Medidas de Tendência Central - Fundamentos de Estatística e Epidemiologia

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Estatística & Bioestatística (2017) – Lauro Boechat Batista; Keila Moreira Batista – cap. 3 Medidas de Tendência 
Central 
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3 MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
3.1 DEFINIÇÃO 
 
 Quando procuramos fazer um determinado estudo estatístico, primeiramente 
definimos a população para depois extrairmos dela uma amostra. Coletamos os dados 
da amostra e depois procuramos representá-la por meio de valores. E alguns desses 
valores são denominados “medidas de tendência central”. 
 
 Medidas de tendência central são medidas que tendem ao centro de uma 
distribuição e que servem para descrever um conjunto de dados. 
 
 Medidas de tendência central são 
medidas que tendem ao centro de uma 
distribuição de dados ou valores. 
 
 Logicamente, essas medidas devem ser representativas de todos os valores de 
uma distribuição dos dados, para que possam ser confiáveis. 
 
 Distribuição de dados são os valores assumidos por uma determinada variável e 
que podem se apresentar sob diversas maneiras, geralmente na forma de uma 
distribuição normal no caso de variáveis biológicas contínuas. 
 
 Se trabalharmos com a população, os valores das medidas de tendência central 
são considerados como parâmetros. Se trabalharmos com amostras, os valores das 
medidas de tendência central são chamados de estimativas. 
 
 Medidas de tendência central são 
consideradas parâmetros, quando 
trabalhamos com população e 
estimativas, no caso de amostras. 
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 Certamente, os parâmetros ou as estimativas poderão ser obtidos de variáveis 
discretas ou contínuas. 
 
 As principais medidas de tendência central são a média, a moda e a 
mediana. São medidas que, geralmente, ficam próximas ao centro da distribuição. 
 
 As principais medidas de tendência 
central são a média, a moda e a 
mediana. 
 
 
3.2 PRINCIPAIS MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
3.2.1 Média 
 
 A média é uma medida de tendência central que caracteriza, em parte, uma 
distribuição de dados. Por exemplo, quando dizemos que o consumo médio de carne 
em uma churrascaria é de 400 gramas, por pessoa, isto não implica dizer que todas as 
pessoas consomem exatamente 400 gramas de carne, naquela churrascaria. 
 
 Umas consomem mais e outras menos de 400 gramas, mas na média, o 
consumo é de 400 gramas, informação importante para que o dono da churrascaria 
possa determinar o preço do rodízio. 
 
 Se uma cartela de comprimidos contiver um beta-bloqueador como o atenolol 
com 50 mg/comprimido, não significa que todos os comprimidos vão ter exatamente 50 
mg. Uns terão mais e outros terão menos quantidade de atenolol, sendo que no geral a 
média deverá ser em torno de 50 mg. 
 
Um outro exemplo é relativo à média das notas de Estatística em uma 
determinada turma. Se dissermos que a média foi igual a 9 (nove), teremos uma idéia 
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de como os alunos foram bem naquela prova. Por outro lado, se a média foi 2 (dois), 
teremos outro conceito da turma, em função deste valor. 
 
 Existem três tipos de médias, a saber: (a) média aritmética; (b) média 
geométrica; e (c) média harmônica. 
 
 As médias podem ser aritméticas, 
geométricas e harmônicas. 
 
3.2.1.1 Média aritmética 
 
 A principal medida de tendência central é a média aritmética, geralmente 
denominada simplesmente de “média”. Todas as vezes que no texto ocorrer a palavra 
"média", significa a média aritmética. 
 
 Média aritmética ou simplesmente 
média, é a principal medida de 
tendência central. 
 
 Há dois tipos de média aritmética, sendo que uma delas é “simples” e a outra 
“ponderada”, isto é, na primeira não se trabalha com freqüências (pesos), enquanto que 
na segunda sim. 
 
 Média aritmética simples quando 
desprovida de pesos e média aritmética 
ponderada, a que tem pesos. 
 
 Por definição, a média aritmética simples é o somatório dos valores da variável 
dividido pelo número deles. 
 
 
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 Média aritmética simples é determinada 
somando-se todos os valores e 
dividindo-se a soma pelo número de 
valores somados. 
 
Assim, no caso de uma população, representamos a média, cujo valor é um parâmetro, 
pela seguinte fórmula: 
 
  = 
x
N
i
i
N


1 leia-se “mu” mas a pronúncia é “mi” 
 
 No caso de uma amostra, o valor da média é uma estimativa e é definida por: 
 
 x_ = 
x
n
i
i
n


1 leia-se “xis barra” 
 
 Ao invés de x_ (xis barra) pode-se usar 

 (mu estimada). 
 
 As duas fórmulas são idênticas, quanto ao cálculo delas. Em ambos os 
casos somamos todos os valores e o resultado da soma dividimos pelo número 
de valores somados. 
 
 Para distinção, usamos a letra maiúscula N para indicar o número de 
valores da população e a letra minúscula n para indicar o número de valores 
da amostra. 
 
Exemplo 3.1. Determine a média aritmética da seguinte população: 
X1 = 3; X2 = 5; X3 = 3; X4 = 1; X5 = 3; X6 = 5; X7 = 1 e X8 = 3 
 
Solução: 
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 = 
x
N
i
i
N


1 = (X1 + X2 + ... + XN) / N = (3 + 5 + ... + 3) / 8 = 24/8 = 3 
 
O leitor poderá observar que se tivéssemos dito amostra no lugar de população, 
o cálculo seria idêntico, somente modificando a fórmula ( x_ no lugar de ). 
 
 Quando certos valores da variável estão repetidos, podemos representar estas 
repetições por meio de freqüências. Assim, definimos freqüências ou pesos como 
sendo o número de vezes que um valor ocorre. Portanto, podemos notar no exemplo 
3.1 que o valor 3 ocorre 4 vezes, enquanto que os valores 5 e 1 ocorrem duas vezes 
cada um, isto é, 
X1 = 3 f1 = 4 
X2 = 1 f2 = 2 (é um outro tipo de apresentação dos mesmos dados) 
X3 = 5 f3 = 2 
 
 Frequência ou peso é o número de 
vezes que um valor da variável ocorre. 
 
 Como já foi dito, a freqüência é o número de vezes que um valor aparece e é 
representado por fi. Assim, f1 é a freqüência do primeiro valor da variável, f2 é a 
freqüência do segundo valor da variável e, assim, sucessivamente. 
 
 Portanto, quando queremos obter a média aritmética ponderada, a fórmula é 
dada por: 
 
  = 

Xi fi /  fi no caso de população (
f
i = N) 
 
 X_ = 

Xi fi /  fi no caso de amostra (
f
i = n) 
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 Todas as vezes que os dados são apresentados por meio de freqüências, a 
média a ser determinada é a média aritmética ponderada. 
 
Exemplo 3.2. Determine a média aritmética da seguinte população: 
X1 = 3 X2 = 1 X3 = 5 
f1 = 4 f2 = 2 f3 = 2 
 
Solução: 
 
  =  Xi fi /  fi = (X1 f1 + X2 f2 + X3 f3) / (f1 + f2 + f3) 
 
  = (3x4 + 1x2 + 5x2) / (4 + 2 + 2) = 24/8 = 3 
 
 Observe que o resultado deste exemplo é igual ao do exemplo 3.1, visto que os 
dados são os mesmos, só que descritos de maneira diferente. 
 
Exemplo 3.3. Determine a média de cada amostra: 
a) X1 = 6 X2 = 7 X3 = 2 
b) Y1 = 16 Y2 = 17 Y3 = 12 
 
Solução: 
 
a) X_= 
x
n
i
i
n


1 = (6 + 7 + 2) / 3 = 15 / 3 = 5 
 
b) Y_ = 
x
n
i
i
n


1 = (16 + 17 + 12) / 3 = 45 / 3 = 15 
 
Exemplo 3.4 São dados os valores de 5 comprimidos em relação à quantidade de 
atenolol, em mg: 50, 48, 53, 47 e 52. Determine a média da amostra. 
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Solução: 
 
a) X_ = 
x
n
i
i
n


1 = (50 + 48 + 53 + 47 + 52) / 5 = 250 / 5 = 50 mg/comprimido 
 
3.2.1.2 Média geométrica 
 
 Definimos a média geométrica simples dos valores X1, X2, ..., Xn como sendo: 
 
G = 
( X1 . X2 . . . Xn )n
 = (X1 . X2 . . . Xn)
1/n 
 
Ou seja, é a raiz enésima do produto dos valores da variável X. 
 
 Quando há repetição dos valores, isto é, quando há freqüências, a média 
geométrica ponderada é definida por: 
 
 G = ( X1
f1 . X2
f2 . . . Xn
fn )1/n , onde n = 

fi 
 
 Logicamente, para se obter a média geométrica é necessário que Xi > 0. 
 
 Embora o emprego da média geométrica seja de pouquíssimo uso, pode ser que 
em certos casos ela seja mais recomendável do que a média aritmética. 
 
 O melhor emprego da média geométrica é quando os dados se distribuem mais 
ou menos segundo uma progressão geométrica. 
 
Exemplo 3.5. Determinar a média geométrica dos seguintes dados: 
a) X1 = 5 X2 = 7 X3 = 9,8 X4 = 13,72 X5 = 19,208 
 
b) X1 = 5 X2 = 7 X3 = 9,8 X4 = 13,72 
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c) X1 = 3 X2 = 6 X3 = 12 X4 = 24 X5 = 48 
 
d) X1 = 3 X2 = 6 X3 = 12 X4 = 24 
 
Solução: 
 
 Observe que em todos os casos, os dados estão se distribuindo segundo uma 
progressão geométrica, onde nos itens a e b a razão vale 1,4 e nos itens c e d a razão 
vale 2. Portanto, é recomendável o emprego da média geométrica. Assim, 
 
a) G = 
5 x 7 x 9,8 x 13,72 x 19,2085
 = 9,8 que é o ponto central da progressão 
geométrica. 
 
b) G = 
5 x 7 x 9,8 x 13,72 4
 = 8,2825117 que é o ponto central da progressão 
geométrica. 
 
 Repare que a média geométrica, neste caso, é exatamente a raiz quadrada do 
resultado do produto entre os pontos centrais 7 e 9,8. 
 
c) G = 
3 x 6 x 12 x 24 x 485
 = 12 
 
d) G = 
3 x 6 x 12 x 244
 = 8,4852813 
 
 Se tivéssemos calculado a média aritmética para cada item deste exemplo, 
iríamos verificar que ela não representaria bem a distribuição dos dados. Portanto, 
quando os dados se distribuem semelhante a uma progressão geométrica, a média a 
ser calculada deve ser a geométrica. 
 
 O leitor pode notar que os cálculos para a obtenção da média geométrica 
poderiam ser realizados de outra forma, pois G = 
( X1 . X2 . . . Xn )n
 e, portanto, por 
exemplo, aplicando propriedades de logarítmos no item c deste exemplo, teríamos: 
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 Log G = 1/n {log X1 + log X2 + ... + log Xn}. Então, 
 
 Log G = 1/5 {log 3 + log 6 + log 12 + log 24 + log 48} 
 
 Log G = 1/5 {5,39590623} 
 
 Log G = 1,079181246 
 
 G = 12 
 
Exemplo 3.6. Determinar a média geométrica dos seguintes dados: 
X1 = 5 ; f1 = 3 X2 = 10 ; f2 = 4 ; X3 = 18 e f3 = 3. 
 
Solução: 
 
G = (53 x 104 x183 )1/10 pois n = f1 + f2 + f3 
 
G = 9,688861612 
 
3.2.1.3 Média harmônica 
 
 Dado um conjunto de dados da variável X, definimos a média harmônica pela 
seguinte expressão: 
 
 H = n / 
 1
Xi
 (quando não há freqüências) e 
 
 H = (

fi) / ( fi
Xi
) (quando há freqüências) 
 
Exemplo 3.7. Determinar a média harmônica dos seguintes dados: 
X1 = 4 X2 = 5 X3 = 10 X4 = 2 
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Solução: 
 
H = 4 / (1/4 + 1/5 + 1/10 + 1/2) = 4 / (0,25 + 0,20 + 0,10 + 0,50) = 4 / 1,05 = 3,81 
 
Exemplo 3.8. Determinar a média harmônica dos seguintes dados: 
X1 = 4 ; f1 = 2 ; X2 = 5 ; f2 = 5 ; X3 = 6 e f3 = 3. 
 
Solução: 
 
H = (2 + 5 + 3) / (2/4 + 5/5 + 3/6) = 10 / 2 = 5 
 
3.2.2 Moda 
 
 Dado um conjunto de valores, definimos a moda como sendo o valor da variável 
de maior frequência. 
 
 Moda é valor da variável de maior 
ocorrência. 
 
 Uma distribuição que não tem moda é denominada de amodal; com uma só 
moda é chamada unimodal; duas modas de bimodal; e assim sucessivamente. 
 
 Se não tiver nenhum valor de maior 
ocorrência, é amodal; se somente um 
valor ocorrer mais vezes, é unimodal; 
com dois valores ocorrendo mais vezes 
(mesma quantidade de vezes), é 
bimodal; com três valores é trimodal e 
mais de 3 valores, polimodal. 
 
 
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 A aplicação da moda ocorre quase sempre em dados discretos. Por exemplo, 
quando um comerciante vai comprar uma partida de sapatos masculinos, ele leva em 
consideração a moda, isto é, compra maior quantidade de sapatos de acordo com a 
saída dos números. Se a moda for o número 40, ele comprará uma partida maior de 
sapatos tamanho 40 e os demais tamanhos em quantidade menores. 
 
 Da mesma maneira, se a “moda” for usar produtos da “Redley”, então significa 
que as pessoas procuram com maior freqüência esses produtos. 
 
 Quando um comerciante vai encomendar cigarros (aliás, altamente prejudicial à 
saúde), ele faz a encomenda levando em consideração as marcas de maior saída. 
 
 Portanto, com este e outros exemplos, podemos ver a aplicação da moda. 
 
Exemplo 3.9. Determinar a moda dos conjuntos dos seguintes dados: 
 
a) 3, 5 1, 4 
 
b) 4, 9, 3, 5, 9 
 
c) 5, 8, 9, 9, 5, 9, 7, 7, 3 
 
d) 3, 8, 3, 5, 9, 5, 4, 5, 3 
 
e) 1, 7, 7, 8, 7, 9, 3, 3, 6, 8, 8, 3 
 
Solução: 
 
a) não tem moda (amodal) 
 
b) Mo = 9 (unimodal) 
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c) Mo = 9 (unimodal) 
 
d) Mo = 3 e 5 (bimodal) 
 
e) Mo = 3, 7 e 8 (trimodal) 
 
Exemplo 3.10. Determine a moda dos seguintes dados: 
a) X1 = 3 f1 = 5 X2 = 4 f2 = 6 X3 = 1 f3 = 3 
b) X1 = 3 f1 = 5 X2 = 4 f2 = 2 X3 = 1 f3 = 5 
 
Solução: 
 
a) Mo = 4 (unimodal) 
 
b) Mo = 3 e 1 (bimodal) 
 
 
3.2.3 Mediana 
 
 Em uma distribuição de dados, a mediana é o valor da variável que divide uma 
distribuição de dados ordenados ao meio. 
 
 Mediana é o valor da variável que 
divide uma distribuição de dados 
ordenados ao meio. 
 
 Assim, se a distribuição tiver um número impar de valores, a mediana será 
exatamente o valor do elemento central. No caso de número par, a mediana é obtida 
somando-se os dois valores centrais e dividindo-se o resultado por 2. 
 
 
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 Se a distribuição de dados tiver um 
número impar de elementos, a mediana 
será exatamente o elemento central. Se 
for um número par, a mediana será 
obtida pela soma dos dois elementos 
centrais, divididapor 2. 
 
 
 A distribuição contendo os valores 5, 3, 1, 4 e 7, o valor da mediana é igual 4 (Mi 
= 4), pois o elemento central é igual a 4 (observe que devemos ordenar os dados, 
colocando-os em ordem crescente ou decrescente). 
 
A distribuição dos valores 2, 5, 6, 14, 20 e 22 tem para mediana o valor igual a 
10, pois Mi = (6 + 14) / 2 = 10. 
 
A mediana é uma medida de tendência central que tem mais aplicação na 
estatística não-paramétrica. 
 
Vamos supor que temos 160 torcedores do Botafogo, 30 do Fluminense e 
10 do Flamengo. Qual(is) das 3 medidas de tendência central que se aplica(m) 
nesse caso? 
 
Ora, é fácil de ver que a média e a mediana não podem ser aplicadas, pois 
qual seria a média e qual seria a mediana? A única medida que poderia ser 
aplicada é a moda, que seria ser torcedor do Botafogo. Portanto, quando 
trabalhamos com variáveis qualitativas, a única medida que pode ser aplicada é a 
moda. 
 
 
 No estudo de variáveis qualitativas, 
somente a moda pode ser aplicada. 
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Exemplo 3.11. Determine a mediana dos seguintes dados: 
a) X1 = 3 f1 = 2 X2 = 4 f2 = 5 X3 = 8 f3 = 10 
b) X1 = 1 f1 = 5 X2 = 4 f2 = 2 X3 = 6 f3 = 5 
 
Solução: 
 
a) verifica-se que o  fi = 17 e, portanto, tem-se 17 elementos neste exemplo. 
Logicamente, o elemento central será o nono elemento e o valor dele é 8, pois os 
dois primeiros valem 3, do terceiro ao sétimo valem 4 e do oitavo ao décimo 
sétimo valem 8. 
 
b) Então, Mi = 8. 
 
 
c) neste exemplo o  fi = 12 e, então, tratando-se de número par, os elementos 
centrais serão o sexto e o sétimo, os quais deverão ser somados para o 
resultado ser dividido por 2, de modo a obter a mediana. Como os 5 primeiros 
elementos valem 1, do sexto ao sétimo valem 4 e do oitavo ao décimo segundo 
valem 6, então Mi = (4 + 4) / 2 = 4. 
 
Exemplo 3.12. Determine a mediana das seguintes distribuições: 
a) X1 = 3 X2 = 4 X3 = 7 X4 = 26 X5 = 30 
b) X1 = 3 X2 = 4 X3 = 7 X4 = 7 
 
Solução: 
 
a) Mi = 7 
 
b) Mi = 5,5 
 
 
 
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3.3 PROPORÇÃO, PERCENTAGEM E PORCENTAGEM 
 
 Em estatística geralmente falamos sobre proporção, percentagem e 
porcentagem. Percentagem e porcentagem são sinônimos. 
 
 Em estatística, proporção é dada por p = 
n
X
, onde X é o número de elementos 
com determinada característica e n é a quantidade total de elementos. Facilmente se vê 
que 0  p  1, sendo que quando X = 0, p = 0 e quando X = n, p = 1. 
 
 Proporção é a relação entre o número 
de elementos com uma determinada 
característica e o número de 
elementos. 
 
 Vamos supor que em 20 pessoas têm-se 12 do sexo feminino e 8 do sexo 
masculino. Assim, a proporção de pessoas do sexo feminino será dada por p = 
n
X
, ou 
seja, p = 
20
12
 = 0,60. 
 
 Por outro lado, percentagem ou porcentagem é a proporção multiplicada por 100, 
ou seja, perc =p x 100. No exemplo anterior, a perc = 0,60 x 100 = 60%. 
 
 Percentagem ou porcentagem é a 
proporção multiplicada por 100. 
 
 Observe que sempre na percentagem o resultado vem acompanhado pelo 
símbolo %. 
 
 A proporção pode variar de 0 (zero) a 1. 
 
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 A percentagem pode variar de 0% a 
100%. 
 
Exercício 3.1. Uma amostra de 5 cães recém-nascidos da raça Rottweiler 
apresentaram os seguintes pesos: X1 = 2,5 kg X2 = 2,3 kg X3 = 2,2 kg X4 = 2,8 
kg e X5 = 2,7 kg. Determine as seguintes estimativas: 
 
a) das médias aritmética, geométrica e harmônica. 
 
c) da mediana e da moda. 
 
Exercício 3.2. Uma amostra de 16 alunos do Curso de Medicina Veterinária da 
apresentou as seguintes alturas: 
 
X1 = 1,70 m , f1 = 5 ; X2 = 1,66 m , f2 = 8 ; X3 = 1,74 m , f3 = 3 
 
Determine as seguintes estimativas: 
 
a) da média aritmética. 
 
b) da média geométrica. 
 
d) da média harmônica. 
 
e) da moda. 
 
f) da mediana 
 
 
 
 
 
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Exercício 3.3. Em um concurso público, os pesos de Matemática, Português e 
Conhecimentos Gerais são, respectivamente, 5, 3 e 2. O aluno A obteve, 
respectivamente, as notas 8, 7 e 6, enquanto que o aluno B obteve, respectivamente, 
as notas, 7, 8 e 6. Quais foram as médias de cada um dos alunos? 
 
Exercício 3.4. Um investidor comprou 10.000 ações ao preço unitário de R$ 45,00, 
30.000 ações à R$ 50,00 e 60.000 ações a R$ 40,00. Qual foi o preço médio de cada 
ação? 
 
Exercício 3.5. Um investidor comprou 20.000 ações ao preço unitário de R$ 45,00, 
30.000 ações ao preço unitário de R$ 50,00 e após dois meses, o preço unitário das 
ações caiu para R$ 40,00. Quantas ações o investidor deve comprar para diminuir o 
preço médio das ações, ficando em R$ 42,00? 
 
 
PARA OS QUE QUISEREM IR ALÉM EM MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL 
 
Suponha os seguintes dados, já ordenados, nas 5 amostras (A, B, C, D, E): 
 
A B C D E 
8 10 6 16 4 
8 10 6 16 4 
10 12 8 20 5 
12 14 10 24 6 
12 14 10 24 6 
X
_ = 10 X_ = 12 X_ = 8 X_ = 20 X_ = 5 
Mo = 8 e 12 Mo = 10 e 14 Mo = 6 e 10 Mo = 16 e 24 Mo = 4 e 6 
Mi = 10 Mi = 12 Mi = 8 Mi = 20 Mi = 5 
 
 Considere a amostra A, comparando as demais com essa amostra: 
 
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(1) os elementos da amostra B são iguais aos elementos da amostra A somados da 
unidade 2, então todas as 3 medidas de tendência central ficaram somadas da 
unidade 2; 
 
(2) aos elementos da amostra C são iguais aos elementos da amostra A subtraídos 
de 2 unidades, então de todas as 3 medidas de tendência central foram 
subtraídas de 2 unidades; 
 
(3) os elementos da amostra D são iguais aos elementos da amostra A 
multiplicados pela unidade 2, então todas as 3 medidas de tendência central 
ficaram multiplicadas pela unidade 2; 
 
(4) os elementos da amostra E são iguais aos elementos da amostra A divididos 
pela unidade 2, então todas as 3 medidas de tendência central ficaram divididas 
pela unidade 2; 
 
 
Portanto, se somarmos ou subtrairmos a todos os elementos uma 
constante, as 3 medidas ficarão somadas ou subtraídas da constante. 
 
Se multiplicarmos ou dividirmos todos os elementos por uma constante, as 
3 medidas ficarão multiplicadas ou divididas pela constante. 
 
Considere os 5 valores da amostra A. Vamos subtrair de cada um deles a 
constante 6 e depois dividirmos os novos valores por 2. Então a média passará a 
ser 2, a moda será 1 e 3 e a mediana será 2. 
 
Em outras palavras, a operação que fizermos aos dados também faremos 
às 3 medidas de tendência central.