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2019 1a Edição CálCulo AvAnçAdo: números Complexos e equAções diferenCiAis Profa. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Luiz Carlos Pitzer Copyright © UNIASSELVI 2019 Elaboração: Profa. Dra. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Me. Luiz Carlos Pitzer Revisão, Diagramação e Produção: Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri UNIASSELVI – Indaial. Impresso por: H811c Horbach, Jaqueline Luiza Cálculo avançado: números complexos e equações diferenciais. / Jaqueline Luiza Horbach; Luiz Carlos Pitzer. – Indaial: UNIASSELVI, 2019. 217 p.; il. ISBN 978-85-515-0294-5 1. Cálculo avançado. – Brasil. 2. Números complexos. – Brasil. 3. Equações diferenciais. – Brasil. I. Pitzer, Luiz Carlos II. Centro Universitário Leonardo Da Vinci. CDD 515 III ApresentAção Prezado acadêmico! Bem-vindo à disciplina de Cálculo Avançado: Números Complexos e Equações Diferenciais. Neste livro iremos estender os assuntos que você já estudou nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral e Equações Diferenciais. Este campo do conhecimento tem aplicabilidade em diversas áreas do conhecimento como em mecânica dos fluidos, eletrostática, entre outras. Você deve se sentir curioso e instigado a pesquisar outros materiais para relembrar e completar seu aprendizado. Este material está dividido em três unidades, que abordam situações envolvendo funções complexas e equações diferenciais. Na primeira unidade apresentaremos os conceitos introdutórios de funções complexas, iremos relembrar a definição de um número complexo e estudar as principais funções complexas e então desenvolveremos os conceitos de limites e continuidade de funções de uma varável complexa. Na Unidade 2 iremos continuar o estudo das funções complexas, entendendo o conceito de derivada e integral de funções complexas e com o auxílio desses conceitos definir funções analíticas, funções que possuem características e propriedades muito interessantes. Já na sequência, Unidade 3, iremos apresentar três métodos de resolução para equações diferenciais. Sabemos, acadêmico, que a disciplina de final de curso e você já deve saber que existem fatores importantes para o seu bom desempenho, mas sempre é bom relembrar alguns deles, como a disciplina, organização e um horário de estudos pré-definido, que são imprescindíveis para que você obtenha sucesso. Em sua caminhada acadêmica, você é quem faz a diferença. Como todo texto matemático, por vezes denso, você necessitará de papel, lápis, borracha, calculadora, muita concentração e dedicação. Aproveitando esta motivação vamos iniciar a leitura do livro. A melhoria constante deve ser o objetivo de todo acadêmico. Esperamos, que ao final do estudo, você consiga notar a evolução do seu entendimento matemático, e consiga aplicar os conhecimentos na sua área de atuação. Desta forma, a disciplina pretende oportunizar a compreensão da construção dos conhecimentos aqui trabalhados e servir de subsídio para os conhecimentos subsequentes. Bons estudos! Profª. Dra. Jaqueline Luiza Horbach Prof. Me. Luiz Carlos Pitzer IV Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novidades em nosso material. Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagramação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo. Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em questão. Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar seus estudos com um material de qualidade. Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de Desempenho de Estudantes – ENADE. Bons estudos! NOTA V VI VII UNIDADE 1 – FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS ............................................................. 1 TÓPICO 1 – NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................................................. 3 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 3 2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS .................................................................................. 3 3 A UNIDADE IMAGINÁRIA .............................................................................................................. 6 4 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS .............................................................. 8 5 OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA ........................................................................................ 9 6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA ................................................................................................. 12 7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS ........................ 15 8 OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA ........................................................................ 17 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 24 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 26 TÓPICO 2 – FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS ............................. 27 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 27 2 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS .................................................................................... 27 3 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E TRIGONOMÉTRICAS ............................................................... 32 3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL ........................................................................................................... 33 3.2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS ............................................................................................... 36 4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS .............................................................................................................. 38 RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................ 46 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 47 TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS ................................... 49 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 49 2 LIMITE DE FUNÇÕES COMPLEXAS .............................................................................................. 49 3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS .......................................................................... 53 LEITURA COMPLEMENTAR............................................................................................................... 55 RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................ 66 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 68 UNIDADE 2 – OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM ......................................................................... 69 TÓPICO 1 – DERIVADAS DE FUNÇÕES COMPLEXAS ............................................................... 71 1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................................... 71 2 DERIVADA DE FUNÇÕES COMPLEXAS ...................................................................................... 71 3 EQUAÇÕES DE CAUCHY-RIEMANN ............................................................................................ 77 4 FUNÇÕES ANALÍTICAS ................................................................................................................... 83 RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................ 86 AUTOATIVIDADE ................................................................................................................................. 88 sumário VIII TÓPICO 2 – INTEGRAL DE FUNÇÕES ANALÍTICAS . ..............................................................91 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................91 2 PARAMETRIZAÇÃO DE CURVAS NO PLANO REAL .............................................................91 3 CURVAS NO PLANO COMPLEXO ................................................................................................95 4 INTEGRAÇÃO ....................................................................................................................................103 4.1 INTEGRAL DEFINIDA .................................................................................................................103 4.2 INTEGRAL DE CAMINHO .........................................................................................................105 5 TEOREMA DE CAUCHY-GOURSAT ............................................................................................112 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................114 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................116 TÓPICO 3 – FUNÇÕES HARMÔNICAS ..........................................................................................119 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................119 2 FÓRMULAS INTEGRAIS DE CAUCHY .......................................................................................119 3 FUNÇÕES HARMÔNICAS .............................................................................................................122 LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................128 RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................137 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................138 UNIDADE 3 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................................139 TÓPICO 1 – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS – RESOLUÇÕES .......................................................141 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................141 2 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...........................................................................................................142 3 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ...................................................................144 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE PRIMEIRA ORDEM .............................................................147 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM .......................................150 RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................153 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................154 TÓPICO 2 – SÉRIE DE POTÊNCIA ...................................................................................................155 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................155 2 SÉRIE DE POTÊNCIA ......................................................................................................................155 3 SÉRIES DE TAYLOR E MACLAURIN ..........................................................................................161 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................162 RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................168 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................169 TÓPICO 3 – SÉRIE DE FOURIER.......................................................................................................171 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................171 2 SÉRIE DE FOURIER ...........................................................................................................................171 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................182 RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................189 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................190 TÓPICO 4 – TRANSFORMAÇÃO DE LAPLACE ..........................................................................193 1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................193 2 TRANSFORMADA DE LAPLACE ..................................................................................................193 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ..........................................................................................................200 LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................203 RESUMO DO TÓPICO 4......................................................................................................................214 AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................215 REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................217 1 UNIDADE 1 FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM PLANO DE ESTUDOS A partir do estudo desta unidade, você será capaz de: • definir números complexos; • definirfunções de variáveis complexas; • relacionar números complexos com funções trigonométricas hiperbólicas; • definir e calcular limite de funções complexas; • verificar a continuidade de funções complexas. Esta unidade está dividida em três tópicos. No final de cada um deles, você encontrará atividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado. TÓPICO 1 – NÚMEROS COMPLEXOS TÓPICO 2 – FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS TÓPICO 3 – LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS 2 3 TÓPICO 1 UNIDADE 1 NÚMEROS COMPLEXOS 1 INTRODUÇÃO Neste primeiro momento queremos recordar um assunto comumente estudado no ensino médio e que será importante para o desenvolvimento dos próximos tópicos, o estudo dos números complexos. Mesmo que a existência dos números complexos já tenha sido provada a muito tempo, eles continuam sendo estranhos para nós, já que eles não têm uma relação tão óbvia com o mundo real como os números reais. Iniciaremos nossos estudos dos números complexos falando da parte histórica do seu surgimento e daremos continuidade com o desenvolvimento algébrico e sua representação gráfica. Veremos que os números complexos surgiram de uma aplicação indireta do nosso dia a dia e iremos perceber que os números complexos têm uma relação muito íntima com o plano cartesiano. Caro acadêmico! Vamos, então, dar início aos estudos deste material, que trará uma contribuição significativa para você, nos estudos matemáticos. 2 HISTÓRIA DOS NÚMEROS COMPLEXOS Algumas pessoas acreditam que o surgimento dos números complexos se deu nos estudos das equações algébricas de segundo grau. Todavia, esta afirmação, segundo historiadores, está equivocada. Quando resolvida a equação e não encontrada solução real, simplesmente admitiam que não havia solução, pois sempre buscavam uma solução possível para o problema real. O surgimento dos números complexos está vinculado à resolução de problemas algébricos de terceiro grau. Tudo começa com um matemático italiano chamado Niccolo Fontana, que também é muito conhecido como Tartaglia. UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 4 FIGURA 1 – MATEMÁTICO ITALIANO NICCOLO FONTANA FONTE: <https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Niccol%C3%B2_Tartaglia.jpg>. Acesso em: 1 out. 2018 A demonstração pode ser vista em: <https://rrgoncalez.wordpress.com/2012/09/08/deducao-da-formula-de-tartaglia-ferro- cardano/>. NOTA Tartaglia desenvolveu um método que resolvia equações do 3º grau do tipo: x3 + px + q = 0, com p e q números reais. A fórmula pode ser observada a seguir: 2 3 2 3 3 q q p q q px = - + + + - - + 2 4 27 2 4 27 3 TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 5 FIGURA 2 – MATEMÁTICO GIROLAMO CARDANO E SEU LIVRO “ARS MAGNA” FONTE: <https://en.wikipedia.org/wiki/Gerolamo_Cardano#/media/File:Jer%C3%B4me_Cardan. jpg> e <https://en.wikipedia.org/wiki/Ars_Magna_(Gerolamo_Cardano)#/media/File:ArsMagna. jpg>. Acesso em: 1 out. 2018. O problema é que Cardano não obteve avanço nesse assunto, pois não conseguia dar significado à fórmula quando encontrava uma situação como a da equação a seguir: x3 - 15x -4 = 0. Pois ao colocar os dados da equação na fórmula, obtinha: 3 3x = 2+ -121 + 2 - -121. Isso não fazia sentido, pois mesmo sabendo que 4 era solução, a fórmula se mostrava ineficiente pelas raízes quadradas negativas. Entretanto, Rafael Bombelli, que foi um discípulo de Cardano, conseguiu resolver este problema, resolvendo a equação pelo caminho inverso. Apesar do sucesso de Bombelli, o método inverso não era simples, pois contava com vários artifícios algébricos. UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 6 3 A UNIDADE IMAGINÁRIA Cerca de 200 anos depois de Bombelli e Cardano, em 1777, o suíço Leonard Euler contribuiu com o tratamento dos números complexos, dando uma decisiva definição. Ele atribuiu a letra i para representar 1- , que tem por consequência: i2 = - 1. A esta representação, damos o nome de unidade imaginária. FIGURA 3 – MATEMÁTICO LEONARDO EULER FONTE: <https://micro.magnet.fsu.edu/optics/timeline/people/euler.html>. Acesso em: 1 out. 2018. Como consequência das demais potências da unidade imaginária, podemos perceber que estas são cíclicas. Veja alguns exemplos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 i i i i i.i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 1 2 3 4 2 2 5 4 6 4 2 7 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = = = - = = - = - = = - - = = = = = = - = - = = - = - . . . . . . . . . 1 2 3 i i i i i i 0 1 1 = = = - = - 4 5 6 7 i i i i i i 1 1 = = = - = - TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 7 Perceba que os valores possuem um ciclo que se repete de 4 em 4. Desta forma, podemos resolver as potências da unidade imaginária com números inteiros, utilizando as propriedades de potenciação para números reais e do fato que i 2 = -1 ou de que i 4 = 1. Vejamos um exemplo: Exemplo: qual é o valor de i357. Resolução: para resolver esse exemplo, vamos apresentar dois métodos. Método 1: utilizando do fato que i 2 = -1. Perceba que 357 pode ser escrito como: 357 = 2 . 178 + 1. Logo i 357 = i 2.178+1 = i 2.178 .i1 = (i2)178.i = (-1)178.i = (+1).i = i. Perceba que nesta ideia devemos representar a potência como sendo o produto do número dois com o seu consequente, pois, cairemos sempre em uma potência com (-1). Método 2: utilizando do fato que i4 = 1. Perceba que 357 pode ser escrito como: 357 = 4 .89 + 1 Logo i 357= i4.89+1 = i 4.89. i1 = (i4)89. i = 189. i = i. De uma forma resumida, basta dividir a potência por 4 e utilizar o resto da divisão para expressar a potência da unidade imaginária, porém vale a observação de que podemos resolver o mesmo problema de outras formas, mas que ambas recaíram em potências com os números 1 ou -1. Com a definição da unidade imaginária, podemos determinar agora a raiz quadrada de um número negativo, o que até então não fazia sentido. Além disso, qualquer raiz com índice par e radicando negativo possui resolução. Vejamos dois exemplos de resoluções de equações quadráticas, que até os estudos dos números reais, não havia solução. Exemplo: resolva a equação x2 + 64 = 0. Resolução: seguindo o passo a passo a seguir: UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 8 x2 + 64 = 0. x2 = - 64. x = ± √-64. x = ± √64.(-1). x = ± √64 . √-1. x = ± 8i. Portanto, a solução deste problema é s = {8i, - 8i}. Exemplo: resolva a equação x2 - 6x +10 = 0 Resolução: utilizando da fórmula geral para equações quadráticas, teremos: ( ) ( ) b b ac x a x x x i x x i 2 2 4 2 6 6 4 1 10 2 1 6 36 40 2 6 4 2 6 4 2 3 2 - ± - = - - ± - - = ± - = ± - = ± = = ± . . . Portanto, a solução deste problema é s = {3 + 2i,3 - 2i}. 4 FORMA ALGÉBRICA DOS NÚMEROS COMPLEXOS Note que, no exemplo anterior, as raízes da equação quadrática apareceram em um formato curioso, composto de uma parte real e outra parte um número também real multiplicando a unidade imaginária. A esta forma de representar números, chamaremos de conjunto dos números complexos e denotaremos por este conjunto. Utilizando a letra z para representar um número complexo, denominamos de forma algébrica todo número com a seguinte característica, z = a + bi, em que a, b ∈ e i representa a unidade imaginária. O coeficiente a é denominado de parte real e que pode ser denotado por R e (z), enquanto e o coeficiente b é denominado de parte imaginária do número complexo e que pode ser denotado por Im(z). Perceba que como a e b podemassumir qualquer número real, o conjunto dos números complexos contém o conjunto dos números reais: ⊂ . TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 9 O conjunto dos números reais está contido no conjunto dos números complexos. UNI Veja alguns exemplos na tabela a seguir, de números complexos separados pela parte real e imaginária. TABELA 1 – EXEMPLO DE NÚMEROS COMPLEXOS COM SUA PARTE REAL E IMAGINÁRIA Número Complexo Parte Real Parte Imaginária z = 2 + 3i 2 3 w = -4 -4 0 m = -5i 0 -5 FONTE: Os autores Para números cujo valor da parte real for zero, chamaremos de imaginário puro. Para que dois números complexos sejam considerados iguais, tanto a parte real quanto a parte imaginária devem ser iguais. 5 OPERAÇÕES NA FORMA ALGÉBRICA O procedimento para operar com os números complexos na forma algébrica é igual às operações realizadas com números reais, apenas tendo o cuidado das potências da unidade imaginária. No caso da soma (ou subtração) de z = a + bi com w = c + di, o procedimento decorre da seguinte forma: z + w = (a+c) + (b+d) i Assim, para realizar a soma de dois números complexos, basta juntar as partes reais e as partes imaginárias. Todas as propriedades podem ser verificadas: a) Comutatividade z + w = w + z UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 10 b) Associatividade ( z + w) + m = z + (w + m) c) Existência de elemento neutro z + (0 + 0i) = z d) Existência do elemento simétrico z + (-z) = (0 + 0i) = 0 A representação -z representa o oposto do número complexo, basta invertermos os seus sinais, da parte real e da parte imaginária. NOTA A subtração não precisa ser definida, pois basta realizar o oposto do número complexo para torná-la uma soma. Para a multiplicação, o procedimento acontece de forma análoga ao realizado em binômios multiplicados, onde realizamos a distributividade. Sendo z = a + bi e w = c + di, a multiplicação fica, então, assim definida: z . w = (a + bi) (c + di) = ac + adi + bci + bdi 2 Como i2 = -1, então: z . w = (ac - bd) + (ad + bc) i. Propriedades válidas: a) Comutatividade z.w = w.z b) Associatividade (z . w) . m = z .(w. m) c) Existência de elemento neutro z . (1 + 0i) = z TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 11 d) Existência de elemento inverso ou inverso multiplicativo ( )z i z . = + =1 1 0 1 Exemplo: Seja z = 4 - i, w = 2i e m = - 2 - 3i, determine: a) z + w - m b) w + z . m Resolução a): z + w - m = 4 - i + 2i - (-2 - 3i) = 4 - i + 2i + 2 + 3i = 6 + 4i. Resolução b): w + z . m = 2i + (4 - i) . (-2 -3i) = 2i - 8 -12i + 2i +3i2 = 2i - 8 - 12i + 2i - 3 = -11 -8i. Para resolver divisões entre números complexos, utilizaremos de uma estratégia algébrica que possui o nome de conjugado. Seja um número complexo z = a + bi, chamaremos e representaremos o conjugado de z por z a bi= - . Exemplo: seja z = 4 - 2i, w = 5i e m = -2, determine o conjugado de cada um: Resolução: z = 4 - 2i ⇒ z = 4 + 2i w = 5i w = -5i m = -2 m = - 2. ⇒ ⇒ É intuitivo perceber que para determinar o conjugado de um número complexo, basta trocar o sinal da parte imaginária. Nas operações com conjugados, são válidas as seguintes propriedades: a) ( ) ( ) n n z w z w z z z w z w z z . .= = + = + b) c) d) UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 12 e) Se z é real, então z z= Como já comentado, o conjugado de um número complexo tem um papel importante para resolver divisões. O fato decorre, pois, sempre que multiplicamos um número complexo pelo seu conjugado, obtemos um número real: ( ) ( ) 2 2z . z = a + bi . a - bi = a + b . Deste modo, para resolver uma divisão que apresente a parte imaginária, basta multiplicar o numerador e denominador da divisão pelo conjugado do denominador. Exemplo: seja z = 2 - 3i e w = 1 + 2i, determine a divisão de z por w: Resolução: z i w i i i i i i i i i i 2 2 2 2 3 1 2 2 3 1 2. 1 2 1 2 2 4 3 6 1 2 4 7 5 4 7 . 5 5 - = + - - = + - - - + = + - - = = - - Para a operação de potenciação, poderíamos aplicar na forma de multiplicações sucessivas, porém nem sempre será conveniente, logo, para estes casos não convenientes e para determinação de raízes de números complexos, veremos um método mais eficiente no decorrer deste tópico. 6 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA Os números complexos possuem uma representação geométrica semelhante ao plano cartesiano. A diferença é que em vez de termos os eixos ortogonais chamados de abscissa e ordenada, teremos respectivamente, um eixo real e outro imaginário. O nome dado ao plano complexo é Plano de Argand-Gauss. Todo número complexo na forma z = a + bi, pode se associar a um ponto no Plano de Argand-Gauss pelas coordenadas z = (a,b). A este ponto chamamos de imagem ou afixo de z. TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 13 GRÁFICO 1 – PLANO DE ARGAND-GAUSS FONTE: Os autores Como base na representação geométrica, surgem dois importantes conceitos, que são o módulo e o argumento do número complexo. No caso do módulo, este tem uma interpretação bem simples, compreende a distância da origem do Plano de Argand-Gauss até o afixo do número complexo. Normalmente é denotado por z ou pela letra grega ρ (rô). GRÁFICO 2 – PLANO DE ARGAND-GAUSS FONTE: Os autores Para determinar o módulo, basta perceber pela ilustração anterior, que surge um triângulo retângulo. Então, basta utilizar o Teorema de Pitágoras para determinar uma expressão para o módulo a b2 2 .ρ = + b Re (z) z = (a, b) a ρ lm(z) b Re (z)a z = (a, b) lm(z) UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 14 Exemplo: determine o módulo do número complexo z = 4 - 6i. Resolução: sendo a = 4 e b = -6 ( ) a b 2 2 224 6 16 36 52 2 13 ρ = + = + - = + = = Com uma definição tão elementar quanto a do módulo, o argumento compreende o arco delimitado pelo eixo real positivo ao segmento que une o afixo à origem do plano no sentido anti-horário. Denotaremos o argumento pela letra grega θ (teta). GRÁFICO 3 – PLANO DE ARGAND-GAUSS b θ Re (z) z = (a, b) Im (z) a ρ FONTE: Os autores Utilizando as razões trigonométricas seno, cosseno e tangente, podemos montar as seguintes expressões: b a bsin cos tan a .θ θ θ ρ ρ = = = Normalmente, o argumento está representado em radiano ou em graus. Cabe ao leitor, por assuntos já estudados, ser capaz de operar com as duas unidades angulares. Exemplo: determine o argumento do número complexo z = - 2 + 2i. TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 15 FONTE: Os autores Resolução: como a = - 2 e b = 2 é intuitivo perceber que a localização do afixo de z é no 2º quadrante. GRÁFICO 4 – PLANO DE ARGAND-GAUSS θ Re (z)-2 z = (-2, 2) Im (z) 2 ρ Para não precisar determinar o módulo, utilizaremos a razão trigonométrica da tangente. b a 2tan 1. 2 θ = = = - - Quais são as menores determinações de arcos, cujo valor da tangente corresponde a -1? Ou é o arco de 135° ou 315°, porém como o afixo apresenta-se no 2º quadrante, podemos concluir que o argumento é: rad3135 . 4 πθ = ° = 7 FORMA TRIGONOMÉTRICA OU POLAR DOS NÚMEROS COMPLEXOS Uma forma muito importante para representar os números complexos é a trigonométrica ou polar. Para compreendermos como esta representação está definida, recordaremos alguns pontos considerados no item estudado anteriormente: UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 16 b bsin .sinθ ρ θ ρ = ⇒ = e a acos .cos .θ ρ θ ρ = ⇒ = Trocando as duas considerações na forma algébrica,temos: ( ) z a bi z i z i z cis .cos . .sin . cos .sin . . ρ θ ρ θ ρ θ θ ρ θ = + = + = + = Esta representação é o que chamamos de forma trigonométrica ou polar. Nesta representação, as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação ficam mais simples de realizar. Antes de começarmos a mostrar como realizar tais operações, vejamos um exemplo que transforma um número complexo na forma algébrica para a trigonométrica. Exemplo: determine a forma trigonométrica do número complexo z i1 3= - . Resolução: para determinar a forma trigonométrica, devemos determinar o módulo e o argumento do número complexo. Como a = 1 e b 3= - é intuitivo perceber que a localização do afixo de z é no 4º quadrante. Então, utilizaremos a razão trigonométrica da tangente. b a 3tan 3. 1 θ -= = = - Para tangente ser 3- no quarto quadrante, o argumento deve ser: rad5300 . 3 πθ = ° = O módulo terá valor correspondendo a: ( ) a b 2 2 2 21 3 1 3 2. ρ = + = + - = + = TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 17 Portanto, a representação trigonométrica será: z i z cis 5 52. cos .sin 3 3 52. . 3 π π π = + = Em casos em que for necessário realizar o processo contrário (trigonométrico para algébrico), basta determinar os valores de seno e cosseno e realizar a distributiva do módulo. 8 OPERAÇÕES NA FORMA TRIGONOMÉTRICA Para realizar as operações de multiplicação, divisão, potenciação e radiciação, a forma trigonométrica mostra-se bem útil. A simplicidade se dá nas operações que devem ser feitas, transformando multiplicações em somas, divisões em subtrações, potenciações em multiplicações e radiciações em divisões, semelhante ao que acontece com as funções logarítmicas. Utilizaremos, para as considerações a seguir, dois números complexos: ( ) ( ) z i z i 1 1 1 1 2 2 2 2 . cos .sin . cos .sin ρ θ θ ρ θ θ = + = + • Multiplicação: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z i i i i i i i 1 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 . . cos .sin . . cos .sin . . cos .cos cos . .sin .sin .cos .sin .sin . . cos .cos sin .sin . sin .cos cos .sin . . cos .s ρ θ θ ρ θ θ ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ ρ ρ θ θ θ θ θ θ θ θ ρ ρ θ θ = + + = + + + = - + + = + + ( )1 2in .θ θ + Podemos generalizar a multiplicação para: ( ) ( )nz z n . n i n1 1 1 1... ... cos ... .sin ... .ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + cosseno da soma de dois arcos seno da soma de dois arcos UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 18 • Divisão: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iz z i i i i i i i i 1 1 11 2 2 2 2 1 1 2 21 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 11 2 . cos .sin . cos .sin cos .sin cos .sin . . cos .sin cos .sin cos .cos .cos .sin .cos .sin .sin . cos sin cos .cos .cos .s . ρ θ θ ρ θ θ θ θ θ θρ ρ θ θ θ θ ρ θ θ θ θ θ θ θ ρ θ θ θ θ θρ ρ + = + + - = + - - - = + - = ( ) ( ) ( ) i i i 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 2 in . sin .cos .sin .sin cos sin . cos .sin . θ θ θ θ θ θ θ ρ θ θ θ θ ρ + - + = - + - Algumas considerações importantes que podemos perceber sobre as operações na forma trigonométrica é que no caso da multiplicação de números complexos, basta multiplicar os módulos e somar os argumentos e, de forma análoga, na divisão, dividir os módulos e subtrair os argumentos. Em uma visão geométrica, a multiplicação e divisão podem ser compreendidas como a rotação do número complexo que está sendo operado pelo outro e a ampliação ou a redução do seu módulo (homotetia). Veja, no exemplo a seguir, o vetor z sendo multiplicado pelo vetor w. cosseno da diferença de dois arcos | seno da diferença de dois arcos igual a 1 GRÁFICO 5 – REPRESENTAÇÃO DA MULTIPLICAÇÃO DE DOIS NÚMEROS COMPLEXOS w θ θ Re (z) z . w z Im (z) FONTE: Os autores TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 19 Perceba que z rotacionou θ (o argumento de w) e alterou o seu módulo. DICAS • Potenciação: A fórmula que será apresentada é atribuída ao matemático francês Abraham de Moivre (1667-1754), chamada de 1ª Fórmula de Moivre. Utilizando recursivamente da multiplicação: ( ) ( )nz z n . n i n1 1 1 1... ... cos ... .sin ... .ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + Caso todos os números complexos sejam os mesmos, teremos: ( ) ( )z z . i... ... cos ... .sin ...ρ ρ θ θ θ θ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + + + + + ( ) ( )n nz . n i ncos . .sin . .ρ θ θ = + A demonstração pode ser feita utilizando indução matemática. • Raízes complexas Antes de determinarmos uma fórmula para as raízes dos números complexos, vamos considerar a seguinte colocação: “para todo z ∈ , existe um w ∈ tal que zn = w com n∈ , n > 1”. Sendo: ( ) ( ) z i w r i . cos .sin . cos .sin ρ θ θ α α = + = + n vezes n vezes n vezes n vezes UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 20 Perceba que zn = w está implicando nz= w . NOTA Então: ( ) ( ) ( ). cos .sin . cos .sin . n n z w n i n r iρ θ θ α α = + = + O que implica: 2 .2 . , . n rr r kn k k n ρ ρ α πθ α π θ = ⇒ = + = + ∈ ⇒ = Quando atribuímos a expressão 2 .kπ , estamos considerando todos os arcos possíveis. DICAS Assim: 2 . 2 .. cos .sin . n n n k z w z w k kz r i n n α π α π = ⇒ = + + = + Perceba que cada zk proporcionará uma raiz, porém haverá apenas n raízes, como pode ser notado a seguir. Para k = 0 0 2 .0 2 .0. cos .sinnz r i n n α π α π + + = + TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 21 0 . cos .sin . nz r i n n α α = + Para k = 1 1 1 2 .1 2 .1. cos .sin 2 2. cos .sin . n n z r i n n z r i n n α π α π α π α π + + = + + + = + Repetindo o processo n vezes. Para k = n n n n n n nz r i n n z r i n n 2 . 2 .. cos .sin . cos 2 .sin 2 . α π α π α απ π + + = + = + + + Note que em k = n, o argumento é congruente ao k = 0. Portanto, de 0 até n - 1, haverá n raízes. Fica então estabelecido que para um certo ( ). cos .sinz iρ θ θ= + , a n z fica determinado por: { }2 . 2 .. cos .sin , 0,1,..., 1 .n nk k kz z i k n n n θ π θ πρ + + = = + ∈ - Esta fórmula é conhecida como a 2ª Fórmula de Moivre. Exemplo: determine a raiz quarta do número complexo: z i16. cos .sin . 3 3 π π = + Resolução: utilizando da 2ª Fórmula de Moivre, temos que { }4 4 2 . 2 . 3 316. cos .sin , 0,1,2,3 . 4 4k k k z z i k π ππ π + + = = + ∈ UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 22 Para k = 0 0 0 2 .0 2 .0 3 32. cos .sin 4 4 2 cos .sin . 12 12 z i z i π ππ π π π + + = + = + Para k = 1 1 1 1 2 .1 2 .1 3 32. cos .sin 4 4 7 72 cos .sin 3 3 4 4 7 72 cos .sin . 12 12 z i z i z i π ππ π π π π π + + = + = + = + Para k = 2 2 2 2 2 .2 2 .2 3 32. cos .sin 4 4 13 132 cos .sin 3 3 4 4 13 132 cos .sin . 12 12 z i z i z i π ππ π π π π π + + = + = + = + TÓPICO 1 | NÚMEROS COMPLEXOS 23 Para k = 3 3 3 3 2 .3 2 .3 3 32. cos .sin 4 4 19 192 cos .sin 3 3 4 4 19 192 cos .sin . 12 12 z i z i z i π ππ π π π π π + + = + = + = + Portanto, o conjunto solução na forma trigonométrica será: 2. cos .sin , 12 12 7 72. cos .sin , 12 12 13 132. cos .sin , 12 12 19 192. cos .sin 12 12 i i s i i π π π π π π π π + + = + + 24 Neste tópico, você estudou que: • A unidade imaginária é definida por 1i = - e i2 = -1. • As potências sobre a unidade imaginária acontecem de forma cíclica, variando entre 1, i, -1 e -i. • Os números complexos na forma algébrica possuem a seguinte característica, z = a + bi, em que a, b ∈ e i representam a unidade imaginária. O coeficiente a é denominado de parte real e denotado por Re(z), e o coeficiente b é denominado de parte imaginária e será denotado por Im(z). • Valem as seguintes igualdades: i0 = 1 i4 = 1 i1 = i i5 = i i2 = -1 i6 = -1 i3 = -i i7 = -i • As operações de soma, subtração, multiplicação e potenciação na forma algébrica procedem da mesma forma que a das operações entre binômios, cuidando apenas da potência da unidade imaginária. • O Plano de Argand-Gauss é o plano em que representamos os números complexos com um eixo horizontal dos reais e vertical da parte imaginária. • Com a representação no Plano de Argand-Gauss: o Os afixos (pontos) representam a posição do número complexo neste espaço. o A distância do afixo até a origem chamamos de módulo. ( )z ou ρ . 2 2a bρ = + o O arco delimitado pelo eixo real positivo ao segmento que une o afixo à origem do plano no sentido anti-horário chamamos de argumento. (θ) sin cos tanb a b a θ θ θ ρ ρ = = = RESUMO DO TÓPICO 1 25 • A representação trigonométrica ou polar é determinada por: ( ). cos .sin . z i z cis ρ θ θ ρ θ = + = • As operações na forma trigonométricas ficaram assim definidas: o Multiplicação ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2. . . cos .sin .z z iρ ρ θ θ θ θ = + + + o Divisão ( ) ( )1 1 1 2 1 2 2 2 . cos .sin . z i z ρ θ θ θ θ ρ = - + - o Potenciação ( ) ( ). cos . .sin . .n nz n i nρ θ θ = + o Radiciação { }2 . 2 .. cos .sin , 0,1,..., 1 .n nn k kz z i k n n n θ π θ πρ + + = = + ∈ - 26 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo! 1 Determine as raízes da função f: ∈ definida por f (x) = x2 + 4x + 5. 2 A forma algébrica do complexo: z = 3 + 6 7. 6 7cos ππ seni é? 3 O inverso do número complexo z = 2 + i é? 4 Determine o número complexo z tal que: z = 3i97 + 2i75 + 9i18. 5 A forma trigonométrica (ou polar) do número complexo ( )2 1 1 i i - + tem argumento (em graus e radinhos) igual a? 6 Se m(cos θ + i sen θ) = 1 + i, e 0 πθ 2≤≤ , então os valores respectivos de m e θ (em radianos) são? 7 Calcule o número complexo: i126 + i-126 + i31 - i180 . 8 Considere, z1 = – 3 + 3i e z2=4 + 2i A representação polar de 1 2z z+ é? 9 A forma algébrica do complexo, z = 2 ⋅ + 6 7. 6 7cos ππ seni , é? 10 Da questão 2, determine na forma trigonométrica z20. 11 Determine a raiz cúbica do número complexo: 3 327. cos .sin . 4 4 z iπ π = + AUTOATIVIDADE 27 TÓPICO 2 FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Caro acadêmico, agora que já relembramos o que são números complexos e suas principais propriedades, vamos estender nosso conhecimento apresentando algumas funções complexas. As funções que estudaremos são funções conhecidas, porém o domínio dessas funções serão os números complexos e não os números reais, como estamos acostumados. No final desse tópico iremos introduzir funções novas e que só fazem sentido no contexto dos números complexos, são as funções trigonométricas hiperbólicas. No Tópico 3 vamos trabalhar com limites e continuidades de funções complexas, por isso é importante que você entenda muito bem todas as funções trabalhadas neste tópico, elas serão a base para o estudo do Tópico 3. 2 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS Neste primeiro subtópico iremos abordar funções elementares mais simples, funções a que já estamos acostumados, mas agora com domínio de definição os números complexos. Sempre que estivermos falando de funções complexas, iremos usar a seguinte notação f: → z f (z) mesmo que a função tenha como imagem um número real. Como no tópico anterior aprendemos a somar, subtrair, multiplicar e dividir números complexos, então faz sentido operarmos com os números complexos, mesmo que um deles seja variável, assim temos algumas funções preliminares, com z ∈ a variável complexa: UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 28 1) Função constante: f (z) = a, a ∈ . 2) Função translação: f(z) = z + a, a ∈ . 3) Função rotação: f (z) = az, a ∈ . 4) Função n-ésima potência: f(z) = zn, n ∈ . 5) Função inversão: ( ) 1f z z = , com z ≠ 0. Neste subtópico vamos estudar funções complexas que são combinações das anteriores. Lembre-se de que quando começamos a estudar funções, primeiro aprendemos o que são funções constantes, funções afim, funções quadráticas e polinômios de grau n. Aqui nosso primeiro passo é entender o que é uma função constante no contexto dos números complexos. Seja a0 ∈ , dizemos que f (z) = a0 é uma função constante. São exemplos de funções constantes: a) f (z) = 2i b) f (z) = 3 - i Você pode observar que, independentemente do valor de z que considerarmos, o valor da função continua o mesmo. Vamos agora definir uma função polinomial de primeiro grau, dados a0 e a1 números complexos, dizemos que uma função polinomial complexa é da forma f (z) = a1z + a0 Um exemplo de função polinomial complexa do primeiro grau é f (z) =(2 + i)z - 7 - i . Vamos calcular o valor numérico da função f (z) =(2 + i)z + 7 - i em alguns pontos. No ponto z = 1 + i, temos que f (1 + i) = (2 + i)(1 + i) -7 -i = 2 + 2i + i + i2 - 7 - i = - 5 + 2 i + i2 = - 5 + 2i - 1 = - 6 + 2i. No ponto z = 3 - i f (3 - i) = (2 + i)(3 - i) - 7 - i = 6 - 2i + 3i - i2 - 7 - i = - 1 - i2 = - 1 + 1 = 0. Como o valor numérico de f no ponto z = 3 - i é igual a zero, dizemos que z = 3 - i é raiz da função f. TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 29 Também podemos definir a parte real e parte imaginária de função complexa, da mesma maneira que de números complexos, no caso da função f(z) = (2 + i)z - 7 - i como z = x + iy podemos reescrever f (z) = (2 + i)(x + iy) - 7 - i = 2x + 2yi + xi + i2y - 7 - i = (2x - y - 7) + (2y + x - 1) i. Portanto, a parte real da função f (z) é Re f (z) = 2x - y - 7 e a parte imaginária da função f(z) é Im f (z) = 2y + x -1. Análogo ao que foi feito para polinômios reais, considere os númeroscomplexos a0, a1,..., an definimos o polinômio f: de grau n da seguinte forma f (z) = anzn + an-1zn-1 + ... + a1z + a0 com z ∈ , ou seja, z = x + iy e x, y ∈ . Os números complexos a0,a1,...,an são chamados de coeficientes do polinômio f. Quando estudamos funções, queremos e precisamos operar essas funções, usando as ideias de funções reais e as propriedades de adição, subtração, multiplicação e divisão de números complexos, podemos somar, subtrair, multiplicar e dividir funções complexas. Exemplo: considere os polinômios f (z) = z2 + 3iz + 4 - 3i e g(z) = 4z3 + (4 + i) z2 + 2iz , calcule f + g, f - g e f . g. Resolução: vamos calcular f + g f(x) + g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) + (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz) = 4z3 + (1 + (4 + i)) z2 + (3i + 2i) z + 4 -3i = 4z3 + (5 + i)z2 + 5iz + 4 -3i. Agora, vamos calcular f - g f(x) - g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) - (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz) = -4z3 + (1 - (4 + i)) z2 + (3i - 2i) z + 4 -3i = 4z3 + (-3 + i)z2 + iz + 4 -3i. E por último calcular f . g f(x) . g(x) = (z2 + 3iz + 4 - 3i) . (4z3 + (4 + i) z2 + 2iz) = z2 . 4z3 + z2.(4 + i) z2 + z2.2iz + 3iz . 4z3 + 3iz . (4 + i)z2 + 3iz . 2iz + 4 . 4z3 + 4 . (4 + i)z2 + 4 . 2iz - 3i . 4z3 - 3i . (4 + i)z2 - 3i . 2iz =4z5 + (4 + i)z4 + 2iz3 + 12iz4 + (12i - 3) z3 - 6z2 +16z3 + (16 + 4i)z2 + 8iz - 12iz3 - (12i - 3) z2 + 6z =4z5 + (4 + i + 12i) z4 + (2i + 12i - 3 + 16 -12i)z3 + (- 6 + 16 + 4i - 12i + 3)z2 + (8i + 6)z =4z5 + (4 + 13i) z4 + (13 + 2i)z3 + (13 - 8i)z2 + (6 + 8i) z. UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 30 Para calcular a divisão de polinômios complexos, vamos usar o método da chave. Exemplo: considere os polinômios f(z) = 4z3 + (4 - 1) z2 + 2iz e g(x) = z2 + 2i, calcule f ÷ g. Resolução: usando o método da chave, temos ( ) ( ) ( ) ( ) z i z iz z z i z iz i z + i iz i 3 2 3 3 2 2 4 4 2 4 4 4 8 4 2 8 6 2 8 + - + - - - - - - + - + + Com o auxílio dos polinômios complexos definidos no subtópico anterior, podemos agora definir o que são funções racionais complexas. Dados dois polinômios complexos g(z) e h(z), uma função é racional complexa é dada por ( ) ( )( ) , g z f z h z = desde que h (z) ≠ 0. Exemplo: calcule o valor numérico, quando z = 2 - i, da função racional ( ) . 1 z if z z - = + Resolução: substituindo z = 2 - i na função, temos ( ) 2 2 22 .2 1 3 i i if i i i - - - - = = - + - Multiplicando no denominador e numerador pelo conjugado de 3 - i, temos que ( ) 2 2 3 6 2 6 2 8 4 42 . . 3 3 9 1 10 5 i i i i i if i i i - + + + + - - - = = = = - + + Outra operação que podemos fazer com funções é compor duas funções. A mesma definição para funções reais vale para funções complexas. Dadas as funções complexas f: → e g: → , definimos a composição de f com g da seguinte maneira: f ° g (z) = f (g(z)) aqui é imprescindível que o domínio da função g seja igual à imagem de f para a definição ser verdadeira. Exemplo: Calcule a f ° g e g ° f se f (z) = z2 + 3 - i e g (z) = z - i. ( ) 2 2 4 4 z i z i + + - TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 31 Resolução: Note que f ° g (z) = f (g(z)) = f(z - i) = (z - i)2 + 3 - i = z2 - 2zi + 1 + 3 - i = z2 - 2iz + 4 - i e g ° f (z) = g (f(z)) = g(z2 + 3 - i) = (z2 + 3 - i) - i = z2 + 3 - 2i. Você já deve ter percebido que fazer operações com funções complexas é igual a operar funções reais, o único cuidado que precisamos ter é com os números complexos que compõem a função complexa. Para as próximas funções complexas, podemos usar as operações de soma, subtração, multiplicação, divisão e composição, como já conhecemos das funções reais, quando não for igual, iremos apresentar a maneira de fazer. Em relação às raízes de polinômios complexos, podemos afirmar que todo polinômio complexo de grau n tem no máximo n raízes complexas. E ainda mais, todo polinômio complexo de grau maior ou igual a 1 tem pelo menos uma raiz complexa, essa última afirmação é conhecida como o Teorema Fundamental da Álgebra, porém mostrar que essa afirmação é verdadeira não é tão simples, ela utiliza propriedades de funções complexas que ainda não estudamos. Você também irá perceber que encontrar as raízes de polinômios complexos pode ser trabalhoso. Entendemos agora que o conjunto dos números complexos é um conjunto maior que os números reais e que contém todos números reais ( ⊂ ), com isso concluímos que os números complexos podem ser de três formas z = a + bi, z = bi e z = a com a e b números reais diferentes de zero. ATENCAO UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 32 3 FUNÇÕES EXPONENCIAIS E TRIGONOMÉTRICAS Pode parecer estranho colocarmos, como título deste subtópico, funções exponenciais e trigonométricas, já que quando falamos de funções exponenciais e trigonométricas reais não encontramos relação alguma entre elas, porém quando trabalhamos com números reais, essas duas funções estão intimamente interligadas. Essa relação é chamada de Fórmula de Euler. Leonhard Paul Euler foi um matemático e físico suíço do século XVIII, que contribuiu com várias áreas da matemática, como o cálculo e a teoria dos grafos. NOTA Iremos apresentar aqui a dedução da Fórmula de Euler, porém precisaremos de definições que usam séries de potência que iremos estudar melhor na Unidade 3. Existem definições diferentes para funções exponencial, seno e cosseno, uma delas é através de série de potência. Note que a série de potência que define a função exponencial tem todas as potências para x 2 3 4 1 ... 2! 3! 4! x x x xe x= + + + + + já a função cosseno só tem as potências pares ( ) 2 4 6 cos 1 ... 2! 4! 6! x x xx = - + + + e a função seno só tem as potências ímpares ( ) 3 5 7 ... 3! 5! 7 ! x x xsen x x= - + + + Observe que se calcularmos o valor de eix para x ∈ teremos a seguinte série de potência TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 33 ( ) ( ) ( )2 3 4 2 3 4 5 2 4 3 5 1 ... 2! 3! 4! 1 ... 2! 3! 4! 5! 1 ... ... . 2! 4! 3! 5! ix ix ix ix ix ix e ix x x x x e ix i i x x x xe i x = + + + + + = + - - + + - = - + - + - + - Assim, podemos concluir a Fórmula de Euler eix = cos(x) + i sen(x). Note que se x = π, temos cos(π) = 1 e sen (π) = 0 e a fórmula de Euler se reduz a eiπ = 1 + i . 0 ou eiπ = 1 ou eiπ - 1 = 0. A última identidade é a identidade de Euler, mais conhecida, já que em uma mesma igualdade temos alguns dos números mais importantes da matemática 0, 1, e, π e i. ATENCAO Agora que já encontramos uma relação entre as funções exponencial, seno e cosseno, vamos estudar como elas se comportam quando trocamos a variável real por uma variável complexa. 3.1 FUNÇÃO EXPONENCIAL Considere a variável z = x + iy, tal que x e y são reais. Então ez = ex eiy usando a Fórmula de Euler, temos que ez = ex(cos(y) + isen (y)). Portanto a função exponencial complexa é definida por ez = ex(cos(y) + isen (y)) com x = Real(z) e y = Im(z). Propriedade: o módulo de ez ez é ex com z = x + iy. Demonstração: vamos calcular o módulo de ez ( ) ( )( ) ( ) ( )cos . cos .z x xe e y isen y e y isen y= + = + Como ex > 0 para todo x ∈ , temos que x xe e= e ainda, ( ) ( ) ( ) ( )2 2cos cos 1 1.y isen y y sen y+ = + = = UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 34 Portanto, .z xe e= Propriedade: para todo número complexo z, temos que .z ze e= Demonstração: para provar essa propriedade basta usar a definição ( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos cosz x xe e y isen y e y isen y=+ = - e ( ) ( )( ) ( ) ( )( )cos cosx iyz x xe e e y isen y e y isen y-= = - + - = - pois, ( ) ( )cos cosy y- = e ( ) ( ) .sen y sen y- = - As relações cos(y) e sen(-y) = -sen(y) seguem diretamente do fato de a função cosseno ser par e a função seno ser ímpar. Caso você não se lembre destas propriedades, reveja os livros de Cálculo Diferencial e Integral. IMPORTANT E As propriedades de potenciação no caso real continuam valendo para variáveis complexas. Propriedade: Para todo z e w números complexos e n um número inteiro, temos que a) ez+w = ez ew. b) (ez)n = enz. c) 1z ze e - = . d) z z w w e e e -= . Lembre-se de que no subtópico anterior escrevemos um número complexo na forma trigonométrica, ou seja, se z = a + ib na forma algébrica, a forma trigonométrica de z é ( ) ( )( )z isencos ,ρ θ θ= + com a b2 2ρ = + o módulo de z e barctg a θ = o argumento de z. Podemos verificar que a forma trigonométrica de um número complexo é muito similar à fórmula de Euler, ainda mais observe que como θ ∈ ℝ, temos que eiθ = cis(θ) = cos(θ) + isen(θ). TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 35 E, portanto, podemos reescrever o número complexo z numa terceira forma, a forma exponencial iz e θρ= . Exemplo: escreva o número complexo z = 2 - 2i na forma exponencial. Resolução: como a = 2 e b = -2, temos que ( )222 2 8 2 2ρ = + - = = e ( )arctg arctg ou2 3 71 2 4 4 π πθ - = = - = como o número z está no quarto quadrante, concluímos que 7 . 4 πθ = Portanto, a forma exponencial do número complexo z = 2 - 2i é i piz e 72 2 . 4 = Agora que temos o número complexo escrito na forma exponencial, podemos definir a função logaritmo com variáveis complexas da seguinte maneira: ( ) ( )ln z ln iρ θ= + desde que 0 2θ π≤ < . Os logaritmos com base e podem ser representados simplesmente por ln, chamados de logaritmos naturais ou logaritmos neperianos. No caso do logaritmo complexo ln(z), este pode ser definido como a função inversa de f(z) = exp(z). NOTA E valem as seguintes propriedades: a) eln(z) = z b) ln (z . w) = ln(z) + ln(w) c) ln(z÷w) = ln(z) - ln(w) d) ln(zn) = nln(z) Exemplo: dados z = 2 - 2i e w = 2i, verifique que valem as igualdades da propriedade acima. Resolução: verificaremos aqui apenas que o item b) é válido, deixamos a cargo do leitor verificar as demais seguindo o modelo apresentado. UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 36 Sabemos que o modulo e o argumento de z são: e 1 1 72 2 4 πρ θ= = e o modulo e o argumento de w são: e 1 22 2 πρ θ= = e ainda que z w i sen z w i sen z w i sen 7 7. 2 2.2 cos 4 2 4 2 9 9. 4 2 cos 4 4 . 4 2 cos 4 4 π π π π π π π π = + + + = + = + já que 9 2 . 4 2 π ππ= + Então vale a igualdade ln(z.w) = ln(z) + ln(w) ( ) ( ) ( )i i i7ln 4 2 ln 2 2 ln 24 4 2 π π π + = + + + usando as propriedades de logaritmos vale a igualdade, já que ( ) ( ) ( )ln 2 2 ln 2 ln 4 2+ = e 7 9 2 . 4 2 4 2 π π π ππ+ = = + 3.2 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Usando a Fórmula de Euler, podemos também definir as funções cosseno e seno e como consequência definimos as demais funções trigonométricas. A Fórmula de Euler nos garante que, para todo x ∈ temos que eix = cos(x) + isen(x) (1) e usando o fato de que a função cosseno é par e a função seno é ímpar, concluímos que e-ix = cos(x) - isen(x) (2) TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 37 Perceba que se somarmos a igualdade (1) com a (2) encontramos 2 cos(x) = eix + e-ix Portanto, podemos definir a função cosseno com variável real usando a função exponencial complexa da seguinte forma: ( ) ix ixe excos 2 -+ = Agora se subtrairmos a igualdade (2) da (1), temos 2isen(x) = eix - e-ix Portanto, podemos definir a função seno com variáveis reais usando a função exponencial complexa da seguinte forma: ( ) ix ixe esen x i2 -- = Como a função exponencial está definida para todo z ∈ , podemos estender a definição das funções seno e cosseno acima para todo z ∈ . Definição: dado z ∈ ℂ definimos as funções seno e cosseno como abaixo ( ) ( ) iz iz iz ize e e ez e sen z i cos 2 2 - -+ - = = Sabemos que as funções reais seno e cosseno têm período igual a 2π, o mesmo acontece com as funções complexas, como podemos ver no exemplo a seguir. Exemplo: verifique que as funções cosseno e seno complexas têm período igual a 2π. Resolução: para verificarmos que seno tem período igual a 2π, temos que mostrar que sen(z + 2π) = sen(z). Note que ( ) ( ) ( )i z i z iz i iz i e esen z i e e i 2 2 2 2 2 2 2 π π π π π + - + + - - - + = - = UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 38 Como z = x + iy, temos que ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) y i x y i x y y e esen z i e x isen x e x isen x i 2 2 2 2 cos 2 2 cos 2 2 2 π π π π π π π - + + - - + - - - + = + + - + - + = usando a propriedade de que o cosseno e o seno têm período de 2π, ou seja, cos (x + 2π) = cos(x) e sen (x + 2π ) = sen(x), concluímos que: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) y y y ix y ix iz iz e x isen x e x isen x sen z i e e i e e sen z i cos cos 2 2 2 2 π - - - + - - - - - + = - = - = = Deixamos a cargo do leitor verificar que cosseno complexo tem período igual a 2π, você deve proceder igual ao exemplo anterior e mostrar que cos (z + 2π) = cos(z). DICAS 4 FUNÇÕES HIPERBÓLICAS Para definir as funções hiperbólicas, recordaremos como as funções trigonométricas estão representadas na circunferência. No caso do seno e cosseno, o valor correspondente a eles pode ser determinado, respectivamente, pela projeção ortogonal de um ponto na circunferência nos eixos vertical e horizontal. Como a circunferência é definida com raio igual a um, o comprimento dos segmentos com origem no plano até o ponto da projeção ortogonal determina os valores das razões trigonométricas: seno e cosseno, para um determinado ângulo. Além disso, é possível determinar a principal identidade trigonométrica com senos e cossenos e perceber a igualdade das razões em certos arcos. TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 39 GRÁFICO 6 – REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO α cos α sin α FONTE: Os autores FONTE: Os autores Desta forma, como apresentamos, devemos determinar um certo ângulo α para conseguir definir os senos e cossenos. Há outra forma de abordar este valor α. Observando a mesma ilustração feita anteriormente, podemos perceber que há um setor circular, delimitado pelo eixo positivo do cosseno com a reta que proporciona o ângulo α, como podemos observar na ilustração a seguir. Se calcularmos a área delimitada por este setor, teríamos: rA 2 . 2 α= em radianos. Trocando r = 1, A . 2 α = GRÁFICO 7 – REPRESENTAÇÃO DO CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO COM ÁREA α = 2A Área α cos α sin α UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 40 Então, é como se estivéssemos determinando os senos e cossenos pelo dobro da área delimitada mencionada. Diante desta perspectiva geométrica, iniciaremos o estudo das funções hiperbólicas. O pensamento nas hiperbólicas é análogo, contudo, no lugar na circunferência unitária, teremos uma hipérbole na forma de: x2 - y2 = 1. Na visão geométrica, seguindo a analogia realizada na circunferência que utilizao princípio da área para ser estabelecida, analisaremos apenas o ramo direito, pois nele é possível ter todos os números reais (áreas positivas e negativas). Observe a ilustração a seguir: GRÁFICO 8 – REPRESENTAÇÃO HIPERBÓLICA DO COSSENO E SENO HIPERBÓLICO cosh α 1O P sinh α α/2 Seno Hiperbólico senh α Cosseno Hiperbólico cosh α FONTE: Os autores O segmento OP , juntamente com a hipérbole, delimita uma área que está pintada na ilustração anterior. Esta área tem o mesmo princípio idealizado na circunferência que, ao dobrar este valor, estamos determinando os senos e cossenos hiperbólicos. Para o eixo horizontal, a distância do ponto O até a projeção do ponto P determina os cossenos hiperbólicos e analogamente temos no eixo vertical o seno hiperbólico. Ainda sobre a ilustração anterior, caso o ponto P se desloque para baixo do eixo horizontal, teremos áreas negativas, o que implica existirem valores de senos e cossenos hiperbólicos para todos os números reais. Caso P estiver acima do eixo, os valores para seno e cosseno hiperbólicos serão positivos e quando abaixo do eixo, o cosseno se manterá positivo enquanto que o seno será negativo. Este fato mostra que o cosseno hiperbólico é uma função par e o seno, uma função ímpar. TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 41 FONTE: Os autores De forma algébrica, as funções hiperbólicas são obtidas pela combinação das funções ex e e-x. Definição: no caso da função seno hiperbólico, é uma função definida f: → dada por: ( ) ( ) x xe ef x senh x 2 -- = = A representação gráfica da função seno hiperbólico pode ser obtida pela combinação das funções que a compõem, apresentando a seguinte característica: GRÁFICO 9 – GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO HIPERBÓLICO Definição: a função cosseno hiperbólico está definida g: → [1,+∞) dada por: ( ) ( ) x xe ef x xcosh . 2 -+ = = A sua representação gráfica é desenvolvida de forma análoga à do seno hiperbólico, pela combinação das duas funções que a compõem: f (x) = senh (x) 1 2 21-1 -1 -2 -2 ( ) xeg x 2 = ( ) xeh x 2 - = - 0 UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 42 GRÁFICO 10 – REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DA FUNÇÃO COSSENO HIPERBÓLICO f (x) = cosh (x) 2 2 3 3 1 1 -1 -1 -2-3 ( ) xeg x 2 = ( ) xeh x 2 - = - 0 FONTE: Os autores A partir da definição destas duas funções hiperbólicas, podemos definir todas as outras. Definição: Função Tangente Hiperbólica, f: →,(-1,1) dada por: ( ) ( )( ) x x x x senh x e ex x e e tanh cosh - - - = = + Definição: Função Cossecante Hiperbólica, g: - {0} → - {0} , dada por: ( ) ( ) x x x senh x e e 1 2cossech . - = = - Definição: Função Secante Hiperbólica, f: →,(0,1], dada por: ( ) ( ) x x x x e e 1 2sech . cosh - = = + Definição: Função Cotangente Hiperbólica, g: - {0} →(-∞,1) u (1, + ∞), dada por: ( ) ( )( ) x x x x x e eco x senh x e e cosh tanh . - - + = = - TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 43 Exemplo: determine o valor de: a) cosh(0) b) senh(ln2) Resolução: para responder aos dois itens, basta aplicar o valor na definição de cada função. Item a) ( ) ( ) ( ) ( ) x xe ex e e 0 0 cosh 2 cosh 0 2 1 1cosh 0 2 cosh 0 1. - - + = + = + = = Item b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x xe e senh x e e senh e e senh senh senh ln2 ln2 ln2 ln2 2 ln 2 2 1 ln 2 2 12 2ln 2 2 3ln 2 . 4 - - - = - = - = - = = Lembre-se das propriedades dos logaritmos a^(log_a(b)) = b. ATENCAO UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS 44 A seguir, exibiremos algumas identidades envolvendo as funções hiperbólicas: (I) - cosh (-x) = cosh(x). (II) - senh(-x) = - senh(x). (III) - cosh2(x) - senh2(x) = 1. (IV) - cosh(x) + senh(x) = ex. (V) - cosh (x) - senh(x) = e-x. (VI) - 1-tanh2(x) = sech2(x). (VII) - 1 - cotanh2(x) = - cossech2(x). (VIII) - senh(x+y) = senh(x) . cosh(y) + cosh(x) . senh(y). (IX) - cosh(x + y) = cosh(x) . cosh(y) + senh(x) . senh(y). A demonstração destas identidades é bem elementar, basta nas primeiras substituir pela definição da função e nas demais, trocar por sua correspondência trigonométrica ou algébrica. Veja uma destas demonstrações: Iremos apenas mostrar o item (VI) que: 1 - tanh2(x) = sech2(x). Como: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 sinh cosh sinh 11 tanh 1 sech . cosh cosh cosh - - = - = = = Logo, a propriedade é válida. Uma aplicação muito importante das funções hiperbólicas aparece nos movimentos vibratórios dentro de sólidos elásticos e em problemas nos quais a energia mecânica é gradualmente absorvida pelo ambiente. Um exemplo interessante é aplicado em um cabo (flexível e homogêneo) suspenso por dois pontos, como os fios elétricos ligados aos postes. FIGURA 4 – CABO (FLEXÍVEL E HOMOGÊNEO) SUSPENSO POR DOIS PONTOS FONTE: Os autores TÓPICO 2 | FUNÇÕES ELEMENTARES COM VARIÁVEIS COMPLEXAS 45 Galileu Galilei propôs a conjectura de que a curva fosse uma parábola, porém, hoje sabemos que esta curva possui o nome de catenária e que com os estudos de Johann Bernoulli, em 1691, mostrou que a equação da catenária á dada pela função hiperbólica xy a a .cosh . = De forma similar ao que foi desenvolvido com funções seno e cosseno reais, podemos definir o que são funções seno e cosseno hiperbólicas com variáveis complexas. Definição: no caso da função Seno Hiperbólico complexo, é uma função definida f : → dada por: ( ) ( ) z ze ef z senh z . 2 -- = = Definição: a função Cosseno Hiperbólico complexas está definida f : → dada por: ( ) ( ) z ze ef z zcosh . 2 -+ = = As demais funções hiperbólicas podem ser definidas para uma variável complexa de forma similar ao que foi feito acima. 46 RESUMO DO TÓPICO 2 Neste tópico, você aprendeu que: • Podemos definir funções com variáveis complexas: o Função polinomial complexa e suas propriedades. o Função racional complexa. o Função exponencial complexa. o Função logaritmos complexas. o Funções trigonométricas complexas. • Para definir a função exponencial complexa, usamos a Fórmula de Euler eix = cos(x) + i sen(x). • Podemos relacionar as funções seno, cosseno com a área do setor formado pelo ângulo dentro do círculo trigonométrico e, seguindo essa lógica, definir o que são funções hiperbólicas reais e complexas. • A definição de funções hiperbólica complexa é ( ) ( ) ( ) ( )( ) z z z z z z z z e esenh z e ecosh z senh z e ez z e e 2 2 tanh cosh - - - - - = + = - = = + • Existem várias identidades envolvendo as funções hiperbólicas: (I) - cosh (-x) = cosh(x). (II) - senh(-x) = - senh(x). (III) - cosh2(x) - senh2(x) = 1. (IV) - cosh(x) + senh(x) = ex. (V) - cosh (x) - senh(x) = e-x. (VI) - 1-tanh2(x) = sech2(x). (VII) - 1 - cotanh2(x) = - cossech2(x). (VIII) - senh(x+y) = senh(x) . cosh(y) + cosh(x) . senh(y). (IX) - cosh(x + y) = cosh(x) . cosh(y) + senh(x) . senh(y). 47 Acadêmico! O processo de entendimento total do conteúdo finaliza aqui. Utilize estas questões para realmente absorver os conteúdos explorados neste tópico. Bom estudo! 1 Calcule o valor da função f(z) = x2 + x2y2 - i(y2x + y3) nos pontos dados: a) z = (x, y) = (2,3) b) z = 2 + 4i c) z = 5i d) z = 3 2 Determine a parte real e a parte imaginária das funções complexas: a) f(z) = 2iz + 6z b) f(z) = z 2c) zf(z) = e i2+ d) zf(z) = z 3 Para quais valores de z a função racional complexa ( ) ( ) z i f(z) = z i 2 2 2 2 + - - + não está definida. 4 Determine o conjunto dos números complexos que satisfazem a igualdade: a) ( )Re z 1 4+ = b) z z1 1 4+ - + = 5 Prove que cosh(x + y) = cosh(x). cosh(y) + senh(x) . senh(y) 6 Determine o valor de cada um dos itens a seguir: a) senh (1) = b) tanh(ln 2) = c) cosh(ln 3) = d) sech(0) = e) cossech(ln(-5)) = f) cotanh(ln2) - sech(ln -2) = AUTOATIVIDADE 48 49 TÓPICO 3 LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS UNIDADE 1 1 INTRODUÇÃO Como você já deve ter percebido, as definições de funções com variáveis complexas estudadas anteriormente são similares ao caso de funções complexas. Quando estudamos funções reais, o próximo passo é estudar alguns comportamentos dessas funções, como limite, continuidade, derivada e integral. Esse também será nosso próximo passo para as funções de várias variáveis complexas, inicialmente iremos começar os estudos do limite de funções complexas e, finalizando essa unidade, estudar a continuidade de funções complexas, você também irá perceber aqui que as definições de limite e continuidade são similares às definições que já conhecemos. 2 LIMITE DE FUNÇÕES COMPLEXAS A definição de limite para uma função de variável complexa é análoga à definição de uma função com variáveis reais. Definição: Dado f : D ⊂ → uma função complexa com D um subconjunto de ℂ. Dizemos que o limite da função f quando z tende para z0 se existe um número complexo L (L ∈ ), tal que para cada ε > 0 existe uma δ > 0, tal que z z00 δ< - < implica que ( )f z L ε- < para todo z ∈ D. Da mesma maneira que para funções reais, vamos denotar o limite L de uma função f quando z tende para z0 como ( )z zL f z0 lim .→= A primeira propriedade de limite é garantir que o limite é único. Propriedade: o limite de uma função complexa é único. Demonstração: devemos mostrar que quando z →z0 , se tivermos que lim f(z) = L e lim f (z) = T então L = T. 50 UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS Pela definição de limite, dado ε > 0, devemos obter δ > 0, tal que se z z0 δ- < ,então ( ) ( )f z L e f z T2 2 ε ε - < - < . Assim ( ) ( ) ( ) ( )L T L f z f z T L f z f z T / 2ε ε- = - + - < - + - < = . Isto significa que L T- é menor que qualquer número positivo ε suficientemente pequeno, logo deve ser zero. Segue que A = B. Exemplo: mostre que z i z lim 2 4 3→ + = quando z tende para i, usando a definição de limite. Resolução: dado ε > 0, vamos escolher δ > 0tal que se 0 < | z - i | <δ implica que | z2 + 4 - 3 | < ε ou seja, | z2 + 1 | < ε. Sabemos que i2 = -1 logo 1 = -i2 então, usando produtos notáveis, temos que | z2 + 1 | = | z2 - i2 | = |(z - i)(z + i) agora usando a propriedade de modulo podemos estimar | z2 + 1 | ≤ | z - i | . | z + i |. Como z está próximo de i, temos que | z + i | ≤ | 2i | = 2 e supondo que | z - i | ≤ δ, temos que | z2 + 1 | ≤ 2δ. Portanto, dado ε > 0 escolhendo ,2 εδ = concluímos que | f(z) - 3 | = |z2 + 1| ≤ 2 δ = ε se 0 < | z - i | < δ. Caro acadêmico, lembre-se de produtos notáveis (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)(a - b) = a2 - b2. ATENCAO TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS 51 Usando a definição acima e o fato de que o limite é único, vamos mostrar algumas propriedades de limites para as funções complexas. Essas propriedades são similares às que provamos para funções com variáveis reais. Propriedade: são validas as afirmações a seguir: a) z z0 lim α α→ = para α uma constante complexa, α ∈ ; b) z z z z0 lim 0→ = ; c) z z z z0 lim 0→ = ; d) z z z z0 lim 0 .→ = Propriedade: dadas as funções f e g complexas, tais que ( ) ( )f z g z z z z zL e L0 0 lim lim 1 2→ →= = para L1 e L2 constantes complexas. Então para quaisquer constantes α e β complexas, temos que ( ) ( ) f z g z L L z z 1 2 0 lim .α β α β+ = +→ Exemplo: calcule o limite z i z iz lim 1 2 4 .→- + - Resolução: usando as propriedades acima temos que ( ) ( ) z i z iz i i i i i i i i lim 1 2 2 4 4 1 2 1 2 4 8 2 4 9 2 2 9 . →- + - = - + - - + = - + + - = - + + = - + Propriedade: Dadas as funções f e g complexas, tais que ( ) ( ) z z z zL f z e L g z0 0 lim lim 1 2→ →= = para L1 e L2 constantes complexas. Então temos que ( ) ( ) z z f z g z L L0 lim 1 2. . .→ = Exemplo: considere a função complexa ( ) 3z , se z ¹i f z = . 0, se z = i Determine o limite de f (z) quando tende para i. Resolução: usando a propriedade acima, temos que ( )z i z if z z i ilim lim 3 3 .→ →= = = - 52 UNIDADE 1 | FUNÇÕES DE VARIÁVEIS COMPLEXAS Propriedade : dadas as funções f e g complexas, tais que ( ) ( )f z g zz z z zL e L0 0 lim lim 1 2→ →= = para L1 e L2 constantes complexas, com L2 ≠ 0. Então temos que ( ) ( )z z f z L Lg z0 lim 1 2 .→ = Exemplo: calcule o seguinte limite z i z iz 2 lim 1 5 .→ + - Resolução: recorrendo à propriedade operacional que acabamos de ver ( ) ( ) z i z i z i zz iz iz i i i i i i lim 22 lim 1 1 lim 1 2 55 1 5 . 1 5 2 1 7 3 . 2 2 → + → + → + -- = + - = + - + = - + = + Lembre-se, acadêmico, de que para qualquer função complexa f: D ⊂ → , podemos escrever a função como f(z) = Re(f(z)) + i Im (f(z)) Lembre-se também de que podemos representar um número complexo z como um ponto do plano cartesiano z = (x, y) então podemos reescrever a função complexa da seguinte forma f (z) = u(x,y) + iv(x,y) onde as funções u e v são funções reais de duas variáveis dadas por u(x,y) = Re(f(x,y)) e v(x,y) = Im (f(x,y)). Com essa caracterização de z, temos que se z → z0 então (x,y) → (x0,y0) se z0 = (x0, y0) e, portanto, calcular o limite de f quando z tende para z0 é equivalente a calcular o limite da sua decomposição quando (x, y) tende para (x0, y0), ou seja, vale a igualdade: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) z z x y x y x y x yf z u x y i u x y0 0 0 0 0 lim lim lim , , , ,, , .→ → →= + Exemplo: mostre que z z lim 2 1 1→ = , usando da ideia anterior. Resolução: sabemos que se z = x + iy, temos z2 = x2 - y2 + i2xy e, portanto, neste caso u (x,y) = x2 - y2 e v(x,y) = 2xy. Quando z → 1 = 1 + i0 temos que (x,y) → (1,0), consequentemente ( ) ( ) ( ) ( ) z x y x yz x y i xy lim 2 lim 2 2 lim 1 , 1,0 , 1,0 2 1 0 1.→ → →= - + = + = TÓPICO 3 | LIMITE E CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS 53 3 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES COMPLEXAS Uma função real é dita contínua se satisfaz três condições, motivadas pela definição de função com variáveis reais contínua, vamos definir função complexa contínua. Definição: dado f: D ⊂ → uma função complexa e z0 ∈ uma constante complexa. Dizemos que a função complexa f é contínua se valem as condições a seguir: I- f está definida em z0, f z0 existe; II- ( )z z f z0 lim → exista; III- ( ) ( )z z f z f z0 lim 0 .→ = Se uma função complexa é contínua em todos os pontos z ∈ , então dizemos que a função complexa é contínua. Se f e g são funções contínuas, as propriedades do subtópico anterior podem ser reescritas da seguinte maneira: ( ) ( ) ( ) ( )z z f z g z af z g z0 lim 0 0α β β→ + = + ( ) ( ) ( ) ( )z z f z g z f z g z0 lim 0 0. .→ = e se g(z0) ≠ 0, temos que ( ) ( ) ( ) ( )z z f z f z g z g z0 0lim 0 .→ = Ainda mais, como podemos escrever uma função complexa como soma da sua parte real com a sua parte imaginária f(z) = u (x,y) + iv(x,y) onde as funções u e v são funções
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