. Nessas condições dizemos que 
estamos calculando juros simples. 
 Os juros serão incorporados ao capital após 
cada período de tempo, ou seja, juro sobre juro. 
Nessas condições dizemos que estamos 
calculando juros compostos. 
 
 8 
 
Antes de trabalharmos com os juros, vamos 
conhecer alguns de seus fatores. 
 O dinheiro que se empresta ou que se pede 
emprestado é chamado de capital ( C ). 
 A taxa de porcentagem que se paga ou que 
recebe pelo aluguel do dinheiro é denominada 
taxa de juro ( i ). 
 O total que se paga no final do empréstimo 
( capital + juro ) é denominado montante ( M ). 
 O tempo que decorre desde o início até o 
final de uma operação financeira é denominado 
prazo ( t ). 
OBS: A taxa e o tempo devem ter sempre a 
mesma unidade e o prazo que vamos trabalhar é 
sempre o comercial – ano = 360 dias e o mês = 
30 dias. 
JUROS SIMPLES 
Temos um processo de Capitalização 
Simples quando a taxa de juros incide somente 
sobre o capital inicial, não incide sobre os juros 
acumulados. Se o capital ficar aplicado por “t” 
períodos iguais, os juros de cada um destes 
períodos também serão iguais. 
 
 
 
JUROS COMPOSTOS 
Um valor está submetido a capitalização 
composta, quando o juro de cada período 
financeiro é calculado sobre o montante relativo 
ao período anterior. 
1º Período M = C(1 + i) 
2º Período M = C( + i)(1 + i) = C(1 + i)
2
 
3º Período M = C(1 + i)
2
 (1 + i) = C(1 + i)
3
 
tº Período M = C(1 + i)
t 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) O salário de uma pessoa era de R$ 1400,00 
até ela ser promovida e receber aumento de 20%. 
Qual o novo salário? 
2) Seu João teve um reajuste de 20% em seu 
salário e logo após outro de 12% . Qual a 
porcentagem que representa o reajuste salarial de 
seu João após os reajustes? 
3) (ESAL – MG) Após conseguir um desconto 
de 15% no preço de uma mercadoria, foram 
pagos R$ 1700,00 por essa mercadoria. O preço, 
sem desconto, seria em R$ de: 
4) (CESPE) Uma prova de matemática tem 50 
questões. Um aluno acertou 30 dessas questões. 
Qual foi a sua taxa de erro? 
5) A população atual de uma cidade é de 50 000 
habitantes. Sabendo que essa população cresce a 
uma taxa de 2% ao ano, qual será a população 
dessa cidade daqui a três anos? 
6) Numa sala havia 60% de homens e 40% de 
mulheres. Quando 10 homens saíram, ficaram na 
sala 50% de homens e 50% de mulheres. 
Calcular quantos homens e quantas mulheres 
havia inicialmente na sala. 
7) Calcule os juros simples produzidos por um 
capital de R$ 300,00 quando aplicado a: 
a) 6% ao mês, em 4 meses. 
b) 8% ao mês, em 1/4 ano. 
8) Quanto vale o montante de uma aplicação a 
juros simples de R$ 7.000,00 durante 18 meses a 
uma taxa de 8% ao semestre? 
9) Por quanto tempo esteve empregado o capital 
de R$ 160,00 se rendeu juro de R$ 56,00 a 
7% a.a. 
10) Um investidor aplicou R$ 15 000,00 à taxa de 
30% ao ano. Qual será o juro obtido ao fim de 80 
dias, sob o regime de juros simples? 
11) Determine o prazo em que duplica um capital 
aplicado à taxa de juros simples de 4% a. m. 
12) (EsSA) Em uma determinada loja, uma 
televisão custa R$ 750,00 à vista. Se for paga em 
5 prestações mensais, o valor da televisão 
passará a custar R$ 900,00. Nestas condições, 
M = C(1 + i)
n
 
 
 9 
 
qual seria a taxa de juros simples mensal cobrada 
nessa loja? 
13) Uma loja de eletrodomésticos paga, pela 
aquisição de certo produto, o correspondente ao 
preço x (em reais) de fabricação, mais 5 % de 
imposto e 3 % de frete, ambos os percentuais 
calculados sobre o preço x. Vende esse produto 
ao consumidor por R$ 54,00, com lucro de 
25 %. Então, o valor de x é: 
 
14) Qual a taxa mensal de juro composto que, 
aplicada ao capital de R$ 24 000,00, o 
transforma em um montante de R$ 36 087,00 em 
7 meses? 
 
15) O valor da expressão (30%)2 é: 
 
16) Durante quanto tempo esteve aplicado, em 
uma poupança, o capital de R$ 180.000,00 para 
render, de juros, a importância de R$ 7272,00 se 
a taxa foi de 2% ao mês? 
 
17) Suponhamos que, para uma dada eleição, 
uma cidade tivesse 18 500 eleitores inscritos. 
Suponhamos ainda que, para essa eleição, no 
caso de se verificar um índice de abstenções de 
6% entre os homens e de 9% entre as mulheres, o 
número de votantes do sexo masculino será 
exatamente igual ao de votantes do sexo 
feminino. Determine o número de eleitores 
inscritos de cada sexo. 
 
 
 
8) Resp: 1) 1680 3) R$ 2000,00 4) 40% 5) 53 
060 hab 6) 30H e 20M 9) 5 anos 10) R$ 
1000,00 11) 25 meses 12) 4% 13) R$ 40,00 
14) 6% a.m 15) 9% 16) 2 meses 17) 9100 h e 
9400 m 
 
FUNÇÕES 
 
Quando relacionamos duas variáveis, onde 
uma depende da outra estamos diante de uma 
função. 
Toda função possui uma lei de associação ou 
lei de formação. Vamos imaginar a seguinte 
situação: 
Um taxista cobra R$ 3,00 por metro rodado, 
sendo que seu taxímetro inicia com R$ 4,50. 
Podemos ver a relação que o espaço percorrido 
tem com o valor a ser pago: 
No primeiro km rodado: 
4,50 + 3 x 1 = R$ 7,50 
No segundo km rodado: 
4,50 + 3 x 2 = R$ 10,50 
No terceiro km rodado: 
4,50 + 3 x 3 = R$ 13,50 
No quarto km rodado: 
4,50 + 3 x 4 = R$ 16,50 ... 
Podemos generalizar essa relação através de 
uma equação ou lei de formação dessa função. 
Chamando x o espaço percorrido (em km) e y o 
valor a ser cobrado no final de cada corrida, 
temos: 
y = 4,50 + 3.x 
Podemos observar que a cada valor de x que 
atribuímos á variável x, obtemos um só valor 
para y. Essa situação constitui um exemplo de 
função, na qual y é função de x. 
Sejam A e b dois conjuntos não vazios e f 
uma relação de A em B. Essa relação f é uma 
função de A em B quando a cada elemento x do 
conjunto A está associado um e apenas um 
elemento y do conjunto B. 
Exemplo: 
Dados os conjuntos A = { 3, 4} e 
B = {3, 4, 5, 6,} seja a relação A em B expressa 
pela fórmula y = x, com x ∈ A e y ∈ B. 
 A B 
 
 
 
 
 
 
 
Observamos que: 
 Todos os elementos de A estão associados a 
elementos de B. 
 Cada elemento de A está associado a apenas 
um único elemento de B. 
Assim: 
 
 3 
 4 
3 
4 
5 
6 
 
 10 
 
A relação expressa pela fórmula y = x é 
uma função de A em B. 
OBS: Os elementos do conjunto A são chamados 
de domínio da função e os elementos do conjunto 
B {3, 4} que estão associados ao conjunto A são 
chamados de imagem da função. Todos os 
elementos do conjunto B = {3, 4, 5, 6} são 
chamados de contradomínio da função. 
 
 
1) Nas duas relações dadas a seguir, faça o 
diagrama e verifique se elas são ou não funções, 
justificando sua resposta. 
a) f é uma relação de A = {-1, 0, 1, 2} em 
B = {0, 2, 4, 6, 8} expressapela fórmula y = 2x, 
com x ∈ A e y∈ B 
b) g é uma relação de A = {-2, -1, 1, 2} em B = 
{-8, -4, -1, 0, 1, 4, 8} expressa pela fórmula 
y = x
3 
, com x ∈ A e y ∈ B. 
 
2) Na função f : R R, definida por f(x) = x2 
– 2x + 1, calcule: 
a) f(0) 
b) f(-3) 
c) f( ) 
 
3) Determine o domínio das funções. 
a) h(x) = 5x + 2 
 
b) y = 
 
 
 
c) y = 
 
 
d) y = 
 
 
 
 
4) Construa o gráfico da função f(x) = x2 nos 
seguintes casos: 
a) D(f) = {-2, -1, 0, 1, 2} 
b) D(f) = {x ∈ R / -2 x 2} 
c) D(f) = {R} 
 
GRÁFICOS DE FUNÇÕES 
O gráfico da função é o conjunto de todos 
os pontos (x, y) do plano cartesiano, com x ∈ D e 
y ∈ Im. 
Para isso, consideramos os valores do 
domínio da função no eixo x ( eixo das abcissas) 
e as respectivas imagens no eixo y (eixo das 
ordenadas). 
EXEMPLOS: 
Construir o gráfico da função f : A R, 
dada por y = x + 1, onde A = {0, 1, 2, 3}. 
Construindo uma tabela: 
x y = x+1 (x, y) 
0 0+1 = 1 (0, 1) 
1 1+1 = 2 (1, 2) 
2 2+1 = 3 (2, 3) 
3 3+1 = 4 (3, 4) 
 
 GRÁFICO: 
 y 
 4 
 3 
 2 
 1 
 0 1 2 3 x 
 
Podemos observar que D = A = {0, 1, 2, 3} e 
Im = {1, 2, 3, 4}. 
OBS: Podemos identificar se uma relação é ou 
não uma função através de seu gráfico. Sabemos 
que para cada x do domínio deve existir em 
correspondência um único y no contradomínio. 
Assim é possível identificar se a relação é ou não 
uma função apenas traçando uma reta paralela ao 
eixo y do gráfico, para ser função cada reta 
vertical traçada por pontos do domínio deve 
interceptar o gráfico num único ponto. 
 
 
Gráfico I 
 y 
 
 
 
 
 
4 
3 
2 
1 
0 1 2 3 x 
 
 11 
 
Gráfico II 
 y 
 
 
 
 
 0 x 
 
No gráfico I a reta paralela ao eixo dos y toca 
o gráfico apenas em um ponto, sendo assim uma 
função. Já no gráfico II podemos observar que a 
linha paralela toca o gráfico em dois pontos, ou 
seja, o gráfico II não é uma função. 
 
FUNÇÃO DO 1º GRAU 
Para ficar fácil o entendimento de função do 
1º grau vamos utilizar o exemplo abaixo: 
O preço de uma corrida de táxi se compõe de 
uma quantidade proporcional por quilômetros e 
mais uma quantidade fixa, chamada de 
bandeirada. Assim, se a taxa por Km é de R$ 
3,00 e a taxa fixa é de R$ 2,00, o preço da 
corrida é dado por P(x) = 3x + 2. 
 Este é o caso particular de uma função 
de 1º grau, onde o preço da corrida está em 
função da quantidade de Km rodados. 
Definição: Uma aplicação de ℝ

ℝ recebe 
o nome de função do primeiro grau ou função 
afim, quando a cada x estiver associado o 
elemento ax + b com a 

0. 
 
 
 
EXEMPLOS: 
a) f(x) = 3x + 2 onde a = 3 e b =2 
 b) f(x) = - x onde a = -1 e b = 0 
c) f(x) = 
 
 
 onde a = 
 
 
 e b = 
 
 
 
GRÁFICO: O gráfico da função do 1º 
grau é uma reta. 
O gráfico da função f(x) = x+1 é do 1º grau e 
consequentemente será uma reta. 
 
 
 
 
 
 
 
 
O valor de “ a ” ( coeficiente angular ou 
declive da reta) tem um significado na função do 
1º: 
Assim como “ a ” o valor de “ b ”(coeficiente 
linear) também tem um significado no gráfico de 
uma função de 1º grau: 
OBS: Este coeficiente é a ordenada do ponto 
em que o gráfico corta o eixo Oy 
 
Exemplo: 
Comparando os gráficos: 
a) y = 3x + 2 
x y=3x+2 
0 
1 
2 
5 
 
 y 
 5 
 2 
 0 1 
 
 
f(x) = ax + b 
 0 1 2 3 x 
 y 
 
 4 
 3 
 2 
 
 1 
 
 Se “a” for positivo, a função do primeiro grau é 
crescente. 
Se “a” for negativo, a função do primeiro grau é 
decrescente. 
Como a = 3 > 0 a 
função é crescente. O 
gráfico corta o eixo y 
em b = 2 
 
 12 
 
0 
2 
b) y = -2x + 3 
x y = -2x + 3 
0 
2 
3 
-1 
 
 y 
 
 3 
 
 0 2 
 -1 
 
 
1) Conhecendo a função f(x) = 
 
 x, determine: 
 a) Coeficiente angular e linear. Resp: 
 b) Se a função é crescente ou decrescente. 
 c) f(-1) 
2) Determine o ponto (x, y) em que o gráfico 
das seguintes funções corta o eixo x. 
 a) f(x) = 4 - 2x 
 b) f(x) = -3x + 2 
 c) y = 1 + 
 
 
 
 d) y = –x + 4 
3) O gráfico abaixo representa uma função do 1º 
grau (x) = ax + b. É correto afirmar que: 
a) a> 0 e b > 0 
b) a> 0 e b = 0 
c) a < 0 e b > 0 
d) a < 0 e b < 0 
e) a> 0 e b < 0 
 
 
4) Para que valores de k a função definida por y 
= (2k – 1) x + 5 é decrescente? 
a) k < 1/2 d) k = 1/2 
b) k = 1/3 e) k > 1/3 
c) k 

1/2 
5) O valor de x que anula a função (x) = 2x – 1 
é: 
a) 1 b) 1,5 c) 0 d) 2 e) 0,5 
 
6) Determine o valor de p de modo que o 
gráfico da função f(x) = 3x + p – 2 intercepte o 
eixo y no ponto de ordenada 4. 
 
7) Um botânico mede o crescimento de uma 
planta, em centímetros, todos os dias. Ligando - 
se os pontos colocados por ele num gráfico, 
resulta a figura seguinte. Se for mantida sempre 
esta relação entre tempo e altura, determine a 
altura que a planta terá no 30º dia. 
 
 altura em cm 
 
 2 
 1 
 
 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 dias 
8) O gráfico de uma função do tipo y = ax + b 
passa nos pontos A(2, 4) e B(3, 7). Determine a e 
b. 
 
Resp: 1) a) -5/2 e y = 0 b) decrescente c) 5/2 
3) C 4) A 5) E 6) p = 6 7) 6 cm 8) a = 3 e 
b = -2 
ZERO (OU RAIZ) DE UMA FUNÇÃO DO 1º 
GRAU 
 Zero (ou raiz) de uma função y = f(x) é todo 
valor de x tal que f(x) = 0. No caso da função do 
1º grau y = f(x) = ax + b só existe um zero, pois: 
f(x) = 0 a . x + b = 0 x = -b/a 
Vale lembrar que –b/a é justamente o valor 
onde o gráfico que é uma reta, corta o eixo Ox. 
EXEMPLO: Para a função y = f(x) = x + 1, a raiz 
é -1, pois x + 1 = 0 x = -1. 
Veja o gráfico: 
 yComo a = -2 < 0 a 
função é decrescente. 
O gráfico corta o eixo 
y em b = 3 
-1 0 1 
 
 2 
 
 1 
- b/a = raiz 
da função 
 
 13 
 
f(x) = ax
2
+ bx + c 
OBSERVE que todos os valores de y que 
estão à direita da raiz da função acima são 
positivos e que os valores de y à esquerda da raiz 
(– b/a) são negativos. E claro, se a função for 
decrescente acontecerá o oposto. 
Então: 
f(x) = ax + b 
RAIZ: ax + b = 0 = - b/a 
a > 0 a < 0 
 
 -b/a + 
 
 - 
 
 + 
 -b/a 
 
 - 
 
f(x) = 0 x = -b/a 
f(x) > 0 x > -b/a 
f(x) < 0 x < -b/a 
 
f(x) = 0 x = -b/a 
f(x) > 0 x < -b/a 
f(x) < 0 x > -b/a 
 
EXERCÍCIOS 
1) Analise como varia o sinal das seguintes 
funções: 
a) y = - 2x + 3 c) y = 2 – 5x 
b) y = 5x – 15 d) y = 2x + 6 
2) Sabendo que a função dada por y = mx + n 
admite 3 como raiz e f(1) = -8: 
a) Calcule os valores de m e n. 
b) Faça o estudo do sinal da função. 
 
FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Denomina-se função do 2º grau ou função 
quadrática toda função definida por 
 
 
 onde a # 0 e a, b e c pertence a R. 
Exemplo: 
a) f(x) = 3x
2 
- 2x + 1 onde a = 3, b = -2 e c = 1 
b) f(x) = -x
2
 onde a = -1, b = 0 e c = 0 
 O gráfico da função quadrática é uma curva 
denominada parábola, com eixo de simetria 
paralelo ao eixo y. 
CONCAVIDADE 
Ao construirmos os gráficos de funções do 2º 
grau podemos observar que o valor do 
coeficiente a influencia na concavidade da 
parábola. Se a for positivo a parábola terá 
concavidade voltada para cima e sua 
concavidade será voltada para baixo se o valor de 
a for negativo. 
EXEMPLOS: 
a) y = x2 - 4x + 3 ( a = 1, b = - 4 e c = 3) 
 y 
 3 
 2 
 1 
 0 1 2 3 4 x 
 -1 
 
b) y = - x2 + 2x – 1 (a = -1, b = 2 e c = -1) 
 
 y 
 
 
 -1 0 1 2 3 x 
 -1 
 -2 
 -3 
 -4 
 
EXERCÍCIOS 
1) Quais das seguintes funções quadráticas de 
R R têm a concavidade voltada para baixo? 
a) y = 2x2 -11x +5 
b) y = -x2 + 10x – 9 
a = 1 > 0 : 
concavidade 
voltada para 
cima 
a = -1 < 0 : 
concavidade 
voltada para 
baixo 
 
 14 
 
c) y = - 6x2 
2) Ache m na função f(x) = (m – 5)x2 + 3x – 1 
de modo que: 
a) f seja do 2º grau; 
b) a parábola que representa o seu gráfico tenha 
a concavidade voltada para baixo. 
 
RAÍZES DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 
Os pontos em que o gráfico de 
f(x) = ax
2
 + bx + c intercepta o eixo Ox 
correspondem aos valores de x para os quais 
f(x) = 0, ou seja, são as raízes da equação: 
ax
2
 + bx + c = 0. 
Para obter essas raízes, usamos a fórmula de 
Bhaskara. 
 
 
 
 
 
Dependendo do valor de Δ as raízes da função irá 
alterar: 
 
Δ > 0 

 2 raízes reais e diferentes. 
 
 
 x1 x2 
 
Δ = 0 

 2 raízes reais e iguais. 
 
 
 
 x1 = x2 
 
Δ < 0 

 não existem raízes reais. 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) A função f(x) = x2 –2x +3k tem dois zeros 
iguais. Nestas condições determine o valor de k. 
2) Determine m para que a função f(x) = 
(m+1)x
2
 – 2mx + m + 5 possua raízes reais e 
desiguais. 
 
VÉRTICE DA PARÁBOLA 
O ponto V = 
 
 
 
 
 
 é chamado de vértice 
da parábola, onde xv é a abscissa do vértice e yv é 
a ordenada do vértice. 
Pelos esboços dos gráficos das funções 
quadráticas podemos perceber que, dependendo 
da posição da parábola (concavidade para cima 
ou para baixo), a função pode ter um valor 
mínimo ou valor máximo, e que esses valores 
correspondem à ordenada do vértice da parábola. 
Quando a > 0, a função possui um valor 
mínimo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Quando a < 0, a função apresenta um 
valor máximo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
1) Estudar o sinal da função f(x) = x2 – 6x + 9. 
2) Na função f(x) = - 3x2 + 2x + 1, para que 
valores de x tem-se f(x) ? 
3) Determine as coordenas do vértice das 
funções: 
a) y = x2 – 8x + 12 
b) y = x2 – 6x 
c) y = x2 – 3x – 10 
 
 15 
 
 
14) (ACAFE-SC) Dois atletas A e B fazem 
teste de Cooper numa pista retilínea, ambos 
correndo com velocidade constante. A 
distância (d) que cada um percorre é 
mostrada no gráfico abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
Com base no gráfico, a alternativa correta é: 
a) A é mais veloz que B, pois percorre 600 
metros em 20 min. 
b) B percorre 1 km em 20 min. 
c) B é mais veloz que A, pois percorre 400 
m em 5 min. 
d) A e B correm na mesma velocidade. 
e) A percorre 400 m em 30 min. 
 
15) (VUNESP) O valor de um determinado 
tipo de automóvel diminui com o passar do 
tempo, como mostra o gráfico. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Esse carro não terá valor algum, decorridos 
a) 12 anos b) 13 anos c) 15 anos d) 16 anos 
e) 17 anos 
16) (EsSA) As abcissas dos pontos de 
interseção da parábola que representa função 
y = x
2
 + x –6, com eixo x são: 
a) 1 e –2 b) 3 e –2 c) –2 e –3 d) –3 e 2 
17) (EsSA) Estando afastado 6 metros de um 
muro de 3 metros de altura, um menino chuta 
uma bola que cai exatamente sobre o citado 
muro, após percorrer a trajetória descrita 
pela equação 
 xaaxy 412 
, em 
relação ao sistema de coordenadas usual. 
Nestas condições, a altura máxima atingida 
pela bola é: 
a) 10 b) 4 c) 8 d) 12 e) 6 
 
18) (PEIES-2000) A figura indica a trajetória 
parabólica do salto de uma rã e destaca a 
distância horizontal máxima (8 dm) e a altura 
máxima (2 dm) atingidas. 
 
 
 
 
 
 
 A função quadrática que expressa a altura 
em relação à distância horizontal é dada por 
a) f(x) = 0,125 x2 + x 
b) f(x) = - 0,125 x2 + x 
c) f(x) = - 0,25 x2 + 1,5 x 
d) f(x) = - x2 + 4,5 x 
e) f(x) = - 0,5 x2 + 2,5 x 
 
19) (UFSM-2000) Seja f: R  R uma função 
definida por f(x) = mx + p. Se f passa pelos 
pontos A(0, 4) e B (3, 0), então f 
–1
 passa pelo 
ponto 
a) (8, -2) b) (8, 3) c) (8, -3) d) (8, 2)f) (8, 1) 
 
 
20) (UFSM-2002) Considere a função f: 

 definida por 






Q xse ,1x
Q x se 2x,
 f(x)
2
 
 O valor de 
é f(1) )2f( )f( 
 
d(m) 
 B 
 A 
10 20 30 t(min) 
 
 500 
 400 
 300 
 200 
 100 
 
 
 0 
0 8 tempo(anos) 
 Preço(milhares) 
 
25.5 
 
 
13.5 
f(x)dm 
8 
 
2 
 x dm 
 
 16 
 
 a)
222  
 b) 
2222 
 
 c) 
22 
 d) 
12 
 
 e) 
122 
 
21) (UFSM) Baseado no gráfico da função y 
= ax
2
 + bx + c, com a, b e c 

, pode-se 
afirmar que y 
a) a > 0, 

 = 0 
b) a > 0, 

 > 0 x 
c) a < 0, 

 < 0 
d) a < 0, 

 = 0 
e) a < 0, 

 > 0 
 
 
22) Sendo as funções f: R  R definida por
2( ) 2 3f x x x  
 e g: R  R definida por 
2( ) 4 5g x x x   
, assinale (V) ou falsa 
(F) em cada uma das afirmações a seguir. 
( ) g(x) > f(x) para todo x] –1, 5 [ 
( ) f(x)  g(x) para todo x] –, –1]  [4, +[ 
( ) f(x) = g(x) para todo x{–1, 2, 5} 
A seqüência correta é: 
a) F – V – F b) F – V – V c) F – F – V 
d) V – V – F e) V – F – V 
23) Uma empresa que elabora material para 
panfletagem (santinhos) tem um lucro, em 
reais, que é dado pela lei 
2( ) 10 16L x x x   
, onde 
x
 é a 
quantidade vendida em milhares de unidades. 
Assim, a quantidade em milhares de unidades 
que deverá vender, para que tenha lucro 
máximo, é: 
a) 9 b) 8 c) 7 d) 6 e) 5 
24) O domínio da função f(x) = 
 
 
 
é: 
a) (1, 2] b) (

, 5] c) (

, 5[ ∪ ]1, 2[ 
d) (

, -5[ e) (

, -5] ∪ ]1, 2] 
 
 
 
FUNÇÃO EXPONENCIAL 
EQUAÇÃO EXPONENCIAL 
Uma empresa produziu, num certo ano, 8 000 
unidades de determinado produto. Projetando-se 
um aumento anual de produção de 50%, qual 
será a produção P dessa empresa t anos depois? 
Daqui a quantos anos a produção anual será de 
40 500 unidades. 
 Para calcular a produção P da empresa t anos 
depois, podemos usar a fórmula: 
P= 8 000 

(1,50)
 t 
 
Observe que a produção P varia em função 
do período de tempo t em anos: 
(t = 0, 1, 2, 3, ...) 
Para calcular daqui a quantos anos a 
produção anual será de 40 500 unidades, 
devemos fazer P = 40 500. Logo: 
40 500 = 8 000 

 (1,50)
 t 
A equação acima é chamada equação 
exponencial. 
DEFINIÇÃO: Chama-se equação exponencial 
toda e qualquer equação que contém variáveis no 
expoente. 
Procedimento para resolver uma equação 
exponencial 
 
 
 
 
a) 4x – 3 = 128 
b) 3x + 1 + 3x – 3x – 1 = 11 
 
 
 
 
 
simplifique as bases e iguale os expoentes: 
 x1 = x2 
 
 17 
 
 
 
1) Resolva as seguintes equações exponenciais: 
a) 2x = 128 
b) 5x = 
 
 
 
c) 
 
 
 
 
= 4 
d) 
 
 
2) Determine o conjunto solução da equação 
3
x
 
+ 1
 + 3 
x
 
– 2
 – 3 x – 3 + 3 x – 4 = 750 
3) Resolva o sistema: 
 
 
 
 
 
 
Função: 
Otávio e Rose formam um casal muito 
diferente: em suas famílias as pessoas vivem 
bastante tempo. Vamos calcular quantos bisavôs 
e bisavós têm conjuntamente Otávio e Rose? 
De início, contamos os ascendentes de Otávio 
e Rose e, em seguida, os somamos: 
Pais : 2 + 2 = 4 = 2
2
 
Avôs/ Avós : 4 + 4 = 8 = 2
3
 
Bisavôs/ Bisavós : 8 + 8 = 16 = 2
4
 
Podemos observar que, a cada passo dado 
para uma geração anterior, o número de 
ascendentes dobra. Se calculássemos o número 
de ascendentes de quinta geração (trisavôs/ 
trisavós) de Otávio e Rose, encontraríamos: 
16 + 16 = 32 = 2
5 
Enfim, para cada geração x que se escolhe há 
um número f(x) de ascendentes. O valor de f(x), 
portanto, é uma função de x, e a lei que expressa 
f(x) em função de x é f(x) = 2
x 
, que é um caso 
particular de Função Exponencial. 
A função f : R R dada por f(x) = a
x
 com 
(a # 1 e a > 0) é denominada função exponencial 
de base “a” e definida para todo x real. 
Assim, são funções exponenciais: 
f(x) = 2
x
 f(x) = 
 
 
 
 
 
GRÁFICO 
Apresentamos no plano cartesiano os gráficos 
das funções f(x) = 2
x
 e f(x) = 
 
 
 
 
 
 y f(x) = 2
x
 ( a = 2) 
 
 x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 y f(x) = 
 
 
 
 
 ( a = 
 
 
 ) 
 
 
 x 
 
 
 
 
 
1) Esboce o gráfico das seguintes funções: 
a) f(x) = 3x b) f(x) = 2x+1 c) f(x) = 
 
 
 
 
 
 
D = R , Im = 
 
a > 0 ( crescente ) 
A curva passa pelo 
ponto ( 0, 1) 
D = R , Im = 
 
0 < a < 1 ( decrescente ) 
A curva passa pelo 
ponto ( 0, 1) 
 
 18 
 
2) Identifique como crescente ou decrescente as 
seguintes funções: 
a) f(x) = 5x 
b) f(x) = 
 
 
 
 
 
c) f(x) = πx 
3) Determine o ponto de intersecção dos 
gráficos das funções f(x) = 4
x+1
 e g(x) = 
 
 
 . 
 
 FUNÇÃO LOGARÍTIMICA 
O que é Logaritmo? 
Sabemos que todo número positivo pode ser 
escrito como potência de 10. Nos séculos XVI e 
XVII, vários matemáticos desenvolveram 
estudos visando a simplificação do cálculo. 
Nesse sentido, construíram tabelas relacionando 
números naturais e expoentes de 10 
correspondentes a cada um. A esses expoentes 
deram o nome de logaritmos. 
 
 
 
1 = 10
0 
2 = 10
0,301
 
3 = 10
0,477
 
4 = 10
0,602 
 
Assim, o número 0,301 é chamado logaritmo 
de 2 na base 10. 
Indica-se : log10 2 = 0,301 ,ou seja, 2 = 10
0,301 
Essas tabelas foram chamadas de tábuas de 
logaritmos decimais porque os números são 
representados como potências de 10. Entretanto, 
os logaritmos podem ser escritos em qualquer 
base positiva diferente de 1. 
Chama-se logaritmo de um número “N”, 
positivo, numa base “a” positiva e diferente de 
um, a todo número ”x”, x ∈ R tal que “x” é o 
expoente ao qual devemos elevar “a” para 
encontrar o número “N”. ou seja: 
loga N = x a
x
 = N 
C. E 
 
 
 
 
OBS: Chamaremos de C.E as condições de 
existência do logaritmo, que usaremos para 
calcular o domínio da função e na resolução de 
equações logarítmicas. 
Consequência da definição: 
a
x
 = N loga N = x 
Substituindo em a
x
 = N o valor de x por 
logaN, obtemos: 
 
 
 
 
a) 
b) 
 
 
 
 
 
PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS 
I. O logaritmo de um produtoé igual à soma 
dos logaritmos dos fatores ( na mesma base). 
 
 
II. O logaritmo de um produto é igual à 
diferença entre o logaritmo do dividendo e o 
logaritmo do divisor ( na mesma base). 
 
 
 
 
III. O logaritmo de uma potência é igual ao 
produto do expoente pelo logaritmo da base da 
potência, isto é: 
 
 
 
 
 
Número Logaritmo 
 1 0,000 
 2 0,301 
 3 0,477 
 4 0,602 
 
 19 
 
 
 
1) Sendo log 2 = 0,31, log 3 + 0,477 e log 5 = 
0,699, calcule: 
a) log 8 b) log 81 c) log 2 d) log 1,8 
e) log 
 
 
 
2) Determine o campo de existência das 
funções: 
a) f(x) = log2(x – 8) 
b) f(x) = logx(x
2 
- 1) 
3) (UFU – MG) Resolva a equação 
3 
 
 
 
 
 
 
4) Reduza as expressões seguintes a um único 
logaritmo. 
a) log34 + log35 b) log58 + log512,5 – log54 
c) log 100 + log 50 + log 10 + log 2 
5) Resolva a equação: 4 . x
log
2
x
 = x
3 
 
 
6) Resolva o sistema: 
 
 
 
 
Resp: 1) a) 0,903 b) 1,908 c) 0,151 d) 
0,255 e) – 0,796 2) a) Resp: x > 8; 
b) Resp: x > 1 3) 64 4) a) log320 b) 2 c) 5 
5) {2, 4} 
MUDANÇA DE BASE 
Em muitas situações necessitaremos 
transformar o logaritmo de um número em uma 
certa base para uma outra base. 
Usando algumas propriedades operatórias, 
temos: 
 
 
 
 
EQUAÇÃO LOGARÍTIMICA 
Chama-se equação logarítmica toda qualquer 
equação que envolva logaritmo. 
Resolver uma equação logarítmica é 
determinar o valor ou os valores da incógnita que 
tornam a sentença verdadeira. 
Para a resolução de equações logarítmicas, 
adotaremos o seguinte método: 
1º) Indicaremos as condições de existência; 
2º) Resolvemos a equação; 
3º) Verificar as condições de existência com 
a solução. 
EXEMPLOS: 
a) log3
2
 x – log3 x – 6 = 0 
b) 2log7 x = log7 3x + log76 
 
 
1) Sendo log 2 = 0,3 e log 3 = 0,4, calcule log26. 
2) Resolva as equações logarítimicas: 
a) log2(7x + 2) = 1 
b) log 1/2 (5 – 12x) = 3 
c) log2(x
2
 – 2x – 16) = 3 
 
Resp: 1) 7/3 2) a) 0 b) 13/32 c) {-4, 6} 
FUNÇÃO LOGARÍTIMICA 
Dado um número real “a” (0 < a 

 1) 
chamamos função logarítmica de base “a” a 
função f(x) = loga x definida para todo x real 
positivo. 
Vamos representar no plano cartesiano os 
gráficos das funções f(x) = log2 x e f(x) = log1/2 
x. Sempre lembrando que x > 0. 
 f (x) = log2 x 
x f (x) y 
1/4 log2 1/4 -2 
1/2 log2 1/2 -1 
1 log2 1 0 
2 log2 2 1 
 
 
 20 
 
 
 
 
 
 
 
Se a > 1 (base for maior que 1) a curva do 
gráfico é crescente. 
Se 0 < a < 1 (base entre 0 e 1) a curva do 
gráfico é decrescente. 
CARACTERÍSTICAS: 
 D = 
 
 I m = R 
 f é crescente 
 A curva passa pelo ponto (1, 0) 
 
f (x) = log1/2 x 
x f (x) y 
1/4 log1/2 1/4 2 
1/2 log1/2 1/2 1 
1 log1/2 1 0 
2 log1/2 2 -1 
4 log1/2 4 -2 
 
 
 
 1 
 
CARACTERÍSTICAS: 
 D = 
 
 I m = R 
 f é decrescente 
 A curva passa pelo ponto (1, 0) 
 
 
1) Construa os gráficos das seguintes funções: 
a) f(x) = log3 x b) f(x) = 
 
 
c) f(x) = log2 (x – 1) 
2) (UFSM-2002) O gráfico mostra o 
comportamento da função logarítmica na base a. 
Então o valor de a é: y 
a) 10 
b) 2 4 
c) 1 1 x 
d) 1/2 -2 
e) -2 
3) Ache o domínio das funções definidas 
abaixo: 
a) f(x) = 
b) f(x) = 
 
c) f(x) = 
d) f(x) = 
 
 
Resp: 2) D 3) c) 12/5 < x < 13/5 d) 2 < x < 3 ou 
3 < x < 4 
 
 
 
25) Numa lavoura de soja, a população de 
lagartas, por m
2
, num instante t, é descrita 
pela função P(t) = P02
kt
, onde t é o tempo dado 
em semanas, k é uma constante experimental 
e P0 é a população inicial. Uma semana depois, 
foram contadas 8 lagartas por m
2
 e, três 
semanas após o instante inicial, 32 lagartas 
por m
2
. Considerando que a população 
1 x 
y 
 
 21 
 
continue seu desenvolvimento nas mesmas 
condições iniciais, o número de lagartas, em 
cada m
2
, depois de cinco semanas, será: 
a) 16 b) 48 c) 64 d) 128 e) 256 
26) O domínio da função 
f( x ) = 
 
 
 é o conjunto de 
números reais dado por 
a) ] –, + [ b) ] –3, –2 [  [–1, 3] 
c) ] –3, –2 [  ] –1, +[ d) ] –3, –1 ]  [3, +[ 
e) ] –2, + [ 
27) Seja x > 1. Se x3 = z e z4 = y, então o 
valor de logxy – logyx é 
a) 
7
12
 b) 
12
120
 c) 
12
145
 d) 12 e) 
12
143
 
 
28) (URGS) O valor de x, para que a 
igualdade log
2
x + 2log
3
 27 = 8 seja 
verdadeira, é: 
a) 2 b) 4 c) 8 d) 10 e) 12 
 
29) (UERGS-2003) A solução da equação 
16 x . 
 
 
 = 1 é: 
a) –1/4 b) –1/2 c) 0 d) 1/8 e) ¼ 
 
30) Resolver a equação exponencial 
 
 
 = 2. 
 
31) Se y = 
 
 para que y exista 
devemos ter x: 
a) igual a 4 b) menor que 4 c) maior que 4 
d) igual a 2 e) nada disso 
 
32) A soma dos logaritmos de dois números 
na base 9 é 
 
 
. o produto desses números é: 
a) 3 b) 
 
 
 c) 81 d) -81 e) nenhuma das 
anteriores. 
33) (FGV) A solução do sistema 
 
 
 
 
 
 
 
 
é um par (x, y) tal que x – y vale: 
a) -16 b) 16 c) 4 d) -4 e) 2 
 
34) (UFSM-1999) 
 
 
 
 
 
 
 
A figura mostra um esboço do gráfico da 
função y = a
x
 + b, com a, b  R, a > 0, a 0 e 
b 0. Então, o valor de a2 – b2 é: 
a) –3 b) –1 c) 0 d) 1 e) 3 
35) Considere 
a
, 
b
 e 
c
 números reais 
maiores que 1. Se x = logab, y = logbc e z = 
logca, então o valor de (3 – xyz)
3
 é: 
a) –8 b) –1 c) 1 d) 6 e) 8 
36) Se log8x – log8y = 
 
 
, então a relação entre 
x e y é: 
a) x = 3y b) 2x – y = 0 c) 
 
 
 
 
 
 
d) y = 8x e) x = 2y 
 
 
GEOMETRIA PLANA 
ALGUNS POSTULADOS 
Antes de iniciarmos o estudo de geometria 
plana, vamos conhecer alguns postulados: 
a) Numa reta, bem como fora dela, há infinitos 
pontos. 
b) Num plano há infinitos pontos. 
c) Dois pontos distintos determinam uma única 
(uma, e uma só) reta que passa por eles. 
d) Três pontos não colineares determinam um 
único plano que passa por eles. 
OBS: Lembrando que pontos colineares são 
pontos que pertencem a uma mesma reta. Pontos 
coplanares são pontos que pertencem a um 
mesmo plano. 
 2 
  
x 
y 
  
0 
 2 
 522 
 
Figura é qualquer conjunto de pontos. Figura 
plana é uma figura que tem todos os seus pontos 
num mesmo plano. Assim: 
Geometria plana estuda as figuras planas. 
SEGMENTO DE RETA 
Dados dois pontos distintos, a reunião do 
conjunto desses dois pontos com o conjunto dos 
pontos que estão entre eles é um segmento de 
reta. 
Então: 
Dados A e B, A # B, o segmento de reta 
AB(indicado por ) é o que segue: 
 
 A B 
 SEMI-RETA 
Dados dois pontos distintos A e B, a reunião 
do segmento de reta com o conjunto dos 
pontos x tais que B está entre A e x é a semi-reta 
AB (indicada por ). 
 
 A B X r 
 
ÂNGULO 
Chama-se ângulo à reunião de duas semi-
retas de mesma origem, não contidas numa 
mesma reta (não colineares). 
 A a 
O A B = ângulo 
 
 B b 
As semi-retas e são os lados do 
ângulo. 
A bissetriz de um ângulo é uma semi-reta 
interna ao ângulo, com origem no vértice do 
ângulo e que o divide em dois ângulos 
congruentes. 
SISTEMAS DE MEDIDAS DE ÂNGULO 
Sistema Graus 
Ângulo de um grau(1º) é o ângulo cuja medida é 
1/90 de um ângulo reto. 
O grau admite dois submúltiplos, o minuto e o 
segundo. 
Ângulo de um minuto (1’) é o ângulo cuja 
medida é 1/60 de 1º. 
medida é 1/60 de 1’. 
Observe que: 
1 reto → 90º 
1º → 60 minutos 
1 minuto → 60 segundos 
 
ÂNGULO AGUDO, OBTUSO e RASO 
Ângulo agudo 
Um ângulo é agudo, quando sua medida é 
menor do que a medida de um ângulo reto, ou 
seja, menor que 90º. 
Ângulo obtuso 
Um ângulo é obtuso, quando sua medida é 
maior do que a medida de um ângulo reto, ou 
seja, maior que 90º. 
Ângulo raso 
Um ângulo é raso, quando seus lados são 
semi-retas opostas. A medida de um ângulo raso 
é dois retos ou 180º. 
ÂNGULOS COMPLEMENTARES 
Dois ângulos são complementares quando a 
soma de suas medidas é um ângulo reto. Um dos 
ângulos é chamado complemento do outro. O 
complemento de um ângulo x seria então: 
( 90º - x) 
ÂNGULOS SUPLEMENTARES 
Dois ângulos são suplementares quando a 
soma de suas medidas é dois ângulos retos 
(180º). Um dos ângulos é chamado suplemento 
do outro. Assim o suplemento de um ângulo y é: 
(180º - y). 
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE 
Se dois ângulos são opostos pelo vértice, 
então eles são congruentes. 
 
 
 23 
 
 
 x 
 
 y 
x e y são o.p.v. portanto x ≡ y 
 
 
 
1) A medida de um ângulo é igual à metade da 
medida do seu suplemento. O complemento 
desse ângulo mede: 
2) Determine o valor de x nos casos: 
 
a) 2x – 10º( ) 40º 
 
b) x 
 
 3y-10º ( ) 2y + 10º 
 
 
 OP = bissetriz 
 3x – 5º 
 O ) P 
 2x + 10º 
 
2) A razão entre dois ângulos suplementares é 
igual a 2/7. Determine o complemento do menor. 
3) O complemento de um ângulo está para o seu 
suplemento como 2 para 7. Calcule a medida do 
ângulo. 
TRIÂNGULOS 
Classificação dos triângulo 
 Quanto aos lados os triângulos se classificam 
em: 
 
EQUILÁTERO ISOSCÉLES ESCALENO 
Equilátero: Possuem os três lados congruentes 
Isósceles: Possuem dois lados congruentes 
Escaleno: Não possuem lados congruentes 
 Quanto as ângulos, os triângulos se classicam 
em: 
 B 
 A 
RETÂNGULO em A OBTUSÂNGULO em B 
 
 
 ACUTÂNGULO 
Retângulo: se possuem um ângulo reto. 
Acutângulo: se possuem todos os ângulos agudos 
Obtusângulo: se possuem um ângulo obtuso 
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
Casos de Semelhança de Triângulos 
Dois ângulos congruentes: Se dois triângulos tem 
dois ângulos correspondentes congruentes, então 
os triângulos são semelhantes. 
 
 
 
 
 
CASO: ALA 
Dois lados congruentes: Se dois triângulos tem 
dois lados correspondentes proporcionais e os 
ângulos formados por esses lados também são 
congruentes, então os triângulos são 
semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
 
CASO: LAL 
 
 24 
 
Três lados proporcionais: Se dois triângulos têm 
os três lados correspondentes proporcionais, 
então os triângulos são semelhantes. 
 
 
 
 
 
 
CASO: LLL 
MEDIANA DE UM TRIÂNGULO 
Mediana de um triângulo é um segmento com 
extremidades num vértice e no ponto médio do 
lado oposto. 
Veja a figura: 
M1 é ponto médio do lado BC 
 é a mediana relativa ao lado ou ao 
vértice A. 
 A 
 
 B M1 C 
As três medianas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto (baricentro) 
que divide cada mediana em duas partes tais que 
a parte que contém o vértice é o dobro da outra. 
 
BISSETRIZ INTERNA DE UM 
TRIÂNGULO 
Bissetriz interna de um triângulo é o 
segmento, com extremidades num vértice e no 
lado oposto, que divide o ângulo desse vértice 
em dois ângulos congruentes. 
Veja a figura: 
AS é a bissetriz relativa ao lado e ao 
vértice A. 
 A 
 
 
 B S C 
As três bissetrizes internas de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto (incentro) que 
está a igual distância dos lados do triângulo. O 
incentro é o centro da circunferência inscrita no 
triângulo. 
MEDIATRIZ DE UM TRIÂNGULO 
A mediatriz de um triângulo é a reta 
perpendicular a um de seus lados, traçada pelo 
ponto médio desses lados. 
 A : mediatriz do triângulo 
 
 
 T 
As mediatrizes dos lados de um triângulo 
interceptam-se num mesmo ponto (circuncentro) 
que está a igual distância dos vértices do 
triângulo. O circuncentro é o centro de 
circunferência circunscrita ao triângulo. 
ALTURA DE UM TRIÂNGULO 
Altura de um triângulo é um segmento de reta 
perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu 
prolongamento, traçado pelo vértice oposto a 
esse lado. 
 A : altura do triângulo 
 
 H 
As três retas suportes das alturas de um 
triângulo interceptam-se num mesmo ponto 
(ortocentro). 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DO 
TRIÂNGULO 
A soma dos ângulos internos de um triângulo 
é 180º graus. 
OBS: Em todo triângulo, qualquer ângulo 
externo é igual a soma dos dois ângulos internos 
não adjacentes a ele. 
 
 
 
 
 
 
 
 25 
 
 
 
 
1) Calcule o valor das incógnitas 
a) 
 
 
 
 
 
 
b) 
 
 5 
 
 
 
c)2) Na figura, o ângulo x mede: 
a) 30º b) 45º c) 60º d) 65º e) 75º 
 
 
 
 
PARALELISMO 
Retas paralelas 
Duas retas são paralelas (símbolo: //) se, e 
somente se, são coincidentes (iguais) ou são 
coplanares (pertencem ao mesmo plano e não 
têm nenhum ponto em comum. 
 
 
 
 
(a α, b α ∩ b ∅ → // b 
 
Sejam a e b duas retas distintas, paralelas ou 
não, e t uma reta concorrente com a e b: 
 
 1 
 4 2 
 3 
 5 6 
 
 8 7 
 
 Dos oitos ângulos determinados por essas 
retas indicados nas figuras acima, chama-se 
ângulo 
 
 alternos internos: e , e 
Alternos 
 alternos externos: e , e 
 
 
 colaterais internos: e , e 
Colaterais 
 colaterais externos: e , e 
 
Esses pares de ângulos são congruentes (por 
exemplo: ≡ ). 
 
TEOREMA DE TALES 
Três ou mais retas paralelas entre si, em um 
mesmo plano, formam um feixe de retas 
paralelas ou, simplesmente, feixe de paralelas. 
Um feixe de paralelas determina em duas 
transversais, segmentos que são proporcionais 
(teorema de Tales). 
 
 
a α 
 
b 
 5 6 
 8 7 
 1 2 
 4 3 
x y 
3 
6 
10 
12 
• 
5 
x 
y 
• 
 12 16 
20 
 
 . 
 
 12 
 
 3 
 
 4 
 X 
x 
120º 135º 
 
 26 
 
 
 A M a 
 
 B N b 
 
 C P c 
 s t 
a // b // c 
 
 
 
 
 
 
O teorema de Tales pode ser aplicado 
nos triângulos quando traçamos uma 
paralela a um dos seus lados. 
 
 
1) Determine o valor de x em cada caso abaixo, 
sendo r, s e t retas paralelas. 
 r 
a) x 4 
 s 
 6 8 
 t 
 r 
b) 6 9 
 s 
 8 x 
 t 
 
2) Na figura temos que // . Determine o 
valor de x. 
 C 
 2x x + 4 
 M N 
 5 8 
 A B 
3) A soma dos quatros ângulos agudos formados 
por duas retas paralelas cortadas por uma reta 
transversal é igual a 80º. Determine o ângulo 
obtuso. 
4) Sendo y e s paralelas, o valor de x é: 
a) 40º b) 50º c) 60º d) 70º e) 80º 
 
5) Na figura, a reta r é paralela ao lado AB do 
triângulo retângulo ABC. O comprimento do 
lado AB, em centímetros, é: 
a) 5
5
 b) 
5
 c) 
3 5
 d) 
5 5
 e) 
4 5
 
 
 
 
 
 B 
 
Resp: 2) aprox. 1,82 3) 160° 
 
 
 
37. Uma rampa de inclinação constante, 
apoiada sobre uma superfície horizontal, 
mede 4 m de altura na sua parte mais alta. 
Uma pessoa, após caminhar 12,3 m sobre esta 
rampa, pára quando se encontra a 1,5 m de 
altura em relação ao solo. O número de 
metros que a pessoa ainda deve caminhar, 
para atingir o ponto mais alto da rampa, é: 
a) 30 b) 26,5 c) 20,5 d) 18,5 e) 13,8 
38. Na figura abaixo, 
AC 5
, 
BC 6
 e 
DE 3
. A área do triângulo ADE mede: 
a) 15/8 
b) 15/4 
c) 15/2 
d) 10 
e) 15 
39. Considere a figura a seguir, em que o 
ângulo é reto e as medidas dos segmentos 
AC, CD e BD são 1, 3 e 3 2, respectivamente. 
A medida do segmento BC e a área do 
triângulo ABC são, respectivamente: 
a) 3 e 2 b) 3 e 2/2 c) 2 e 3/2 
d) 2 e 3 e) 3 e 1 
 x 
 80º 
120º y 
s 
r 
x 6 
3 2 
A B 
 C 
• 
• 
• B A 
C 
D 
E 
 
 27 
 
 
 
 
 
40) Considerando a figura na qual e 
 , determine as medidas x e y nela 
indicadas. 
 
 
 
 
 
 
41) (UFPE) A figura seguinte representa um 
rio cujas margens são retas paralelas. 
 
 
 
 
Qual é o número inteiro mais próximo da 
largura do rio, quando esta é medida em 
metros? 
a) 26m b) 23 m c) 15m d) 5m e) 48m 
42) (MACK – SP) O triângulo ABC da figura 
foi dividido em duas partes de mesma área 
pelo segmento DE, que é paralelo a BC. A 
razão 
 
 
 vale: 
 
 
 
 
a) 2 b) 
 
 
 c) 
 
 
 d) e) 
 
 
 
43) Os lados de um triângulo medem 10 cm, 
12 cm e 18 cm. Determine as medidas dos 
lados de um triângulo semelhante ao anterior, 
cujo perímetro mede 60 cm. 
44) O complemento da terça parte de um 
ângulo excede o complemento desse ângulo em 
30°. Determine o ângulo. 
45) Na figura é paralela a . Sendo 
B E igual a 80° e A C igual a 35°. A medida 
do ângulo A D é: 
 
 
 
a) 20° b) 140° c) 115° d) 120° e) 156° 
46) Determine a medida do menor ângulo 
formado pelas bissetrizes externas relativas 
aos vértices B e C de um triângulo ABC, 
sabendo que o ângulo  mede 76°. 
47) Da figura, sabemos que AB = BC, = 
100° e AD = BC. O valor de x = C D é: 
 
 
 
a) 10° b) 20° c) 25° d) 67° e) 13° 
 
 
QUADRILÁTEROS 
O quadrilátero é um polígono simples de 
quatro vértices. 
Os quadriláteros podem ser côncavo ou 
convexo. Ele será convexo quando a reta que une 
dois vértices consecutivos não encontra o lado 
formado pelos dois outros vértices. 
Exemplo: 
 
 
Convexo Côncavo 
OBS: A soma dos ângulos internos de 
qualquer quadrilátero é 360º. 
 
 É o quadrilátero que possui os lados opostos 
paralelos. Pode-se notar as seguintes 
características: 
x 
 C 
A 
B 
D 
100° 
 C 
 D 
E 
 B 
 A 
 C B 
 D E 
 A 
A 
B 
C 
D 
D E 
 F 
 A B 
 C 
 
 5 
 
 
 10 
 y x y 
 14 
 • 
 
 ∙ 
8 cm 32 cm 
 10 cm28 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1) Calcule a área de um paralelogramo cuja base 
mede 10 cm e a altura mede 8 cm. 
2) Calcule a área e o perímetro dos seguintes 
paralelogramos: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
Os paralelogramos, por sua vez, se dividem 
em retângulo, losango e quadrado. 
RETÂNGULO: É o paralelogramo que 
possui os quatro ângulos internos retos. Podemos 
notar as seguintes características: 
 
 
 
 
 
 
 
 
A = b x h P = 2b + 2h d
2
 = h
2
 + b
2 
LOSANGO: É o paralelogramo que possui 
os quatro lados iguais. Podemos notar as 
seguintes características: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 P = 4 
 
QUADRADO: É o paralelogramo que possui 
os quatro lados iguais e os quatro ângulos 
internos retos. Podemos notar as seguintes 
características: 
 
 
 
 
lado
apótema
altura
a
h
=
=
=
l
 P = 4 A = 
2 
 a = 
 
 
 
 
 
 
 
 
l h 
• 
b 
l 
A b h= ×
 
P 2b 2= + l
 
1ª) Os lados opostos são iguais; 
2ª) Os ângulos opostos são 
iguais; 
3ª) As diagonais cortam-se ao 
meio. 
• 
7 
3 
5 
8 
6 
60º 
1ª) Os lados opostos são iguais; 
2ª) As diagonais cortam-se ao meio e são 
iguais. 
• 
• 
• 
• 
d 
b 
h 
1ª) Os ângulos opostos são iguais; 
2ª) As diagonais cortam-se ao meio; 
3ª) As diagonais são perpendiculares entre si e 
bissetrizes dos ângulos internos. 
D 
d 
• 
 
 
• • 
• • • 
 
 
a
 
d 
1ª) As diagonais cortam-se ao meio e são 
iguais; 
2ª) As diagonais são perpendiculares entre si 
e bissetrizes dos ângulos internos; 
3ª) O quadrado é ao mesmo tempo retângulo 
e losango. 
 
 29 
 
 
 
1) Determine a área, o perímetro e a diagonal de 
um retângulo de dimensões 4 cm e 3 cm. 
2) Num retângulo, uma dimensão é o dobro da 
outra. Se a área do retângulo é 128 cm
2
, calcule o 
seu perímetro. 
3) Calcule a área e o perímetro de um losango 
cujo lado mede 5 cm e a diagonal maior mede 8 
cm. 
4) Determine a área do losango de perímetro 40 
cm e cuja diagonal maior mede 16 cm. 
5) Calcule a diagonal de um quadrado de área 
igual a 144 cm
2
. 
 
É o quadrilátero que possui apenas dois lados 
paralelos. 
 
 
 
 
 
 B: Base maior 
 b: base menor 
 h: altura 
1) TRAPÉZIO ISÓSCELE: É o trapézio 
que possui os lados não paralelos iguais. 
 
 
2) TRAPÉZIO RETÂNGULO: É o trapézio 
que possui dois ângulos retos. 
 
 
 
PROPRIEDADE DOS QUADRILÁTEROS 
 Num trapézio, os ângulos adjacentes a um 
dos lados opostos oblíquos, são suplementares. 
 
 
 
 
 
 
 
 Num trapézio isósceles, os ângulos 
adjacentes à mesma base são geometricamente 
iguais. 
 
 
 
 e 
 A mediana de um trapézio é paralela às bases 
e o seu comprimento é igual à semi-soma dos 
comprimentos das bases. 
 
 A B 
 E F 
 C D 
 
 
 
 
 Os ângulos opostos de um paralelogramo são 
geometricamente iguais. 
 Os ângulos internos adjacentes a cada lado de 
um paralelogramo (ângulos internos 
consecutivos) são suplementares. 
 Os lados opostos de um paralelogramo são 
geometricamente iguais. 
 Uma diagonal de um paralelogramo divide-o 
em dois triângulos geometricamente iguais. 
 As diagonais de um losango são 
perpendiculares. 
 As diagonais de um retângulo são 
geometricamente iguais. 
 As diagonais de um quadrado são 
perpendiculares e geometricamente iguais. 
 
 
 
 
A 
 
 D 
 
 C 
 B 
 
 A 
 
 C 
 
 D 
 
 
 B 
 
• 
b 
B 
h 
 B b h
A
2
 

 
• 
• 
 
 30 
 
 
 
1) Determine o valor de x na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
2) Determine os ângulos dos quadriláteros 
casos: 
a) 
 
 
 
b) 
 
 
 
 
c) 
 
 
 
3) A área de um retângulo cuja diagonal é 5 m e 
o perímetro vale 14 m é, em m
2
: 
 
POLÍGONOS 
Polígono é um conjunto de segmentos de reta 
coplanares (mesmo plano) tais que: 
1º) Cada extremidade de qualquer um deles é 
extremidade de dois e apenas dois deles; 
2º) Dois segmentos consecutivos quaisquer, 
dentre eles, não são colineares. 
 
ELEMENTOS DE UM POLÍGONO 
 
 
 
 
 
 
 
 
PERÍMETRO: É a soma das medidas dos 
comprimentos dos lados do polígono. 
DIAGONAL: Segmento que une dois vértices 
não-consecutivos do polígono. O número de 
diagonais de um polígono de 
n
 lados é dado 
por: 
 ,onde n≥4 
 
 
SOMA DOS ÂNGULOS DE UM 
POLÍGONO CONVEXO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3x
 2x
 
2x
 4 30ºx
 
 x+5° x+30° 
 
 x 
A 
 2x 
 
 2x – 20° 
 
 
 
 3x 
 
 2x 
2x
 
 110º 
70º 
y
 
z
 
40º 40º 
Lado 
Diagonal 
Vértice 
Ângulo Externo 
Ângulo Interno 
E 
A 
 
B 
C 
 
 D 
F 
 3
d
2
n n

 
SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE 
UM 
POLÍGONO CONVEXO DE 
n
 LADOS: 
 
 S 180º 2i n  
 
SOMA DOS ÂNGULOS EXTERNOS 
DE UM 
POLÍGONO CONVEXO DE 
n
 LADOS: 
 
S 360ºe 
 
 
 31 
 
 
 
 São todos os polígonos convexos que possuem 
os lados e os ângulos congruentes, 
respectivamente. 
EXEMPLOS: 
 
 Hexágono regular 
 
 
 
 Pentágono regular 
 
 Triângulo equilátero 
 
 NOME DOS POLÍGONOS CONFORME 
O NÚMERO DE LADOS 
 
 
 
 
 
 
 
Um polígono convexo é regular se, e somente 
se, tem todos os seus lados congruentes e todos 
os seus ângulos internos congruentes. 
Assim, o triângulo eqüilátero é o triângulo 
regular e o quadrado é o quadrilátero regular. 
Um polígono regular é eqüilátero e eqüiângulo. 
PROPRIEDADES 
 Todo polígono regular é inscritível numa 
circunferência, ou seja, existe uma única 
circunferência que passa pelos seus vértices. 
Exemplo: 
 
 
 Todo polígono é circunscritível a uma 
circunferência. 
Exemplo: 
 
 
 
 
O centro de um polígono regulaR é o centro 
comum das circunferências circunscrita e 
inscrita. O Apótema do polígono regular é o 
segmento com uma extremidade no centro e a 
outra no ponto médio de um lado. 
 
 
 
1) Calcule a área de um hexágono regular cujo 
lado mede 3 cm. 
2) O apótema de um hexágono regular mede 
 cm. Determine a sua área. 
3) Determine a área do hexágono regular 
inscrito num círculo de raio 8 cm. 
4) Um hexágono regular tem área igual a 
 cm2. Calcule o raio do círculo nele 
inscrito.