Utilizando os conceitos de séries de potências e equações diferenciais, ache uma série de potências que satisfaça a equação diferencial ordinária y...

Para resolver essa equação diferencial ordinária utilizando séries de potências, podemos assumir que a solução é uma série de potências da forma: y(x) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... Substituindo essa série na equação diferencial, temos: y' = a1 + 2*a2*x + 3*a3*x^2 + ... y'-y = (a1-a0) + (2*a2-a1)*x + (3*a3-a2)*x^2 + ... Igualando a zero, temos: (a1-a0) = 0 (2*a2-a1) = 0 (3*a3-a2) = 0 ... Podemos ver que a0 = 1, a1 = 1, a2 = 1/2, a3 = 1/6, a4 = 1/24, e assim por diante. Portanto, a série de potências que satisfaz a equação diferencial e a condição de contorno é: y(x) = 1 + x + (1/2)*x^2 + (1/6)*x^3 + (1/24)*x^4 + ... Alternativamente, podemos reconhecer que a equação diferencial é uma equação diferencial linear homogênea de primeira ordem, cuja solução geral é da forma y(x) = c*e^x. A condição de contorno y(0) = 1 nos dá c = 1, e portanto a solução é y(x) = e^x, que pode ser escrita como uma série de potências como acima.