exercícios resolvidos circuitos trifásicos

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1 Problemas resolvidos
Sistemas Electromecaˆnicos
1. Circuitos ele´ctricos monofa´sicos
2. Circuitos ele´ctricos trifa´sicos
3. Circuitos magne´ticos
4. Transformador
Paulo Branco
(2004/2005)
1
2 Circuitos ele´ctricos monofa´sicos
2.1 Problema 1
Qual o valor da inductaˆncia de uma bobina quando uma tensa˜o de 20V e´ induzida aos seus
terminais para uma mudanc¸a da corrente de 12A para 20A em 2s.
e(t) = L
di(t)
dt
⇒ dt.e(t) = L.di(t) (1)
∆t.E = L.∆I ⇒ L = ∆t
∆I
E =
2
20− 12 × 20 = 5 H (2)
2.2 Problema 2
Uma bobina tem uma inductaˆncia de 50mH. Qual a tensa˜o induzida aos seus terminais
quando a taxa de mudanc¸a da sua corrente e´ de 10000A/s ?
L = 50 µH,
∆I
∆t
= 10000 A/s
E = L.
∆I
∆t
= 50× 10−6 × 104 = 50× 10−2 = 0.5 V (3)
2.3 Problema 3
A bobina correspondente ao circuito prima´rio de um transformador tem uma inductaˆncia
de 30mH considerando-se despreza´vel a sua resisteˆncia. Calcule a sua reataˆncia para uma
frequeˆncia de 60Hz e a corrente quando ligada a uma fonte de tensa˜o de 120V.
L = 30 mH, f = 60 Hz, E = 120 V
ω = 2πf = 2× 3.146× 60 = 377 rad/s (4)
XL = ωL = 377× 30× 10−3 = 11.31Ω (5)
Z = jωL⇒ |Z| =
q
(ωL)2 = ωL⇒ Z = 11.31Ω (6)¯¯
I
¯¯
= I =
E
ωL =
120
11.31
= 10.6 A (7)
2.4 Problema 4
Um circuito com uma bobina de 0.1H e uma resisteˆncia de 20Ω em se´rie sa˜o ligados a uma
fonte de tensa˜o de 100V/25Hz. Determine:
a) impedaˆncia do circuito;
b) corrente;
c) tensa˜o na resisteˆncia;
d) tensa˜o na bobina;
e) aˆngulo de fase da inductaˆncia.
2
Valor instantaˆneo da tensa˜o aplicada ao circuito:
v (t) = vR (t) + vL (t) (8)
vR (t) = Ri (t) , vL (t) = L
di (t)
dt
Lei das malhas, notac¸a˜o fasorial:
V = V R + V L = RI + jωLI (9)
V = (R+ jωL) I = ZeqI
I =
V
Zeq
=
V
R+ jωL (10)
2.4.1 al´inea (a)
Zeq = 20 + jωL = 20 + 15.7j (11)
2.4.2 al´inea (b)
I =
V
Zeq
=
100∠0◦
25.42∠38.13◦ = 3.93∠− 38.13
◦ A (12)
2.4.3 al´inea (c)
V R = RI = 78.66∠− 38.13◦ V (13)
2.4.4 al´inea (d)
V L = ZLI = (15.7∠90◦)× (3.93∠− 38.13◦) = 61.7∠51.87◦ V (14)
2.4.5 al´inea (e)
αL = 90◦ (15)
2.5 Problema 5
Um condensador de 20mF e uma resisteˆncia de 100Ω em se´rie sa˜o ligados a uma fonte de
tensa˜o de 120V/60Hz. Determine:
a) impedaˆncia do circuito;
b) corrente;
c) tensa˜o na resisteˆncia;
3
d) tensa˜o no condensador;
e) aˆngulo entre a corrente e a tensa˜o no condensador.
Valor instantaˆneo da tensa˜o aplicada ao circuito:
v (t) = vR (t) + vc (t) (16)
vR (t) = Ri (t) , ic (t) = C
dvc (t)
dt
Lei das malhas, notac¸a˜o fasorial:
V = V R + V c = RI +
1
jωCI (17)
V =
µ
R+
1
jωC
¶
I = ZeqI
I =
V
Zeq
=
V
R+ 1
jωC
(18)
2.5.1 al´inea (a)
Zeq = R+
1
jωC = R−
1
ωCj = 100− 132.63j Ω (19)
2.5.2 al´inea (b)
I =
V
Zeq
=
120∠0◦
166.1∠− 52.98◦ = 0.72∠52.98
◦ A (20)
2.5.3 al´inea (c)
V R = RI = 72.2∠52.98◦ V (21)
2.5.4 al´inea (d)
V c = ZcI = (132.63∠− 90◦)× (0.72∠52.98◦) = 95.49∠− 37.02◦ V (22)
2.5.5 al´inea (e)
αc = −90◦ (23)
4
2.6 Problema 6
Um circuito RLC se´rie com uma resisteˆncia de 50Ω, condensador de 25mF, e uma bobina
de 0.15H esta´ ligado a uma fonte de tensa˜o de 120V/60Hz. Determine:
a) impedaˆncia do circuito;
b) corrente;
c) tensa˜o na resisteˆncia;
d) tensa˜o na bobina;
e) tensa˜o no condensador;
f) aˆngulo de fase do circuito;
g) factor de poteˆncia do circuito.
2.6.1 al´inea (a)
Zeq = R+ Zc + ZL = R+
1
jωC + jωL = (24)
= 50 + 56.55j − 106.1j = 50− 49.55j (25)
Zeq = 70.39∠− 44.7◦ Ω (26)
2.6.2 al´inea (b)
I =
V
Zeq
=
120∠0◦
70.4∠− 44.7◦ = 1.7∠44.7
◦ A (27)
2.6.3 al´inea (c)
V R = RI = 85.23∠44.7◦ V (28)
2.6.4 al´inea (d)
V L = ZLI = (56.55∠90◦)× (1.7∠44.7◦) = 96.4∠134.7◦ V (29)
2.6.5 al´inea (e)
V c = ZcI = (106.1∠− 90◦)× (1.7∠44.7◦) = 180.86∠− 45.3◦ V (30)
2.6.6 al´inea (f)
α = −44.7◦ (31)
2.6.7 al´inea (g)
f.p. = cos (α) = 0.711 (32)
5
2.7 Problema 7
Uma resisteˆncia de 10Ω, uma impedaˆncia indutiva de 8Ω, e uma impedaˆncia capacitiva de
15Ω sa˜o ligadas em paralelo numa fonte de tensa˜o de 120V/60Hz. Determine:
a) corrente total;
b) factor de poteˆncia do circuito;
c) poteˆncia na resisteˆncia.
2.7.1 al´inea (a)
1
Zeq
=
1
R
+
1
ZL
+
1
Zc
= 10 +
1
8j
− 1
15j
= (33)
Zeq = 8.64∠30.26◦ Ω
I =
V
Zeq
=
120∠0◦
8.64∠30.26◦ = 13.89∠− 30.26
◦ A (34)
2.7.2 al´inea (b)
f.p. = cos (30.26◦) = 0.864 (35)
2.7.3 al´inea (c)
Pact =
¯¯
V
¯¯ ¯¯
I
¯¯
cos (30.26◦) = 1440.7 W (36)
6
3 Circuitos ele´ctricos trifa´sicos
3.1 Problema 1
Treˆs impedaˆncias sa˜o ligadas em estrela, sendo cada uma do valor 4− 3j. As impedaˆncias
sa˜o ligadas a um gerador trifa´sico equilibrado com uma tensa˜o de linha de 208V. Calcule:
a) o valor da corrente em cada impedaˆncia,
b) o factor de poteˆncia,
c) e a poteˆncia activa total na carga.
LI
Z
Z Z
LI
LI
FI
FI FI
FU
LU
IL = IF UL =
√
3UF
Z = 4− 3j |Z| = 5Ω θ = arctg ¡−3
4
¢
= −36.9◦
3.1.1 al´inea (a)
IL =?
IL = IF =
UF
|Z| =
208√
3
5
= 24 A (37)
3.1.2 al´inea (b)
Factor de poteˆncia
θ = −36.9◦ ⇒ cos (θ) = 0.8 (38)
7
3.1.3 al´inea (c)
Poteˆncia activa total
PT = 3× PF (39)
PF = UF IF cos (θ) (40)
PT = 3× 208√
3
× 24× 0.8 = 6.92 kW (41)
3.2 Problema 2
Um gerador trifa´sico com uma tensa˜o de linha no valor de 208 V esta´ a alimentar uma carga
em triaˆngulo. A corrente em cada impedaˆncia da carga e´ de 5 A, e o factor de poteˆncia e´
de 0.8 em atraso, α < 0. Calcule a corrente na linha.
Z Z
LI
LI
FI FI
FULU
Z
LI
IF = 5 A IL =
√
3IF
IL =
√
3× 5 = 8.66 A (42)
3.3 Problema 3
Treˆs impedaˆncias no valor de 4+3j cada uma sa˜o ligadas em triaˆngulo a um gerador trifa´sico
com 240 V de tensa˜o de linha. Calcule a corrente em cada fase, a corrente na linha, o factor
de poteˆncia, e a poteˆncia activa total na carga.
8
Z Z
LI
LI
FI FI
FULU
Z
LI
UL = UF IL =
√
3IF
Z = 4 + 3j |Z| = 5Ω θ = arctg ¡3
4
¢
= 36.9◦ UL = 240 V
3.3.1 al´inea (a)
IF =
UF
|Z| =
240
5
= 48 A (43)
3.3.2 al´inea (b)
IL =
√
3IF =
√
3× 48 = 83.14 A (44)
3.3.3 al´inea (c)
θ = 36.9◦ ⇒ cos (θ) = 0.8 (45)
3.3.4 al´inea (d)
PT = 3× PF (46)
PF = UF IF cos (θ) (47)
PT = 3×
µ
240× 83.14√
3
× 0.8
¶
= 27.65 kW (48)
9
3.4 Problema 4
Para o circuito representado na figura abaixo, calcule as correntes I1, I2 e I3.
UL = 240 V
Z = 9 + 12j |Z| = 15Ω θ = 53.1◦
Z = 3− 4j |Z| = 5Ω θ = −53.1◦
I1 = IL =
√
3IF (49)
IF =
UF
|Z| =
240
15
= 16 A (50)
IL =
√
3× 16 = 27.7 A (51)
I1 = 27.7 A
I2 = IL = IF (52)
IF =
UF
|Z| =
UL√
3
5
=
240√
3
5
= 27.7 A (53)
IL = 27.7 A (54)
I2 = 27.7 A
Somando-se I1 e I2
I3 = I1 + I2 = 55.4 A (55)
10
3.5 Problema 5
Na Figura considera-se um gerador trifa´sico ligado a uma carga trifa´sica em estrela, a pre-
senc¸a do neutro e as impedaˆncias relativas a` linha Calcule:
a) a corrente na linha;
b) a tensa˜o em cada fase da carga;
c) a poteˆncia activa absorvida pela carga;
d) a poteˆncia activa na linha.
0.05+j0.20
120 V 0 °
120 V +120°
120 V -120 °
0.05+j0.20
0.05+j0.20
10.0+j3.00
10.0+j3.00
ZA = 10 + 3j ZB = 0.05 + 0.2j
Z = ZA + ZB = 10.05 + 3.2j |Z| = 10.55Ω θ = 17.66◦
3.5.1 al´inea (a)
I1 =
U1
Z
=
120∠0◦
10.55∠17.66◦ = 11.37∠− 17.66
◦ A (56)
I2 =
U2
Z
= 11.37∠102.34◦ A (57)
I3 =
U3
Z
= 11.37∠− 137.66◦ A (58)
IL =
¯¯
I1
¯¯
=
¯¯
I2
¯¯
=
¯¯
I3
¯¯
= 11.37 A (59)
3.5.2 al´inea (b)
Zc = 10 + 3j;⇒ |Zc| = 10.44Ω, θ = 16.7◦
|UFc| = |IF | |Zc| (60)
IL = IF (61)
UFc = 11.37× 10.44 = 118.7 V (62)
11
3.5.3 al´inea(c)
PTc = 3 (UFcIFc cos (θ)) (63)
= 3 (118.7× 11.37× cos (16.7))
PTc = 3.88 kW (64)
3.5.4 al´inea (d)
ZL = 0.05 + 0.2j;⇒ |ZL| = 0.2Ω, θ = 75.96◦
|UL| = |IL| |ZL| = 11.37× 0.2 = 2.27 V (65)
PL = 3 (ULIL cos (θ)) (66)
= 3 (2.27× 11.37× cos (75.96))
PL = 18 W (67)
3.6 Problema 6
Considere o gerador trifa´sico representado na Figura. Cada fase do gerador debita uma
corrente de 30A com uma tensa˜o por fase de 254V e um factor de poteˆncia de 0, 8. Calcule:
a) qual a tensa˜o aos terminais do gerador;
b) a poteˆncia activa em cada fase;
c) a poteˆncia activa total entregue pelo gerador trifa´sico.
Ip = 30 A
IL = IF UL =
√
3UF
cos (θ) = 0.8
3.6.1 al´inea (a)
Tensa˜o aos terminais do gerador, UL =?
UL =
√
3UF =
√
3× 254 = 439.9 V (68)
3.6.2 al´inea (b)
Poteˆncia activa em cada fase.
PF = UF IF cos (θ) = 254× 30× 0.8 (69)
PF = 6.1 kW
12
3.6.3 al´inea (c)
Poteˆncia activa total.
PT = 3PF = 3× 6.1 (70)
PT = 18.3 kW
3.7 Problema 7
A carga em triaˆngulo representada na Figura consome uma poteˆncia activa total de 600kW
para uma tensa˜o de linha de 5000V. Se a corrente medida na linha for de 75A, qual o factor
de poteˆncia do circuito?
IL = 75 A
PT = 600 KW
FP = ?
α = ?
UL = UF IL =
√
3IF
PT = 600 kW UL = 5000 V IL = 75 A
PT = 3PF (71)
PT = 3 (UF IF cos (θ))
cos (θ) = PT
3UF IF
=
600000
3× 5000× 75√
3
= 0.92
13