ALGEBRA-Guia-de-estudo

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Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas - CFM
Departamento de Matemática – UFSC
Curso de Especialização em Matemática – Formação de Professores – Modalidade à Distância
Guia de Estudos
Disciplina: Álgebra
 Oscar Ricardo Janesch
Dezembro de 2009
 
 Universidade Federal de Santa Catarina
 Campus Universitário – Trindade – Caixa Postal 476
 CEP 88040-900 – Florianópolis - SC
Reitor: Álvaro Toubes Prata
Vice-Reitor: Carlos Alberto Justo da Silva
Pró-Reitoria de Ensino de Graduação: Yara Maria Rauh Muller
Pró-Reitoria de Pesquisa e Extensão: Débora Peres Menezes
Pró-Reitoria de Pós-Graduação: Maria Lúcia de Barros Camargo
Pró-Reitoria de Desenvolvimento Humano e Social: Luiz H. Vieira Silva
Pró-Reitoria de Infra-Estrutura: João Batista Furtuoso
Pró-Reitoria de Assuntos Estudantis: Cláudio José Amante
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas: Tarciso Antônio Grandi
Departamento de Matemática: Ruy Coimbra Charão
Coordenação Acadêmica: Neri Terezinha Both Carvalho
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Disciplinas e Professores do Curso de Especialização:
Álgebra: Oscar Ricardo Janesch
Álgebra Linear: Roberto Corrêa da Silva
Análise: Eliezer Batista
Tópicos de Cálculo: Silvia Martini de Holanda Janesch
Coordenadora do Curso de Especialização em Matemática:
Neri Terezinha Both Carvalho
Endereço Eletrônico: www.ead.ufsc.br
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Apresentação
	O conceito da estrutura algébrica chamada anel, fundamental para a axiomatização da álgebra, surgiu como consequência da sistematização dos conjuntos numéricos. A primeira tentativa foi feita por Benjamin Peacok(1791-1858) em 1830, mas não se mostrou consistente. Porém, em 1914, o alemão A. Franenkel(1891-1965) apresentou a definição formal de anel que usamos hoje.
	Grosseiramente falando, um anel é um conjunto não vazio 
 no qual estão definidas duas operações que satisfazem axiomas pré-estabelecidos. As escolha destes axiomas é feita de forma que seja possível efetuar as operações em 
 com relativa facilidade. Por exemplo, o conjunto dos números inteiros 
, com as operações usuais de adição e multiplicação, é um anel.
	A definição de anel surge da necessidade de saber em quais conjuntos temos boas propriedades aritméticas que permitem fazer contas. Tomando o conjunto 
 como “modelo” para chegarmos ao conceito de anel, nos deparamos com as seguintes perguntas:
Qual o conjunto mínimo de propriedades da adição e da multiplicação em 
, a partir das quais é possível demonstrar as demais propriedades aritméticas de 
? 
Que propriedades as operações de um conjunto 
 devem satisfazer para que possamos fazer contas em 
 de forma semelhante a que fazemos em 
?
	As respostas para as perguntas acima levaram aos seis axiomas de anel. Isto é, um conjunto mínimo de propriedades que as operações de adição e de multiplicação em 
 (e de qualquer outro conjunto com duas operações) devem satisfazer para que possamos deduzir outras propriedades.
	Seja 
 um conjunto onde estão definidas duas operações que satisfazem os seis axiomas de anel. Chamaremos 
 de anel. Suponha que a partir dos seis axiomas de anel consigamos provar outras quinze propriedades operacionais em 
. Como usamos apenas os seis axiomas de anel para deduzir estas quinze novas propriedades, elas valem não apenas para 
, mas para todo conjunto com duas operações que satisfaçam os seis axiomas de anel.
	Note que isso leva a uma mudança de enfoque. Deixamos de estudar um conjunto baseados na natureza de seus elementos, e passamos a estudá-lo com base nas propriedades de suas operações. Veremos que este procedimento é útil para obter informações sobre vários conjuntos.
	Conjuntos com operações que satisfazem axiomas determinados previamente são chamados de estruturas algébricas. Anel é uma estrutura algébrica. As estruturas algébricas chamadas anel comutativo, anel com unidade, domínio de integridade e corpo, são anéis que satisfazem outros axiomas específicos além dos seis axiomas de anel.
	Neste curso apresentaremos também a estrutura algébrica chamada grupo. Um grupo é uma estrutura algébrica com uma operação, que satisfaz três axiomas. Os grupos foram introduzidos por Evarist Galois (1811-1832) e, historicamente, estão associados aos anéis de polinômios e resolução de equações polinomiais por meio de radicais.
	O objetivo deste guia é orientar os estudos dos alunos do Curso de Especialização na disciplina de Álgebra. O guia de estudos está dividido da forma seguinte:
Plano de Ensino:
	Ementa
	Objetivos Gerais
	Objetivos Específicos
	Conteúdo Programático
	Metodologia
	Avaliação
	Referências Bibliográficas
Cronograma de Atividades:
	Identificação da semana
	Conteúdo para o período
	Data da videoconferência
	Principais temas da videoconferência
	Atividades de estudos para o período
	Exercícios recomendados;
	Observações e sugestões.
	Para desenvolver o programa da disciplina de Álgebra, usaremos os livros abaixo:
Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição reformulada, Atual Editora, São Paulo, 2003.
Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
Janesch, O. R. e Taneja, I. – Álgebra I, UFSC-EAD – Florianópolis, 2008.
	O livro Álgebra Moderna traz todo o conteúdo da disciplina de Álgebra. A linguagem é simples e de fácil compreensão. Este livro foi escrito para ser usado como texto de um primeiro curso de álgebra, para alunos dos cursos de licenciatura em matemática. Tem notas históricas, vários exemplos, exercícios resolvidos e repostas para muitos exercícios propostos.
	O livro Introdução à Álgebra desenvolve o conteúdo referente à Teoria de Anéis de forma muito cuidadosa. Não se dispersa em exemplos e resultados menos relevantes, mantendo o foco nos teoremas fundamentais. Os enunciados das proposições são bem claros e objetivos.
	O livro Álgebra I foi escrito para o primeiro curso de álgebra da licenciatura em matemática à distância. Usaremos este livro como referência para o estudo de números complexo. 
	No cronograma de atividades, as orientações são apresentadas por semana. São especificadas quais atividades serão desenvolvidas junto com o professor e quais tarefas o aluno terá que executar naquela semana.
	Os encontros com o professor serão realizados semanalmente, através de videoconferências. Na primeira videoconferência será apresentado o plano de ensino e, em seguida, iniciará o curso com aula sobre o anel de inteiros.
	Caberá ao aluno acompanhar o cronograma de atividades, estudar o conteúdo programado para aquela semana, e resolver os exercícios sugeridos. 
	Lembramos que os exercícios têm a finalidade de fixar os conceitos e principais resultados. São indispensáveis para o aprendizado. Se surgir dúvida, discuta com os colegas de classe, pergunte aos tutores-UFSC e ao professor.
	O sucesso do curso depende da disciplina de estudos. Para isso é preciso ter sempre a mão o cronograma de atividades, e certificar-se de que está cumprido o planejado semanalmente. Não desanime caso não consiga entender uma definição, um teorema, ou resolver um exercício. Quando tiver dificuldades, leia novamente a teoria e reveja os exemplos. Se ainda assim não conseguir entender, procure ajuda. Os tutores-UFSC estão à disposição.
	
	Bons estudos.
Plano de Ensino
Disciplina: Álgebra
Carga Horária: 90 horas
Curso: Especialização em Matemática na Modalidade à Distância – Formação de Professor
Semestre 2010.1
Ementa: Anel. Domínio. Corpo. Noções de Grupos.
Objetivos Gerais: 
Proporcionar ao aluno condições de:
1) Desenvolver sua capacidade de dedução;
2) Desenvolver sua capacidade de raciocínio lógico e organizado;
3) Desenvolver sua capacidade deformulação e interpretação de questões matemáticas;
4) Desenvolver seu espírito crítico e criativo;
5) Perceber e compreender a relação entre diversas áreas da matemática apresentadas ao longo do curso;
6) Organizar, comparar e aplicar os conhecimentos adquiridos.
Objetivos Específicos:
Depois de cursar a disciplina, espera-se que o aluno seja capaz de:
1) Entender o conceito de estruturas algébricas;
2) Reconhecer anéis, domínios, corpos e grupos;
3) Identificar a estrutura algébrica de vários conjuntos usuais em matemática. Entre eles 
, conjuntos de matrizes, conjunto de polinômios e produto cartesiano;
4) Utilizar propriedades de estruturas algébricas para resolver problemas;
5) Diferenciar elementos primos e irredutíveis em anéis;
6) Calcular potências e raízes de números complexos;
7) Entender os conceitos de subestruturas, ideais, homomorfismos e isomorfismos;
8) Descrever anéis quocientes.
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Conteúdo Programático
Unidade 1: Anel dos Inteiros
1.1	Propriedades Básicas da Adição e da Multiplicação
1.2	O anel 
1.3	Boa Ordenação, Algoritmo da Divisão e Princípios de Indução
1.4 	Ideais e Máximo Divisor Comum
1.5 	Números Primos e Ideais Maximais
1.6 	Fatoração em 
1.7 	Os anéis 
.
Unidade 2: Anel, Domínio e Corpo
2.1 	Definição das Estruturas Algébricas de Anel, Domínio e Corpo
2.2 	Propriedades dos Anéis
2.3 	Anel de Funções, Anel de Matrizes e Anel Produto Cartesiano
2.4 	Subanéis.
Unidade 3: Ideais e Anel Quociente
3.1 	Definição e Exemplos de Ideais
3.2 	Propriedades dos Ideais
3.3 	Ideais Primos e Ideais Maximais
3.4 	Definição de Anel Quociente
3.5 	Propriedades dos Anéis Quociente
3.6 	Exemplos de Construção de Alguns Anéis Quociente.
Unidade 4: Homomorfismos e Isomorfismos de Anéis
4.1 	Definição de Homomorfismos e Isomorfismos
4.2 	Núcleo e Imagem 
4.3 	Propriedades dos Homomorfismos
4.4 	Teorema do Isomorfismo
4.5 	Aplicações do Teorema do Isomorfismo.
Unidade 5: O Corpo dos Números Complexos
5.1 	O Corpo 
5.2 	Conjugado e Norma
5.3 	Forma Trigonométrica 
5.4 Potências
5.5 	Raízes n-ésimas Complexas.
Unidade 6: Anel de Polinômios
6.1 	Definição Formal de Polinômios sobre um Anel
6.2	Estrutura Algébrica de Anéis de Polinômios
6.3 	Algoritmo da Divisão
6.4 	Ideais Principais e Máximo Divisor Comum
6.5 	Polinômios Irredutíveis e Fatoração.
Unidade 7: Grupos
7.1 	Grupos e Subgrupos
7.2 	Grupos Cíclicos.
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Metodologia
	O conteúdo que será trabalhado neste curso está nos livros [1], [3] e [5] das referências bibliográficas. Os demais livros da referência bibliográfica são úteis para consultas e estudos complementares.
	Serão feitas videoconferências semanais sobre tópicos do programa. Estas videoconferências serão gravadas como vídeo-aula e ficarão a disposição do aluno para consulta posterior, com o objetivo de facilitar a compreensão do assunto.
	Exercícios resolvidos, tratando sobre os principais temas de estudo, serão colocados no ambiente virtual.
	Durante o desenvolvimento da disciplina, conforme cronograma apresentado a seguir, serão propostas atividades semanais.
 
	Os alunos contarão com Tutores-UFSC, em horários estabelecidos.
	As tarefas, que farão parte da avaliação, serão colocadas no ambiente virtual de aprendizado.
	O aluno, durante o estudo dos conteúdos, desenvolverá tarefas que têm a finalidade de orientar a construção do conhecimento dentro do espaço de tempo determinado para a disciplina.
	O desenvolvimento da disciplina, em função da modalidade do curso, prioriza o estudo individual e em grupo com acompanhamento de tutor à distância.
	
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Avaliação
	Avaliação continuada ao longo do processo.
	
	O aluno será avaliado através de duas tarefas, 
 e 
, e duas provas escritas 
 e 
. As tarefas serão individuais e corrigidas pelos Tutores-UFSC. As provas serão individuais e corrigidas pelo professor. A cada prova e a cada tarefa será atribuída uma nota entre zero e dez.
	
	A média das avaliações será calculada pela fórmula
	
	O conceito final é determinado da forma seguinte:
		Se 
 então o conceito é C;
		Se 
 então o conceito é B;
		Se 
 então o conceito é A;
	Serão aprovados os alunos com conceito final A ou B.
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Referências Bibliográficas
[1] 	Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição reformulada, Atual Editora, São Paulo, 2003.
[2] 	Garcia, A. e Lequain, Y. – Elementos de Álgebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 2003.
[3] 	Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
[4] 	Hefez, A. – Curso de Álgebra, Volume 1, Coleção Matemática Universitária - IMPA, Rio de Janeiro, 1993.
[5] Janesch, O. R. e Taneja, I. – Álgebra I, UFSC-EAD – Florianópolis, 2008.
[6] 	Monteiro, J. – Elementos de Álgebra, 2º edição, LTC editora, Rio de Janeiro, 1978.
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Cronograma de Atividades
Disciplina: Álgebra
Semestre 2010.1
Início: 01/03/10
Fim: 26/06/10.
Videoconferências: Quintas-feiras (20:20h – 22:00h).
	Apresentamos a seguir o cronograma das atividades do curso de Álgebra. O cronograma é dividido em semanas.
	Em cada página você encontrará as atividades de uma semana, com as seguintes informações:
Identificação da semana;
Conteúdo para o período;
Data da videoconferência;
Principais temas da videoconferência;
Atividades de estudos para o período;
Exercícios recomendados;
Observações e sugestões.
	Conforme informamos na metodologia, os livros usados como textos para este curso são: 
[1] 	Domingues, H. H. – Álgebra Moderna, 4º edição reformulada, Atual Editora, São Paulo, 2003.
[3] 	Gonçalves, A. – Introdução à Álgebra, 5º edição, Projeto Euclides – IMPA, Rio de Janeiro, 2008.
[5] Janesch, O. R. e Taneja, I. – Álgebra I, UFSC-EAD – Florianópolis, 2008.
	Faremos referência a estes livros usando o número, entre colchetes, que o precede. Por exemplo: ([3], pg 36) indica a página 36 do livro Introdução à Álgebra.
	Sugerimos àqueles que não estão familiarizados com a linguagem da álgebra, que leiam atentamente as seguintes partes dos livros:
Introdução e Capítulo I – Noções Preliminares ([3], pg1-14)
Capítulo 1 – Noções sobre conjuntos e Demonstrações ([1], pg7-28).
1ª Semana – 01/03/10 a 06/03/10
Conteúdo: 
 1.1 - Propriedades Básicas da Adição e da Multiplicação;
 1.2 - O anel 
;
 1.3 - Boa Ordenação, Algoritmo da Divisão e Princípios de Indução.
	
Videoconferência: 04/03
Primeira Parte: Apresentação do Plano de Ensino.
Segunda Parte: Aula sobre Anel de Inteiros.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 15-19 do livro [3].
Pg 29-39 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 1c, 3 e 8, pg 18-19 do livro [3].
Exercícios 3, 5, 9 e 11, pg 38-39 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	O Curso de Álgebra inicia estudando o conjunto 
, que é um modelo para o conceito de anéis abstratos, que estudaremos na próxima unidade.
	Nesta aula veremos que 6 propriedades básicas da adição e da multiplicação de 
 são chamados de axiomas de anel. A partir delas pode-se provar várias outras propriedades.
	Usando a Boa Ordenação de 
, veremos que é possível provas os princípios de indução e também o algoritmo da divisão.
	Acompanhe em ([1], pg 29-30) alguns fatos sobre o surgimento de números inteiros. Em ([1], pg 35-38) há uma exposição sobre sistemas de numeração que ajuda a entender os números inteiros como um mecanismo para registrar quantidades.
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2ª Semana – 08/03/10 a 13/03/10
Conteúdo: 
 
 1.4 - Ideais e Máximo Divisor Comum;
 1.5 - Números Primos e Ideais Maximais;
 1.6 - Fatoração em 
.Videoconferência: 11/03
 Aula sobre Ideais, MDC e Fatoração em 
.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 19-28 do livro [3].
Pg 39-49 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 2, 3, 4b, 9a, 9b, 9e, 9f, 10 e 12, pg 22-23 do livro [3].
Exercício 1, pg 28 do livro [3].
Exercícios 19, 20 e 23, pg 44-45 do livro [1]
Exercícios 26 e 31, pg 48-49 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Atenção ao Teorema 3 ([3], pg 21). Este é o teorema que prova a existência de mdc em 
, além de provar a identidade de Bezout;
	O exercício 2 ([3], pg 22) fornece um método alternativo para calcular mdc em 
. Este método é conhecido como método das divisões sucessivas.
	Uma leitura complementar sobre números inteiros é ([1], pg 49-62). Neste texto são mostrados os principais resultados sobre equações diofantinas, congruências e critérios de divisibilidade.
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3ª Semana – 15/03/10 a 20/03/10
Conteúdo: 
1.7 - Os anéis 
;
2.1 - Definição das Estruturas Algébricas de Anel, Domínio e Corpo. 	
	 	 
 
Videoconferência: 18/03
Aula sobre os Anéis 
 e sobre as estruturas de Anel, Domínio e Corpo.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 28-35 do livro [3].
Pg 210-214 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 1, 2, 4, 6d pg 32-33 do livro [3].
Exercícios 2,3 e 4, pg 39-42 do livro [3].
Exercícios 43 e 44, pg 61-62 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Os anéis 
 também são chamados anéis de classes de restos.
Estes anéis são um modelo para a construção de anéis quociente que serão vistos adiante.
	O aluno que não está familiarizado com congruências pode fazer um estudo em ([1], pg 53-56).
	A notação 
 deve ser lida como “
 adjunção raiz de p”, ou simplesmente “
 raiz de p”.
	Analogamente, 
 pode ser lido simplesmente como “
 raiz de p”.
	Notas históricas sobre a definição axiomática, que levaram a definição de anel, podem ser vistas em ([1], pg 210-211).
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4ª Semana – 22/03/10 a 26/03/10
Conteúdo: 
 
2.2 - Propriedades dos Anéis;
2.3 - Anéis de Funções, Anéis de Matrizes e Anéis Produto Cartesiano;	 2.4 – Subanéis.	 
	
 
Videoconferência: 25/03
 Aula sobre Anéis e Subanéis.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 35-45 do livro [3].
Pg 214-232 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 7, 9, 10, 11, 14, 15, 18 e 20, pg 39-42 do livro [3].
Exercícios 2, 3, 5, 9 e 10, pg 45-46 do livro [3].
Exercícios 3, 8, 17, 20, 21, 25, 38, 53, 56 e 57, pg 226-232 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Atenção ao exercício 7 ([3], pg 40), que traz várias propriedades dos anéis.
	O anel 
 é chamado anel de inteiros de Gauss.
	O conceito de subanel deve ser entendido como um conjunto dentro de um anel, que também é anel com as operações do anel inicial. 
	Estudar subanéis é uma forma de produzir novos anéis sem fazer muitas contas.
	Lembre que para verificar se um conjunto é anel com as operações dadas, precisamos verificar que as operações são fechadas e satisfazem 6 axiomas. Veja agora a Proposição 1 em ([3], pg 43), ela assegura que subconjunto dentro de um anel é subanel, quando contém o zero e é fechado pela subtração e pelo produto. Note que isso reduz o trabalho.
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5ª Semana – 29/03/10 a 03/04/10
Conteúdo: 
3.1- Definição e Exemplo de Ideais;
3.2 - Propriedade dos Ideais;
3.3 - Ideais Primos e Ideais Maximais. 	 
	
 
Videoconferência: 01/04
 Aula sobre Ideais.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 46-50 do livro [3].
Pg 255-264 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 1, 2 e 5, pg 53-54 do livro [3].
Exercícios 99a, 99c, 99e, 99h, 102, 104, 107, 110, 121 e 125, pg 261-264 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Os ideais formam uma classe especial de subanéis. Usaremos os ideais na próxima semana para construir anéis quociente.
	Notas históricas sobre ideais estão em ([1], pg 255).
	Acompanhe o exercício resolvido 114 em ([1], pg 263).
	Atenção ao Teorema 1 em ([3], pg 49). Este teorema diz que em corpos só temos ideais triviais.
	Veja o Exemplo 45 em ([1], pg 258). Neste exemplo fica provado que os ideais de 
 são da forma 
. Por outro lado, sabemos que os subanéis de 
 também são da forma 
. Portanto, os conceitos de ideal e subanel são os mesmos em 
. Note que isso não vale em um anel qualquer.
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6ª Semana – 05/04/10 a /10/04/10
Conteúdo: 
3.4 – Definição de Anel Quociente;
3.5 - Propriedades dos Anéis Quociente;
3.6 - Exemplos da Construção de Alguns Anéis Quociente. 	 
	
 
Videoconferência: 08/04
 Aula sobre Anéis Quociente.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 50-54 do livro [3].
Pg 265-270 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercício 8, pg 53-54 do livro [3].
Exercícios 127, 128, 129 e 130, pg 269-270 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Os anéis quociente são uma generalização dos anéis 
. De fato, o anel 
 é exatamente o quociente do anel 
 pelo ideal 
, isto é 
.
	Na unidade 4 usaremos os anéis quociente, junto com isomorfismos, para estudar a melhor estrutura algébrica de determinados anéis.
	Observe que no livro [1] o assunto de Anéis Quociente vem depois de Homomorfismos. Por isso, existem alguns exercícios neste livro que ainda não podem ser resolvidos.
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7ª Semana – 12/04/10 a 17/04/10
Conteúdo: 
4.1 - Definição de Homomorfismo e Isomorfismo;
4.2 - Núcleo e Imagem;
4.3 - Propriedades dos Homomorfismos.
	
 
Videoconferência: 15/04
 Aula sobre Homomorfismos e Isomorfismos.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 54-56 do livro [3].
Pg 232-243 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 6 e 7, pg 58-60 do livro [3].
Exercícios 59a, 59b, 59c, 59d, 59e, 59f, 61a, 61d, 61e, 65, 67, 71, 76 e 77, pg 240-243 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Homomorfismos são funções que relacionam elementos de dois anéis. Quando estes homomorfismos são bijetores, chamados isomorfismos, os anéis envolvidos são semelhantes. Portanto, para conhecer propriedade de um anéis, basta conhecer propriedades de um anel isomorfo a ele.
	Veja os exercícios resolvidos 6 em ([1], pg 241), 75 em ([1], pg 242) e C4 em ([1], pg 243).
	Atenção ao fato de um homomorfismo 
 ter seu núcleo como ideal de 
, e sua imagem como subanel de 
.
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8ª Semana – 19/04/10 a 24/04/10
Conteúdo: 
4.4 - Teorema do Isomorfismo;
4.5 - Aplicações do Teorema do Isomorfismo.
		
 
Videoconferência: 22/04
 Aula sobre Isomorfismos.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 57-60 do livro [3].
Pg 266-270 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercício 8, pg 58-60 do livro [3].
Exercícios 133 e 138, pg 269-270 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	O Teorema do Isomorfismo é usado para produzir anéis isomorfos via construção de anéis quociente, e conhecer a melhor estrutura algébrica de um anel quociente através de isomorfismo.
	Suponha que desejemos conhecer propriedades de um anel desconhecido 
. Se for possível obter um homomorfismo 
 que é sobrejetor, o Teorema do Isomorfismo garante que 
 é isomorfo a 
. Portanto, para conhecer propriedades do anel 
, basta conhecer propriedades de 
, e vice-versa.
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9ª Semana – 26/04/10 a 01/05/10
Nesta semana será realizada a Prova 1, no dia 29/04 (20:20h – 22:00h).
A Tarefa 1 deve ser entregue ao tutor do pólo as 20:00h.
Conteúdo: 
Unidades 1, 2, 3 e 4.	 
	
 
Videoconferência: 29/04
 Acompanhamento da prova.
Atividades de Estudos para a Semana:
Rever as Unidades 1, 2, 3 e 4.
Rever os exercícios recomendados nas semanas anteriores.
Rever a Tarefa 1.
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10ª Semana – 03/05/10 a 08/05/10
Conteúdo: 
	 
5.1- O Corpo 
;
5.2 - Conjugado e Norma;
5.3 - Forma Trigonométrica.
		
 
Videoconferência: 06/05
 Aula sobre Números Complexos
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 171-188 do livro [5].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 1, 2, 3, 6, 7, 9 e 11, pg 179-180 do livro [5].
Exercícios 2, 6, 7 e 8, pg 187-188 do livro [5].
Observações e Sugestões:
	
	O corpo 
 é o conjunto 
 com a operação de adição usual e com uma “nova” operação de multiplicação. Ver ([5], pg 172, Proposição 6.1.1). Identificando, via isomorfismo, 
 com 
, temos que 
 é subcorpo de 
.
	Nesta aula apresentaremos os conceitos básicos sobre o corpo 
, com as propriedades da norma e do conjugado. Além disso, veremos a representação trigonométrica de um número complexo.
	Uma exposição sobre a construção do corpo complexo pode ser vista na referência bibliográfica [6], pg 269.
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11ª Semana – 10/05/10 a 15/05/10
Conteúdo: 
5.4 – Potências;
5.5 - Raízes n-ésimas Complexas.
 
Videoconferência: 13/05
 Aula sobre Potências e Raízes de Números Complexos.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 188-208 do livro [5].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 1, 2a, 2b, 3b, 3c, 6 e 8, pg 194-195 do livro [5].
Exercícios 1, 4, 6, 6, 9 e 10, pg 207-208 do livro [5].
Observações e Sugestões:
	
	Note que o cálculo de potências de 
 é uma conta simples, quando conseguimos escrever 
 na forma trigonométrica. Teoricamente isso sempre é possível. Contudo, dado um número complexo 
 na forma algébrica, o trabalho de obter o argumento de 
 pode ser não trivial. Algo semelhante ocorre com a raiz 
-ésima complexa de 
, pois a Segunda Fórmula de Moivre se aplica para números complexos escritos na forma algébrica.
	É interessante consultar o assunto de números complexos em algumas coleções de matemática para o ensino médio. Você poderá constatar que tais coleções trazem o assunto de potências e raízes complexas e, algumas destas coleções fazem também as demonstrações.
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12ª Semana – 17/05/10 a 22/05/10
Conteúdo: 
6.1 - Definição Formal de Polinômios sobre um Anel;
6.2 - Estrutura Algébrica de Anéis de Polinômios.
	
	
	
 
Videoconferência: 20/05
 Aula sobre Anéis de Polinômios.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 63-66 do livro [3].
Pg 281-292 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 4, 5, 6 e 7, pg 284-285 do livro [1].
Exercícios 9, 12, 15, 16, 17 e 21, pg 289-291 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Leia as “Notas Históricas” sobre polinômios em ([1], pg 281-282).
	Acompanhe os exercícios resolvidos 18 e 24 em ([1], pg 290 e 291).
	Temos dois objetivos principais nesta aula. O primeiro é definir formalmente polinômio e o segundo é mostrar que o conjunto dos polinômios com coeficientes em um anel 
 é novamente um anel 
 que herda várias propriedades de 
. 
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13ª Semana – 24/05/10 a 29/05/10
Conteúdo: 
6.3 - Algoritmo da Divisão;
6.4 - Ideais Principais e Máximo Divisor Comum.
	
		
 
Videoconferência: 27/05
 Aula sobre Algoritmo da Divisão, MDC e Ideais em Anéis de Polinômios.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 66-75 do livro [3].
Pg 292-297 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 1a, 1c, 1e, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13 e 15, pg 69-71 do livro [3].
Exercícios 1, 2, 3 e 10, pg 74-75 do livro [3].
Exercícios 27, 28, 31 e 36, pg 295-297 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Acompanhe os exercícios resolvidos 26, 30 e 38 em ([1], pg 295, 296 e 297).
	Em ([1], pg 297-311) tem um estudo complementar sobre polinômios, que faz uma revisão (contendo demonstrações) dos resultados vistos no ensino médio. Inclui o Teorema do Resto, Algoritmo de Briot-Ruffini, Multiplicidade de Raízes, e Estudo de Raízes Racionais e Complexas.
	Nesta aula estudaremos o algoritmo da divisão em 
, quando 
 é corpo. Veja o Teorema 1 em ([3], pg 66) e a Proposição 5 em ([1], pg 293). Veremos também que se 
 é corpo então 
 só tem ideais triviais, e como consequência, temos que a existência de mdc em 
, com identidade de Bezout. Veja o Teorema 2 e o Teorema 3 em ([3], pg 72-73).
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14ª Semana – 31/05/10 a 05/06/10
No dia da videoconferência (03/06) é o feriado de Corpus Christi. Portanto a aula será gravada previamente.
Conteúdo: 
6.5 - Polinômios Irredutíveis e Fatoração.
 
Videoconferência: 03/06
 Aula sobre Irredutibilidade de Polinômios.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 76-87 do livro [3].
Pg 312-320 do livro [1].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 1, 2, 6, 7 e 12, pg 78-79 do livro [3].
Exercícios 4 e 6, pg 81-82 do livro [3].
Exercícios 1, 2 e 3, pg 86-87 do livro [3].
Exercícios 113, 119 e 120, pg 319-320 do livro [1].
Observações e Sugestões:
	
	Estudaremos irredutibilidade de polinômios e decomposição em produto de polinômios irredutíveis. Note que se trata de um procedimento análogo ao que se faz no anel 
, quando decompomos um número em produto de números primos (irredutíveis).
	Dê atenção especial ao Critério de Irredutibilidade de Eisentein ([3], pg 83, Teorema 6) e ([1], pg 343, Proposição 11).
	�
15ª Semana – 07/06/10 a 12/06/10
Conteúdo: 
7.1 - Grupos e Subgrupos;
7.2 - Grupos Cíclicos.
	
		
 
Videoconferência: 10/06
 Aula sobre Grupos.
Atividades de Estudos para a Semana:
Pg 137-161do livro [1].
Pg 119-132 do livro [3].
Exercícios Recomendados:
Exercícios 1, 2, 3, 12, 13, 19, 30, 31, 34, 37, 40, 41 e 42, pg 155-161 do livro [1].
Exercícios 2, 3, 4 e 14, pg 124-126 do livro [3].
Observações e Sugestões:
	
	Para a Unidade 7, a principal referência será o livro [1].
	Começamos o estudo de uma nova estrutura algébrica, chamada grupo. Esta estrutura tem apenas uma operação. Notar que se 
 é um anel então 
 é um grupo abeliano. Portanto, grupos estão relacionados com os anéis estudados anteriormente.
	Destacamos os seguintes grupos:
 
, 
grupos de permutações, grupos de rotações e grupos diedrais.
	Acompanhe as notas históricas sobre grupos em ([1], pg 137-138).
	Dê uma atenção especial ao parágrafo 2.4 em ([1], pg 140-153), que constrói alguns grupos importantes.
	
 
 
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16ª Semana – 14/06/10 a 19/06/10
Nesta semana será realizada a Prova 2, no dia 17/06 (20:20h – 22:00h).
A Tarefa 2 deve ser entregue ao tutor do pólo as 20:00h.
Conteúdo: 
Unidades 5, 6 e 7.
	
 
Videoconferência: 17/06
 Acompanhamento da prova.
Atividades de Estudos para a Semana:
Rever as Unidades 5, 6 e 7.
Rever os exercícios recomendados nas semanas anteriores.
Rever a Tarefa 2.
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17ª Semana – 21/06/10 a 26/06/10
Nesta semana será realizada a Prova Substitutiva, no dia 24/06 (20:20h – 22:00h).
A prova substitutiva é sobre todo o conteúdo do semestre.
Possivelmente até esta data não estarão divulgadas as notas da Tarefa 2 e da Prova 2. Portanto, todos os estudantes podem fazer esta prova.
Para cálculo da média, serão consideradas as duas maiores notas escolhidas entre a Prova 1, a Prova 2 e a Prova Substitutiva.�
18ª Semana – 28/06/10 a 03/07/10
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Março - 2010
	01
	
	02
	
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	Domingo
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	Tarefa 1 disponível no ambiente
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	Domingo
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	Domingo
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	Domingo
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Abril – 2010
	01
	
	02
	Sexta-feira da Paixão
	03
	
	04
	Domingo
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	06
	
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	08
	
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	10
	
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	Domingo
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	15
	
	16
	
	17
	
	18
	Domingo
	19
	
	20
	
	21
	Tiradentes
	22
	
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	24
	
	25Domingo
	26
	
	27
	
	28
	
	29
	Entrega da Tarefa 1 (20:00h) e Prova 1 (20:20h-22:00h)
	30
	
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Maio - 2010
	01
	Dia do Trabalho
	02
	Domingo
	03
	
	04
	
	05
	Tarefa 2 disponível no ambiente
	06
	
	07
	
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	Domingo
	10
	
	11
	
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	16
	Domingo
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	18
	
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	20
	
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	22
	
	23
	Domingo
	24
	
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	29
	
	30
	Domingo
	31
	
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Junho - 2010
	01
	
	02
	
	03
	Corpus Christi. A aula desta quinta-feira será gravada previamente.
	04
	
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	Domingo
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	Domingo
	14
	
	15
	
	16
	
	17
	Entrega da Tarefa 2 (20:00h) e Prova 2 (20:20h-22:00h)
	18
	
	19
	
	20
	Domingo
	21
	
	22
	
	23
	
	24
	Prova Substitutiva (20:20h-22:00h)
	25
	
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	Domingo
	28
	
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Julho - 2010
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	Domingo
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	Domingo
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	24
	
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	Domingo
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	30
	
	31
	
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