Aula 05 - Excentricidade de 1 ordem

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Aula 05 - Excentricidade de 1ª ordem set-19
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Estruturas de Concreto: 
Pilares
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Características Geométricas
 Desta forma, para um pilar de seção transversal 25x40 o esforço
axial de compressão de cálculo seria
Onde:
𝑁௞ = força normal característica do pilar;
𝛾௡ = coeficiente de majoração da força normal
𝛾௙ = coeficiente de ponderação das ações no ELU, normalmente com o valor de 1,4;
𝑁ௗ = 𝛾௡. 𝛾௙. 𝑁௞
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Características Geométricas
 Por outro lado, para um pilar de seção transversal 15x50, o
esforço a considerar seria
𝑁ௗ = 1,2.1,4. 𝑁௞
B (cm)  19 18 17 16 15 14
n 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25
𝑁ௗ = 𝛾௡. 𝛾௙. 𝑁௞
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Comprimento equivalente
 Sendo vinculado nas extremidades, o comprimento equivalente a
ser adotado é o menor dos valores:
𝑙௘ ≤ (𝑙଴+ℎ) 𝑜𝑢 𝑙
sendo:
𝑙଴ = distância entre as faces internas dos elementos
estruturais;
h = altura da seção transversal do pilar;
𝑙 = distância entre os eixos dos elementos estruturais
a que o pilar está vinculado.
 No caso de pilar engastado na base e livre no topo: 𝑙௘ = 2𝑙
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Comprimento equivalente
 Propriedades geométricas importantes:
 Raio de Giração: 𝑖 = ூ
஺
 
,sendo
I= momento de inércia
A= área;
 Índice de Esbeltez: 𝜆 = ௟೐
௜
, sendo
𝑙௘= comprimento equivalente
i= raio de giração.
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Classificação dos pilares
 Normalmente, os pilares de edifícios podem ser agrupados em
dois conjuntos, conforme a sua função em termos de resistência
a esforços horizontais:
 Pilares de contraventamento;
 Pilares contraventados.
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Classificação dos pilares
extremidades do piso (pilares-
parede, caixas de escadas), sendo
que o cálculo destes pilares exige a
sua consideração da estrutura
como um todo.
 Pilares de contraventamento: são os pilares que, devido a sua
grande rigidez, permitem considerar os diversos pisos do
edifício como praticamente indeslocáveis. Normalmente, são
constituídos pela caixa de elevador e por pilares devidamente
enrijecidos e situados junto às
Figura: Fusco, 1981
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Classificação dos pilares
 Pilares de contraventados: são pilares com “rigidez menor”, onde
as extremidades de cada lance podem ser consideradas
praticamente indeslocáveis devido ao efeito conjunto dos pilares
de contraventamento e das lajes de piso. O seu cálculo pode ser
feito através da análise isolada de cada lance entre pisos.
Conforme a posição dos pilares contraventados no piso, eles
podem ser agrupados nos seguintes tipos, conforme figura a
seguir:
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Classificação dos pilares
 Pilares internos ou intermediários – situados internamente ao
piso, constituem os apoios internos das vigas, sendo a força
normal (N) seu principal esforço solicitante.
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Classificação dos pilares
 Pilares de extremidade ou de borda – geralmente situados nas
bordas do piso, constituem os apoios de extremidade das vigas.
Os esforços solicitantes são a força normal (N) e o momento
fletor (M) atuando segundo o plano constituído pelo pilar e pela
viga (efeito de pilar de extremidade), sendo este efeito
normalmente substituído por um par (N, 𝑒௜ ).
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Classificação dos pilares
 Pilares de canto – estão situados junto aos cantos do piso. Os
esforços solicitantes são a força normal (N) e dois momentos
fletores, atuando segundo os planos constituídos pelo pilar e
cada uma das vigas apoiadas, ortogonais entre si (x e y), sendo
este efeito normalmente substituído por um conjunto de valores
(N, 𝑒௜௫ e 𝑒௜௬ )
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Classificação dos Pilares – quanto a esbeltez
 Quanto ao índice de esbeltez os pilares são classificados como:
 𝜆ଵ, índice de esbeltez limite, será estudado mais adiante e é
definido em função da excentricidade de primeira ordem (𝑒ଵ), da
largura (h) e do tipo de vínculo.
Pilares, curtos, robustos ou pouco esbeltos 𝜆 ≤ 𝜆ଵ
Pilares de esbeltez média ou medianamente esbeltos 𝜆ଵ < 𝜆 ≤ 90
Pilares esbeltos ou muito esbeltos 90 < 𝜆 ≤ 140
Pilares excessivamente esbeltos 140 < 𝜆 ≤ 200
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Excentricidades
 A força normal que atua em um pilar pode estar deslocada de
certa distância do seu centro geométrico, a esta distância dá-se o
nome de excentricidade.
 Excentricidade relativa é a relação entre a excentricidade do
pilar e a dimensão dele na direção analisada (B ou H).
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Excentricidades de 1ª Ordem
 São excentricidades causadas por:
1) Excentricidade inicial;
2) Excentricidade acidental;
3) Momento mínimo;
4) Excentricidade de forma.
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Excentricidade inicial
 Em estruturas usuais de edifícios, ocorre um monolitismo nas
ligações entre vigas e pilares que compõem os pórticos. A
excentricidade inicial, oriunda das ligações dos pilares com as
vigas neles interrompidas, ocorre em pilares de borda e de canto.
 A partir das ações atuantes em cada tramo do pilar, as
excentricidades iniciais no topo e na base são obtidas com as
expressões:
 𝑒ଵ,௧௢௣௢ =
ெ೟೚೛೚
ே
𝑒ଵ,௕௔௦௘ =
ெ್ೌೞ೐
ே
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Excentricidade inicial
 Os momentos no topo e na base podem ser obtidos no cálculo do
pórtico. Segundo a NBR 6118:2003, pode, ser admitido esquema
estático apresentado na Figura.
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Excentricidade inicial
 Para esse esquema estático, pode ser considerado, nos apoios
extremos, momento fletor igual ao momento de engastamento
perfeito multiplicado pelos coeficientes estabelecidos nas
seguintes relações:
• ௥೔೙೑ା௥ೞೠ೛
௥ೡ೔೒ା௥೔೙೑ା௥ೞೠ೛
, na viga
• ௥ೞೠ೛
௥ೡ೔೒ା௥೔೙೑ା௥ೞೠ೛
, no tramo superior do pilar
• ௥೔೙೑
௥ೡ೔೒ା௥೔೙೑ା௥ೞೠ೛
, no tramo inferior do pilar
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Excentricidade inicial
 Viga:
𝑀௩௜௚௔ = 𝑀௘௡௚.
𝑟௜௡௙ + 𝑟௦௨௣
𝑟௩௜௚ + 𝑟௜௡௙ + 𝑟௦௨௣
 Tramo superior do pilar
𝑀௦௨௣ = 𝑀௘௡௚.
𝑟௦௨௣
𝑟௩௜௚ + 𝑟௜௡௙ + 𝑟௦௨௣
 Tramo inferior do pilar
𝑀௜௡௙ = 𝑀௘௡௚.
𝑟௜௡௙
𝑟௩௜௚ + 𝑟௜௡௙ + 𝑟௦௨௣
Onde:
𝑟௜ =
𝐼௜
𝑙
𝑀௘௡௚ =
𝑞. 𝑙ଶ
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Exemplo 1:
 Térreo, 𝐹௖௞ = 30𝑀𝑃𝑎
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Excentricidade acidental
 Imperfeições globais: deve ser considerado um desaprumo dos
elementos verticais:
𝜃ଵ =
ଵ
ଵ଴଴ ௟ 
e 𝜃௔ = 𝜃ଵ
ଵାభ ೙⁄ଶ
 
Onde:
 𝑙 = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑟𝑎
 n = número total de elementos verticais contínuos
 Considerando:
– 𝜃ଵ,௠௜௡ = ଵ ସ଴଴⁄ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡𝑟𝑢𝑡𝑢𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑛ó𝑠 𝑓𝑖𝑥𝑜𝑠 
– 𝜃ଵ,௠௜௡ = ଵ ଷ଴଴⁄ (para estruturas de nós móveis e imperfeições locais)
– 𝜃ଵ,௠௔௫ = ଵ ଶ଴଴⁄
 Esse desaprumo não precisa ser superposto ao carregamento do vento, considerando-se 
o mais desfavorável.
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Excentricidade acidental
 Estruturas de nós fixos e nós móveis:
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Exemplo 2:
 Determinar o desaprumo da estrutura abaixo representada.
Considerar estrutura de nós fixos e móveis
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Excentricidade acidental
 Imperfeições locais: No caso de elementos que ligam pilares
contraventados a pilares de contraventamento, usualmente vigas
e lajes, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo
do pilar contraventado,
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Excentricidade acidental
 Imperfeições locais:
 Admite-se que, nos casos usuais, a consideração da falta de
retilinidade seja suficiente. Assim, a excentricidade acidental e a
pode ser obtida pela expressão:
𝑒௔ = 𝜃ଵ. 𝑙 2ൗ
 Para pilares em balanço
𝑒௔ = 𝜃ଵ. 𝑙
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Momento mínimo
 Segundo a NBR 6118:2014 os efeitos das imperfeições locais
podem ser substituídos pela consideração do momento mínimo
de 1ª ordem:
𝑀ଵௗ,௠௜௡ = 𝑁ௗ(0,015 + 0,03ℎ)
Onde: 
 h = altura da seção transversal na direção considerada (em metros)
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Exemplo 3:
 Determinar o valor de excentricidade de 1ª ordem ea para um
pilar cuja seção transversal tem altura (h) igual a 40 cm. Este
pilar poderá ter altura (𝐻௜) variando entre 7 e 14 m.
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Excentricidade de forma
 Em edifícios, as posições das vigas e dos pilares dependem
fundamentalmente do projeto arquitetônico. Assim, é comum em
projetos a coincidência entre faces (internas ou externas) das
vigas com as faces dos pilares que as apóiam.
 Em edifícios as posições das vigas dependem dos projetos
arquitetônicos e não são raras as situações onde os eixos das
vigas não passam no centro de gravidade dos pilares:
 Em geral as excentricidades de forma não são consideradas no
dimensionamento, as tensões propagam-se em ângulo de 45º e
logo se uniformizam (Princípio de Saint- Venant).
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Excentricidade de forma
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Excentricidade de 2ª Ordem
 A força normal atuante no pilar, sob as excentricidades de 1ª ordem
provoca deformações que dão origem a nova excentricidade
denominada de 2ª ordem;