PROB AP 1 PROBABILIDADE 2018

Prévia do material em texto

1 
 
 
 
 
 
No dia a dia, vivenciamos certos fenômenos que, embora sejam repetidos muitas vezes e sob as mesmas 
condições, não apresentam os mesmos resultados. Por exemplo, no lançamento de um dado, não podemos 
afirmar que apareça um 6; não posso garantir que hoje chova, etc.... 
 
Aos fenômenos (ou experimentos) deste tipo damos o nome de Fenômenos Aleatórios (ou Casuais). 
Ou seja, são os fenômenos cujo resultado final é imprevisível; dependem do acaso. 
 
Outros fenômenos aleatórios são, por exemplo: 
 Lançamento de uma moeda perfeita 
 Número de pessoas que ganharão na loteria 
 Número de peças defeituosas fabricadas por uma maquina 
Como não sabemos o resultado exato de um fenômeno aleatório é que buscamos na Teoria das 
Probabilidades os resultados prováveis, as chances, as possibilidades de um determinado resultado ocorrer. 
 
PROBABILIDADE é então, um ramo da matemática que cria, elabora e pesquisa modelos para estudar 
experimentos ou fenômenos aleatórios. 
 
Espaço Amostral (ou Conjunto Universo – U ou S): 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento. Exemplos: 
 Lançamento de uma moeda perfeita: S = {Ca, Co} 
 Lançamento de um dado “não-viciado”: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
 
Evento (A): É um conjunto de resultados, ou seja, é um subconjunto de um espaço amostral S. Notação para 
o Evento: A ou B ou C etc. O número de elementos de um evento será indicado por n(A) , n(B), etc. 
 
EXEMPLOS: 
1. No lançamento de um dado “não viciado” 
O conjunto de todos os resultados possíveis é {1, 2, 3, 4, 5, 6} e um subconjunto dele é {1, 3, 5}. Nesse 
exemplo temos: Espaço Amostral: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 
Evento A: “ocorrer número impar no lançamento de um dado” → A = {1, 3, 5} 
 
2. Dois lançamentos sucessivos de uma moeda e aparecer cara pelo menos uma vez 
S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Co), (Co, Ca)} – composto de 4 eventos 
A = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Ca)} 
 
3. Dois lançamentos sucessivos de uma moeda e aparecer cara apenas uma vez 
S = {(Ca, Ca), (Ca, Co), (Co, Co), (Co, Ca)} – composto de 4 eventos 
A = {(Ca, Co), (Co, Ca)} 
 
4. No lançamento de um dado, sabemos que U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Consideremos os eventos: 
a) A: ocorrência de um número par  A = {2, 4, 6} 
b) B: ocorrência de múltiplo de 3  B = {3, 6} 
c) C: ocorrência de um número par ou número múltiplo de 3  C = A∪B = {2, 3, 4, 6} 
d) D: ocorrência de um número par e múltiplo de 3  D = A∩B = {6} 
e) E: ocorrência de um número ímpar  E = Ā = S – A = {1, 3, 5}. Note que A∪Ā = S. 
 
 
ESTATÍSTICA E PROBABILIDADE 
PROBABILIDADE – 27/03/2018 
Profª M. Helena 
 
2 
 
CÁLCULO DE PROBABILIDADES 
 
Vamos supor que todos os elementos de um espaço amostral finito U tenham a mesma chance de 
acontecer. (Espaço Equiprovável) 
A probabilidade de ocorrer um evento A, indicada por P(A) é um número que mede essa chance e é dado 
por: 
 
 
n(S)
n(A)
S de elementos de número
A de elementos de número
P(A)
 ou 
possíveis resultados de totalnúmero
favoráveis resultados de número
P(A)
 
 
OBS: 
a. Para todo evento A, 0 ≤ P(A) ≤ 1. Isso significa que a probabilidade pode assumir valores de 0 a 1. 
b. Quando P(A) = 0  Evento Impossível (não há possibilidade que ele venha a acorrer). Ex: ocorrência de 
um número maior do que 6 no lançamento de um dado. 
c. Quando P(A) = 1  Evento Certo (há certeza de que ele ocorrerá). Ex: No lançamento de um dado, a 
ocorrência de um número menor do que 7. Logo A = S 
d. P(U) = 1 
 
EXEMPLOS: 
1. Consideremos o lançamento aleatório de uma moeda perfeita. Qual a probabilidade de sair cara? 
Tanto “sair cara” como “sair coroa” (que são os eventos elementares) têm a mesma “chance” de ocorrer. 
Assim: 
Espaço Amostral: S = {Ca, Co} n(U) = 2 
Evento A: A = {Ca}  n(A) = 1 
Logo P(A) =
2
1
n(S)
n(A)

. Portanto, temos 50% de chance de sair cara no lançamento de uma moeda. 
 
2. Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Qual a probabilidade de: 
a. Ocorrer 5 no primeiro lançamento e um número par no segundo? 
Espaço Amostral: S = {(1,1), (1,2), .....(6,6)} n(U) = 36 
Evento A: A = {(5,2), (5,4), (5,6)}  n(A) = 3 
Logo P(A) =
12
1
36
3
n(S)
n(A)

. Portanto, temos 8,33% de chance de ocorrer esse evento. 
 
b. O produto dos pontos obtidos ser maior que 20? 
Evento B: B = {(4,6), (5,5), (5,6), (6, 4), (6,5), (6,6)}  n(A) = 6 
Logo P(A) =
6
1
36
6
n(S)
n(A)

. Portanto, temos 16,66% de chance de ocorrer esse evento. 
 
Probabilidade da União de dois eventos (A∪B): É a probabilidade de ocorrer o evento A ou o evento B. 
 Então, A e B são dois Eventos Quaisquer, então P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) 
EX.: Uma urna contém bolas de mesmo raio, enumeradas de 1 a 25. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a 
probabilidade de que seu número seja um múltiplo de 2 ou de 3? 
A: Múltiplos de 2: {2, 4, 6, 8, 10, 12 ,14, 16, 18, 20, 22, 24}⟶ n(A) = 12 
B: Múltiplos de 3: {3, 6, 9, 12 , 15, 18, 21, 24}⟶ n(B) = 8 
A ∩ B = {6, 12, 18 e 24}⟶ n(A∩B) = 4 
3 
 
Então P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) ⟶ P(A ∪ B) = 
%6464,0
25
16
25
4
25
8
25
12

 
 
Probabilidade Condicional: Quando a realização de um evento depende da realização de outro evento no 
mesmo experimento. Se A e B são Eventos Condicionados, a probabilidade de o evento A ocorrer, uma vez 
que B tenha ocorrido, é dado por 
 
 
P(B)
BAP
A/BP


, com P(B) > 0. 
 
 
EX.: Na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas, considere os eventos: 
 A: sair um rei 
 B: sair uma carta de paus 
Determine a probabilidade de ser uma carta de paus, sabendo que essa carta é um rei. 
A: sair um rei⟶ n(A) = 4 
B: sair uma carta de paus ⟶ n(B) = 13 
Saiu um rei de paus ⟶ n(A∩B) = 1 
P(ser paus / sendo rei) = 
 
 
%25
4
1
P(A)
BAP
B/AP 


 
 
Probabilidade da Intersecção de dois eventos (A∩B) - Teoria da Multiplicação - É a probabilidade de 
ocorrer simultaneamente A e B. Então, 
  P(A/B)P(B)BAP  
EX.: Em um cesto de roupas, há dez meias, das quais três estão rasgadas. Duas meias são retiradas 
sucessivamente e sen reposição do cesto. Qual a probabilidade de que as duas meias retiradas não esteja 
rasgadas? 
 
A probabilidade referente à segunda retirada está condicionada ao resultado da primeira. 
Meias não rasgadas = 7. Então 
 
15
7
90
42
9
6
10
7
BAP
 
 
Eventos Independentes: Quando a realização ou não de um evento não afeta a probabilidade da realização 
do outro e vice-versa. Então, 
  P(B)P(A)BAP  
Se A e B são dois Eventos Independentes, a probabilidade que eles se realizem simultaneamente é igual ao 
produto das probabilidades da realização de cada um deles, ou seja, P = P(A) x P(B). 
EX.: Um dado é lançado e é registrado o número obtido na face superior. Em seguida, uma moeda é lançada 
e é registrada sua face. Qual a probabilidade de obtermos o número 5 e a coroa? 
Então 
  %33,8
12
1
2
1
6
1
BAP
 
 
Evento Complementar (A’ ou Ac ou 𝑨 ): É o evento Ā, tal que Ā = S – A, ou seja, é um outro conjunto 
formado pelos elementos que pertencem a S mas não pertencem a A. 
Se Ā é um Evento Complementar de A, então P(Ā) = 1 – P(A) 
EX.: No lançamento simultâneo de dois dados perfeitos distinguíveis, qual a probabilidade de não sair soma 
5? 
Sabemos que n(S) = 36. 
Seja A o evento “sair soma 5”  n(A) = 4, pois A = {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)} 
P(A) = 
n(S)
n(A)
= 
9
1
36
4

 e P(Ā) = 1 – P(A) = 
9
8
9
1
1 
. Logo, a possibilidade de nãosair soma 5 é de 8/9. 
 
4 
 
Eventos Mutuamente Exclusivos: quando a intersecção de dois eventos é o conjunto vazio (A∩E = ), ou 
seja, quando a realização de um exclui a realização do outro. Ex: no lançamento de uma moeda, o evento de 
“tirar cara” e o evento de “tirar coroa” são mutuamente exclusivos, uma vez que ao se realizar um deles o 
outro não se realiza. 
Se A e B são Eventos Mutuamente Exclusivos, então P(A∪B) = P(A) + P(B), pois P(A∩B) = . 
 
EXERCICÍOS: 
1. Uma urna contém 6 bolas, sendo 3 brancas e 3 vermelhas. Dessa urna são retiradas, sucessivamente, 3 
bolas. Calcular o número de elementos dos seguintes eventos: 
a. As três bolas têm a mesma cor 
b. Duas das bolas são brancas 
c. As três bolas são vermelhas 
d. O número de bolas brancas é igual ao 
número de bolas vermelhas. 
 
2. Na tabela abaixo está representada a distribuição, por turno, dos 80 alunos de um determinado curso: 
 Manhã Noite Escolhendo ao acaso um aluno desse grupo, qual a 
probabilidade de que seja: 
a. Mulher? 
b. Do curso noturno? 
c. Homem do curso diurno? 
Homens 20 23 
Mulheres 25 12 
 
3. Em um grupo de 80 pessoas, todas de Minas Gerais, 53 conhecem o Rio de Janeiro, 38 conhecem S. 
Paulo e 21 já estiveram nas duas cidades. Uma pessoa do grupo é escolhida ao acaso. Qual é a 
probabilidade: 
a. De que ela tenha visitado exatamente uma dessas cidades? 
b. Não conheça nenhuma das duas cidades? 
 
4. De um baralho de 52 cartas, uma é extraída ao acaso. Qual a probabilidade de ser sorteada: 
a. O sete de copas? 
b. Uma carta de ouros? 
c. Uma carta que não seja o valete de espadas? 
d. Uma carta que não seja de ouros e nem de copas? 
 
5. Em um congresso cientifico existem 15 matemáticos e 12 estatísticos. Qual a probabilidade de se formar 
uma comissão com 5 membros, na qual figurem 3 matemáticos e 2 estatísticos? 
 
6. Uma caixa contém 10 letras: as cinco vogais e as cinco primeiras consoantes do alfabeto. Uma letra é 
sorteada ao acaso. Qual é a probabilidade de que a letra sorteada seja: 
a. E? b. C? c. J? d. Consoante? 
 
7. Uma pesquisa realizada com um grupo de fregueses de um supermercado revelou que 63% consomem 
a marca A de óleo, 55% consomem a marca B, e 32% consomem ambas as marcas. Uma pessoa do grupo é 
escolhida ao acaso. Qual é a probabilidade de que ela não consuma nenhuma dessas marcas? 
 
8. Um ônibus de excursão com vinte brasileiros e seis estrangeiros é parado pela Polícia Federal de Foz 
Iguaçu para vistoria da bagagem. O funcionário escolhe, ao acaso, três passageiros para terem as malas 
revistadas. Qual é a probabilidade de que todos sejam brasileiros? 
 
9. Três cartas de um baralho são sorteadas simultaneamente. Qual é a probabilidade de que: 
a. Apareça o dez de ouros entre as cartas sorteadas? 
b. Todas as cartas sorteadas sejam de espadas? 
 
 
5 
 
10. Um dado é lançado duas vezes sucessivamente. Sejam os eventos: 
a. A: soma dos pontos obtidos é 10; 
b. B: números obtidos são distintos. 
c. Calcule P(A U B). 
 
11. Os dados da tabela seguinte referem-se a uma pesquisa realizada com 155 moradores de um bairro e 
revelam seus hábitos quanto ao uso de TV e Internet pagas. 
 Só TV aberta TV paga Um dos entrevistados é selecionado ao acaso. Qual 
é a probabilidade de que ele use TV ou Internet 
pagas? 
 
Internet Gratuita 76 44 
Internet Paga 14 21 
 
12. Uma urna contém bolas de mesmo raio, enumeradas de 1 a 30. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a 
probabilidade de que seu número seja: 
a. Par? 
b. Ímpar? 
c. Par e menor que 15? 
d. Múltiplo de 4 ou 5? 
 
13. Três cartas de um baralho são sorteadas simultaneamente. Qual a probabilidade de que: 
a. Apareça o dez de ouros entre as cartas sorteadas? 
b. Todas as cartas sorteadas sejam de espadas? 
 
14. De um lote de 14 peças, das quais 5 são defeituosas, escolhemos duas aleatoriamente. Determine: 
a. A probabilidade de que ambas sejam defeituosas 
b. A probabilidade de que ambas não sejam defeituosas 
c. A probabilidade de que uma seja defeituosa 
 
15. Um casal planeja ter exatamente 3 crianças. Qual a probabilidade de que: 
a. Duas crianças sejam meninos e a outra, menina? 
b. Todas as crianças sejam meninas? 
c. Pelo menos uma criança seja menino? 
d. Todas as crianças sejam do mesmo sexo? 
e. Nenhuma criança seja menina? 
 
16. Em uma urna existem 3 bolas brancas, 5 vermelhas e 10 pretas. Serão retiradas duas bolas, seguidamente, 
mas com reposição da 1ª bola. Calcule a probabilidade de que: 
a. As duas bolas retiradas sejam pretas. 
b. As duas bolas retiradas sejam branca e vermelha, nessa ordem. 
c. As duas bolas retiradas sejam branca e vermelha. 
d. As duas bolas retiradas sejam da mesma cor. 
e. As duas bolas retiradas sejam de cores diferentes. 
 
17. Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? 
 
18. No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não inferior a cinco? 
 
19. Em uma caixa há vinte selos, sendo 12 nacionais e 8 importados. Retira-se ao acaso um selo da caixa e 
registra-se sua origem. A seguir, retira-se outro selo da caixa, sem que o primeiro seja reposto; e anota-se a 
origem. Qual a probabilidade de saírem selos de origens diferentes. 
 
20. Selecionemos aleatoriamente uma carta de um baralho comum de 52 cartas.Sejam A = {a carta é uma 
espada} e B = {a carta é uma figura}.Calcular P(A), P(B) e P(A∩B) 
 
21. Dentro de um armário há 3 pares de sapatos de cores diferentes. Retiram-se ao acaso dois sapatos. Qual a 
probabilidade de: 
a. Eles serem do mesmo par? b. Um ser do pé direito e outro do pé esquerdo? 
6 
 
22. Carlos, administrador recém formado, envia currículo para duas empresas A e B, à procura de emprego. A 
probabilidade de ser aceito pela empresa A é de 25% e a de ser aceito pela B é de 20%; a probabilidade de 
ser aceito por ambas é de 8%. 
a. Qual a probabilidade de ser aceito por ao menos uma das empresas? 
b. Qual a probabilidade de ser aceito por exatamente uma das empresas? 
 
23. Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma nos dois dados é 8, calcule a probabilidade de ocorrer à 
face 5 em um deles. 
 
24. Qual a probabilidade P(A) de se retirar 3 cartas de ouro de um baralho de 52 cartas, sem reposição? 
 
25. Na extração de uma carta de um baralho de 52 cartas, considere os eventos: 
A: sair um rei 
B: sair uma carta de paus 
Determine: A probabilidade de ser um rei, sabendo que a carta é de paus? 
 
26. Se um dado é lançado duas vezes sucessivamente e os números obtidos são: 
a. Iguais, qual é a probabilidade de que a soma dos pontos seja um número par? 
b. Distintos, qual é a probabilidade de que a soma dos pontos seja 8? 
 
27. 59. As cidades seguintes candidataram-se a sede de um torneio internacional de futebol que será realizado 
no Brasil: Manaus, Belém, São Paulo, Rio de Janeiro, Belo Horizonte, Salvador, Recife, Fortaleza, Aracaju, 
Teresina, Vitória, Campinas e São Luís. 
a. Sabendo que a cidade escolhida não fica na região Sudeste, qual é a probabilidade de que seja Teresina? 
b. Se nem Salvador nem Fortaleza foram as cidades escolhidas, qual é a probabilidade de que a sede seja 
uma cidade do Sudeste? 
 
28. Duas bolas vão ser retiradas de uma urna que contem 2 bolas brancas, 3 pretas e 4 verdes. Qual a 
probabilidade de que ambas: 
a. Sejam verdes b. Sejam da mesma cor? c. Sejam de cores diferentes? 
 
29. Lança-se um par de dados não viciados. Se a soma é 6, qual a probabilidade de ter ocorrido à face 2 em 
um deles? 
 
30. Retirando-se duas cartas ao acaso, com reposição, de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de 
ser a primeira de ouros e a segunda de espadas?31. 64. Em uma festa infantil, foram misturados, em uma caixa, 12 brindes para meninos e 15 para meninas. 
Dois brindes são retirados ao acaso,sucessivamente e sem reposição, da caixa. Qual é a probabilidade de que: 
a. Ambos sejam para meninos? 
b. Um seja para meninos e outro para meninas? 
 
32. Dois estojos idênticos estão sobre uma mesa. Um deles tem 3 canetas pretas, 2 vermelhas e 3 azuis. O 
outro tem 2 canetas pretas,4 azuis e 1 vermelha. Fabrício escolhe ao acaso um estojo e dele e extrai, 
aleatoriamente, uma caneta.Qual é a probabilidade de Fabrício tirar uma caneta azul? 
 
33. Dispõe-se de duas urnas, sendo que na urna I temos 5 bolas azuis, 3 pretas e 4 brancas. Na urna II temos 6 
azuis, 4 pretas e 10 brancas, todas de mesmo raio. Se uma bola é retirada de cada urna, qual a probabilidade 
 
34. Num recipiente adequado estão colocadas 7 bolas, sendo 3 pretas e 4 brancas. Retirando do recipiente 
aleatoriamente uma bola, repondo-a depois de anotada a sua cor e repetindo essa operação mais duas vezes, 
calcule a probabilidade de que as três bolas retiradas sejam brancas.