Semana 5 - FT-2019_1-Cap3_Sistemas Radiais_Aula 1

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Fenômenos de Transporte
Aula 9 - Cap3. Parte 2
Prof. Dr. Welber Gianini Quirino
wgquirino@fisica.ufjf.br
ICE / Departamento de Física
UFJF – Universidade Federal de Juiz de Fora
✓Em muitos problemas é conveniente simplificar a eq. anterior, por
meio da chamada condutância unitária global, transmitância total ou
coeficiente total de transferência de calor U.
totalGlobal TUAq =
nRRR
UA
...
1
21 ++
=
✓ U – pode ser baseado em qualquer área escolhida;
✓ U – também pode ser obtido em termos das Rn individuais na transferência de
calor por convecção e radiação.

=
n
nR
UA
1
Coordenadas cilíndricas e esféricas sem geração de calor
Caso mais comum: Transferência de calor através de uma tubulação longa com
fluido em movimento em seu interior.
O problema pode ser idealizado como fluxo de calor radial, não dependente do
tempo e com Ti (interna) e Te (externa) especificadas.
L
qk
Ti
Te
re
ri
Vista frontal
Vista lateral
Resolver EDO no quadro
0q
uniformek
)r(TT
G =
=
=

Neste problema temos
Neste caso a forma apropriada da equação de calor é:
0
dr
dT
r
dr
d
=





Integrando uma vez em relação ao raio, obtemos
( )  == draduaudr
d 
1
0
Caru +=
=
Voltando u:
Integrando novamente
dr
r
C
dTC
dr
dT
r 11 ==
ou seja:
21 CrlnCT +=
 = r
dr
CdT 1
As constantes são determinadas pelas condições de contorno
i2i1i rr em CrlnCT =+=
Isolando C2
i1i2 rlnCTC −=
De forma similar para Te
111 lnrC-ln iee TrCT +=
e21 rr em ln =+= CrCT ee
substituindo C2 nesta última
Isolando C1
Logo, C2 fica:
( ) )ln(1 ieie rrTTC −=
Substituindo C1 e C2 na equação
ii
ie
ie
ie
ie Tr
rr
TT
r
rr
TT
T +
−
+
−
= ln
)ln(
ln
)ln(
( )
ii
ie
ie Tr
rr
TT
C −
−
= ln
)ln(
2
21 CrlnCT +=
E a taxa de transferência da calor por condução através do cilindro
de comprimento L é, a partir da lei de Fourier
)ln(
2
ie
ei
k
rr
TT
Lkq
−
= 






+
−
+
−
−= ii
ie
ie
ie
ie
k Tr
rr
TT
r
rr
TT
dr
d
kAq ln
)ln(
ln
)ln(
Resultando em
Em termos de uma resistência térmica (Rth), podemos escrever
( )
cilindro
ie
cilindro
ei
cilindro
ei
k
R
UA
Lk
rr
R
onde
TTUA
R
TT
q
1
2
)ln(
=
=
−=
−
=

Para uma parede cilíndrica composta 
( ) ( )
1 2
3 22 1
1 1 1 2 3 2
(T T )
q
ln r / rln r / r1 1
2 r Lh 2 L 2 L 2 r Lh
 −=
+ + +
     
r1
r2
r3
T1, h1
T2, h2
21
Coordenadas cilíndricas (condução e convecção em série)
Coordenadas esféricas
)t,,,r(TT =
t
T1
k
qT
senr
1T
sen
senr
1
r
T
r
rr
1 G
2
2
22
2
2 


=+



+











+








 
Para uma esfera oca com
temperaturas uniformes nas
superfícies interna e externa, sem
geração de calor e no estado
estacionário. A distribuição de
calor será só função de r, logo:
Pode ser reescrita como:
0
1 2
2
=





dr
dT
r
dr
d
r
Impondo condições de contorno como fizemos para o cilindro, a
distribuição de temperaturas é:
0q
uniformek
)r(TT
G =
=
=







−
−
−=−
r
r
rr
r
TTTrT i
ie
e
iei 1)()(
A taxa de transferência de calor através do envoltório esférico é
( ) ieie
e
k
rkrrr
TiT
r
T
krq  4
)(
4 2
−
−
=


−=
A resistência térmica do envoltório é então:
( )
i0
i0
th
rkr4
rr
R

−