Transformada Z Inversa e Sistemas de Dados Amostrados

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Transformada Z inversaTransformada Z inversa
A seqüência de amostras representada por uma 
transformada Z, isto é, a transformada Z inversa, pode ser 
obtida de algumas formas, por exemplo, uma aproximação 
por divisões sucessivas baseada nas frações parciais.
A aproximação por divisões sucessivas é matematicamente a 
mais fácil de aplicar. 
Considerando a função transformada
( )
1
5
+= zzF
O procedimento consiste em dividir o numerador pelo 
denominador em divisões sucessivas
O procedimento consiste em:
1. Multiplicar o numerador pelo denominador
2. Dividir pela maior potência de z
3. Subtrair o resultado do numerador na 1a divisão, 
ou do resultado da subtração anterior nas 
divisões sucessivas
4. Separar o termo de mais baixa ordem
( )
1
5
+= zzF
K+−+− −−−− 4321 5555 zzzz
155
5)1
−+
+
z
z
15 −− z
21 55 −− −− zz
25 −z
32 55 −− + zz
z÷
( ) zz ÷+× 1 

 +×=
z
11
35 −− z
43 55 −− −− zz
45 −z
Assim:
( ) K+−+−= −−−− 4321 5555 zzzzzF
Portanto, a transformada inversa é uma série de amostras:
( ) ,51 =Tf
( ) ,52 −=Tf
( ) ,53 +=Tf
( ) K54 −=Tf
Sistemas de dados amostradosSistemas de dados amostrados
Na análise de sistemas de dados amostrados considera-se 
as funções de transferência dos elementos constituintes e 
suas combinações para resultar em uma função de 
transferência global.
A transformada Z auxilia a manipulação da equação de 
forma a se obter a saída para uma particular entrada.
Finalmente, a transformada inversa pode ser obtida para 
mostrar como o sinal varia com o tempo.
O exemplo a seguir ilustra isto.
ExemploExemplo
Considere o sistema, um circuito elétrico, mostrado na figura
Função de transferência: ( )
25,0
25,0
1
1
+=+= sRCs
RCsG
A transformada Z da função de transferência é:
( ) ( )sGdeZdatransformazG =
( ) 


+= 25,0
25,0
s
deZdatransformazG
as +
1
E a transformada ZEsta expressão é da forma
Tez
z
25,0−−dessa função é: , onde T é o período de amostragem
Assim: 
( ) Tez
zzG 25,0
25,0
−−=
sT 1=Considerando o período de amostragem de 
( )
78,0
25,025,0
25,0 −=−= − z
z
ez
zzG T (*)
A função de transferência G(s) descreve a relação entre a 
entrada e a saída quando ambas estão no domínio s. Da 
mesma forma, a função de transferência G(z) descreve a 
relação entre a entrada e a saída quando ambas estão no 
domínio z :
( )
)(
)(
sentrada
ssaídasG = ( )
)(
)(
zentrada
zsaídazG =
Considerando a entrada impulso de 4V, e como a 
transformada z de um impulso é 1, a equação * tem 
como saída:
( )
78,0
25,0
−= z
zzSaída
De forma a obter a transformação inversa, para ver 
como a saída varia com o tempo, a expressão é 
reorganizada por meio de divisões sucessivas:
K+++++ −−−− 4321 37,047,061,078,01 zzzz
78,0
)78,0 −− zzz
78,0+
161,078,0 −− z
161,0 −+ z
21 47,061,0 −− −+ zz
247,0 −z
32 37,047,0 −− − zz
OBS: o resultado está 
dividido por 0,78, para 
obter uma resposta 
adimensional
337,0 −z
A saída pode ser escrita como:
( ) K+++++= −−−− 4321 37,047,061,078,01 zzzzzSaída
A transformada inversa gera a seguinte série de pulsos:
( ) ,78,01 =Tf
( ) ,10 =Tf
( ) ,61,02 =Tf
( ) ,47,03 =Tf
( ) K37,04 =Tf
Podemos determinar a saída do sistema em regime 
permanente pelo teorema do valor final:
( ) ( ) ( )zFztf
zt
1limlim
1
−= →∞→
( ) ( ) ( )
78,0
11 −
−=−
z
zzzFz( )
78,0−== z
zsaídazF
1→z , a expressão tende a zero. Portanto:Quando 
( ) 0lim =∞→ tft
As amplitudes dos pulsos diminuem até zero.
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em malha aberta
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controlado por computador
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