TESTE_AULA5_GEOMETRIA_ANALÍTICA_E_ÁLGEBRA_LINEAR

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GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR 
5a aula 
 
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 1a Questão 
 
Dada a hipérbole de equação x2−4y2+16=0, os vértices serão os pontos: 
 
 A(0,-2) e A'(0,2) 
 
A(0,-2) e A'(0,0) 
 A(0,0) e A'(0,2) 
 
A(0,-4) e A'(0,4) 
 
A(-2,0) e A'(2,0) 
Respondido em 30/10/2019 11:55:18 
 
 
Explicação: 
x2−4y2+16=0 ⇒ x2/16 - y2/4+ 1 = 0 ⇒ −x2/16 + y2/4 = 1 
A equação reduzida representa uma hipérbole de centro C(0,0) e eixo real sobre o eixo dos y. Logo: 
a2=4 ⇒ a=±2 
b2=16 ⇒ b=±4 
Os vértices serão os pontos: A(0,-2) e A'(0,2). 
 
 
 
 
 2a Questão 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em M(−1,−4) e raio √2. 
 
 
(x+4)2+(y+1)2=2 
 (x+1)2+(y+4)2=4 
 
(x+4)2+(y+1)2=1 
 (x+1)2+(y+4)2=2 
 
(x+1)2+(y+4)2=1 
Respondido em 30/10/2019 11:55:29 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x+1)2+(y+4)2=(√2)2 
(x+1)2+(y+4)2=2 
 
 
 
 
 3a Questão 
 
 
O número de pontos de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2 ¿ 1 é: 
 
 2 
 
12 
 
5 
 
6 
 
1 
Respondido em 30/10/2019 11:55:46 
 
 
Explicação: 
Para encontrar os pontos de intersecção entre duas figuras, é necessário igualar suas equações. Como as equações 
das duas parábolas já estão em função de x, podemos fazer: 
 
Substituindo esses valores nas funções, teremos: 
 
Assim, os pontos tanto na primeira função quanto na segunda são: 
 
Logo, são apenas dois pontos. 
Letra C. 
 
 
 
 
 4a Questão 
 
 
A idade de Paulo, em anos, é um número inteiro par que satisfaz à desigualdade x2−32x+252 < 0. O número que 
representa a idade de São Paulo pertence ao conjunto: 
 
 
{12,13,14} 
 
{21,22,23} 
 {15,16,17} 
 
{18,19,20} 
 
Nenhuma das alternativas 
Respondido em 30/10/2019 11:55:57 
 
 
Explicação: 
x2−32x+252=(x−18)∗(x−14) 
Assim, os zero da função são 18 e 14. Como a parábola tem concavidade voltada para cima, o intervalo que obedece a 
inequação será: 
14 < x < 18 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Uma elipse intercepta os eixos x e y, respectivamente, em: (±4,0) e (0,±2). O centro encontra-se na origem. A 
equação reduzida será: 
 
 x2/4+y2/4=1 
 
x2/16-y2/4=1 
 
x2/16+y2/16=1 
 x2/16+y2/4=1 
 
x2/4+y2/16=1 
Respondido em 30/10/2019 11:56:08 
 
 
Explicação: 
O eixo maior encontra-se no eixo dos x. Logo: 
x2/16+y2/4=1 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em C(2,5) e raio 3. 
 
 (x−2)2+(y−5)2=6 
 (x−2)2+(y−5)2=9 
 
(x−2)2+(y−5)2=4 
 
(x−5)2+(y−2)2=9 
 
(x−5)2+(y−2)2=6 
Respondido em 30/10/2019 11:56:17 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−2)2+(y−5)2=32 
(x−2)2+(y−5)2=9 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
Um goleiro chuta a bola cuja trajetória descreve a parábola y=−4x2+24x, onde x e y são medidas em metros. Nestas 
condições, a altura máxima, em metros, atingida pela bola é: 
 
 36 
 
34 
 
30 
 
24 
 28 
Respondido em 30/10/2019 11:56:24 
 
 
Explicação: 
O vértice de uma parábola y=ax2+bx+c, onde a é diferente de zero, é dado por: 
V = (−b2a,−Δ4a) 
Logo, a ordenada y será: y = −5764∗(−4)=36 
Δ=b2−4ac 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em D(0,0) e raio 5. 
 
 
x2−y2=25 
 
x2=25 
 y2=26 
 
x2+y2=26 
 x2+y2=25 
Respondido em 30/10/2019 11:56:31 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−0)2+(y−0)2=52 
x2+y2=25 
 
 4a Questão 
 
Determine a equação reduzida da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que passa pelo ponto P(2,3). 
 
 
(x−2)2+(y+2)2=23 
 
(x+2)2+(y−1)2=22 
 (x−1)2+(y+2)2=26 
 
(x−2)2+(y+1)2=24 
 (x−1)2+(y+2)2=25 
Respondido em 30/10/2019 12:31:20 
 
 
Explicação: 
Primeiro ache o raio pela fórmula: 
r = d(P,A) = √((x−a)2+(y+b)2) / r2 = (x-a)2 + (y-b)2 
r = √((x−1)2+(y+2)2 
r = √((2−1)2+(3+2)2) = √(12+52) 
r = √(1+25) 
r = √26 
Agora siga pela fórmula da equação: 
(x-a)2 + (y-b)2 = r2 
(x−1)2+(y+2)2=(√26)2 
(x−1)2+(y+2)2=26 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
A hipérbole x2−y2=1 apresenta os focos F1 e F2, respectivamente, iguais a: 
 
 
F1(−√2,√2) e F2(1,1) 
 F1(0,0) e F2(√2,0) 
 
F1(-1,0) e F2(1,0) 
 F1(−√2,0) e F2(√2,0) 
 
F1(−√2,0) e F2(0,0) 
Respondido em 30/10/2019 12:31:29 
 
 
Explicação: 
Pela equação da hipérbole, o centro é C(0,0) e o eixo real está sobre o eixo dos x: 
a2=1 e b2=1 
c 2=a2+b2 ⇒ c = ±√2 
Logo, os focos serão: F1(−√2,0) e F2(√2,0) 
 
 
 
 
 6a Questão 
 
 
Determine a equação reduzida de uma circunferência com centro O(-3,1) e de raio 3. 
 
 
(x+1)2+(y−3)2=8 
 (x+3)2+(y−1)2=9 
 
(x+2)2+(y−3)2=8 
 (x+2)2+(y−2)2=8 
 
(x+1)2+(y−2)2=8 
Respondido em 30/10/2019 12:30:36 
 
 
Explicação: 
(x+a)2 + (y-b)2 = r2 
(x+3)2 + (y-1)2 = 32 
(x+3)2 + (y-1)2 = 9 (equação na forma reduzida) 
 
 
 
 
 7a Questão 
 
 
A equação geral 3x2−y2−30x+2y+71=0 representa uma hipérbole de centro em: 
 
 
C(0,0) 
 C(5,-1) 
 C(5,1) 
 
C(-5,1) 
 
C(-5,-1) 
Respondido em 30/10/2019 12:30:24 
 
 
Explicação: 
3x2−y2−30x+2y+71=0 ⇒ 3(x−5)2−75+(−1)∗(y−1)2+1+71=0 
3(x−5)2−(y−1)2−3=0 ⇒ (x−5)2/1 - (y−1)2/3 = 1 
Assim: C(5,1) 
 
 
 
 
 8a Questão 
 
 
Determine o raio da circunferência com centro no ponto A(1,-2) e que passa pelo ponto P(2,3). 
 
 
r=√25 
 r=√26 
 r=√30 
 
r=√28 
 
r=√29 
Respondido em 30/10/2019 12:28:21 
 
 
Explicação: 
r = d(P,A) = √((x−a)2+(y+b)2) / r2 = (x-a)2 + (y+b)2 
r = √((x−1)2+(y+2)2) 
r = √((2−1)2+(3+2)2) =√(12+52) 
r = √(1+25) 
r = √26 
 
 3a Questão 
 
Qual deve ser o valor de m para que os vetores u = (2,m,0), v = (1,-1,2) e w = (-1,3,-1) sejam coplanares? 
 
 
- 13 
 - 10 
 
- 9 
 
- 11 
 
- 14 
Respondido em 30/10/2019 12:53:38 
 
 
Explicação: 
Para que os vetores sejam coplanares, deve-se ter (u,v,w) = 0, ou seja. 
2 m 0 
1 -1 2 = 0 
-1 3 -1 
Logo 
2 - 2m - 12 + m = 0 
e, portanto, 
m = -10 
 
 4a Questão 
 
Uma parábola passa pelos pontos A(0,5), B(2,-3) e C(3,-4). A soma das coordenadas do vértice é: 
 
 
1 
 -2 
 
2 
 
0 
 -1 
Respondido em 30/10/2019 12:53:30 
 
 
Explicação: 
y = ax2+bx+cax2+bx+c 
a(0) + b(0) + c = 5 ⇒ c = 5 
a(2)^2 + b(2) + 5 = - 3 ⇒ 2a + b = - 4 
a(3)^2 + b(3) + 5 = - 4 ⇒ 3a + b = - 3 
Resolvendo o sistema: a = 1 e b = -6 
Logo: y=x2−6x+5 
V(−b/2a,−Δ/4a) 
−b/2a = −(−6)/2 = 3 
−Δ/4a = (4∗(1)∗(5)−(−6)2)/4 = - 4 
Logo: somatório das coordenadas do vértice será -1 
 
 
 
 
 5a Questão 
 
 
Determine a equação da circunferência com o centro em Q(0,−2) e raio 4. 
 
 x2+(y+2)2=16 
 
x2+y2=16 
 
x2+(y+2)2=14 
 
(x+2)2+y2=16 
 
(x+1)2+(y+2)2=15 
Respondido em 30/10/2019 12:51:48 
 
 
Explicação: 
Usando a fórmula da equação reduzida temos: 
(x−a)2+(y−b)2=r2 
(x−0)2+(y+2)2=42 
x2+(y+2)2=16 
 
7a Questão 
 
A respeito das definições básicas de circunferência e de elipse, qual das alternativas a seguir está correta? 
 
 
Uma circunferência é o conjunto de pontos cuja soma das distâncias até os focos é igual a uma constante 
2a. 
 Uma circunferênciaé o conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é constante e igual ao 
diâmetro. 
 
Uma elipse é uma circunferência achatada. 
 
Uma elipse é o conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual à constante r, chamada de 
raio. 
 Uma circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual à constante r, 
chamada de raio. 
Respondido em 30/10/2019 12:53:09 
 
 
Explicação: 
A definição de circunferência é um conjunto de pontos cuja distância até o ponto central C é igual a uma constante r, 
chamada de raio. A definição de elipse é: conjunto de pontos cuja soma das distâncias até os focos é igual à constante 
2a. Portanto, a alternativa correta é a letra E.