12896_LMAT_IntroducaoaAnalise_impresso

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Disciplina 
Introdução à Análise 
 
Coordenador da Disciplina 
Prof. Anderson Feitosa Leitão Maia 
 
9º Edição 
 
 
Copyright © 2010. Todos os direitos reservados desta edição ao Instituto UFC Virtual. Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada 
por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, dos autores. 
 
Créditos desta disciplina 
 
Realização 
 
 
Autor 
 
Prof. Marcos Ferreira de Melo 
 
 
 
 
 
 
 
Sumário 
 
Aula 01: Conjuntos Finitos e Infinitos .................................................................................................... 01 
 Tópico 01: Conjuntos Finitos e Infinitos ............................................................................................... 01 
 Tópico 02: Conjuntos Enumeráveis ....................................................................................................... 05 
 
Aula 02: Números Reais ........................................................................................................................... 08 
 Tópico 01: R é um corpo ....................................................................................................................... 08 
 Tópico 02: R é um corpo ordenado ........................................................................................................ 11 
 
Aula 03: Completeza de R ........................................................................................................................ 14 
 Tópico 01: Supremo e Ínfimo ................................................................................................................ 14 
 Tópico 02: R é um Corpo Ordenado Completo ..................................................................................... 18 
 
Aula 04: Sequências de Números Reais .................................................................................................. 21 
 Tópico 01: Sequências Numéricas ......................................................................................................... 21 
 Tópico 02: Limite de uma Sequência .................................................................................................... 24 
 Tópico 03: Operações com Limites ....................................................................................................... 28 
 
Aula 05: Séries de Números Reais .......................................................................................................... 32 
 Tópico 01: Séries Numéricas ................................................................................................................. 32 
 Tópico 02: Critérios de Convergência de Séries ................................................................................... 35 
 
Aula 06: Algumas Noções de Topologia – Parte I ................................................................................. 39 
 Tópico 01: Conjuntos Abertos ............................................................................................................... 39 
 Tópico 02: Conjuntos Fechados ............................................................................................................ 41 
 
Aula 07: Algumas Noções de Topologia – Parte II ................................................................................ 44 
 Tópico 01: Pontos de Acumulação ........................................................................................................ 44 
 Tópico 02: Conjuntos Compactos ......................................................................................................... 47 
 
Aula 08: Funções Contínuas .................................................................................................................... 50 
 Tópico 01: Definição e Primeiras Propriedades .................................................................................... 50 
 Tópico 02: Funções Contínuas num Intervalo ....................................................................................... 53 
 Tópico 03: Funções Contínuas em Conjuntos Compactos .................................................................... 55 
 
 
 
 
 
 
Introdução à Análise 
Aula 01: Conjuntos Finitos e Infinitos 
Tópico 01: Conjuntos Finitos e Infinitos
Neste tópico, será estabelecido com precisão o conceito de conjunto 
finito e conjunto infinito. O ponto de partida é o conjunto dos números 
naturais.
O conjunto N dos números naturais é caracterizado pelos seguintes fatos:
1º Fato
Existe uma função injetiva . A imagem s(n) de cada número natural chama-se o 
sucessor de n . 
2º Fato
Existe um único número natural tal que 1 ≠ s(n) para todo .
3º Fato
Se um conjunto é tal que 1 ∈ X e s(X) ⊂ X (isto é, n ∈ X ⇒ s(n) ∈ X) então .
Essas afirmações podem ser reformuladas assim:
I. Todo número natural tem um sucessor, que ainda é um número natural; números diferentes 
têm sucessores diferentes.
II. Existe um único número natural 1 que não é sucessor de nenhum outro.
III. Se um conjunto de números naturais contém o número 1 e contém o sucessor de cada um 
dos seus elementos, então esse conjunto contém todos os números naturais.
As propriedades 1, 2 e 3 acima chama-se os axiomas de Peano. O axioma 3 é conhecido como o 
princípio da indução. 
No conjunto N dos números naturais são definidas duas operações fundamentais: a adição, que 
associa a cada par de números (m, n) sua soma m+n, e a multiplicação, que faz corresponder ao par (m, n)
seu produto m.n. Essas operações são caracterizadas pelas seguintes igualdades, que lhes servem de 
definição:
m + 1 = s(m);
m + s(n) = s(m + n), isto é, m + (n + 1) = (m + n) + 1;
m . 1 = m;
m . (n + 1) = m . n + m
1
A demonstração da existência das operações e com as propriedades acima, bem como sua unicidade, 
se faz por indução. As seguintes propriedades da adição e da multiplicação são bem conhecidas:
Associatividade: (m+n) + p = m + (n+p), m · (n · p) = (m · 
n) · p;
Distributividade: m · (n+p) = m · n + m · p;
Comutatividade: m+n = n+m, m · n = n · m;
Lei do Corte: m+n = m+p ⇒ n = p, m · n = m · p ⇒ n = p. 
Dados os números naturais m,n, escreve-se m < n quando existe tal que n=m+p. Diz-se então que 
m é menor do que n. A notação m ≤ n significa m < n ou m=n. Prova-se que 
(transitividade) e que, dados quaisquer, vale uma, e somente uma, das seguintes três alternativas: m 
= n, m < n ou n < m (tricotomia).
Uma das mais importantes propriedades da relação de ordem m x n entre os números naturais é o 
chamado princípio da boa-ordenação, abaixo enunciado.
Todo subconjunto não vazio possui um menor elemento, isto é, um 
elemento n0 ∈ A tal que n0 ≤ n para todo n ∈ A.
Com esses conceitos em mente podemos introduzir e apresentar algumas propriedades básicas dos 
conjuntos finitos e dos conjuntos infinitos.
Indiquemos pelo símbolo In o conjunto{1, ..., n} dos números naturais desde 1 até n . Mais precisamente, 
dado , temos
Um conjunto X diz-se finito quando é vazio ou então existem e uma bijeção . Escrevendo 
 temos então . A bijeção chama-se uma contagem dos elementos 
de X e o número natural n chama-se o número de elementos, ou número cardinal do conjunto X. Uma 
pergunta natural é a seguinte.
DÚVIDA
O número de elementos de um conjunto finito é uma noção ambígua? Em outras palavras, se 
 e são bijeções, então necessariamente?
Para responder à pergunta acima consideremos os seguintes resultados: 
Teorema 1: Se é um subconjunto próprio de , não pode existir uma 
bijeção .
2
DEMONSTRAÇÃO 
Considere o conjunto X = { n ∈ N existe um subconjunto próprio A ⊂ In e uma bijeção f: A → In. 
Demonstrar o teorema é mostrar que X = ∅ (conjunto vazio). Suponha, por absurdo, que X ≠ ∅ e 
considere n0 ∈ N o menor elemento de X. Isto significa que existe umsubconjunto próprio A ⊂ Ino e 
uma bijeção f: A → Ino . Se n ∉ A , então tomamos a ∈ A com f(a) = n0 e a restrição f|A-{a}: A - {a} → In -1
será uma bijeção do subconjunto próprio A - {a} ∩ In - 1 sobre o que contradiz a minimalidade 
de n0. Por outro lado, se tivermos n0 ∈ A, então escrevemos f(n0) = a e consideramos a bijeção g : A 
→ In dada por e, consequentemente, a restrição será uma 
bijeção do subconjunto próprio sobre o que novamente vai contrariar a 
minimalidade de 
Corolário 1: Se e são bijeções, então .
Com efeito, se fosse então Im seria um subconjunto próprio de In , o que violaria o Teorema 1, pois 
 é uma bijeção. Analogamente se mostra que não é possível . Logo m=n.
Corolário 2: Não pode existir uma bijeção entre um conjunto finito e sua 
parte própria.
O corolário 2 é uma mera reformulação do Teorema 1.
Exemplo 1. Prove que se X é um conjunto finito e é finito.
SOLUÇÃO 
Com efeito, existe uma bijeção tal que então é finito. Se 
 a restrição é uma bijeção, logo é finito e tem elementos.
Teorema 2: Todo subconjunto de um conjunto finito é finito.
DEMONSTRAÇÃO 
Sabemos (veja o exemplo 1 acima) que se X é um conjunto finito e a ∈ X então X - {a} é finito. O 
caso geral se mostra por indução sobre o número de elementos de . Ele é evidente quando X = 
∅ ou n = 1. Supondo o Teorema verdadeiro para conjuntos com n elementos, sejam X um conjunto 
com n + 1 elementos e Y um subconjunto de X. Se Y = X, nada há o que provar. Caso contrário, 
existe a ∈ X com a ∉ Y. Então, na realidade, Y ⊂ X = {a}. Como X - {a} tem n elementos, segue-se que 
Y é finito.
3
Corolário 1: Dada , se é finito e  é injetiva então é finito; se 
é finito e  é sobrejetiva então é finito.
Com efeito, se f é injetiva então ela é uma bijeção de X sobre um subconjunto f(x) do conjunto finito Y. 
Por outro lado, sef é sobrejetiva, então existe uma função injetiva . Pelo que acabamos de provar, se 
X for finito, então Y também será finito.
Um subconjunto diz-se limitado quando existe .
Corolário 2: Um subconjunto é finito se, e somente se, é limitado.
Com efeito, se é finito, pondo vemos que logo X é limitado. 
Reciprocamente, se é limitado então para algum . Daí, X é finito em virtude do Teorema 2.
Diz-se que um conjunto é infinito quando não é finito. Assim, X é infinito quando não é vazio nem existe, 
seja qual for , uma bijeção .
Exemplo 2. Verifique que os seguintes conjuntos são infinitos:
i: 
ii. Ρ={2,4,6,…} (conjunto dos números pares);
iii. Ι={1,3,5,…} (conjunto dos números ímpares);
iv. = {…,-2,-1,0,1,2,…} (conjunto dos números inteiros);
v. ={m∕n;m,n ∈ ,n ≠0}(conjunto dos números racionais);
vi. =(conjunto dos números reais);
vii. ={a + bi; a, b ∈ ,i2 )= -1}
SOLUÇÃO 
i. Sendo um conjunto ilimitado, segue-se do Corolário 2 do Teorema 2 que é infinito;
ii. Visto que a função , é bijetora e é infinito, segue-se que P é infinito;
iii. Basta observar que a função , é bijetora;
Os conjuntos e são infinitos, pois ambos contêm o conjunto infinito . Note que, de 
acordo com o Teorema 2, todo conjunto que contém um conjunto infinito deve ser infinito. 
4
Introdução à Análise 
Aula 01: Conjuntos Finitos e Infinitos 
Tópico 02: Conjuntos Enumeráveis
Neste tópico estudaremos o conceito de conjunto enumerável.
Um conjunto X diz-se enumerável quando é finito ou quando existe uma bijeção . Neste caso, 
chama-se uma enumeração dos elementos de X . Escrevendo 
Exemplo 1. Prove que se é enumerável.
SOLUÇÃO 
Com efeito, uma bijeção pode ser definida pondo para ímpar e 
 para par.
Teorema 1: Todo subconjunto é enumerável.
DEMONSTRAÇÃO 
Se X é finito, nada há para demonstrar. Caso contrário, enumeremos os elementos de X pondo 
x1 = menor elemento de X, e supondo definidos x1 < x2 , ... xn escrevemos An = X - {x1, x2,...,xn}. 
Observando que An ≠ ∅, pois X é infinito, definimos Xn+1 = menor elemento de An. Então X = {x1, 
x2,...,xn,...}. Com efeito, se existisse algum elemento x ∈ X diferente de todos os xn, teríamos x ∈ An
para todo n ∈ N, logo seria um número natural maior do que todos os elementos do conjunto 
infinito {x1, x2,...,xn,...}, contrariando o Corolário 2 do Teorema 2 visto no Tópico 1 desta aula. 
Exemplo 2. Prove que se é uma função injetiva, então X é enumerável.
SOLUÇÃO 
Com efeito, o Teorema 1 nos garante que é um conjunto enumerável. Como 
é injetiva, segue-se que é uma bijeção. Portanto, é enumerável.
Corolário 1: Seja injetiva. Se Y é enumerável então X também é. 
Em particular, todo subconjunto de um conjunto enumerável é enumerável.
5
Com efeito, existe uma bijeção e, consequentemente, é injetiva. Assim, o resultado 
segue do Exemplo 2 acima.
Corolário 2: Seja sobrejetiva. Se X é enumerável então Y também 
é.
Com efeito, existe uma aplicação injetiva e, consequentemente, este corolário é uma 
consequência direta do Corolário 1.
Exemplo 3. Prove que é enumerável.
SOLUÇÃO 
Com efeito, considere a função , dada por . Como 
 segue-se que é injetiva e, consequentemente, é 
enumerável, em virtude do Corolário 2. 
Corolário 3: O produto cartesiano de dois conjuntos enumeráveis é um 
conjunto enumerável.
Com efeito, se X e Y são enumeráveis, então existem bijeções e , logo a função 
, dada por é sobrejetiva. Visto que é enumerável (veja o Exemplo 3 
acima), segue-se que XxY é enumerável, em virtude do Corolário 2.
Exemplo 4. Prove que o conjunto dos números racionais é enumerável.
SOLUÇÃO 
Ora, vimos no Exemplo 1 que é enumerável e, em particular, também é enumerável. 
O Corolário 3 nos garante que é enumerável. Como a função , dada por 
é sobrejetiva, segue-se que é enumerável, em virtude do Corolário 2.
Corolário 4: A reunião de uma família enumerável de conjuntos enumeráveis 
é enumerável. 
Com efeito, dados enumeráveis, existem bijeções 
Considerando a função sobrejetora , dada 
por conclui-se que é enumerável. O caso de uma reunião finita reduz-
se ao anterior tendo em vista a identidade .
Exemplo 5. (Um conjunto não enumerável) Seja o conjunto das partes de N. Mostre 
que não existe função sobrejetiva . Conclua que é um conjunto não enumerável.
6
SOLUÇÃO 
Com efeito, suponha por absurdo, que existe uma função sobrejetiva . Considere o 
conjunto . Visto que é sobrejetiva, existe tal que . Ora, se 
valer então, pela definição do conjunto , deve-se ter , o que é uma contradição. Por 
outro lado, se ocorrer , então deve-se ter , o que também é uma contradição. 
Portanto não pode existir uma função sobrejetiva . Em particular, nenhuma função
 é bijetora e, consequentemente, é um conjunto não enumerável.
Na próxima aula mostraremos que o conjunto dos números reais não é enumerável.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo (lista1_analise.doc) 
ou clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) para abrir a Lista de Exercícios 
desta aula. Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os 
exercícios  3, 6, 7, 10, 11 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio 
Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc, 
docx ou pdf) ou manuscrito e escaneado.
Fontes das Imagens
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Introdução à Análise 
Aula 02: Números Reais 
Tópico 01: R é um corpo
Neste tópico faremos uma descrição das propriedades aritméticas do 
conjunto dos números reais. 
Dizer que é um corpo significa que estão definidas em duas operações, chamadas adição e 
multiplicação, que cumprem certas condições, abaixo especificadas.
A adição faz corresponder a cada par de elementos , sua soma , enquanto a multiplicação 
associa a esses elementos o seu produto .
Os axiomas a que essas operações obedecem são:
AssociatividadePara quaisquer x,y,z ∈ R tem-se ( x + y) + z = x + (y + z) e (x .y).z = x 
(y.z).
Comutatividade Para quaisquer x,y ∈ R tem-se x + y = y + x e x.y = y.x.
Elementos neutros
Existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x + 0 = x e x.1 = 
x para qualquer x ∈ R.
Inversos
Todo x ∈ R possui um inverso aditivo -x ∈ R tal que x + (-x) = 0 e, se x 
≠ 0, existe também um inverso multiplicativo x-1 ∈ R tal que x . x-1 = 1
Distributividade Para x,y,z ∈ R quaisquer, tem-se x.(y + z ) = x .y + x.z.
Descrição da tabela:
-Associatividade:
Para quaisquer x,y,z ∈ R tem-se ( x + y) + z = x + (y + z) e (x .y).z = x (y.z). -Comutatividade:
Para quaisquer x,y ∈ R tem-se x + y = y + x e x.y = y.x.
-Elementos neutros:
Existem em R dois elementos distintos 0 e 1 tais que x + 0 = x e x.1 = x para qualquer x ∈ R.
-Inversos:
Todo x ∈ R possui um inverso aditivo -x ∈ R tal que x + (-x) = 0 e, se x ≠ 0, existe também um 
inverso multiplicativo x-1 ∈ R tal que x . x-1 = 1
-Distributividade:
Para x,y,z ∈ R quaisquer, tem-se x.(y + z ) = x .y + x.z.
Dos axiomas acima resultam todas as regras familiares de manipulação com os números reais. A título 
de exemplo, estabeleceremos algumas delas. 
Exemplo 1. Prove que os elementos neutros são únicos.
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SOLUÇÃO 
Inicialmente, mostremos que 0 é o único elemento neutro aditivo. Com efeito, se existisse 
outro elemento neutro aditivo, digamos 0', então teríamos 0 = 0' + 0 = 0 + 0' = 0'.
De modo similar, se existisse outro elemento neutro multiplicativo, digamos 1', teríamos 1 = 1'· 
1 = 1·1' = 1'.
A soma x+(-y) será indicada por x-y e chamada diferença entre x e y. Se , o produto x.y-1 será 
representado também por e chamado o quociente de x por y. As operações 
chamam-se, respectivamente, subtração e divisão. 
Exemplo 2. Prove que x+y=0 então y=-x. Conclua que o inverso aditivo de um número real é único e, em 
particular, vale a identidade -(-x) para todo x ∈ .
SOLUÇÃO 
Com efeito, somando a ambos os membros da igualdade obtemos
Isto conclui a prova da primeira parte desta proposição.
Sabemos que é o inverso aditivo de um número real . A equação acima nos diz que se um 
número for um inverso aditivo de então ele deve ser necessariamente . Isto significa que o 
inverso aditivo de um número real é único. Finalmente, usando a comutatividade da adição temos 
que para cada x ∈ vale
ou seja, é o inverso aditivo de , ou ainda, 
Exemplo 3. Prove que x.0=0, para todo x ∈ .
SOLUÇÃO 
Com efeito, da distributividade segue-se que 
Somando ambos os membros da igualdade obtemos 
Exemplo 4. Prove que se x.y=0 , então x=0 ou y=0.
SOLUÇÃO 
Com efeito, se for então podemos multiplicar ambos os membros da igualdade por e 
obter , donde .
9
Uma consequência interessante do Exemplo 4 é que se dois números reais x,y têm quadrados iguais, 
então . Com efeito, 
Exemplo 5. Prove que x.y=1 então . Conclua que o inverso aditivo de um número real é 
único e, em particular, vale a identidade (x-1)-1 para todo x ∈ - {0}.
SOLUÇÃO 
Com efeito, o Exemplo 3 acima nos garante que x ≠ 0 e y ≠ 0. Multiplicando ambos os 
membros da igualdade obtemos
Agora a conclusão é análoga à discutida no Exemplo 2.
Exemplo 6. Prove que, em , são verdadeiras as seguintes “regras de sinais”:
SOLUÇÃO 
a) Com efeito, . Somando a ambos os membros da 
igualdade vem . Analogamente, tem-se .
b) Usando o item (a) temos
.
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Introdução à Análise 
Aula 02: Números Reais 
Tópico 02: R é um corpo ordenado
Neste tópico faremos uma descrição da relação de ordem usualmente 
destacada no corpo .
Dizer que é um corpo ordenado significa que existe um subconjunto + ⊂ , chamado o conjunto dos 
números reais positivos, que cumpre as seguintes condições:
1ª Condição
P1 - A soma e o produto de números reais positivos são positivos. Ou seja,  e 
.
2ª Condição
P2 - Dado x ∈ , exatamente uma das três alternativas seguintes ocorre: ou x = 0 ou x ∈ +  ou -x 
∈ +.
Se indicarmos com - o conjunto dos números -x onde x ∈ +, a condição P2. diz que e 
os conjuntos são dois a dois disjuntos. Os elementos de - chamam-se números reais 
negativos.
Exemplo 1. Prove que todo número real x ≠ 0 tem quadrado positivo e conclua que 1 é positivo.
SOLUÇÃO 
Com efeito, se x ∈ + então x2 = x . x ∈ + por P1. Se x ∈ + então (como x ≠ 0) -x ∈ + logo, ainda 
por causa de , temos x2 = (-x).(-x) ∈ +. Em particular, 1 é um número positivo porque 12 = 1 .
Escreve-se x < y e diz-se que x é menor do que y quando , isto é, y=x+z onde z é positivo. Neste 
caso, escreve-se também y > x e diz-se que y é maior do que x. Em particular x > 0 significa que +.
Exemplo 2. Valem as seguintes propriedades da relação de ordem x < y em :
O1. Transitividade: se x < y e y < z então x < z.
O2. Tricotomia: dados , ocorre exatamente uma das alternativas: x = y, x < y ou y < x.
O3. Monotonicidade da adição: se x < y então, para todo , tem-se x + z < y + z.
O4. Monotonicidade da multiplicação: se x < y então, para todo z > 0 tem-se xz < yz. Se, porém, z < 0 
então x < y implica yz < xz.
11
DEMONSTRAÇÃO 
O1. e significam que existem tais que . Daí, 
 e, consequentemente, visto que .
O2. O resultado é uma consequência direta da relação .
O3. significa que existe tal que . Somando a esta última equação obtemos 
 o que indica .
O4. Se então , por P1. Somando a desigualdade obtemos 
, em virtude de O3. De modo similar se trata do caso .
Como 1 é positivo, segue-se que 1 < 1 + 1 < 1 + 1 + 1 < ... Podemos então considerar ⊂ . Segue-se 
que ⊂ , pois 0 ∈ e n ∈ ⇒ -n ∈ . Além disso, se m,n ∈ com n ≠ 0 então m;n = m .n-1 ∈ , o que nos 
permite concluir que ⊂ . Assim, temos ⊂ ⊂ ⊂ .
Veremos na próxima aula que a inclusão é própria, ou seja, tem-se .
Exemplo 3. (Desigualdade de Bernoulli.) Para todo número real .
DEMONSTRAÇÃO 
Vamos usar indução sobre n . Para n = 1 a desigualdade é óbvia. Supondo que a desigualdade 
vale para , multiplicando ambos os membros pelo número 1 + x ≥ 0 obtemos
A relação de ordem em permite definir o valor absoluto (ou módulo) de um número real do 
seguinte modo:
Noutras palavras, é o maior dos números reais x e -x. 
Tem-se para todo . Com efeito, a desigualdade é óbvia, enquanto resulta de 
multiplicarmos por -1 ambos os membros da desigualdade .
Teorema 1: Sejam x , δ ∈ . Tem-se |x| ≤ δ se, e somente se, - δ ≤ x ≤ δ.
DEMONSTRAÇÃO 
12
De modo similar prova-se que 
Teorema 2: Se 
DEMONSTRAÇÃO 
Somando membro a membro as desigualdades obtemos 
Segue-se do Teorema 1 que . Para provar que , basta 
mostrar que estes dois números têm o mesmo quadrado, já que ambos são não-negativos. Ora, 
A desigualdade é conhecida como desigualdade triangular.
Usaremos as seguintes notações para representar tipos especiais de conjuntos reais, chamados 
intervalos.
Em termos de intervalos, o Teorema 1 diz que 
OBSERVAÇÃO
Nada do que foi dito até agora sobre permite distinguir de , pois os números racionais também 
constituem um corpo ordenado. Na próxima aula trataremos deste assunto.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
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individualmente ou em grupo. Os exercícios 3, 7, 10, 11, 18 correspondem ao trabalho dessa aula que 
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Introdução à Análise 
Aula 03: Completeza de R 
Tópico 01: Supremo e Ínfimo
VERSÃO TEXTUAL 
Nesta aula destacaremos o fato de  ser um corpo ordenado completo. Na aulaanterior 
falamos sobre as propriedades de corpo e a ordem natural de . Para apresentarmos a completeza 
de , iniciaremos esta aula com os conceitos de conjuntos limitados, supremo e ínfimo. 
Um conjunto X ⊂  diz-se limitado superiormente quando existe algum b ∈  tal que x ≤b para todo x ∈ X. 
Neste caso diz-se que b é uma cota superior de X. Analogamente, diz-se que o conjunto X ⊂  é limitado 
inferiormente quando existe a ∈  tal que a ≤ x para todo x ∈ X. O número a chama-se então uma cota inferior 
de X. Se X é limitado superior e inferiormente, diz-se que X é um conjunto limitado. Isto significa que X está 
contido em algum intervalo [a,b] ou, equivalentemente, que existe k > 0  tal que x ∈ X ⇒|x| ≤ k.
Exemplo 1. Verifique que o conjunto  é limitado e exiba algumas cotas inferiores 
e superiores de .
SOLUÇÃO 
Inicialmente, observemos que se , então ,  e, consequentemente, 
. Isto significa que . Por outro lado, se  então ,  e, 
deste modo, . Finalmente, para  tem-se , 
 e, portanto, . Assim, conclui-se que  e, obviamente,  é 
limitato. É claro que todo número  é cota superior de  e todo número  é cota inferior de 
.
Seja  um conjunto limitado superiormente e não-vazio. Um número  chama-se o supremo do 
conjunto  quando é a menor de suas cotas superiores de . Mais explicitamente,  é o supremo de 
quando cumpre as duas condições: 
S1. Para todo , tem-se ; 
S2. Se é tal que para todo então .
A condição S2 admite a seguinte reformulação:
S2’. Se  então existe  com .
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Com efeito, S2’ diz que nenhum número real menor do que  pode ser cota superior de . Às vezes se 
exprime S2’ assim: para todo  existe  tal que .
Escreveremos b=supX para indicar que  é o supremos do conjunto . 
Analogamente, se X ⊂  é um conjunto não vazio, limitado inferiormente, um número real a chama-se o 
ínfimo do conjunto X , e escreve-se a = inf X, quando é a maior das cotas inferiores de X. Isto equivale às 
duas afirmações:
I1. Para todo , tem-se ;
I2. Se para todo então .
A condição I2 pode também ser formulada assim:
I2’. Se  então existe  tal que .
De fato, I2’ diz que nenhum número maior do que  é cota inferior de . Equivalentemente: para todo 
 existe  tal que .
Diz-se que um número  é o maior elemento (ou elemento máximo) do 
conjunto  quando  para todo . Isto quer dizer que  é uma cota 
superior de , pertencente a . De forma análoga define-se o menor elemento 
(ou elemento mínimo) de um conjunto .
Exemplo 2. Se  possuir um elemento máximo, este será o seu supremo, se possuir um elemento 
mínimo, ele será seu ínfimo. Reciprocamente, se supX pertence a  então é o maior elemento de ; se 
 pertencer a , será o seu menor elemento. Em particular, se  e , temos  e 
supX=b.
Exemplo 3. Dados  em , seja . Verifique que  e supX=b.
SOLUÇÃO 
 É claro que  é uma cota inferior de . Vamos verificar que nenhum  com  é cota 
inferior de . Isto é claro se . Por outro lado, se for  então  é um elemento de , 
com , o que prova que  não é cota inferior. Assim inf X=a. De modo análogo se mostra que 
supX=b.
É interessante observar que no Exemplo 3 acima se tem que . Isto ilustra bem que 
as noções de supremo e ínfimo servem, respectivamente, para substituir, de modo preciso, a ideia de maior 
e menor elemento de um conjunto quando esses não necessariamente existem.
Exemplo 4. Dados  com , tome  tais que ,  e . 
15
1. Prove que e ;
2. Conclua do item (a) que o conjunto e não possui elemento máximo e que o 
conjunto e não possui elemento mínimo;
3. Prove que se e , então .
4. Conclua dos itens anteriores que entre os números racionais, não existem supX e infX.
SOLUÇÃO 
1. Com efeito, . Visto que , temos  e, consequentemente, 
. A desigualdade  implica  e, portanto, . Logo, 
. Por outro lado, . A desigualdade  nos dá , ou seja, 
. Daí, . Resta mostrar que . Ora, . 
2. Pelo que foi visto no item (a), concluímos que  não tem elemento máximo, pois para cada 
 existe  tal que . De modo semelhante conclui-se que  não tem elemento 
mínimo. 
3. Com efeito, tem-se  e, portanto, . Daí,  e, 
consequentemente, . 
4. Suponhamos, inicialmente, que existe a=supX. É claro que . Não pode ser , pois 
isto obrigaria  e, então  seria o maior elemento de , que não existe, pelo item (b). 
Tampouco poderia ser , pois, neste caso, teríamos  e, pelo item (b), existiria  tal que 
, o que implicaria, em virtude do item (c), que  para todo . Isto contradiz o fato 
. Assim, se existir a=supX, deverá ser  e , isto é, .  Um raciocínio 
inteiramente análogo mostraria que o número b=infX, se existir, deve ser . A conclusão agora 
é uma consequência de o número  não ser racional. Isto será discutido a seguir. 
O Exemplo 4 acima apontou para uma insuficiência grave dos números racionais, para efeitos de 
Análise Matemática: alguns conjuntos limitados de números racionais não possuem supremo (ou ínfimo). 
Este fato está ligado à inexistência de raízes quadradas racionais de certos números racionais. 
Pitágoras e seus discípulos descobriram o seguinte:
Lema: Não existe um número racional cujo quadrado seja igual a 2. Em 
outras palavras, não é racional.
DEMONSTRAÇÃO 
16
Suponhamos por absurdo, que se tenha , ou seja, , com  e  inteiros. É claro 
que não há perda de generalidade em supor que  é uma fração irredutível, ou seja, o maior divisor 
comum entre eles é 1. Pois bem, a equação  nos diz que  é um número par e, 
consequentemente,  deve ser da forma , para algum inteiro . Substituindo o valor  na 
equação  obtemos . Assim  é um número par e, portanto,  deve ser da forma 
 para algum inteiro . Isto significa que 2 é um divisor comum de  e , o que é uma contradição.
No próximo tópico acabaremos nossa caracterização de , descrevendo-o como um corpo ordenado 
completo, isto é, um corpo ordenado tal que todo subconjunto não vazio, limitado superiormente (resp. 
inferiormente) possuir supremo (resp. ínfimo), propriedade que  não tem.
17
Introdução à Análise 
Aula 03: Completeza de R 
Tópico 02: R é um Corpo Ordenado Completo
A afirmação de que o corpo ordenado R é completo significa que todo 
conjunto não vazio, limitado superiormente, X ⊂ R possui supremo b = sup X ∈ R. 
Não é necessário estipular também que todo conjunto não vazio, limitado inferiormente,  possui 
ínfimo. Com efeito, neste caso o conjunto  é não vazio, limitado superiormente, logo possui 
supremo . Então, como se vê sem dificuldade, o número a =-b é o ínfimo de X.
Em seguida veremos algumas consequências da completeza de R.
Teorema 1: 
i. O conjunto dos números naturais não é limitado superiormente; 
ii. O ínfimo do conjunto é igual a 0;
iii. Dados , existe tal que . 
DEMONSTRAÇÃO 
i. Se  fosse limitado superiormente, existiria . Então  não seria cota superior 
de , isto é, existiria  com . Daí resultaria , logo  não seria cota superior de . 
Esta contradição prova (i).
ii. É evidente que 0 é uma cota inferior de . Basta provar que nenhum  é cota inferior de 
. Ora, dado , existe, por (i), um número natural , donde , o que prova (ii).
iii. Finalmente, dados  usamos (i) para obter  tal que . Então , o que 
demonstra (iii).
As propriedades (i), (ii) e (iii) do teorema acima são equivalentes e significam que  é um corpo 
arquimediano. 
Teorema 2: (Intervalos encaixados.) Dada uma sequência decrescente 
de intervalos limitados e fechados , existe pelo 
menos um número real tal que para todo .
DEMONSTRAÇÃO 
As inclusões  significam que
.
O conjunto  é, portanto, limitado superiormente. Seja . Evidentemente, 
 para todo . Além disso, como cada  é cota superior de , temos  para todo . 
Portanto  qualquer que seja, .
18
Teorema 3: O conjunto dos números reais não é enumerável.
DEMONSTRAÇÃO 
Mostraremos que nenhuma função  é sobrejetora. Para isto, supondo  dada, 
escolhemos um intervalo  tal que . Supondo obtidosintervalos  tais 
que , olhamos para . Se , podemos simplesmente tomar . Se, 
porém, , pelo menos um dos extremos, digamos , é diferente de , isto é, 
. Neste caso, tomamos , com  e . Assim construímos 
uma sequência decrescente  de intervalos fechados e limitados tais que nenhum 
dos valores de  pode ser igual a um número real . 
Um número real chama-se irracional quando não é racional. Como o conjunto  dos números racionais é 
enumerável, resulta do teorema acima que existem números irracionais e, mais ainda, sendo , os 
irracionais constituem um conjunto não enumerável (portanto formam a maioria dos reais) por que a reunião 
de dois conjunto enumeráveis seria enumerável. 
Corolário 1: Todo intervalo não degenerado é não 
enumerável.
DEMONSTRAÇÃO 
Visto que a função , dada por , é uma bijeção cuja inversa é , 
definida por , segue-se que o intervalo  é não enumerável. Como a função 
, definida por  é uma bijeção, segue-se que todo intervalo aberto 
 é não enumerável. Isto completa a demonstração, uma vez que todo intervalo não degenerado 
contém um intervalo aberto.
Teorema 4: Todo intervalo não degenerado  contém números 
racionais e irracionais.
DEMONSTRAÇÃO 
Certamente  contém números irracionais, pois do contrário seria enumerável. Para provar que 
 contém números racionais, tomamos , onde  podem ser supostos irracionais. Fixemos 
19
 tal que . Os intervalos , , cobrem a reta, isto é . Portanto 
existe  tal que . Como  é irracional, temos . Sendo o comprimento do intervalo 
 igual a , segue-se que . Logo o número racional  pertence ao intervalo  e, 
portanto, ao intervalo .
Um conjunto  é dito denso em  quando , para qualquer intervalo aberto  da reta. O 
Teorema 4 acima garante que os conjuntos  e  são ambos densos em .
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
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aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) para abrir a Lista de Exercícios desta 
aula. Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os exercícios 
1, 4a, 8, 9, 12 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio Individual no 
período marcado na Agenda do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc, docx ou pdf) ou 
manuscrito e escaneado. 
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20
Introdução à Análise 
Aula 04: Sequências de Números Reais 
Tópico 01: Sequências Numéricas
Nesta aula faremos uma introdução ao estudo de sequências de 
números reais. Veremos como calcular e fazer operações com limites de 
sequências.
Uma sequência de números reais é uma função , que associa a cada número natural  um 
número real , chamado o n-ésimo termo da sequência. 
Escreve-se  ou , ou simplesmente , para indicar a sequência cujo -ésimo termo é 
.
Não deve ser confundida a sequência  com o conjunto  dos seus termos. Por 
exemplo, a sequência  não é o mesmo que o conjunto . Ou então: as sequências  e 
 são diferentes mas o conjunto dos seus termos é o mesmo, igual a .
Uma sequência  diz-se limitada superiormente (respectivamente 
inferiormente) quando existe  tal que  (respectivamente ) para 
todo . Diz-se que a sequência  é limitada quando ela é limitada superior e 
inferiormente. Isto equivale a dizer que existe  tal que  para todo .
Exemplo 1.Se  então a sequência  é limitada inferiormente, porém não superiormente.
SOLUÇÃO 
 Com efeito, multiplicando ambos os membros da desigualdade  po r  obtemos 
. Segue-se que  para todo , logo  é limitada inferiormente por . Por outro lado, 
temos , com . Pela desigualdade de Bernoulli, para todo  vale . Portando, 
dado qualquer  podemos obter  desde que tomemos , isto é, .
Uma sequência  chama-se crescente quando , isto é, quando  para todo . 
Se vale  para todo , a sequência diz-se não decrescente. 
Analogamente, quando , ou seja,  para todo , a sequência  diz-se 
decrescente. Ela é chamada não crescente quando  para todo . 
As sequências crescentes, não decrescentes, decrescentes e não decrescentes são chamadas 
sequências monótonas. 
Exemplo 2. A sequência  é evidentemente limitada, não decrescente e não-crescente.
Exemplo 3. A sequência  é limitada inferiormente, ilimitada superiormente, monótona 
crescente.
21
Exemplo 4. Dado , com , seja , para todo . Verifique que  é 
uma sequência crescente e limitada.
SOLUÇÃO 
Com efeito, a sequência  é crescente, pois  para todo . Além 
disso, ela é limitada, pois  
para todo .
Exemplo 5. Mostre que a sequência  é crescente e limitada.
SOLUÇÃO 
 Com efeito, a sequência  é crescente, pois  para todo . Esta 
sequência é limitada, pois
, para todo .
Observe que na desigualdade acima usam os a estimativa , para todo , 
que é obtida do Exemplo 4 para . 
Exemplo 6. Mostre que a sequência  é crescente e limitada.
SOLUÇÃO 
 Com efeito, a fórmula do binômio de Newton nos dá 
,
ou seja,
.
 Vemos assim que cada  é uma soma de parcelas positivas. Cada uma dessas parcelas 
cresce com . Além disso, o número de parcelas também cresce com . Logo a sequência  é 
crescente. Observamos ainda, pela última igualdade, que  para todo , onde  é a 
sequência apresentada no Exemplo 5. Logo  é uma sequência limitada, com  para 
 arbitrário.
Exemplo 7. Analise se a sequência  é monótona.
22
SOLUÇÃO 
 Inicialmente, observemos que , o que de fato ocorre 
para todo , conforme provado no Exemplo 6 acima. Assim concluímos que a sequência  é 
decrescente a partir do seu terceiro termo. Como , segue-se que esta sequência cresce 
em seus três primeiros termos e depois começa a decrescer. Em particular  é 
limitada.
Dada uma sequência , uma subsequência de  é a restrição da função  a um subconjunto 
infinito  de . Escreve-se  ou , ou  para indicar a 
subsequência . A notação  mostra como uma subsequência pode ser considerada com uma 
sequência, isto é, uma função cujo domínio é .
Lembre-se que  é infinito se, e somente se, é ilimitado, isto é, para 
todo  existe  com .
Exemplo 8. Considere a sequência , ou seja, . As sequências constantes  e 
 podem ser vistas, respectivamente, como as subsequências  e .
No próximo tópico estudaremos o conceito de limite de uma sequência.
23
Introdução à Análise 
Aula 04: Sequências de Números Reais 
Tópico 02: Limite de uma Sequência
VERSÃO TEXTUAL 
Diz-se que o número real  é limite da sequência  quando, para todo número real , dado 
arbitrariamente, pode-se obter  tal que para todos os termos  com índice  cumprem a 
condição . Escreve-se então .
Diz-se que o número real  é limite da sequência  quando, para todo número real , dado 
arbitrariamente, pode-se obter  tal que para todos os termos  com índice  cumprem a condição 
. Escreve-se então .
Esta importante definição significa que, para valores muito grandes de , os termos  tornam-se tão 
próximos de  quanto se deseje. Mais precisamente, estipulando-se uma margem de erro , existe um 
índice  tal que todos os termos  da sequência com índice  são valores aproximados de  com 
erro menor do que .
Simbolicamente, escreve-se
; .
Acima, o símbolo  significa que o que vem depois é a definição do que vem antes.  significa “para 
todo” ou “qualquer que seja”.  significa “existe”. O ponto-e- vírgula quer dizer “tal que” e a seta  significa 
“implica”.
Convém lembrar que  é o mesmo que , isto é,  pertence ao intervalo aberto 
. 
Em vez de , escreve-se também ,  ou . Esta última expressão lê-se “
 tende para ” ou “converge para ”. Uma sequência que possui limite diz-se convergente. Caso contrário, 
ela se chama divergente.
Exemplo 1. Verifique a veracidade dos limites:
a) 
b) 
c) 
d) 
SOLUÇÃO 
24
a) Para cada  escolhemos  tal que  e obtemos: 
.
b) Seja  dado. Fixemos  tal que . Para cada  vale .
c) Usando a desigualdade de Bernoulliobtemos, para todo , a estimativa 
, donde,
.
Daí, para cada  dado, escolhemos  tal que  e obtemos
.
d) Para cada  dado, escolhemos  tal que  e obtemos
.
Teorema 1: (Unicidade do limite) Se e então .
DEMONSTRAÇÃO 
Seja  dado. Sendo  existe  tal que . Por outro lado, como 
 existe  tal que . Escolhendo  obtemos, para .
Isto significa que , para cada , ou seja, 
.
Teorema 2: Se então toda subsequência de  converge para 
o limite .
DEMONSTRAÇÃO 
Seja  uma subsequência de . Dado , existe  tal que  
. Como os índices da subsequência formam um subconjunto infinito, existe entre eles um 
. Então . Logo .
25
Exemplo 2. A sequência  é divergente pois possui subsequências   e 
 convergindo para limites distintos.
Teorema 3: Toda sequência convergente é limitada.
DEMONSTRAÇÃO 
Seja . Para , obtemos  tal que . Consideremos o conjunto 
finito . Sejam  o menor e  o maior elemento de . Então todos os termos 
 da sequência estão contidos no intervalo ; logo a sequência é limitada.
Exemplo 3. A sequência  é divergente, pois não é limitada.
A recíproca do Teorema 3 é falsa, em geral. Com efeito, no Exemplo 2 temos 
uma sequência limitada que é divergente. 
Teorema 4: Toda sequência monótona e limitada é convergente.
DEMONSTRAÇÃO 
Para fixar as ideias, seja uma sequência não decrescente limitada. Tomemos 
. Afirmamos que . Com efeito, dado qualquer , como , o 
número não é cota inferior do conjunto dos Xn. Logo existe algum tal que . Como 
a sequência é não crescente, . Assim, concluímos que 
OBSERVAÇÃO
Se  fosse não-crescente, teríamos . 
Exemplo 4. Vimos no Exemplo 5 do tópico anterior que a sequência  é crescente e 
limitada. O Teorema 4 acima garante que esta sequência é convergente. Escreve-se  (número de 
Euler). No Exemplo 6 daquele tópico vimos também que a sequência  é crescente e limitada. 
Veremos mais adiante que , ou seja,
.
Corolário 1: (Teorema de Bolzano-Weierstrass) Toda sequência limitada 
possui uma subsequência convergente.
26
Com efeito, basta mostrar que toda sequência  possui uma subsequência monótona. Digamos que 
um termo  é destacado quando  para todo . Seja  o conjunto dos índices  tais que  é 
um termo destacado. Se  for um conjunto infinito, , então a subsequência  será 
monótona não crescente. Se, entretanto,  for finito seja  maior do que todos os . Então  não é 
destacado, logo existe  com . Por sua vez,  não é destacado, logo existe  com 
. Prosseguindo, obtemos uma subsequência crescente . 
No próximo tópico veremos algumas propriedades básicas dos limites. 
Essas propriedades nos permitirão fazer operações com limites.
27
Introdução à Análise 
Aula 04: Sequências de Números Reais 
Tópico 03: Operações com Limites
Veremos agora como se comportam os limites de sequências relativamente às operações (soma, 
multiplicação, divisão, etc.) e às desigualdades.
Teorema 1: Se e é uma sequência limitada, então 
 (mesmo que não exista ).
DEMONSTRAÇÃO 
Existe  tal que  para todo . Dado , como , podemos encontrar 
 tal que . Logo, 
.
Isto mostra que .
Exemplo 1. Tem-se que , para qualquer . Com efeito , com  e 
.
Exemplo 2. Mostre que se , então, salvo um número finito de índices , tem-se que .
SOLUÇÃO 
Ora, escolhendo  obtemos  tal que  .
Como , o resultado está provado.  
Tendo em vista o Exemplo 2 acima, no Item 3 do teorema abaixo, para formar a sequência , limitamo-
nos aos índices  suficientemente grandes de modo que  .
Teorema 2: Se e , então,
1. ; ; 
2. ; 
3.  se .
DEMONSTRAÇÃO 
28
1. Dado  existem  e  em  tais que  e . Seja 
. Então  implica:
.
Isto prova que . O caso da diferença  se trata do mesmo modo. 
2. Temos . Ora  é uma sequência limitada 
(Teorema 3 do Tópico 2) e . Logo, pelo Teorema 1 acima . Por motivo 
semelhante, . Assim, pela parte 1 já demonstrada, temos
donde .
3. Inicialmente observemos que , e, pela partes 1 e 2 já 
demonstradas, . Portanto, é suficiente mostrar que a sequência  é limitada. Ora, 
como , para  obtemos  tal que  , 
donde , ou seja, . Logo  é limitada e o resultado está provado.
Exemplo 3. Para cada  considere a sequência . Verifique que .
SOLUÇÃO 
Ora, sabemos que  é decrescente se  e crescente se , sendo limitada em 
qualquer hipótese. Existe, portanto . É claro que , pois se , então 
 e se for , então . Para provar que , consideramos a 
subsequência . Como esta subsequência converge para , temos, em virtude 
do Item 3 do Teorema 2,
.
Exemplo 4. Mostre que . 
SOLUÇÃO 
Ora, sabemos que existe , pois a sequência  é monótona decrescente a partir do 
seu terceiro termo. É claro que . Considerando a subsequência , temos
.
Como , de  concluímos que .
29
Teorema 3: (Conservação do sinal) Se , existe tal que 
. (Se uma sequência tem limite positivo, a partir de uma certa 
ordem todos os seus termos são positivos.)
DEMONSTRAÇÃO 
Seja . Então existe  tal que . Assim .
Da mesma forma prova-se que se  então, a partir de uma certa ordem, todos os termos 
 são negativos.
Corolário 1: Sejam e sequências convergentes. Se para todo 
então .
Com efeito, se fosse , então teríamos  e, daí, teríamos  para todo 
 suficientemente grande.
Teorema 4: (Teorema do Confronto) Sejam para todo . 
Se então . 
DEMONSTRAÇÃO 
Dado  arbitrariamente, existem   e  em  tais que  e 
. Pondo , vemos que  implica , donde 
.
Exemplo 5. Considere as sequências  e . Mostre que .
SOLUÇÃO 
Ora, já vimos que , para todo . O Corolário 1 acima nos garante que . Por 
outro lado, fixando arbitrariamente , temos, para todo ,
. 
Fazendo  (e mantendo  fixo) na desigualdade acima, o segundo membro tende para o 
limite . Usando o Corolário 1 novamente obtemos  para todo . Novamente a mesma 
proposição nos permite concluir que . Enfim, obtemos
. 
30
Dada uma sequência , diz-se que “o limite de  é mais infinito” e escreve-se , para 
significar que, dado arbitrariamente , existe  tal que   implica .
Analogamente,  significa que, para todo , existe  tal que  implica .
Exemplo 6. É fácil ver que ,  e . 
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
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abrir a Lista de Exercícios desta aula. Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, 
individualmente ou em grupo. Os exercícios 2, 7a, 9, 12a, 15 correspondem ao trabalho dessa aula que 
deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR, num 
único documento de texto (doc, docx ou pdf) ou manuscrito e escaneado.
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31
Introdução à Análise 
Aula 05: Séries de Números Reais 
Tópico 01: Séries Numéricas
Nesta aula estenderemos a operação de adição (até agora definida para 
um número finito de números reais) de modo a atribuir significado a uma 
soma com um número infinito de parcelas.
Dada uma sequência  de números reais, a partir dela formaremos uma nova sequência  onde
,  ,  ... ,  , etc.
Os números  chamam-se as reduzidas ou somas parciais da série . A parcela  é o -ésimo 
termo ou termo geral da série.
Se existir o limite , diremos que a série  é convergente e  será 
chamado a soma da série. Se  não existir, diremos que  é uma série divergente.
Às vezes é conveniente considerar séries do tipo , que começam com  em vez de .
Exemplo 1. Já vimos na aula passada que a série  é convergente, com soma igual a .
Exemplo 2. Verifique que quando  a série geométrica  é convergente, e determine 
seu valor.  
SOLUÇÃO 
Com efeito, sabemos que, para todo , vale , ou seja, 
. Como , segue-se que  e, consequentemente, .
Exemplo 3. A série , cujo termo geral é , tem -ésima soma parcial 
.
Portanto , isto é, .  
Exemplo 4. Verifique que a sérieé convergente e calcule seu valor.  
SOLUÇÃO 
 Inicialmente, encontremos  tais que
32
.
Ora, como , devemos ter , ou seja, 
. Assim o termo geral da série  é dado por   e, 
consequentemente, a -ésima soma parcial é dada por
Portanto, a série  é convergente e seu valor é dado pelo limite . 
Exemplo 5. Verifique se a série , de termo geral  é convergente.  
SOLUÇÃO 
Ora, a soma parcial  é igual a zero quando  é par, e igual a 1 quando  é ímpar. Portanto não 
existe , ou seja,  é divergente.
Exemplo 6. A série harmônica  é divergente. 
SOLUÇÃO 
Com efeito, temos
.
Segue-se que  e, por conseguinte, . 
Uma condição necessária para a convergência de uma série é que seu termo geral tenda para zero.
Teorema 1: Se é uma série convergente então .
DEMONSTRAÇÃO 
Seja sn = a1 + a1+ ... an . Então existe s = limsn. Evidentemente, tem-se também s = limsn - 1. 
Logo 
0 = s - s = limsn - limsn - 1 = lim(sn - sn - 1) = lim an
OBSERVAÇÃO
33
A recíproca do Teorema 2 é falsa. Um contraexemplo é dado pela série harmônica . Seu termo 
geral  tende para zero, mas a série é divergente, conforme o Exemplo 6 acima.
Exemplo 7. Use o Teorema 1 para mostrar que as séries a seguir são divergentes.
1. 
2. 
3. 
SOLUÇÃO 
1. Se a série  fosse convergente, então seu termo geral  tenderia a zero. Como
,
segue-se que  é divergente.
2. Basta observar que lim2n = + ∞.
3. É suficiente observar que e > 0.
34
Introdução à Análise 
Aula 05: Séries de Números Reais 
Tópico 02: Critérios de Convergência de Séries
Nem sempre é fácil calcular a soma de uma série! Entretanto, há critérios 
que nos permitem concluir que certas somas infinitas são convergentes sem que 
haja necessidade de calculá-las. Este será o objetivo deste tópico.
Teorema 1: (Critério de comparação) Sejam e séries de 
termos não-negativos. Se existem e tais que para todo 
então a convergência de implica a de enquanto a divergência 
de implica a de .
DEMONSTRAÇÃO 
Sem perda de generalidade, podemos supor que  para todo . Então as reduzidas 
 e , de  e  respectivamente, formam sequências não decrescentes tais que  para 
todo . Como ,  limitada implica  limitada e  ilimitada implica  ilimitada, pois 
.  O resultado agora é uma consequência do fato de que uma sequência monótona é 
convergente se, e somente se, é limitada.
Exemplo 1. Como a série harmônica  é divergente, resulta do critério de comparação que  é 
divergente quando  pois, neste caso, .  
Exemplo 2. Mostre que se , então  converge. 
SOLUÇÃO 
Com efeito, seja  a soma da série geométrica .  Mostraremos que toda reduzida 
 da série  é . Seja  tal que . Então,
.
Portanto,  é uma sequência crescente e limitada, logo convergente.
Uma série  diz-se absolutamente convergente quando  é convergente.
Teorema 2: Toda série absolutamente convergente é convergente.
35
DEMONSTRAÇÃO 
Seja  uma série absolutamente convergente. Se , então para todo 
 vale,
,
onde . Como  é uma sequência de Cauchy, segue-se que  é de Cauchy e, 
portanto, convergente.
A recíproca do Teorema 2 é falsa. Um contraexemplo é dado pela série . Esta série não é 
absolutamente convergente, pois quando tomamos a soma dos valores absolutos, obtemos a série 
harmônica, que diverge. A convergência da série dada segue-se do Teorema 3 abaixo.
Teorema 3: (Leibniz.) Se é uma sequência monótona decrescente 
que tende para zero então é uma série convergente.
DEMONSTRAÇÃO 
Seja . Então  e . Logo as reduzidas de 
ordem par formam uma sequência não decrescente (pois ) e as de ordem ímpar formam 
uma sequência não crescente (pois ). Além disso, como , temos 
. Isto mostra que 
e . Logo  converge e o teorema está provado.
Teorema 4: (Teste da razão.) Seja para todo e suponha que 
exista o limite .  Tem-se que:
i. Se  então é absolutamente convergente. 
ii. Se então não converge absolutamente. 
iii. Se o teste é inconclusivo.
DEMONSTRAÇÃO 
i. Fixe  tal que . Então existe  tal que , ou 
seja,  é uma sequência limitada. Daí existe uma constante positiva  tal que , isto é, 
, para todo . Como  é convergente (pois ) o resultado é uma consequência 
do critério de comparação.
ii. Se  então a série  diverge, pois se tem , donde  para todo 
 suficientemente grande e daí resulta que o termo geral de  não tende para zero. 
36
iii. Se , o teste é inconclusivo pois a série pode convergir (como no caso ) ou divergir 
(como no caso ).  
Exemplo 3. Analise a convergência das séries. 
a) , 
b) 
SOLUÇÃO 
a) É claro que para  a série é trivialmente convergente. Para  escrevemos  e 
observamos que 
,
donde . Pelo teste da razão,   é convergente.
b) Escrevendo  obtemos:
.
Daí,  e a série  é divergente.
Teorema 5: (Teste da raiz.) Suponha que exista o limite .  
Tem-se que:
i. Se  então converge absolutamente. 
ii. Se então não converge absolutamente. 
iii. Se o teste é inconclusivo.
DEMONSTRAÇÃO 
i. Fixe  tal que . Então existe  tal que . Como 
 é convergente (pois ) o resultado é uma consequência do critério de comparação.
ii. Se  então a série  diverge, pois se tem , donde  para todo 
 suficientemente grande e daí resulta que o termo geral de  não tende para zero. 
37
iii. Se , o teste é inconclusivo, pois considerando as séries  e  temos em ambos os 
casos . Sabemos que a primeira séria é divergente e a segunda é convergente.
Exemplo 4. Consideremos a série , onde  é um número real tomado arbitrariamente. Temos 
. Logo esta série converge (absolutamente) quando  e diverge para .
Exemplo 5. Mostre que 
i. 
ii. 
SOLUÇÃO 
i. Escrevendo  tem-se que:
.
Daí  e, pelo teste da razão, a série  é convergente. Em particular   (termos 
geral desta série) tendo a zero.
ii. Fazendo  temos . Portanto, o teste da raiz nos garante que a 
série  é convergente e, em particular, seu termo geral  tende a zero.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo 
(lista5_analise.doc) ou clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) para abrir 
a Lista de Exercícios desta aula. Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente 
ou em grupo. Os exercícios 1, 5 ,8 , 11, 12 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado 
no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR, num único documento de 
texto (doc, docx ou pdf) ou manuscrito e escaneado.
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38
Introdução à Análise 
Aula 06: Algumas Noções de Topologia – Parte I 
Tópico 01: Conjunto Abertos
Nesta aula faremos uma introdução à topologia da reta. Estudaremos os 
conceitos de conjuntos abertos e conjuntos fechados.
Diz-se que o ponto a é interior ao conjunto  quando existe um número δ > 0 tal que o intervalo aberto (a - 
δ, a + δ) está contido em X. O X ⊂ R conjunto dos pontos interiores a X chama-se o interior do conjunto X e 
representa-se pela notação int X. Quando a ∈ int X diz-se que o conjunto X é uma vizinhança do ponto a. Um 
conjunto A ⊂ R chama-se aberto quando A = int A, isto é, quando todos os pontos de A são interiores a A.
Exemplo 1. Todo ponto  do intervalo aberto  é um ponto interior a . Os pontos  e , extremos 
do intervalo fechado  não são interiores a . O interior do conjunto  dos números racionais é vazio. 
Por outro lado, int{a,b} = (a,b) . Um intervalo aberto é um conjunto aberto. O conjunto vazio é aberto. Todo 
intervalo aberto (limitado ou não) é um conjunto aberto.
Teorema 1: 
a) Se e são conjuntos abertos então a interseção é um 
conjunto aberto.
b) Se é uma família qualquer de conjuntos abertos, a reunião 
é um conjunto aberto.
DEMONSTRAÇÃO 
a) Se  então  e . Como e  são abertos, existem  e  tais que 
 e . Seja . Então  e  logo 
. Assim, o ponto  é um ponto interior, ou seja, o conjuntoé aberto.
b) Se  então existe  tal que . Como  é aberto, existe  tal que 
, logo todo ponto  é interior, isto é,  é aberto.
Exemplo 2. Resulta imediatamente de a) no Teorema 1 que a interseção  de um número finito 
de conjuntos abertos é um conjunto aberto. Mas, embora por b) a reunião de uma infinidade de conjuntos 
abertos seja ainda aberta, a interseção de um número infinito de abertos pode não ser aberta. Por exemplo, 
se  então .
Diz-se que um ponto  é aderente ao conjunto  quando  é limite de alguma sequência de pontos 
. Evidentemente, todo ponto  é aderente a : basta tomar todos os .
Chama-se fecho de um conjunto  ao conjunto  formado por todos os pontos aderentes a . Tem-se 
. Se  então . Um conjunto  diz-se fechado quando , isto é, quando todo ponto 
aderente a  pertence a . Seja . Diz-se que  é denso em  quando , isto é, quando todo 
 é aderente a . Por exemplo,  é denso em .
39
Teorema 2: Um ponto é aderente a um conjunto se, e 
somente se, para todo tem-se . Em outras palavras, 
um ponto é aderente ao conjunto se, e somente se, toda vizinhança de 
contém algum ponto de .
DEMONSTRAÇÃO 
Se  é aderente a  então  com  para todo . Dado arbitrariamente , temos 
 para todo  suficientemente grande. Logo . Respectivamente, 
supondo satisfeita esta condição, para cada  podemos encontrar  tal que . 
Isto define uma sequência de pontos  tais que . Logo  e então  é aderente a 
.
Corolário 1: (Equivalente ao teorema.) Um ponto é aderente a um 
conjunto se, e somente se, para todo intervalo aberto contendo tem-se 
.
Com efeito, todo intervalo aberto contendo  contém um intervalo do tipo .
Corolário 2: Sejam limitado inferiormente e limitado 
superiormente. Então é aderente a e é aderente a .
Com efeito, para todo  existem  e  tais que  e . Isto nos dá 
 e . 
Exemplo 3. Mostre que o fecho do intervalo aberto  é o intervalo fechado , isto é,  . 
SOLUÇÃO 
Com efeito, os pontos  e  são aderentes ao intervalo aberto , pois
 e  .
Logo o fecho de  inclui pelo menos o intervalo fechado . Por outro lado, se  e 
, então . Logo todo ponto aderente ao intervalo aberto  pertence ao intervalo 
fechado .
Exemplo 4. O fecho do conjunto  dos números racionais é a reta . Também o fecho do conjunto 
 dos números irracionais é . Em particular  e  não são conjuntos fechados. 
40
Introdução à Análise 
Aula 06: Algumas Noções de Topologia – Parte I 
Tópico 02: Conjuntos Fechados
Neste tópico destacaremos mais algumas propriedades dos conjuntos fechados.
Teorema 1: Um conjunto é fechado se, e somente se, seu 
complementar é aberto.
DEMONSTRAÇÃO 
Sejam  fechado e , isto é, . Pelo Teorema 2 do Tópico 1, existe  tal que 
, ou seja, . Assim, todo ponto  é interior a .  Reciprocamente, se 
o conjunto  é aberto e o ponto  é aderente a , então toda vizinhança de  contém pontos 
de , logo  não é interior a . Sendo  aberto, temos , ou seja, . Assim, todo ponto 
 aderente a  pertence a , logo  é fechado.
Corolário: 
a) e o conjunto vazio são fechados. 
b) Se  são fechados então é fechado. 
c) Se é uma família qualquer de conjuntos fechados então a 
interseção é um conjunto fechado.
Com efeito,  é o complementar do aberto , e  é o complementar do aberto . Agora, 
 fechados  abertos  aberto  fechado. 
Finalmente, cada  fechado  cada  aberto  aberto  fechado. (Veja o 
Teorema 1 do Tópico 1.)
OBSERVAÇÃO
Cabe aqui uma observação análoga à que foi feita no Exemplo 2 do Tópico 1: a reunião de uma 
família arbitrária de conjuntos fechados pode não ser um conjunto fechado. Isto se vê facilmente: basta 
tomar um conjunto qualquer  que não seja fechado. Tem-se . (Como todo conjunto,  é a 
reunião dos seus pontos; cada ponto  forma um conjunto fechado , mas a reunião  não é um 
fechado.)
Teorema 2: O fecho de todo conjunto é um conjunto fechado, isto 
é, . 
41
DEMONSTRAÇÃO 
Tomemos um ponto qualquer . Pelo Corolário 1 do Teorema 2 do Tópico 1 concluímos que 
existe um intervalo aberto  com  e  e que, para todo  vale . Isto mostra 
que todo ponto de  é um ponto de i nterior, ou seja, que  é fechado. Pelo Teorema 
3,  é fechado.
Exemplo 1.
a) Todo conjunto finito  é fechado, pois seu complementar 
 é aberto.
b) O conjunto  dos inteiros é fechado, pois seu complementar  é aberto.
c) Existem conjuntos que não são fechados nem abertos, como , , ou um intervalo do tipo 
 ou .
d) Os conjuntos  e  são ambos ao mesmo tempo abertos e fechados. Estes são de fato os únicos 
subconjuntos de  que são simultaneamente abertos e fechados, conforme veremos no Corolário do 
Teorema 5 abaixo.
Uma cisão de um conjunto  é uma decomposição  tal que  e , isto é, 
nenhum ponto de  é aderente a  e nenhum ponto de  é aderente a . (Em particular,  e  são 
disjuntos.) A decomposição  chama-se cisão trivial.
Exemplo 2. Se , então  é uma cisão. Dado um número irracional , sejam 
 e . A decomposição  é uma cisão do conjunto  dos racionais. Por 
outro lado, se , então  não é uma cisão.
Teorema 3: Um intervalo da reta só admite a cisão trivial.
DEMONSTRAÇÃO 
Suponhamos, por absurdo, que o intervalo  admita a cisão não trivial . Tomemos 
, , digamos com , logo . Seja  o ponto médio do intervalo . Então  ou . 
Se , poremos  e . Se , escreveremos  e . Em qualquer caso, obtemos 
um intervalo , com  e , . Por sua vez, o ponto médio de  o decompõe em 
dois intervalos fechados justapostos de comprimento . Prosseguindo analogamente, 
obteremos uma sequência de intervalos encaixados  com , 
 e  para todo . Pelo Teorema dos Intervalos Encaixados (Teorema 2 do 
Tópico 2 da Aula 3), existe  tal que  para todo . O ponto  não pode 
estar em  pois , nem em  pois . Contradição.
Corolário: Os únicos subconjuntos de que são simultaneamente abertos e 
fechados são  e .
42
Com efeito, se  é aberto e fechado, então  é uma cisão, logo  e  ou então 
 e .
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
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desta aula. Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os 
exercícios 2, 4, 6, 10 e 12 correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no Portfólio 
Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR, num único documento de texto (doc, 
docx ou pdf) ou manuscrito e escaneado.
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43
Introdução à Análise 
Aula 07: Algumas Noções de Topologia – Parte II 
Tópico 01: Pontos de Acumulação
Nesta aula daremos continuidade ao nosso estudo introdutório sobre 
topologia da reta. Estudaremos os conceitos de pontos de acumulação e 
conjuntos compactos.
Seja . Um número  chama-se ponto de acumulação do conjunto  quando todo intervalo 
aberto , de centro , contém algum ponto diferente de .
O conjunto dos pontos de acumulação de  será representado pela notação  (e, às vezes, chamado 
o derivado de ).
A condição  (  é ponto de acumulação de ) exprime-se simbolicamente do seguinte modo:
;    .
Se  não é ponto de acumulação de , diz-se que  é ponto isolado de . Isto significa que existe 
 tal que  é o único ponto de  no intervalo . Quando todos os pontos do conjunto  são 
isolados,  chama-se conjunto discreto.
Teorema 1: Dados e as seguintes afirmações são 
equivalentes:
1. é um ponto de acumulação de ;
2. , onde é uma sequência de elementos de , dois a dois 
distintos; 
3. Todo intervalo aberto contendo possui um infinidade de elementos 
de .
DEMONSTRAÇÃO 
Mostraremos que . Para provar a primeira implicação, seja . Existe 
 tal que . Tomando , vemos que existe  tal que . Seja 
. Existe  tal que . Prosseguindo desta forma, obteremos uma 
sequência de elementos  com  e . Assim os  são dois a dois distintos, 
pertencem a  e . As implicações  são óbvias.Corolário: Se então é infinito.
Exemplo1.
Seja . Então .
. 
44
.
.
Teorema 2: Para todo , tem-se . Ou seja, o fecho de um 
conjunto  é obtido acrescentando-se a  os seus pontos de acumulação. 
DEMONSTRAÇÃO 
É claro que  e . Logo . Reciprocamente, se , todo intervalo aberto 
contendo  deve conter algum . Se  não pertencer a  então , donde . Assim 
 implica que  ou , isto é, .
Recorde-se que um conjunto  é denso em  quando , isto é, quando todo  é aderente a 
.
É claro que as seguintes afirmações são equivalentes a dizer que  é denso em . (Em todas elas 
supõe-se que .)
a) Todo ponto de   é limite de uma sequência de pontos de  .
b) Para todo   e todo   tem-se  .
c) Todo intervalo aberto que contenha um ponto de   deve conter também 
algum ponto de  .
Teorema 3: Todo conjunto contém um subconjunto enumerável 
, denso em . 
DEMONSTRAÇÃO 
Com efeito, a coleção  dos intervalos abertos com centro e raio 
racionais, é enumerável (pois a função , dada por , é sobrejetiva e 
 é enumerável): . Para cada , escolhamos um ponto , se  não 
for vazio. 
Caso seja ,  não existirá. O conjunto  dos pontos  assim obtidos é um 
subconjunto enumerável de . Para mostrar que  é denso em , tomemos arbitrariamente 
 e . Existe  racional com . Como  é denso em , encontramos  tal que . 
Logo , para algum . Assim . Existe, portanto . Como  e 
 pertencem ao intervalo , temos . Ficou provado que todo intervalo 
 com centro em algum ponto de  contém um ponto . Então  é denso em .
45
Corolário: Se todos os pontos de um conjunto  são isolados então é 
enumerável.
Com efeito, seja  um conjunto enumerável denso em . Dado qualquer , temos , 
mas, como , tampouco  pode ser ponto de acumulação de . Logo . Segue-se que . 
Concluímos que  é enumerável.
46
Introdução à Análise 
Aula 07: Algumas Noções de Topologia – Parte II 
Tópico 02: Conjuntos Compactos
Uma cobertura de um conjunto  é uma família  de conjunto 
, tais que , isto é, para todo  existe algum  tal que . 
Uma subcobertura de  é uma subfamília , , tal que ainda se 
tem . 
Exemplo1.
Os intervalos ,  e  constituem uma cobertura  do intervalo 
. Aqui . Tomando  temos a subfamília , a qual é uma subcobertura de , 
pois ainda vale .
A família , onde , é uma cobertura de , pois . É interessante observar 
que  não possui subcobertura finita.
Teorema 1: (Borel-Lebesgue) Seja  um intervalo limitado e fechado. 
Dada uma família de intervalos abertos tais que , existe um 
número finito deles, , tais que . Em outras palavras: 
toda cobertura de  por meio de intervalos abertos admite uma 
subcobertura finita.
DEMONSTRAÇÃO 
Seja  o conjunto dos pontos  tais que o intervalo  pode ser coberto por um 
número finito dos , isto é, . Temos : por exemplo, . Seja . 
Evidentemente . Afirmamos que . Com efeito, existe algum  tal que . 
Sendo , deve existir  tal que . Logo . Mas como , temos 
 e daí, , o que prova que . Mostraremos que . Se fosse , existiria 
algum  com . Então  donde , o que é absurdo, pois  e 
 é o sup de . Vemos, portanto, que o intervalo  está contido numa reunião finita dos , o que 
prova o teorema.
Observação 1
(Extensão do teorema acima.) Em vez de intervalos , podemos supor que , uma 
cobertura de  por conjuntos abertos quaisquer , e ainda existirá uma cobertura finita:
47
Com efeito, cada ponto  pertence a um aberto . Logo, para cada  em  podemos 
escolher um intervalo aberto  tal que . Isto nos fornece uma cobertura de  pelos 
intervalos , da qual extraímos uma subcobertura finita . Para cada  existe 
 tal que : assim .
Observação 2
(Forma definitiva do Teorema de Borel-Lebesgue.) Seja  um conjunto limitado e fechado. 
Toda cobertura  de  por meio de abertos admite uma subcobertura finita
Demonstração: Seja  fechado,  é aberto. E sendo  limitado, existe um intervalo 
limitado  que contém . Temos . Daí se extrai uma subcobertura finita 
. Como nenhum ponto de  está em , obtemos , como 
queríamos demonstrar.
Chama-se compacto a um conjunto  que é limitado e fechado. Assim, o 
Teorema de Borel-Lebesgue nos diz que toda cobertura aberta de um compacto 
admite uma subcobertura finita.
Uma pergunta natural é a seguinte:
Se um conjunto é tal que toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita 
, tem-se, necessariamente, que  é um compacto?
A resposta à pergunta acima é afirmativa e está incluída no seguinte resultado geral:
Teorema 2: As seguintes afirmações a respeito de um conjunto 
são equivalentes:
1. é compacto; 
2. Toda cobertura aberta de possui subcobertura finita; 
3. Todo subconjunto infinito de possui ponto de acumulação 
pertencente a ;
4. Toda sequência de pontos de possui uma subsequência que 
converge para um ponto de . 
DEMONSTRAÇÃO 
A forma definitiva do Teorema de Borel-Lebesgue dá . Para provar , seja 
 um conjunto sem ponto de acumulação em . Então para cada , podemos achar um intervalo 
aberto , de centro , que não contém ponto algum de . Em outras palavras, temos 
 se  e  se . Isto nos fornece uma cobertura aberta , da qual 
podemos extrair uma subcobertura finita . Em particular, esta reunião finita contém 
. Ora, para cada , o único intervalo da cobertura original que continha  era o próprio . Segue-
se que, para cada , o intervalo  aparece na coleção . Logo  é finito. Assim, quando 
se supõe que  cumpre a condição (2), os únicos subconjuntos de  que não possuem ponto de 
acumulação em  são os finitos. Segue-se que .
48
Mostremos agora que . Dada uma sequência de pontos , há duas possibilidades: 
ou o conjunto  é finito ou infinito. No primeiro caso, algum valor 
 deve repetir-se uma infinidade de vezes, o que nos dá uma subsequência constante – e, portanto 
convergente – de . No segundo caso, a hipótese (3) nos dá , um ponto de acumulação de 
. Todo intervalo aberto  contém uma infinidade de pontos de e, portanto, contém 
temos  com índices arbitrariamente grandes. Portanto  é, trivialmente, um valor de aderência de 
. 
Finalmente, mostremos que . De fato, se  fosse ilimitado (digamos superiormente), 
existiria uma sequência  de ponto de  com . Toda subsequência de 
 seria ilimitada e, portanto, não-convergente. Por outro lado, se  não fosse fechado, existiria uma 
sequência de pontos  com . Qualquer subsequência de  convergiria para , 
portanto, estaria violando a condição (4). Isto conclui a demonstração.
Corolário: (Bolzano-Weierstrass) Todo conjunto infinito limitado 
 possui algum ponto de acumulação.
Com efeito, se  é limitado, então existe um intervalo  tal que . Como  é um 
conjunto compacto e  é infinito, a parte (3) do Teorema 2 acima garante que  tem um ponto de 
acumulação em .
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clique aqui (Visite a aula online para realizar download deste arquivo.) para abrir a Lista de Exercícios 
desta aula. Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, individualmente ou em grupo. Os 
exercícios exercícios 1, 2, 6a, 9 e 10a correspondem ao trabalho dessa aula que deve ser postado no 
Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR, num único documento de texto 
(doc, docx ou pdf) ou manuscrito e escaneado.
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49
Introdução à Análise 
Aula 08: Funções Contínuas 
Tópico 01: Definição e Primeiras Propriedades
A noção de função contínua é um dos pontos centrais da Topologia. Ela 
será estudada nesta aula em seus aspectos mais básicos.
Uma função , definida no conjunto , diz-se contínua no ponto  quando, para todo 
 dado arbitrariamente, pode-se obter  tal que  e  impliquem . Em 
símbolos,  contínua no ponto  significa:
; , .
Chama-se descontínua no ponto  uma função  que não é contínua nesse ponto. Isto que 
dizer que existe  com a seguinte propriedade: para todo  pode-se achar  tal quee 
.
Se  é um ponto isolado de  então toda função  é contínua no ponto .
Com efeito, para qualquer  dado, basta tomar  tal que . Então  com 
 implica  e, portanto .
Diremos, simplesmente, que uma função  é contínua quando  for contínua em todos os 
pontos de .
Exemplo 1. Toda função  é contínua porque todo ponto de  é isolado. Pela mesma razão, 
toda função definida no conjunto  é contínua. 
Exemplo 2. Mostre que a função , dada por , é contínua.
SOLUÇÃO 
 Inicialmente, mostremos que  é contínua em 0. Para cada  dado, podemos escolher 
 e obter: , . Isto mostra que  é contínua em 0. 
Fixemos agora  e mostremos que  é contínua em . Observemos que para cada , tem-se 
que
.
Assim, para cada  dado, podemos escolher  e obter: , 
. Portanto  é contínua em todo ponto .
Teorema 1: Se  é contínua no ponto , então é limitada 
numa vizinhança de , isto é, existe tal que, pondo , o 
conjunto é limitado.
50
DEMONSTRAÇÃO 
Façamos . Existe  tal que  e  implicam , ou seja, 
 é limitado.
Exemplo 3. A função , dada por , é descontínua em 0, pois é ilimitada em toda 
vizinhança de 0.
Teorema 2: (Conservação do sinal) Se  é contínua no ponto 
 e , então existe tal que para todo com
 .
DEMONSTRAÇÃO 
Fixemos . Existe  tal que  e  implicam .
Um resultado análogo é, obviamente, válido se tivermos  no Teorema 2 acima.
Exemplo 4. A função , dada por , é descontínua em todos os números reais, pois 
 não conserva sinal em nenhuma vizinhança.
Teorema 3: Para que uma função  seja contínua no ponto 
 é necessário e suficiente que se tenha para toda sequência 
de pontos com 
DEMONSTRAÇÃO 
Suponha que  contínua em . Seja  uma sequência com . Para cada 
 dado arbitrariamente, pode-se obter  tal que  e  impliquem . Para 
esse  existe  tal que . Portanto .
 Reciprocamente, se  não fosse contínua em , existiria  tal que para cada  existe 
 com  e . Desta forma obteríamos uma sequência  com 
 e  não converge para .
Fazendo uso do Teorema 3 e das propriedades operacionais dos limites (estudadas na Aula 4), 
obtemos o seguinte resultado.
51
Corolário 1: Se  são contínuas no ponto , então ,  e 
são contínuas nesse mesmo ponto. Se , então também é contínua 
no ponto .
Exemplo 5. Todo polinômio  é uma função contínua. Toda função racional  (quociente 
de dois polinômios) é contínua no seu domínio, o qual é o conjunto dos pontos  tais que . 
Corolário 2: A composta de duas funções contínuas é contínua. Ou seja, se 
e são contínuas nos pontos e , 
respectivamente, e, além disso, , então é contínua no ponto 
.
Corolário 3: Toda restrição de uma função contínua é contínua. Mais 
precisamente: seja contínua no ponto . Se e , então 
é contínua no ponto .
52
Introdução à Análise 
Aula 08: Funções Contínuas 
Tópico 02: Funções Contínuas num Intervalo
Teorema 1: (Teorema do valor intermediário) Seja 
contínua. Se então existe tal que .
DEMONSTRAÇÃO 
Consideremos os conjuntos  e . Observemos, 
inicialmente, que  é fechado. Com efeito,  e, sendo  e 
 abertos, é suficiente mostrar que os pontos do conjunto  estão no interior de 
. Ora, se  então existe, por conservação de sinal (Teorema 2 do Tópico 1),  tal que 
 para todo . Isto significa que  e, consequentemente, 
todos os pontos de  são de interior, ou seja,  é aberto. De modo análogo, conclui-se que 
 é aberto. Desta forma, temos que  e  são fechados e, portanto, . Além 
disso, é claro que . Se for  então o teorema está demonstrado porque se tem 
 para qualquer . Se, entretanto, fosse  então  seria uma cisão não 
trivial (por que  e ), o que é vedado pelo Teorema 3 do Tópico 2 da Aula 6. Logo deve ser 
 e o teorema está provado.
OBSERVAÇÃO
O Teorema do Valor Intermediário, evidentemente, vale também no caso de .
Exemplo 1. Mostre que a equação polinomial  tem pelo menos uma raiz no intervalo . 
SOLUÇÃO 
 Consideremos a função contínua , dada por . Como 
, segue-se, do Teorema do Valor Intermediário, que existe  tal que 
, ou seja, .
Exemplo 2. Mostre que a equação  admite ao menos uma raiz real. 
SOLUÇÃO 
 Inicialmente, observemos que 
.
53
Assim, estudemos a função polinomial , dada por . Como 
, existe  tal que  e, consequentemente,  é uma raiz da equação 
. Note que aqui estamos aplicando o Teorema do Valor Intermediário à restrição .
Corolário 1: Seja contínua num intervalo  (que pode ser fechado 
ou não, limitado ou ilimitado). Se pertencem a  e então existe 
tal que .
Basta restringir  ao intervalo  e aplicar o Teorema 1.
Corolário 2: Seja contínua num intervalo . Então é um 
intervalo.
Com efeito, sejam  e . (Esta notação é simbólica. Podemos ter , 
no caso de  ser ilimitada inferiormente em , ou , no caso de  ser ilimitada superiormente em .) 
Afirmamos que  é um intervalo, cujos extremos são  e . (É importante observar também que pode 
ocorrer  e, neste caso,  seria um intervalo degenerado, ou seja,  se reduziria a um ponto.) No 
caso , devemos mostrar que para cada  com , deve existir  tal que . De fato, pelas 
definições de inf e sup (ou pela definição de conjunto ilimitado, no caso de algum dos extremos    ou  ser 
infinito) existem  tais que . Pelo Corolário 1, existe  tal que .
OBSERVAÇÃO
No Corolário 2, nada afirmamos sobre os extremos do intervalo  pertencerem ou não ao 
intervalo. Podemos ter , ou , ou  ou . Também o intervalo  é 
completamente arbitrário. Por exemplo, seja  dada por . Temos  e 
.
Exemplo 3. Se  é um intervalo e  é uma função contínua que só assume valores inteiros, então 
 é constante. Com efeito,  deve ser um intervalo contido em . Logo é degenerado (reduz-se a um 
ponto).
Exemplo 4. Mostre que todo polinômio real ,  de grau ímpar (isto é, 
 e  ímpar) possui uma raiz real, ou seja, existe  tal que . 
SOLUÇÃO 
 Para fixar as ideias, suponhamos . Então podemos escrever, para , 
.
Considerando as sequências  e , observamos que  e 
 (por   ser ímpar e  ser positivo). Portanto  é um intervalo ilimitado inferior e superiormente, 
logo . Assim,  é sobrejetiva e, em particular, existe   tal que .
54
Introdução à Análise 
Aula 08: Funções Contínuas 
Tópico 03: Funções Contínuas em Conjuntos Compactos
Teorema 1: Seja contínua. Se é compacto então é 
compacto. 
DEMONSTRAÇÃO 
Dada uma cobertura aberta , podemos, para cada , escolher  tal que 
. Em virtude da continuidade de , cada ponto  pode ser posto num intervalo aberto 
 tal que . Obtemos assim uma cobertura aberta . Como  é 
compacto, podemos extrair uma subcobertura finita . Consequentemente, 
, o que prova a compacidade de .
SEGUNDA DEMONSTRAÇÃO 
Seja  uma sequência em . Para cada , existe  tal que . Como  é 
compacto, podemos obter uma subsequência convergente . Sendo  contínua, temos 
. Logo  é compacto, pois toda sequência de pontos de  tem 
subsequência convergente em .
Corolário: (Weierstrass) Toda função contínua definida num 
compacto é limitada e atinge seus extremos (isto é, existem tais que 
para todo .)
Com efeito, , sendo compacto, é limitado e fechado. Logo  e . 
Portanto existem  tais que  e .
Exemplo 1.
a) A função , definida por , não é limitada. Isto pode ocorrer porque seu domínio é 
um conjunto limitado, mas não fechado (e, portanto, não é compacto).
b) A função , definida por  é limitada, mas não assume um valor máximo nem um 
valor mínimo no seu domínio .
c) A função , definida por , é contínua e limitada. Assume seu valor máximo no 
ponto , mas não existe  tal que . Isso é possível porque o domínio de 
 é um subconjunto fechado, mas não limitado de .
55
d) A função , definida por , está definida no compacto , mas é ilimitada. 
Isto pode acontecer porque  não é contínua em .
Exemplo 2. Seja  dada por .
a) Prove que  é o valor máximo de .
b) Prove que existe  tal que  é o valor mínimo de .
SOLUÇÃO 
a) Para cada  tem-seque . Daí, , ou seja,  é o valor 
máximo de .
b) Pelo Corolário do Teorema 1 (Weierstrass), existe  tal que  é o valor mínimo de 
. Portanto, resta mostrar que  não é o valor mínimo de . Ora, visto que 
, segue-se que  não é o valor mínimo de  e, 
consequentemente, existe  tal que  é o valor mínimo de .
Teorema 2: Se é compacto então toda bijeção contínua 
tem inversa contínua . 
DEMONSTRAÇÃO 
Tomemos um ponto arbitrário  e mostremos que  é contínua no ponto . Se não 
fosse assim, existiriam um número  e uma sequência de pontos  com  e 
, isto é,  para todo . Passando a uma subsequência, se necessário, 
podemos supor que , pois  é compacto. Tem-se . Em particular, . Mas, 
pela continuidade de , . Como já temos , daí resultaria 
, contradizendo a injetividade de .
Exemplo 3. Sejam ,  e  a bijeção contínua definida por 
 tem por inversa a função , dada por . É interessante observar que  é 
descontínua em . Isso é possível porque  não é um conjunto compacto.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá para a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo 
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abrir a Lista de Exercícios desta aula. Resolva a quantidade máxima de exercícios que puder, 
individualmente ou em grupo. Os exercícios 1, 3, 6, 12 e 13 correspondem ao trabalho dessa aula que 
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deve ser postado no Portfólio Individual no período marcado na Agenda do ambiente SOLAR, num 
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REFERÊNCIAS 
LIMA, Elon Lages. Análise Real, Volume 1. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2002.
LIMA, Elon Lages. Curso de Análise, Volume 1. Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2002.
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