AP3-IPE-2012-1-gab

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
AP3 – INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA – GABARITO
Nome: Matr´ıcula:
Polo: Data:
Atenc¸a˜o!
• Identifique a Prova, colocando Nome, Matr´ıcula, • O desenvolvimento das questo˜es pode ser a la´pis. No entanto,
Polo e Data; as respostas devera˜o estar necessariamente a` caneta;
• E´ expressamente proibido o uso de calculadoras; • E´ expressamente proibido o uso de corretivo nas respostas.
• Devolver a prova e a folha de respostas ao res-
ponsa´vel;
Questa˜o 1 [1,5 ponto] Quantos sa˜o os anagramas da palavra DISCIPLINA; isto e´, quantas per-
mutac¸o˜es existem para essa palavra?
Soluc¸a˜o.
E´ um problema de permutac¸a˜o com elementos repetidos. Logo, o nu´mero de permutac¸o˜es e´ dado
por:
P (10)
P (3)
=
10!
3!
= 10× 9× 8× 7× 6× 5× 4 = 604.800 .
Questa˜o 2 [2,5 pontos] Uma comissa˜o de professores e´ formada escolhendo-se, ao acaso, quatro
nomes dentre os seguintes: Katia, Eliane, Marcelo, Moyses, Hamilton e Denise.
(a) [1,0 ponto] Determine a probabilidade de Hamilton fazer parte dessa comissa˜o.
(b) [1,5 ponto] Determine a probabilidade de Katia na˜o fazer parte dessa comissa˜o, sabendo que
Moyses faz parte da comissa˜o.
Soluc¸a˜o.
(a) Como sera˜o escolhidos quatro nomes, entre seis, a cardinalidade do espac¸o amostral e´ igual a
C(6, 4) = 15. O nu´mero de comisso˜es em que Hamilton e´ um dos membros e´ igual a C(5, 3) = 10.
Logo, a probabilidade de Hamilton fazer parte da comissa˜o escolhida e´
10
15
=
2
3
.
(b) Temos um caso de probabilidade condicional.
Consideremos os eventos A: Katia na˜o faz parte da comissa˜o e B: Moyses faz parte da comissa˜o.
Queremos calcular P (A|B) =
P (A ∩B)
P (B)
.
Para calcular P (A∩B) devemos encontrar o nu´mero de comisso˜es que Moyses faz parte e que Katia
na˜o faz.
Como ha´ quatro vagas na comissa˜o, temos que uma das posic¸o˜es sera´ ocupada obrigatoriamente por
Moyses. E, para preencher as outras treˆs posic¸o˜es devemos escolher entre quatro nomes (pois Katia
INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA AP3 2
na˜o faz parte). Assim, ha´ no total, 1×C(4, 3) = 4 comisso˜es em que Moyses faz parte e Katia na˜o
faz. Logo, P (A ∩B) =
4
15
.
O nu´mero de comisso˜es que Moyses faz parte e´ 1× C(5, 3) = 10. Logo, P (B) =
10
15
=
2
3
.
Portanto, P (A|B) =
4/15
2/3
=
2
5
.
Questa˜o 3 [4,0 pontos] Considere um baralho com 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe
(copas, ouros, paus e espadas). As 13 cartas compreendem numerac¸a˜o de 2 a 10, mais valete, dama,
rei e a´s. Dizemos que copas e ouros sa˜o naipes de cor vermelha, enquanto que paus e espadas sa˜o
naipes de cor preta.
Duas cartas sa˜o escolhidas desse baralho, uma apo´s a outra, com reposic¸a˜o. Isto e´, apo´s a primeira
carta ser escolhida, esta e´ retornada ao baralho, antes de a segunda carta ser escolhida.
Considere os eventos:
E1: as duas cartas escolhidas sa˜o de copas.
E2: exatamente uma das cartas escolhidas e´ um rei.
(a)[1,0 ponto] Determine P (E1).
(b)[1,0 ponto] Determine P (E1 ∪ E2).
(c)[1,0 ponto] Determine P (E1|E2).
(d)[1,0 ponto] Verifique se os eventos E1 e E2 sa˜o independentes. Justifique sua resposta.
Soluc¸a˜o.
Seja Ω o espac¸o amostral. Assim, #Ω = 52× 52 = 2704.
(a) Temos que #E1 = 13× 13 = 169. Logo, P (E1) =
169
2704
=
1
16
.
(b) Temos que P (E1 ∪ E2) = P (E1) + P (E2)− P (E1 ∩ E2).
Mas, P (E1) =
169
2704
=
1
16
.
Para o evento E2, podemos calcular a cardinalidade usando o princ´ıpio multiplicativo. Considerando
uma das cartas sendo um rei e a outra uma carta qualquer, que na˜o seja um rei, temos duas possibi-
lidades. Isto e´, a primeira e´ um rei e a outra uma carta qualquer, que na˜o seja um rei, ou vice-versa.
Logo, a cardinalidade de E2 e´ dada por: 4× 48 + 48× 4 = 384. Logo, P (E2) =
384
2704
=
24
169
.
Para o ca´lculo da cardinalidade do evento E1 ∩ E2 temos dois casos: a primeira carta escolhida e´
um rei de copas e a outra e´ uma carta qualquer de copas, que na˜o seja um rei e vice-versa. Logo, a
cardinalidade de E1 ∩ E2 e´ calculada por: 1× 12 + 12× 1 = 24.
Portanto, P (E1 ∩ E2) =
24
2704
=
3
338
.
Assim,
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INTRODUC¸A˜O A` PROBABILIDADE E ESTAT´ISTICA AP3 3
P (E1 ∪ E2) =
169
2704
+
384
2704
−
24
2704
=
529
2704
.
(c) Temos P (E1|E2) =
P (E1 ∩ E2)
P (E2)
=
24
384
=
1
16
.
(d) Pelo item (c), temos que P (E1|E2) =
1
16
. Tambe´m, P (E1) =
1
16
. Portanto, P (E1|E2) =
P (E1). Logo, E1 e E2 sa˜o eventos independentes.
Questa˜o 4 [2,0 pontos] A probabilidade de que um determinado praticante de tiro atinja o alvo
com um tiro e´ 1/3. Suponha que o praticante atire 5 vezes contra o alvo.
(a)[1,0 ponto] Determine a probabilidade de o praticante de tiro atingir o alvo pelo menos uma 1 vez.
(b)[1,0 ponto] Determine a probabilidade de o praticante de tiro atingir o alvo exatamente 3 vezes.
Soluc¸a˜o.
(a) A probabilidade de o atirador na˜o atingir o alvo em nenhuma das tentativas e´
C(5, 0)
(
1
3
)0(
2
3
)5
=
32
243
.
Portanto, a probabilidade de o praticante de tiro atingir o alvo pelo menos uma vez e´ 1−
32
243
=
211
243
.
(b) A probabilidade de o atirador atingir o alvo exatamente 3 vezes e´ dada por
C(5, 3)
(
1
3
)3(
2
3
)2
= 10×
1
27
×
4
9
=
5
486
.
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