Relatório de Massa inercial e gravitacional

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ 
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS 
DEPARTAMENTO DE FÍSICA 
LABORATÓRIO BÁSICO I 
 
 
 
 
PAULA ERILENE MENESES PINHEIRO 
 
 
 
 
 
 
MASSA INERCIAL E GRAVITACIONAL 
RELATÓRIO SOBRE EXPERIÊNCIA 07 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
BELÉM-PARÁ 
2019 
Relatório de Laboratório Básico I 
Data do experimento: 24 / 10 / 2019 Data de entrega: 31/10 / 2019 
Título do experimento: Massa inercial e gravitacional 
Aluna: Paula Erilene Meneses Pinheiro 
Professor Waldci Paraguassu, Universidade Federal do Pará 
Resumo 
Os movimentos harmônicos são de suma importância, nesse experimento será tratado do 
sistema massa mola, em que será calculado a massa inercial e encontrar o valor da massa 
gravitacional de um corpo desconhecido. Através da atividade realizada no laboratório, este 
experimento tem por objetivo determinar as massas inerciais e gravitacionais de objeto de valor 
de massa desconhecido. Assim, precisando calcular o período para dez oscilações, com isso, 
estipulou-se o período médio, para quatro tipo de corpos, de massas distintas estipulou-se sua 
constante elástica, que também calculou-se o constante elástica media, assim computou-se sua 
elongação e sua força. Seguidamente, encontrou-se a massa inercial pela formula do período, 
já que está obteve-se através do movimento. Computou-se a massa gravitacional, levando-se o 
peso numa balança, Devido a isso, relacionou-se os valores obtidos pelo princípio de 
equivalência, mostrando a relação entre as duas massas. Desse modo, calculou-se e discutiu-
se com embasamento no que o professor ensinou em sala de aula, com as outras literaturas. 
 
Introdução 
As definições de massa gravitacional e inercial, partem do livro de newton, chamado 
principia. A massa de inércia (mi) , de um corpo é uma medida da sua inércia, isto é, da 
resistência que ele oferece à mudança do seu movimento. É a massa que surge na primeira 
equação de Newton: 
Segundo a 2a Lei de Newton, a massa usando um bloco que esteja em repouso sobre uma 
superfície horizontal sem atrito. Para empurrar este bloco é necessário algum esforço, o bloco 
parece inerte e tende a manter-se em repouso, ou, se estiver em movimento tende a conservar-
se assim. A gravidade não entra aqui. Seria necessário o mesmo esforço para acelerar o bloco 
numa região onde não houvesse gravidade, ou seja a força que atua nesse bloco é dada por: 
F = ma (eq.01) 
A massa determinada por este método é chamada massa inercial, que relaciona a força 
total, que atua sobre o corpo, com a aceleração resultante. 
 A lei de Newton da gravitação universal estabelece que existe uma força de atração entre 
duas partículas de qualquer massa, dirigida ao longo da linha que as liga, cujo módulo é 
diretamente proporcional a cada uma das duas e inversamente proporcional ao quadrado da 
distância entre elas. Isto pode ser expresso pela equação 02: 
𝐹 = 𝐺𝑥
(𝑚1 𝑥 𝑚2)
𝑟2
 
Assim, sendo G a constante de proporcionalidade, chamada de Constante de Gravitação, 
cujo valor determinado experimentalmente é 6,6726 x 10−11 Nm2/Kg2, sendo sua incerteza 
0,0005 x 10−11 Nm2/Kg2. 
É importante acentuar que as forças gravitacionais entre duas partículas constituem um 
par ação reação. 
A primeira partícula exerce sobre a segunda uma força dirigida ao longo da linha que une 
as partículas e vice-versa, suas forças tem o mesmo módulo e sentidos opostos. 
Sabemos que a força gravitacional sobre um corpo é proporcional a sua massa, desse 
modo, podemos medir uma massa, medindo-se a força gravitacional que se exerce nela. 
Podemos fazer isso usando um dinamômetro ou uma balança, ou seja, podemos determinar a 
massa de um corpo pesando-o, está massa é chamada massa gravitacional. 
Se o corpo está sob a ação de um campo gravitacional, criado por um outro corpo esférico 
de massa gravitacional (mg), uma estrela, por exemplo, cujo centro está a uma distância r, do 
primeiro, a força gravitacional, Fg , que atua sobre o primeiro corpo, é determinada pela 
sua massa gravitacional, Mg , e é dada pela lei de gravitação universal de Newton, onde G é 
uma constante universal. 
Para comparar estas duas noções de massa, consideremos como a gravidade terrestre atua 
sobre um corpo situado à superfície da terra. Neste caso, r será igual à distância entre o corpo 
e o centro da terra e mg a massa gravitacional da terra. Mg e r, são constantes. A força 
gravitacional Fg, é dada pela eq.02, que atua sobre o corpo, é portanto proporcional à sua massa 
gravitacional mg: 
𝐹𝑔 = 𝐾𝑚𝑔 
𝐾 =
𝐺𝑚𝑔
𝑟2
= 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 (eq.03) 
Mas a segunda lei de Newton eq.01, diz que essa força é também igual a mig, onde mi é 
a massa de inércia do corpo e g a aceleração devida à gravidade. Portanto: 
𝐾𝑚𝑔 = 𝐹𝑔 = 𝑚𝑖𝑔 → 𝑔 = 𝐾.
𝑚𝑔
𝑚𝑖
 (eq.04) 
 
Se existissem dois corpos para os quais 
𝑚𝑖
𝑚𝑔
 fossem diferentes, então g também seria e 
os tais dois corpos, cairiam com acelerações distintas. Mas isso nunca foi observado. 
Newton postulou que razão, 
𝑚𝑖
𝑚𝑔
(eq.05), entre as duas massas de um corpo, é independente da 
substância de que ele é feito. Esse postulado é conhecido como princípio de Equivalência de 
Newton. A queda livre de corpos no vazio suporta experimentalmente este postulado todos os 
corpos caiem com a mesma aceleração num campo gravitacional dado. O princípio de 
equivalência é a razão entre massa inercial e gravitacional está confirmada com uma precisão 
de 10-13. 
Nos foi fornecido encontrar a massa inercial, segundo a eq.06, devido está-se trabalhando 
com o movimento harmônico, no caso um sistema massa mola, em que calculou-se a massa 
pela equação do período, abaixo: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
Devido ocorrência de obtenção de valores por meio, da média das medidas, para que se 
aproxime do valor mais provável, nesse caso o período e a constante de elasticidade. Com isso, 
as medidas obtidas estão com uma certa margem de erro, para uma melhor abordagem calcula-
se o erro percentual para ter-se um bom parâmetro. Calcula-se de acordo com a eq.07: 
𝐸𝑟𝑟𝑜% =
𝑉𝑒 − 𝑉𝑡
𝑉𝑡
𝑥100 
Para fins de facilitação dos cálculos, utilizou-se para calcular a constante de elasticidade 
pela relação: Seja um sistema m pendurada através de uma mola de constante k num ponto fixo, 
sabe-se que o sistema está em equilíbrio, e que as forças atuantes e a fora restauradora e a força 
peso. 
Onde: a força calcula-se: 
F(x)= kx (equação 08) 
O peso: 
P= mg (equação 09) 
Pela relação, por a força resultante atuantes no eixo y, através das relações matemáticas 
obteve-se: 
F(x)=P 
Kx=mg 
𝐾=
mg
𝑋
 (Equação 10) 
 Sendo X a elongação da mola, que pode-se ser encontrado pela equação 11. Podemos 
calcular essa deformação tomando a diferença entre os comprimentos final (X1) e original 
(Xo). Assim: 
X= X1-X0 
 
Objetivo e materiais utilizados 
O objetivo proposto por esse experimento, é aprender a determinar as massas inercial e 
gravitacional de um corpo desconhecido. Assim como, saber estabelecer a relação entre massa 
inercial e massa gravitacional. Os materiais usados para a execução do experimento em geral: 
uma haste metálica, massas aferidas, uma mola, um cronômetro, escala milimetrada, corpos de 
massas desconhecidas, balança, lápis e papel, para anotações dos valores. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 (14) 
PROCEDIMENTO 
Prendeu-se a régua na haste metálica, colocou-se a mola, em seguida marcou-se o ponto 
de referência da mola não distendida. 
Colocou-se cinco valores diferentes de massasaferidas, um a um, assim preenchendo a 
tabela 01, com valores referentes a massa do corpo, a força, a elongação e sua constante de 
elasticidade. 
Colocou-se o corpo de massa desconhecida na mola e deslocou-se levemente da posição 
de equilíbrio para que ele executasse M.H.S. 
Mediu-se, com um cronômetro, o tempo para 10 oscilações completas. 
Dessa forma, repetiu-se o item anterior cinco vezes e calculou-se o tempo médio das 
oscilações. 
 Por meio da equação 01, ponderou-se a massa do corpo. 
 Levou-se o corpo desconhecido à balança e mediu-se sua massa. 
 Computou-se a razão entres as duas massas obtidas. 
 Por fim, devido a margem de erro sobre os valores encontrado, calculou-se o erro 
percentual. 
 
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 Marcou-se o ponto de referência da mola não estendida, calculou-se; para cada 
determinado valor da massa do corpo, obteve-se uma força(eq.0), uma elongação(eq.0) e uma 
constante de elasticidade(eq.0), assim com os cálculos realizados obteve-se a tabela 01. 
 Para m1=50,00 g --> 0,05 Kg, g=9,8 m/s
2, tem-se; 
 A elongação pela eq.´0: 
X=170 mm- 140mm 
X=30 mm 
X1=0,03 m 
 Constante elástica, segundo eq.0: 
K1=0,05 x 9,8/0,03= 16,333 N/m 
 A sua força: 
F1=|-16,333 x 0,03|= 0,489 N 
Bis 4 vezes com as massa 
Em seguida, tirou-se a média da constante elástica, para utiliza-se a frente. 
 
01- Tabela refere-se as variações da massa de um corpo, obtém-se força, elongação e 
constante elástica. 
Medidas Massa (Kg) Força (N) X(cm) K(N/m) 
M1 0,050 0,489 3 16,333 
M2 0,10015 0,491 6 16,358 
M3 0,1502 0,519 8,5 17,317 
M4 0,2002 0,535 11 17,836 
Média (M)= 16,961 
 Observou-se que de acordo aumenta-se a massa do corpo, aumenta-se sua elongação, 
consequentemente sua força, ressaltando o que já foi ensinado em essas duas grandezas são 
diretamente proporcionais. 
 Equivalentemente, pegou-se uma massa de valor desconhecido, e esticou-se a mola da 
posição de equilíbrio, e sua elongação foi de, 0,07 m. Consequentemente, mediu-se o período 
para dez oscilações, para se ter uma boa notação refez-se essa medição no geral quatro vezes, 
isso tudo, com o auxílio de um cronometro obteve-se de acordo com a eq.00: 
T1;4,05 s/10=0,405 s 
T2= 4,05/10=0,405s 
T3=3,46/10=0,346s 
T4=3,67/10=0,367s 
 De posse dos quatros valores do período, tirou-se a média para ter-se uma precisão 
melhor, do valor mais provável, obteve-se; 
Tmed: ()/4=0,380s 
 Assim, com os valores conhecidos, do período, constante de elasticidade, pode-se calcular 
o valor da massa do corpo, por meio da eq.00; 
 M=0,062kg 
 Dessa forma, denominamos a massa encontrada pelo nome de massa inercia, pois está 
relacionada ao movimento, pois obteve-se por meio das oscilações do corpo, por manipulação 
matemática a computou-se. 
 A posteriori, pegou-se o objeto, pesou-se e encontrou-se o valor da massa= 0,05Kg. 
 Assim, definimos que a massa encontrada é chamada de massa gravitacional, pois sabe-
se que a força gravitacional sobre um corpo é proporcional a sua massa, desse modo, podemos 
medir essa massa, medindo a força gravitacional que se exerce nela. Sendo assim com um 
auxílio de uma balança, ou seja, pode-se determinar a massa de um corpo o pesando, e será 
denominado de massa gravitacional. 
Dessa forma, calculou-se a razão entre as duas massa pelo princípio da Equivalência e constitui 
o fundamento da teoria da relatividade generalizada de Einstein (1916), obteve-se: 
Mi/Mg= 0,062/0,05=1,24 
 Segundo, a teoria citada acima, o valor obtido pela essa igualde teria que ser 1, como não 
alcançou-se isso, utilizou-se da teoria dos erros, já estudados nos experimentos anteriores, para 
facilitar na precisão do resultado obtido, calculou-se o erro percentual para ver o quanto a 
medida da massa variou-se do valor real, obteve-se, de acordo da eq.00: 
Erro%= |Map-Mr/Mr|= 24% 
 Com isso, conclui que não obteve-se o mesmo valor, devido constatar que o valor obtido 
teve um erro% de 24% do valor real, por isso não encontrou-se o valor de proporcionalidade 
igual a 1. 
Portanto massa inercial e a gravitacional são duas características da matéria que 
representam propriedades bem diferentes. Mas ao longo da história, várias experiências com 
precisão crescente, mostraram a equivalência entre a massa inercial e a gravitacional. Por isso 
é comum denominá-las apenas de massa. A diferença é conceitual, a massa inercial é a grandeza 
que mede a quantidade de oposição que algum sistema oferece a alterar o seu estado de 
movimento em razão da aplicação de alguma força. Já a massa gravitacional é a grandeza que 
mede o quanto um sistema é capaz de exercer e sofrer força gravitacional. O que acontece é 
que, na natureza, essas duas grandezas são, sempre, rigorosamente proporcionais. Desse modo, 
pode-se utilizar a mesma unidade de medida. Na teoria da Relatividade Geral, inclusive, elas 
são consideradas a mesma coisa, mesmo conceitualmente, porque a gravitação não é tida como 
uma interação cuja intensidade seria medida por uma força, mas sim uma manifestação da 
própria inércia quando se está em um espaço tempo provido de curvatura. 
 
Conclusão 
 Portanto, por meio deste experimento, conseguiu-se determinar a massa inercial e massa 
gravitacional de um corpo desconhecido, com o auxílio das formulas ensinada, conseguiu-se 
calcular a massa inercial pela equação do período, em que fez-se necessário achar o período 
médio para dez oscilações, encontrar a constante elástica media, para substituir na formula, 
assim com manipulação matemática estipular o valor da massa, para encontrar a massa 
gravitacional, ja foi mais simples, pelo fato de apenas levar o corpo e colocou-se em uma 
balança e obtivemos esse valor dessa massa. Outra fator relevante, é a proporcionalidade entre 
essas duas massa, conceitualmente sabe-se que essas massa são diferentes, mas através da teoria 
da relatividade de Einstein pode-se dizer que elas são proporcionais, pelo princípio de 
equivalência sua razão seria 1, mas nesse experimento encontrou-se valores bem próximos, 
devido a calibração do instrumento, enfim, encontrou-se um erro relacionado as medidas, de 
24%, por isso não constatamos com êxito essa proporcionalidades, mas fez-se um experimento 
com valores equivalentes. 
 
Referência 
RESNICK, R. , HALIDAY, D. Fundamentos da Física. Volumes I e II. 6ªed. Livros 
Técnicos Científicos, 1996 
GOLDEMBERG, JOSÉ. Física Geral e Experimental. Volume I. 
CMUP. Princípio da Equivalência: Massa de inércia e massa gravitacional. Disponível em:< 
https://cmup.fc.up.pt/cmup/relatividade/RG/node5PE2.html>. Acesso em: 27/08/2019. 
Departamento de Física da FCTUC. Introdução ao cálculo de erros nas medidas de 
grandezas físicas. Física laboratorial. Disponível em: 
<http://fisica.uc.pt/data/20072008/apontamentos/apnt_221_1.pdf>p.1-14, 2003. 
RUCKERT, Ernesto Von. Qual a diferença entra Massa Inercial e Massa Gravitacional ?. 
Askfm. 2016.Disponível em: < https://ask.fm/wolfedler/answers/137090679069 >. Acesso 
em:28/10/2019.