Formulário - Séries e Sequências

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1 Formulário � Seqüências e Séries
Diferença entre Seqüência e Série
Uma seqüência é uma lista ordenada de números. Uma série é uma soma
infinita dos termos de uma seqüência. As somas parciais de uma série também
formam uma seqüência que pode convergir ou divergir.
Exemplo: a sequência {1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, · · ·} é uma PG infinita de
primeiro termo 1 e razão 1/2. As somas finitas dessa PG são dadas por
Sn =
n∑
i=0
1
2i
=
1− (1/2)n+1
1− (1/2)
essa seqüência é da forma {3/2, 7/4, 15/8, 31/16, 63/32, · · ·}. O limite dessa
seqüência para n→∞ é a soma da série. Se essa soma for um número finito,
a série converge, se a soma for ±∞ ela é divergente.
Progressão Geométrica
A soma de uma PG infinita converge se sua razão r for tal que
|r| < 1
nesse caso ela converge para
∞∑
n
an =
a
1− r
onde an = r
n
e a é o primeiro termo da PG.
Teorema do Confronto
Dadas 3 seqüências tais que para todo n, an ≤ bn ≤ cn, se limn→∞ an =
L = limn→∞ cn, então, limn→∞ bn = L.
Teorema: Condição Necessária para Convergência
Se a série
∑∞
n=1 an converge, então limn→∞ an = 0.
Cuidado! A condição limn→∞ an = 0 é necessária mas não é suficiente
para que uma série convirja. Por exemplo, a série harmônica
∞∑
n=1
1
n
1
é tal que limn→∞ 1n = 0, mas a série é, de fato, divergente.
Teste para Divergência
Se limn→∞ an 6= 0 ou se o limite não existir, então a série ∑∞n=1 an
é divergente.
Note que uma série do tipo
∑∞
n=1(−1)n não vai a ±∞, mas é divergente
porque o limite limn→∞(−1)n não existe.
Combinação de Séries Convergentes
Teorema: Se
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn são séries convergentes, então as seguintes
combinações também são:
∞∑
n=1
βan = β
∞∑
n=1
an
∞∑
n=1
(an + bn) =
∞∑
n=1
an +
∞∑
n=1
bn
∞∑
n=1
(an − bn) =
∞∑
n=1
an −
∞∑
n=1
bn
com β um número real qualquer.
Teste da Integral
Suponha que an = f(n) é uma função decrescente e positiva a
partir de n = 1, então a série
∑∞
n=1 an é convergente se a integral∫ ∞
1
f(x)dx
for convergente, caso contrário, se o resultado da integral for ±∞,
a série é divergente.
Note que no caso de convergência, o resultado da integral não é o resultado
da soma da série, apenas um limite superior!
Séries Harmônicas ou Séries�p
Uma série do tipo
∞∑
n=1
1
np
2
com p real é chamada série harmônica ou série�p.
Uma série harmônica converge se p > 1 e diverge se p ≤ 1.
Critério de Convergência para Séries Alternadas
Uma série do tipo
∑∞
n=1(−1)nan, com an positivos é chamada alternada,
pois os sinais do termos alternam-se entre negativos e positivos.
Considere uma série alternada. Se a seqüência an for decrescente
e se limn→∞ an = 0, então a série é convergente.
Exemplo:
∑∞
k=2(−1)k/ ln k é convergente pois é alternada e 1/ ln k de-
cresce e seu limite vai a zero quando k →∞.
Note que no caso de uma seqüência alternada limn→∞ an = 0 garante a
convergência.
Teste da Comparação
Considere duas séries
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn tais que 0 ≤ an ≤ bn a
partir de um dado termo das seqüências. Nestas condições
(i) Se
∑∞
n=1 bn converge, então
∑∞
n=1 an também é convergente.
(ii) Se
∑∞
n=1 an diverge, então
∑∞
n=1 bn também é divergente.
Se você desconfia que uma série converge, precisa encontrar outra série
comprovadamente convergente cujos termos que estão sendo somados sejam
maiores que o da série que você está considerando.
Se você desconfia que uma série diverge, precisa encontrar outra série
comprovadamente divergente cujos termos que estão sendo somados sejam
menores que o da série que você está considerando.
Teste da Comparação do Limite
Considere duas séries
∑∞
n=1 an e
∑∞
n=1 bn tais que an > 0 e bn > 0 a
partir de um dado termo das seqüências. Seja o limite
L = lim
n→∞
an
bn
se:
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(i) L > 0 e real, então ou ambas as séries convergem, ou ambas
divergem.
(ii) L =∞, se ∑∞n=1 bn diverge, então ∑∞n=1 an diverge.
(iii) L = 0, se
∑∞
n=1 bn converge, então
∑∞
n=1 an converge.
Teste da Razão
Considere a série
∑∞
n=1 an com an > 0 a partir de um certo termo
da seqüência. Se o limite
L = lim
n→∞
an+1
an
existir, finito ou infinito, então:
(i) L < 1, a série é convergente.
(ii) L > 1 ou L =∞, a série é divergente.
(iii) L = 1, o teste nada revela.
Teste da Raiz
Considere a série
∑∞
n=1 an com an > 0 sempre. Se o limite
L = lim
n→∞(an)
1
n
existir, finito ou infinito, então:
(i) L < 1, a série é convergente.
(ii) L > 1 ou L =∞, a série é divergente.
(iii) L = 1, o teste nada revela.
Veja que isso é bem parecido com o teste da razão, com a única diferença
que os termos da seqüência nesse caso nunca podem ser negativos.
Dica! Se o teste da razão for inconclusivo (L = 1), o teste da raiz também
será, e vice-versa.
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Séries Absolutamente e Condicionalmente Convergentes
Uma série
∑∞
n=1 an é chamada absolutamente convergente se a série∑∞
n=1 |an| for convergente.
Uma série pode ser convergente, mas não absolutamente convergente. Por
exemplo, a série
∞∑
n=1
(−1)n
n
é uma série alternada convergente, mas a série
∞∑
n=1
|(−1)n|
|n| =
∞∑
n=1
1
n
é uma série�p com p = 1, portanto divergente.
Uma série deste tipo é chamada condicionalmente convergente.
Teorema: Se uma série é absolutamente convergente, ela sempre
é convergente.
Séries de Potências
Uma série de potências centrada em torno de um número real x0 é uma
série do tipo
∞∑
n=0
cn(x− x0)n = c0 + c1(x− x0) + c2(x− x0)2 + · · ·
Para uma série deste tipo existem 3 a tão somente 3 possibilidades:
(i) A série converge apenas para x = x0.
(ii) A série converge para todo x.
(iii) Existe um número R > 0, chamado raio de convergência, tal que a
série converge se |x− x0| < R e diverge se |x− x0| > R.
O raio de convergência pode ser calculado como
R = lim
n→∞
|an|
|an+1|
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desde que exista, finito ou infinito. Se R é finito, a série converge no intervalo
]x0 − R, x0 + R[. Note que o intervalo é aberto, pois inicialmente nada se
pode afirmar sobre a convergência nos extremos.
Séries de Taylor
A série de Taylor de uma função F (x) em torno de um número real x0 é
dada por
F (x) =
∞∑
n=0
F (n)(x0)
n!
(x− x0)n
onde F (n)(x0) é a derivada de ordem n da função calculada em x = x0. Note
que isso é uma série de potências com coeficientes dados por cn = F
(n)(x0).
A série de Maclaurin é um caso particular da série de Taylor, onde x0 = 0.
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