Lista_7

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Lista 7 - Probabilidade II
Transformac¸o˜es de Vetores Aleato´rios
Prof.: Marco Aure´lio
1. Sejam X e Y duas varia´veis aleato´rias independentes, cada uma com distribuic¸a˜o exponen-
cial de paraˆmetro θ. Obtenha a densidade de Y/X.
2. A func¸a˜o densidade de probabilidade conjunta do vetor aleato´rio (X,Y ) e´ dada por
fX,Y (x, y) = xe
−x(y+1), se x > 0 e y > 0.
Encontre a func¸a˜o densidade da varia´vel aleato´ria Z = XY .
3. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias cuja func¸a˜o densidade conjunta e´ definida por:
f(x, y) =
1
x2y2
, se x ≥ 1 e y ≥ 1.
Encontre a func¸a˜o densidade conjunta de U = XY e V = X/Y . Encontre tambe´m as
marginais de U e V .
4. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias iid com distribuic¸a˜o uniforme no intervalo (0,1). Encontre
a func¸a˜o densidade conjunta de U e V para cada caso a seguir.
(a) U = X + Y e V = X/Y ; (b) U = X e V = X/Y ; (c) U = X + Y e V = X/(X + Y ).
5. Se X1 e X2 sa˜o varia´veis aleato´rias independentes, ambas exponenciais com paraˆmetro λ,
encontre a func¸a˜o densidade de probabilidade conjunta de Y1 = X1 +X2 e Y2 = e
X1 .
6. Se X, Y e Z sa˜o varia´veis aleato´rias i.i.d. com distribuic¸a˜o Exp(1). Encontre a func¸a˜o
densidade conjunta das varia´veis aleato´rias U = X + Y , V = X + Z e W = Y + Z.
7. Sejam X e Y varia´veis aleato´rias i.i.d. com distribuic¸a˜o Exp(1). Encontre a distribuic¸a˜o
de Z = X–Y .
8. A func¸a˜o densidade de probabilidade conjunta do vetor aleato´rio (X,Y ) e´ dada por
fX,Y (x, y) = 2(x+ y), se 0 < x < y < 1.
(a) Encontre a func¸a˜o densidade da varia´vel aleato´ria W = X + Y .
(b) Calcule P(X + Y > 1). (c) Calcule P(X + Y > 1 | 13 < X < 23)
9. Para algum α > 0 as varia´veis aleato´rias cont´ınuasX e Y teˆm a seguinte densidade conjunta:
fX,Y (x, y) = 2α
−2e−
(x+y)
α , se 0 < x < y <∞.
Usando o me´todo Jacobiano obtenha a conjunta de U = X/Y e Y . Elas sa˜o independentes?
10. Sejam X1, X2 e X3 varia´veis aleato´rias independentes e identicamente distribu´ıdas com
densidade Exponencial de paraˆmetro 1. Defina W1 = X1/(X1+X2), W2 = (X1+X2)/(X1+
X2 +X3) e W3 = X1 +X2 +X3.
(a) Obtenha a densidade conjunta de W1, W2 e W3 e verifique se sa˜o independentes.
Dica: para determinar Im(W1,W2,W3) veja que W1 > 0, W2 > 0 e W3 > 0 pela pro´pria definic¸a˜o.
(b) Mostre que W1 ∼ U(0, 1). (c) Verifique que W3 segue o modelo Gama(α = 3, λ = 1).
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