Teorema da Amostragem de Sinais

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Teorema da amostragem 
Do analógico para o digital 
• A amostragem (instantânea) de um sinal ou forma de onda 
analógica é o processo pelo qual o sinal passa a ser 
representado por um conjunto discreto de números. Estes 
números, ou amostras, são iguais ao valor do sinal em instantes 
bem determinados (os instantes de amostragem). As amostras 
devem ser obtidas de maneira a que seja possível reconstituir o 
sinal com exactidão. 
Ou seja, a forma de onda original, definida em tempo 
“contínuo”, passa a ser representada em tempo “discreto” 
por amostras obtidas em instantes de amostragem 
espaçados convenientemente. 
• Ao intervalo de tempo entre amostras chama-se intervalo de 
amostragem, Ts. O seu inverso é a frequência de amostragem, 
fs = 1/Ts amostras por segundo. 
• Para que seja possível reconstituir o sinal original é necessário 
que a frequência de amostragem seja, no mínimo, igual ao 
dobro da frequência máxima contida no sinal analógico — é o 
que diz o teorema da amostragem. 
Caso contrário produz-se um fenómeno indesejável, 
denominado de aliasing, que se traduz numa sobreposição de 
espectro que inviabiliza a correcta recuperação do sinal (o 
assunto será ilustrado mais à frente). 
• À frequência de amostragem mínima chama-se frequência de 
Nyquist. 
Amostragem 2 
Sinais amostrados 
Exemplo com sinusóides com a frequência indicada: 
 
1 2 3
-1 
0 
1 
f(t) 
1 2 3
-1 
0 
1 
f(t) 
1 2 3
-1 
0 
1 
f(t) 
t (ms) 
t (ms) 
t (ms) 
f1 = 250 Hz
f2 = 750 Hz
f3 = 1250 Hz
 
Frequência de amostragem: 1 kHz 
 
A mesma sequência de amostras foi obtida em três 
sinusóides diferentes. Poderá servir para recuperar essas três 
sinusóides? Claro que não!! 
De facto, com estas amostras só poderemos recuperar 
fielmente a primeira sinusóide. Porquê? 
 
R.: Porque é a única situação que respeita o teorema da 
amostragem: 
a frequência de amostragem deverá ser, no mínimo, igual 
ao dobro da frequência máxima do sinal a amostrar. 
Amostragem 3 
Tipos de amostragem 
• Amostragem instantânea (ou ideal) 
• A função amostradora é um trem de impulsos de Dirac. 
• As amostras são instantâneas (sem duração). 
• O seu espectro é composto pelo espectro original mais 
réplicas idênticas. 
• Amostragem natural 
• A função amostradora é um trem de impulsos com uma 
certa largura. 
• Cada amostra, de duração não nula, toma a forma da 
função amostrada. 
• O espectro é composto pelo espectro original mais réplicas 
cuja amplitude diminui com seno cardinal. 
• Amostragem de topo plano 
• Cada amostra tem um valor constante em toda a sua 
duração não nula. 
• O espectro “sofre” do efeito de abertura: nas baixas 
frequências o espectro original vem multiplicado por um 
seno cardinal. 
• No receptor é preciso compensar o efeito de abertura com 
um filtro cuja função de transferência é um seno cardinal 
invertido. 
• Este é o tipo de amostragem mais simples e vulgar. 
Também é designado de “sample-and-hold”. 
Amostragem 4 
Amostragem instantânea 
• Sinal a amostrar: g(t) 
• Função de amostragem: trem de impulsos de Dirac: 
∑∞
−∞=
−=
n
snTttc )()( δ ∑∞
−∞=
−=
n
ss nffffC )()( δ
• Sinal após amostragem: 
∑∑ ∞
−∞=
∞
−∞=
−=−==
n
ss
n
s nTtnTgnTttgtctgtg )()()()()()()( δδδ 
∑∑ ∞
−∞=
∞
−∞=
−=



−==
n
ss
n
ss nffGfnffffGfCfGfG )()(*)()(*)()( δδ 
isto é, G …+±+±+= )2()()()( sssss ffGfffGffGffδ
• Conclusões: 
• o espectro é formado por iguais réplicas do espectro 
original. 
• A recuperação do sinal original faz-se passando por 
um filtro passa-baixo de frequência de corte adequada. 
)(tgδ
Amostragem 5 
Amostragem instantânea: 
tempos e frequências 
 
Tempos Frequências 
Sinal 
original
g(t)
t 
G(f)
f -W W 
F 
… 
Sinal 
amostrador
c(t)
t 
…
Ts 3Ts 5Ts 0 -Ts 
1 
F 
C(f)
f fs 0 -fs 2fs -2fs
fs=1/Ts
Após 
amostragem
gδ(t) 
t Ts 3Ts 5Ts 0 -Ts 
g (0) 
g (2Ts) 
g (Ts) 
F Gδ(f)
f -W W fs 2fs 0fs
 
… … 
… … 
Amostragem 6 
Amostragem instantânea: nas frequências 
Espectro de sinal amostrado e recuperação do sinal 
analógico original através de filtragem passa-baixo 
 
1986 by Siemens AG 
Amostragem 7 
Amostragem 
Frequência de amostragem demasiado baixa 
provoca “aliasing” 
 
1986 by Siemens AG 
Amostragem 8 
Amostragem natural 
 
1986 by Siemens AG 
Amostragem 9 
Amostragem natural 
• Sinal a amostrar: g(t) 
• Função de amostragem: trem de impulsos com duração T e 
amplitude A: 
∑∞
−∞=
=
n
tnfj
n sectc
π2)( (série de Fourier) 
Coeficientes da série: )(sinc TnfTAfc ssn =
• Sinal após amostragem: 
Nos tempos: ∑∞
−∞=
==
n
tnfj
n sectgtctgts
π2)()()()(
Nas frequências: [ ] 



== ∑∞
−∞=n
tnfj
n sectgFtsFfS
π2)()()(
Em sistemas lineares podemos trocar as operações de 
integração e de adição: 
[ ]∑=
n
tnfj
n setgFcfS
π2)()( 
Mas [ ] )()( 2 stnfj nffGetgF s −=π , logo 
 
…+±±+=
=−=−= ∑∑
)()(sinc)(
)()(sinc)()(
ssss
n
sss
n
sn
ffGTfTAffGTAf
nffGTnfTAfnffGcfS
 
Amostragem 10 
Amostragem natural 
 
Sinal original 
Sinal amostrador 
(trem de impulsos 
rectangulares) 
Sinal amostrado 
 
• Sinal amostrador: 
2( ) sinc( ) ( 1 )sj nf ts s s
n
c t f TA nf T e f Tπ
∞
=−∞
= =∑ s 
• Sinal amostrado: 
2( ) ( ) ( ) ( ) sinc( ) sj nf ts s
n
s t c t g t f TAg t nf T e π
∞
=−∞
= = ∑ 
• Espectro de frequêncas: 
( ) sinc( ) ( )s s s
m
S f f TA mf T G f mf
∞
=−∞
= −∑ 
 
Amostragem 11 
Amostragem de topo plano 
 
Impulso de 
amostragem 
( ) ( ) ( )s s
n
g t g nT t nTδ δ
∞
=−∞
= −∑ 
(Amostragem instantânea) 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
s s
n
s t g nT h t nT
g t h tδ
∞
=−∞
= −
= ∗
∑ 
(sinal amostrado de topo plano)
s(t) é a convolução do sinal 
amostrado instantaneamente, 
gδ(t), com o impulso de 
amostragem h(t) 
=
( ) sinc( ) j fTH f T fT e π−= 
(Espectro do impulso 
de amostragem) 
 
( ) ( ) ( )s t g t h tδ= ∗ ⇒ ( ) ( ) ( )S f G f H fδ=
 com ( ) ( )s s
m
G f f G f mfδ
∞
=−∞
= −∑ 
⇓ 
∑∞
−∞=
−==
n
ss nffGfHffHfGfS )()()()()( δ 
Amostragem 12 
Amostragem de topo plano: desenvolvimento 
• Sinal a amostrar: g(t) 
• Sinal após amostragem: ∑∞
−∞=
−=
n
ss nTthnTgts )()()(
• h(t) é um (único) impulso rectangular de amplitude unitária 
e duração T. O seu espectro é: 
fTjefTTfH π−= )(sinc)( 
• Vamos fazer a convolução do sinal amostrado 
instantaneamente, , com este impulso h(t): )(tgδ
∫ ∑∫ ∞
∞−
∞
∞−
−−=−=∗ τττδτττδδ dthnTnTgdthgthtg
n
ss )()()()()()()( 
Trocando a ordem da integração e adição: 
∫∑ ∞
∞−
−−=∗ τττδδ dthnTnTgthtg s
n
s )()()()()( 
Mas, das propriedades das transformadas de Fourier, 
)()()( 00 thdtthtt =−∫∞
∞−
δ , 
logo, . ∑ −=∗
n
ss nTthnTgthtg )()()()(δ
Mas isto é s(t), afinal! 
Amostragem 13 
Amostragem de topo plano: desenvolvimento 
Então sendo podemos escrever: )()()( thtgts ∗= δ
∑∞
−∞=
−==
n
ss nffGfHffHfGfS )()()()()( δ 
ou ainda 
…+±+= )()()()()( sss ffGfHffGfHffS 
Daqui se vê que todas as réplicas espectrais são afectadas 
por H(f). A isto dá-se o nome de efeito de abertura. 
• O efeito de abertura é tanto mais pernicioso quanto maior for a 
duração T das amostras (o lobo principal do seno cardinal é 
mais apertado). 
• Após o filtro passa-baixo do receptor teremos . 
Como o que queremos recuperar é 
)()( fGfHfs
G , teremos de usar um 
filtro compensador de funçãode transferência 
)( f
)(sincT
1
)(
1
fTfH
= 
Amostragem 14 
Amostragem 
 
 
Amostragem 
natural 
Amostragem 
de topo 
plano 
Amostragem 15 
Amostragens: resumo de equações 
• - sinal original a amostrar )(tg
• - função amostradora )(tc
• - impulso rectangular com )(th
fTjefTTfH π−= sinc)( 
O sinal amostrado vale: 
• Amostragem instantânea 
• Tempos: ∑ −==
n
ss nTtnTgtgts )()()()( δδ 
• Frequências: ∑ −==
n
ss nffGffGfS )()()( δ 
• Amostragem natural 
• Tempos: ∑==
n
tnfj
ss setnftTAgftctgts
π2)(sinc)()()()(
• Frequências: ∑ −=
n
sss nffGTnfTAffS )()(sinc)( 
• Amostragem de topo plano (PAM) 
• Tempos: ∑ −=∗=
n
ss
tg
nTthnTgthtctgts )()()()()()(
)(
�
�	�
δ
 
• Frequências: ∑ −==
n
ss nffGfHffHfGfS )()()()()( δ 
 
Amostragem 16 
Modulação de impulsos 
Além da modulação de amplitude de impulsos (PAM) 
podemos também considerar a modulação de duração e 
modulação de posição de impulsos: 
 
 
Sinal modulador 
 
 
Portadora 
PDM 
 
PPM 
 
PDM – “Pulse Duration Modulation” 
PPM – “Pulse Position Modulation” 
Amostragem 17