2019 1 - Apostila - Probabilidade e Estatistica - V 7 VF

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
Apostila 
 
Probabilidade e Estatística 
Para Engenharia e Arquitetura 
 
 
Professor: Ms Cledinaldo Castro Araújo 
 
 
 
 
 
2019.1 - Versão 7 
 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 “A normalidade é tão somente uma questão de estatística.” 
 Autor: Aldous Huxley 
 
3 
 
Sumário 
1. Conceitos Básicos ............................................................................................................ 08 
1.1 Divisão da Estatística ............................................................................................................... 08 
1.2 Conceitos Fundamentais da Estatística .................................................................................... 08 
1.3 Fases do Método Estatístico .................................................................................................... 10 
2. Estudo dos Dados Estatísticos ................................................................................................. 11 
2.1 Séries Estatísticas ...................................................................................................................... 11 
2.2 Apresentação Tabular e Gráfica ................................................................................................ 12 
2.2.1 Apresentação Tabular ......................................................................................................... 12 
2.2.2 Apresentação Gráfica ............................................................................................................ 14 
3. Distribuições de Frequências ................................................................................................... 21 
3.1 Distribuições de Frequências para Dados Discretos ................................................................... 22 
3.2 Distribuições de Frequências para Dados Contínuos ................................................................. 23 
4. Medidas de Posição ................................................................................................................ 26 
4.1 Pequenos Conjuntos de Dados .................................................................................................. 26 
4.2 Grandes Conjuntos de Dados: Discretos .................................................................................... 29 
4.3 Grandes Conjuntos de Dados: Contínuos .................................................................................. 30 
4.4 Medidas Separatrizes ............................................................................................................. 33 
4.4.1 O Box Plot ............................................................................................................................. 39 
4.5 Interpolação Linear .................................................................................................................. 41 
4.6 Outras Medidas de Posição ...................................................................................................... 43 
5. Medidas de Dispersão ............................................................................................................. 46 
5.1 Pequenos Conjuntos de Dados ................................................................................................ 46 
4 
 
5.2 Grandes Conjuntos de Dados: Discretos .................................................................................. 51 
5.3 Grandes Conjuntos de Dados: Contínuos ................................................................................. 53 
6. Medidas de Assimetria e Curtose ...................................................................................... 56 
6.1 Medidas de Assimetria ...................................................................................................... 56 
6.2 Medidas de Curtose ......................................................................................................... 57 
7. Probabilidade .................................................................................................................. 59 
7.1 Conceitos Iniciais ..................................................................................................................... 59 
7.2 Operações com Eventos Aleatórios .......................................................................................... 60 
7.3 Medida de Probabilidade ......................................................................................................... 63 
7.4 Teorema da Soma .................................................................................................................... 64 
7.5 Eventos Dependentes .............................................................................................................. 65 
7.5.1 Probabilidade Condicional ..................................................................................................... 66 
7.5.2 Teorema do Produto ou Regra do Produto ............................................................................ 66 
7.6 Eventos Independentes ............................................................................................................ 67 
7.6.1 Teorema do Produto ou Regra do Produto ......................................................................... 68 
7.7 Regra de Bayes ...................................................................................................................... 69 
8. Variáveis Aleatórias Unidimensionais ...................................................................................... 73 
8.1 Classificação das Variáveis Aleatórias ...................................................................................... 73 
8.1.1 Variáveis Aleatórias Discretas ............................................................................................... 73 
8.1.2 Variáveis Aleatórias Contínuas.............................................................................................. 76 
8.2 Propriedades da Esperança e Variância ................................................................................ 77 
9 Distribuições de Probabilidade Discreta - Introdução ............................................................ 79 
9.1 Distribuição Binomial ........................................................................................................... 79 
5 
 
9.2 Distribuição de Poisson ........................................................................................................ 82 
9.3 Distribuição de Poisson como Aproximação da Binomial ...................................................... 84 
9.4 Distribuição Hipergeométrica ............................................................................................... 81 
9.5 Distribuição Binomial como Aproximação da Hipergeométrica ............................................ 87 
10 Distribuição Normal (Gaussiana) .......................................................................................... 88 
10.1 Combinação Linear de Normais Independentes ................................................................. 98 
11 Amostragem ........................................................................................................................ 100 
11.1 Conceitos Fundamentais em Amostragem ........................................................................... 100 
11.2 Tipos de Amostragem ..........................................................................................................103 
11.2.1 Amostragem Aleatória Simples (AAS) .................................................................................. 103 
11.2.2 Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) ........................................................................... 104 
11.2.3 Amostragem Sistemática (AS) .............................................................................................. 105 
11.2.4 Amostragem por Conglomerados ........................................................................................ 106 
11.3 Uso do Excel na Amostragem ................................................................................................. 107 
12 Distribuições Amostrais ........................................................................................................ 108 
12.1 Distribuição Amostral da Média ............................................................................................. 108 
12.2 Teorema do Limite Central ..................................................................................................... 108 
12.3 Distribuição Amostral da Proporção ...................................................................................... 110 
13 Estimação ........................................................................................................................... 113 
13.1 Conceitos Iniciais .................................................................................................................. 113 
13.1.1 Estimação ............................................................................................................................ 113 
13.1.2 Estimados e Estimativa ........................................................................................................ 114 
13.1.3 Propriedade dos Estimadores .............................................................................................. 115 
6 
 
13.2 Estimativa Pontual ................................................................................................................. 115 
13.3 Estimativa Intervalar ou Intervalo de Confiança para uma Amostra ....................................... 116 
13.3.1 Intervalo de Confiança para  - Caso 1:  Conhecido ....................................................... 116 
13.3.2 Intervalo de Confiança para  - Caso 2:  Desconhecido ................................................. 118 
13.3.3 Intervalo de Confiança para a Proporção Populacional (P) ................................................... 122 
13.3.4 Amostragem para População Finita .................................................................................... 124 
13.4 Estimativa Intervalar ou Intervalo de Confiança para duas Amostras ...................................... 127 
13.4.1 Intervalo de Confiança para Diferença de Médias (1-2) - Caso 1: 1 e 2 Conhecidos ..... 
127 
13.4.2 Intervalo de Confiança para Diferença de Médias (1-2) - Caso 1: 1 e 2 Desconhecidos e 
Supostamente Diferentes .......................................................................................................... 
128 
13.4.3 Intervalo de Confiança para Diferença de Médias (1-2) - Caso 1: 1 e 2 Desconhecidos e 
Supostamente Iguais .................................................................................................................... 
129 
13.4.4 Intervalo de Confiança para Diferença de Proporção (P1-P2) .............................................. 
130 
14 Análise de Correlação e Regressão ........................................................................................... 132 
14.1 Gráfico de Dispersão ............................................................................................................. 132 
14.2 Coeficiente de Correlação de Pearson (Rxy) ......................................................................... 
132 
14.3 Regressão Linear Simples ...................................................................................................... 135 
14.3.1 Reta Estimada ..................................................................................................................... 135 
14.3.2 Análise de Variância (ANOVA) ............................................................................................ 138 
14.3.3 Coeficiente de Determinação (R2) ........................................................................................ 140 
14.3.4 Modelos não Lineares por Anamorfose ............................................................................... 144 
14.4 Regressão linear Simples com Excel ..................................................................................... 146 
15 Critério de Arredondamento ............................................................................................... 148 
15.1 Método Tradicional ................................................................................................................ 149 
15.2 Método ABNT ......................................................................................................................... 149 
7 
 
15.3 Método do Truncamento ....................................................................................................... 150 
16. Exercícios Propostos ................................................................................................................ 152 
BIBLIOGRAFIA 
APENDICES 
ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8 
 
 
Capítulo 1 
 
 
 
Conceitos Básicos em Estatística 
 
1. Conceitos Básicos em Estatística 
 
O cidadão comum acredita que a estatística se resume apenas a apresentar tabelas de números em colunas 
esportivas e ou econômicas de jornais e revistas, ilustradas com gráficos, pilhas de moedas, etc. quando muito, 
associam a estatística à previsão de resultados eleitorais. Mas estatístico de hoje não se limita a compilar tabelas 
de dados e os ilustrar graficamente. Pois a partir de 1925, com os trabalhos de Fisher, a estatística iniciou-se 
como método científico, então, o trabalho do estatístico passou a ser o de ajudara planejar experimentos, 
interpretar e analisar os dados experimentais e apresentar os resultados de maneira a facilitar a tomada de 
decisões razoáveis. Deste modo, podemos então definir estatística como sendo a ciência que se preocupa com a 
coleta, organização, apresentação, análise e interpretação de dados. Didaticamente podemos dividir a estatística 
em duas partes: a estatística descritiva e a inferência estatística. A estatística descritiva se refere à maneira de 
apresentar um conjunto de dados em tabelas e gráficos, e ao modo de resumir as informações contidas nestes 
dados a algumas medidas. Já a inferência estatística baseia-se na teoria das probabilidades para estabelecer 
conclusões sobre todo um grupo (chamado população), quando se observou apenas uma parte (amostra) desta 
população. É necessário ter em mente que a estatística é uma ferramenta para o pesquisador, nas respostas dos 
“por quês" de seus problemas. E que para ela ser bem usada é necessário conhecer os seus fundamentos e 
princípios, e acima de tudo que o pesquisador desenvolva um espírito crítico e jamais deixe de pensar. Pois "em 
ciência é fácil mentir usando a estatística, o difícil é falar a verdade sem usar a estatística". 
 
1.1 Divisão da Estatística 
 
 ESTATÍSTICA DESCRITIVA é a parte da Estatística que trabalha com a organização e a apresentação dos 
dados. 
 ESTATÍSTICA INDUTIVA OU INFERÊNCIA ESTATÍSTICA é a parte da Estatística que trabalha com análise e 
interpretação dos dados, com o objetivo de obter e generalizar conclusões para a população a partir deuma amostra. 
 
1.2 Conceitos Fundamentais 
 ESTATÍSTICA é a ciência que estuda as técnicas necessárias para coletar, organizar, apresentar, analisar e 
interpretar os dados, a fim de extrair informações a respeito de uma população. 
 POPULAÇÃO é o conjunto de todos os elementos (pessoas ou objetos) que interessam ao estudo de um 
fenômeno coletivo segundo alguma característica. 
 AMOSTRA é qualquer subconjunto não vazio de uma população. 
 PARÂMETRO é uma característica numérica estabelecida para toda uma população. 
 ESTIMATIVA é uma característica numérica estabelecida para uma amostra. 
 
Exemplo: Fenômeno coletivo: eleição para governador do Estado de Ceará. População: conjunto de todos os 
eleitores do estado. Parâmetro: proporção de votos de um candidato X. Amostra: grupo de 10 eleitores 
selecionados em todo o estado. Estimativa proporção de votos do candidato X, obtida na amostra. Dentre os 
modelos estatísticos podemos destacar os seguintes: 
 
 CENSO é um levantamento estatístico (pesquisa) que abrange todos os elementos de uma população. 
9 
 
Principais propriedades do Censo: 
 
 Confiabilidade 100%; 
 Custo elevado; 
 Lento; 
 Nem sempre é viável. 
 
 AMOSTRAGEM é o processo de obter as amostras, com a finalidade de fazer generalizações sobre a 
população sem precisar examinar cada um de seus elementos. Principais propriedades da Amostragem: 
 
 Confiabilidade menor que 100%; 
 Mais barata que o Censo; 
 Mais rápida que o Censo; 
 É sempre viável; 
 
 VARIÁVEL é uma característica dos elementos de uma população ou de uma amostra, que pode assumir 
diferentes valores, sejam numéricos ou não, e que interessa ao estudo. Classificação das Variáveis: 
 
 Variável Qualitativa: tipo de variável que não pode ser medida numericamente. Exemplos: cor dos 
cabelos, marca de refrigerantes, cor dos olhos, etc. 
 
As variáveis qualitativas se classificam em dois tipos: 
 
- Variável Qualitativa Ordinal: quando seus elementos têm relação de ordem. Exemplos: colocação – 
primeiro lugar, segundo lugar, etc. conceito – ótimo, bom, regular, péssimo. 
 
- Variável Qualitativa Nominal: quando seus elementos são identificados por um nome. Exemplos: 
cor dos olhos, marcas de carro, etc. 
 
 Variável Quantitativa: tipo de variável que pode ser medida numericamente. Exemplos: peso, altura, 
número de faltas, número de gols, etc. 
 
As variáveis quantitativas se classificam em dois tipos: 
 
- Variável Quantitativa Discreta: tipo de variável que só pode assumir valores pertencentes a um 
conjunto enumerável. Normalmente seus valores estão associados a característica de contagem. 
Exemplos: número de carros vendidos, número de filhos, etc. 
 
- Variável Quantitativa Contínua: tipo de variável que pode assumir qualquer valor num intervalo de 
valores. Normalmente seus valores estão associados a característica de medidas. Exemplos: altura 
das pessoas, peso dos recém-nascidos, etc. Em resumo: 
 
Variável 
{
 
 
 
 Qualitativa {
 Nominal
Ordinal
 Quantitativa {
 Discreta
 Contínua
 
 
Observação: a variável idade, apesar de ser representada, geralmente, por números inteiros, é uma variável 
contínua, pois está relacionada com o tempo, que é uma variável contínua. 
 
10 
 
 DADO ESTATÍSTICO é toda informação devidamente coletada e registrada. Todo dado se refere a uma 
variável. 
 
Quanto à coleta, temos: 
 Direta – aquela feita no local da ocorrência onde o pesquisador faz uma visita ou envia um 
instrumento de consulta para que seja obtida a informação. A coleta direta é também a que é feita 
pelos equipamentos de uma estação meteorológica. Os dados resultantes da coleta direta são 
chamados de dados primários; 
 
 Indireta – quando os dados são obtidos por consulta a documentos existentes, como relatórios, 
anuários, teses. São dados que já passaram por um tratamento estatístico e por esse motivo são 
chamados de dados secundários. 
Exemplo: Dado: as receitas cresceram 5%; Informação: Resultado ruim, a meta era crescer 20% 
 
 
1.3 Fases do Método Estatístico 
 
Toda pesquisa tem por objetivo gerar conhecimento sobre algo. Com a pesquisa estatística acontece o 
mesmo, porém com a peculiaridade do conhecimento pretendido ser obtido através da análise de dados. O 
processo de organização da pesquisa estatística é chamado de Fases do Método Estatístico. 
 
Figura 1 – Fases do Método Estatístico 
 
 
As fases principais são: Definição do problema, planejamento, coleta dos dados, apresentação dos dados, 
análise e interpretação dos dados. 
 
I. Definição do problema: Definir exatamente o que se pretende estudar. Consiste em delimitar a 
pesquisar e levantar bibliografias; 
II. Planejamento: consiste em determinar o procedimento necessário para resolver o problema. 
Como levantar as informações? Quantos dados deverão ser obtidos? Que métodos serão 
utilizados? Qual o cronograma? Qual o recurso disponível? Etc. 
III. Coleta dos dados: Esta fase refere-se à obtenção, reunião e registro sistemático dos dados de 
acordo com o objetivo determinado. Tipos de dados (primários e secundários). 
IV. Apresentação dos dados: Apresentação dos dados obtidos. Esta apresentação pode ser através de 
dados e tabelas. 
V. Análise e interpretação dos resultados: esta fase está relacionada essencialmente ao cálculo de 
mediadas estatísticas, cuja finalidade é descrever o fenômeno. Esta fase está focada em 
compreender de forma crítica o fenômeno em estudo 
Importante: Dado ≠ Informação, dado é o registro da variável enquanto informação é o 
significado do dado. 
11 
 
 
 
Capítulo 2 
 
 
 
Estudo dos Dados Estatísticos 
 
 
2. Estudos dos Dados Estatísticos 
Coletados os dados, não é conveniente apresentá-los para análise sob a forma a que se chegou pela 
simples apuração. Na maioria das vezes, o conjunto de valores é extenso e desorganizado, e seu exame requer 
maior atenção. Uma fase importante da análise destes dados é condensação em formatos mais simples e 
objetivos. Essa condensação pode ser realizada através do emprego de tabelas e gráficos. Para entender como se 
constrói uma tabela ou gráfico faz-se necessário analisar as séries estatísticas. 
 
2.1 Séries Estatísticas 
Uma série estatística é a representação de uma coleção de dados originados de um conjunto de dados, em uma 
tabela ou gráfico. 
 
 CARACTERÍSTICAS DE UMA SÉRIE ESTATÍSTICA: 
 
 Fenômeno: é o fato que foi investigado e cujos valores numéricos estão sendo apresentados na 
tabela ou gráfico. 
 Local: É o espaço geográfico onde o fenômeno ocorreu. 
 Época: Tempo em que o fenômeno foi analisado. 
 
 TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 Série Temporal, histórica ou cronológica: a variável é o tempo, permanecendo fixo o local e o 
fenômeno investigado. 
 
- Exemplo: Nascidos vivos registrados segundo o ano de registro 
- Exemplo: Faturamento líquido da Indústria Química Brasileira, em bilhões US$, (2002 – 2006). 
 
 Série Específica ou categórica: a ocorrência do fenômeno é variável, permanecendo fixos o local e o 
tempo. 
 
- Exemplo: Casos registrados de intoxicação humana, segundo a causa determinante. Brasil, 1993. 
(Causas determinantes: Acidente, suicídio, ignorada e outras). 
 
- Exemplo: Faturamento líquido da Indústria Química Brasileira (em bilhões US$), por produtos 
químicos, no ano de 2006. 
 
 Série Geográfica, espaciais, territoriais ou de localização: A variável é o local, permanecendo fixos o 
tempo e o fenômeno. 
 
- Exemplo: Suicídios ocorridos no Brasil em 2005, por regiões. 
 
- Exemplo: Faturamento líquido da Indústria Química Brasileira, em US$, por regiões do Brasil, no ano 
de 2006. 
12 
 
 
 Mista ou Conjugada: É a junção dasséries temporal-específica, temporal-geográfica, específico-
geográfica e temporal-específico-geográfica em uma única tabela. 
 
- Exemplo: Nascidos vivos registrados segundo o ano de registro e o sexo; 
 
- Exemplo: Faturamento líquido da Indústria Química Brasileira (em bilhões US$), por produtos 
químicos, nos anos de 2005 e 2006; 
 
2.2 Apresentação Tabular e Gráfica 
Neste modulo serão analisadas as principais estruturas para apresentação de dados estatísticos, as tabelas e 
gráficos. Estas estruturas são amplamente utilizadas para apresentação de resultados de uma pesquisa, 
trataremos aqui dos principais tipos, elementos e aplicações. 
 
2.2.1 Apresentação Tabular 
 TABELA ESTATÍSTICA: É uma representação matricial, isto é, em linhas e colunas, das séries Estatísticas. A 
finalidade da tabela é poder apresentar os dados de modo organizado, simples e de fácil percepção. 
Dessa forma, a tabela deve ser construída de modo a fornecer o máximo de esclarecimento. 
 
 ELEMENTOS FUNDAMENTAIS DE UMA TABELA ESTATÍSTICA: As Tabelas não possuem linhas verticais 
externas traçadas e as verticais internas são facultativas, enquanto os quadros podem apresentar laterais 
fechadas. 
 Título 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Título: Deve responder os seguintes questionamentos: O quê? Ou Quem? Quando? Onde? 
 Fonte: Indicação da entidade responsável pelo fornecimento dos dados ou pela sua elaboração. 
 Notas: São informações suplementares destinadas a conceituar ou esclarecer o conteúdo das tabelas 
ou indicar a metodologia adotada no levantamento ou na elaboração dos dados. 
 Chamadas: É o esclarecimento de dados específicos. Usar algarismos (* ou 1, 2, 3,...). 
 Zona Designativa: Está colocado logo abaixo do título e compreendem o chamado cabeçalho, nessa 
zona são colocadas as informações referentes ao conteúdo de cada coluna. 
 Zona Indicativa: Situa–se ao lado esquerdo, nessa zona são colocadas as informações referentes ao 
conteúdo de cada linha. 
 Zona Enumerativa: São as expressões numéricas do fato estudado, compondo – se de colunas, linhas 
e células ou casas. 
 
Zona Designativa ou cabeçalho 
Zona Enumerativa Zona Indicativa 
Rodapé 
Fonte 
 
 
 
 
 
Notas 
 
 
 
 
 
Chamadas 
 
 
 
 
 
13 
 
 SINAIS CONVENCIONAIS 
 
Todos os campos da tabela estatística devem ser preenchidos, desta forma adotam-se sinais: 
 
 0; 0,0 ou 0,00: O dado é nulo ou muito pequeno para a unidade adotada. Resultado de 
arredondamento; 
 __: O dado não existe; 
 ... : O dado existe, porém sua apresentação não está disponível; 
 ?: Quando ha dúvida sobre a veracidade do dado. 
 
 TIPOS DE TABELAS ESTATÍSTICAS 
 
 Tabelas Simples ou Unidimensional: Apresentam dados ou informações relativas a uma única Variável. 
 Tabela de Dupla Entrada, Cruzada (bidimensional) ou de Contingência: Apresentam dados ou 
informações de mais de uma Variável. 
 
Exemplo: Faturamento líquido da Indústria Química Brasileira (em bilhões US$), por produtos químicos, 
no ano de 2006. 
Produtos Químicos Faturamento (US$ bilhões) 
Farmacêutico 9,2 
Adubos e fertilizantes 5,3 
Sabões e Detergentes 2,5 
Tintas 1,9 
Outros1 2 
Total 20,9 
Fonte: ABIQUIM – Associação Brasileira de Indústria Química 
1 Produtos químicos com pouca aceitação 
 
Exemplo: Estabelecimentos de saúde públicos e particulares, por espécie, Brasil, 1985. 
Estabelecimento 
População (milhões) 
Públicos Particulares 
Hospital 1.002 5.132 
Pronto - socorro 150 156 
Policlínicas* 1.531 6.136 
Outros 14.393 472 
Total 17.076 11.896 
 Fonte: IBGE (1988) (*) Incluem postos de saúde, centros de saúde e unidades mistas. 
 
 BANCO DE DADOS: É um local onde ficam organizados conjuntos de dados de forma bem estruturada e 
lógica a respeito de algo. O objetivo do banco de dados é apenas de repositório de dados permitindo 
acesso rápido, e não de apresentar resultados de forma simplificada. 
 
Exemplo, na secretaria de uma faculdade tem-se uma determinada quantidade de alunos cadastrados, 
cada qual com sua pasta de documentos e informações, imagine precisar de alguma informação a 
respeito de um destes alunos, para evitar ter que ir até um arquivo e pegar a pasta para ter acesso a esta 
informação, existe um programa interno para cadastro de todos os alunos e assim através do banco de 
dados onde se tem cadastrados todos os alunos pode-se verificar qualquer informação cadastrada tudo 
organizado de tal forma que facilite essa busca. 
14 
 
Segue abaixo um banco de dados referente a 10 funcionários da empresa de Consultoria 
Empresarial “X”, Fortaleza, Ceará, dezembro 2007. 
 
Quadro 1 – Banco de Dados 
Nº. Estado Civil Sexo Grau de instrução Salário (S.M*) Idade 
1 Solteiro Feminino Ensino Médio 6 20 
2 Solteiro Feminino Ensino Médio 7 23 
3 Solteiro Masculino Superior 11 25 
4 Solteiro Masculino Ensino Fundamental 4 26 
5 Casado Feminino Superior 13 26 
6 Solteiro Feminino Ensino Fundamental 8 27 
7 Casado Feminino Ensino Fundamental 7 28 
8 Casado Feminino Ensino Médio 15 29 
9 Casado Masculino Ensino Médio 9 30 
10 Casado Feminino Ensino Médio 11 30 
Fonte: Recursos Humanos da Consultoria X (*) S.M: Salários Mínimos 
 
2.2.2 Apresentação Gráfica. 
 
O gráfico constitui um recurso importante para apresentação de dados estatísticos, pois consegue resumir as 
informações através de recursos visuais, sua aplicação é quase sempre preferível a tabela estatística. No entanto, 
quando o agrupamento dos dados é complexo, melhor utilizar a tabela, pois um importante atributo de um bom 
gráfico é ser simples, auto-explicativo. A percepção visual é muito eficiente, mas é preciso atenção em alguns 
pontos, vejamos as situações indicadas abaixo: 
 
 
De acordo com os gráficos, os tratamentos T1 e T2 apresentam desempenhos bem distintos nas duas situações. 
Na situação A os tratamentos apresentam desempenhos muito próximos, já no B os desempenho de T1 é bem 
superior ao de T2 (mais que o dobro). 
 
Questionamento: Seria possível que os dois gráficos (A e B) se refiram a mesma situação? 
 
Sendo sim a resposta, então um dos gráficos está errado. É o que está de fato ocorrendo, os dois gráficos 
correspondem a mesma situação, a diferença está no ponto de corte dos dados, no caso A o ponto de corte é 0 
(zero) enquanto no B é 45,4. Este erro pode ser intencional ou não, o que importa é revela resultados bem 
distorcidos, como a eficiência dos gráficos é visual, sua valia ficou comprometida. Por isso atenção para o campo 
de variação dos dados. 
 
Segue abaixo os principais tipos de Gráficos: 
 
 GRÁFICOS: São representações visuais dos dados investigados que transmitem a informação de forma 
direta. Os gráficos devem ser simples, auto-explicativo. 
15 
 
 
 ELEMENTOS ESSENCIAIS DOS GRÁFICOS: Título e fonte, em alguns casos, a legenda. 
 TIPOS DE GRÁFICOS: 
 
 Setor ou Pizza, torta (Pie Chart): São usados para representar valores absolutos ou percentuais de 
variáveis qualitativas. É uma opção ao gráfico de barras quando se pretende dar ênfase à comparação 
das percentagens de cada categoria. A construção do gráfico de setores segue uma regra de 3 
simples, onde as frequências de cada classe correspondem ao ângulo que se deseja representar em 
relação a frequência total que representa o total de 360°. Sugere-se ser empregado quando há no 
máximo sete informações; 
 
Exemplo: 
 
 Fonte: Dados fictícios 
 Barra Vertical e horizontal: Para representar séries específicas ou mistas de variáveis qualitativas. 
 
Exemplo: Faturamento líquido da IndústriaQuímica Brasileira (em bilhões US$), por produtos 
químicos, no ano de 2005. 
 
Fonte: ABIQUIM – Associação Brasileira da Indústria Química 
 Exemplo: 
 
 Fonte: site do IBGE 
16 
 
 
 Colunas Sobrepostas: É um tipo utilizado estratificando as categorias (gráfico comparativo). 
 
Exemplo: População Urbana do Brasil por Região de 1940 a 1980 (x 1000) 
 
 Por linha: É um gráfico utilizado para mostrar a evolução ou tendências dos dados ao longo do tempo. 
 
Exemplo: 
 
 Por ponto: Para representar variáveis quantitativas; 
 
Exemplo: 
 
Fonte: Colégio “X” 
 
 
17 
 
 Histograma: O histograma é a representação gráfica de dados contínuos agrupados em distribuições 
de frequências com intervalos. Corresponde a um gráfico de colunas juntas. 
 
Exemplo: 
 
 Fonte: Dados Fictícios 
 
 Polígono de Frequência: é uma linha poligonal que une os pontos médios dos intervalos, seu objetivo é 
modelar a forma da distribuição, enquanto o gráfico de linha objetiva mostrar o comportamento de uma 
variável ao longo do tempo. 
 
Exemplo: 
 
 Fonte: Dados Fictícios 
 
 Gráfico polar ou Radar: É o tipo de gráfico ideal para representar séries temporais cíclicas, ou seja, toda a 
série que apresenta uma determinada periodicidade. Pode também ser empregado para avaliar o 
atendimento de várias categorias a seus respectivos padrões. 
Passos para Construção: 
 
I. Traça-se uma circunferência de raio arbitrário (preferencialmente, a um raio de comprimento 
proporcional a média dos valores da série); 
II. Constrói-se uma semi-reta (de preferência horizontal) partindo do ponto 0 (pólo) e com uma 
escala (eixo polar); 
III. Divide-se a circunferência em tantos arcos forem às unidades temporais; 
IV. Traçam-se semi-retas a partir do ponto 0 (pólo) passando pelos pontos de divisão; 
V. Marca-se os valores correspondentes da variável, iniciando pela semi-reta horizontal (eixo polar); 
VI. Ligam-se os pontos encontrados com segmentos de reta; 
VII. Para fechar o polígono obtido, emprega-se uma linha interrompida. 
2 
14 
23 
8 
3 
0
5
10
15
20
25
4,0 |---- 6,0 6,0 |---- 8,0 8,0 |---- 10,0 10,0 |---- 12,0 12,0 |----|14,0
Concentração de Cádmio (mg/kg), Rio Bonito, 2010 
18 
 
 
Precipitação Pluviométrica do Município de Santa Maria - RS - 1999. 
 
Meses Precipitação (mm) 
Janeiro 174,8 
Fevereiro 36,9 
Março 83,9 
Abril 462,7 
Maio 418,1 
Junho 418,4 
Julho 538,7 
Agosto 323,8 
Setembro 39,7 
Outubro 66,1 
Novembro 83,3 
Dezembro 201,2 
 
 
Fonte: Base Aérea de Santa Maria 
 
 Cartograma: É a representação de um fenômeno com auxílio de um mapa geográfico em estudo. Este 
recurso é muito utilizado para densidade demográfica, criminalidade, etc. 
 
Exemplo: 
 
 
 Organograma: Representa distribuição de funções de uma empresa, através de retângulos, que 
representa o nível hierárquico. 
 
Exemplo: 
 
0,0
100,0
200,0
300,0
400,0
500,0
600,0
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Maio
Junho
Julho
Agosto
Setembro
Outubro
Novembro
Dezembro
19 
 
 
 
 Fluxograma: É um esquema para descrever a ordem de um programa de computador, de uma ordem de 
uma linha de montagem em uma empresa 
Exemplo: 
 
 Pictogramas: Usam-se desenhos à variável em questão. A desvantagem do pictograma é que apenas 
mostra uma visão geral do fenômeno, e não os detalhes minuciosos. A vantagem é despertar atenção do 
público leigo, por isso, largamente utilizados pela mídia. 
 
 
20 
 
 Colunas e Barras Múltiplas: Gráfico adequado para representar séries mistas. 
 
Exemplo: Destino do Lixo por Grau de Instrução do Mantenedor da Família, Fortaleza, 2010. 
 
 
 Fonte: Dados Fictícios 
 
 Estereograma: Qualquer um dos tipos anteriores desenhado em três dimensões. 
 
Exemplo: Produção de Soja do Município X – 1991 a 1005 
 
 
 Fonte: Dados Fictícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
14 
19 
13 
11 
Ensino Fundamental Ensino Médio Superior
Não Sim
21 
 
 
Capítulo 3 
 
 
 
Distribuição de Frequências 
 
 
3. Distribuição de Frequências 
Muitas vezes, ao coletar dados, o pesquisador se depara com uma grande massa de valores numéricos, 
que se repetem algumas vezes, dificultando sua análise e interpretação. Surge então a necessidade de organizar 
esses dados em uma tabela onde os valores observados se apresentam associados individualmente ou em classes 
com os números de suas repetições, isto é, com suas respectivas frequências. Esta tabela recebe o nome de 
Distribuição de Frequências. Outra forma de conceituar a distribuição de frequências é: a série estatística que 
organiza os resultados numéricos de uma variável quantitativa com suas respectivas frequências. Temos então 
que a distribuição de frequências é um tipo particular de série estatística, e é representada graficamente por um 
gráfico de colunas chamado Histograma. Quais as informações podem ser obtidas com a distribuição de 
frequências? 
 
Vejamos os exemplos: 
 
Efetuando-se 50 medições do ponto de fusão de uma substância, foram anotados os resultados, que seguem 
abaixo: 
 Distribuição de Frequências Histograma 
Ponto de fusão (°C) 
Nº de 
medições 
49,50 |---- 50,00 5 
50,00 |---- 50,50 7 
50,50 |---- 51,00 28 
51,00 |---- 51,50 8 
51,50 |----|52,00 2 
TOTAL 50 
 
 
 
Pela leitura da tabela, o pesquisador pode observar que faixas de temperaturas apresentam maior frequência, 
que faixas apresentam menores frequências. Pela análise do histograma, o pesquisador também pode analisar a 
forma da distribuição. 
Dependendo do tipo da variável contínua, a distribuição pode agrupar dados discretos ou contínuos, que também 
caracterizará o histograma, de forma que: para dados discretos, o histograma terá colunas separadas, já para 
dados contínuos o histograma terá colunas juntas. 
Adotaremos as seguintes nomenclaturas para os tipos de frequências: 
 
 FREQUÊNCIA ABSOLUTA SIMPES – fi: corresponde a frequência ou contagem efetiva de cada valor da 
variável no conjunto de dados; 
 
 FREQUÊNCIA RELATIVA SIMPLES – fi%: corresponde à frequência absoluta em termos percentuais ou 
relativos. Algumas bibliografias trazem as notações fr (decimal) e fr% (percentual); 
 
5 
7 
28 
8 
2 
49,50 |---- 50,00 50,00 |---- 50,50 50,50 |---- 51,00 51,00 |---- 51,50 51,50 |----|52,00
22 
 
𝑓𝑖% =
𝑓𝑖
𝑛
𝑥100 
 
 FREQUÊNCIA ACUMULADA CRESCENTE - faci: Para um valor considerado, corresponde ao acumulado das 
frequências de todos os valores anteriores ao valor considerado até ele, seria o “teto”. Algumas 
bibliografias trazem a notação Fi 
 
 FREQUÊNCIA ACUMULADA DESCRESCENTE - fadi: Para um valor considerado, corresponde ao acumulado 
das frequências de todos os valores posteriores ao valor considerado a partir dele, seria o “piso”. 
 
 
3.1 Distribuição de Frequências para Dados Discretos 
Sendo a variável em estudo quantitativa discreta, a distribuição de frequências pode ser construída 
apenas listando as categorias de valores em ordem, atribuir às respectivas frequências. Vejamos um exemplo: 
Os dados abaixo correspondem ao número de apartamentos vendidos pela construtora GM Branco nos 
últimos vinte meses. 
 
Dados brutos: 
 
0 0 1 4 5 3 2 4 1 4 
2 2 4 5 2 1 1 1 5 3 
 
Variável: Nº de apartamentosvendidos – quantitativa discreta 
 
Passos para elaboração da Distribuição: 
 
 Listam-se as categorias de valores diferentes que ocorreram no conjunto: 0, 1, 2, 3, 4, 5; 
 Indicam-se as respectivas frequências absolutas ou quantas vezes cada valor aparece no conjunto; 
 Indicam-se as demais frequências (relativas e acumuladas). 
 
Nº de apartamentos 
vendidos 
fi fi% faci fadi 
0 2 10% 2 20 
1 5 25% 7 18 
2 4 20% 11 13 
3 2 10% 13 9 
4 4 20% 17 7 
5 3 15% 20 3 
Total 20 100% - - 
 
O Gráfico correspondente apresenta colunas separadas: 
 
faci =7: é soma de 2 
+5 (fis de 0 e 1) 
fadi =18: é soma de 
5+4+2+4+3. (fis de 
1,2,3,4 e5) 
Importante: As frequências acumuladas faci e fadi apresentadas na forma absoluta mas também podem ser 
expressas em termos relativos, o cálculo é semelhante ao da frequência fi% 
fi =5: existem 5 
valores iguais a 1 
no conjunto 
fi% =25%: é 
(5/20)*100 
23 
 
 
 
3.2 Distribuição de Frequências para Dados Contínuos 
Uma variável continua, de forma geral, pode apresenta uma grande variedade de categoria de valores. Imagine 
listar todas as categorias de valores de uma amostra das alturas de 100 (cem) pessoas. Mesmo utilizando apenas 
uma casa decimal, existe uma tendência de haverem muitos valores distintos para serem listados 
individualmente. Normalmente, utilizam-se intervalos de dados e não os dados individuais, de forma que a 
minúcia de pequenas diferenças seja alocada dentro dos intervalos. Alguns tipos de intervalos podem 
empregados na construção deste tipo de série estatística. 
 
Vejamos: 
 : semi-abertos à direita 
 : semi-abertos à esquerda 
 : fechados 
 : abertos 
 
Além da definição do tipo de intervalo, existem outras definições a serem tomadas: 
 
 O nº de intervalos (K) e 
 O tamanho dos intervalos (h). 
 
O pesquisador tem autonomia para tomar estas decisões, utilizando-se do seu conhecimento empírico sobre a 
variável estudada. Porém, existem alguns critérios para a definição do número de classes, vejamos: 
Roteiro para elaboração da distribuição de frequências: 
 
i. Amplitude total (At): maior distância entre os valores do conjunto 
 
 At = Ximáx. – Xi mín. (diferença entre o maior e menor valor do conjunto) 
 
ii. Número de Classes (k): número de intervalos utilizados 
 
 Regra da raiz quadrada: 𝐾 = {
5, 𝑠𝑒 𝑛 ≤ 25
 √𝑛, 𝑠𝑒 𝑛 > 25
 
 
 Regra de Sturges: 𝐾 = 1 + 3,3. log 𝑛 
 
2 
5 
4 
2 
4 
3 
1 2 3 4 5 6
24 
 
Nos dois casos deve-se arredondar para o inteiro mais próximo. A regra da raiz quadrada é normalmente 
mais utilizada, mas independente da regra, o bom senso deve ser considerado, não é interessante utilizar muitas 
classes. 
 
iii. Amplitude de classe (h): o comprimento ou largura de cada intervalo 
 
ℎ =
𝐴𝑡
𝑘
 
 
Caso seja necessário arredondar, o arredondamento deve ser realizado sempre para “mais”. Cada classe 
apresentará dois limites: inferior – Linf (esquerda) e superior – Lsup (direita), sendo que Lsup = Linf +h 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Para estudo da melhoria do conforto de automóveis, uma montadora realizou uma pesquisa quantitativa com 40 
pessoas. Uma das variáveis estudada foi a altura (m) das pessoas. Os dados seguem abaixo: 
Dados brutos 
1,40 1,45 1,56 1,78 1,87 1,76 1,89 2,00 1,75 1,65 
1,50 1,40 1,58 1,70 1,45 1,67 1,56 1,78 1,47 1,85 
1,56 1,59 2,00 1,79 1,87 1,90 1,89 1,67 1,56 1,45 
1,78 1,68 1,67 1,58 1,56 1,89 1,90 1,67 1,75 1,56 
Passos: 
i. Amplitude total: At =2,00 – 1,40 = 0,60 m (“maior menos o menor”) 
ii. Número de classes: como n= 40 (n>25), temos: 𝑘 = √40 = 6,32 ≅ 6,0 (“inteiro mais próximo”) 
iii. Amplitude de Classe: h = 0,60 / 6 =0,10 m; 
 
Neste caso serão 6 classes de comprimento 0,10 m. Tomando como limite inferior da 1ª classe o menor 
conjunto, temos: 
 
 Linf =1,40 m 
 Lsup= Linf+h=1,40+0,10 = 1,50 m 
 
1ª Classe: 1,40 I--- 1,50, siga com o processo até completar o total de classes. Segue abaixo resultado: 
 
Altura (m) fi fi% faci fadi 
1,40 I---1,50 6 15% 6 40 
1,50 I---1,60 10 25% 16 34 
1,60 I---1,70 6 15% 22 24 
1,70 I---1,80 8 20% 30 18 
1,80 I---1,90 6 15% 36 10 
1,90 I---I2,00 4 10% 40 4 
Total 40 100% - - 
 
 
 
 
 Histograma: Assim como no caso discreto, também podemos traçar o histograma. 
 
25 
 
 
Polígono de Frequência. 
 
Para histogramas de dados contínuos, podemos traçar o Polígono de Frequências, que corresponde a uma 
poligonal que une os pontos médios de cada classe. Apesar de haver semelhança com o gráfico de linha, o 
polígono de frequências tem por objetivo apresentar a forma da distribuição dos dados. Observando-se o 
polígono de frequências para um grande conjunto de dados, o perfil do polígono de frequências tende à de curva 
Gauss. Esta será estudada mais adiante nos modelos probabilísticos contínuos. Além do polígono de frequências, 
existem outras poligonais, chamadas Ogivas de Galton. Estas correspondem ao polígono de frequências, porém 
utilizam as frequências acumuladas. 
 
 
Pode-se dizer que o Polígono de frequências é o “embrião” da curva de Gauss. A medida que o n tende ao infinito 
(𝑛 → ∞) o polígono de frequência suaviza como na figura abaixo: 
 
 
6 
10 
6 
8 
6 
4 
1,40 I---1,50 1,50 I---1,60 1,60 I---1,70 1,70 I---1,80 1,80 I---1,90 1,90 I---I2,00
6 
10 
6 
8 
6 
4 
1,40 I---1,50 1,50 I---1,60 1,60 I---1,70 1,70 I---1,80 1,80 I---1,90 1,90 I---
I2,00
26 
 
 
Capítulo 4 
 
 
 
Medidas de Posição 
 
 
4. Medidas de Posição 
 
Para a maioria das pessoas, estatística significa descrever números da forma mais entendível possível, 
como por exemplo, as taxas mensais de desemprego no Brasil após a alta do dólar no mercado atual, o índice de 
falências empresariais ocorridas no Brasil de 2010 para cá, a proporção de eleitores que votarão em um 
determinado candidato nas próximas eleições, o nível de satisfação de clientes de uma determinada loja de 
conveniência de um determinado Shopping Center, dentre outros. 
Todos esses exemplos representam descrições estatísticas de um conjunto de dados coletados sobre 
algum fenômeno e para isso não é preciso usar a inferência estatística ainda, pois o objetivo aqui é apenas 
descrever estatisticamente essas informações. 
A descrição estatística dos dados verifica a localização central e a variabilidade destes dados através de 
médias, medianas, modas, variâncias, desvios-padrão e coeficientes de variação. 
A descrição dos dados se dá em duas formas, tanto para dados agrupados em classes como para dados 
não agrupados. 
 
4.1 Pequenos Conjuntos de Dados 
As chamadas medidas de tendência central têm por objetivo verificar o centro da distribuição dos 
dados, ou seja, verificar através de medidas específicas o centro do conjunto de dados. As medidas de tendência 
central mais utilizada são a média aritmética, a moda e a mediana. As usadas com menos frequências são as 
médias geométricas, harmônicas, quadráticas, cúbicas e biquadráticas. 
As outras medidas de posição usadas com menos intensidade são as separatrizes, que englobam: a 
própria mediana através dos decis, dos quartis e dos percentis. 
 
 
 
 
 
 
 MÉDIA ARITMÉTICA: É o ponto de equilíbrio do conjunto de dados, de forma simples é definido como 
sendo o quociente da soma de todos os valores de um conjunto de dados pelo total de valores deste 
conjunto. 
 
Média amostral Média populacional 
 n
x
X
n
i
i
 1
 N
x
N
i
i
 1 , Onde 
xi: Valores da variável 
n: Número de valores da amostraN: Número de valores da população 
 
 MODA (Mo ou
xˆ
): Na linguagem coloquial, moda é algo que está em evidência, ou seja, algo que se vê 
bastante. Na Estatística, como o próprio nome sugere, a Moda é aquele elemento que mais vezes aparece no 
conjunto de dados. Não é muito sensato dizer que a moda é uma medida de tendência central, pois nem 
Importante: Adotaremos como definições de Pequenos Conjuntos de Dados e Grandes Conjuntos de Dados: 
 Pequenos conjuntos de dados: conjunto de dados cuja análise não requer uma organização prévia. 
 Grandes conjuntos de dados: conjunto de dados cuja análise requer uma organização prévia. 
Algumas literaturas consideram a partir de 30 unidades, 
27 
 
sempre ela representa o centro do conjunto de dados, visto que ela identifica o(s) valor(es) que ocorre(m) 
com maior frequência, podendo ser único, se existir, como pode também não existir. Nesse caso, é mais 
correto chamá-la de medida de posição. 
 
Quando dois valores ocorrem com a mesma frequência máxima, cada um deles é uma moda. Das diferentes 
medidas de tendência central, a moda é a única medida que pode ser usada com dados em nível nominal de 
mensuração. 
 
Exemplo: Um estudo sobre os tipos de falhas em estruturas metálicas indicou: 30 casos de corrosão, 50 casos 
de deformação e 20 assimetria. Embora não possamos tomar a média numérica dessas características, 
podemos afirmar que a moda é deformação, que é o tipo de falha com maior frequência. 
 
Quando no conjunto há apenas um valor que se repete além dos demais de forma máxima, chama-se este 
conjunto de unimodal, bem como se tiver dois valores que se repete além dos demais, de forma máxima e na 
mesma quantidade é bimodal, assim acima de 2 modas é multimodal. Se o conjunto de dados não tiver 
nenhum valor que se repete além dos demais de forma máxima, o conjunto de dados é amodal. 
 
 MEDIANA (Md ou 
x~
): A mediana é uma medida de tendência central que ocupa a posição central dos 
dados observados, quando estes estão ordenados em ordem crescente ou decrescente (rol), tendo uma 
mudança na sua realização se a quantidade de dados é par ou ímpar. 
 
Desta forma, definiremos a mediana para n par e n ímpar. 
 
I. n ímpar: neste caso a série apresenta um único elemento central, a mediana é este valor. 
 
𝑀𝑑 = 𝑋
(
𝑛+1
2
)
 
 
II. n par: neste caso a série apresenta dois elementos centrais, a mediana é dada pela média destes 
valores. 
𝑀𝑑 =
𝑋
(
𝑛
2
)
+ 𝑋
(
𝑛
2
+1)
2
 
Exemplo: Determinar a mediana das notas nos seguintes casos: 
 
a) Notas de alunos de uma determinada disciplina: 8, 7, 3, 4, 8 
 
 n = 5 (ímpar) 
 Rol: 3, 4, 7, 8, 8 
 X3 
Com n ímpar, a mediana é igual ao elemento central, Md = 7 
Com uso da fórmula: 
𝑀𝑑 = 𝑋
(
𝑛+1
2
)
= 𝑋
(
5+1
2
)
= 𝑋3 ⇒ 𝑀𝑑 = 7 
 
b) Notas de alunos de uma determinada disciplina: 8, 7, 3, 4, 8, 9 
 
 n = 6 (par) 
 Rol: 3, 4, 7, 8, 8, 9 
 X3 X4 
Com n par, a mediana é igual à média dos centrais, assim 𝑀𝑑 =
7+8
2
 ⇒ 𝑀𝑑 = 7,5 
28 
 
 Com uso da fórmula: 
𝑀𝑑 =
𝑋
(
𝑛
2
)
+ 𝑋
(
𝑛
2
+1)
2
=
𝑋
(
6
2
)
+ 𝑋
(
6
2
+1)
2
=
𝑋3 + 𝑋4
2
=
7 + 8
2
 ⇒ 𝑀𝑑 = 7,5 
Depois de verificado as três medidas de tendência central que são utilizadas com maior frequência, 
dentre as três, a média aritmética é a medida mais usada na tomada de decisão, pois a mesma é encontrada 
com uso de todos os valores do conjunto de dados, ao passo que a mediana e a moda não utiliza todos eles, e 
sim alguns ou nenhum dos valores (amodal), apresentado resultados “distorcidos” da realidade dos dados 
apresentados. 
Quando se descreve os dados, além das medidas de tendência central, é necessário analisar a 
variabilidade dos dados, pois através destas pode-se tirar algumas conclusões mais consistentes na tomada de 
decisão. Assim, o próximo item mostrar as medidas de variabilidades mais utilizadas no campo estatístico. 
 
 PROPRIEDADES DAS MEDIDAS DE POSIÇÃO: As medidas de posição apresentam propriedades 
importantes. Destacaremos aqui as principais propriedades da média, moda e mediana. 
 
Sejam xi cada valor do conjunto e c uma constante não nula, temos que: 
 
Propriedades da Média Aritmética 
 
I. A média de um grupo de dados sempre será única, independente da sua localização; 
 
II. A média é influenciada por valores extremos 
 
III. A soma algébrica dos desvios tomados em relação à média é sempre nula (ponto de equilíbrio): 
 
 ∑ (𝑥𝑖 − 𝑥) = ∑ 𝑥𝑖 − ∑ 𝑥
𝑛
𝑖=1 = ∑ 𝑥𝑖 − 𝑛𝑥 ⇒ 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑛𝑏𝑟𝑜𝑠 𝑛
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1 ⇒ 
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
−
𝑛𝑥
𝑛
= 0 
 
IV. A soma algébrica das distâncias quadráticas de cada valor em relação à média é mínima: 
 
 Seja W a soma dos desvios quadráticos em torno de a, W= ∑ (𝑥𝑖 − 𝑎)
2𝑛
𝑖=1 . O mínimo de W é dado 
pela derivada de W igual a zero. 
 
𝑑𝑤
𝑑𝑎
∑(𝑥𝑖 − 𝑎)
2
𝑛
𝑖=1
= 0 ⇒ ∑2(𝑥𝑖 − 𝑎) = 0
𝑛
𝑖=1
 ⇒ 2 ∑(𝑥𝑖 − 𝑎) = 0 ⇒ ∑(𝑥𝑖 − 𝑎) = 0
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
 
 
⇒ ∑𝑥𝑖 −∑𝑎
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
= 0 ⇒ ∑𝑥𝑖 − 𝑛𝑎 = 0 
𝑛
𝑖=1
⇒ 𝑎 =
∑ 𝑥𝑖 
𝑛
𝑖=1
𝑛
 ⇒ 𝑎 = 𝑥 
 
O mínimo de W ocorre para a igual a média. 
 
V. O resultado de multiplicar a média pela quantidade “n” de valores da variável x é igual a soma dos “n” 
valores da variável; 
 
 𝑥 =
∑ 𝑥𝑖 
𝑛
𝑖=1
𝑛
 ⇒ ∑ 𝑥𝑖 
𝑛
𝑖=1 = 𝑛. 𝑥 
 
VI. Somando-se ou subtraindo-se uma constante c (valor invariável) a todos os valores de uma variável, 
a média do conjunto ficará aumentada ou diminuída dessa constante, respectivamente, de forma 
análoga, se multiplicar ou dividir, a média ficará multiplicada ou dividida, respectivamente. 
29 
 
 
 𝑥𝑖 ± 𝑐 ⇒ 𝑋 =
∑ (𝑥𝑖±𝑐)
𝑛
𝑖=1
𝑛
⇒ 𝑋 ± 𝑐 
 𝑥𝑖. 𝑐 ⇒ 𝑋 =
∑ (𝑥𝑖.𝑐)
𝑛
𝑖=1
𝑛
⇒ 𝑋. 𝑐 
 
𝑥𝑖
𝑐
⇒ 𝑋 =
∑ (
𝑥𝑖
𝑐
)𝑛𝑖=1
𝑛
⇒ 
𝑋
𝑐
 
 
Propriedades da Moda 
 
I. A moda nem sempre é única e nem sempre existe (amodal, bimodal e multimodal); 
II. A moda é a única medida de posição que pode ser definida para dados qualitativos; 
III. A moda não é influenciada por valores extremos; 
IV. Pode estar afastada do centro dos dados; 
V. Não utiliza todos os dados da amostra; 
VI. Difícil de incluir em funções matemáticas. 
 
Propriedades da Mediana 
 
I. A mediana sempre existe e é única; 
II. A mediana não é influenciada por valores extremos; 
III. Não utiliza todos os dados da amostra; 
IV. Difícil de incluir em funções matemáticas. 
 
4.2 Grandes conjuntos de dados: Discretos 
Referem-se a conjuntos de dados em que sua análise requer o agrupamento em tabelas de frequências. Tem-
se como referencia 30 valores. Os conceitos e propriedades já apresentados anteriormente continuam válidos. 
 
 MÉDIA ARITMÉTICA: É o ponto de equilíbrio do conjunto de dados, simplificadamente é definida como 
sendo o quociente da soma de todos os valores de um conjunto de dados pelo total de valores deste 
conjunto. 
A diferença na fórmula corresponde à inclusão da frequência absoluta simples, assim: 
 
𝑋 =
∑ 𝑥𝑖. 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
 
xi: Valores da variável 
n: Número de valores da amostra 
fi: Frequência absoluta simples 
 
 MODA (Mo ou
xˆ
): Continua sendo o valor mais frequente do conjunto, este valor pode agora ser 
visualizado pela maior, ou maiores frequências na distribuição de frequências. 
 
 MEDIANA (Md ou 
x~
): continua sendo o valor que o divide o conjunto ordenado em duas partes de igual 
frequência. A organização em rol também pode ser vizualizado através da distribuição de fraequências. A 
identificação do valor centralainda depende da quantidade de valores do conjunto ser par ou impar. 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Os dados abaixo correspondem ao número de apartamentos vendidos pela construtora GM Branco nos 
últimos vinte meses. 
 
30 
 
Nº de apartamentos vendidos fi (meses) 
0 2 
1 5 
2 4 
3 2 
4 4 
5 3 
Total 20 
 
Calcular Média, Moda e Mediana. 
 
 Média: 𝑋 =
∑ 𝑥𝑖.𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
: Somatório de cada valor vezes sua respectiva frequência dividido pelo número de 
valores, assim: 
 
𝑋 =
∑ 𝑥𝑖. 𝑓𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
=
0.2 + 1.5 + 2.4 + 3.2 + 4.4 + 5.3
20
=
50
20
⟹ 𝑋 = 2,5 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 
 
Observação: embora a leitura de 2,5 apartamentos vendidos por mês não pareça coerente, o valor deve 
ser utilizado assim mesmo. Uma leitura alternativa seria: 25 apartamentos vendidos a cada 10 meses. 
 
 Moda: basta identificar na tabela o valor de maior frequência, este será a moda, vejamos: 
 
Maior frequência 5: Mo = 1 apartamento vendido 
 
 Mediana: 𝑀𝑑 =
𝑥
(
𝑛
2
)+
𝑥
(
𝑛
2
+1)
2
. Como n é par, devemos buscar os dois elementos centrais, que são os de 
posição 
𝑛
2
 e 
𝑛
2
+ 1, assim: 
𝑛
2
= 10º 𝑒 
𝑛
2
+ 1 = 11º 
 
Podemos notar pela distribuição de frequências que os valores procurados são 2 e 2. Verificando pelo rol: 
 
0 0 1 1 1 1 1 2 2 2 2 
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 X11 
 
Logo: 
𝑀𝑑 =
𝑥10+𝑥11
2
=
2 + 2
2
⇒ 𝑀𝑑 = 2 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑡𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑣𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜𝑠 
4.3 Grandes conjuntos de dados: Contínuos 
Análogo aos dados discretos, considerando a análise de variáveis contínuas. Os conceitos e propriedades já 
apresentados anteriormente continuam válidos, porém, as medidas são calculadas por princípios de 
interpolação. 
 
 MÉDIA ARITMÉTICA: É o ponto de equilíbrio do conjunto de dados, simplificadamente é definida como 
sendo o quociente da soma de todos os valores de um conjunto de dados pelo total de valores deste 
Maior fi =5: 
corresponde ao 
valor 1 
31 
 
conjunto. Porém, no caso dos intervalos de dados, parte-se da suposição que a distribuição dos dados é 
uniforme dentro dos intervalos, assim a fórmula sofre a seguinte alteração: 
 
𝑋 =
∑ 𝑥𝑖𝑚. 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑥𝑖𝑚 =
𝑙𝑖𝑛𝑓 + 𝑙𝑠𝑢𝑝
2
 
Xim :ponto médio da classe i 
n :número de valores da amostra 
fi :frequência absoluta simples 
 
 MODA (Mo ou
xˆ
): Continua sendo o valor mais frequente do conjunto, porém nesta fase o valor é 
calculado por interpolação, segue fórmula de Czuber: 
 
𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + (
∆1
∆1 + ∆2
) ∗ ℎ 
Primeiro passo: Identificar a classe MODAL, esta classe será a classe de maior frequência. 
Em seguida, identificar os seguintes elementos: 
 
 li: limite inferior da classe modal (o limite da esquerda) 
 ∆1: diferença entre a frequência absoluta da classe modal (a maior) e a da classe imediatamente 
anterior; 
 ∆2: diferença entre a frequência absoluta da classe modal (a maior) e a da classe imediatamente 
posterior; 
 h: amplitude de classe, em geral este valor é fixo, mas caso a distribuição apresente tamanhos variados, 
será a amplitude da classe modal. 
 
 
 
 
 MEDIANA (Md ou 
x~
): continua sendo o valor que o divide o conjunto ordenado em duas partes de igual 
frequências. Porém nesta fase o valor é calculado por interpolação, segue fórmula: 
 
𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 + (
𝑛
2
− 𝑓𝑎𝑐 ↑
𝑓𝑀𝑑
) ∗ ℎ 
Primeiro passo: Identificar a classe MEDIANA, esta classe será a classe que contém o elemento mediano, que 
dado por: 
I. n impar: a classe mediana será a classe que contém o elemento de ordem (
𝑛+1
2
)
𝑜
 
II. n par: a classe mediana será a classe que contém o elemento de ordem (
𝑛
2
)
𝑜
 
 
Em seguida, identificar os seguintes elementos: 
 
 li: Limite inferior da classe mediana (o limite da esquerda) 
 fac↑: Frequência acumulada crescente da classe anterior à classe mediana; 
 fmd: Frequência absoluta simples da classe mediana; 
 h: amplitude de classe, em geral este valor é fixo, mas caso a distribuição apresente tamanhos variados, 
será a amplitude da classe mediana. 
Importante: 
1. Sendo a classe modal a primeira, adota-se como classe anterior uma classe de frequência nula. Analogamente, 
se a classe modal for a última, adota-se como classe posterior uma classe de frequência nula; 
2. Caso existam duas ou mais classes modais, o processo deve ser repetido para estas classes. 
 
32 
 
Vejamos um exemplo: 
 
Uma amostra de 80 corpos de prova de concreto forneceu a seguinte distribuição de resistências de ruptura: 
 
Resistência (psi*) Nº de medições 
50 |---- 60 2 
60 |---- 70 15 
70 |---- 80 50 
80 |---- 90 10 
90 |----|100 3 
TOTAL 80 
 (*) Psi (pound force per square inch) ou libra força por polegada quadrada 
 Calcular média, moda e mediana para distribuição acima: 
 
 Média: é necessário calcular o ponto médio para cada classe e aplicar na fórmula abaixo, assim: 
 
Resistência (psi*) Nº de medições Xim 
50 |---- 60 2 55 
60 |---- 70 15 65 
70 |---- 80 50 75 
80 |---- 90 10 85 
90 |----|100 3 95 
TOTAL 80 - 
 
𝑋 =
∑ 𝑥𝑖𝑚. 𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
=
55.2 + 65.15 + 75.50 + 85.10 + 95.3
80
⇒ 𝑋 = 74,6 𝑝𝑠𝑖 
 Moda: o primeiro passo é identificar a classe moda, esta será a classe de maior frequência, a partir 
dela indicam-se as demais informações: 
 
Resistência (psi*) Nº de medições 
50 |---- 60 2 
60 |---- 70 15 
70 |---- 80 50 
80 |---- 90 10 
90 |----|100 3 
TOTAL 80 
 
Da classe modal identificamos: 
 
 li: 70 (limite da esquerda) 
 ∆1: 50 – 15 = 35 
 ∆2: 50 – 10 = 40 
 h: 80 – 70 = 10 (diferença entre os limites do intervalo) 
 
Aplicando na fórmula, temos: 
Classe Modal: 
maior frequência 
(Linf +Lsup)/2 
33 
 
 𝑀𝑜 = 𝑙𝑖 + (
∆1
∆1 + ∆2
) ∗ ℎ = 70 + (
35
35 + 40
) ∗ 10 ⇒ 𝑀𝑜 = 74,7 𝑝𝑠𝑖 
 
 Mediana: o primeiro passo é identificar a classe mediana esta será a classe que contém o elemento 
mediano, a partir dela indicam-se as demais informações: 
 Vejamos: 
Resistência (psi*) Nº de medições faci 
50 |---- 60 2 2 
60 |---- 70 15 17 
70 |---- 80 50 67 
80 |---- 90 10 77 
90 |----|100 3 80 
TOTAL 80 - 
 
Como o experimento examinou 80 corpos de prova, ou seja, n=80 (par), 
O elemento mediano será dado: 






2
n = 






2
80 = 40º (classe que contém o 40º valor). 
A referida classe é 70 |---- 80. 
 
Observe que até a primeira classe acumula 2, até a segunda acumula 17 e até a terceira acumula 67, ou seja, a 
classe 70 |---- 80 contém do 17º ao 67º valor, consequentemente o 40º. 
Da classe mediana, identificamos: 
 
 li =70 (limite da esquerda) 
 fac↑ =17 (frequência acumulada crescente da classe anterior à classe mediana); 
 fmd = 50 (frequência absoluta simples da classe mediana); 
 h = 80 -70 = 10 
 
 Aplicando na fórmula, temos: 
 
𝑀𝑑 = 𝑙𝑖 + (
𝑛
2
− 𝑓𝑎𝑐 ↑
𝑓𝑀𝑑
) ∗ ℎ = 70 + (
80
2
− 17
50
) ∗ 10 ⇒ 𝑀𝑑 = 74,6 𝑝𝑠𝑖 
 
4.4 Medidas Separatrizes 
As medidas de Posição e dispersão proporcionam uma análise quanto ao comportamento da tendência e 
variabilidade de conjunto de dados. Além destas existe outra categoria de medidas, são as medidas separatrizes. 
Estas medidas proporcionam outra forma de análise da dispersão e assimetria da distribuição. O critério utilizado 
por estas medidas é o de separar (por isso separatrizes) o conjunto de dados em intervalos com frequências 
iguais. A conceituação da medida é definida de acordo com a frequência considerada para os intervalos. Uma 
destas medidas já está entre as medidasde posição, trata-se da mediana. Veja conceito: 
 
Mediana: Valor que divide o conjunto ordenado em duas partes de igual frequência. Ou seja, o conjunto está 
divido em dois intervalos de frequência 50%. 
 
 
Classe Mediana: 
contém o 40º valor 
fac↑ = 17 (anterior) e 
fmd =50 (mediana) 
34 
 
As medidas separatrizes proporcionam uma alternativa quando a média não for a medida adequada, calma! A 
moda é uma alternativa, porém não analítica, por exemplo: a moda de notas de uma classe é 5,0. Quantos alunos 
tiraram 5,0? Outro cenário para aplicação: quando um grupo de valores com baixa frequência apresentarem alta 
magnitude. 
 
Exemplo: A maioria dos açudes de uma região é pequena, existindo alguns poucos de médio porte e apenas um de 
grande porte. 
 
 
No caso da mediana, já foi visto anteriormente que: 
Não agrupados ou Isolados: 
 
 n par: Md =
X
(
n
2
)+
X
(
n
2
+1)
2
 
 
 n ímpar: Md = X
(
n+1
2
)
 
 
Agrupados em intervalos: 
 Md = li + (
n
2
−fac↑
fMd
) ∗ h 
Graficamente, temos: 
 
Exemplo: Determine a mediana para o conjunto de dados: 1, 3, 3, 2, 4, 2, 3. 
Ordenando o conjunto, temos: 
 
Rol: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4. 
 X4 
 
Como n = 7 (ímpar),Md = X
(
n+1
2
)
= X
(
7+1
2
)
= X4(4º valor) ⇒ Md = 3 u. v. 
 
As medidas separatrizes são: Quartil, Decil e Percentil. Seus valores são obtidos de forma análoga ao da 
mediana. Assim como na mediana, será mantida a divisão dos casos em: 
 
I. Não agrupados em intervalos ou classes; 
II. Agrupados em intervalos ou classes. 
 
Vejamos: 
 
 Quartil (Qj): O conjunto ordenado é divido em quatro partes. Os quartis são: 
 
 Q1: valor que determina o limite superior para os 25% primeiros valores; 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 35 
 
 Q2: valor que determina o limite superior para os 50% primeiros valores. Este valor corresponde à 
mediana; 
 Q3: valor que determina o limite superior para os 75% primeiros valores; 
 
Graficamente: 
 
 
I. Não agrupados em intervalos ou classes; 
 
A partir dos dados ordenados o quartil de posição j será dado genericamente por: 
 
Q𝑗 = Xj∗(n+1)
4
 
 
Observação: algumas literaturas usam como posição apenas 
𝑗∗𝑛
4
 
 
O quartil procurado é valor do conjunto de posição 
𝐣∗(𝐧+𝟏)
𝟒
. Este pode ser inteiro ou não, caso não 
seja inteiro, o valor do quartil será obtido a partir da interpolação: 
 
Q𝑗 = X𝑖 + α(X𝑖+1 − X𝑖) 
Onde: 
 X𝑖 e X𝑖+1 são os valores que delimitam o quartil procurado (posição antes e depois) 
 α: parte fracionária entre as posições que delimitam o quartil; 
 
Exemplo: 
𝑗∗(𝑛+1)
4
= 2,75 ⇒ ∝= 0,75 
 
Observação: o recurso da interpolação linear será abordado no próximo tópico. 
 
Uma opção mais simples é tomar a média aritmética entre os valores que estão nas posições que 
delimitam a posição (posições inteiras antes e depois). 
 
Q𝑗 = 
X𝑖 + X𝑖+1
2
 
 
Exemplo: considere um conjunto de dez valores, o primeiro quartil (n=10 e j=1) é obtido da seguinte 
forma: 
Dados: 5 8 7 7 9 8 10 7 8 6 
 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 
Rol: 5 6 7 7 7 8 8 8 9 10 
 
𝑄1 = 𝑋1.(10+1)
4
= 𝑋2,75 
 
 2,75º é uma posição entre o 2º e o 3º valor, logo Q1 será dado por: 
 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 36 
 
Q𝑗 = X𝑖 + α(X𝑖+1 − X𝑖) 
Q1 = X2 + 0,75 ∗ (X3 − X2) = 6 + 0,75 ∗ (7 − 6) ⇒ Q1 = 6,75 𝑢𝑣 
 
Este critério será utilizado para o cálculo das demais medidas separatrizes do caso não agrupado em 
intervalos. 
 
II. Agrupados em intervalos ou classes. 
 
Assim como na mediana, para dados agrupados em intervalos, o quartil é calculado a partir de uma 
interpolação dada por: 
𝑄𝑗 = 𝑙𝑖 + (
𝑗∗𝑛
4
− 𝑓𝑎𝑐 ↑
𝑓𝑄𝑗
) ∗ ℎ 
Onde: 
 𝑙𝑖: Limite inferior da classe que contém o quartil 𝑄𝑗; 
 𝑓𝑎𝑐 ↑: Frequência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o quartil 𝑄𝑗; 
 𝑓𝑄𝑗: Frequência absoluta simples da classe que contém o quartil 𝑄𝑗; 
 ℎ: Amplitude da classe que contém o quartil 𝑄𝑗; 
 
Exemplo: Determinar Q1 e Q3 para os seguintes dados: 
 
Altura (m) fi fi% faci fadi 
1,40 I---1,50 6 15% 6 40 
1,50 I---1,60 10 25% 16 34 
1,60 I---1,70 6 15% 22 24 
1,70 I---1,80 8 20% 30 18 
1,80 I---1,90 6 15% 36 10 
1,90 I---I2,00 4 10% 40 4 
Total 40 100% - - 
 
Primeiro quartil: Q1 
 
 Identificação da classe que contém Q1 (j=1): 
j∗n
4
= 
1∗40
4
= 10 (10º valor) ⇒ 2ª classe; 
 𝑙𝑖 = 1,50 𝑚; 
 𝑓𝑎𝑐 ↑= 6; 
 𝑓𝑄𝑗 = 10; 
 ℎ = 0,10 𝑚; 
𝑄1 = 1,50 + (
10 − 6
10
) ∗ 0,10 ⇒ 𝑄1 = 1,54 𝑚 
Primeiro quartil: Q3 
 
 Identificação da classe que contém Q3 (j=3): 
j∗n
4
= 
3∗40
4
= 30 (30º valor) ⇒ 4ª classe; 
 𝑙𝑖 = 1,70 𝑚; 
 𝑓𝑎𝑐 ↑= 22; 
 𝑓𝑄𝑗 = 8; 
 ℎ = 0,10 𝑚; 
2ª Classe 
4ª Classe 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 37 
 
𝑄1 = 1,70 + (
30 − 22
8
) ∗ 0,10 ⇒ 𝑄3 = 1,80 𝑚 
 
 Decil (Dj): O conjunto ordenado é divido em dez partes. Os decis são: 
 
 D1: valor que determina o limite superior para os 10% primeiros valores; 
 D2: valor que determina o limite superior para os 20% primeiros valores; 
 Segue-se de forma sucessiva até D9. O valor D5 corresponde à mediana. 
 
Graficamente: 
 
 
 
I. Não agrupados em intervalos ou classes; 
 
Analogamente, a partir dos dados ordenados o decil de posição j será dado genericamente 
por: 
D𝑗 = Xj∗(n+1)
10
 
 
O decil procurado é valor do conjunto de posição 
𝐣∗(𝐧+𝟏)
𝟏𝟎
. Este pode ser inteiro ou não, caso não seja 
inteiro, o valor do decil será obtido a partir da interpolação: 
 
D𝑗 = X𝑖 + α(X𝑖+1 − X𝑖). 
Onde: 
 X𝑖 e X𝑖+1 são os valores que delimitam o quartil procurado (posição antes e depois) 
 α: parte fracionária entre as posições que delimitam o quartil; 
 
Exemplo: 
𝑗∗(𝑛+1)
10
= 3,3 ⇒ ∝= 0,3 
 
 
II. Agrupados em intervalos ou classes. 
 
Analogamente, para dados agrupados em intervalos, o decil é calculado a partir de uma interpolação 
dada por: 
𝐷𝑗 = 𝑙𝑖 + (
𝑗∗𝑛
10
− 𝑓𝑎𝑐 ↑
𝑓𝐷𝑗
) ∗ ℎ 
Onde: 
 𝑙𝑖: Limite inferior da classe que contém o decil 𝐷𝑗; 
 𝑓𝑎𝑐 ↑: Frequência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o decil 𝐷𝑗; 
 𝑓𝐷𝑗: Frequência absoluta simples da classe que contém o decil 𝐷𝑗; 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 38 
 
 ℎ: Amplitude da classe que contém o decil 𝐷𝑗; 
 
 Percentil ou Centil (Pj): O conjunto ordenado é divido em cem partes. Os percentis são: 
 
 P1: valor que determina o limite superior para os 10% primeiros valores; 
 P2: valor que determina o limite superior para os 20% primeiros valores; 
 Segue-se de forma sucessiva até P99. O valor P50 corresponde à mediana. 
 
Graficamente: 
 
 
 
I. Não agrupados em intervalos ou classes; 
 
Analogamente, a partir dos dados ordenados o percentil de posição j será dado genericamente 
por: 
P𝑗 = Xj∗(n+1)
100
 
 
O percentil procurado é valor do conjunto de posição 
𝐣∗(𝐧+𝟏)
𝟏𝟎𝟎
. Este pode ser inteiro ou não, caso não 
seja inteiro, o valor do percentil será obtido a partir da interpolação: 
 
P𝑗 = X𝑖 + α(X𝑖+1 − X𝑖). 
 
Onde: 
 X𝑖 e X𝑖+1 são os valores que delimitam o quartil procurado (posição antes e depois) 
 α: parte fracionária entre as posições que delimitam o quartil; 
 
Exemplo: 
𝑗∗(𝑛+1)
100
= 2,75 ⇒ ∝= 0,75 
 
II. Agrupados em intervalos ou classes. 
 
Analogamente, para dados agrupados em intervalos, o percentil é calculado a partir de uma 
interpolação dada por: 
𝑃𝑗 = 𝑙𝑖 + (
𝑗∗𝑛
100
− 𝑓𝑎𝑐 ↑
𝑓𝑃𝑗
) ∗ ℎOnde: 
 𝑙𝑖: Limite inferior da classe que contém o percentil 𝑃𝑗; 
 𝑓𝑎𝑐 ↑: Frequência acumulada crescente da classe anterior à classe que contém o percentil 𝑃𝑗; 
 𝑓𝑃𝑗: Frequência absoluta simples da classe que contém o percentil 𝑃𝑗; 
 ℎ: Amplitude da classe que contém o percentil 𝑃𝑗; 
 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 39 
 
 
A partir da análise das medidas separatrizes pode-se definir uma categoria de gráficos amplamente 
utilizados em métodos quantitativos, os Box Plots. Este gráfico apresenta grande aplicação na análise de 
processos de gestão. 
 
4.4.1 O Box Plot 
 
O Box Plot ou diagrama de caixa é um recurso gráfico utilizado para analisar a variação de dados quantitativos. 
Este gráfico proporciona uma análise similar ao histograma, porém com a informação dos quartis e da 
identificação de valores discrepantes ou ouliers. 
Estrutura do Box Plot: 
 
Identificação dos elementos: 
 
 𝑄1; 𝑄2(𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛𝑎) 𝑒 𝑄3 
 Limite inferior: 𝑚𝑎𝑥{mín(𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠) ; 𝑄1 − 1,5(𝑄3 −𝑄1)} 
 Limite superior: 𝑚𝑖𝑛{máx(𝑑𝑎𝑑𝑜𝑠) ; 𝑄3 + 1,5(𝑄3 − 𝑄1)} 
 Outliers: são todos os pontos abaixo ou acima dos limites inferior ou superior respectivamente. 
Trata-se de valores atípicos cuja ocorrência é considerada anômala ao comportamento dos dados. 
A identificação é de suma importância uma vez que pode distorcer as análises ou pode chamar a 
atenção para uma característica dos dados ainda não estudada. Exemplo: Suponha que uma pessoa 
tenha conseguido viver até 150 anos, certamente trata-se de um outlier, porém abre o seguinte 
precedente: como ela conseguiu? No entanto, a maioria dos casos apenas indicam anomalias 
(“raridades”) ou erros de medição. 
 Whisker ou fio de bigode: segmentos que ligam a caixa aos limites. Indicam a variabilidade dos 
dados. 
 
Uma aplicação interessante é a comparação entre vários grupos através do Box Plot. 
 
Exemplo: 
 
Os dados abaixo são as medidas da altura de 20 hastes de um processo de usinagem. Determine o Box Plot. 
Para facilitar a construção os dados já estão ordenados. 
 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 40 
 
860,41 903,88 915,38 934,52 936,78 941,83 950,38 993,45 1.011,26 1.014,53 
1.020,70 1.036,92 1.039,19 1.066,12 1.086,98 1.097,79 1.098,04 1.120,19 1.144,94 1.214,08 
 
Determinação dos Quartis: 𝑄𝑗 = 𝑋𝑗∗(𝑛+1)
4
 com interpolação linear. 
 𝑄1 = 𝑋1∗(20+1)
4
= 𝑋5,25 = 𝑋5 + 0,25 ∗ (𝑋6 − 𝑋5) = 936 + 0,25 ∗ (941,83 − 936,76) ⇒ 𝑄1 =
938,04 𝑚𝑚 
 𝑄2 = 𝑋2∗(20+1)
4
= 𝑋10,5 = 𝑋10 + 0,5 ∗ (𝑋11 − 𝑋10) = 1.014,53 + 0,5 ∗ (1.014,53 − 1.020,70) ⇒
 𝑄2 = 1.017,62 𝑚𝑚 
 𝑄3 = 𝑋3∗(20+1)
4
= 𝑋15,75 = 𝑋15 + 0,75 ∗ (𝑋15 − 𝑋16) = 1.086,98 + 0,75 ∗ (1.086,98 −
1.097,79) ⇒ 𝑄3 = 1.095,09 𝑚𝑚 
 
Determinação dos limites: 
 Limite inferior: 
 
 𝑄1 − 1,5(𝑄3 − 𝑄1) = 938,04 − 1,5 ∗ (1.095,09 − 938,04) = 702,47 𝑚𝑚 
 Menor valor do conjunto: 860,41 mm 
 
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑚á𝑥{860,41; 702,47} = 860,41 𝑚𝑚 
 
 Limite Superior: 
 
 𝑄3 + 1,5(𝑄3 −𝑄1) = 1.095,09 − 1,5 ∗ (1.095,09 − 938,04) = 1.330,67 𝑚𝑚 
 Maior valor do conjunto: 1.214,08 mm 
 
𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 𝑚í𝑛{1.214,08; 1.330,67} = 1.214,08 𝑚𝑚 
 
Construção do Box Plot: 
 
Uma sugestão de interpretação: 
 
O conjunto é aproximadamente simétrico, 50% dos valores se distribuem de forma homogênea na caixa, 
ou seja, a mediana encontra-se aproximadamente no centro da caixa. O Whisker superior é levemente 
mais alongado que o inferior o que indica uma “leve” assimetria superior. O conjunto não apresenta 
outliers. 
 
Observação: o ponto marcado no centro do retângulo (caixa) é a média. 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 41 
 
 
4.5 Interpolação Linear 
 
O cálculo das medidas de posição e medidas separatrizes para distribuições de frequências em intervalos de 
classes utiliza o critério da interpolação linear. Com efeito, podemos concluir que estas medidas apresentam 
valores aproximados. No caso das medidas separatrizes, busca-se um valor tal que se conheça a frequência 
acumulada até ele, por exemplo: Qual valor da distribuição é o teto para 75% dos valores? Este valor é o 3º quartil 
(Q3). Apresentaremos aqui a interpolação como recurso que possibilita este cálculo e para a obtenção da 
frequência acumulada até um valor especificado, algumas literaturas se referem a este caso com interpolação da 
ogiva de Galton. Este problema é muito comum em concursos, em especial os federais. Em engenharia, na 
interpolação de indicadores de desempenho quando há atribuição de escores. 
 
A estruturação geral consiste em inserir um valor entre dois outros. Neste caso é ignorada a linearidade ou não da 
função entre os pontos considerados. 
 
O objetivo é Interpolar um ponto (𝑥, 𝑦) entre dois pontos dados (𝑥1, 𝑦1) e (𝑥2, 𝑦2) conhecendo-se uma das 
coordenadas do ponto (𝑥 𝑜𝑢 𝑦). Assim: 
𝑦 − 𝑦1
𝑥 − 𝑥1
=
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
Dependendo de qual coordenado do ponto a inserir seja conhecida, a expressão pode assumir as seguintes 
formas: 
 X conhecido: 𝑦 = 𝑦1 +
(𝑦2−𝑦1)(𝑥−𝑥1)
𝑥2−𝑥1
 
 Y conhecido: 𝑥 = 𝑥1 +
(𝑥2−𝑥1)(𝑦−𝑦1)
𝑦2−𝑦1
 
Este recurso é utilizado em algumas fórmulas já estudadas. Vamos considerar mais uma vez os seguintes dados: 
Altura (m) fi fi% faci fadi 
1,40 I---1,50 6 15% 6 40 
1,50 I---1,60 10 25% 16 34 
1,60 I---1,70 6 15% 22 24 
1,70 I---1,80 8 20% 30 18 
1,80 I---1,90 6 15% 36 10 
1,90 I---I2,00 4 10% 40 4 
Total 40 100% - - 
 
a) Determinar o valor que acumula 75% dos valores 
b) Determinar a frequência relativa acumulada crescente até o valor 1,75 m. 
 
Resolução: 
a) O valor procurado acumula até ele 25%, ou seja, 25% de 40. A frequência procurada é 10. Este valor 
corresponde ao quartil Q1. Pela fórmula, este valor é Q1= 1,54 m. Agora utilizaremos a interpolação 
linear para obter o mesmo valor. Vejamos o histograma da distribuição: 
 
(𝑥2, 𝑦2) 
(𝑥1, 𝑦1) 
(𝑥, 𝑦) 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 42 
 
A frequência 10 abrange 6 da 1ª classe e 4 da 2ª classe. 
 
 
 
De acordo com o histograma, temos que: 
 
10
4
=
1,60 − 1,50
𝑥 − 1,50
⇒ (𝑥 − 1,50) ∗ 10 = 4 ∗ (1,60 − 1,50) ⇒ 𝑥 = 1,54 𝑚 
 
b) A frequência relativa acumulada crescente até 1,75 m é dada pela soma das frequências das classes 
anteriores e mais a frequência de 1,70 a 1,75, ou seja: 
 
𝑓𝑖% =
(6 + 10 + 6 + 𝑓)
40
∗ 100, 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑓 é 𝑓𝑟𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 1,70 𝑒 1,75 𝑚 
Analogamente: 
 
8
𝑓
=
1,80 − 1,70
1,75 − 1,70
⇒ 𝑓 ∗ (1,80 − 1,70) = 8 ∗ (1,75 − 1,70) ⇒ 𝑓 = 4, 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
6 
10 
6 
8 
6 
4 
1,40 I---1,50 1,50 I---1,60 1,60 I---1,70 1,70 I---1,80 1,80 I---1,90 1,90 I---I2,00
} Frequências 
} Alturas 
} Frequências 
} Alturas 
 
Professor Cledinaldo Castro Araújo 
 43 
 
𝑓𝑖% =
(6 + 10 + 6 + 4)
40
∗ 100 ⇒ 𝑓𝑖% = 65% 
 
4.6 Outras Medidas de Posição 
De acordo com as situações analisadas anteriormente, a média aritmética é amplamente utilizadas. 
Porém, ela não é adequada para todos os tipos de dados, não pode ser empregada, por exemplo, para média de 
crescimento ou proporções de velocidades, ou ainda quando os dados são medidas que apresentam crescimento 
onde uma medida subsequente depende uma medida prévia, por exemplo, crescimento de populações. As 
situações descritas acima são aplicações de outras medidas de posição, respectivamente a média harmônica e a 
média geométrica. Além destas, também abordaremos neste capítulo a média ponderada. 
 
 Média Harmônica: A média aritmética é adequada para caso em que as grandezas relacionadas são 
diretamente proporcionais, por exemplo: peças vendidas por semana, acidentes por dia, etc. A média