Todo grupo cíclico é abeliano

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Notas de Aula de Álgebra 2
Segundo semestre de 2010
Prof. Juan Carlos
J.P. Kerr Catunda, aka Yoshi
17 de setembro de 2010
Sumário
1 Aula 1 - Introdução 4
2 05/08/2010 Aula 2 - Grupos 4
2.1 Operação Binária (ou Lei de Composição Interna) . . . . . . . 4
2.2 Operações binárias e Tabelas (Tábuas???) . . . . . . . . . . . 4
2.3 Definição de Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3.1 Proposição 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.2 Prova 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.3 Proposição 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3.4 Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3 06/08/2010 Aula 3 - Grupos 6
3.1 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Exercício para próxima sexta feira . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3 proposição 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.3.1 Exemplo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.4 Grupos finitos e Tábuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.5 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.6 Exercício para próxima sexta feira . . . . . . . . . . . . . . . 9
3.7 Solução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 09/08/2010 Aula 4 - Subgrupos 10
4.1 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.1 Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.1.2 Subgrupos triviais - 1 e G . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.2 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.3 Problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.4 Subgrupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Grupo de permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1
4.5.1 História . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.5.2 Permutações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4.6 Interpretação geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
4.7 A composição de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5 09/08/2010 Aula 5 - Grupo Diedral D4 13
5.1 Lista 1 disponível . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.2 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.3 Grupo diedral D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
5.4 Órbitas, ciclos e grupo alternado . . . . . . . . . . . . . . . . 14
6 13/08/2010 Aula 6 - Decomposições 16
7 16/08/2010 Aula 7 - Paridade 17
7.1 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7.2 Paridade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
7.3 Grupos cíclicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8 19/08/2010 Aula 8 - ? 21
8.1 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8.3 Exercício para dia 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.4 continuando . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8.5 Classes laterais e o teorema de Lagrange . . . . . . . . . . . . 23
9 19/08/2010 Aula 9 - Classes laterais 23
9.1 Lista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
9.2 Equivalências a esquerda e direita . . . . . . . . . . . . . . . . 24
9.3 Exercício para próxima sexta feira 27/08 - Difícil . . . . . . . 24
9.4 Homomorfismos e grupos quocientes - Cap 3[1] . . . . . . . . 24
10 23/08/2010 Aula 10 - Homomorfismo 24
10.1 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10.2 Homomorfismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10.3 Exercício . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
10.4 Kernel (Núcleo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
11 25/08/2010 Aula 11 - Grupos normais 26
11.1 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.2 Grupos Normais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.3 Proposição . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.4 Propriedade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.5 Isomorfismos e o Teorema de Cayley . . . . . . . . . . . . . . 26
11.6 Quando dois grupos são isomorfos? . . . . . . . . . . . . . . . 26
11.7 Exercício para 03/09/2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2
12 25/08/2010 Aula 12 - Teorema de Cayley 27
12.1 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
12.2 Teoremade Cayley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
12.3 Grupo Quociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
13 25/08/2010 Aula 13 - Isomorfismos 28
13.1 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
13.2 1oteorema de isomorfia (isomorfismo?) . . . . . . . . . . . . . 28
13.3 Teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
13.4 2oteorema de isomorfia (isomorfismo?) . . . . . . . . . . . . . 28
14 02/09/2010 Aula 14 - ? 29
14.1 Informes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.2 Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.3 Exercício para dia 13/09/2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.4 Exercício em classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
14.5 Produto direto e grupos abelianos finitamente gerados . . . . 29
14.6 Teorema de classificação de grupos abelianos . . . . . . . . . . 29
15 13/09/2010 Aula 15 - Revisão pré prova 30
15.1 Definições . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
16 17/09/2010 Aula 16 - Teoria de anéis 30
17 Anéis 31
3
1 Aula 1 - Introdução
2 05/08/2010 Aula 2 - Grupos
2.1 Operação Binária (ou Lei de Composição Interna)
Uma operação binária em um conjunto A não vazio é simplesmente uma
aplicação ∗ : A×A→ A. Exemplo: (a, b)→ a ∗ b
Ex.:
Soma de racionais, reais, complexos, . . .
Produto de racionais, reais, complexos, . . .
Ex em N: mdc(a,b)
Ex em Q+: Definimos * como a/b
2.2 Operações binárias e Tabelas (Tábuas???)
Uma operação binária * sobre um conjunto finito A = {a1, a2, . . . , an} é dada
por uma tábua
a1 a2 a3 . . . an
a1
...
a2
...
a3 . . . . . . ai · aj
...
an
Tabela simétrica indica opetação comutativa
2.3 Definição de Grupo
Parte do trabalho De Galoir e Abel.
Um grupo é um par (G,*) onde G é um conjunto não vazio e * uma
operação binária em G satisfazendo
1. Associatividade: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), ∀ a, b, c ∈ G
2. Elemento neutro: Existe e ∈ G tal que ∀ a ∈ G, e ∗ a = a ∗ e = a
3. Elemento inverso: Existe a−1 ∈ G tal que a ∗ a−1 = a−1 ∗ a = e
Alguns grupos também possuem a propriedade comutativa: ∀ a, b ∈ G,
a ∗ b = b ∗ a. Estes chamamos de Grupos Abelianos.
Ex.:
Não abeliano: < numeros reais Mn(<) são as matrizes n× n sobre <
Gln(<) = A ∈Mn(<)|detA 6= 0
4
Se n ≥ 2, então Gln(<) é um grupo não comutativo com a op. binária
produto de matrizes.
Ex. Importantes:
1. Soma de numeros inteiros (ou racionais, reais e complexos)
2. Produto de números racionais (ou reais e complexos)
Por que os grupos são importantes? Se queremos resolver a equação dada
em <:
2 · x+ 3 = 5
(2 · x+ 3) + (−3) = 5 + (−3) [G3 para +]
(2 · x+ (3 + (−3)) = 2 [G1 para +]
2 · x+ 0 = 2
2 · x+ 0 = 2 [G2 para +]
[12 · 2] · x = 32 [G3 para ·]
[1 · x = 32
x = 32 [G2 para ·]
2.3.1 Proposição 1
Seja (G,*) um grupo, a, b, c ∈ G.
1. Se a ∗ b = a ∗ c então b = c (Cancelameno a esquerda)
2. Se a ∗ b = c ∗ b então a = c (Cancelameno a direita)
2.3.2 Prova 1
Suponha que a ∗ b = a ∗ c, então:
a−1 ∗ [a ∗ b] = a−1 ∗ [a ∗ c] [por G3]
[a−1 ∗ a] ∗ b = [a−1 ∗ a] ∗ c [por G1]
e ∗ b = e ∗ c [por G3]
b = c [por G2]
2.3.3 Proposição 2
Seja (G,*) um grupo.
1. O elemento e de G2 é único
2. O elemento a−1 de G3 é único
3. (a ∗ b)−1 =b−1 ∗ a−1
5
2.3.4 Prova
1: Se e1 ∈ G fo também um elemento neutro em G, então
e1 ∗ x = x ∗ e1 = x, ∀x ∈ G
Se olharmos e como elemento neutro
e1 ∗ e = e ∗ e1 = e1
Se olharmos e1 como elemento neutro
e1 ∗ e = e ∗ e1 = e
Logo e1 = e�
2: Supor que
a−11 ∗ a = a ∗ a−11 = e
a−12 ∗ a = a ∗ a−12 = e
}
a−11 ∗ a = a−12 ∗ a
Pela lei da cancelatividade a−11 = a
−1
2
3 06/08/2010 Aula 3 - Grupos
3.1 Revisão
(G, ∗) grupo se:
• G é conjunto não vazio
• ∗ : G × G operação binária em G que satisfaz G1 (assossiativa), G2
(elemento neutro) e G3 (elemento simétrico (inverso?))
• Prop. 1: Lei de cancelamento
• Prop. 2: e é único e a−1 é único.
3.2 Exercício para próxima sexta feira
Seja (G, ∗) grupo. Definamos g1 . . . gk := g1 ∗ (g2 ∗ . . . ∗ (gk−1 ∗ gk))
Provar por indução sobre k que para todo g1 . . . gk ∈ G e q um arranjo
de parêntese (g1, . . . , gk) = g1 . . . gk
Dem.: k = 1 : trivial
k = 2 : trivial
k = 3 : g1 ∗ (g2 ∗ g3) = (g1 ∗ g2) ∗ g3
k = 4 : g1 ∗ (g2 ∗ (g3 ∗ g4)) = (g1 ∗ g2) ∗ (g3 ∗ g4) = ((g1 ∗ g2) ∗ g3) ∗ g4
Ou seja: Se temos a propriedade associativa para três elementos, temos
a propriedade associativa para um número arbitríario de elementos.
3.3 proposição 3
A equação a ∗ x = b (ou x ∗ a = b) tem solução única, para cada a e b no
grupo (G, ∗)
Dem.:
6
Existência. x = a−1 ∗ b é solução
a ∗ (a−1 ∗ b) aplica G1
= (a ∗ a−1) ∗ b = e ∗ b = b
Unicidade: Se a ∗ x = b e a ∗ y = b ⇒ a ∗ x = a ∗ y ⇒ x = y
Notação por convenção
Temos duas notações pra grupos: notação aditiva e a notação multipli-
cativa.
notação aditiva notação multiplicativa
Op. binária + a+b · a · b ou ab
El. Neutro zero 0 El. Unidade 1
El. simétrico oposto -a inverso a−1
grupo comutativo grupo comutativo
3.3.1 Exemplo
Cn = {(cos(2kpin ) + i · sin(2kpin ))|k = 0, 1, 2, . . . , n− 1}
= {e 2kpin ·i|k = 1, 2, . . . , n}
É um grupo em relação ao produto em C
1 ∈ C ⇒ Cn 6= ∅
se z1, z2 ∈ Cn ⇒ (z1, z2)n = zn1 · zn2 = 1 · 1 = 1
Se z ∈ Cn (12)n = 1zn = 11 = 1, portanto 1z ∈ Cn
Cn grupo de n elementos
Def. A ordem de um grupo G é o cardinal de G.
|G| pode ser finito e infinito
3.4 Grupos finitos e Tábuas
Problema: Quais são os grupos de ordem pequena?
|G| = 1 : G = 1, 1 · 1 = 1
1
1 1
|G| = 2 : G = 1, a, 1 · 1 = 1 e 1 · a = a · 1 = a
1 a
1 1 a
a a 1
|G| = 3 : G = 1, a, b, 1 · 1 = 1 e 1 · a = a · 1 = a
1 a b
1 1 a b
a a b 1
b b 1 a
≡ (C3, ·) = (Z3,+) Pois só existe um grupo de ordem 3.
|G| = 4 :
7
Grupo de Klein
1 a b c
1 1 a b c
a a 1 c b
b b c a 1
c c b a 1
Grupo cíclico de ordem 4
1 a b c
1 1 a b c
a a b c 1
b b c 1 a
c c 1 a b
≡ (C4, ·)
Existem dois grupos de ordem 4 essencialmente distintos.
É muito difícil catalogar todos os grupos.
Em geral: Se G = {1, a2, . . . , an}, então
1 a2 . . . ai . . . an
1
...
a2
...
...
...
aj . . . . . . . . . ai · aj
...
an
3.5 Subgrupos
G grupo
S ∈ G é estável (ou fechado) se a · b ∈ S para todo a, b ∈ S
Ex.: (Z,+) S = sZ = {pares}
Dado um grupo G e S ⊆ G,S 6= ∅ estável, podemos considerar a op.
binária em S induzida pela op. binária em G. S é um subgrupo de G se for
estável e com a op. binária induzida, S for ele mesmo um grupo. Denotamos
por S ≤ g
Obs.: Todo grupo G possui 2 subgrupos triviais: H = 1 e H=G.
Ex.: 2Z ≤ Z com a operação soma. 2Z 6= ∅ pois 0 ∈ 2Z
2Z é estável: 2m, 2n ∈ Z ⇒ (2n) + (2m) = 2(n+m) ∈ 2Z e 0 ∈ 2Z
Se 2n ∈ 2Z, então 2(−n) ∈ 2Z e 2n+ 2(−n) = 2(n− n) = 2 · 0 = 0
Ex.: Cn < S1〈C∗
com S1 = {z ∈ C||z| = 1} e C∗ = {0}
Ex.: Grupo de ordem 4
O grupo cíclico de ordem 4 tem apenas um subgrupo próprio (= não
trivial) {1, b}
Se H < G, a ∈ H ⇒ a · a = b ∈ H e
8
a, b ∈ H = a · b = c ∈ H ⇒ H = G
Grupo de Klein
{1, a} < G, {1, b} < G, {1, c} < G são os únicos subgrupospróprios de
G
desenhinho de reticulado a lá booleana
G
{1, a} {1, b} {1, c}
{1}
Exercício Sejam H,K ≤ G
1. É verdade que H ∪K < G ?
2. Provar que H ∩K ≤ G
3.6 Exercício para próxima sexta feira
Seja G um conjunto com uma op. binária que é associativa. São equivalentes:
1. G é grupo
2. G 6= ∅ e para todo a, b ∈ G cada equação a · x = b e x · a = b tem
solução em G
3. ∃e ∈ G tal que x · e = x ∀x ∈ G e se fixarmos e então para cada x ∈ G
existe x−1 tal que x · x−1 = e
3.7 Solução
Dem. (1)⇒ (2) Trivial
(2) ⇒ (3) Seja a ∈ G e e ∈ G tal que ae = a (e é solução da equação
ax = a)
Se b ∈ G arbitrário existe por (2) x ∈ G tal que b = xa
Logo b = xa = x(ae) = (xa)e = be
Por outro lado, para cada xßG existe por (2) x′ ∈ G tal que xx′ = e
(3)⇒ (1) Seja x ∈ G
Por (3) existe x′ ∈ G tal que xx′ = e
Por (3) existe x′′ ∈ G tal que x′x′′ = e
Agora x′x = x′(xe) = (x′x)e = (x′x)(x′′x′) = [x′(xx′)]︸ ︷︷ ︸
x′
x′′ = x′x′′ = e
Assim xx′ = x′x = e
Vejamos que e é o elemento neutro:
x = xe = x(x′x) = [xx′]︸︷︷︸
e
x = ex
9
4 09/08/2010 Aula 4 - Subgrupos
4.1 Revisão
Prop. 3: (G,*) grupo, a, b ∈ G.
Cada ima das equações a ∗ x = b (ou x ∗ a = b) tem solução (única) em
G.
Notação:
notação aditiva notação multiplicativa
Op. binária + a+b · a · b ou ab
El. Neutro zero 0 El. Unidade 1
El. simétrico oposto -a inverso a−1
grupo comutativo grupo comutativo
Ordem de G: |G| pode ser finita ou infinita.
4.1.1 Subgrupos
(G, ·) grupo.
S ⊆ G estável ou fechado se S · S ⊆ S
Se S ⊆ G fechado S 6= ∅ consideremos a restrição de ” · ” em S
·|s : S × S → S
(S1, S2)→ S1 · S2
S subgrupo de G se (G, ·|s) é grupo. Denota-se por S � G ou S � G.
Ex. (Z,+) grupo
S = Z+ estável em Z, mas S não é um subgrupo de Z.
4.1.2 Subgrupos triviais - 1 e G
S subgrupo de G se S 6= {1} e S 6= G
Ex.:
Gln(R) = {X ∈Mn(R)|det(X) 6= 0}
Sln(R) = {X ∈Mn(R)|det(X) = 1}
Sln(R) < Gln(R)
4.2 Teorema
Um subconjunto H de um grupo G é subgrupo de G se e somente se:
1. H ·H ⊆ H; (H é estável)
2. 1 ∈ H
3. Se a ∈ H, então a−1 ∈ H
Exercício: demostrar as propriedades acima.
10
4.3 Problema
Como determinar todos os subgrupos de um grupo G?
Não existe algoritmo para criar todos os grupos. Entretanto coseguimos
criar os grupos cíclicos, que são os mais simples.
4.4 Subgrupos cíclicos
G grupo multiplicativo, a ∈ G. O suconjunto
< a >= {am | m ∈ Z} onde
a0 := 1, am := a ∗ a ∗ . . . ∗ a︸ ︷︷ ︸
m
se m ∈ N
a−m := a−1 ∗ a−1 ∗ . . . ∗ a−1︸ ︷︷ ︸
m
é um subgrupo de G:
Prova de 1: Se am, an ∈< a >⇒? am · a−n = am+n ∈< a >
m,n ∈ Z+ am · an = a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
m
· a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
n
= am+n
Se m > n am · a−n = a · . . . · a︸ ︷︷ ︸
m
· a−1 · . . . · a−1︸ ︷︷ ︸
n
= am−n
Prova de 2: 1 = a0 ∈< a >
Prova de 3: Se b = am ∈< a >, então b−1 = a−1 ∈< a >
O subgrupo ciclico de G gerado por a.
Obs.:
Posso ter a 6= b mas < a >=< b >
Def.: Se existir a ∈ G tal que G =< a >
Então G chama-se grupo cíclico.
Ex. Cn = {z ∈ C | zn = 1} é um grupo cíclico gerado por e 2pin ·i =
cos(2pin ) + i · sin(2pin )
C3 é gerado por p1 = −12 +
√
3
2 · i
Colocar aqui circunferência complexa e pontos 1, p1 (120o) e p2 (240o)
marcados
Obs.: Para grupos aditivos (A,+) o subgrupo cíclico gerado por a ∈ A
será
< a >= {ma | m ∈ Z} onde
0 · a︸︷︷︸
Z
= 0︸︷︷︸
A
m · a =
m︷ ︸︸ ︷
a+ . . .+ a se n ∈ Z1
(−m) · a = (−a) + . . .+ (−a)︸ ︷︷ ︸
m
Ex.:Em (Z,+) temos
< 5 >= {0,±5,±10,±15,±20, . . .} = 5 · Z
Z =< 1 >=< 1− >
(Z,+) é cíclico infinito.
Ex(Z4,∓)
11
Z4 = {0, 1, 2, 3}
∓ 0 1 2 3
0 0 1 2 3
1 1 2 3 0
2 2 3 0 1
3 3 0 1 2
Z4 =< 1 >=< 3 > e 1 = {1 + k4 | k ∈ Z}
4.5 Grupo de permutações
4.5.1 História
• Levi ben Gershon (1321): Temos n! permutações de n coisas
• Vandermande (1771) e LAgrange (1771): a idéia de permutações é
aplicada as raízes de um polinômio
• Rieggini (1799) e Abel (1826): Estudam S5 = {f : {1, . . . , 5} →
{1, 2, 3, 4, 5}bij}
• Galois (1831) e Cauchy (1844): Grupo de permutações
4.5.2 Permutações
Seja A um conjunto (finito ou infinito). Dá-se o nome de permutaçãode A
a toda a aplicação σ : A→ A bijetora.
Sa = conjunto de todas as permutações de A.
Se A finito A = {1, 2, . . . , n} escrevemos SaporSr
Ex.: Z x 7→ x+ 1 permutação em Z
Ex: A={1,2,3,4,5}
σ
1 7→ 3
2 7→ 4
3 7→ 2
4 7→ 1
5 7→ 5
1 2 3 4 5
3 4 2 1 5
Ex. As permutações de A={1, 2, 3}
σ1 σ2
1 2 3 1 2 3
1 2 3 2 1 3
σ3 σ4
1 2 3 1 2 3
1 3 2 3 2 1
12
σ5 σ6
1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 1 2
4.6 Interpretação geometrica
Colocar aqui um triangulo equilátero com indicação de rotações r1, r2, r3
em torno de seus vértices.
σ1 = Rotação de ângulo de 120o
1 7→ 2
2 7→ 3
3 7→ 1
σ2 = Rotação de ângulo de 240o
1 7→ 3
2 7→ 1
3 7→ 2
S1 = Simetria em relação a r1
1 7→ 1
2 7→ 3
3 7→ 2
S2 = Simetria em relação a r2
S3 = Simetria em relação a r3
De modo geral, representamos σ e Sn por
1 2 3 . . . n
σ(3) σ(1) σ(2) . . . σ(n) = σ
Sa pode ser munido de uma operação binária
4.7 A composição de funções
Se σ, τ ∈ Sa então στ é a função composta σ ◦ τ onde
(σ ◦ τ)(x) = σ(τ(x)) ∀x ∈ A
(Sa, ◦) é grupo
1. (σ ◦ τ) ◦ µ = σ ◦ (τ ◦ µ) ∀σ, τ, µ ∈ Sa
2. Td : x 7→ x ∈ Sa e Id ◦ σ = σ ◦ Id = σ ∀σ ∈ Sa
3. Se σ ∈ Sa então σ−1 ∈ Sa onde σ−1(x) = y ⇐⇒ σ(y) = x e σ−1 ◦ σ =
σ ◦ σ−1 = Id
5 09/08/2010 Aula 5 - Grupo Diedral D4
5.1 Lista 1 disponível
A primeira lista de exercícios está na pasta do Xerox.
13
5.2 Revisão
Teorema qu era para provar, grupos cíclico e geradores.
5.3 Grupo diedral D4
�
�
�
�
�@
@
@
@
@1 2
34
s1
s2
I = identidade
ρ1 = Rotação de 90◦
ρ2 = Rotação de 180◦
ρ3 = Rotação de 270◦
τ1 = Rotação ao redor da diagonal S1
τ2 = Rotação ao redor da diagonal S2
σ1 = Espelhamento vertical
σ2 = Espelhamento horizontal
D4 = {I = ρ41, ρ1, ρ2, ρ3, τ1, τ2, τ3, σ1, σ1}
Seus subgrupos cíclicos: {I} =< I >
H1 = {1, τ1} H2 = {1, τ2}
H3 = {1, σ1} H4 = {1, σ2}
H5 =< ρ2 >= {1, ρ2} H6 =
D4 não é cíclico.
Figura do reticulado do D4
Exercício:
• Tábua de D4
• determinar todos os subgrupos de ordem 4
5.4 Órbitas, ciclos e grupo alternado
Sn = grupo simétrico de n elementos.
Def.: Seja σ ∈ Sa. Definimos em A a relação:
a ∼ b ⇔ ∃n ∈ Z tal que σn(a) = b. Obs.: Vejam que ∼ determina uma
relação de equivalência.
Reflexiva: a ∼ a, σ0(a) = I(a) = a
Simétrica: Se a ∼ b então existe n ∈ mathbbZ tal que
σn(a) = b
Logo σ−n(b) = a, n ∈,mathbbZ
Assim b ∼ a
Transitiva: Se a simb, b ∼ c então ∃n,m ∈ Z
σn(a) = b, σm(b) = c
14
σn+m(a) = σm(σn(a)) = σb(b) = c, m+ n ∈ mathbbZ. Logo a ∼ c
Def.: As classes de equivalêncoa e,A determinadas por σ são órbitas de
σ em A.
Ex.: As órbitas da identidade contém exatamente 1 elemento.
Ex.:
σ
(
1 2 3 4 5 6 7 8
3 8 6 7 4 1 5 2
)
∈ S8
Determinar as órbitas de σ
Solução: A órbita que contém 1.
1→ 3→ 6→ 1→ 3→ 6→ 1→ 3 . . .
e já que σ−1 é orbita revertendo o sentido das retas na cadeia, obtemos
que a órbita que contém 1 e {1, 3, 6}.
Agora escolho um inteiro de 1 a 8 que não esteja na órbita de 1:
Por exemplo o 2:
2→ 8→ 2 órbita de 2 {2, 8}
Órbita de 4:
4→ 7→ 5→ 4 órbita de 4 {4, 5, 7}
Órbitas de σem{1, 2, .., 8} são {1, 3, 6} {2, 8} {4, 5, 7}
Def.: Uma permutação σ de Sn chama-se ciclo (de comprimento r ou
r-ciclo) se existirem a1, a2, . . . , an r números inteiros distintos entre 1 e n tal
que σ(a1) = a2, σ(a2) = a3, . . . , σ(ar−1) = ar, σ(ar) = a1
E deixa fixos os possíveis outros inteiros entre 1 e n.
Uma outra forma de representar um r-ciclo é σ = (a1, a2, . . . , an)
(1, 2, 3) =
(
1 2 3
2 3 1
)
(1524) =
(
1 2 3 4 5
5 4 3 2 1
)
I ∈ S3
I = (1) = (2)
Obs.: Toos os 1-ciclos são identidades (1) = Id
Def.: Dois ciclos σ = (i1 . . . i5) e τ(j1 . . . j5) são disjuntos se {i1, . . . , ir}∩
{j1, . . . , j5} 6= ∅
Proposição: Toda permutação em Sn é produto de ciclos disjuntos.
Dem.: Seja σ ∈ Sn, σ 6= I. Sejam B1, . . . , Bt as órbitas de σem{1, . . . , n}
com ao menos 2 elementos.
Definimos os ciclos
τi =
{
sigmax se x ∈ Bi
x se x 6∈ Bi
}
Para i = 1, 2, . . . , t Temos que são disjuntos e σ = τ1 · τ2 · . . . τt
Ex.: Exprimir σ =
(
1 2 3 4 5 6 7
3 4 5 2 1 7 6
)
c
Como produto de ciclos disjuntos.
Def.: Uma transposição é um 2-ciclo
Ex.:
15
σ =
(
1 2 3 4 5
1 2 4 3 5
)
= (34)
Desenho de grupos (circulos) com m dentro do outro
permutações 3 ciclos 3 transposições
6 13/08/2010 Aula 6 - Decomposições
Teorema: Toda permutação de Sn é produto de ciclos disjuntos.
Def.:
τ ∈ Sn é uma transposição se for um 2-ciclo.
Ex: τ = (23) ∈ S5
σ =
1 2 3 4 5
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
1 3 2 4 5
Teorema: Toda permutação de elementos se Sn, n ≥ 2 é um produto de
transposições.
Dem.: Usando o teorema anterior é suficiente provar o teorema oara todo
r-ciclo, isto é, provar que cada r-ciclo é produto de transposições.
De fato
(1 2 3 . . . r) = (1 r)(1 r-1). . . (1 2)
Ex.: (1 2 3) = (1 3)(1 2)
(1 2 3): 1→ 2
2→ 3
3→ 1
(1 3)(1 2): 1→ 2→ 2
2→ 1→ 3
3→ 3→ 1
Exemplo: Decompor as permutações
σ =
(
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 6 9 7 2 5 8 1 3
)
τ =
(
a b c d e f
a e d f b a
)
Em produto de ciclos e transposições
Solução: Para σ calculamos suas órbitas
• Órbita de 1: 1→ 4→ 7→ 8→ 1
• Órbita de 2: 2→ 6→ 5→ 2
• Órbita de 3: 3→ 9→ 3
σ = (1 4 7 8)(2 6 5)(3 9) Decomposição em ciclos disjuntos
σ = (1 8)(1 7)(1 4) (2 5)(2 6)(3 9) (3 8)(3 8)
Obs.: Perde a comuttividade e unicidade pois passo a acrescentar duas
transposições iguais sem alterar valor.
16
Lema: Seja σ ∈ Sn e τ uma transposição em Sn. Então a deferença entre
o número de órbitas de σ e τσ é ±1.
Dem.: Seja τ = (ij)
Caso 1: Se i e j estão em duas órbitas diferentes de σ. Podemos exprimir
σ como produto de ciclos disjuntos σ = (u . . . ai . . . v)(x . . . bj . . . y)µ3 . . . µk
Desenhar dois ciclos correspondentes aos dois parênteses acima e fazer
eles ligandos com a ← j e b → i
Se t 6= a, b σ(t) 6= i, j ⇒ τσ(t) = σ(t)
τσ(a) = τ(i) = j
τ(b) = τ(j) = i
Logo as órbitas de σ que contém i e j formam um única órbita para τσ
Caso 2: i e j estão na mesma órbita de σ. Então a composição de σ em
ciclos disjuntos é da forma σ = (x, . . . , a, i, . . . , b, j . . . , y)τ2 . . . τk
Temos
τσ(t) = σ(t) ∀t 6= a ou b
τσ(a) = σ(i) = j
τσ(b) = σ(j) = i
A órbita de σ que contém i e j está formadapor dus órbitas de τσ.
Teorema: Dias decmposições devem ter um no de fatores com a mesma
prioridade.
Dem.: Seja σ ∈ Sr e σ = τ1 . . . τk
Uma decomposição em transposições, então:
Id = τk . . . τ2
︷︸︸︷
τ1σ︸ ︷︷ ︸
n no de órbitas de σ que tem mesma prioridade de k.
Def.: A sinal de σ ∈ Sn, sgn(σ) e 1 se σ pode ser exprimido como um
número par de transposições e é -1 em caso contrário.
Chama-se de grupo alternado de grau n o conjunto de todas as permu-
tações pares (com sinal 1) de Sn.
Ex.: Determinar p sinal de
σ =
(
1 2 3 4 5 6 7 8
4 5 6 7 8 3 1 2
)
Solução: As órbitas de σ
1→ 4→ 7→ 1 {1 4 7}
2→ 5→ 8→ 2 {2 5 8}
3→ 6→ 3 {3 6}
σ = (147)(258)(63) = (17)(14)(28)(25)(36) e sgn(σ) = −1
7 16/08/2010 Aula 7 - Paridade
7.1 Revisão
Teorema: Cada σ ∈ Sn é produto de transposições (1 2 . . . n) = (1 r) . . . (1
3) (1 2)
17
Lema: Se τ(ij) ∈ Sntransposio, σ ∈ Sn, ento
|Orbitas σ| = |orbitas de τσ| ± 1
(a b c d . . . ) = (b c d . . . a)
1: i,j na mesma orbita de σ
σ = (i . . . aj . . . b)µ2 . . . µk decomposição em ciclos disjuntos.
τσ = (i . . . a)(j . . . b)µ2 . . . µk
2: Em caso contrário
σ = (i . . . a)(j . . . b)µ3 . . . µk
σ = (i . . . aj . . . b)µ3 . . . µk
Decomposição em ciclos disjuntos
Teorema: A paridade na decomposição de σ ∈ Sn como produtos de
transposições é invariante.
σ = µ1 . . . µk µi transposições.
σ = τ1 . . . τk−1 τkId︸︷︷︸
n+1 ou n−1︸ ︷︷ ︸
n+2 ou n ou n−1
paridade (n - |orbitas σ|) = paridade de k.
7.2 Paridade
Def. σ ∈ §n
Sinaldeσ = s(σ) = sgn(n) =
 -1casocontrrio
σ par se s(σ) = 1
σ ímpar se s(σ) = -1
An = grupo alternado de n elementos = {σ ∈ Sn | s(σ) = 1}
An subgrupode Sn e |An = n!2 |
Obs.: Se σ ∈ Sn é um r-ciclo, então s(σ) = (−1)r+1
Ex. Determinar o sinal de
σ =
(
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
)
Órbitas de σ
1→ 2→ 3→ 4→ 1 {1, 2, 3, 4, 5}
5→ 5 {5}
σ = (1234) um 4-ciclo
σ = (1 4) (1 3) (1 2)
s(σ) = −1
Aqui: exemplo com determinante de matrizes
Ex.: Decompor em produto de ciclos disjuntos
σ = (123)︸ ︷︷ ︸µ1 (124)︸ ︷︷ ︸µ2 (5612)︸ ︷︷ ︸µ3 em S6
σ =
(
1 2 3 4 5 6
4 5 1 2 6 3
)
18
Órbitas de σ
1→ 4→ 2→ 5→ 6→ 3→ 1
σ = (1 4 2 5 6 3) 6-ciclo
µ1 µ2 µ3
1→ 2→ 4→ 4
2→ 5→ 5→ 5
3→ 3→ 3→ 1
4→ 4→ 1→ 2
5→ 6→ 6→ 6
6→ 1→ 2→ 3
7.3 Grupos cíclicos
Problema básico: Como são os grupos cíclicos?
G grupo (multiplicativo)
Se a ∈ G < a >= {an | n ∈ Z} subgrupo de G
1. 1 = a0 ∈< a >
2. x = ar, y = a5 ⇒ xy = ar · as = ar+s ∈< a >
3. a = ar ⇒ x−1 = a−r ∈< a >
<a> o subgrupo acívlico gerado por a.
Se G =< a > então G é grupo cíclico.
Um grupo cíclico pode ser finito ou infinito.
Ex.:
1. Cn = {z ∈ C| Zn = 1} gerado por e 2pin i
2. (mathbbZ,+) gerado por 1
Teorema: Todo grupo cíclico é abeliano
Dem.: Se G = <a>, x = ar e y = as
x · y = ar · as = ar+s = as+r = as · ar = y · x
Pergunta: Um subgrupo de um grupo cíclico é cíclico?
A.E. (Algoritmo de Euclides) Se 0 6= n ∈ N,m ∈ Z, então existem
q, r ∈ mathbbZ únicos onde 0 ≤< n
e m = q · n+ r
m n
... q
r
Teorema: Todo subgrupo de um grupo cíclico é cíclico
Dem.: Seja G=<a> grupo cíclico e H um subgrupo de G.
• Se H={1} então H é cíclico
19
• Se H 6= {1} então existe m ∈ N tal que am ∈ H(∃x ∈ H,x 6= 1 ⇒ x =
ar)paraalgumr ∈ Z∗, se r<0 então x−1 = a−1 ∈ H e −r ∈ Z+)
Seja n p menor inteiro positivo tal que an ∈ H
Vejamos que < an >= H
· < an >⊆ H ?
Seja x = (an)r ∈< an >, r ∈ mathbbZ Se r positivo a = an . . . an︸ ︷︷ ︸
r)
∈ H
Se r = 0 e x = 1 ∈ H
Se r negativo x = (an)−1 . . . (an)−1︸ ︷︷ ︸
r)
∈ H
H ⊆< an >?
Seja x = as ∈ H. Pelo A.D. existem q, r ∈ Z com 0 ≤ r < n tal que
s = qn+ r
Então x︸︷︷︸
H
= as = aqn+r = aqn · ar =
q
(an)︸︷︷︸
H
·ar
ar = (an)−q · x ∈ H
e pela minimalidade de n, r = 0.
Assim x = (an)q = . . .
Corolário: Os únicos subgrupos de (Z,+) são nZ = {nk | k ∈ mathbbZ}
Onde n inteiro não negativo
(−n)Z = nZ
Prpriedades: G=<a> cíclico
1. Se Ar = as com r 6= s ibteiros, então existe m inteiro positivo tal que
am = 1
2. Se am = 1, m ∈ N, então G = {1, a, a2, . . . , am−1}
Dem.:
1: Como r 6= s temos que r<s ou s<r Podemo assumir que s<r
ar = as
ar · a−s = as · a−s
ar−s = 1 e r − s inteiro positivo.
2: Seja x = an ∈ G. Pelo A.D. existem q, r ∈ mathbbZ com 0 ≤ r ≤ m
tal que n = qm+ r
Então
x = an = aqm+r = aqm · ar = a(am)q · ar = 1q · ar ∈ {1, a, a2, . . . , am−1}
Teorema: G=<a> grupo cíclico infinito. Entnao
1. an 6= am ∀n 6= m n,m ∈ mathbbZ(P1)
2. an 6= 1 foralln ∈ Z, n 6= 0
3. a e a−1 são os únicos geradores de G. (P2)
20
4. Todo subgrupo de G é cíclico da forma < ar >, r ∈ Z
5. G é abeliano
Def.: G grupo, a ∈ G. A ordem de a, é o menor inteiro positivo r, e
existir tal que ar = 1
Caso não exista falamos que a ordem de a é infinita. Denota-se |a| ou
0(a)
Teorema: Seja G=<a> um grupo cíclico finito de ordem n. Então
1. |a| = n = |G| = | < a > |
2. G = {1, a, a2, . . . , an−1}
3. ar = as ⇔ r ≡ s(mod n)
4. ar gera G⇔ mdc(r, n) = 1
8 19/08/2010 Aula 8 - ?
8.1 Revisão
Ordem e suas propriedades. Teorema sobre grupo cíclico de ordem n.
8.2 Propriedades
a ∈ G, G grupo
1. Se ar = as com r 6= s (r, s ∈ Z) ⇒ ar−s = 1 ⇒ ordem de a é finita
≤ |r − s|
2. Se am = 1⇒< a >= {a, a2, a3, . . . , am−1,am} ⇒ | < a > | ≤ m
Teorema: Seja G =< a > grupo cíclico de ordem n. Então
1. |a| = n = |G| = | < a > |
2. G = {a, a2, a3, . . . , an = 1}
3. ar = as ⇔ r ≡ smod n
4. ar gera G⇔ mdc(r, n) = 1
Dem.: Como 1 e 2. Como G é finito, existem r, s ∈ Z, r 6= s tais que
ar = as. Por p1 a ordem de a é finita. Seja d a ordem de a. Por p2
temos n ≤ d. Se for maior do que n (n 6≤ d), então existem r, s ∈ Z
com 1 ≤ r < s ≤ d tal que ar = as. Logo ar−s = 1 e s − r ∫ Z om
21
c1 < s − 1 6≤ a em contradição com o fato de ser a ordem de a. Portanto
d = n e G = {a, a2, a3, . . . , an = 1}.
3: Se ar = as então ar−s = 1. Pela A.D. existem q, p ∈ Z com 0 ≤ p < n
tal que r − s = q · n+ p
Então 1 = ar−s = aqn+p = aqn · ap = (an)qap = 1q · ap = ap
portanto p = 0. Assim r − s = qn, logo r ≡ s(modn)
4: ⇒ Suponha que G =< ar >. Então existe m ∈ mathbbZ tal que
(ar)m = a
ar·m = a = a1
Por (3) teremos que rm ≡ 1(mod n). Logo existe k ∈ Z tal que rm =
1 + kn ou rm+ (−k)n = 1, logo mdc(r, n) = 1.
⇒ Se mdc(r, n) = 1 então existem x, y ∈ mathbbZ tais que rx+ ny = 1
Assim
a = a1 = arx+ny = arxany = (ar)x(an)y = (ar)x1y = (ar)x ∈< ar >,
portanto G =< ar >
Ex. Z10 grupo cíclico gerado por 1. Quais são os geradores de Z10? x tal
que mdc(x, 10) = 1
Ex: Cc = {2 ∈ C|z6 = 1} =< 3 >
onde
ξ = e
pii
3 = cospi3 + isin
pi
3 =
1
2 +
√
3
2 i
desenho do circulo complexo com as raízes marcadas
Teorema:
Seja G =< a > grupo cíclico de ordem n. Então
< a > tem nmdc(n,s) elementos
d = mdc(n, s). Vejamos que < as >=< ad >
. . .
Ex.: Determinar o subgrupo cíclico de Z60 gerado por 35
Solução:
< 35 >=< d > onde d = mdc(60, 35).
60 = 10 · 6 = 2 · 5 · 2 · 3 = 22 · 3 · 5
35 = 7 · 5
}
d = 5
Assim | < 35 > | = 60d = 605 = 12
< 35 >= {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60 = 0}
Corolário: Seja G =< a > grupo cíclico de ordem finita n. Então todo
subgrupo de G é cíclico e de ordem um divisor de n. Além do mais, se d é
um divisor de G então G possui um único subgrupo de ordem d o subgrupo
< ar > onde r = nd
Pergunta: G grupo de ordem finita n.
1. Se d|n⇒ ∃H < Gcom|H| = d? Não.
2. Se H < G⇒ |H| | |G|? Sim.
22
8.3 Exercício para dia 27
A4 permutações pares em S4. |A4| = 12 = 4!2
Provar que A4 não contém um subgrupo de 6 elementos.
8.4 continuando
Ex. Determinar os subgrupos de Z18
Solução: 18 = 2 · 3 · 3
{0} =< 0 >
Os divisores de 18 são 1, 2, 3, 6, 9, 18. Z8 tem exatamente 6 subgrupos.
|H1| =⇒ H1 =< 181 >=< 18 >= {0}
|H2| =⇒ H2 =< 182 >=< 9 >= {0, 9}
|H3| =⇒ H3 =< 183 >=< 6 >= {0, 6, 12}
|H4| =⇒ H6 =< 186 >=< 3 >= {0, 3, 6, 9, 12, 15}
|H5| = 9 = H5 =< 2 >
|H6| = Z18
8.5 Classes laterais e o teorema de Lagrange
Z = {0,±1,±2, . . .}, m ∈ N
a ≡ b⇔ m|(a− b)
Ex.: m = 5
0 = 5Z
1 = 1 + 5Z = {1, 6,−4, 11,−9, . . .}
...
4
Problema: Podemos generalizar esta idéia para grupos?
G grupo e H < G. Definimos as relações
a ∼e b⇔ a−1b ∈ H
a ∼d b⇔ ab−1 ∈ H
Temos que ∼e é umarelação de equivalência
1. Reflexiva (ver livro)
2. Simétrica (ver livro)
3. Transitiva (ver livro)
9 19/08/2010 Aula 9 - Classes laterais
9.1 Lista
Lista de exercícios estão no xerox
23
9.2 Equivalências a esquerda e direita
∼E e ∼E são equivalências a esquerda e direita.
Como são as classes de G módulo H?
Teorema de Lagrange (Fraleigh, pag 125)
Se G é grupo de ordem finita e H subgrupo de G, então |H| divide |G|.
Corolário:
Se G é grupo de ordem prima, então G é cíclico e abeliano. Cada a ∈
G, a 6= 1, gera G. Demonstração: Pág. 125[1]
Obs.: O no de classes (à esquerda) de G módulo H = no de classes à
direita de G módulo H (= |G||H| se |H| finita)
Definição: O no de classes laterais determinado por H chama-se índice
de H em G e denota-se (G : H)
Exercício: Se K ≤ G e H ≤ K, então H ≤ G é (G : H) = (G : K)(K :
H)
Exercício: Seja g grupo e H subconjunto não vazio de G. Então
H ≤ G⇔ x · y−1 ∈ H ∀x, y ∈ H
Def.: H,K ≤ G. HK = {hk | h ∈ H, k ∈ K}. Pergunta: HK é
subgrupo de G? Em geral, não.
Lema: HK ≤ G⇔ HK = KH
9.3 Exercício para próxima sexta feira 27/08 - Difícil
H,K ≤ G, G finito. Provar que que |HK||H ∩K| = |H||K|
9.4 Homomorfismos e grupos quocientes - Cap 3[1]
Def.: Sejam G e G’ dois grupos e f :G→ G′ uma aplicação tal que f(x ·︸︷︷︸
Op.Bin.emG
y) =
f(x) ·︸︷︷︸
op.Bin.emG′
f(y) ∀x, y ∈ G
Diremos que f é um homomorfismoem G.
4 propriedades de homomorfismo de grupos - pag165[1]
Verificar elas no FDS.
10 23/08/2010 Aula 10 - Homomorfismo
10.1 Revisão
G é união disjunta das classes aHa ∈ G. {a1, . . . , an} é um conjunto de
representantes das classes de G móldulo H se |aH| = |H|
Teorema de Lagrange: Se H subgrupo de G. H divide G? Se |H| for primo,
H não possui subgrupos próprios.
Em geral: aH 6= Ha
24
10.2 Homomorfismo
Propriedades:
1. f(1) = 1′
2. f(x−1) = f(x)−1, ∀x ∈ G
3. Se H ≤ G, então f(H) := {f(h)|h ∈ H} ≤ G′
4. Se H ′ ≤ G′, então f−1(H ′) := {x ∈ G|f(x) ∈ H ′} ≤ G
10.3 Exercício
Se ∅ 6= H ⊆ G, então
H ≤ G⇔ xy−1 ∈ H∀x, y ∈ H
Demostração de 3 e 4.
10.4 Kernel (Núcleo)
Def.: Se f : G → G′ homomorfismo, o kernel ou nucleo de f é Kerf =
f−1({1′}) = {x ∈ G|f(x) = 1′}
e a imagem de f é Im(f) = f(G) = {f(x)|x ∈ G}
Obs.: Ker(f) ≤ G, Im(f) ≤ G′
Pergunta: f :G→ G′ homomorfismo, a ∈ G
Como será f−1(f(a)) =?
Teorema: f :G→ G′ homomorfismo, a ∈ G. Então
f−1(f(a)) = aN = Na
onde N = Ker(f).
Teorema:
f :G→ G′ homomorfismo. Então
F injetora ⇔ Ker(f) = {1}
Exemplo: Funções diferenciáveis.
Seja D Homomorfismo de grupos:
D(f + g) = (f + g)′ = f ′ + g′ = D(f) + d(g)
Seu núcleo é
N = {as funções constantes}
Agora uma antiderivada de f :R→ R, f(x) = x2 é x33
Pelo teorema, o conjunto de todas as antiderivadas de f éD−1 =
3
3+N =
{x33 + c|c constante }
Se φ:S3 → S homomorfismo de grupos, então Ker(φ) 6=< (1 2) >
Def.: (Galois) Um subgrupo N de um grupo G é normal se
aN = Na ∀a ∈ G
25
11 25/08/2010 Aula 11 - Grupos normais
11.1 Revisão
Homomorfismo, Núcleo (Kernel).
11.2 Grupos Normais
Um grupo é N ≤ G é normal se aN = Na, ∀a ∈ G. Notação: N E G.
Obs.: Ker(f) E G.
Se a ∈ f−1(a′)⇒ f−1(a′) = a(Ker(f)) = (Ker(f))a
11.3 Proposição
Seja N ≤ G São equivalentes:
1. N E G
2. g−1Ng ⊆ N ∀g ∈ G
3. g−1Ng = N ∀g ∈ G
Provas. Ver parte III[1]
11.4 Propriedade
Seja H ≤ G. Se (G : H) = 2 então H E G
11.5 Isomorfismos e o Teorema de Cayley
Def.: f :G→ G′ homomorfismo é isomorfismo se f bijetora.
Falamos que G é isomorfo a G′ se existir f :G → G′. Notacão: Isomor-
fismo denota-se G ≈ G′
Propriedades:
1. Reflexiva
2. Transitiva
3. Simétrica
11.6 Quando dois grupos são isomorfos?
Exemplos: (Q∗, ·) ≈ (R∗, ·)
para mais exemplos, Ver parteIII[1]
11.7 Exercício para 03/09/2010
Mostrar que 6 ∃f :Q→ R bijetora
26
12 25/08/2010 Aula 12 - Teorema de Cayley
12.1 Revisão
isomorfismo.
12.2 Teoremade Cayley
Cada grupo é isomorfo a um grupo de permutações. Agora podemos definir
a aplicação ϕ:G→ SG
a La:G→ G
x ax
É ϕ homomorfismo de grupos?
12.3 Grupo Quociente
G grupo e N E G (Subgrupo normal de G). Assim aN = Na ∀a ∈ G e
a−1Na = N ∀a ∈ G
Definamos
G/N = {aN |a ∈ G} = {Na|a ∈ G} = conjunto das classes de G Módulo
N.
Teorema: Se N E G então G/N é um grupo com a operação binária “·”
definida por
(aN) · (bN) = (ab)N
Dem.: Vejamos que “·” está bem definida, isto é, não depende das repre-
sentantes.
aN = a′N
bN = b′N
}
⇒ (ab)N = (a′b′)N
a′ ∈ a′N = aN ⇒ a′ = an1 para algum n1 ∈ N
b′ = b′ 1︸︷︷︸
∈N
∈ b′N = bN ⇒ b′ = bn2 para algum n2 ∈ N
a′b′ = (an1)(bn2) = a (n1b)︸ ︷︷ ︸
∈Nb
n2 = a(b n3︸︷︷︸
∈N
)n2 (para algum n3 ∈ N)
É associativa? Testa
Possui elemento neutro? Testa = 1N
Possui inverso? Testa
Assim (aN)−1 = a−1N
Exemplo: G = R2 com a operação soma (R2,+)
N = {(x, 2x)|x ∈ R} E R2
R2/N = {{(a, b) + (x, 2x)|x ∈ R}|(a, b) ∈ R2}
= {as retas paralelas a N}. Colocar gráfico de várias retas paralelas e a
N passando pela origem Como somar as classes?
r + s =? Através de representantes.
P (4, 2) ∈ r
Q(−3,−2) ∈ s
}
P +Q = (1, 0)
27
Logo r + s é a reta paralela a N que contém (1,0)
Exemplo: G grupo, N E G Definamos
P :G→ G/N
a aN
p é um homomorfismo.
13 25/08/2010 Aula 13 - Isomorfismos
13.1 Revisão
Grupos Quocientes: Se N subgrupo normal de G, isto é aN = Na ∀a ∈ G
então podemos definir o grupo quociente de G por N onde G/N = {aN |a ∈
G} e o produto (aN)(bN) = (ab)N
C/N = {z,−z}|z ∈ C, |z| = 1}
Obs.: Se G for finito e N E G, então |G/N | = (G : N) =. . .
Ex.: Seja G um grupo
1. Se N = {1}, então G/N = G/{1} ' G
2. Se N = G, então G/Gsimeq({1}, ·)
13.2 1oteorema de isomorfia (isomorfismo?)
Se f :G → G′ é um homomofrfismo de grupos então N := Ker(f) E
G, Im(f) ≤ G′
G/Ker(f) =' Im(f)
Prova: verificar
1. é . . . ?
2. é sobrejetora?
3. é injetora?
Portanto é um isomorfismo: f :G→ G′ hom ⇒ G/Ker(f) =' Im(f)
13.3 Teorema
Seja G um grupo cíclico. Se G é infinito, então
13.4 2oteorema de isomorfia (isomorfismo?)
H e N subgrupos de G com N normal em G. Então
HN E G
H ∩N E H e
H/H∩ ' HN/N
28
14 02/09/2010 Aula 14 - ?
14.1 Informes
Hoje devemos terminar a prte de grupos. Depois disso teremos a prova.
14.2 Revisão
1o e 2o teoremas de Isomorfia (Isomorfismo???).
14.3 Exercício para dia 13/09/2010
Determinar exemplos de grupos N,K,G com N E K, K E G e N 6E G
14.4 Exercício em classe
Determinar os nomomorfismos de Z6 em Z5.
Solução: Seja
f :Z6 → Z5 homomorfismo de grupos. Pelo 1o teorema de Isomorfismo
Z6/Ker(f) ' Im(f) ≤ Z5
| Z6Ker(f) | = |Im(f)| divide |Z5| = 5
G
|Ker(f)| divide 5
O único divisor de G que divide 5 é 1.
G
|Ker(f)| = 1⇒ |Ker(f)| = G⇒ Ker(f) = Z6
14.5 Produto direto e grupos abelianos finitamente gerados
Pergunta: Quando Zn × Zm é cíclico?
produtos:
Sejam G1, . . . , Gk grupos (multiplicativa) elementos neutros ei. Então:
Gi × . . .×Gk = {(a1, . . . , ak)|ai ∈ Gi} é grupo com a operação binária.
G1 × . . .×Gk abeliano ⇔ G1, . . . , Gk abelianos
Corolário: Zn × Zm cíclico se e somente se mdc(n,m) = 1
14.6 Teorema de classificação de grupos abelianos
teorema: Se G abeliano finitamente gerado então existem p1, . . . , pk primos
r, r1, . . . , rk inteiros positivos únicos tal que
G ' Zp1r1 × . . .Zpkrk × Z× . . .× Z︸ ︷︷ ︸
r vezes
Não vamos mostrar pois é complicado, entretanto é análogo a forma de
se classificar modulos.
29
15 13/09/2010 Aula 15 - Revisão pré prova
15.1 Definições
Algoritmo de Euclides: m,n ∈ Z m > 0 ⇒ ∃q, r ∈ Z com 0 ≤ r < m|n =
qm+ r
Assiciatividade: a(bc) = (ab)c∀a, b ∈ G
Automorfismo: f :G→ Gisomorfismo
Automorfismo interno: g ∈ G:Cg:G→ Gdefinidox→ g × g−1
Ciclo de comprimento r: σ ∈ SA permutação tal que existem a1, a2, . . . , ar ∈
A distintos. σ(a1) = a2, σ(ai) = ai+1. Denota-se σ = (a1, . . . , ar)
Ciclos disjuntos:
Classes Laterais:
Elemento neutro:
Elemento simétrico (inverso):
Endomorfismo: é um homomorfismo de G em G.
Epimorfismo: f :G→ G′ homomorfismo sobejetor
Estável: H ⊆ G é estável se H ·H ⊆ H
Grupo: É um conjunto G 6= ∅ com a operação binária “cdot” que satisfaz
G2, G2 e G3.
Grupo alternado: de n elementosm An são as permutações pares de n
elementos.
Grupo cíclico: Se for gerado por um elemento G =< a >
Grupo de permutações: um subgrupo deSA onde A conjunto
Grupo diedral: D4 = S(�)
Grupo finitamente gerado:
Grupo quociente:
Grupo simétrico:
Grupo simples:
Homomorfismo:
Imagem:
Índice
16 17/09/2010 Aula 16 - Teoria de anéis
Capítulo 3 do Frahlei
Introdução: Problemas centrais Equações Polinômios em uma variável
sobre R ou C
Teoria de Números Conceito de anel ou corpo. Fim do sec XIX
Teoria de anéis: Emmy Neethes 1900 ∼ 1930
XVI Soluções das eq. de grau 4
Galois: Não existe solução geral paaa eq. de grau 5
1o teorema de fermat: p primo, 1 ≤ n ≤ p⇒ p|(np−1 − 1)
(np−1 ≡ 1mod(p)) ou np ≡ nmod(p)
30
Último teorema de Fermat:
Soluções inteiras da equação xn + yn = zn, (n > 2)
Além das triviais (0,0,0), (1,0,1), (0,1,1) Andrew Wills
17 Anéis
Definição e primeiras propriedades:
Anel é uma terna (A,+, ·) onde A conjunto não vazio, + e · são operações
binárias em A, tal que:
1. (A, +) é um grupo abeliano
2. a(bc) = (ab)c Multiplicação é associativa
3. Existeunidade 1 · a = a · 1 = a ∀a ∈ A
4. Distributiva a(b+ c) = ab+ ac e (b+ c)a = ba+ ca ∀a, b, c ∈ A
Em geral, a · b 6= b · a
Se a · b = b · a então o anel chama-se comutativo.
Ex. Z,Q,R,C com as operações usuais soma e multiplicação.
31
Referências
[1] John B. Fraleigh. A First Course In Abstract Algebra, 7th Edition. Ad-
dison Wesley Longman, 2000.
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