aula _1_TENSÃO_DEFORMACÃO

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Resistência dos Materiais 
TENSÃO E DEFORMAÇÃO 
 NORMAL 
2° Semestre de 2019 
1 
Professora: Reniene S. Bandeira 
T
Ó
P
IC
O
S
 A
B
O
R
D
A
D
O
S
 
N
E
S
T
A
 A
U
L
A
 
2 
 Definição de Resistência dos 
Materiais 
 Tensão e Deformação 
Normais 
 
 
Aula 1 Professora: Reniene S. Bandeira 
Definição de Resistência dos Materiais 
3 
 
 É um ramo da mecânica que estuda as relações 
entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e 
a intensidade das forças internas que atuam dentro do 
corpo. 
 
Aula 1 
Resistência dos Materiais 
Profª: Reniene Santos Bandeira 
Objetivo: 
Determinar tensões, deformações e 
deslocamento nas estruturas, devido as 
cargas que atuam sobre elas. 
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Resistência dos Materiais 
Tensão normal (média) 
 
𝑵 
𝑷𝒓𝒆𝒎𝒊𝒔𝒔𝒂𝒔: 
 
• É necessário que a barra 
permaneça reta antes e depois da 
aplicação da carga. 
 
• A seção transversal deve 
permanecer achatada ou plana 
durante a deformação. 
 
• Para que a barra sofra 
deformação uniforme é 
necessário que 𝑷 seja aplicada ao 
longo do eixo do centroide da 
seção transversal. 
 
• Válido para material homogêneo e 
isotrópico. 
𝑬𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒔𝒕𝒓𝒖𝒕𝒖𝒓𝒂𝒊𝒔 
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𝒄𝒂𝒓𝒈𝒂 𝒂𝒙𝒊𝒂𝒍 (𝒅𝒊𝒓𝒆çã𝒐 𝒑𝒆𝒓𝒑𝒆𝒏𝒅𝒊𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 
𝒂𝒐 𝒔𝒆𝒏𝒕𝒊𝒅𝒐 𝒅𝒂 𝒅𝒊𝒎𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒑𝒓𝒊𝒏𝒄𝒊𝒑𝒂𝒍) 
𝑵 > 𝟎 → 𝑻𝒓𝒂çã𝒐 + 
𝑵 < 𝟎 → 𝑪𝒐𝒎𝒑𝒓𝒆çã𝒐 + 
 
5 
Aula 1 
Resistência dos Materiais 
Tensão normal (média) 
 
É a intensidade da força normal 𝑵 que atua perpendicularmente a 
uma área. Definida por 𝝈 (sigma) do grego. 
𝝈𝒎𝒆𝒅 =
𝑵
𝑨
𝑵
𝒎𝟐
→ 𝑷𝒂 
𝑵 
𝝈𝒎𝒆𝒅 → 𝒕𝒆𝒏𝒔ã𝒐 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒎é𝒅𝒊𝒂 
𝑵 → 𝒇𝒐𝒓ç𝒂 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒏𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒖𝒍𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 
𝑨 → á𝒓𝒆𝒂 𝒅𝒂 𝒔𝒆çã𝒐 𝒕𝒓𝒂𝒏𝒔𝒗𝒆𝒓𝒔𝒂𝒍 𝒅𝒂 𝒃𝒂𝒓𝒓𝒂. 
 
𝑺𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂𝒔 𝒆𝒒𝒖𝒊𝒗𝒂𝒍𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 
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Resistência dos Materiais 
Uma barra prismática é um membro reto com área transversal uniforme. 
Seções transversais típicas de barras prismáticas. 
Barra prismática 
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Resistência dos Materiais 
 Exercício 1: Aplica‐se uma força de tração de P = +350𝑘𝑁 em 
uma barra prismática de seção retangular com 𝑏 = 15𝑐𝑚 e 
𝑕 = 25𝑐𝑚. Determine a tensão normal media 𝝈𝒎𝒆𝒅: 
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝑏 ∙ 𝑕
 
𝑷 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝐴
=
350.000𝑁
0,15 ∙ 0,25𝑚2
= 9.333.333,3
𝑁
𝑚2
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = 9.333.333,3𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = 9.333𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = 9,33𝑀𝑃𝑎 
8 
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Resistência dos Materiais 
 Exercício 2: Aplica‐se uma força de compressão de 𝑃 = −470𝑘𝑁 em 
uma barra prismática de seção circular com diâmetro 𝑑 = 10𝑐𝑚. 
Determine a tensão normal media 𝝈𝒎𝒆𝒅: 
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝜋𝑟2
 
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𝑷 𝑷 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝐴
=
−470 ∙ 103 𝑁
𝜋 ∙ 0,05 2𝑚2
=
−470 ∙ 103 𝑁
0,007854𝑚2
= −59.842.258,6
𝑁
𝑚2
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = −59.842.258,6𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = −59.842. 𝑘𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = −59,8𝑀𝑃𝑎 
𝑷 
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Resistência dos Materiais 
 Exercício 3: Aplica‐se uma força de compressão de P = −235𝑘𝑁 em 
uma barra prismática de seção retangular vazada com as seguintes 
medidas: 𝑏𝑖 = 5𝑐𝑚, 𝑏𝑒 = 8𝑐𝑚, 𝑕𝑖 = 10𝑐𝑚 𝑒 𝑕𝑒 = 18𝑐𝑚 . Determine a 
tensão normal media 𝝈𝒎𝒆𝒅: 
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝐴𝑒𝑥𝑡 − 𝐴𝑖𝑛𝑡
=
𝑃
𝑏𝑒 . 𝑕𝑒 − 𝑏𝑖 . 𝑕𝑖
 
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𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝑏𝑒 . 𝑕𝑒 − 𝑏𝑖 . 𝑕𝑖
 𝜎𝑚𝑒𝑑 =
−235 ∙ 103𝑁
0,08 ∙ 0,18 − 0,05 ∙ 0,10 𝑚2 
=
−235 ∙ 103𝑁
0,0094 𝑚2
= −25.000.000
𝑁
𝑚2
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = −25.000.000𝑃𝑎 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = −25.000. 𝑘𝑃𝑎 = −25,0𝑀𝑝𝑎 
𝑷 𝑷 
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 Exercício 4: Aplica‐se uma força de tração de 𝑃 = +390𝑘𝑁 em uma 
barra prismática de seção T (tê) com as seguintes medidas: 
 𝑏 = 15𝑐𝑚, 𝑕 = 25𝑐𝑚, 𝑒1=5cm e 𝑒2=3cm. Determine a tensão normal 
media 𝝈𝒎𝒆𝒅: 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝐴
=
𝑃
𝑏. 𝑒2 + 𝑕 − 𝑒2 𝑒1
 
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𝜎𝑚𝑒𝑑 =
𝑃
𝑏. 𝑒2 + 𝑕 − 𝑒2 𝑒1
 𝜎𝑚𝑒𝑑 =
390 ∙ 103𝑁
0,15 ∙ 0,03 + 0,25 − 0,03 ∙ 0,05 𝑚2
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 =
390 ∙ 103𝑁
0,0155𝑚2
= 25.161.290,3
𝑁
𝑚2
 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = 25.161.290,3Pa 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = 25.161kPa 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = 25,2MPa 
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 Exercício 5: Aplica‐se uma 
força de compressão de 
𝑃 = −170𝑘𝑁 em uma barra 
prismática triangular reta com 
𝑏 = 12𝑐𝑚 e 𝑕 = 22𝑐𝑚 . 
Determine a tensão normal 
media 𝝈𝒎𝒆𝒅: 
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 Exercício 6: Aplica‐se uma 
força de tração de P =
+ 680𝑘𝑁 em uma barra 
prismática de seção quadrada 
com aresta 𝑎 = 21𝑐𝑚 . 
Determine a tensão normal 
media 𝝈𝒎𝒆𝒅: 
𝑷 𝑷 𝑷 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = −12,9𝑀𝑝𝑎 𝜎𝑚𝑒𝑑 = +15,4𝑀𝑝𝑎 
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Aula 1 
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 Exercício 7: Aplica‐se uma 
força de tração de 
𝑃 = +785𝑘𝑁 em uma barra 
prismática de seção circular 
vazada com as seguintes 
medidas: 
𝑑𝑒 = 18𝑐𝑚 𝑒 𝑑𝑖 = 12𝑐𝑚 . 
Determine a tensão normal 
media 𝝈𝒎𝒆𝒅: 
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 Exercício 8: Aplica‐se uma 
força de compressão de 
P = −140𝑘𝑁 em uma barra 
prismática de seção cantoneira 
(𝐿) com as seguintes medidas: 
 𝑏 = 13𝑐𝑚, 𝑕 = 25𝑐𝑚 𝑒 𝑒 = 3𝑐𝑚 . 
Determine a tensão normal 
media 𝝈𝒎𝒆𝒅: 
𝑷 𝑷 𝑷 
𝜎𝑚𝑒𝑑 = +55,5𝑀𝑝𝑎 𝜎𝑚𝑒𝑑 = −13,3𝑀𝑝𝑎 
Paramos aqui dia 21/08 
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Deformação normal (média) 
Quando aplicado uma força normal 𝑃 em uma seção de barra, a 
mesma deforma longitudinalmente. Então, deformação é o 
alongamento ou contração de um material, no sentido 
longitudinal, dividido pelo comprimento inicial. Válido para 
material homogêneo e isotrópico. Definida por 𝜀 (epsílon) do grego. 
𝜺𝒎𝒆𝒅 =
∆𝑳
𝑳𝟎
=
𝑳𝑭 − 𝑳𝟎
𝑳𝟎
 
𝑆𝑒 𝑳𝑭 > 𝑳𝟎 → ∆𝑳 > 𝟎 → 𝒂𝒍𝒐𝒏𝒈𝒂𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐 + 
𝑆𝑒 𝑳𝑭 < 𝑳𝟎 → ∆𝑳 < 𝟎 → 𝒄𝒐𝒏𝒕𝒓çã𝒐 − 
 
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𝑷 
𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒: 
𝑚
𝑚
= 1 𝑎𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 
outras unidades: 
c𝑚
𝑚
,
𝑚𝑚
𝑚
, %, ‰ 
 
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 Exercício 9: Uma barra prismática tem comprimento inicial de 
3,56𝑚 . Aplica‐se uma força normal trativa que aumenta seu 
comprimento para 3,62𝑚 . Determine a deformação normal 
média ε𝒎𝒆𝒅: 
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𝜺𝒎𝒆𝒅 =
∆𝑳
𝑳𝟎
=
𝑳𝑭 − 𝑳𝟎
𝑳𝟎
 
𝜺𝒎𝒆𝒅 
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 Exercício 10: Uma barra prismática tem comprimento inicial de 
12,34𝑚. Aplica‐se uma força normal compressiva que diminui seu 
comprimento para 12,26𝑚 . Determine a deformação normal 
média ε𝒎𝒆𝒅: 
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𝜺𝒎𝒆𝒅 =
∆𝑳
𝑳𝟎
=
𝑳𝑭 − 𝑳𝟎
𝑳𝟎
 
𝜺𝒎𝒆𝒅 
𝑷 
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 Exercício 11: Uma barra 
prismática tem comprimento 
inicial de 6,21𝑚. Aplica‐se uma 
deformação positiva média de 
𝜺𝒎𝒆𝒅 = 𝟑, 𝟎𝟓% . Determine o 
comprimento final 𝐿𝐹: 
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𝑷 
 Exercício 12: O diâmetro da 
parte central do balão de 
borracha é 𝑑 = 100𝑚𝑚 . Se a 
pressão do ar em seu interior 
provocar o aumento do diâmetro 
do balão até 𝑑 = 125𝑚𝑚 , 
determine a deformação normalmédia na borracha. 
 
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 Exercício 13: Uma força que atua no cabo da alavanca mostrada na 
figura provoca uma rotação de ϴ = 0,002 𝑟𝑎𝑑 na alavanca no sentido 
do horário. Determinar a deformação normal média 
desenvolvida no arame BC. 
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A medida RADIANO, que consiste no arco cujo 
comprimento é igual à medida do raio da 
circunferência que o contém. Por exemplo, um 
arco de 3 𝑟𝑎𝑑 corresponde ao arco de comprimento 
igual a 3 raios da circunferência, veja: 
Comprimento AB = 
3r → m(AB) = m(AÔB) = 
3 rad 
Ao dividirmos o 
comprimento do arco (𝑙) 
de uma circunferência 
pelo seu raio (𝑟), 
determinamos a medida 
do ângulo central em 
radianos. 
𝜶 =
𝒍
𝒓
 
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 Exercício 14: Uma placa retangular é deformada conforme indicado 
pela forma tracejada mostrada na figura. Considerando que na 
configuração deformada as linhas horizontais da placa permaneçam 
horizontais e não variem seu comprimento, determine a 
deformação normal média ao longo do lado AB. 
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250𝑚 
300𝑚 
2𝑚 
3𝑚 
Paramos aqui dia 23/08 
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Tesões e deformações (real # média) 
Na realidade , a tensão normal não é uma média, e sim variável. 
Perceba que no interior se aproxima da média, e nos extremos se 
mostra mais dispersa. 
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𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 
 𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 
𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜 
superior 
𝑚𝑒𝑖𝑜 C𝑎𝑟𝑔𝑎 𝑇𝑒𝑠õ𝑒𝑠 
Normais 
𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çõ𝑒𝑠 
Normais