Lista de Exercicios III

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Lista de Exercícios III – Análise Estatística 
Variável Aleatória Bidimensional – Caso Contínuo 
Prof. Frank Magalhães 
Sugestão de leitura: Capítulo 6 do livro Probabilidade – Aplicações à 
Estatística do Paul L. Meyer. 
 
Questão 01: Seja a variável aleatória contínua (𝑋; 𝑌) com função de densidade de 
probabilidade definida por: 
𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = {
𝑘(𝑥 + 𝑦 − 𝑥𝑦), 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1 
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
a. Calcule o valor de 𝑘; 
b. Obtenha as densidades marginais 𝑓𝑋(𝑥) e 𝑓𝑌(𝑦); 
c. Calcule 𝐸[𝑋𝑌], 𝐸[𝑋] e 𝐸[𝑌]; 
d. Calcule 𝑉𝑎𝑟[𝑋], 𝑉𝑎𝑟[𝑌], 𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌] e 𝜌𝑋,𝑌. 
Questão 02: Seja a variável aleatória contínua (𝑋; 𝑌) com função de densidade de 
probabilidade definida por: 
𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = {
𝑘𝑥𝑦, 𝑠𝑒 0 < 𝑥 < 3, 0 < 𝑦 < 3 
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
a. Calcule o valor de 𝑘; 
b. Obtenha a distribuição marginal 𝑓𝑋(𝑥) e 𝑓𝑌(𝑦); 
c. Calcule 𝐸[𝑋] e 𝐸[𝑌]; 
d. Calcule 𝑃(𝑋 < 2; 𝑌 < 3), 𝑃(𝑋 > 2; 1 < 𝑌 < 2,5), 𝑃(𝑋 > 1) e 𝑃(𝑌 < 2,5); 
e. Obtenha a função de densidade condicional de 𝑋 dado 𝑌; 
f. Calcule 𝑃(𝑋 < 2|𝑌 = 2) e 𝐸(𝑋|𝑌 = 2); 
g. Obtenha a função de densidade condicional de 𝑌 dado 𝑋; 
h. Calcule 𝑃(𝑌 > 1|𝑋 = 2) e 𝐸(𝑌|𝑋 = 2). 
Questão 03: A função de densidade de probabilidade condicional de 𝑌 dado 𝑋 = 𝑥 
é 𝑓𝑌|𝑋(𝑦|𝑥) = 𝑥𝑒
−𝑥𝑦, 𝑦 > 0 e a distribuição marginal de 𝑋 é uma distribuição uniforme 
de 0 a 10. Determine: 
a. A função de densidade conjunta 𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦); 
b. A função de densidade marginal 𝑓 𝑌(𝑦); 
c. 𝑃(𝑌 < 2|𝑋 = 2); 
d. 𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥); 
e. 𝐸(𝑌|𝑋 = 2). 
Questão 04: Defina as densidades marginais e condicionais para o vetor aleatório 
(𝑋; 𝑌), com função de densidade conjunta: 
𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = {
1
64
(𝑥 + 𝑦), 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 4, 0 ≤ 𝑦 ≤ 4 
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
Questão 05: Seja o vetor aleatório contínuo (𝑋; 𝑌) com função de densidade de 
probabilidade definida por: 
𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = {
𝑒−𝑥−𝑦, 𝑠𝑒 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜.
 
a. Obtenha as funções de densidade marginais de 𝑋 e 𝑌; 
b. Calcule 𝑃(𝑋 < 4; 𝑌 < 4), 𝑃(𝑋 > 5; 0 < 𝑌 < 5); 
c. Calcule 𝜌𝑋;𝑌; 
d. As variáveis 𝑋 e 𝑌 são independentes? Justifique. 
Questão 6: Seja o vetor aleatório contínuo (𝑋; 𝑌) com função de densidade de 
probabilidade definida por: 
𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) = {
𝑐𝑥2𝑦, 𝑠𝑒 0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2 
0, 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜. 
 
a. Obtenha a constante 𝑐 tal que 𝑓𝑋,𝑌(𝑥, 𝑦) é função de densidade de 
probabilidade; 
b. Obtenha as densidades marginais 𝑓𝑋(𝑥) e 𝑓𝑌(𝑦); 
c. Calcule 𝐸[𝑋𝑌], 𝐸[𝑋] e 𝐸[𝑌]; 
d. Calcule 𝑉𝑎𝑟[𝑋], 𝑉𝑎𝑟[𝑌], 𝐶𝑜𝑣[𝑋, 𝑌] e 𝜌𝑋,𝑌 
e. Obtenha as densidades condicionais 𝑓𝑌|𝑋(𝑦|𝑥) e 𝑓𝑋|𝑌(𝑥|𝑦); 
f. Calcule as esperanças condicionais 𝐸(𝑌|𝑋 = 𝑥) e 𝐸(𝑋|𝑌 = 𝑦); 
 
 
Questões da ANPEC 
Nas questões NÃO NUMÉRICAS verifique, de acordo com a instrução de cada uma 
delas, se os itens são VERDADEIROS ou FALSOS. 
 
Questão 01 (2014 – Q.15): Julgue as afirmativas abaixo: 
Ⓞ Suponha que X seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função 
densidade: f(x)=(1/2)x, em que 0≤x≤2. A probabilidade de que x se situe entre 0 
e 1 é igual a 0,5. 
① Se X é uma variável aleatória distribuída de acordo com a função densidade 
f(x)=(1/2)x, em que 0≤x≤2, então Var(X)=2/9. 
② Suponha que Y seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função 
densidade: f(y)=2y-3, em que y≥1. Então E(Y)=3. 
③ Suponha que Y seja uma variável aleatória distribuída de acordo com a função 
densidade: f(y)=2y-3, em que y≥1. Então a mediana de Y é 2 . 
④ Considere a seguinte função densidade de probabilidade conjunta para as 
variáveis Z e W: f(z,w)=2-z-w, 0≤z≤1, 0≤w≤1. Podemos dizer que as variáveis Z e W 
são independentes. 
Questão 02 (2011 – Q.07): Considere a seguinte função de densidade conjunta de 
duas variáveis aleatórias contínuas X e Y dada por 
 


 

contráriocaso
yxykx
yxfXY 0
10,10,
,
2
 
Ⓞ Para que  yxfXY , satisfaça as propriedades de uma função de densidade 
conjunta, k=6. 
① A densidade marginal de Y é dada por   23yyfY  . 
② A densidade de Y, condicional em X=2, é igual a   yXyf XY 22||  . 
③ X e Y são variáveis aleatórias não correlacionadas. 
④ A variância de Y, condicional em X=2, é igual a 1/9. 
Questão 03 (2004 – Q.03): Sobre coeficiente de correlação, covariância e 
independência de variáveis aleatórias, são corretas as afirmativas: 
Ⓞ Seja ),( yx o coeficiente de correlação entre as variáveis x e y. Se ab>0, então 
),(),( yxbyax   ; e se ab<0, ),(),( yxbyax   . 
① Se a função densidade conjunta de x e y for yxeyxf ),( , x > 0, y > 0 e 
0),( yxf para outros valores de x e y, então ),( yx = 0. 
② Sejam A e B dois eventos independentes, com probabilidades positivas, 
associados a um experimento aleatório ε. Se as variáveis aleatórias x e y são 
definidas como: x = 1, se ocorrer A e x = 0, em caso contrário; e y = 1, se ocorrer 
B e y = 0, em caso contrário, então ),( yx 0. 
③ Em relação ao quesito anterior, pode-se afirmar ainda que a covariância entre x e 
y é diferente de zero. 
④ Se o coeficiente de correlação ),( yx = 0, a covariância entre x e y também é 
zero. Assim sendo, pode-se afirmar que x e y são variáveis aleatórias 
independentes. 
Questão 04 (2004 – Q.15): Suponha que a função de densidade de probabilidade 
conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y) seja dada por: 
 
contrário caso0
20 e 10
3),(
2



  yx
xy
xyxf
 
Calcule a P(Y<X). 
 
Questão 05 (2003 – Q.03): O custo X de produção de certo bem é uma variável 
aleatória com função densidade de probabilidade 


 

contrário caso0
41
)(
2 xkx
xf 
É correto afirmar que: 
Ⓞ O valor de k é 63. 
① O custo médio do produto é aproximadamente 1,04. 
② O custo é menor do que 2 com probabilidade 1/9. 
③ A variância do custo do produto é aproximadamente 3,04. 
④ O custo é maior do que 3 com probabilidade 8/9. 
Questão 06 (2003 – Q.14): Considere o vetor aleatório X = (X1, X2, X3) com 
distribuição de probabilidade 


 

contrário caso0
20,10,106
),,( 3213
2
21
321
xxxxxx
xxxfX 
Encontre a probabilidade de 5,00 1x . 
Questão 07 (2002 – Q.08): Em relação às distribuições de probabilidade contínuas: 
Ⓞ Se X tem distribuição Normal( 2, ), então a função densidade de probabilidade 
de X, f(x), atinge o seu valor máximo quando x = e nesse ponto 
 2
1
)( xf . 
① Se X tem distribuição Uniforme no intervalo [0, ], >0, então,  tem que ser 
igual a 4/3 para que P(X > 1) = 1/3. 
② A distribuição t de Student assemelha-se à Normal padrão, N(0,1), mas possui 
caudas mais pesadas, quando n, o tamanho da amostra, é maior do que 30. 
③ Se uma variável aleatória contínua tem função de distribuição 
0 se 0 
0 se 1)(

 
x
xexF x
 
então a função densidade de probabilidade de X será 
.0 se 0 
0 se )(

 
x
xexf x
 
④ A variável aleatória Z tem distribuição Lognormal se e somente se exp (Z) tiver 
distribuição Normal. 
Questão 08 (2002 – Q.13): Suponha que a função densidade de probabilidade 
conjunta da variável aleatória bidimensional (X,Y) seja uniformemente distribuída na 
região de domínio, 
20 ,20 )(),(  yxyxxkyxf 
Encontre E(X). 
Questão 09 (1998 – Q.04): Com relação às distribuições de probabilidade conjunta 
e marginais, pode-se afirmar que: 
Ⓞ Se a função densidade conjunta de (X,Y), f(x,y), pode ser fatorada na forma 
f(x,y) = f(x).g(y) , onde f(x) e g(y) são ,respectivamente, as funções densidade 
de X e Y, então as variáveis aleatórias X e Y são independentes. 
① Se a variável aleatória bidimensional (X,Y) é uniformemente distribuída,de 
acordo com a função densidade conjunta f x y( , )2, para 0 1  x y e, 0 
fora deste intervalo, então E(X)=1/2. 
② Se as variáveis aleatórias X e Y são independentes, então E(X|Y) = E(X) e E(Y|X) 
= E(Y). 
③ Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua 
X, então P X f x dx( ) ( )   


 1. 
 
④ Seja f(x) a função de densidade de probabilidade da variável aleatória contínua 
X, então podemos definir o valor esperado de X como E X x f x dx( ) . ( ).


 . 
Questão 10 (1997 – Q.07): A função de densidade de probabilidade conjunta das 
variáveis aleatórias X e Y é dada por: 
f x y
x y x
XY( , )
,

 


6 1 1
0
2 , se 0< 0<y
 , em caso contrario.
 
Pode-se afirmar que: 
Ⓞ A função densidade de probabilidade marginal de X é f (x)=3xX
2 . 
① A função densidade de probabilidade marginal de Y é f (y)=yY . 
② A função densidade de probabilidade condicional de X dado Y é f (x,y)=3xXY
2. 
③ A função densidade de probabilidade condicional de Y dado X é f (x,y)=yYX . 
④ X e Y são independentes. 
Questão 11 (1994 – Q.11): As variáveis aleatórias X e Y têm função densidade 
conjunta 
( , )
/ ( ) ,
x y
x y se x y
outros pontos

  


3 2 0 1
0
2 2
 
Calcule o valor esperado de Y quando X = 2/3. 
Questão 12 (1993 – Q.05): Seja a função  
   


( , )x y
c se x e y
caso contrá rio
5 10 4 9
0
 
onde c é uma constante. Pode-se afirmar que: 
Ⓞ O valor de c é 1 (um). 
① X e Y são variáveis aleatórias independentes. 
② A probabilidade de X > 6 e Y < 5 é 0,4. 
③ A função de densidade de probabilidade marginal de X é (x) = 0,20. 
Questão 13 (1992 – Q.04): Sejam X e Y duas variáveis aleatórias contínuas, então: 
Ⓞ Se elas forem independentes, E(XY) = E(X)E(Y). 
① Se elas forem independentes, Cov(XY) = 0. 
② Se elas forem independentes, V(X/Y) = V(X)/V(Y). 
③ O coeficiente de correlação linear entre as variáveis X e Y é dado por 
Cov X Y V X V Y( , )/ ( ) ( ). 
④ Se o coeficiente de correlação for nulo, isto indica que X e Y são independentes. 
Questão 14 (1992 – Q.06): Seja (x,y) = 
1 0 1 0 1
0
quando x y
caso contrario
   


,
 
Calcule a probabilidade de x < 0,5 e y < 0,5.