Exerccios_conjuntos_finitos_e_infinitos

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Exerc´ıcios de Ana´lise Real I
Conjuntos finitos e conjuntos infinitos
30 de julho de 2019
1. Use induc¸a˜o matema´tica para provar as propriedades distributiva da multiplicac¸a˜o em
relac¸a˜o a` adic¸a˜o, comutativa para adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o e a lei do corte.
2. Usando induc¸a˜o prove que
(a) 1 + 2 + · · ·+ n = n(n + 1)/2
(b) 1 + 3 + 5 + · · ·+ 2n− 1 = n2
3. Seja X um conjunto finito. Mostre que uma aplicac¸a˜o f : X → X e´ injetiva se, e somente
se, for sobrejetiva.
4. Prove que dada uma func¸a˜o f : X → Y, se Y e´ finito e f e´ injetiva enta˜o X e´ finito;
mostre tambe´m que se X e´ finito e f e´ sobrejetiva enta˜o Y e´ finito.
5. Prove que se A tem n elementos enta˜o o conjunto das partes de A, P(A) tem 2n elementos.
6. Prove que um conjunto X e´ infinito se, e somente se, existe uma bijec¸a˜o ϕ : X → Y sobre
um conjunto pro´prio Y ⊂ X.
7. Dados m,n ∈ N com m < n, prove que ou n e´ mu´ltiplo de m ou existem q, r ∈ N tais
que n = mq + r e r < m. Prove que q e r sa˜o os u´nicos com essa propriedade.
8. Prove que todo conjunto finito na˜o vazio X de nu´meros naturais conte´m um elemento
ma´ximo (isto e´, existe xo ∈ X tal que x ≤ xo,∀x ∈ X).
9. Dada f : X → Y, prove:
(a) Se X e´ infinito e f e´ injetiva enta˜o Y e´ infinito.
(b) Se Y e´ infinito e f e´ sobrejetiva, enta˜o X e´ infinito.
10. Seja A um conjunto finito e B um conjunto enumera´vel. Mostre que o conjunto A ∪B e´
enumera´vel.
11. Sejam A,B conjuntos infinitos enumera´veis. (a) Mostre que A ∪ B e´ enumera´vel. (b)
Mostre que a reunia˜o finita de conjuntos enumera´veis e´ tambe´m enumera´vel.
12. Mostre que o conjunto dos nu´meros inteiros Z e o conjunto dos nu´meros racionais Q sa˜o
enumera´veis.
13. Mostre que o conjunto dos nu´meros reais R e´ na˜o enumera´vel.
14. Prove que se um conjunto infinito na˜o enumera´vel A e´ a reunia˜o de dois outros B e C,
enta˜o pelo menos um deles na˜o e´ enumera´vel.
15. Prove que o conjunto dos nu´meros irracionais e´ na˜o enumera´vel.
16. Mostre que todo conjunto infinito possui um subconjunto infinito enumera´vel.
17. Defina f : N× N→ N, pondo f(1, n) = 2n− 1 e f(m + 1, n) = 2m · (2n− 1). Prove que
f e´ uma bijec¸a˜o.
18. Prove que o conjunto das sequeˆncias crescentes (n1 < n2 < n3 < · · · ) de nu´meros naturais
na˜o e´ enumera´vel.
19. Sejam Y enumera´vel e f : X → Y tal que, para cada y ∈ Y, f−1(y) e´ enumera´vel. Prove
que X e´ enumera´vel.