Utlização das séries de potências na resolução de Equação diferencial ordinária (EDO)

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Cálculo II 
 
 
 
UTILIZAÇÃO DAS SÉRIES DE POTÊNCIAS NA 
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
ORDINÁRIA (EDO) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
Sumário 
 
Introdução .................................................................................................................................... 2 
 
Objetivos ....................................................................................................................................... 2 
 
1.Equação diferencial ordinária ................................................................................................... 2 
1.1. Primeiros passos .......................................................................................................... 2 
1.2. Definição ....................................................................................................................... 2 
1.3. Sugestão de passo a passo .......................................................................................... 4 
2.Resolução analítica da Equação diferencial ordinária ............................................................ 6 
2.1 Ponto ordinário e ponto singular..................................................................................... 6 
2.2 Existência de soluções ..................................................................................................... 7 
 
Exercícios ...................................................................................................................................... 8 
 
Gabarito ........................................................................................................................................ 8 
 
Resumo ....................................................................................................................................... 10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
Introdução 
Todo o estudo de séries de potências leva ao assunto desta aula. Aprendemos 
até agora que este tipo de série é útil na generalização de funções, dentro das 
restrições de continuidade estabelecidos, que reverberam na derivabilidade e 
integrabilidade. 
Agora que já sabemos um pouco mais sobre séries de potências, identificar 
características e comportamento, e como elas definem uma série de funções, 
podemos dar mais um passo e aprender como aplicar as funções definidas por séries 
de potência para calcular soluções de equações diferenciais ordinais. 
Vamos lá? 
Objetivos 
• Calcular a solução de EDO’s utilizando séries de potência. 
 
1.Equação diferencial ordinária 
1.1. Primeiros passos 
Sabemos que uma equação diferencial ordinária de ordem 𝑛 tem a forma 
( )( , , ', y'',...,y 0nF x y y =
 e sua ordem é definida por 𝑛, que é a maior derivada na 
equação. 
Existem diversos métodos para a resolução de um EDO, seja ela implícita ou 
não. Vamos nos ater às soluções para séries funções que compõem uma EDO. 
 
1.2. Definição 
Vamos supor uma equação diferencial ordinária linear na forma 𝑎(𝑥)𝑦′(𝑥) +
𝑏(𝑥)𝑦 = 0, que possui uma solução da forma 
0
01
'
( ) ( )
!
n
n
y x
y x x x
n

=
= −
, ou seja, ela 
pode ser descrita como uma série de potências. 
 
 
 
 
 
 
3 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução geral de uma EDO linear de primeira ordem 
' 2 ( ) 0y xy x− =
 é 
2
1 1( )
xy x c e=
 . Temos assim uma função que 
pode ser descrita como uma série de potências: 
2
2
01
( )
( )
!
n
x n
n
x
e x x
n

=
= −
 para qualquer 𝑥 real. 
Assim, temos uma solução geral, através da série para 𝑒𝑥
2
, do 
tipo 
0
( ) nnny x a x

=
 , com derivada. 
Fazendo os cálculos para o exemplo, temos: 
1
0 0
'2xy 2 0n nn nn ny na x x a x
 −
= =
= − = 
 
1
1 22
( 2 ) 0nn nna na a x
 −
−=
+ − =
 
A equação é válida para coeficientes nulos, ou seja, 
1
2
0
2 0, se n 2n n
a
e
na a −
=


 − = 
 
que chamamos de relação de recorrência. 
Verificando os valores de 𝑛 positivos e diferentes de zero, 
concluímos que os coeficientes pares possuem a forma 
2 0
1
!
na a
n
=
 e os coeficientes ímpares possuem a forma 
2 1 0na + =
 . 
Substituindo os coeficientes na solução 𝑦(𝑥), temos 
2
2
2 20
2 0 00 0 0
( ) x a
! !
n
n n x
nn n n
a x
y x a x a e
n n
  
= = =
= = = =  
 
Que é a solução apresentada, ainda com uma constante 
arbitrária. 
 
 
4 
 
1.3. Sugestão de passo a passo 
Vamos elaborar um passo a passo para a solução pelo método das séries de 
potência de uma EDO do tipo 
''( ) '( ) ( ) 0y x y x y x+ + =
 : 
1) Vamos definir que a solução geral 𝑦(𝑥) tem a forma trivial de uma série 
de potências 
1
1
'( ) nnny x na x
 −
=
=
 , contínua e derivável no intervalo de convergência 
da série. A primeira derivada fica 
1
1
'( ) nnny x na x
 −
=
=
 , e a segunda derivada fica 
2
2
''( ) ( 1) nnny x n n a x
 −
=
= −
. 
2) Substituímos na EDO as séries que definimos para 
, ' e ''y y y
 . 
3) Usamos a relação de recorrência para encontras coeficientes arbitrários 
termo a termo. 
4) Encontramos a expressão geral para os coeficientes arbitrários; 
5) Substituímos a expressão geral na solução 𝑦(𝑥), para determinar a 
solução geral da EDO. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A solução geral da EDO 
4 '' ( ) 0y y x+ =
 é 
2( ) c cos sin
2 2
a
x x
y x c= +
 . Vamos fazer os passos listados 
acima: 
1) 
0
( ) nnny x a x

=
=
, 
1
0
'( ) nnny x na x
 −
=
=
 e 
2
0
''( ) ( 1) nnny x n a x
 −
=
= +
 
2) Substituímos 
, ' e y''y y
 na EDO: 
2
0 0
4 '' y 0 4 n(n 1) 0n nn nn ny a x a x
 −
= =
+ =  − + = 
 
  220 4 ( 1)( ) 0
n
n nn
n n a a x
 −
−=
− + =
 
Logo, temos 
2
4 ( 1)
n
an
a
n n
−
= −
−
 com 
2n 
 . 
3) Calculamos os coeficientes arbitrários: 
2 2 3 2 4 2 0
2 3 4 4
, , ,...
4.2(2 1) 4.3(3 1) 4.4(4 1) 4!.2
a a a
a a a− − −= − = − = − =
− − −
 
4) Deduzimos a expressão geral dos coeficientes 
em termos de 𝑎0 e 𝑎1: 
para 𝑛 ≥ 0, temos 
1
2 2 12 2 1
( 1) 0 ( 1) 2
 e ;
(2 )"2 (2 1)"2
n n
a
n nn n
a
a a
n n
+ +
− −
= =
+
 𝑎2𝑛 = 
5) Substituímos a expressão geral em 𝑦(𝑥): 
 
2 2 10 1
2 2 10 0
( 1) ( 1) 2
'( ) x x
(2 )!2 (2 1)!2
n n
n n
n nn n
a a
y x
n n
  +
+= =
− −
= +
+
 
 
0 1( ) cos sin
2 2
x x
y x a a= +
 
 
Que é a solução apresentada para coeficientes arbitrários. 
 
 
6 
 
Importante ressaltar que os passos 4 e 5 não são triviais. Para facilitar o 
entendimento desta aula, vamos propor uma solução analítica e suprimir no 
momento estes dois passos. 
 
2.Resolução analítica da Equação diferencial ordinária 
2.1 Ponto ordinário e ponto singular 
Chamamos de solução analítica uma função localmente definida por uma série 
de potências convergentes, ou seja, em um ponto 𝑥 = 𝑥0. Ela pode ser desenvolvida 
em uma série de Taylor, com raiode convergência maior do que zero. 
Vamos pensar em uma EDO de segunda ordem do tipo 
A(y') ' B(x) y' C(x) y 0+ + =
 . Tomando
( )
( )
( )
B x
p x
A x
=
 e 
C( )
q( )
( )
x
x
A x
=
, podemos reescrever 
'' ( ) ' ( ) 0y p x y q x y+ + =
, dizemos que 𝑥 = 𝑥0é o ponto ordinário dessa EDO se nesse 
ponto 𝑝(𝑥) e 𝑞(𝑥) são funções analíticas. Um ponto que não é ordinário é chamado 
de singularidade da EDO. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Suponha a EDO 
'' (sin ) ' ( 1cos ) y( ) 0xy x y x x+ + − =
. 
 
Tomamos 
sin( )
( )
x
p x
x
=
 e 
1 cos( )
( )
x
p x
x
+
=
 e temos 𝑦′′ +
𝑝(𝑥)𝑦′ + 𝑞(𝑥)𝑦(𝑥) = 0. 
 
Nesta EDO todos os pontos são ordinários, inclusive zero. 
 
Para visualizarmos melhor isso, vamos tomar as séries de 
potências conhecidas de sin 𝑥 e cos 𝑥: 
3 5 7 2 4 6
2 4 6 3 5
1 1
sin ... 1 ...
3! 5! 7! 3! 5! 7!
1 1
cos ... ...
2! 4! 6! 2! 4! 6!
x x x x x x
x x
x x
x x x x x x
x
x x
 
= − + − + = − + − 
 
 
= + − + = + + + 
 
 
Que são séries de Taylor relativas a 𝑥 = 0. 
 
 
7 
 
Há uma regra simples para identificar se uma EDO possui um ponto ordinário 
ou singular. Se 𝐴(𝑥) ≠ 0, ela possui um ponto ordinário, se 𝐴(𝑥) = 0, possui um 
ponto singular. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
2.2 Existência de soluções 
Supondo que 
0x x=
 é um ponto ordinário da equação diferencial, existem 
sempre duas séries de potências que definem soluções linearmente independentes; 
cada série possui o mesmo raio de convergência 𝑅, definido pela distância linear do 
ponto ordinário ao ponto singular, e converge no intervalo ]𝑥0 − 𝑅, 𝑥0 + 𝑅[. 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
Seja a EDO 
2( 1) '' 2 ' 6 ( ) 0x y xy y x− + + =
 . Tomamos 
2( ) 0 1 0 1A x x x=  − =  =
 . Portanto os pontos 𝑥 = 1 
e 𝑥 = −1 são pontos singulares; todos os demais são 
pontos ordinários. 
Agora vejamos a EDO 
2 2( 1) '' ( 1) ' ( 1) ( ) 0x y x y x y x− + − + − =
. 
Tomando um 
( ) ( 1)p x x= +
 e 
( ) ( 1)q x x= −
 temos 
'' ( ) ' q(x) y(x) 0y p x y+ + =
 , e 
( ) 0 1 0A x x=  − =
 , temos 
que 𝑥 ≠ 1. Portanto a EDO não tem ponto singular, todos 
os pontos são ordinários. 
 
Seja 
( 1) '' ' ( ) 0x y xy y x− + + =
 , e um ponto ordinário 
𝑥 = 4. O ponto singular da EDO é 
0 0 10 1 0x x x ==  − = 
 sim, o raio de convergência é 
obtido por 
0 4 1 3R x x= − = − =
 . 
 
Logo, o intervalo de convergência é definido por 
0 0] , [ ]4 3,4 3[ ]1,7[x R x R− + = − + =
. 
 
8 
 
Exercícios 
1. Calcule a solução para as EDO’s centradas em 𝑥 = 0. 
a. 
23 ' 0x y y− =
 
b. 
' 2 3y xy x− =
 
c. 
'' 2 ' 0y xy y− + =
 
Gabarito 
1. 
a. Vamos assumir que a EDO pode ser descrita pela série 
0
( ) nnny x a x

=
=
 . Logo, 
1
0
'( ) nnny x na x
 −
=
=
. Substituindo na EDO temos 
2 2 1
0 0
3 ' 0 3 0n nn nn nx y y x na x a x
 −
= =
− =  − = 
 
1
10 0 0
3( 1) [3(n 1) ] 0n n nn n n nn n nn a x a x a a x
  −
+= = =
+ − = + − =  
 
Assim, temos: . 
1 1[3(n 1) ] 0
3( 1)
n
n n n
a
a a a
n
+ ++ − =  =
+
 
Se 
0a c=
 , encontramos que: 
1
1
2 2
2
3 3 3
3
4 3 4
3
3.2 3 .2
3.3 3 .2.2 3 .3!
3.4.3 .3! 3 .4!
c
a
a c
a
a c c
a
a c
a
=
= =
= = =
= =
 
… 
Resultando em 
3 .n!
n n
c
a =
 
Portanto a solução é 
0
( )
3 .n!
n
nn
cx
y x

=
=
 
b. Vamos assumir que a EDO pode ser descrita pela série 
0
( ) nnny x a x

=
=
. Logo, 
1
0
'( ) nnny x na x
 −
=
=
. Substituindo na EDO temos 
 
9 
 
1 1
1 1
1 11 1
1 2 0 1 11
' 2 3 2 3
( 1) 2 3
2 ( ) [( 1) 2 ] 3
n n
n nn n
n n
n nn n
n n
n nn
y xy x na x x a x x
n a x a x
a x a a n a x a x x
 − −
= =
 
+ −= =

+ +=
+ =  + =
+ + =
+ + + + + =
 
 

Assim, temos: 
0
1 0 2 0 0 2 2
3 3
;2 ( ) 3
2 2
a
a x a a x a a a= + =  + = −  =
 
1 2
2
2 0
1
n
n n n
a
a a a
n
+ − ++ =  = −
+
 
Se 𝑎0 = 𝑐, encontramos que: 
1
0
2
1
3
2
4
3
5
4
6
0
3 3
2 2
2
0
2
2 2 3
.
3 3 2
2
0
4
2 2 3 2
. . .
3 3 2 3
a
a c
a
a
a
a c
a c
a
a
a
a c c
=
= = =
= =
−
= = = −
−
= =
−    
= = =   
   
 
 
… 
Resultando em 
3 2
. .
2 3
na c
 
=  
 
 . 
Portanto a solução é 1
1 2
1
3 2
( ) ( 1) . . .
2 3
n
n n
n
y x c x
−
 +
=
 
= + −  
 

 
c. Vamos assumir que a EDO pode ser descrita pela série 
0
( ) nnny x a x

=
=
. Logo, 
1
0
'( ) nnny x na x
 −
=
=
 e 
2
0
''( ) ( 1) nnny x n n a x
 −
=
= −
. Substituindo na EDO temos 
2 1
0 0 0
'' 2 ' 0 ( 1) 2 ( 1) 0n n nn n nn n ny xy y n n a x x n n a x a x
  − −
= = =
− + =  − + − + =  
2 2 01
[( 2)(n 1) 2 ] 2 0nn n nn n a x na a a a

+=
+ + − + + + =
 
Resultando em 
2
(2 1)
;
( 2)(n 1)
n
n
n a
a
n
+
−
=
+ +
 ; 
 
Se 
0a c=
 , encontramos que: 
 
10 
 
1
0
2
1
3
2
4
3
5
4
6
5
7
2 2
3.2 3.2 3!
3 1 3
.
4.3 4 2 4.3 4!
5 1 5
.
5.4 4 3.2 4.3.2 k!
7 7 7 7.3.
.
6.5 6.5 4.2 6.5.4.2 6!
9 9 9.5.
.
7.6 7.6 4.3.2 7!
a k
a c
a
a k k
a
a c c c
a
a k k k
a
a c c c
a
a k k
a
=
= =
= = =
= = = =
= = = =
= = = =
= = =
 
… 
Portanto a solução é 2 2 1 2
1 2
( ) ( )
( )
2 (2 1) (2 )!
n n
n n
cx A n kx B n cx
y x c kx
n n
+
 
= =
= + + + +
+
 
 , em 
que ( ) 4 3. ( 1), 1
1, 1
A n n A n n
n
= − − 
=
 e B( ) 4 1.B( 1), 1
3, 1
n n n n
n
= − − 
=
. 
Resumo 
Há muitos detalhes envolvidos na solução da equação diferencial ordinária 
utilizando séries de potências, como vimos nesta aula. 
Podemos encontrar a solução geral de uma EDO supondo que a função y que 
procuramos pode ser escrita na forma de uma série de potências. De fato, uma vez 
que sabemos as características de continuidade, derivação e integração de uma 
função descrita por uma série, podemos calcular uma solução para y. 
Esta solução segue alguns passos, que nem sempre são simples de realizar, 
principalmente a tarefa de definir o termo geral da série e aplicar o termo à função. 
Por isso, a solução analítica através das séries de Taylor pode ser uma boa alternativa. 
Lembrando que, mesmo definindo o termo geral da série, estamos tratando de 
coeficiente arbitrários na série. Na solução analítica, conseguimos definir o termo 
geral, mas sempre em torno de um ponto 𝑥0 e dentro de um raio de convergência 𝑅 
da série. 𝑅 por sua vez é definido como a distância linear entre o ponto ordinário e o 
ponto singular, e converge no intervalo 
0 0] , [x R x R− +
 . 
 
 
 
11 
 
Referências bibliográficas 
GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. Volume 4. São Paulo: LTC, 2002. 
 
SIMMONS, G. F. Cálculo com geometria analítica. Volume 2. São Paulo: Pearson, 2010. 
 
COUTO, R. T. Notas de aula de Equações diferenciais IME - UFF. Disponível em: 
http://www.professores.uff.br/mjoao/wp-content/uploads/sites/78/2017/08/edos.pdf. Acessado em: 26/04/19 às 
22h40min.