Lista de Cálculo I - Derivadas

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Rondoˆnia
Campus Cacoal
Lista de Ca´lculo I
Professora Rafaela Ferreira Afonso
1. Seja f(x) = x2 + 1. Calcule
a) f ′(1)
b) f ′(0)
c) f ′(x)
2. Calcule f ′(x), pela definic¸a˜o, sendo dados:
a) f(x) = x2 + x e p = 1
b) f(x) = 5x− 3 e p = −3
c) f(x) =
√
x e p = 3
d) f(x) =
1
x
e p = 1
e) f(x) =
1
x2
e p = 2
3. Calcule f ′(x), pela definic¸a˜o:
a) f(x) = x2 + 2x
b) f(x) = 3x− 1
c) f(x) = 5
d) f(x) = x3
e) f(x) =
x
x + 1
f) f(x) =
1
x2
4. Determine a equac¸a˜o da reta tangente em (p, f(p)) sendo:
a) f(x) = x2 e p = 2
b) f(x) =
1
x
e p = 2
c) f(x) =
√
x e p = 9
d) f(x) = x2 − x e p = 1
5. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) =
1
x2
no ponto de abscissa 1. Esboce os gra´ficos de
f e da reta tangente.
6. Determine a equac¸a˜o da reta tangente ao gra´fico de f(x) = x3 no ponto de abscissa 2. Esboce o gra´fico de f
e da reta tangente.
7. Seja f(x) =
{
x + 1sex < 2
1 se x ≥ 2
(a) f e´ cont´ınua em 2? Por que? (b) f e´ deriva´vel em 2? Por que?
8. Seja f(x) =
{
x2sex ≤ 0
−x2 se x > 0
1
(a) f e´ deriva´vel em 0? Justifique. (b) f e´ cont´ınua em 0? Justifique.
9. Seja f(x) =
{
−x + 3sex < 3
x− 3 se x ≥ 3
(a) f e´ deriva´vel em 3? Justifique. (b) f e´ cont´ınua em 3? Justifique.
10. Calcule f ′(x).
Obs: Simplifique o ma´ximo.
a) f(x) = 3x2 + 5
b) f(x) = x3 + x2 + 1
c) f(x) = 5 + 3x−2
d) f(x) = 3x +
√
x
e) f(x) = 3x +
1
x
f) f(x) = 2 3
√
x
g) f(x) =
4
x
+
5
x2
h) f(x) = 23x
3 + 14x
2
i) f(x) = 3
√
x +
√
x
j) f(x) =
x
x2 + 1
k) f(x) =
x2 − 1
x + 1
l) f(x) =
√
x
x + 1
m) f(x) =
3
√
x + x√
x
n) f(x) = 3x2 + 5 cosx
o)
cosx
x2 + 1
p) f(x) = xsenx
q) f(x) = x2tgx
r)f(x) = cosx + (x2 + 1)senx
s)f(x) = (x3 +
√
x)cosecx
t)f(x) =
x + senx
x− cosx
u)f(x) = x2ex
v)f(x) = 3x + 5 lnx
x) f(x) = x2 lnx + 2ex
z) f(x) =
1 + ex
1− ex
a.1)f(x) =
lnx
x
b.1)f(x) =
x + 1
x lnx
c.1)f(x) =
(x2 + x) cosx
(x− 1) lnx
d.1)f(x) = xex cosx
e.1) f(x) = x2(1 + lnx) cosx
f.1) f(x) = exsenx cosx
g.1) f(x) = (1 +
√
x)extgx
h.1) f(x) = (lnx + cosx)(senx +
√
x)
11. Utilizando as regras do produto, quociente e da cadeia, determine a derivada:
a) f(x) = sen4x
b) f(x) = cos 5x
c) f(x) = e3x
d) f(x) = cosx4
e) f(x) = esent
f) f(x) = ln(2x + 1)
g) f(x) =
√
3x + 1
h) f(x) = cos(x2 + 3)
i) f(x) = (t2 + 3)4
j) f(x) = xe3x
k) f(x) = e−x senx
l) f(x) = ex cos 2x
m) f(x) = e−x
2
+ ln(2x + 1)
n) f(t) =
et − e−t
et + e−t
o) f(x) = (sen3x + cos 2x)3
p) f(x) = ex
3
ln(1 +
√
x)
q) f(x) =
√
x2 + e
√
x
r) f(x) =
cosx
(senx)2
s) f(t) =
te2t
ln(3t + 1)
2
t) f(x) = ln(3x +
√
1 + 9x2)
u) f(x) =
x2 + 1√
x + 1
v) f(t) = t ln
(
t2 − 1
t2 + 1
)
x) f(x) = ln
√
1 + senx
1− senx
z) f(x) =
t3
(t2 + 1)2
a.1) f(x) =
xtg3x
x2 + 4
b.1) f(x) = 12 (tgx)
2 + ln cosx
c.1) f(x) =
2(4 + 3 3
√
x)(2− 3√x) 32
5
d.1) f(x) = 12 (cotg5x)
2 + ln(sen5x)
3