Fundamentos de reologia 2017-aula 03 e 04

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Centro Federal de Educação Tecnológica 
de Minas Gerais- CEFET MG
Fundamentos de Reologia
2EMAT.014
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Aula 03 e 04: Revisão- Equações Reológicas de Estado
Profa. Dra. Aline Bruna da Silva
2017
2EMAT.014
BibliografiaBibliografia
•BRETAS, R. E. S.; D’ÁVILA, M. A. Reologia de
Polímeros Fundidos. São Carlos: Edufscar, 2005. 257p.
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•MANRICH, S. Processamento de termoplásticos. São
Paulo: Artliber. 2005. 431p.
•Notas de aula.
VISCOSIDADEVISCOSIDADE
• A relação entre tensão de cisalhamento e taxa de
cisalhamento é a seguinte:
• Onde h é a viscosidade do material
Inicialmente vamos considerar: A viscosidade de um material é a 
medida da resistência que este material oferece à deformação, 
portanto, um material de alta viscosidade apresentará maior 
resistência à deformação e ao escoamento e vice-versa.
•O valor de viscosidade é suficiente para 
descrever o comportamento de um 
fluido?
VISCOSIDADEVISCOSIDADE
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fluido?
Qual dos dois fluidos tem maior viscosidade na sua 
opinião? Maionese ou Mel?
Menor viscosidadeMaionese: espalha facilmente
VISCOSIDADEVISCOSIDADE
5
Menor viscosidade
Maior viscosidade
Maionese: espalha facilmente
Mel: necessita de maior força 
para espalhar
Definição de viscosidade Newtoniana:
VISCOSIDADEVISCOSIDADE
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Conclui-se que, como o mel exige maior força para ser 
espalhado, logo, deve ter maior viscosidade que a maionese!
Mas.....respingando um pouco de cada fluido em uma
superfície plana, que o que acontece?
VISCOSIDADEVISCOSIDADE
7
E agora??? Qual dos dois fluidos tem maior viscosidade 
na sua opinião? 
Melhor resposta: DEPENDE ....
•O valor de viscosidade é suficiente para 
descrever o comportamento de um 
VISCOSIDADEVISCOSIDADE
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descrever o comportamento de um 
fluido?
•Vamos responder até o final desta aula
Sabemos como especificar o estado de tensões e de deformações em uma 
região de um corpo.
Próximo passo: Como as tensões e as deformações 
estarão relacionadas?
Equações reológicas de estado
(Equações constitutivas)
9
estarão relacionadas?
Isto vai depender das propriedades da matéria na 
qual a tensão ou a deformação/taxa de deformação 
está sendo aplicada!
• Exemplo: aplicação de uma mesma tensão em três
materiais diferentes (vidro de sílica, borracha, mel) 
Comportamentos de deformação completamente diferentes;
• Como calcular a deformação sofrida pelos
Equações reológicas de estadoEquações reológicas de estado
(Equações constitutivas)(Equações constitutivas)
• Como calcular a deformação sofrida pelos
materiais?
Equações constitutivas 
(ou equações reológicas de estado)
• Equações constitutivas (ou equações
reológicas de estado): definem as relações
entre o tensor tensão e as taxas de
Equações reológicas de estadoEquações reológicas de estado
(Equações constitutivas)(Equações constitutivas)
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entre o tensor tensão e as taxas de
deformação em um determinado material.
A escolha da melhor equação reológica de estado para 
determinado material dependerá de vários fatores:
1. Tipos de deformação aos quais ele será submetido
(elongação, cisalhamento ou ambos);
2. Intensidade destas taxas de deformação;
Equações constitutivasEquações constitutivas
2. Intensidade destas taxas de deformação;
3. Tempo de duração destas taxas de deformação;
4. Temperatura ou intervalo de temperaturas nos quais
estas taxas de deformação serão aplicadas.
No caso de materiais, estas equações podem ser 
divididas em:
1. Materiais puramente viscosos (Fluidos Newtonianos);
2. Materiais viscosos (Fluidos não-Newtonianos);
Equações constitutivasEquações constitutivas
2. Materiais viscosos (Fluidos não-Newtonianos);
3. Materiais viscoelásticos (Fluidos Viscoelásticos);
4. Materiais puramente elásticos (Sólidos Hookeanos).
Fluido Newtoniano (Puramente Viscoso)
• A equação constitutiva mais simples para líquidos puramente
viscosos é aquela em que o tensor tensão é proporcional à taxa de
cisalhamento, ou seja:
onde m (constante de proporcionalidade) é denominada viscosidade
Newtoniana (ou simplesmente viscosidade). Esse parâmetro
representa a resistência ao fluxo ou ao escoamento do material;
• Quanto maior a viscosidade de um material, maior será sua
resistência ao escoamento;
Fluidos Newtonianos apresentam a mesma resistência ao
fluxo (viscosidade), independentemente das tensões ou
deformações aplicadas;
Fluido Newtoniano (Puramente Viscoso)Fluido Newtoniano (Puramente Viscoso)
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deformações aplicadas;
• Exemplos: líquidos de baixa massa molar (como a água
e os gases).
Fluido Newtoniano (Puramente Viscoso)Fluido Newtoniano (Puramente Viscoso)
g
• Sem deformação instantânea com a aplicação de tensão;• Sem deformação instantânea com a aplicação de tensão;
• Enquanto tensão for aplicada, a deformação aumenta com
o tempo;
• Quando a tensão cessa, a deformação com o tempo
também cessa, mas a deformação sofrida até então não é
recuperada.
Fluido Newtoniano (Puramente Viscoso)
• Viscosidade não varia com a taxa de deformação.
Sólido Hookeano (Puramente Elástico)
• A equação constitutiva mais simples para sólidos puramente elásticos é
aquela em que o tensor tensão é proporcional à deformação, ou seja:
onde E e G (constantes de proporcionalidade) são denominados módulos
elásticos em tração (elongação) e em cisalhamento. Esse parâmetroelásticos em tração (elongação) e em cisalhamento. Esse parâmetro
representa a rigidez do material;
• Quanto maior o módulo de um material, maior será sua rigidez;
• Exemplos: maioria dos materiais metálicos e cerâmicos sólidos.
Sólido Hookeano (Puramente Elástico)
g
• Deformação instantânea com a aplicação de tensão;
• Depois da deformação instantânea, não continua a se deformar com a
aplicação da tensão;
• Quando a tensão cessa, recupera instantaneamente toda a deformação
sofrida.
Sólido Hookeano (Puramente Elástico)
• Módulo não varia com a deformação.
Fluidos não-Newtonianos (Viscosos)
• Polímeros fundidos possuem características viscoelásticas, ou
seja, apresentam comportamento reológico tanto de sólidos
elásticos como de líquidos viscosos;
• No entanto, em muitas situações durante o processamento
desses materiais, suas características viscosas sãodesses materiais, suas características viscosas são
predominantes e os efeitos de elasticidade podem ser
desprezados;
• Dessa forma, é usual em muitos casos utilizar equações
constitutivas simplificadas que descrevam apenas o
comportamento viscoso do polímero;
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
COMP = Moldagem por 
compressão;
CAL = calandragem;
EXT = extrusão;EXT = extrusão;
INJ = moldagem por 
injeção.
• Fluidos da Lei das Potências
• Na região entre h0 e h, a viscosidade pode ser
representada pela Lei das Potências:
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
onde m é a consistência e n o índice da Lei das Potências. 
Fluidos não-Newtonianos (Viscosos)
• Fluidos da Lei das Potências
• O valor de n é uma medida da PSEUDOPLASTICIDADE do polímero:
• Se n = 1, a viscosidade é constante e o fluido apresenta
comportamento Newtoniano;
• Se n < 1, a viscosidade diminui com o aumento da taxa de
cisalhamento e o polímero apresenta um comportamento
pseudoplástico; quanto mais n  0, maior a pseudoplasticidade do
polímero;
• Se n > 1, a viscosidade aumenta com a taxa de cisalhamento e o
polímero apresenta um comportamento dilatante.
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
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Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
26
• Fluidosda Lei das Potências
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
Linearização
y = a + b x
• Fluidos da Lei das Potências
• Equação constitutiva:
• O comportamento dilatante é observado em algumas soluções e
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
• O comportamento dilatante é observado em algumas soluções e
emulsões de PVC e em alguns polímeros reforçados (presença de
grande quantidade de partículas inorgânicas, por exemplo);
• O comportamento pseudoplástico é o mais comum em polímeros
fundidos e é consequência do desenovelamento e da orientação
das macromoléculas, promovidas pelas taxas de cisalhamento
aplicadas.
• Fluidos da Lei das Potências
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
Primeiro platô Newtoniano: 
-região onde a taxa de 
cisalhamento é muito pequena 
 pouca influência no número 
de emaranhamentos entre as 
cadeias.
Quando a taxa é baixa, o 
gradiente de velocidade não é 
forte o suficiente para desenovelar 
as macromoléculas e a 
viscosidade é elevada.
•• Fluidos da Lei das PotênciasFluidos da Lei das Potências
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
Região pseudoplástica: 
-viscosidade diminui com a taxa de 
cisalhamento. 
-O cisalhamento é alto o suficiente para 
“desenroscar” as cadeias. Com menos “desenroscar” as cadeias. Com menos 
emaranhamentos, as cadeias podem fluir 
mais livremente,  queda na 
viscosidade. 
Quanto maior a taxa de cisalhamento, 
maior a quantidade de 
desemaranhamento, menor a restrição 
ao fluxo e menor a viscosidade.
Segundo platô Newtoniano: 
-quando as taxas de 
cisalhamento são elevadas 
•• Fluidos da Lei das PotênciasFluidos da Lei das Potências
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
cisalhamento são elevadas 
 as macromoléculas já
desfizeram quase todos os
nós entre elas e se orientarão
na direção do fluxo.
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
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• Modelo de Ellis
• Descreve a dependência da viscosidade em relação à taxa de
cisalhamento, tanto para baixas quanto para taxas intermediárias;
• Incorpora o primeiro platô Newtoniano;
Fluidos não-Newtonianos (Viscosos)
onde t1/2 é o valor da tensão quando h = h0/2 e (a-1) é a inclinação
da curva log (h0/h-1) em função de log (t/t1/2).
• Lei das Potências x Modelo de Ellis
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
• Modelo de Cross
• Similar ao modelo de Carreau-Yasuda, porém não prevê o patamar
Newtoniano a altas taxas de cisalhamento;
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
onde t* é a tensão na qual ocorre a transição entre o primeiro
patamar Newtoniano e a região da Lei das Potências.
• Modelo de Cross Modificado
• Alteração do modelo de Cross, considerando efeitos de temperatura;
• Substitui-se o valor de h0 por uma função que descreva h0(T);
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
onde B e Tb são parâmetros obtidos a partir do ajuste da equação de h0
a medidas experimentais em diversas temperaturas.
• Modelo de Bingham
• Representa o comportamento da viscosidade de um material que
necessita de uma tensão crítica para começar a escoar (ou as se
deformar);
• Considera-se que h =  para t ≤ ty, ou seja, a viscosidade do material
Fluidos nãoFluidos não--Newtonianos (Viscosos)Newtonianos (Viscosos)
• Considera-se que h =  para t ≤ ty, ou seja, a viscosidade do material
será infinita abaixo de uma tensão crítica ty. Acima dessa tensão
crítica, o fluido escoará com uma viscosidade expressa por:
• Exemplos: compósitos, nanocompósitos, pastas cerâmicas, lama,
tintas, ...
Modelo de Maxwell
• Primeira tentativa de descrever o efeito da
viscoelasticidade de um determinado material;
• Incorpora a ideia de um fluido que apresenta
Fluidos Viscoelásticos
• Incorpora a ideia de um fluido que apresenta
características tanto de um sólido elástico Hookeano
quanto de um fluido viscoso Newtoniano;
Fluidos Viscoelásticos
• O sólido Hookeano é representado por uma
mola;
• O fluido Newtoniano é representado por um
Modelo de Maxwell
amortecedor;
• Mola + amortecedor em série:
Modelo de Maxwell
• Derivando a deformação total em relação ao tempo:
Fluidos Viscoelásticos
onde l = m/G é o tempo de relaxação. Na forma integral (Equação
de Maxwell):
• Modelo de Maxwell
Fluidos Viscoelásticos
1. Deformação elástica
instantânea referente a mola;
2. Deformação plástica referente
ao amortecedor;ao amortecedor;
3. Recuperação elástica
instantânea referente a mola;
4. Deformação plástica residual
(irrecuperável), referente ao
amortecedor.