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1
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
10
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
b)
b)
c)
c)
d)
e)
a)
a)
( ) ( )f t g t+


( ) ( )f t g t−


( ) ( )f t h t⋅

( ) ( )h t g t⋅ 
( ) ( )1 1f t g t+ + −


( )( ) ( )2 2 4 2+ + − +t sen t i t t j
( )( ) ( )2 2 4 2− + − + −t sen t i t t j
( ) ( )5 3 4 22 6 8 24+ + +t t i t t j
d)
e)
( ) ( )( ) ( )3 52 6 2 12+ + − +t sen t tsen t i t t j
( ) ( )( ) ( )3 52 1 6 1 2 12+ + + + − +t sen t tsen t i t t j
2 Esboce a curva formada pela função vetorial:
a)
b)
C) para
( ) 2 4f t t i tj= +

 
( ) ( )22 1f t ti t j= + −

 
( ) ( ) ( )( )3cos , 3f t t sen t=

[ ]0,2t π∈
1 Dadas as funções vetoriais ( ) 2 4f t t i tj= +

 
, 
( ) ( ) ( )2 2g t sen t i t j= − −  e ( ) ( )32 3h t t t= + , calcule o que se 
pede:
11
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.: 
a)
b)
12
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
a)
3 O movimento de um besouro que desliza sobre a superfície de uma 
lagoa pode ser expresso pela função
em que m é a massa do besouro. A posição do besouro no instante de 
tempo t – π é:
( ) ( ) ( )
1 cos
2
t t sen t
g t i t j
m m
 − −
= + + 
 
 

a) ( x )
b) ( )
c) ( )
d) ( )
( )( )1 2, 2 1mm π +
( )( )1 0, 2 1mm π +
( )( )1 2, 2 1mm π −
( )( )1 0, 2 1mm π −
4 Calcule o limite a seguir:
( ) 2
0 
lim , 
t
sen t
t
t→
 
 
 
c)
13
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
a)
a)
b)
c)
d)
b)
C)
d)
e)
b)
c)
d)
R.: 
a) (1,0)
b) (1,1,1)
c) (1,3,1)
d) (0,½,0)
( ) ( )
2
3
20
lim , , cos 2t
t
te t
sen t
−
→
 
  
 
( )
2
1
lim , 8 ,cos 2
1t
t t t t
t→
 −
+ − 
3
3
1lim , , 
2 1
t
t
t tte tsen
t t
−
→∞
 +  
  −   
5 Calcule a derivadas das funções vetoriais a seguir:
( ) ( )( )2 32 3 ,1 2f t t sen t= + −
( ) ( ) ( )( )4 cos , 3 f t t sen t= + +

( ) 4 tf t i j e k= − +
   
( ) ( )2 ln 1 3tf t e i j t k= − + +
   
( ) ( )2 1 f t t i t t j tsen t kπ= + − +
   
( )( )2 36 , 3 cos 2−t t t
( ) ( )( ), cos−sen t t
( )40, 0, 4 te
( )
2 3 2 ,0,
1 3
 
⋅  + 
tt e
t
14
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
e)
a)
b)
b)
c)
c)
( ) ( )3 2 2 , , cos
2 1
π π π− + ⋅ − 
tt sen t t
t
6 Encontre a equação paramétrica da reta tangente no ponto ( )0f t

 
das funções a seguir:
( ) ( )2 02
4 , , 0, , 2f t t t t
t
 = ∈ ∞ = 
 

( ) ( ) ( )2 2 0 2 ,3 4 , 1, 5 , 2f t t t t t= − + + ∈ =

( ) ( ) ( )( ) [ ] 04 ,3 , 0, , 3f t sen t sen t t t
ππ= ∈ =

R.:
a) ( ) ( ) 4 4 ,1= + −r t t t
( ) ( )2 4 ,1 9 16= + +r t t t
( ) 3 3 3 2 3 2 ,
2 2
 
= + +  
 
r t t t
7 Uma curva é o lugar geométrico de uma função vetorial, em que 
essa função vetorial representa o vetor posição. Suponha que dois 
carros estão se movendo segundo os vetores posição
( )
2
1 2 , 2 2
tr t t
 
= + − + 
 

( ) ( )2
78 7 1 .
2
r t t i t j = − + + − + 
 

 
Sabendo o vetor posição em relação ao tempo dos dois carros, 
determine se é possível os dois carros se chocarem. 
a) ( ) Sim, quando t = 10.
b) ( ) Sim, quando t = 127.
c) ( ) Sim, quando t = 1000.
d) ( x ) Não.
15
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
a)
a)
b)
b)
b)
c)
c)
c)
d)
d)
e)
e) Será cancelada.
R.:
a)
8 Calcule a integral das funções vetoriais a seguir:
( ) ( ) ( )( )2 , , 2f t t sen t t tcos t=

( ) ( ) ( )( )4 cos , 3 f t t sen t= + +

( ) 3 5 3f t t i t j t k= − +
   
( ) ( )2 1 f t t i t t j tsen t kπ= + − +
   
( ) ( )2 ln 1 3tf t e i j t k= − + +
   
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 1, , 2 2cos 
3 4
 
− ⋅ + 
 
tsen t tcos t t sen t t
( ) ( )( )4 , 3 cos + −t sen t t t
2 4 6
, ,
2 4 2
 
− 
 
t t t
( ) ( )
( )( )3 3
2
) cos2, 1 3 2 , 
3 15 ²
π π π
π
 − ⋅
− ⋅ +  
 
sen t t tt t t
9 Determine o vetor tangente unitário e o vetor normal unitário das 
curvas a seguir no ponto dado:
( ) ( ) ( )( ) , cos , 3 , f t t t sen t t π= =

( ) ( )2 22 ,3 4 , 2f t t t t= − + + =

( ) ( ) ( )( )4 ,3 , 2f t sen t sen t t
π
= =

16
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
a)
R.:
a) 10,52
b) 120
c) 0
10 3 10 , 0, 
10 10
 
−  
 
b)
b)
c)
b) Não existe.
5 4 5, 
5 5
 
  
 
10 Determine o comprimento de curva e a curvatura das curvas a seguir:
a) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , cos , 3 , 5, 5f t t t sen t t= ∈ −

( ) ( ) ( )2 2) 2 ,3 4 , 1, 5b f t t t t= − + + ∈

( ) ( ) ( )( ) [ ]4 ,3 , 0,f t sen t sen t t π= ∈

11 A curva a seguir nos mostra a famosa representação gráfica da 
helicoidal:
17
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Sua representação é dada pela seguinte parametrização: 
( ) ( ) ( )( ), ,9 .t sen t cos tγ = Sendo que se trata de uma parametrização em 
³ . Pensando agora nas parametrizações em ³ , analise as sentenças 
a seguir e as classifique em V para as verdadeiras e F para as falsas. 
Em seguida, assinale a opção correta.
( ) A parametrização (t,t2) refere-se à curva gerada pela parábola y = x2.
( ) A parametrização (2sen(t),2co s(t)) refere-se à curva gerada pela 
circunferência x2 + y2 = 2.
( ) A curva x = y2 + 1, do ponto (2,1) até (10,3) tem com parametrização 
(t2 + 1,t),	com	2	≤	t	≤	10.
( ) A parametrização da curva y = x3 pode ser vista como (t3,t3).
A sequência CORRETA é:
a) ( ) V – V – V – F.
b) ( x ) V – F – V – F.
c) ( ) V – F – F – F.
d) ( ) F – V – F – V.
12 A função vetor tangente a uma curva trata-se de um conjunto de 
vetores que indicam os sentidos que a curva toma ao longo de seu 
percurso. A imagem a seguir lida com esta definição, fazendo uma 
associação com o vetor velocidade.
2
Po
(x,y)=Po + t.v
v
É de conhecimento também que a norma do vetor tangente “mede” 
a intensidade (comprimento) do vetor tangente. Desta forma, dada 
a parametrização (sen(t), cos(t), t), assinale a opção que apresenta 
corretamente o comprimento de seu vetor tangente.
a) ( ) 1.
b) ( ) 2.
c) ( ) ½.
d) ( x ) √2..
18
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
TÓPICO 2
Acadêmico, o processo de entendimento total do conteúdo finaliza 
aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos 
explorados neste tópico. Bom estudo!
1 Represente graficamente os campos vetoriais a seguir.
a) F(x,y) = (x,y).
b) F(x,y) = (0,1).
c) F(x,y) = (x2,0).
R.:
a)
19
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
b)
c)
2 Calcule o gradiente e o laplaciano dos campos escalares a seguir. 
a) f(x,y) = x3y3 – xy.
b) f(x,y) = x2 + xy + y2 – 3y.
c) f(x,y) = e2x-y + 2x + 2y.
d) f(x,y,z) = x2 + 3y2 + 4z2.
e) f(x,y,z) = zex-y + z3.
f) f(x,y) = cos(x,y) + ex.
20
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
R.:
a) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 23 1 , 3 1= − −grad F y x y x x y
b)
c)
d)
e)
f)
( ) ( )23 , 2 3= + + −graf F x y x y
( ) ( )2 22 2,2− −= + −x y x ygraf F e e
( ) ( ) 0,6=graf F y
( ) ( )( ) , , 3 ²− − −= − +x y x y x ygraf F ze z e e z
( ) ( ) ( )( ), = − −xgraf F e ysen xy xsen xy
R.:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3 Encontre a função f(x,y) cujo gradiente é ( ) ( ), 2 ,3f x y x xy∇ = .
( )
2
2 3, ,
2
 
=  
 
yF x y x
4 Calcule o rotacional e o divergente dos campos vetoriais a seguir.