R1 Lista 1- LISTA RESOLVIDA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA – UFRR 
DISCIPLINA: CIV06 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
PROFESSORA: Elaine Albuquerque 
MONITOR: Hingred Luz 
SEMESTRE 2020.1 
 
GABARITO RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS - LISTA DE EXERCÍCIOS 1 
ASSUNTO: Tensões e deformações em elementos estruturais solicitados 
axialmente 
 
Tensões normal e cisalhante 
Conversão de Unidades 
1 𝑀𝑃𝑎 = 1 
𝑁
𝑚𝑚²
= 1 
𝑘𝑁
𝑐𝑚²
 
 
1) Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à outra 
em B e submetida a um carregamento conforme mostra a figura. Determine a 
intensidade da força F para a qual a tensão normal de tração na barra AB é duas vezes 
a intensidade da tensão de compressão da barra BC. 
 
Gabarito: 𝑷 = 𝟏𝟐𝟓, 𝟒 𝒌𝑵 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
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DISCIPLINA: CIV06 – RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I 
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SEMESTRE 2020.1 
 
2) Duas barras cilíndricas de seção transversal cheia AB e BC são soldadas uma à outra 
em B e submetidas a um carregamento conforme mostra a figura. Sabendo que a tensão 
normal média não pode exceder 175 MPa na barra AB e 150 Mpa na barra BC, determine 
os menores valores admissíveis de 𝑑1 e 𝑑2. 
 
Gabarito: 𝒅𝟏 = 𝟐𝟐, 𝟔 𝒎𝒎; 𝒅𝟐 = 𝟏𝟓, 𝟗𝟔 𝒎𝒎 
 
RESOLUÇÃO 
 
3) Um medidor de deformação localizado em C na superfície do osso AB indica que a 
tensão normal média no osso é 3,80 MPa, quando o osso está submetido a duas forças de 
l 200 N como mostra a figura. Supondo que a seção transversal do osso em C seja anelar 
e sabendo que seu diâmetro externo é 25 mm, determine o diâmetro interno da seção 
transversal do osso em C. 
 
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Gabarito: 𝒅𝟐 = 𝟏𝟒, 𝟗𝟑 𝒎𝒎 
 
RESOLUÇÃO 
 
4) Duas pranchas de madeira, cada uma com 12 mm de espessura e 225 mm de largura, 
são unidas pela junta de encaixe mostrada na figura. Sabendo que a madeira utilizada 
rompe por cisalhamento ao longo das fibras quando a tensão de cisalhamento média 
alcança 8 MPa, determine a intensidade P da carga axial que romperá a junta. 
 
 
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Gabarito: 𝑷 = 𝟗, 𝟐𝟐 𝒌𝑵 
 
RESOLUÇÃO 
 
5) Uma carga P centrada é aplicada ao bloco de granito mostrado na figura. Sabendo que 
o valor máximo resultante da tensão de cisalhamento no bloco é 17,24 MPa, determine 
(a) a intensidade de P, (b) a orientação da superfície na qual ocorre a tensão de 
cisalhamento máxima, (c) a tensão normal que atua na superfície e (d) o valor máximo da 
tensão normal no bloco. 
 
Gabarito: 𝒂) 𝑷 = 𝟖𝟎𝟎, 𝟖𝟐𝟒 𝒌𝑵; 𝒃) 𝜽 = 𝟒𝟓°; 𝒄) 𝝈𝟒𝟓 = −𝟏𝟕, 𝟐𝟒 𝐌𝐏𝐚; 
𝐝) 𝝈𝒎𝒂𝒙 = −𝟑𝟒, 𝟒𝟖 𝐌𝐏𝐚 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
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6) As componentes de madeira A e B devem ser unidas por cobrejuntas de madeira 
compensada que serão totalmente coladas às superfícies em contato. Como parte do 
projeto da junção, e sabendo que a folga entre as extremidades das componentes deve ser 
6 mm, determine o comprimento L mínimo permitido para que a tensão de cisalhamento 
média na cola não exceda 700 kPa. 
 
Gabarito: L = 292 mm 
 
RESOLUÇÃO 
 
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7) A carga P aplicada ao pino de aço é distribuída para o suporte de madeira por uma 
arruela anelar. O diâmetro do pino é de 22 mm e o diâmetro interno da arruela é de 25 
mm, sendo este ligeiramente maior que o diâmetro do orifício. Determine o menor 
diâmetro externo d admissível da arruela, sabendo que a tensão normal axial no pino de 
aço é de 35 MPa e a tensão média de contato entre a arruela e a madeira não pode exceder 
5 MPa. 
 
GABARITO: d = 63,3 mm 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO 
 
8) Uma carga axial de 40 kN é aplicada a uma coluna curta de madeira suportada por uma 
base de concreto em solo estável. Determine (a) a tensão de contato máxima na base de 
concreto e (b) o tamanho da base para que a tensão de contato média no solo seja de 145 
kPa. 
 
Gabarito: a) 3,33 MPa, b) 525 mm 
 
 
 
 
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RESOLUÇÃO 
 
9) A carga P de 6 227 N é suportada por 
dois elementos de madeira de seção 
transversal uniforme unidos pela emenda 
colada mostrada na figura. Determine as 
tensões normal e de cisalhamento na 
emenda colada. 
 
 
Gabarito: 𝝈 = 𝟒𝟖𝟐, 𝟕 𝒌𝑷𝒂; 𝝉 = 𝟐𝟕𝟖, 𝟔 𝒌𝑷𝒂 
RESOLUÇÃO 
 
 
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10) Dois elementos de madeira de 70 X 110 mm de seção transversal retangular uniforme 
são unidos por uma junta colada, como mostra a figura. Sabendo que a tensão de 
cisalhamento admissível na junta colada é de 500 kPa, determine a maior carga axial P 
possível de ser aplicada com segurança. 
 
Gabarito: 𝑷 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟖 𝒌𝑵 
 
RESOLUÇÃO 
 
11) Duas pranchas de madeira, cada uma com 22 mm de espessura e 160 mm de largura, 
são unidas por uma junta de encaixe colada, mostrada na figura. Sabendo que a junta 
falhará quando a tensão de cisalhamento média na cola atingir 820 kPa, determine o 
menor comprimento d admissível do encaixe uma vez que a junta precisa suportar uma 
carga axial de intensidade P = 7,6 kN. 
 
 
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Gabarito: d = 60,2mm 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
Deformação normal e transversal; Deformação em estruturas hiperestáticas e com 
variação de temperatura; Lei de Hooke; Propriedade dos materiais 
Conversão de Unidades 
1 
𝑙𝑏
𝑓𝑡²
= 1 𝑝𝑠𝑖 
1000 𝑝𝑠𝑖 = 1 𝑘𝑠𝑖 
12) Uma barra feita de poliestireno de comprimento igual a 304,8 mm e diâmetro igual a 
12,7 mm está submetida a uma força de tração igual a 3 558 N. Sabendo que E = 3,10 
GPa, determine (a) o alongamento dessa barra e (b) a tensão normal na barra. 
Gabarito: 𝒂) 𝜹 = 𝟐, 𝟕𝟔 𝒎𝒎; 𝒃) 𝝈 = 𝟐𝟖 𝑴𝑷𝒂 
RESOLUÇÃO 
 
 
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13) Duas marcas de referência são colocadas a exatamente 250 mm uma da outra, em 
uma barra de alumínio com diâmetro de 12 mm. Sabendo que uma força axial de 6 000 
N atuando nessa barra provoca um afastamento entre as marcas de 250,18 mm, determine 
o módulo de elasticidade do alumínio utilizado. 
Gabarito: E = 73,7 GPa 
RESOLUÇÃO 
 
14) Um fio de aço de 60 m de comprimento está submetido a uma força de tração de 6 
kN. Sabendo que E = 200 GPa e que o comprimento do fio deve aumentar no máximo 48 
mm, determine (a) o menor diâmetro que pode ser selecionado para o fio e (b) a tensão 
normal correspondente. 
Gabarito: a) 6,91mm; b) 160,0 Mpa 
RESOLUÇÃO 
 
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15) Um tubo de ferro fundido é utilizado parasuportar uma força de compressão. Sabendo 
que E = 69 GPa e que a máxima variação admissível no comprimento é 0,025%, 
determine (a) a tensão normal máxima no tubo e (b) a espessura mínima da parede para 
uma carga de 7,2 kN se o diâmetro externo do tubo for de 50 mm. 
Gabarito: a) 17,25Mpa ; b) 2,82 mm 
RESOLUÇÃO 
 
 
16) A barra BD feita de aço (E = 200 GPa) é utilizada para contenção lateral da haste 
comprimida ABC. O máximo esforço que se desenvolve em BD é igual a 0,02P. Se a 
tensão não deve exceder 124,1 MPa e a máxima mudança de comprimento da barra BD 
não pode exceder 0,001 vez o comprimento de ABC, determine o menor diâmetro 
possível de ser utilizado para o membro BD. 
 
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Gabarito: 5,25 mm 
RESOLUÇÃO 
 
17) O cabo BC de 4 mm de diâmetro é feito de um aço com E = 200 GPa. Sabendo 
que a máxima tensão no cabo não pode exceder 190 MPa e que a deformação do 
cabo não deve exceder 6 mm, determine a máxima força P que pode ser aplicada 
conforme mostra a figura. 
 
Gabarito: 𝑷 = 𝟏, 𝟗𝟖𝟖 𝒌𝑵 
RESOLUÇÃO 
 
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18) Ambas as partes da barra ABC são feitas de um alumínio para o qual E = 70 
GPa. Sabendo que a intensidade de P é 4 kN, determine (a) o valor de Q de modo 
que o deslocamento em A seja zero e (b) o deslocamento correspondente de B. 
 
Gabarito: 𝒂) 𝑸 = 𝟑𝟐, 𝟖 𝒌𝑵; 𝒃) 𝜹 = 𝟎, 𝟎𝟕𝟐𝟖 𝒎𝒎 
 
RESOLUÇÃO 
 
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19) Para a treliça de aço (E = 200 GPa) e o carregamento mostrado, determine as 
deformações dos componentes AB e AD, sabendo que suas áreas de seção transversal 
são, respectivamente, 2 400 mm² e 1 800 mm². 
 
Gabarito: 𝜹𝑨𝑩 = −𝟐, 𝟏𝟏 𝒎𝒎; 𝜹𝑨𝑫 = 𝟐, 𝟎𝟑 𝒎𝒎 
 
RESOLUÇÃO 
 
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20) Determine os valores da tensão nas partes AC e CB da barra de aço quando a 
temperatura da barra for de - 45 ºC, sabendo que ambos os apoios rígidos estão ajustados 
quando a temperatura estiver a +20 ºC. Use os valores E = 200 GPa e a ∝=
12 × 10−6/°𝐶 para o aço. 
 
Gabarito: 𝝈𝟏 = +𝟐𝟎𝟖 𝑴𝑷𝒂, 𝝈𝟐 = +𝟏𝟎𝟒 𝑴𝑷𝒂 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
 
 
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21) Observa-se que uma barra de 500 mm de comprimento e 16 mm de diâmetro, feita de 
um material homogêneo e isotrópico, aumenta no comprimento em 300 µm, e diminui no 
diâmetro em 2,4 µm quando submetida a uma força axial de 12 kN. Determine o módulo 
de elasticidade e o coeficiente de Poisson do material. 
 
Gabarito: 𝑬 = 𝟗𝟗, 𝟓 𝑮𝑷𝒂, 𝝊 = 𝟎, 𝟐𝟓 
 
RESOLUÇÃO 
 
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22) Sabendo que existe um espaçamento de 0,508 mm quando a temperatura é de 23,9 
ºC, determine (a) a temperatura na qual a tensão normal na barra de alumínio será igual a 
75,8 MPa e (b) o comprimento exato correspondente da barra de alumínio. 
 
Gabarito: a) 94,2 ºC (201,6 ºF); b) 457,5 mm 
 
RESOLUÇÃO 
 
 
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23) Na temperatura ambiente (20 ºC) existe um espaçamento de 0,5 mm entre as 
extremidades das barras mostradas na figura. Algum tempo depois, quando a temperatura 
atingir 140 °C, determine (a) a tensão normal na barra de alumínio e (b) sua variação do 
comprimento. 
 
Gabarito: a) -116,2 MPa; b) 0,363 mm 
RESOLUÇÃO 
 
 
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24) Um bloco retangular de um material com um módulo de elasticidade transversal 
G = 620 MPa é colado a duas placas rígidas horizontais. A placa inferior é fixa, 
enquanto a placa superior está submetida a uma força horizontal P. Sabendo que a placa 
superior se desloca 1 mm sob a ação da força, determine (a) a deformação de 
cisalhamento média no material e (b) a força P que atua na placa superior. 
 
 
 
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Gabarito: 𝒂) 𝜸𝒙𝒚 = 𝟎, 𝟎𝟐𝟎 𝒓𝒂𝒅; 𝒃) 𝑷 = 𝟏𝟒𝟖, 𝟖 𝒌𝑵 
 
RESOLUÇÃO 
 
25) O pilar de concreto (Ec = 25 GPa e ∝𝑐= 9,9 × 10
−6/°𝐶 é reforçado por seis barras 
de aço, cada uma com 22 mm de diâmetro (Eaço = 200 GPa e ∝𝑎ç𝑜= 11,7 × 10
−6/°C). 
Determine as tensões normais induzidas no aço e no concreto pelo aumento na 
temperatura de 35 °C. Dados: lado da seção transversal 280mm e altura 1,8m. 
 
Gabarito: 𝝈𝒂ç𝒐 = −𝟗, 𝟒𝟕 𝑴𝑷𝒂, 𝝈𝒄 = 𝟎, 𝟑𝟗𝟏 𝑴𝑷𝒂 
 
RESOLUÇÃO 
 
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26) Seja a figura abaixo o diagrama de 
tensão-deformação típico para aço 
estrutura (fora de escala). Discorra sobre o 
que representa cada ponto no diagrama. 
 
 
R.: (Timoshenko) De O até A, as tensões são diretamente proporcionais às deformações 
e o diagrama é linear. Além desse ponto, a proporcionalidade já não mais existe e o ponto 
A é chamado limite de proporcionalidade. Com o aumento da carga, as deformações 
crescem mais rapidamente do que as tensões, até um ponto B, onde uma deformação 
considerável começa a aparecer, sem que haja aumento apreciável da força de tração. Este 
fenômeno é conhecido como escoamento do material e a tensão no ponto B é denominada 
tensão de escoamento. Na região BC, diz-se que o material tornou-se plástico. No ponto 
C, o material começa a oferecer resistência adicional ao aumento da carga, acarretando 
acréscimo de tensão para um aumento da deformação, atingindo a tensão máxima no 
ponto D. Além deste ponto, maior deformação é acompanhada por uma redução da carga, 
ocorrendo, finalmente, a ruptura do corpo de prova no E do diagrama. 
 
 
 
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27) Qual a diferença entre materiais dúcteis e frágeis? Explique com o diagrama de 
tensão-deformação e dê exemplos de cada um. 
R.: Material dúctil: caracterizados pela presença de um ponto de escoamento 
pronunciado, seguido de grande deformação plástica antes da ruptura. 
 
Material frágil: caracterizados pela ausência de um ponto de escoamento, o que representa 
pouca deformação antes da ruptura. 
 
 
28) A partir do diagrama tensão-deformação do concreto dado abaixo (considere 
𝜎𝑡𝑟𝑎çã𝑜 = 0,1𝜎𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜), discuta por que esse material é dimensionado para resistir a 
esforços de compressão em detrimento dos esforços de tração. 
 
R.: O ponto essencial para o concreto ser dimensionado levando-se em consideração sua 
resistência à compressão é o fato de quando submetido a esseesforço ela apresenta ponto 
de escoamento anunciado, o que garante grande deformação antes de alcançar a ruptura. 
Ao contrário do que acontece quando submetido à tração, em que a ruptura além de 
acontecer em uma tensão menor (10 % do valor na compressão), não apresenta grande 
deformação antes da ruptura. 
 
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29) Defina Módulo de Young. 
R: O Módulo de elasticidade longitudinal ou Módulo de Young E é uma propriedade 
mecânica que indica a rigidez de um material. 
 
30) Defina Resiliência, Tenacidade, Ductilidade, Fluência, Relaxação e Fadiga. 
RESPOSTA 
Resiliência: é a capacidade de absorver energia mecânica em regime elástico. Em termos 
físicos, a resiliência de um material é a capacidade de absorver energia sem sofrer 
qualquer dano permanente. 
Uma particularidade das propriedades dos materiais é que quando a tensão σ atinge o 
limite de proporcionalidade σp, a densidade de energia de deformação é chamada de 
Módulo de Resiliência. 
𝑢 =
1
2
×
𝜎𝑝
2
𝐸
 
 
Tenacidade: é a capacidade de absorver a energia mecânica total até o limite de ruptura. 
Outra importante propriedade de um material é o Módulo de Tenacidade. Diferentemente 
da resiliência essa quantidade representa a área inteira do diagrama tensão de formação. 
 
Ductilidade: consiste na capacidade de um material, especialmente de certos metais como 
o cobre, de sofrer deformação plástica sem fraturar. 
 
 
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Fluência: Quando um material é submetido a um carregamento de longo tempo, este pode 
sofrer deformações permanentes ao longo do tempo devido à permanência do 
carregamento. A esta deformação permanente ao longo do tempo é dado o nome de 
Fluência. 
 
Relaxação: Um material submetido à deformação constante tem uma diminuição da 
tensão ao longo do tempo. 
 
Fadiga: Quando um material é submetido a ciclos repetidos de tensão ou deformação, sua 
estrutura interna pode ser alterada, o que, por fim, resulta em ruptura. Esse 
comportamento é denominado Fadiga.