Cálculo de Wronskiano, EDOs e Custo de Fabricação

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Dado um conjunto de funções {f1,f2,...,fn}{f1,f2,...,fn} , considere o 
determinante de ordem n: 
W(f1,f2,...,fn)W(f1,f2,...,fn) = ⎡⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢ 
⎢⎣f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n−1f2n−1...fnn−1⎤⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥ 
⎥⎦[f1f2...fnf´1f´2...f´nf´´1f´´2...f´´n............f1n-1f2n-
1...fnn-1] 
Calcule o Wronskiano formado pelas funções na primeira 
linha,pelas primeiras derivadas dessas funções na segunda linha, e assim 
por diante, até a (n-1)-ésima derivadas das funções na n-ésima linha. Sejam 
as funções: f(x)f(x)= e2⋅xe2⋅x ; 
 g(x)g(x)=senxsenx e 
 h(x)=x²+3x+1h(x)=x²+3x+1 
Determine o Wronskiano W(f,g,h)W(f,g,h) em xx= 00. 
 
 
 -1 
 
 
 2 
 
 
 7 
 
 
 1 
 
-2 
 
 
 
Explicação: 
A explicação da construção do wronskiano está no texto da pergunta. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Utilizando o método de resolução para EDO Linear de primeiro grau, determine a 
solução da equação: 
y′−(y/x)=2x4/ey′−(y/x)=2x4/e 
 
 
y(x)=(x2/2e)+cxy(x)=(x2/2e)+cx 
 
 
y(x)=(e/2)+ky(x)=(e/2)+k 
 
 
y(x)=(x/2e)+cky(x)=(x/2e)+ck 
 
 
y(x)=(x5/e)+ky(x)=(x5/e)+k 
 y(x)=(x5/2e)+cx 
 
 
 
Explicação: 
Resolver como ED linear de 1ª ordem da forma dy/dx + P(x)y = Q(x), onde P(x) = -1/x e Q(x) = 2x4/e 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
O Wronskiano de 3ª ordem é o resultado do determinante 
de uma matriz 3x3, cuja primeira linha é formada por 
funções, a segunda linha pelas primeiras derivadas dessas 
funções e a terceira linha pelas segundas derivadas daquelas 
funções. 
O Wronskiano é utilizado para calcular se um conjunto de 
funções deriváveis são linearmente dependentes ou 
independentes. Caso o Wronskiano vseja igual a zero em 
algum ponto do intervalo, as funções são ditas linearmente 
dependentes nesse ponto. 
Identifique, entre os pontos do intervalo[−π,π][-
π,π] apresentados, onde as 
funções t,sent,costt,sent,cost são linearmente 
dependentes. 
 t=0 
 
 t=π3t=π3 
 
 t=π4t=π4 
 
 t=π2 
 
 t=πt=π 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Dada x.y´ = 4.y, resolver a equação diferencial por separação de variável. 
 
 
 
y = c.x 
 
 
y = c.x^7 
 
 
y = c.x^3 
 
 
y = c.x^5 
 
y = c.x^4 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
A relação entre o custo de fabricação por objeto (C) e 
o número de tipos 
objetos fabricados (x) é tal que a taxa de aumento do 
custo quando o número de tipos aumenta é expressa 
pela equação diferencial homogênea (dC(x)/dx ) = 
(C(x) + x)/x. Determinar a relação entre o custo de 
fabricação por objeto e o número de tipos de objetos 
fabricados, sabendo C(1)=1000 unidades 
monetárias. 
 
C(x) = x(1000+ln x) 
 
 
C(x) = 5ln x + 40 
 
 
C(x) = x(ln x) 
 
 
C(x) = 2x ln x 
 
 
C(x) = ln x 
 
 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Identifique no intervalo[ - π,ππ,π] onde as 
funções {t,t2, t3} são lineramente dependentes. 
 t=0 
 
 t=−πt=-π 
 
 t= π3t= π3 
 
 t= πt= π 
 
 t=-π2 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determinando na equação diferencial abaixo a sua ordem e o seu grau 
encontramos: 
y"+3yy'=exp(x) 
 
 
ordem 2 grau 2 
 
 
ordem 1 grau 3 
 
ordem 2 grau 1 
 
 
ordem 1 grau 1 
 
 
ordem 1 grau 2 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Marque a alternativa que indica a solução geral da equação diferencial de 1ª ordem linear 
y´−2xy=x 
 
 
y=12+cex2y=12+cex2 
 
 
y=−12+ce−x3y=−12+ce−x3 
 
y=−12+cex2 
 
 
y=12+ce−x3y=12+ce−x3 
 
 
y=−12+ce−x2