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CURSO BÁSICO DE ESTATÍSTICA INFERENCIAL
# Conceitos Iniciais Imprescindíveis
 A prova não vai lhe perguntar o que é a Estatística, mas convém que saibamos que ela é 
um ramo da matemática, e que trabalha com elementos de pesquisa ou com modelos 
probabilísticos. 
 Como nosso alvo é a Estatística Básica, a maior parte do nosso trabalho
elementos de pesquisa, ficando os tais modelos probabilísticos (Distribuição Binomial e 
Distribuição Normal) para o final do nosso Curso. Daí, por hora, basta ficarmos com a 
que trabalharemos com elementos de pesquisa.
 Como é isso? Por exemplo: suponhamos que há uma sala com duzentas pessoas, e eu 
pretendo realizar uma pesquisa, para saber qual a idade de cada uma delas. Ora, como não 
tenho bola de cristal, o jeito será perguntar, de uma por uma: 
pensaram, que pergunta deselegante... 
 Mas é o jeito! Para eu trabalhar com elementos de pesquisa, o primeiro e inevitável passo 
será a coleta dos dados. 
 Pois bem, eu acabei de questionar aquelas duzentas pessoas e já estou de posse das 
respostas que cada uma delas me passou. Ok? Vejamos algumas dessas respostas:
 {28 anos, 35 anos, 17 anos, 14 anos, 22 anos, 31 anos, 45 anos, ...}
 Facilmente se vê que esses dados estão desordenados, uma vez que acabaram de ser 
recebidos (coletados) e ainda não foram submetidos 
chamados dados brutos! 
 É fácil supor que, se pretendo fazer uma análise, um estudo mais aprofundado desses 
elementos, será imprescindível que os organizemos. Claro! Será mais fácil trabalhar com os 
dados organizados que com dados brutos.
 Organizar os dados é, portanto, a segunda etapa do 
 A forma mais básica de organização dos dados é o conhecido 
somente, em um arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescent
em prova, o rol vem com dados em ordem crescente!
 Tomando aqueles dados brutos e os transformando em rol, teremos:
 {14 anos, 17 anos, 22 anos, 28 anos, 31 anos, 35 anos, 45 anos, ...}
 O rol não é a única maneira de organização dos dados.
simples! 
Uma vez que estivermos com os elementos da pesquisa, coletados e organizados, será 
conveniente descrevê-los. Descrever os dados é o mesmo que apresentá
feito também de várias formas. Poderemos apr
meio de um gráfico, ou outra qualquer.
O fato é que, ao concluirmos essas três fases iniciais do processo estatístico 
organização e descrição dos dados 
finais, que consistem em proceder à 
conclusão ou tomada de decisão
Obviamente que a Estatística não se prestará a um objetivo tão pobre como o de 
meramente coletar dados de pesquisa para dispô
Estatística é maior: aqueles elementos servirão a uma análise, porque, ao final, queremos chegar 
a uma conclusão! Existe uma decisão a ser tomada, e o será com base na conclusão a qual a 
análise dos dados nos conduzir!
 
 
olaamigos.com.br 
CURSO BÁSICO DE ESTATÍSTICA INFERENCIAL
 
# Conceitos Iniciais Imprescindíveis 
A prova não vai lhe perguntar o que é a Estatística, mas convém que saibamos que ela é 
um ramo da matemática, e que trabalha com elementos de pesquisa ou com modelos 
Como nosso alvo é a Estatística Básica, a maior parte do nosso trabalho
elementos de pesquisa, ficando os tais modelos probabilísticos (Distribuição Binomial e 
Distribuição Normal) para o final do nosso Curso. Daí, por hora, basta ficarmos com a 
que trabalharemos com elementos de pesquisa. 
o? Por exemplo: suponhamos que há uma sala com duzentas pessoas, e eu 
pretendo realizar uma pesquisa, para saber qual a idade de cada uma delas. Ora, como não 
tenho bola de cristal, o jeito será perguntar, de uma por uma: Quantos anos você tem? 
, que pergunta deselegante... 
Mas é o jeito! Para eu trabalhar com elementos de pesquisa, o primeiro e inevitável passo 
Pois bem, eu acabei de questionar aquelas duzentas pessoas e já estou de posse das 
las me passou. Ok? Vejamos algumas dessas respostas:
{28 anos, 35 anos, 17 anos, 14 anos, 22 anos, 31 anos, 45 anos, ...}
Facilmente se vê que esses dados estão desordenados, uma vez que acabaram de ser 
recebidos (coletados) e ainda não foram submetidos a nenhuma espécie de organização. São os 
É fácil supor que, se pretendo fazer uma análise, um estudo mais aprofundado desses 
elementos, será imprescindível que os organizemos. Claro! Será mais fácil trabalhar com os 
s que com dados brutos. 
Organizar os dados é, portanto, a segunda etapa do processo estatístico
A forma mais básica de organização dos dados é o conhecido rol
somente, em um arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescent
em prova, o rol vem com dados em ordem crescente! 
Tomando aqueles dados brutos e os transformando em rol, teremos:
{14 anos, 17 anos, 22 anos, 28 anos, 31 anos, 35 anos, 45 anos, ...}
O rol não é a única maneira de organização dos dados. É apenas uma delas, a mais 
Uma vez que estivermos com os elementos da pesquisa, coletados e organizados, será 
. Descrever os dados é o mesmo que apresentá
feito também de várias formas. Poderemos apresentar os dados por meio de uma tabela, por 
meio de um gráfico, ou outra qualquer. 
O fato é que, ao concluirmos essas três fases iniciais do processo estatístico 
organização e descrição dos dados – somente então estaremos aptos a passar às duas 
finais, que consistem em proceder à análise dos elementos para, enfim, chegarmos a uma 
tomada de decisão. 
Obviamente que a Estatística não se prestará a um objetivo tão pobre como o de 
meramente coletar dados de pesquisa para dispô-los numa tabela. Claro que não! O alcance da 
Estatística é maior: aqueles elementos servirão a uma análise, porque, ao final, queremos chegar 
a uma conclusão! Existe uma decisão a ser tomada, e o será com base na conclusão a qual a 
ir! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
CURSO BÁSICO DE ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
A prova não vai lhe perguntar o que é a Estatística, mas convém que saibamos que ela é 
um ramo da matemática, e que trabalha com elementos de pesquisa ou com modelos 
Como nosso alvo é a Estatística Básica, a maior parte do nosso trabalho será focado nos 
elementos de pesquisa, ficando os tais modelos probabilísticos (Distribuição Binomial e 
Distribuição Normal) para o final do nosso Curso. Daí, por hora, basta ficarmos com a ideia de 
o? Por exemplo: suponhamos que há uma sala com duzentas pessoas, e eu 
pretendo realizar uma pesquisa, para saber qual a idade de cada uma delas. Ora, como não 
Quantos anos você tem? Já 
Mas é o jeito! Para eu trabalhar com elementos de pesquisa, o primeiro e inevitável passo 
Pois bem, eu acabei de questionar aquelas duzentas pessoas e já estou de posse das 
las me passou. Ok? Vejamos algumas dessas respostas: 
{28 anos, 35 anos, 17 anos, 14 anos, 22 anos, 31 anos, 45 anos, ...} 
Facilmente se vê que esses dados estão desordenados, uma vez que acabaram de ser 
a nenhuma espécie de organização. São os 
É fácil supor que, se pretendo fazer uma análise, um estudo mais aprofundado desses 
elementos, será imprescindível que os organizemos. Claro! Será mais fácil trabalhar com os 
processo estatístico! 
rol, o qual consiste, tão 
somente, em um arranjo dos dados brutos em ordem crescente ou decrescente. Normalmente, 
Tomando aqueles dados brutos e os transformando em rol, teremos: 
{14 anos, 17 anos, 22 anos, 28 anos, 31 anos, 35 anos, 45 anos, ...} 
É apenas uma delas, a mais 
Uma vez que estivermos com os elementos da pesquisa, coletados e organizados, será 
. Descrever os dados é o mesmo que apresentá-los. E isso poderá ser 
esentar os dados por meio de uma tabela, por 
O fato é que, ao concluirmos essas três fases iniciais do processo estatístico– coleta, 
somente então estaremos aptos a passar às duas etapas 
dos elementos para, enfim, chegarmos a uma 
Obviamente que a Estatística não se prestará a um objetivo tão pobre como o de 
numa tabela. Claro que não! O alcance da 
Estatística é maior: aqueles elementos servirão a uma análise, porque, ao final, queremos chegar 
a uma conclusão! Existe uma decisão a ser tomada, e o será com base na conclusão a qual a 
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A Estatística está na vida das pessoas, muito mais do que elas imaginam!
Não há um só medicamento vendido nas farmácias que não tenha sido submetido a 
rigorosos controles estatísticos! Antes de virar “remédio”, aquela droga foi testada um 
vezes. Primeiro em bichos e depois em gente. E foram anotados os efeitos colaterais causados 
pela droga, em cada uma das vezes que elas foram tomadas pelos pacientes. Esses dados foram 
analisados, para gerar uma conclusão. Aquela substância só se transf
chega às prateleiras se a conclusão for satisfatória e os riscos estiverem dentro de um padrão 
aceitável. 
Esse é apenas um minúsculo exemplo. São milhares deles!
Os autores costumam classificar a Estatística em Descritiva e Inferencia
memorização passará pelo alfabeto: neste, o D vem antes do I. Assim, a 
(a do D) englobará as etapas iniciais do processo estatístico, quais sejam, a coleta, a organização 
e a descrição dos dados. Já a 
dados e tomada de decisão, que são as etapas finais do processo.
Ficou fácil: a Estatística do D vem antes da Estatística do I. 
Pode-se resumir as três etapas da Estatística Descritiva em uma única palavra: 
Daí, coletar os dados, organizá-
Voltemos àquele exemplo inicial, das duzentas pessoas na sala. Minha pesquisa é sobre a 
idade de cada uma delas. Ora, se eu tiver tempo e paciência para extra
as pessoas da sala, estarei trabalhando com a 
pois, o conjunto universo do qual extraímos a informação! No exemplo da sala, aquelas duzentas 
pessoas serão a população! 
E se trabalho com a população inteira, estarei fazendo um estudo estatístico chamado 
censo! Ou seja, o censo é uma forma de fazer uma pesquisa estatística, em que todos os 
elementos da população são consultados!
Mas se eu considerar que duzentas pessoas é muita gente, e
e dinheiro para coletar os dados de todos eles, haveria uma outra forma possível para 
trabalharmos? Sim! Ao invés de usarmos toda a população para coletar as respostas, 
escolheremos apenas uma parte menor dela, um subgrupo, que
inteiro. 
Suponhamos, então, que eu decidi fazer a pergunta a apenas cinqüenta pessoas. Esse 
grupo menor será chamado de 
amostragem. 
Atentemos para o fato de que am
Não é só isso! A característica fundamental da amostra é a da representatividade! Claro! Não 
adiantaria eu escolher uma única pessoa e perguntar a sua idade. Essa única resposta, 
certamente, não teria o poder de representar a população toda. Não poderíamos estender à 
população uma conclusão oriunda de um subgrupo não
Daí, uma pergunta: Mas, professor, qual seria o número mínimo de elementos de uma 
população que poderia ser adotado
pergunta! Existem cálculos para isso! E os veremos, oportunamente!
Por enquanto, basta-nos saber que de um lado existe a população, e esta relaciona
com o conceito de censo; de outro lado existe a amostr
amostragem! Ok? 
Mais adiante, numa próxima aula, veremos como o conhecimento desses dois conceitos 
tem sido exigido em questões de provas recentes, envolvendo cálculos e tudo mais! (E veremos 
como é um negócio fácil...) 
Se eu estudei a idade das pessoas daquela sala, então a minha 
idade. Se eu for estudar peso, a variável será o peso. Se eu for estudar a religião praticada pelas 
pessoas, essa será a variável. Em suma, variável estatística é o objeto 
 
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A Estatística está na vida das pessoas, muito mais do que elas imaginam!
Não há um só medicamento vendido nas farmácias que não tenha sido submetido a 
rigorosos controles estatísticos! Antes de virar “remédio”, aquela droga foi testada um 
vezes. Primeiro em bichos e depois em gente. E foram anotados os efeitos colaterais causados 
pela droga, em cada uma das vezes que elas foram tomadas pelos pacientes. Esses dados foram 
analisados, para gerar uma conclusão. Aquela substância só se transforma em medicamento e 
chega às prateleiras se a conclusão for satisfatória e os riscos estiverem dentro de um padrão 
Esse é apenas um minúsculo exemplo. São milhares deles! 
Os autores costumam classificar a Estatística em Descritiva e Inferencia
memorização passará pelo alfabeto: neste, o D vem antes do I. Assim, a 
(a do D) englobará as etapas iniciais do processo estatístico, quais sejam, a coleta, a organização 
e a descrição dos dados. Já a Estatística Inferencial (a do I), se encarregará da análise dos 
dados e tomada de decisão, que são as etapas finais do processo. 
Ficou fácil: a Estatística do D vem antes da Estatística do I. 
se resumir as três etapas da Estatística Descritiva em uma única palavra: 
-los e descrevê-los é o mesmo que fazer a síntese dos dados. Ok?
Voltemos àquele exemplo inicial, das duzentas pessoas na sala. Minha pesquisa é sobre a 
idade de cada uma delas. Ora, se eu tiver tempo e paciência para extrair a informação de todas 
as pessoas da sala, estarei trabalhando com a população inteira. População, na Estatística, é, 
pois, o conjunto universo do qual extraímos a informação! No exemplo da sala, aquelas duzentas 
com a população inteira, estarei fazendo um estudo estatístico chamado 
! Ou seja, o censo é uma forma de fazer uma pesquisa estatística, em que todos os 
elementos da população são consultados! 
Mas se eu considerar que duzentas pessoas é muita gente, e que eu perderia muito tempo 
e dinheiro para coletar os dados de todos eles, haveria uma outra forma possível para 
trabalharmos? Sim! Ao invés de usarmos toda a população para coletar as respostas, 
escolheremos apenas uma parte menor dela, um subgrupo, que terá o poder de representá
Suponhamos, então, que eu decidi fazer a pergunta a apenas cinqüenta pessoas. Esse 
grupo menor será chamado de amostra, e estaremos realizando um estudo estatístico por 
Atentemos para o fato de que amostra não é meramente um pedaço menor da população! 
Não é só isso! A característica fundamental da amostra é a da representatividade! Claro! Não 
adiantaria eu escolher uma única pessoa e perguntar a sua idade. Essa única resposta, 
oder de representar a população toda. Não poderíamos estender à 
população uma conclusão oriunda de um subgrupo não-significativo. Concordam?
Daí, uma pergunta: Mas, professor, qual seria o número mínimo de elementos de uma 
população que poderia ser adotado, para que possamos considerá-
pergunta! Existem cálculos para isso! E os veremos, oportunamente! 
nos saber que de um lado existe a população, e esta relaciona
com o conceito de censo; de outro lado existe a amostra, relacionada com o conceito de 
Mais adiante, numa próxima aula, veremos como o conhecimento desses dois conceitos 
tem sido exigido em questões de provas recentes, envolvendo cálculos e tudo mais! (E veremos 
eu estudei a idade das pessoas daquela sala, então a minha variável estatística
idade. Se eu for estudar peso, a variável será o peso. Se eu for estudar a religião praticada pelas 
pessoas, essa será a variável. Em suma, variável estatística é o objeto do estudo!
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
A Estatística está na vida das pessoas, muito mais do que elas imaginam! 
Não há um só medicamento vendido nas farmácias que não tenha sido submetido a 
rigorosos controles estatísticos! Antes de virar “remédio”, aquela droga foi testada umzilhão de 
vezes. Primeiro em bichos e depois em gente. E foram anotados os efeitos colaterais causados 
pela droga, em cada uma das vezes que elas foram tomadas pelos pacientes. Esses dados foram 
orma em medicamento e 
chega às prateleiras se a conclusão for satisfatória e os riscos estiverem dentro de um padrão 
Os autores costumam classificar a Estatística em Descritiva e Inferencial. Nossa 
memorização passará pelo alfabeto: neste, o D vem antes do I. Assim, a Estatística Descritiva 
(a do D) englobará as etapas iniciais do processo estatístico, quais sejam, a coleta, a organização 
(a do I), se encarregará da análise dos 
se resumir as três etapas da Estatística Descritiva em uma única palavra: síntese! 
los é o mesmo que fazer a síntese dos dados. Ok? 
Voltemos àquele exemplo inicial, das duzentas pessoas na sala. Minha pesquisa é sobre a 
ir a informação de todas 
inteira. População, na Estatística, é, 
pois, o conjunto universo do qual extraímos a informação! No exemplo da sala, aquelas duzentas 
com a população inteira, estarei fazendo um estudo estatístico chamado 
! Ou seja, o censo é uma forma de fazer uma pesquisa estatística, em que todos os 
que eu perderia muito tempo 
e dinheiro para coletar os dados de todos eles, haveria uma outra forma possível para 
trabalharmos? Sim! Ao invés de usarmos toda a população para coletar as respostas, 
terá o poder de representá-la por 
Suponhamos, então, que eu decidi fazer a pergunta a apenas cinqüenta pessoas. Esse 
, e estaremos realizando um estudo estatístico por 
ostra não é meramente um pedaço menor da população! 
Não é só isso! A característica fundamental da amostra é a da representatividade! Claro! Não 
adiantaria eu escolher uma única pessoa e perguntar a sua idade. Essa única resposta, 
oder de representar a população toda. Não poderíamos estender à 
significativo. Concordam? 
Daí, uma pergunta: Mas, professor, qual seria o número mínimo de elementos de uma 
-lo uma amostra? Boa 
nos saber que de um lado existe a população, e esta relaciona-se 
a, relacionada com o conceito de 
Mais adiante, numa próxima aula, veremos como o conhecimento desses dois conceitos 
tem sido exigido em questões de provas recentes, envolvendo cálculos e tudo mais! (E veremos 
variável estatística era 
idade. Se eu for estudar peso, a variável será o peso. Se eu for estudar a religião praticada pelas 
do estudo! 
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Podemos classificar as variáveis estatísticas em 
qualitativas. 
Serão quantitativas quando lhes pudermos atribuir um valor numérico. Qual a sua idade? 
A resposta é um número? Sim! Então, idade é uma variável
por ano? A resposta é um número? Sim! Então, número de livros lidos por ano é uma variável 
quantitativa. Por outro lado, se pergunto qual a sua cor preferida, a resposta não é um valor 
numérico. Logo, a variável será d
Essa primeira classificação é bem simples. Concordam? Existe ainda uma subclassificação! 
Variáveis Quantitativas poderão ser ditas 
Serão variáveis quantitativas discretas (também chamadas 
forem obtidas por um processo de contagem. Se para responder à pergunta 
moram na sua casa?” você precisa fazer uma contagem, então estamos diante de uma variável 
discreta. 
Já as variáveis contínuas são aquelas obtidas por um processo de me
perguntar o seu peso, você precisará subir numa balança e medir. Assim, peso é uma variável 
contínua. 
Essas dicas – contagem para variável discreta e medição para variável contínua 
conceitos mnemônicos, ou seja, usados para auxiliar 
quais seriam? Vamos aprender por meio de dois exemplos.
Considere a reta abaixo, formada por resultados possíveis à pergunta 
moram na sua casa?” Teremos:
 
 1 2 3
 
 Ora, sejam quantas forem as pessoas entrevistadas, todas as respostas recairão sempre 
sobre os valores inteiros (1, 2, 3, 4, 5 etc). Ou seja, jamais alguém poderá dizer que moram 3,75 
pessoas em sua casa! Concordam? 
 Por isso dizemos que a variável discre
entre um resultado possível e outro existe uma 
 Agora, consideremos a seguinte reta de resultados possíveis abaixo, e que estejamos 
investigando o peso de um grupo de pessoas. Vejamos
 
 10 20 30 40 50 60 70 80 90 ...
 
 Poderia alguém responder que pesa 64,325kg? Claro! Observamos facilmente que para 
esta variável não há qualquer 
variável contínua pode assumir qualquer resultado.
 Esses conceitos – variável discreta e variável contínua 
demais conceitos estudados nesta aula inaugural, não têm sido cobrados nas provas mais 
recentes da Esaf. Costumavam sê
temos que estudá-los? Primeiramente, porque ainda continuam presentes nos programas atuais. 
E depois porque não há, simplesmente, como saltar esse conhecimento básico. Ele terá, sim, su
utilidade, como veremos ao longo das aulas.
 Constarão de qualquer programa de Estatística Básica de concurso tópicos como 
de Posição, Medidas Separatrizes, Medidas de Dispersão, Medidas de Assimetria, Medidas de 
Curtose, entre outros. Ora, estud
medidas! O que precisamos saber é que todos esses cálculos serão realizados com base nos 
dados de um determinado conjunto.
 
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Podemos classificar as variáveis estatísticas em variáveis quantitativas 
Serão quantitativas quando lhes pudermos atribuir um valor numérico. Qual a sua idade? 
A resposta é um número? Sim! Então, idade é uma variável quantitativa. Quantos livros você lê 
por ano? A resposta é um número? Sim! Então, número de livros lidos por ano é uma variável 
quantitativa. Por outro lado, se pergunto qual a sua cor preferida, a resposta não é um valor 
numérico. Logo, a variável será dita qualitativa. 
Essa primeira classificação é bem simples. Concordam? Existe ainda uma subclassificação! 
Variáveis Quantitativas poderão ser ditas discretas ou contínuas.
Serão variáveis quantitativas discretas (também chamadas descontínuas
forem obtidas por um processo de contagem. Se para responder à pergunta 
você precisa fazer uma contagem, então estamos diante de uma variável 
Já as variáveis contínuas são aquelas obtidas por um processo de me
perguntar o seu peso, você precisará subir numa balança e medir. Assim, peso é uma variável 
contagem para variável discreta e medição para variável contínua 
conceitos mnemônicos, ou seja, usados para auxiliar a memorização. E os conceitos formais, 
quais seriam? Vamos aprender por meio de dois exemplos. 
Considere a reta abaixo, formada por resultados possíveis à pergunta 
Teremos: 
1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 
Ora, sejam quantas forem as pessoas entrevistadas, todas as respostas recairão sempre 
sobre os valores inteiros (1, 2, 3, 4, 5 etc). Ou seja, jamais alguém poderá dizer que moram 3,75 
pessoas em sua casa! Concordam? 
Por isso dizemos que a variável discreta é também chamada variável descontínua. Porque 
entre um resultado possível e outro existe uma descontinuidade. Certo? 
Agora, consideremos a seguinte reta de resultados possíveis abaixo, e que estejamos 
investigando o peso de um grupo de pessoas. Vejamos: 
10 20 30 40 50 60 70 80 90 ... 
Poderia alguém responder que pesa 64,325kg? Claro! Observamos facilmente que para 
esta variável não há qualquer descontinuidade entre um resultado possível e outro! Ou 
variável contínua pode assumir qualquer resultado. 
variável discreta e variável contínua – bem como a quase totalidade dos 
demais conceitos estudados nesta aula inaugural, não têm sido cobrados nas provas mais 
ostumavam sê-lo, e muito, em provas mais antigas. Sendo assim, por que 
los? Primeiramente, porque ainda continuam presentes nos programas atuais. 
E depois porque não há, simplesmente, como saltar esse conhecimentobásico. Ele terá, sim, su
utilidade, como veremos ao longo das aulas. 
Constarão de qualquer programa de Estatística Básica de concurso tópicos como 
de Posição, Medidas Separatrizes, Medidas de Dispersão, Medidas de Assimetria, Medidas de 
entre outros. Ora, estudaremos o que significa e como se calcula cada uma dessas 
medidas! O que precisamos saber é que todos esses cálculos serão realizados com base nos 
dados de um determinado conjunto. 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
variáveis quantitativas e em variáveis 
Serão quantitativas quando lhes pudermos atribuir um valor numérico. Qual a sua idade? 
quantitativa. Quantos livros você lê 
por ano? A resposta é um número? Sim! Então, número de livros lidos por ano é uma variável 
quantitativa. Por outro lado, se pergunto qual a sua cor preferida, a resposta não é um valor 
Essa primeira classificação é bem simples. Concordam? Existe ainda uma subclassificação! 
. 
descontínuas) aquelas que 
forem obtidas por um processo de contagem. Se para responder à pergunta “Quantas pessoas 
você precisa fazer uma contagem, então estamos diante de uma variável 
Já as variáveis contínuas são aquelas obtidas por um processo de medição! Se alguém 
perguntar o seu peso, você precisará subir numa balança e medir. Assim, peso é uma variável 
contagem para variável discreta e medição para variável contínua – são 
a memorização. E os conceitos formais, 
Considere a reta abaixo, formada por resultados possíveis à pergunta “Quantas pessoas 
Ora, sejam quantas forem as pessoas entrevistadas, todas as respostas recairão sempre 
sobre os valores inteiros (1, 2, 3, 4, 5 etc). Ou seja, jamais alguém poderá dizer que moram 3,75 
ta é também chamada variável descontínua. Porque 
Agora, consideremos a seguinte reta de resultados possíveis abaixo, e que estejamos 
Poderia alguém responder que pesa 64,325kg? Claro! Observamos facilmente que para 
entre um resultado possível e outro! Ou seja, a 
bem como a quase totalidade dos 
demais conceitos estudados nesta aula inaugural, não têm sido cobrados nas provas mais 
lo, e muito, em provas mais antigas. Sendo assim, por que 
los? Primeiramente, porque ainda continuam presentes nos programas atuais. 
E depois porque não há, simplesmente, como saltar esse conhecimento básico. Ele terá, sim, sua 
Constarão de qualquer programa de Estatística Básica de concurso tópicos como Medidas 
de Posição, Medidas Separatrizes, Medidas de Dispersão, Medidas de Assimetria, Medidas de 
aremos o que significa e como se calcula cada uma dessas 
medidas! O que precisamos saber é que todos esses cálculos serão realizados com base nos 
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 Chegamos ao ponto: a maneira mais usual de um conjunto de dados ser apresen
uma prova qualquer é por meio de uma tabela, que receberá o nome de 
Frequências! 
 Voltemos ao exemplo daquela sala de aula, com duzentas pessoas, e eu quero saber agora 
quantos livros cada um lê por ano. Pois bem, para simplificar m
alguns intervalos, que representarão as respostas daquelas pessoas. Por exemplo: pessoas que 
lêem de 0 a 5 livros por ano (cinco exclusive!); que lêem de 5 a 10 livros por ano (dez 
exclusive!); que lêem de 10 a 15 (quinze ex
resultados numa coluna da tabela, teremos:
 
 Para complementar a tabela, agora eu pedirei: 
zero e quatro livros por ano, levantem a mão!” 
constrangedor... e todos meio com vergonha de erguer a mão e revelar que não 
assim tão assíduos como gostariam de ser... Mas aí eu insisto: 
eu preencher a tabela...” Resultado: 108 corajosas (e preguiçosas) pessoas ergueram a mão. 
Repetindo a pergunta para leitores de cinco a nove livr
Nova pergunta, agora para o intervalo de 10 a 14 livros, e apenas 18 pessoas ergueram o braço. 
Finalmente, na última pergunta, duas míseras pessoas (o que é diferente de duas pessoas 
míseras!), levantaram a mão. 
 Informando o resultado desta pesquisa na tabela, teremos o seguinte:
 
 
 Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de 
portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica 
marcante da Distribuição de Frequência
 Dedicaremos o restante desta aula inteira a conhecer e a dissecar uma Distribuição de 
Frequências! Exploraremos ao máximo essa tabela, pois ela se tornou, por assim dizer, a alma de 
uma prova de Estatística Básica! Saber trabalhar com uma 
caminho andado para se fazer uma boa prova!
 No sentido inverso, se você não tiver desenvoltura para trabalhar com a Distribuição, 
estará em maus lençóis na hora da prova! Ok?
A Distribuição de Frequência
conheceremos o resultado de uma pesquisa realizada. 
 
 
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Chegamos ao ponto: a maneira mais usual de um conjunto de dados ser apresen
uma prova qualquer é por meio de uma tabela, que receberá o nome de 
Voltemos ao exemplo daquela sala de aula, com duzentas pessoas, e eu quero saber agora 
quantos livros cada um lê por ano. Pois bem, para simplificar minha vida, eu posso estabelecer 
, que representarão as respostas daquelas pessoas. Por exemplo: pessoas que 
lêem de 0 a 5 livros por ano (cinco exclusive!); que lêem de 5 a 10 livros por ano (dez 
exclusive!); que lêem de 10 a 15 (quinze exclusive!); e de 15 a 20. Colocando essas 
resultados numa coluna da tabela, teremos: 
Classes 
(número de livros 
lidos por ano) 
fi 
(pessoas) 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
 
Total 
Para complementar a tabela, agora eu pedirei: “Por gentileza, pessoas que lêem entre 
zero e quatro livros por ano, levantem a mão!” Percebam que nesse momento se fará um silêncio 
constrangedor... e todos meio com vergonha de erguer a mão e revelar que não 
assim tão assíduos como gostariam de ser... Mas aí eu insisto: “Vamos lá, minha gente! É só para 
Resultado: 108 corajosas (e preguiçosas) pessoas ergueram a mão. 
Repetindo a pergunta para leitores de cinco a nove livros por ano, 72 pessoas se pronunciaram. 
Nova pergunta, agora para o intervalo de 10 a 14 livros, e apenas 18 pessoas ergueram o braço. 
Finalmente, na última pergunta, duas míseras pessoas (o que é diferente de duas pessoas 
ormando o resultado desta pesquisa na tabela, teremos o seguinte:
Classes 
(número de livros 
lidos por ano) 
fi 
(pessoas) 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
108 
72 
18 
2 
Total 200 
Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de 
portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica 
Frequências é que a variável estudada estará subdivi
Dedicaremos o restante desta aula inteira a conhecer e a dissecar uma Distribuição de 
s! Exploraremos ao máximo essa tabela, pois ela se tornou, por assim dizer, a alma de 
uma prova de Estatística Básica! Saber trabalhar com uma Distribuição de 
caminho andado para se fazer uma boa prova! 
No sentido inverso, se você não tiver desenvoltura para trabalhar com a Distribuição, 
na hora da prova! Ok? 
Frequências é nada mais que uma tabela, por meio da qual 
conheceremos o resultado de uma pesquisa realizada. 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Chegamos ao ponto: a maneira mais usual de um conjunto de dados ser apresentado em 
uma prova qualquer é por meio de uma tabela, que receberá o nome de Distribuição de 
Voltemos ao exemplo daquela sala de aula, com duzentas pessoas, e eu quero saber agora 
inha vida, eu posso estabelecer 
, que representarão as respostas daquelas pessoas. Porexemplo: pessoas que 
lêem de 0 a 5 livros por ano (cinco exclusive!); que lêem de 5 a 10 livros por ano (dez 
clusive!); e de 15 a 20. Colocando essas classes de 
“Por gentileza, pessoas que lêem entre 
Percebam que nesse momento se fará um silêncio 
constrangedor... e todos meio com vergonha de erguer a mão e revelar que não são leitores 
“Vamos lá, minha gente! É só para 
Resultado: 108 corajosas (e preguiçosas) pessoas ergueram a mão. 
os por ano, 72 pessoas se pronunciaram. 
Nova pergunta, agora para o intervalo de 10 a 14 livros, e apenas 18 pessoas ergueram o braço. 
Finalmente, na última pergunta, duas míseras pessoas (o que é diferente de duas pessoas 
ormando o resultado desta pesquisa na tabela, teremos o seguinte: 
Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de Frequências! Trata-se, 
portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica 
s é que a variável estudada estará subdivida em classes! 
Dedicaremos o restante desta aula inteira a conhecer e a dissecar uma Distribuição de 
s! Exploraremos ao máximo essa tabela, pois ela se tornou, por assim dizer, a alma de 
Distribuição de Frequências é meio 
No sentido inverso, se você não tiver desenvoltura para trabalhar com a Distribuição, 
é nada mais que uma tabela, por meio da qual 
5 http://www.olaamigos
 
O exemplo mostrado na aula de apresentação contemplava um grupo de duzentas pessoas 
que seriam questionadas sobre o número de livros que cada uma delas lêem 
(Lembrados?) Assim, o resultado desta enquete foi transcrito para uma tabela, e apresentado da 
forma seguinte: 
 
 Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de 
portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica 
marcante da Distribuição de Frequência
 As classes serão, portanto, as subdivisões da nossa variável. É um conceito intuitivo. 
Basta olharmos, e concluímos que essa Distribuição acima possui quatro classes: 
 � 1ª Classe) Pessoas que lêem entre zero e cinco livros por ano;
 � 2ª Classe) Pessoas que lêem entre cinco e dez livros por ano;
 � 3ª Classe) Pessoas que lêem entre dez e quinze livros por ano;
 � 4ª Classe) Pessoas que lêem entre quinze e vinte livros por ano;
 Observem que cada classe será 
limite inferior (linf) e limite superior 
 Esses limites são justamente os valores que você está enxergando no início e no fim de 
cada classe. Assim, teremos que:
 � 1ª Classe) linf=0 e lsup=5
 � 2ª Classe) linf=5 e lsup=
 � 3ª Classe) linf=10 e lsup
 � 4ª Classe) linf=15 e lsup
 Facilmente vocês já observaram que 
verdade? Ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte.
 Agora uma pergunta interessante, a qual você deverá tentar responder apenas olhando 
para a tabela. Ok? Uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros por ano entrará na contagem 
da segunda classe ou da terceira? Veja a tabela novamente:
 
 Vemos que 10 é limite superior da segunda classe e inferior da terceira. Mas, e aí? Quem 
lê 10 livros participará de qual das classes, segunda ou 
 
olaamigos.com.br 
O exemplo mostrado na aula de apresentação contemplava um grupo de duzentas pessoas 
que seriam questionadas sobre o número de livros que cada uma delas lêem 
(Lembrados?) Assim, o resultado desta enquete foi transcrito para uma tabela, e apresentado da 
Classes 
(número de livros 
lidos por ano) 
fi 
(pessoas) 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
108 
72 
18 
2 
Total 200 
Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de 
portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica 
Frequências é que a variável estudada estará subdivi
As classes serão, portanto, as subdivisões da nossa variável. É um conceito intuitivo. 
Basta olharmos, e concluímos que essa Distribuição acima possui quatro classes: 
1ª Classe) Pessoas que lêem entre zero e cinco livros por ano; 
2ª Classe) Pessoas que lêem entre cinco e dez livros por ano; 
3ª Classe) Pessoas que lêem entre dez e quinze livros por ano; 
4ª Classe) Pessoas que lêem entre quinze e vinte livros por ano;
Observem que cada classe será margeada por dois limites, chamados respectivamente de 
limite superior (lsup). 
Esses limites são justamente os valores que você está enxergando no início e no fim de 
cada classe. Assim, teremos que: 
=5 
=10 
sup=15 
sup=20 
Facilmente vocês já observaram que onde acaba uma classe, começa a próxima
verdade? Ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte.
uma pergunta interessante, a qual você deverá tentar responder apenas olhando 
para a tabela. Ok? Uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros por ano entrará na contagem 
da segunda classe ou da terceira? Veja a tabela novamente: 
Classes 
(número de livros 
lidos por ano) 
fi 
(pessoas) 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
108 
72 
18 
2 
Total 200 
Vemos que 10 é limite superior da segunda classe e inferior da terceira. Mas, e aí? Quem 
lê 10 livros participará de qual das classes, segunda ou terceira? 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
O exemplo mostrado na aula de apresentação contemplava um grupo de duzentas pessoas 
que seriam questionadas sobre o número de livros que cada uma delas lêem por ano. 
(Lembrados?) Assim, o resultado desta enquete foi transcrito para uma tabela, e apresentado da 
Pronto, meus amigos! Estamos diante de uma Distribuição de Frequências! Trata-se, 
portanto, de uma tabela que retratará o resultado de uma pesquisa realizada. A característica 
s é que a variável estudada estará subdivida em classes! 
As classes serão, portanto, as subdivisões da nossa variável. É um conceito intuitivo. 
Basta olharmos, e concluímos que essa Distribuição acima possui quatro classes: 
 
4ª Classe) Pessoas que lêem entre quinze e vinte livros por ano; 
hamados respectivamente de 
Esses limites são justamente os valores que você está enxergando no início e no fim de 
onde acaba uma classe, começa a próxima! Não é 
verdade? Ou seja, o limite superior de uma classe é igual ao limite inferior da classe seguinte. 
uma pergunta interessante, a qual você deverá tentar responder apenas olhando 
para a tabela. Ok? Uma pessoa que lê exatamente 10 (dez) livros por ano entrará na contagem 
Vemos que 10 é limite superior da segunda classe e inferior da terceira. Mas, e aí? Quem 
6 http://www.olaamigos
 
 Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer o significado de 
classe! E esse conceito será definido com base no 
da classe. 
 No caso do exemplo acima, o símbolo presente é este: 
 Essa simbologia tem um significado. Ampliemos o símbolo para explicarmos melhor:
 
 Linf Lsup
 
 A presença do tracinho vertical no lado do limite inferior significa que ele estará incluído 
no intervalo de classe. Falamos em 
 A ausência do tracinho vertical no lado do limite superior quer dizer que este limite estará 
excluído do intervalo! Falaremos em 
 Daí, se analisarmos a segunda classe, teremos:
 
 5 
 
 Esta classe possui como limites os valores 5 e 10. Porém, uma pessoa que lê exatamente
10 (dez) livros não entrará na contagem desta segunda classe, uma vez que 10 é limite superior 
desta classe, e aqui temos que o intervalo é 
excluído desta contagem, embora faça parte da classe como um de s
 Você conclui: classe é uma coisa; intervalode classe é outra. Quem define o intervalo é a 
simbologia que separa os limites das classes.
 Este símbolo que vimos acima (
assim dizer, a simbologia clássica!
 Trabalharemos sempre com essa consideração: intervalo fechado à direita e aberto à 
esquerda. 
 E por que será sempre assim? Porque nossa elaboradora, a Esaf, considera que em uma 
Distribuição de Frequências, trabalha
 Todos lembrados do que é uma 
resultado. Em outras: entre um resultado possível e outro, não pode haver qualquer 
descontinuidade. 
 E se não pode haver descontinuidade entre resultados 
necessário que onde termine uma classe, comece a próxima.
 Alguém dirá: mas professor, número de livros lidos por ano é uma variável discreta! 
Eu sei que é. Eu só usei essa variável para ilustrar o que é uma Distribuição 
fui muito rigoroso com o exemplo. Ok? 
 Mas na prova, para efeito de uma questão teórica, fica valendo o seguinte: na Distribuição 
de Frequências, trabalhamos com 
 Outras simbologias há na definição de outros tipos 
de nosso interesse, não trataremos a seu respeito.
 O próximo elemento que estudaremos é a 
simples. Amplitude será, para nós, sinônimo de 
tamanho da classe. Representaremos esse conceito com a letra 
 
 
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Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer o significado de 
! E esse conceito será definido com base no símbolo que estiver presente entre os limites 
No caso do exemplo acima, o símbolo presente é este: !---- 
Essa simbologia tem um significado. Ampliemos o símbolo para explicarmos melhor:
Linf Lsup 
A presença do tracinho vertical no lado do limite inferior significa que ele estará incluído 
no intervalo de classe. Falamos em intervalo fechado à esquerda. 
A ausência do tracinho vertical no lado do limite superior quer dizer que este limite estará 
uído do intervalo! Falaremos em intervalo aberto à direita. 
Daí, se analisarmos a segunda classe, teremos: 
 10 
Esta classe possui como limites os valores 5 e 10. Porém, uma pessoa que lê exatamente
10 (dez) livros não entrará na contagem desta segunda classe, uma vez que 10 é limite superior 
desta classe, e aqui temos que o intervalo é aberto à direita. Ou seja, o limite superior está 
excluído desta contagem, embora faça parte da classe como um de seus limites!
Você conclui: classe é uma coisa; intervalo de classe é outra. Quem define o intervalo é a 
simbologia que separa os limites das classes. 
Este símbolo que vimos acima (ı----) é aquele com o qual trabalharemos sempre! É, por 
bologia clássica! 
Trabalharemos sempre com essa consideração: intervalo fechado à direita e aberto à 
E por que será sempre assim? Porque nossa elaboradora, a Esaf, considera que em uma 
s, trabalha-se sempre com variáveis contínuas
Todos lembrados do que é uma variável contínua? É aquela que pode assumir qualquer 
resultado. Em outras: entre um resultado possível e outro, não pode haver qualquer 
E se não pode haver descontinuidade entre resultados possíveis da variável, faz
necessário que onde termine uma classe, comece a próxima. 
mas professor, número de livros lidos por ano é uma variável discreta! 
Eu sei que é. Eu só usei essa variável para ilustrar o que é uma Distribuição 
fui muito rigoroso com o exemplo. Ok? 
Mas na prova, para efeito de uma questão teórica, fica valendo o seguinte: na Distribuição 
s, trabalhamos com variáveis contínuas! 
Outras simbologias há na definição de outros tipos de intervalos de classe. Como não são 
de nosso interesse, não trataremos a seu respeito. 
O próximo elemento que estudaremos é a amplitude da classe
simples. Amplitude será, para nós, sinônimo de tamanho. Amplitude da classe
tamanho da classe. Representaremos esse conceito com a letra h (minúscula).
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Para responder a essa pergunta, precisamos conhecer o significado de intervalo de 
que estiver presente entre os limites 
Essa simbologia tem um significado. Ampliemos o símbolo para explicarmos melhor: 
A presença do tracinho vertical no lado do limite inferior significa que ele estará incluído 
A ausência do tracinho vertical no lado do limite superior quer dizer que este limite estará 
Esta classe possui como limites os valores 5 e 10. Porém, uma pessoa que lê exatamente 
10 (dez) livros não entrará na contagem desta segunda classe, uma vez que 10 é limite superior 
. Ou seja, o limite superior está 
eus limites! 
Você conclui: classe é uma coisa; intervalo de classe é outra. Quem define o intervalo é a 
) é aquele com o qual trabalharemos sempre! É, por 
Trabalharemos sempre com essa consideração: intervalo fechado à direita e aberto à 
E por que será sempre assim? Porque nossa elaboradora, a Esaf, considera que em uma 
is contínuas! 
? É aquela que pode assumir qualquer 
resultado. Em outras: entre um resultado possível e outro, não pode haver qualquer 
possíveis da variável, faz-se 
mas professor, número de livros lidos por ano é uma variável discreta! Sim. 
Eu sei que é. Eu só usei essa variável para ilustrar o que é uma Distribuição de Frequências. Não 
Mas na prova, para efeito de uma questão teórica, fica valendo o seguinte: na Distribuição 
de intervalos de classe. Como não são 
amplitude da classe. Um conceito muito 
Amplitude da classe será, portanto, o 
(minúscula). 
7 http://www.olaamigos
 
Observando a nossa tabela, percebemos facilmente que todas as classe apresentam a 
mesma amplitude (o mesmo tamanho). Senão, vejamos:
 
 Pergunta: é obrigatório 
obrigado! Mas é isso é algo esperado. A quase totalidade das Distribuições de 
em provas usa classes de mesma amplitude. Mas isso não é uma regra. É apenas o usual. Na 
prova do AFRF de 2005, por exemplo, a Esaf inovou e apresentou uma Distribuição em que nem 
todas as classes possuíam a mesma amplitude.
 Oportunamente veremos os efeitos, na resolução das questões, do fato de estarmos 
diante de uma Distribuição de 
muda quase nada. 
 Falemos agora sobre o chamado 
sugestivo: Ponto Médio (PM) é aquele valor que está rigorosamente no meio da classe. Cada 
classe possui, portanto, seu próprio Ponto Médio. Às vezes é possível determinar o PM de uma 
classe, só de olhar para ela. É o caso do nosso exemplo. Vejam
exatamente entre 0 e 5? É 2,5. Concordam? Claro!
 Daí, 2,5 é o PM da primeira classe. 
 Mas se tivéssemos uma classe com os seguintes limites: 19,5 !
seja assim tão imediata a determinação desse PM.
 Assim, calcularemos o PM da classe somando seus limites, e dividindo esse resultado por 
dois. Ou seja: PM=(Linf+Lsup)/2
 Assim, para a classe 19,5 !
 Só isso! Agora voltemos a nossa Distribuição de 
Pontos Médios. Teremos: 
 Alguém conseguiu observar uma relação qualquer entre os Pontos Médios? Sim? Vemos 
que a diferença entre dois pontos médios consecutivos foi sempre igual a uma constante. 
Perceberam? Ou dito de outra forma: o próximo Ponto Médio é sempre igual ao anterior s
a uma constante. 
 Neste caso, essa constante é 5. Ora, onde foi mesmo que vimos esse valor 5? Foi este 
também o valor da amplitude das classes! 
 Concluiremos assim: sempre que todas as classes de uma Distribuição de 
tiverem a mesma amplitude 
ao anterior somado àquela amplitude.
 É este o primeiro atalho 
ser um atalho! Assim, na hora de construirmos a coluna dos Pontos Médios, a primeira coisa a 
observar é se todas as classes têm a mesma amplitude. Se for o caso, você irá apenas descobrir 
o valor do primeiro Ponto Médio (o PM da primeira classe). 
 
olaamigos.com.brObservando a nossa tabela, percebemos facilmente que todas as classe apresentam a 
mesma amplitude (o mesmo tamanho). Senão, vejamos: 
Classes 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
� h=5 
� h=5 
� h=5 
� h=5 
 que todas as classes tenham a mesma amplitude? 
! Mas é isso é algo esperado. A quase totalidade das Distribuições de 
em provas usa classes de mesma amplitude. Mas isso não é uma regra. É apenas o usual. Na 
prova do AFRF de 2005, por exemplo, a Esaf inovou e apresentou uma Distribuição em que nem 
todas as classes possuíam a mesma amplitude. 
Oportunamente veremos os efeitos, na resolução das questões, do fato de estarmos 
diante de uma Distribuição de Frequência com classes de amplitudes diversas. Ok? A rigor, não 
Falemos agora sobre o chamado Ponto Médio. O que vem a ser? Ora
(PM) é aquele valor que está rigorosamente no meio da classe. Cada 
classe possui, portanto, seu próprio Ponto Médio. Às vezes é possível determinar o PM de uma 
classe, só de olhar para ela. É o caso do nosso exemplo. Vejamos: qual é o valor que está 
exatamente entre 0 e 5? É 2,5. Concordam? Claro! 
Daí, 2,5 é o PM da primeira classe. 
Mas se tivéssemos uma classe com os seguintes limites: 19,5 !--- 
seja assim tão imediata a determinação desse PM. 
sim, calcularemos o PM da classe somando seus limites, e dividindo esse resultado por 
PM=(Linf+Lsup)/2. 
Assim, para a classe 19,5 !--- 24,5 , teríamos: PM=(19,5+24,5)/2=22.
Só isso! Agora voltemos a nossa Distribuição de Frequências, e con
Classes PM 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
2,5 
7,5 
12,5 
17,5 
Alguém conseguiu observar uma relação qualquer entre os Pontos Médios? Sim? Vemos 
que a diferença entre dois pontos médios consecutivos foi sempre igual a uma constante. 
Perceberam? Ou dito de outra forma: o próximo Ponto Médio é sempre igual ao anterior s
Neste caso, essa constante é 5. Ora, onde foi mesmo que vimos esse valor 5? Foi este 
também o valor da amplitude das classes! 
Concluiremos assim: sempre que todas as classes de uma Distribuição de 
 (mesmo h), observaremos que o próximo Ponto Médio será igual 
ao anterior somado àquela amplitude. 
atalho do nosso Curso! Um bem simples, é verdade, mas não deixa de 
ser um atalho! Assim, na hora de construirmos a coluna dos Pontos Médios, a primeira coisa a 
observar é se todas as classes têm a mesma amplitude. Se for o caso, você irá apenas descobrir 
do primeiro Ponto Médio (o PM da primeira classe). 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Observando a nossa tabela, percebemos facilmente que todas as classe apresentam a 
que todas as classes tenham a mesma amplitude? Não! Não é 
! Mas é isso é algo esperado. A quase totalidade das Distribuições de Frequência trazidas 
em provas usa classes de mesma amplitude. Mas isso não é uma regra. É apenas o usual. Na 
prova do AFRF de 2005, por exemplo, a Esaf inovou e apresentou uma Distribuição em que nem 
Oportunamente veremos os efeitos, na resolução das questões, do fato de estarmos 
com classes de amplitudes diversas. Ok? A rigor, não 
. O que vem a ser? Ora, o nome é 
(PM) é aquele valor que está rigorosamente no meio da classe. Cada 
classe possui, portanto, seu próprio Ponto Médio. Às vezes é possível determinar o PM de uma 
os: qual é o valor que está 
 24,5. Pode ser que não 
sim, calcularemos o PM da classe somando seus limites, e dividindo esse resultado por 
24,5 , teríamos: PM=(19,5+24,5)/2=22. 
s, e construamos a coluna dos 
Alguém conseguiu observar uma relação qualquer entre os Pontos Médios? Sim? Vemos 
que a diferença entre dois pontos médios consecutivos foi sempre igual a uma constante. 
Perceberam? Ou dito de outra forma: o próximo Ponto Médio é sempre igual ao anterior somado 
Neste caso, essa constante é 5. Ora, onde foi mesmo que vimos esse valor 5? Foi este 
Concluiremos assim: sempre que todas as classes de uma Distribuição de Frequências 
), observaremos que o próximo Ponto Médio será igual 
do nosso Curso! Um bem simples, é verdade, mas não deixa de 
ser um atalho! Assim, na hora de construirmos a coluna dos Pontos Médios, a primeira coisa a 
observar é se todas as classes têm a mesma amplitude. Se for o caso, você irá apenas descobrir 
8 http://www.olaamigos
 
Daí, basta sair somar este PM com o 
chegar à última classe. No nosso exemplo, sabemos que 
Classes 
0 !--- 5 
5 !--- 10
10 !--- 15
15 !--- 20
 
 Pois bem! Já conhecemos quais os elementos de uma Distribuição de 
precisamos saber por que essa tabela é chamada assim. O que vêm a ser essas tais 
É sobre isso que falaremos a seguir.
 Comecemos repetindo a tabela do nosso exemplo:
 
 Observemos que a segunda coluna nos revela o número de elementos que 
classe correspondente. Ou seja, o valor 108 na primeira classe da coluna do 
108 pessoas no conjunto que lêem entre zero e cinco livros por ano (cinco exclusive).
 Assim, concluímos: a coluna do 
número de elementos que faz parte da classe correspondente. Só isso. É
fácil compreensão! E a mais importante delas também! Precisaremos conhecer os valores da 
para podermos resolver quase todas as questões de uma prova. 
 Isso nos leva a uma conclusão importantíssima: será preciso, como primeiro pass
reconhecer o tipo de frequência
reconhecimento, se a frequência
já podemos resolver as questões. Caso contrário, se a prova houver f
coluna de frequência, diferente do 
intuito de transformar a coluna de 
 Ou seja, diante de uma Distribuição de 
passos: 
 1º) Reconhecer o tipo de 
 2º-A) Se for a frequência
 2º-B) Se for um outro tipo de 
trabalho preliminar, no sentido de 
simples (fi). 
 Eu lhes digo que de nada adiantará você decorar todas as fórmulas deste Curso, se não 
souber fazer esse tal de trabalho prelimina
alma da prova! Ok? Vamos a esse estudo.
 Existem seis tipos de colunas de 
Distribuição. A primeira delas já conhecemos: a 
 
 
olaamigos.com.br 
Daí, basta sair somar este PM com o h e prosseguir realizando essa mesma operação, até 
chegar à última classe. No nosso exemplo, sabemos que h=5, logo, teremos:
PM 
 
10 
15 
20 
 2,5 � 1º PM, calculado! 
(2,5+5) = 7,5 
(7,5+5) = 12,5 
(12,5+5)= 17,5 
Pois bem! Já conhecemos quais os elementos de uma Distribuição de 
precisamos saber por que essa tabela é chamada assim. O que vêm a ser essas tais 
É sobre isso que falaremos a seguir. 
Comecemos repetindo a tabela do nosso exemplo: 
Classes 
(número de livros 
lidos por ano) 
fi 
(pessoas) 
0 !--- 5 
5 !--- 10 
10 !--- 15 
15 !--- 20 
108 
72 
18 
2 
Total 200 
Observemos que a segunda coluna nos revela o número de elementos que 
classe correspondente. Ou seja, o valor 108 na primeira classe da coluna do 
108 pessoas no conjunto que lêem entre zero e cinco livros por ano (cinco exclusive).
Assim, concluímos: a coluna do fi, chamada frequência absoluta simples
número de elementos que faz parte da classe correspondente. Só isso. É
fácil compreensão! E a mais importante delas também! Precisaremos conhecer os valores da 
para podermos resolver quase todas as questões de uma prova. 
Isso nos leva a uma conclusão importantíssima: será preciso, como primeiro pass
frequência apresentado na tabela da prova! Uma vez feito esse 
frequência fornecida houver sido a fi (frequência absoluta simples), então 
já podemos resolver as questões. Caso contrário, se a prova houver fornecido um outro tipo de 
, diferente do fi, então precisaremos fazer algum trabalho preliminar
intuito de transformara coluna de frequência da tabela na frequência absoluta simples 
Ou seja, diante de uma Distribuição de Frequências, convém seguirmos os seguintes 
1º) Reconhecer o tipo de frequência fornecida na tabela; 
frequência absoluta simples (fi), ótimo: começamos a resolver a prova;
B) Se for um outro tipo de frequência, diferente do fi, terem
, no sentido de transformar a frequência fornecida na 
Eu lhes digo que de nada adiantará você decorar todas as fórmulas deste Curso, se não 
trabalho preliminar! Saber fazer isso se tornou, por assim dizer, a 
da prova! Ok? Vamos a esse estudo. 
tipos de colunas de frequências, as quais podem estar presentes numa 
Distribuição. A primeira delas já conhecemos: a fi, frequência absoluta simples.
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
e prosseguir realizando essa mesma operação, até 
=5, logo, teremos: 
 
Pois bem! Já conhecemos quais os elementos de uma Distribuição de Frequências. Agora 
precisamos saber por que essa tabela é chamada assim. O que vêm a ser essas tais frequências? 
Observemos que a segunda coluna nos revela o número de elementos que participa da 
classe correspondente. Ou seja, o valor 108 na primeira classe da coluna do fi significa que há 
108 pessoas no conjunto que lêem entre zero e cinco livros por ano (cinco exclusive). 
absoluta simples, indica o 
número de elementos que faz parte da classe correspondente. Só isso. É a frequência de mais 
fácil compreensão! E a mais importante delas também! Precisaremos conhecer os valores da fi 
Isso nos leva a uma conclusão importantíssima: será preciso, como primeiro passo, saber 
apresentado na tabela da prova! Uma vez feito esse 
absoluta simples), então 
ornecido um outro tipo de 
trabalho preliminar, no 
absoluta simples fi. 
s, convém seguirmos os seguintes 
), ótimo: começamos a resolver a prova; 
, teremos que fazer algum 
fornecida na frequência absoluta 
Eu lhes digo que de nada adiantará você decorar todas as fórmulas deste Curso, se não 
! Saber fazer isso se tornou, por assim dizer, a 
s, as quais podem estar presentes numa 
absoluta simples. 
9 http://www.olaamigos
 
Há ainda outros dois tipos de 
acumulada crescente, e a fad –
 Haverá também três tipos de 
Fac – frequência relativa acumulada crescente; e a 
decrescente. 
 Relacionando-as todas, teremos:
� Frequências Absolutas: 
 - fi : frequência absoluta simples;
 - fac: frequência absoluta acumulada crescente;
 - fad: frequência absoluta acumulada decrescente.
� Frequências Relativas: 
 - Fi : frequência relativa simples;
 - Fac: frequência relativa acumulada crescente;
 - Fad: frequência relativa acumulada decrescente.
 
 A primeira delas (fi) está em destaque para que não nos esq
importante de todas! É a imprescindível. Teremos que conhecê
começarmos a resolver a prova!
 Vou criar outro exemplo de Distribuição de 
abaixo represente os pesos de um gru
 
 Já sabemos o significado da 
(exclusive); 6 crianças têm peso variando entre 10 e 20 quilos; 7 crianças, peso variando entre 
20 e 30 quilos; finalmente, 4 crianças têm peso variando entre 30 e 40 quilos. Assim, se 
perguntarmos quantos elementos há neste conjunto, ou seja, quantas crianças há neste grupo? 
Para responder isso, basta somarmos os valores da coluna do 
 Designaremos o número total de elementos de um conjunto por um 
teremos: 
 
 
 
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Há ainda outros dois tipos de frequências absolutas: a fac 
– frequência absoluta acumulada decrescente.
Haverá também três tipos de frequências relativas: a Fi, frequência
relativa acumulada crescente; e a Fad – frequência
as todas, teremos: 
absoluta simples; 
absoluta acumulada crescente; 
absoluta acumulada decrescente. 
relativa simples; 
relativa acumulada crescente; 
relativa acumulada decrescente. 
) está em destaque para que não nos esq
importante de todas! É a imprescindível. Teremos que conhecê-la previamente, antes de 
começarmos a resolver a prova! 
Vou criar outro exemplo de Distribuição de Frequências. Ok? Suponhamos que a tabela 
abaixo represente os pesos de um grupo de crianças. Certo? Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
Já sabemos o significado da fi. Assim, temos que 3 crianças têm peso até 10 quilos 
(exclusive); 6 crianças têm peso variando entre 10 e 20 quilos; 7 crianças, peso variando entre 
20 e 30 quilos; finalmente, 4 crianças têm peso variando entre 30 e 40 quilos. Assim, se 
os elementos há neste conjunto, ou seja, quantas crianças há neste grupo? 
Para responder isso, basta somarmos os valores da coluna do fi. 
Designaremos o número total de elementos de um conjunto por um 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 n=20 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
 – frequência absoluta 
absoluta acumulada decrescente. 
frequência relativa simples; a 
frequência relativa acumulada 
) está em destaque para que não nos esqueçamos: é a mais 
la previamente, antes de 
s. Ok? Suponhamos que a tabela 
. Assim, temos que 3 crianças têm peso até 10 quilos 
(exclusive); 6 crianças têm peso variando entre 10 e 20 quilos; 7 crianças, peso variando entre 
20 e 30 quilos; finalmente, 4 crianças têm peso variando entre 30 e 40 quilos. Assim, se 
os elementos há neste conjunto, ou seja, quantas crianças há neste grupo? 
Designaremos o número total de elementos de um conjunto por um n (minúsculo). Assim, 
10 http://www.olaamigos
 
Será sempre assim: na tabela, o número de elementos de um conjunto será encontrado 
somando a coluna do fi. Guarde isso!
 Suponhamos agora que precisamos construir a coluna da 
acumulada crescente). 
 Neste caso, devemos saber do seguinte:
1º) A fac é construída diretamente a partir da 
2º) A fac será construída de cima para baixo, uma vez que seus valores são crescentes, 
partindo da primeira classe; 
3º) A fac e a fi apresentam o mesmo valor naquela classe em que a fac começa a ser 
construída, ou seja, são iguais na primeira classe.
4º) Os demais valores da 
diagonal. (Isso será mais bem esclarecido quando virmos o exemplo).
Voltemos à tabela do nosso exemplo e sigamos os passos acima:
 
 E para construir os demais valores da 
diagonal. Teremos: 
(pesos, em Kg)
 
 E depois: 
(pesos, em Kg)
 
 E finalmente: 
 
 
olaamigos.com.br 
Será sempre assim: na tabela, o número de elementos de um conjunto será encontrado 
. Guarde isso! 
Suponhamos agora que precisamos construir a coluna da fac
Neste caso, devemos saber do seguinte: 
é construída diretamente a partir da fi. (São frequências irmãs!)
será construída de cima para baixo, uma vez que seus valores são crescentes, 
apresentam o mesmo valor naquela classe em que a fac começa a ser 
construída, ou seja, são iguais na primeira classe. 
4º) Os demais valores da fac serão obtidos somando-se o valor da fac anterior com a fi da 
diagonal. (Isso será mais bem esclarecido quando virmos o exemplo). 
Voltemos à tabela do nosso exemplo e sigamos os passos acima: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
 n=20 
E para construir os demais valores da fac, seguiremos o comandode 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
9 (=3+6) 
 n=20 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
9 
16 (=9+7) 
 n=20 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Será sempre assim: na tabela, o número de elementos de um conjunto será encontrado 
fac (frequência absoluta 
s irmãs!) 
será construída de cima para baixo, uma vez que seus valores são crescentes, 
apresentam o mesmo valor naquela classe em que a fac começa a ser 
se o valor da fac anterior com a fi da 
, seguiremos o comando de somar com a 
Iguais na primeira 
classe 
11 http://www.olaamigos
 
 
(pesos, em Kg)
 
 Observação importante: a 
elementos do conjunto)! 
 É isso! Aprendemos a construir a coluna da 
(fi). Todos entenderam? Basta lembrar:
 # De fi para fac: 
���� fi e fac são 
���� fi e fac são iguais na primeira classe;
� o resto da fac
 
 E se for preciso fazer o caminho inverso? Ou seja, se quisermos construir a 
fac? Como se fará isso? Vejamos:
 1º) fac e fi são iguais na primeira classe. Teremos:
 
 2º) O restante da coluna da 
Vejamos como se faz isso: 
 
 E depois: 
 
 
 
olaamigos.com.br 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
9 
16 
20 (=16+4) 
 n=20 
Observação importante: a fac termina sempre com o mesmo valor de 
É isso! Aprendemos a construir a coluna da fac, a partir da frequência
). Todos entenderam? Basta lembrar: 
são frequências irmãs! 
são iguais na primeira classe; 
fac se constrói somando com a diagonal.
E se for preciso fazer o caminho inverso? Ou seja, se quisermos construir a 
? Como se fará isso? Vejamos: 
são iguais na primeira classe. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
3 
 n=20 
2º) O restante da coluna da fi será construída subtraindo a próxima fac
 Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
(9-3=) 6 
3 
9 
16 
20 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
termina sempre com o mesmo valor de n (número de 
frequência absoluta simples 
. 
E se for preciso fazer o caminho inverso? Ou seja, se quisermos construir a fi partindo da 
próxima fac da fac anterior. 
Iguais na primeira 
classe 
12 http://www.olaamigos
 
 
(pesos, em Kg)
 
 E finalmente: 
 
(pesos, em Kg)
 
 Daí, concluímos, que: 
 # De fac para fi:
���� fi e fac são 
���� fi e fac são iguais na primeira classe;
� o resto da fi
anterior. 
 
 Passemos a uma outra situação. Suponhamos que agora conhecemos a coluna da 
frequência absoluta simples fi 
acumulada decrescente. 
 A primeira coisa a saber é que 
uma por meio da outra. 
 A fad, por sua vez, será construída começando pela última classe. E lá, nesta última 
classe, fad e fi terão o mesmo valor! 
 O restante da coluna da 
a diagonal. Vejamos: 
 1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos:
 
 
olaamigos.com.br 
 Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
 6 
(16-9=) 7 
3 
9 
16 
20 
 n=20 
 Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fac 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
 6 
 7 
(20-16=) 4 
3 
9 
16 
20 
 n=20 
fi: 
são frequências irmãs! 
são iguais na primeira classe; 
fi se constrói subtraindo a próxima fac da fac 
Passemos a uma outra situação. Suponhamos que agora conhecemos a coluna da 
 e pretendemos construir a coluna da fad
A primeira coisa a saber é que fi e fad são frequências irmãs, ou seja, são construídas 
, por sua vez, será construída começando pela última classe. E lá, nesta última 
terão o mesmo valor! 
O restante da coluna da fad seguirá um comando já conhecido nosso. Qual? 
são iguais na última classe. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
 
 
4 
 n=20 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
subtraindo a próxima fac da fac 
Passemos a uma outra situação. Suponhamos que agora conhecemos a coluna da 
fad – frequência absoluta 
s irmãs, ou seja, são construídas 
, por sua vez, será construída começando pela última classe. E lá, nesta última 
seguirá um comando já conhecido nosso. Qual? Somar com 
Iguais na última 
classe 
13 http://www.olaamigos
 
 2º) Subindo e somando com a diagonal, teremos:
(pesos, em Kg)
 
 E depois: 
(pesos, em Kg)
 E, finalmente: 
(pesos, em Kg)
 
 Entendido? E se for preciso fazer o caminho de volta? Ou seja, se precisarmos construir a 
coluna da frequência absoluta simples 
acumulada decrescente fad, como fazê
 Simples. Basta lembrar que: 1º) 
coluna da fi será construída fazendo 
 1º) fad e fi são iguais na última classe. Teremos:
 
 2º) O restante da coluna da 
anterior. Vejamos como se faz isso:
 
olaamigos.com.br 
2º) Subindo e somando com a diagonal, teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
 
11 (=4+7) 
4 
 n=20 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
17 (=11+6) 
11 
4 
 n=20 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
20 (=17+3) 
17 
11 
4 
 n=20 
Entendido? E se for preciso fazer o caminho de volta? Ou seja, se precisarmos construir a 
absoluta simples fi a partir do conhecimento da 
, como fazê-lo? 
Simples. Basta lembrar que: 1º) fi e fad são iguais na última classe; 2º) O restante da 
será construída fazendo próxima acumulada menos acumulada anterior
são iguais na última classe. Teremos: 
Classes 
(pesos, em Kg) 
fi 
 
fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
 
 
4 
20 
17 
11 
4 
2º) O restante da coluna da fi será construída subindo e subtraindo a 
. Vejamos como se faz isso: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Entendido? E se for preciso fazer o caminho de volta? Ou seja, se precisarmos construir a 
a partir do conhecimento da frequência absoluta 
são iguais na última classe; 2º) O restante da 
acumulada anterior. Vejamos: 
será construída subindo e subtraindo a próxima fad da fad 
Iguais na última 
classe 
14 http://www.olaamigos
 
 E depois: 
 E finalmente: 
 
 Se tentarmos esquematizar o que vimos até aqui, podemos fazê
 De simplespara 
 
 fi 
 
 De acumulada para 
 
 Agora passamos a falar sobre as 
 A primeira coisa a saber é que as 
percentuais, ou seja, a porcentagens de elementos! Ok? Essa é a
absolutas e relativas: 
 � Frequências Absolutas
 � Frequências Relativas
 Se quisermos construir a coluna da 
conhecimento da frequência absoluta simples 
 1º) Compararemos os somatórios das duas colunas (
� a soma da frequência 
� a soma da frequência 
2º) Estabeleceremos uma relação (de produto ou divisão) entre estes dois somatórios. Ou 
seja, compararemos n com 100%
(Vocês vão já entender isso melhor!)
Voltemos ao nosso exemplo. Teremos:
 
 
olaamigos.com.br 
Classes fi fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
 
(11-4=) 7 
4 
20 
17 
11 
4 
Classes fi fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
(17-11=) 6 
 7 
4 
20 
17 
11 
4 
Classes fi fad 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
(20-17=) 3 
 6 
 7 
4 
20 
17 
11 
4 
esquematizar o que vimos até aqui, podemos fazê-lo da seguinte forma:
para acumulada: somar com a diagonal
 fac (iguais na primeira classe)
 
 fad (iguais na última classe)
para simples: próxima acumulada – acumulada anterior
Agora passamos a falar sobre as Frequências Relativas! 
A primeira coisa a saber é que as frequências relativas dizem respeito a valores 
percentuais, ou seja, a porcentagens de elementos! Ok? Essa é a diferença entre 
s Absolutas: dizem respeito a número de elementos
s Relativas: dizem respeito a porcentagem de elementos
Se quisermos construir a coluna da Frequência Relativa Simples 
absoluta simples fi, faremos apenas o seguinte:
1º) Compararemos os somatórios das duas colunas (fi e Fi), sabendo que:
 simples é sempre n (número de elementos do conjunto); e
 relativa simples é sempre 100%. 
2º) Estabeleceremos uma relação (de produto ou divisão) entre estes dois somatórios. Ou 
100%, e descobriremos qual a relação entre esses dois valores. 
(Vocês vão já entender isso melhor!) 
temos ao nosso exemplo. Teremos: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
lo da seguinte forma: 
: somar com a diagonal 
(iguais na primeira classe) 
(iguais na última classe) 
acumulada anterior 
s relativas dizem respeito a valores 
diferença entre frequências 
número de elementos; 
porcentagem de elementos. 
Relativa Simples Fi, partindo do 
, faremos apenas o seguinte: 
), sabendo que: 
(número de elementos do conjunto); e 
2º) Estabeleceremos uma relação (de produto ou divisão) entre estes dois somatórios. Ou 
, e descobriremos qual a relação entre esses dois valores. 
15 http://www.olaamigos
 
 
 1º) Qual a relação que se verifica entre 20 e 100%? Ora, com 20 é menor do que 100, 
então multiplicaremos! (Se fosse o contrário, dividiríamos). Pois bem: multiplicaremos por 
quanto? Por 5, já que 20x5=100. 
Uma vez estabelecida esta relação entre os somatórios destas duas colunas de 
(fi e Fi), teremos enfim que repetir essa mesma relação com os demais valores da 
conhecida, e teremos construído a coluna desconhecida! 
Vejamos: 
Classes
0 !
10 !
20 !
30 !
 
 
 A mesma lógica se utiliza para fazer o caminho inverso, ou seja, para se construir a coluna 
da fi partindo do conhecimento da 
 
 Neste instante, teremos que reler o enunciado, para ver se foi revelado o valor do 
(número de elementos do conjunto). Caso, eventualmente, a questão não revele o valor do 
adotaremos que n=100. Ok? (Isso foi feito na prova do AFRF de 2003)!
 Suponhamos aqui, em nosso exemplo, que o enunciado tenha dito que 
Teremos: 
Classes
0 !
10 !
20 !
30 !
 
 
 
olaamigos.com.br 
Classes fi Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
 
 n=20 100% 
1º) Qual a relação que se verifica entre 20 e 100%? Ora, com 20 é menor do que 100, 
então multiplicaremos! (Se fosse o contrário, dividiríamos). Pois bem: multiplicaremos por 
quanto? Por 5, já que 20x5=100. 
Uma vez estabelecida esta relação entre os somatórios destas duas colunas de 
), teremos enfim que repetir essa mesma relação com os demais valores da 
conhecida, e teremos construído a coluna desconhecida! 
Classes fi Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 
6 
7 
4 
15% (=3x5) 
30% (=6x5) 
35% (=7x5) 
20% (=4x5) 
 n=20 100% 
 (x5) 
A mesma lógica se utiliza para fazer o caminho inverso, ou seja, para se construir a coluna 
partindo do conhecimento da Fi. Teremos: 
Classes fi Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 15% 
30% 
35% 
20% 
 n=? 100% 
Neste instante, teremos que reler o enunciado, para ver se foi revelado o valor do 
(número de elementos do conjunto). Caso, eventualmente, a questão não revele o valor do 
. Ok? (Isso foi feito na prova do AFRF de 2003)! 
aqui, em nosso exemplo, que o enunciado tenha dito que 
Classes fi Fi 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
3 (=15÷5) 
6 (=30÷5) 
7 (=35÷5) 
4 (=20÷5) 
15% 
30% 
35% 
20% 
 n=20 100% 
 (÷5) 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
1º) Qual a relação que se verifica entre 20 e 100%? Ora, com 20 é menor do que 100, 
então multiplicaremos! (Se fosse o contrário, dividiríamos). Pois bem: multiplicaremos por 
Uma vez estabelecida esta relação entre os somatórios destas duas colunas de frequências 
), teremos enfim que repetir essa mesma relação com os demais valores da frequência 
A mesma lógica se utiliza para fazer o caminho inverso, ou seja, para se construir a coluna 
Neste instante, teremos que reler o enunciado, para ver se foi revelado o valor do n 
(número de elementos do conjunto). Caso, eventualmente, a questão não revele o valor do n, 
aqui, em nosso exemplo, que o enunciado tenha dito que n=20 elementos. 
16 http://www.olaamigos
 
 Lembrem-se apenas de pôr o sinal de porcentagem 
colocá-lo nas frequências absolutas!
 Resta agora aprendermos como construir as colunas das 
(Fac e Fad). Para construí-las, partiremos de um mesmo lugar: da 
 E o faremos seguindo o mesmo 
frequências absolutas. Teremos:
 De simples para 
 
 Fi 
 
 De acumulada para 
 Vejamos estas transformações:
 # De Fi para Fac: 
Classes 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
 
 # De Fac para Fi: 
Classes 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
 
 # De Fi para Fad: 
Classes 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
 
 
 
 
 
 
olaamigos.com.br 
se apenas de pôr o sinal de porcentagem % nas frequência
s absolutas! 
Resta agora aprendermos como construir as colunas das frequência
las, partiremos de um mesmo lugar: da frequência
E o faremos seguindo o mesmo esquema utilizado nas transformações entre as 
sabsolutas. Teremos: 
para acumulada: somar com a diagonal
 Fac (iguais na primeira classe)
 
 Fad (iguais na última classe)
para simples: próxima acumulada – acumulada anterior
transformações: 
fi Fi Fac 
 
 
 
3 
6 
7 
4 
15% 
30% 
35% 
20% 
15% 
45% (=15%+30%)
80% (=45%+35%)
100% (=35%+20%)
n=20 100% 
fi Fi 
 
 
 
 
3 
6 
7 
4 
15% 
30% (=45%-15%) 
35% (=80%-45%) 
20% (=100%-80%) 100%
n=20 100% 
fi Fi Fad 
 
 
 
3 
6 
7 
4 
15% 
30% 
35% 
20% 
100%(=85%+15%)
85% (=55%+30%)
55% (=20%+35%)
20% 
n=20 100% 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
frequências relativas e de não 
frequências relativas acumuladas 
frequência relativa simples Fi. 
utilizado nas transformações entre as 
: somar com a diagonal 
(iguais na primeira classe) 
(iguais na última classe) 
acumulada anterior 
45% (=15%+30%) 
80% (=45%+35%) 
100% (=35%+20%) 
Fac 
15% 
45% 
80% 
100% 
 
100%(=85%+15%) 
85% (=55%+30%) 
55% (=20%+35%) 
17 http://www.olaamigos
 
 
 # De Fad para Fi: 
Classes 
0 !--- 10 
10 !--- 20 
20 !--- 30 
30 !--- 40 
 
 
 Certamente vocês observaram que a coluna da 
Fac termina sempre com 100%
sempre com 100%. 
 Será sempre assim! Anote:
 � Fac: apresenta 100% 
 � Fad: apresenta 100% 
 
 Vocês perceberam também que as duas 
nascem da frequência absoluta simples (
acumuladas (Fac e Fad) nascem 
 Podemos, assim, unir os dois esquemas de transformação em um só, e chegaremos ao 
seguinte: 
 
 De simples para 
 fac
 fi 
 fad
 
 (comparam
 
 
 Fi 
 
 De acumulada para 
 
 Meus queridos, conhecer bem este trabalho de transformar uma coluna de 
outra, até chegar à frequência absoluta simples 
 Nas últimas provas de AFRF, por pelo menos três ocasiões a Esaf forneceu Distribuições de 
Frequências com as quais se precisaria fazer o 
daquela tabela e, a partir daquela 
Distribuições. Vamos a elas. 
 
 
olaamigos.com.br 
fi Fi 
 
 
 
3 
6 
7 
4 
15% (=100%-85%) 
30% (=85%-55%) 
35% (=55%-20%) 
20% 
n=20 100% 
Certamente vocês observaram que a coluna da Frequência Relativa Acumulada Crescente 
100%. E a da Frequência Relativa Acumulada Decrescente começa 
Será sempre assim! Anote: 
100% na última classe! 
100% na primeira classe! 
Vocês perceberam também que as duas frequências absolutas acumuladas (
absoluta simples (fi). E viram que as duas 
nascem da frequência relativa simples (Fi). 
Podemos, assim, unir os dois esquemas de transformação em um só, e chegaremos ao 
para acumulada: somar com a diagonal
ac (iguais na primeira classe) 
ad (iguais na última classe) 
 
(comparam-se os dois somatórios) 
 Fac (iguais na primeira classe)
 Fad (iguais na última classe)
para simples: próxima acumulada – acumulada anterior
Meus queridos, conhecer bem este trabalho de transformar uma coluna de 
absoluta simples fi, é algo simplesmente fundamental.
Nas últimas provas de AFRF, por pelo menos três ocasiões a Esaf forneceu Distribuições de 
s com as quais se precisaria fazer o trabalho preliminar de descobrir qual a 
daquela tabela e, a partir daquela frequência, construir a fi. Vejamos abaixo duas destas 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Fad 
100% 
85% 
55% 
20% 
 
Relativa Acumulada Crescente 
Relativa Acumulada Decrescente começa 
s absolutas acumuladas (fac e fad) 
). E viram que as duas frequências relativas 
Podemos, assim, unir os dois esquemas de transformação em um só, e chegaremos ao 
: somar com a diagonal 
(iguais na primeira classe) 
na última classe) 
acumulada anterior 
Meus queridos, conhecer bem este trabalho de transformar uma coluna de frequências em 
fundamental. 
Nas últimas provas de AFRF, por pelo menos três ocasiões a Esaf forneceu Distribuições de 
de descobrir qual a frequência 
. Vejamos abaixo duas destas 
18 http://www.olaamigos
 
# (AFRF-2000) Utilize a tabela que se segue. 
 
 
Sol.: O primeiro passo nosso será descobrir que 
conclusão a tomar é se se trata de uma 
 Será Frequência Relativa em três casos
 1º) Se o enunciado o disser expressamente;
 2º) Se houver um sinal de porcentagem (
 3º) Se houver sinais de porcentagem nos valores da coluna.
 Nesta tabela, nenhum sinal indicativo de 
leva a concluir que estamos diante de uma coluna de 
 Sabendo disso, resta-nos uma segunda decisão a tomar: que tipo de 
essa? Há três tipos: fi (frequência
crescente) e fad (frequência absoluta acumulada decrescente).
 Ora, foi dito expressamente (no cabeçalho da coluna) que se trata de uma 
acumulada. Logo, restam-nos duas possibilidades: 
acumulada crescente ou decrescente, basta observar os seus valores: começamos com 12; e 
aumentamos para 30, para 50, para 60 etc. Ou seja, estamos diante de uma 
absoluta acumulada crescente
 Feita esta descoberta, concluímos pela necessidade de realizar um 
sentido de construir agora a coluna da 
Classes
( 3 ; 6]
( 6 ; 9]
( 9 ; 12]
(12 ; 15]
(15 ; 18]
(18 ; 21]
 
 Somente então seria possível começar a resolver a prova!
# (AFRF-2002) Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu 
a tabela de frequências abaixo. A coluna 
a coluna P representa a frequência
com os extremos das classes. 
 
 
 
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Utilize a tabela que se segue. 
Classes de Salário Frequências 
Acumuladas 
( 3 ; 6] 12 
( 6 ; 9] 30 
( 9 ; 12] 50 
(12 ; 15] 60 
(15 ; 18] 65 
(18 ; 21] 68 
O primeiro passo nosso será descobrir que frequência foi essa trazida na tabela. A primeira 
conclusão a tomar é se se trata de uma frequência absoluta ou de uma frequência
Relativa em três casos: 
enunciado o disser expressamente; 
2º) Se houver um sinal de porcentagem (%) no cabeçalho da coluna;
3º) Se houver sinais de porcentagem nos valores da coluna. 
Nesta tabela, nenhum sinal indicativo de frequência relativa esteve presente, o que nos 
concluir que estamos diante de uma coluna de frequências absolutas.
nos uma segunda decisão a tomar: que tipo de 
frequência absoluta simples), fac (frequência
absoluta acumulada decrescente). 
Ora, foi dito expressamente (no cabeçalho da coluna) que se trata de uma 
nos duas possibilidades: fac ou fad. Para decidir se a 
crescente, basta observar os seus valores: começamos com 12; e 
aumentamos para 30, para 50, para 60 etc. Ou seja, estamos diante de uma 
absoluta acumulada crescente (fac). 
Feita esta descoberta, concluímos pela necessidade de realizar um 
sentido de construir agora a coluna da frequência absoluta simples fi. Já sabemos fazer isso:
Classes fac fi 
( 3 ; 6] 12 12 
( 6 ; 9] 30 18 (=30-12) 
( 9 ; 12] 50 20 (=50-30) 
(12 ; 15] 60 10 (=60-50) 
(15 ; 18] 65 5 (=65-60)(18 ; 21] 68 3 (=68-65) 
Somente então seria possível começar a resolver a prova! Vamos ao próximo exemplo.
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu 
s abaixo. A coluna Classes representa intervalos de valores d
frequência relativa acumulada. Não existem observações coincidentes 
 
Classes P (%) 
70-90 5 
90-110 15 
110-130 40 
130-150 70 
150-170 85 
170-190 95 
190-210 100 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
foi essa trazida na tabela. A primeira 
frequência relativa. 
) no cabeçalho da coluna; 
relativa esteve presente, o que nos 
s absolutas. 
nos uma segunda decisão a tomar: que tipo de frequência absoluta é 
frequência absoluta acumulada 
Ora, foi dito expressamente (no cabeçalho da coluna) que se trata de uma frequência 
. Para decidir se a frequência é 
crescente, basta observar os seus valores: começamos com 12; e 
aumentamos para 30, para 50, para 60 etc. Ou seja, estamos diante de uma frequência 
Feita esta descoberta, concluímos pela necessidade de realizar um trabalho preliminar, no 
Já sabemos fazer isso: 
Vamos ao próximo exemplo. 
Em um ensaio para o estudo da distribuição de um atributo financeiro (X) foram 
examinados 200 itens de natureza contábil do balanço de uma empresa. Esse exercício produziu 
representa intervalos de valores de X em reais e 
relativa acumulada. Não existem observações coincidentes 
19 http://www.olaamigos
 
Sol.: Comecemos identificando a coluna de 
de porcentagem. Daí, concluímos que se trata de uma 
que coloquemos logo o sinal de porcentagem em todos os valores desta coluna. Teremos:
 
 Ora, aprendemos que as duas 
com 100%. Lembrados? Daí, consultaremos imediatamente essas duas classes: a primeira e a 
última. Encontramos 100% por lá? Sim! Na última classe! Conclusão: trata
relativa acumulada. 
 Mas será acumulada crescente ou decrescente? Ora, basta verificar os seus valores. 
Começou com 5%; cresceu para 15%; cresceu para 40%; e assim por diante.
 Conclusão: estamos diante da coluna da 
Fac. 
No intuito de construir a coluna da 
primeiro passo, a coluna da frequência
Classes
70-90
90-110
110-130
130-150
150-170
170-190
190-210
 
 
 Daí, finalmente, faremos a transformação da 
absoluta simples. Ou seja, passaremos 
aprendemos, iremos nos concentrar apenas nos somatórios destas duas colunas de 
Precisamos reler o enunciado, para sabermos qual o número de elementos do conjunto 
A questão disse que foram examinados 200 itens...
 
Classes
70-90
90-110
110-130
130-150
150-170
170-190
190-210
 
 
 
 E somente neste momento a tabela estaria 
prova! 
 
 
olaamigos.com.br 
Comecemos identificando a coluna de frequência fornecida. O cabeçalho apresenta um sinal 
de porcentagem. Daí, concluímos que se trata de uma frequência relativa, e é muito conveniente 
que coloquemos logo o sinal de porcentagem em todos os valores desta coluna. Teremos:
Classes P (%) 
70-90 5% 
90-110 15% 
110-130 40% 
130-150 70% 
150-170 85% 
170-190 95% 
190-210 100% 
Ora, aprendemos que as duas frequências relativas acumuladas começarão ou terminarão 
com 100%. Lembrados? Daí, consultaremos imediatamente essas duas classes: a primeira e a 
última. Encontramos 100% por lá? Sim! Na última classe! Conclusão: trata
Mas será acumulada crescente ou decrescente? Ora, basta verificar os seus valores. 
Começou com 5%; cresceu para 15%; cresceu para 40%; e assim por diante.
Conclusão: estamos diante da coluna da frequência relativa acumulada crescente
o de construir a coluna da frequência absoluta simples (fi
frequência relativa simples (Fi). Teremos: 
Classes Fac Fi 
90 5% 5% 
110 15% 10% (=15%-5%) 
130 40% 25% (=40%-15%)
150 70% 30% (=70%-40%)
170 85% 15% (=85%-70%)
190 95% 10% (=95%-85%)
210 100% 5% (=100%-95%)
Daí, finalmente, faremos a transformação da frequência relativa simples para a 
absoluta simples. Ou seja, passaremos de simples para simples. Neste caso, conforme 
aprendemos, iremos nos concentrar apenas nos somatórios destas duas colunas de 
Precisamos reler o enunciado, para sabermos qual o número de elementos do conjunto 
foram examinados 200 itens... Traduzindo: n=200. Daí, teremos:
Classes Fac Fi fi 
90 5% 5% 10 
110 15% 10% 20 
130 40% 25% 50 
150 70% 30% 60 
170 85% 15% 30 
190 95% 10% 20 
210 100% 5% 10 
Total 100% n=200
 (x2) 
E somente neste momento a tabela estaria pronta para deixar você começar a resolver a 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
fornecida. O cabeçalho apresenta um sinal 
relativa, e é muito conveniente 
que coloquemos logo o sinal de porcentagem em todos os valores desta coluna. Teremos: 
s relativas acumuladas começarão ou terminarão 
com 100%. Lembrados? Daí, consultaremos imediatamente essas duas classes: a primeira e a 
última. Encontramos 100% por lá? Sim! Na última classe! Conclusão: trata-se de uma frequência 
Mas será acumulada crescente ou decrescente? Ora, basta verificar os seus valores. 
Começou com 5%; cresceu para 15%; cresceu para 40%; e assim por diante. 
relativa acumulada crescente, 
fi), construiremos, como 
 
15%) 
40%) 
70%) 
85%) 
95%) 
relativa simples para a frequência 
. Neste caso, conforme 
aprendemos, iremos nos concentrar apenas nos somatórios destas duas colunas de frequências. 
Precisamos reler o enunciado, para sabermos qual o número de elementos do conjunto n. 
. Daí, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
n=200 
para deixar você começar a resolver a 
20 http://www.olaamigos
 
 Amigos, o objetivo desta aula de hoje está, creio, alcançado. Na seqüência, trocaremos 
apenas algumas palavras sobre o que venha a ser um 
 O Histograma é o gráfico estatístico que existe para representar os dados de uma 
Distribuição de Frequências. Relacione sempre: Histograma 
É muito fácil construir um Histograma. No eixo horizontal, anotaremos os limites das classes; e 
no eixo vertical, as frequências absolutas simples. 
 Trabalhemos com a seguinte Distri
Histograma. Teremos: 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (
 A primeira classe, que vai de zero a dez, tem 
representará essa classe no histograma será o seguinte:
 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (
 
 Viram? A base do retângulo é definida pelos limites da classe, enquanto sua altura é 
definida pela frequência absoluta simples daquela classe. Não é fácil? Facílimo! Para a segunda 
classe, sabendo que o fi=4, teremos:
 
 
 
 
4 
3 
2 
1 
4 
3 
2 
1 
 
olaamigos.com.br 
Amigos, o objetivo desta aula de hoje está, creio, alcançado. Na seqüência, trocaremos 
apenas algumas palavras sobre o que venha a ser um Histograma. 
O Histograma é o gráfico estatístico que existe para representar os dados de uma 
s. Relacione sempre: Histograma para Distribuição de 
É muito fácil construir um Histograma. No eixo horizontal,anotaremos os limites das classes; e 
s absolutas simples. 
Trabalhemos com a seguinte Distribuição de Frequências, e tentemos construir o 
Xi fi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
3 
4 
3 
2 
1 
 n=13 
0 10 20 30 40 50 (Classes) 
A primeira classe, que vai de zero a dez, tem fi igual a 3. Assim, o retângulo que 
representará essa classe no histograma será o seguinte: 
0 10 20 30 40 50 (Classes) 
Viram? A base do retângulo é definida pelos limites da classe, enquanto sua altura é 
absoluta simples daquela classe. Não é fácil? Facílimo! Para a segunda 
=4, teremos: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Amigos, o objetivo desta aula de hoje está, creio, alcançado. Na seqüência, trocaremos 
O Histograma é o gráfico estatístico que existe para representar os dados de uma 
Distribuição de Frequências! Ok? 
É muito fácil construir um Histograma. No eixo horizontal, anotaremos os limites das classes; e 
s, e tentemos construir o 
igual a 3. Assim, o retângulo que 
Viram? A base do retângulo é definida pelos limites da classe, enquanto sua altura é 
absoluta simples daquela classe. Não é fácil? Facílimo! Para a segunda 
21 http://www.olaamigos
 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (
 A essa altura, todos já entenderam a feitura do Histograma, não é isso? Assim, vou logo 
completar o gráfico, com base nos dados daquela Distribuição de 
Teremos: 
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (
 Enfim! Professor, mas por que foi mesmo que você apresentou o Histograma exatamente 
neste momento? Porque é possível, embora muito raro, que a sua prova apresente o conjunto a 
ser trabalhado por meio de um gráfico como esse!
 Ou seja, em vez de apresentar a Distribuição de 
Histograma! E aí? O que fazer? Ora, com a mesma facilidade
partindo de uma Distribuição de 
Distribuição, partindo de um Histograma! Concordam?
prova. Mas não é impossível. E 
 Querem ver um exemplo? Caiu numa prova bem antiga de Técnico da Receita Federal, do 
tempo em que esse cargo se chamava TTN. O Histograma trazido pela prova foi o seguinte:
 
 fi 
 
 12 
 
 10 
 8 
 
 6 
 
 4 
 2 
 
 2 4 6 8 10 12 14 16 
 
4 
3 
2 
1 
4 
3 
2 
1 
 
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0 10 20 30 40 50 (Classes) 
A essa altura, todos já entenderam a feitura do Histograma, não é isso? Assim, vou logo 
completar o gráfico, com base nos dados daquela Distribuição de Frequência
0 10 20 30 40 50 (Classes) 
Enfim! Professor, mas por que foi mesmo que você apresentou o Histograma exatamente 
possível, embora muito raro, que a sua prova apresente o conjunto a 
ser trabalhado por meio de um gráfico como esse! 
Ou seja, em vez de apresentar a Distribuição de Frequências, a questão trará um 
Histograma! E aí? O que fazer? Ora, com a mesma facilidade que você construiu um Histograma 
partindo de uma Distribuição de Frequências, você poderá fazer o caminho de volta
Distribuição, partindo de um Histograma! Concordam? Repito: é muito raro vir um Histograma na 
prova. Mas não é impossível. E já aconteceu! 
Querem ver um exemplo? Caiu numa prova bem antiga de Técnico da Receita Federal, do 
tempo em que esse cargo se chamava TTN. O Histograma trazido pela prova foi o seguinte:
 
2 4 6 8 10 12 14 16 idades 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
A essa altura, todos já entenderam a feitura do Histograma, não é isso? Assim, vou logo 
Frequências apresentada acima. 
Enfim! Professor, mas por que foi mesmo que você apresentou o Histograma exatamente 
possível, embora muito raro, que a sua prova apresente o conjunto a 
s, a questão trará um 
que você construiu um Histograma 
caminho de volta, e construir a 
Repito: é muito raro vir um Histograma na 
Querem ver um exemplo? Caiu numa prova bem antiga de Técnico da Receita Federal, do 
tempo em que esse cargo se chamava TTN. O Histograma trazido pela prova foi o seguinte: 
22 http://www.olaamigos
 
 
 E aí? Você saberia transformar esse gráfico numa Distribuição de 
Ficaria o seguinte: 
 
 
Identificar a coluna de frequência
necessário para chegar aos valores da 
 
01. (AFRF 2003) Considere a tabela de 
variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
 
8.000 
10.000 
12.000 
02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. 
observações coincidentes com os extremos das classes. 
 
129,5
139,5
149,5
159,5
169,5
179,5
189,5
 
 
03. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O 
atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida 
de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
 
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E aí? Você saberia transformar esse gráfico numa Distribuição de 
Classes fi 
2 --- 4 
4 --- 6 
6 --- 8 
8 --- 10 
10 --- 12 
12 --- 14 
14 --- 16 
2 
6 
10 
12 
8 
6 
4 
Exercícios Propostos 
 
frequência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o trabalho 
necessário para chegar aos valores da frequência absoluta simples fi. 
(AFRF 2003) Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma amostra da 
variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Classes Frequências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
 
Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de frequência
observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classe Frequência Acumulada 
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100 
2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O 
atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida 
de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de frequências seguin
Classes Frequência (f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
E aí? Você saberia transformar esse gráfico numa Distribuição de Frequências? Claro. 
fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o trabalho 
s seguinte correspondente a uma amostra da 
variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
frequências abaixo, não existem 
2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que segue. O 
atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de tamanho 100 obtida 
s seguinte: 
23 http://www.olaamigos
 
Resoluções dos Exercícios Propostos
Identificar a coluna de frequência
necessário para chegar aos valores da01. (AFRF 2003) Considere a tabela de 
amostra da variável X. Não existem observações 
classes. 
8.000 
10.000 
12.000 
Sol.: Esta Distribuição de Frequência
a das classes e uma outra, a qual chamou de 
porcentagem. Ora, aprendemos que este sinal de porcentagem é um indicativo de que estamos 
diante de uma frequência relativa. Uma vez que foi revelado, expressamente, que se trata de 
frequências acumuladas, restaram
 � Frequência
 � Frequência
 Para saber se é uma ou outra, basta examinarmos os valores da coluna: eles estão 
crescendo ou decrescendo? Crescendo! Daí, matamos a charada: a 
foi a Fac 
 Esse será sempre o primeiro passo: identif
 O segundo passo é fazer o trabalho preliminar, que consiste em 
apresentada na tabela para a coluna da 
 Relembrando o desenho das 
 
 De simples para 
 fac
 fi 
 fad
 
 (comparam
 
 
 Fi 
 
 De acumulada para 
 
 
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Resoluções dos Exercícios Propostos 
frequência fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o trabalho 
necessário para chegar aos valores da frequência absoluta simples fi. 
(AFRF 2003) Considere a tabela de frequências seguinte correspondente a uma 
amostra da variável X. Não existem observações coincidentes com os extremos das 
Classes Frequências 
Acumuladas (%) 
2.000 – 4.000 5 
4.000 – 6.000 16 
6.000 – 8.000 42 
8.000 – 10.000 77 
10.000 – 12.000 89 
12.000 – 14.000 100 
 
Frequências fornecida pela prova acima apresentou
a das classes e uma outra, a qual chamou de frequências acumuladas, seguido de um sinal de 
Ora, aprendemos que este sinal de porcentagem é um indicativo de que estamos 
relativa. Uma vez que foi revelado, expressamente, que se trata de 
s acumuladas, restaram-nos duas alternativas:
Frequência relativa acumulada crescente (Fac
Frequência relativa acumulada decrescente (Fad
uma ou outra, basta examinarmos os valores da coluna: eles estão 
crescendo ou decrescendo? Crescendo! Daí, matamos a charada: a frequência
Fac – Frequência Relativa Acumulada Crescente.
Esse será sempre o primeiro passo: identificar a frequência trazida pela prova.
O segundo passo é fazer o trabalho preliminar, que consiste em 
apresentada na tabela para a coluna da frequência absoluta simples 
Relembrando o desenho das transformações que criamos na aula 
para acumulada: somar com a diagonal
ac (iguais na primeira classe) 
ad (iguais na última classe) 
 
(comparam-se os dois somatórios) 
 Fac (iguais na primeira classe)
 Fad (iguais na última classe)
para simples: próxima acumulada – acumulada anterior
 
 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
fornecida na Distribuição e, se for o caso, fazer o trabalho 
s seguinte correspondente a uma 
coincidentes com os extremos das 
s fornecida pela prova acima apresentou-nos duas colunas: 
, seguido de um sinal de 
Ora, aprendemos que este sinal de porcentagem é um indicativo de que estamos 
relativa. Uma vez que foi revelado, expressamente, que se trata de 
nos duas alternativas: 
Fac); ou 
Fad). 
uma ou outra, basta examinarmos os valores da coluna: eles estão 
frequência fornecida na tabela 
Relativa Acumulada Crescente. 
trazida pela prova. 
O segundo passo é fazer o trabalho preliminar, que consiste em migrar da frequência 
absoluta simples fi. 
que criamos na aula passada, teremos: 
: somar com a diagonal 
(iguais na primeira classe) 
(iguais na última classe) 
acumulada anterior 
24 http://www.olaamigos
 
 Nosso trabalho preliminar
 1º) Passaremos da Fac para a 
 2º) Passaremos da Fi para a 
 Fazendo isso, teremos: 
 
 Sabemos que nesta transformação que fizemos acima, as duas 
iguais na primeira classe, e o restante da coluna da 
menos a acumulada anterior. 
 Ficou claro para todos? (Isso aprendemos na aula passada!).
 Agora vamos aos finalmentes
 Aprendemos que, de simples para simples
somatório destas duas colunas! Lembrados? Sabemos que o somatório da coluna da 
relativa simples (Fi) será sempre igual a 100%. E que o somatório da 
(fi) é sempre igual a n (número de elementos do conjunto). 
 É nesse instante que nos cabe reler o enunciado, para ver o que foi dito acerca deste 
Foi dito alguma coisa no enunciado? Não! A questão não revelou quantos elementos h
conjunto! 
 O que fazer agora? Neste caso, adotaremos 
 Essa foi a pergunta de uma colega do Fórum. 
 Embora talvez sem o destaque necessário, essa informação foi apresentada na aula 1. Ok? 
Para frisar mais adequadamente este fato, ei
Sempre que estivermos trabalhando com as duas colunas 
a fi a partir da Fi, precisaremos conhecer o 
não tenha sido fornecido pelo enunciado, adotaremos apenas que 
 Certo agora? 
 Daí, facilmente verificamos que os valores da 
aos da Fi (frequência relativa simples), apenas tirando o sinal de porcentagem!
 Teremos: 
Classes
2.000 
4.000 
6.000 
8.000 
10.000 
12.000 
 
 É isso! Está feito. Próxima questão.
 
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trabalho preliminar se fará, neste caso, em dois passos: 
para a Fi (frequência relativa simples); 
para a fi. 
 
Classes Fac Fi 
2.000 – 4.000 5% 5% 
4.000 – 6.000 16% 11% 
6.000 – 8.000 42% 26% 
8.000 – 10.000 77% 35% 
10.000 – 12.000 89% 12% 
12.000 – 14.000 100% 11% 
Sabemos que nesta transformação que fizemos acima, as duas frequência
iguais na primeira classe, e o restante da coluna da Fi se constrói subtraindo: 
Ficou claro para todos? (Isso aprendemos na aula passada!). 
finalmentes: partindo da Fi construiremos a coluna da 
de simples para simples, teremos apenas que nos concentrar no 
somatório destas duas colunas! Lembrados? Sabemos que o somatório da coluna da 
) será sempre igual a 100%. E que o somatório da freq
(número de elementos do conjunto). 
É nesse instante que nos cabe reler o enunciado, para ver o que foi dito acerca deste 
Foi dito alguma coisa no enunciado? Não! A questão não revelou quantos elementos h
O que fazer agora? Neste caso, adotaremos n=100. 
Essa foi a pergunta de uma colega do Fórum. 
Embora talvez sem o destaque necessário, essa informação foi apresentada na aula 1. Ok? 
Para frisar mais adequadamente este fato, ei-lo novamente: 
Sempre que estivermos trabalhando com as duas colunas frequência
, precisaremos conhecer o n (número de elementos do conjunto). Caso este 
não tenha sido fornecido pelo enunciado, adotaremos apenas que n=100.
Daí, facilmente verificamos que os valores da fi (frequência absoluta simples) serão iguais 
relativa simples), apenas tirando o sinal de porcentagem!
Classes Fac Fi fi 
2.000 – 4.000 5% 5% 5 
4.000 – 6.000 16% 11% 11 
6.000 – 8.000 42% 26% 26 
8.000 – 10.000 77% 35% 35 
10.000 – 12.000 89% 12% 12 
12.000 – 14.000 100% 11% 11 
 100% n=100 
É isso! Está feito. Próxima questão. 
 
 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
frequências (Fac e Fi) são 
se constrói subtraindo: próxima acumulada 
oluna da fi. 
, teremos apenas que nos concentrar no 
somatório destas duas colunas! Lembrados? Sabemos que o somatório da coluna da frequência 
frequência absolutasimples 
É nesse instante que nos cabe reler o enunciado, para ver o que foi dito acerca deste n. 
Foi dito alguma coisa no enunciado? Não! A questão não revelou quantos elementos há neste 
Embora talvez sem o destaque necessário, essa informação foi apresentada na aula 1. Ok? 
frequências simples, construindo 
(número de elementos do conjunto). Caso este n 
. 
absoluta simples) serão iguais 
relativa simples), apenas tirando o sinal de porcentagem! 
 
25 http://www.olaamigos
 
02. (IRB-Brasil Resseguros S.A. 
não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
129,5
139,5
149,5
159,5
169,5
179,5
189,5
 
Sol.: Este enunciado apresentou
frequência acumulada. 
 Pergunta: houve algum sinal indicativo de 
expressamente que é relativa? Não! Existe sinal de porcentagem no cab
Existe sinal de porcentagem ao longo dos valores da coluna? Não!
 Conclusão inicial: não se trata de uma 
 Foi dito expressamente que é uma 
e que é acumulada, restam-nos duas alternativas: ou será
 � frequência absoluta acumulada crescente (
 � frequência absoluta acumulada decrescente (
 Para saber qual das duas, basta vermos os valores da coluna, se estão aumentando ou 
diminuindo. E aí? Estão aumentando!
frequência absoluta acumulada crescente (fac)
olhando para os valores desta nossa 
do conjunto)? 
 O que você responde? SIM
 Daí, já sabemos que n=100
 Pois bem! Precisaremos agora realizar o 
transformarmos a fac na fi (frequência
Fazendo isso, teremos: 
 
 
 Qual o indicativo de que acertamos nos valores da 
resultado da soma terá que ser igual a 
conferir? 
 
 
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Brasil Resseguros S.A. – 2004 ESAF) Na distribuição de 
não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Classe Frequência Acumulada 
129,5-139,5 4 
139,5-149,5 12 
149,5-159,5 26 
159,5-169,5 46 
169,5-179,5 72 
179,5-189,5 90 
189,5-199,5 100 
Este enunciado apresentou-nos, além da coluna das classes, uma outra que foi dita 
Pergunta: houve algum sinal indicativo de frequência relativa? O enunciado falou 
expressamente que é relativa? Não! Existe sinal de porcentagem no cab
Existe sinal de porcentagem ao longo dos valores da coluna? Não! 
Conclusão inicial: não se trata de uma frequência relativa, mas absoluta!
Foi dito expressamente que é uma frequência acumulada. Assim, sabendo que é absoluta 
nos duas alternativas: ou será 
absoluta acumulada crescente (fac); ou 
absoluta acumulada decrescente (fad). 
Para saber qual das duas, basta vermos os valores da coluna, se estão aumentando ou 
í? Estão aumentando! Conclusão final: estamos diante de uma coluna de 
absoluta acumulada crescente (fac). Uma perguntinha: de antemão, apenas 
olhando para os valores desta nossa fac, já é possível afirmar quem é o n 
SIM. Pois a fac termina sempre com o n. 
n=100 elementos. Ok? 
Pois bem! Precisaremos agora realizar o trabalho preliminar
frequência absoluta simples). 
 
Classe fac fi 
129,5-139,5 4 4 
139,5-149,5 12 8 
149,5-159,5 26 14 
159,5-169,5 46 20 
169,5-179,5 72 26 
179,5-189,5 90 18 
189,5-199,5 100 10 
Qual o indicativo de que acertamos nos valores da fi? Ora, somando os seus valores, o 
resultado da soma terá que ser igual a n. E n, conforme vimos acima, é igual a 100. Vamos 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
2004 ESAF) Na distribuição de frequências abaixo, 
não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
nos, além da coluna das classes, uma outra que foi dita 
relativa? O enunciado falou 
expressamente que é relativa? Não! Existe sinal de porcentagem no cabeçalho da coluna? Não! 
relativa, mas absoluta! 
acumulada. Assim, sabendo que é absoluta 
Para saber qual das duas, basta vermos os valores da coluna, se estão aumentando ou 
Conclusão final: estamos diante de uma coluna de 
. Uma perguntinha: de antemão, apenas 
n (número de elementos 
trabalho preliminar, no sentido de 
? Ora, somando os seus valores, o 
, conforme vimos acima, é igual a 100. Vamos 
26 http://www.olaamigos
 
 
03. (AFRF-2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que 
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
frequências seguinte: 
 
Sol.: Nossa análise começará sempre no sentido de sabermos se a coluna fornecida na tabela da 
prova é de frequências absolutas ou relativas. Certo?
 No caso acima, não está presente nenhum sinal indicativo de 
concluímos que se trata de uma 
 Ora, diante disso, temos ainda três possibilidades: ou será
 � frequência absoluta simples (
 � frequência absoluta acumulada crescente (
 � frequência absoluta acumulada decrescente (
 Foi dito em algum lugar do enunciado que esta coluna é de 
Logo, por via de exceção, estamos diante de um
 Assim sendo, não há qualquer 
começar a resolver a prova! Ok?
 Curiosamente, esta coluna de 
Frequências é exatamente a mesma a qual chegamos no exemplo anterior. Perceberam? Uma 
mera coincidência! 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Classe fac fi 
129,5-139,5 4 4 
139,5-149,5 12 8 
149,5-159,5 26 14 
159,5-169,5 46 20 
169,5-179,5 72 26 
179,5-189,5 90 18 
189,5-199,5 100 10 
 n=100 
2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que 
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
Classes Frequência (f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
Nossa análise começará sempre no sentido de sabermos se a coluna fornecida na tabela da 
absolutas ou relativas. Certo? 
No caso acima, não está presente nenhum sinal indicativo de frequência
concluímos que se trata de uma frequência absoluta! 
Ora, diante disso, temos ainda três possibilidades: ou será 
simples (fi); ou 
absoluta acumulada crescente (fac); ou 
absoluta acumulada decrescente (fad). 
Foi dito em algum lugar do enunciado que esta coluna é de frequência
Logo, por via de exceção, estamos diante de uma frequência absoluta simples (
Assim sendo, não há qualquer trabalho preliminar exigido para esta tabela. Já poderíamos 
começar a resolver a prova! Ok? 
Curiosamente, esta coluna de frequência absoluta simples fornecida nesta Distribuição de 
s é exatamente a mesma a qual chegamos no exemplo anterior. Perceberam? Uma 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que 
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
Nossa análise começará sempre no sentido de sabermos se a coluna fornecida na tabela da 
frequências relativas. Daí, 
frequências acumuladas? Não! 
absoluta simples (fi). 
exigido para esta tabela. Já poderíamos 
absoluta simples fornecida nesta Distribuição de 
s é exatamente a mesma a qual chegamos no exemplo anterior. Perceberam? Uma 
27 http://www.olaamigos
 
 
# Medidas de Posição: 
 Nosso presente estudo dará início à análise das chamadas Medidas de Posição.
 Porém, antes de as conhecermos, convém 
formas pelas quais um conjuntopode ser apresentado numa prova. As mais comuns formas de 
apresentação de um conjunto são as três seguintes:
 1ª) Rol: aqui os elementos do conjunto estarão dispostos numa ordem que po
crescente ou decrescente. São exemplos de rol:
 (1,2,3,4,5) 
 (1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5)
 E assim por diante! 
 Não é muito comum encontrarmos um rol numa questão de prova, mas também não é 
algo impossível. Entre as últimas provas da Rece
2005. Entendido o que é um rol? Ótimo.
 
2ª) Dados Tabulados: 
 Vamos trabalhar com esse segundo exemplo de rol, acima. Será possível apresentarmos 
os elementos desse conjunto na forma de uma tabela? Claro qu
Vamos ver como é que fica: 
 Xi fi 
 1 3 
 2 4 
 3 3 
 4 2 
 5 1 
 
 Vejam que a coluna do 
coluna do fi (a nossa conhecidíssima 
o elemento aparece no conjunto! Assim, vemos que o elemento 1 (Xi=1) aparece três vezes 
naquele rol (fi=3); o elemento 2 (Xi=2) aparece quatro vezes (fi=4), e assim por diante.
 Se quisermos saber quantos elementos há neste conjunto, o que teremos que fazer? Ora, 
teremos que somar a coluna da 
 Daí, já podemos guardar a s
(número de elementos de um conjunto), e esse conjunto estiver apresentado na forma de uma 
tabela, basta somarmos os valores da coluna da 
 Ok? Assim, teremos: 
 Xi fi 
 1 3 
 2 4 
 3 3 
 4 2 
 5 1 
 n=13 
 
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estudo dará início à análise das chamadas Medidas de Posição.
Porém, antes de as conhecermos, convém muitíssimo que nós saibamos quais são as 
formas pelas quais um conjunto pode ser apresentado numa prova. As mais comuns formas de 
apresentação de um conjunto são as três seguintes: 
: aqui os elementos do conjunto estarão dispostos numa ordem que po
crescente ou decrescente. São exemplos de rol: 
(1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5) 
Não é muito comum encontrarmos um rol numa questão de prova, mas também não é 
algo impossível. Entre as últimas provas da Receita, pôde-se ver um rol na prova de 1998 e na de 
2005. Entendido o que é um rol? Ótimo. 
: 
Vamos trabalhar com esse segundo exemplo de rol, acima. Será possível apresentarmos 
os elementos desse conjunto na forma de uma tabela? Claro que sim! 
Vejam que a coluna do Xi apresenta os elementos (individualizados) do conjunto; e a 
(a nossa conhecidíssima frequência absoluta simples) indica o número de vezes que 
o elemento aparece no conjunto! Assim, vemos que o elemento 1 (Xi=1) aparece três vezes 
fi=3); o elemento 2 (Xi=2) aparece quatro vezes (fi=4), e assim por diante.
Se quisermos saber quantos elementos há neste conjunto, o que teremos que fazer? Ora, 
teremos que somar a coluna da frequência absoluta simples – fi. 
Daí, já podemos guardar a seguinte informação: sempre que quisermos saber o 
(número de elementos de um conjunto), e esse conjunto estiver apresentado na forma de uma 
, basta somarmos os valores da coluna da frequência absoluta simples
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
estudo dará início à análise das chamadas Medidas de Posição. 
muitíssimo que nós saibamos quais são as 
formas pelas quais um conjunto pode ser apresentado numa prova. As mais comuns formas de 
: aqui os elementos do conjunto estarão dispostos numa ordem que pode ser 
Não é muito comum encontrarmos um rol numa questão de prova, mas também não é 
se ver um rol na prova de 1998 e na de 
Vamos trabalhar com esse segundo exemplo de rol, acima. Será possível apresentarmos 
apresenta os elementos (individualizados) do conjunto; e a 
absoluta simples) indica o número de vezes que 
o elemento aparece no conjunto! Assim, vemos que o elemento 1 (Xi=1) aparece três vezes 
fi=3); o elemento 2 (Xi=2) aparece quatro vezes (fi=4), e assim por diante. 
Se quisermos saber quantos elementos há neste conjunto, o que teremos que fazer? Ora, 
eguinte informação: sempre que quisermos saber o n 
(número de elementos de um conjunto), e esse conjunto estiver apresentado na forma de uma 
absoluta simples! 
28 http://www.olaamigos
 
Uma discussão existe acerca desta segunda forma de apresentação dos dados: há autores 
que dizem que se trata de um tipo de Distribuição de 
para efeito de concurso, essa discussão não nos interessa em nada!
 O que interessa é que você precisará saber trabalhar a questão de todo jeito! Assim, para 
nós, aparecendo um conjunto na prova, e esse conjunto estando apresentado desta forma que 
acabamos de ver acima, diremos que estamos diante de 
 
 3ª) Distribuição de Frequência
 Essa já é nossa velha conhecida! Na Distribuição de 
ocorre no rol e nos dados tabulados, os elementos do conjunto estarão agrupados em classes, em 
vez de serem apresentados de forma individualizada! Exemplo:
 Xi fi 
 0 -- 10 3 
 10 -- 20 4 
 20 -- 30 3 
 30 -- 40 2 
 40 -- 50 1 
 n=13 
 
 Essencialmente, o que diferencia a Distribuição de 
apresentação de um conjunto, vistas acima, é exatamente o fato de aqui, na
dados estarem agrupados em classes!
 Já usamos uma aula anterior para estudar com minúcia os elementos de uma Distribuição, 
não é verdade? 
 Essencialmente, são essas as três formas 
Rol, Dados Tabulados e Distribuição de 
 Porém, não são as únicas. Vamos aproveitar o ensejo para apresentar um tipo de gráfico, 
chamado de Histograma! Já falamos sobre esse gráfico na aula passada! Lembrados? 
Trabalhemos com a Distribuição de 
Histograma. (Isso, inclusive, já foi feito)! Teremos:
 fi 
 
 
 
 
 
 
 
 0 10 20 30 40 50 (
 Ultimamente, isto é, em algumas provas muito recentes, a Esaf andou inovando, e 
apresentou um conjunto por meio de um gráfico até então pouquíssimo conhecido: o 
de Ramos e Folhas. Daí, muita e muita gente ficou olhando para as tais das folhas, e não soube 
absolutamente o que fazer com elas! 
 O tal Diagrama de Ramos e Folhas é algo semelhante ao seguinte:
4 
3 
2 
1 
 
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Uma discussão existe acerca desta segunda forma de apresentação dos dados: há autores 
e trata de um tipo de Distribuição de Frequências; outros dizem que não! Ora, 
para efeito de concurso, essa discussão não nos interessa em nada! 
O que interessa é que você precisará saber trabalhar a questão de todo jeito! Assim, para 
onjunto na prova, e esse conjunto estando apresentado desta forma que 
acabamos de ver acima, diremos que estamos diante de Dados Tabulados
Frequências: 
Essa já é nossa velha conhecida! Na Distribuição de Frequências, 
ocorre no rol e nos dados tabulados, os elementos do conjunto estarão agrupados em classes, em 
vez de serem apresentados de forma individualizada! Exemplo: 
Essencialmente, o que diferencia a Distribuição de Frequências das outras duas formas de 
apresentação de um conjunto, vistas acima, é exatamente o fato de aqui, na
dados estarem agrupados em classes! 
Já usamos uma aula anterior para estudar com minúcia os elementos de uma Distribuição, 
Essencialmente, são essas as três formas mais usuais de apresentação de um conjunto: 
Distribuição de Frequências. 
Porém, não são as únicas. Vamos aproveitar o ensejopara apresentar um tipo de gráfico, 
! Já falamos sobre esse gráfico na aula passada! Lembrados? 
Trabalhemos com a Distribuição de Frequências do exemplo acima, e tentemos construir o 
Histograma. (Isso, inclusive, já foi feito)! Teremos: 
0 10 20 30 40 50 (Classes) 
Ultimamente, isto é, em algumas provas muito recentes, a Esaf andou inovando, e 
apresentou um conjunto por meio de um gráfico até então pouquíssimo conhecido: o 
. Daí, muita e muita gente ficou olhando para as tais das folhas, e não soube 
absolutamente o que fazer com elas! 
O tal Diagrama de Ramos e Folhas é algo semelhante ao seguinte: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Uma discussão existe acerca desta segunda forma de apresentação dos dados: há autores 
s; outros dizem que não! Ora, 
O que interessa é que você precisará saber trabalhar a questão de todo jeito! Assim, para 
onjunto na prova, e esse conjunto estando apresentado desta forma que 
Dados Tabulados! E só! Ok? 
s, diferentemente do que 
ocorre no rol e nos dados tabulados, os elementos do conjunto estarão agrupados em classes, em 
s das outras duas formas de 
apresentação de um conjunto, vistas acima, é exatamente o fato de aqui, na Distribuição, os 
Já usamos uma aula anterior para estudar com minúcia os elementos de uma Distribuição, 
de apresentação de um conjunto: 
Porém, não são as únicas. Vamos aproveitar o ensejo para apresentar um tipo de gráfico, 
! Já falamos sobre esse gráfico na aula passada! Lembrados? 
do exemplo acima, e tentemos construir o 
Ultimamente, isto é, em algumas provas muito recentes, a Esaf andou inovando, e 
apresentou um conjunto por meio de um gráfico até então pouquíssimo conhecido: o Diagrama 
. Daí, muita e muita gente ficou olhando para as tais das folhas, e não soube 
 
29 http://www.olaamigos
 
 
8 2 
8 
9 003 
10 0011222344 
10 577777 
11 013 
11 55679 
12 00114 
12 5557 
13 004 
13 5556 
14 03 
14 5 
15 
15 8 
 
Vamos lá! O Diagrama acima será transformado num rol. Repetindo: o Diagrama de 
Ramos e Folhas vai virar um Rol. Se bem observarmos, veremos uma coluna de valores no lado 
esquerdo. E outra no lado direito. Vejam melhor:
8 2 
8 
9 003 
10 0011222344 
10 577777 
11 013 
11 55679 
12 00114 
12 5557 
13 004 
13 5556 
14 03 
14 5 
15 
15 8 
 
Esses valores da esquerda (em azul) permanecerão exatamente na esquerda! Serão as 
dezenas! E os valores que os acompanham à sua direita (em vermelho) permanecerão 
adivinhem onde? – na direita! Serão as unidades! Assim, teremos: 
8 2 � que vai virar: 
9 003 ���� que vai virar: 
10 0011222344 ���� que vai virar: 
10 577777 ���� que vai virar: 
11 013 ���� que vai virar: 
11 55679 ���� que vai virar: 
12 00114 ���� que vai virar: 
12 5557 ���� que vai virar: 
13 004 ���� que vai virar: 
14 03 ���� que vai virar: 14
15 8 ���� que vai virar: 15
 
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Vamos lá! O Diagrama acima será transformado num rol. Repetindo: o Diagrama de 
Ramos e Folhas vai virar um Rol. Se bem observarmos, veremos uma coluna de valores no lado 
esquerdo. E outra no lado direito. Vejam melhor: 
Esses valores da esquerda (em azul) permanecerão exatamente na esquerda! Serão as 
dezenas! E os valores que os acompanham à sua direita (em vermelho) permanecerão 
na direita! Serão as unidades! Assim, teremos: 
82 
que vai virar: 90, 90, 93 
que vai virar: 100, 100, 101, 101, 102, 102, 
que vai virar: 105, 107, 107, 107, 107, 107 
que vai virar: 110, 111, 113 
que vai virar: 115, 115, 116, 117, 119 
que vai virar: 120, 120, 121, 121, 124 
que vai virar: 125, 125, 125, 127 
que vai virar: 130, 130, 134 
140, 143 
158 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Vamos lá! O Diagrama acima será transformado num rol. Repetindo: o Diagrama de 
Ramos e Folhas vai virar um Rol. Se bem observarmos, veremos uma coluna de valores no lado 
Esses valores da esquerda (em azul) permanecerão exatamente na esquerda! Serão as 
dezenas! E os valores que os acompanham à sua direita (em vermelho) permanecerão – 
, 102, 103, 104, 104 
30 http://www.olaamigos
 
Assim, nosso Diagrama de 
{82, 90, 90, 93, 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104, 105, 107, 107,
107, 107, 107, 110, 111, 113, 115, 115, 116, 117, 119, 120, 120, 121, 121, 124, 
125, 125, 125, 127, 130, 130, 134, 140, 1
 Entendido? 
 Pois bem! O que fizemos nesta aula, até o momento, foi conhecer as maneiras pelas quais 
a Esaf, ou qualquer outra elaboradora, pode se utilizar para apresentar um conjunto de 
elementos numa prova de Estatística.
 Uma vez fornecido o conjunto 
Distribuição de Frequências
Folhas – já poderão ser solicitados, nas questões da prova, os cálculos de uma infinidade de 
medidas estatísticas! 
Ou seja, para um determinado conjunto, pode
� Medidas de Tendência Central (Média, Moda, Mediana);
� Medidas Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis, Centis);
� Medidas de Dispersão (Amplitude Total, Desvio Absoluto, Desvio Padrão, Variância, 
Coeficiente de Variação, Desvio Quartílico, Variância Relativa);
� etc, etc. 
Considerando que o Histograma
que o Diagrama de Ramos e Folhas
de apresentação dos dados serão, realmente: o Rol, os Dados Tabulados e a Distribuição de 
Frequências. 
Assim, para cada uma das 
ela será calculada para o caso de o conjunto estar na forma de um Rol, ou de Dados Tabulados 
ou de Distribuição de Frequência
Então vamos lá! 
Começaremos conhecendo as 
e Mediana. 
 Uma vez considerando que a maior parte do programa do ICMS/RJ diz respeito a temas da 
Estatística Avançada, pareceu-
Medidas de Posição, resumindo esta teoria o quanto possível, haja vista, sobretud
maioria dos alunos (muito provavelmente) já a conheceu, durante o estudo da Estatística Básica. 
Ok? 
 Pelo histórico de provas passadas, outros concursos cujos Editais exigem tópicos da 
Estatística Básica e da Estatística Avançada, praticamente só 
questões! Normalmente, o elaborador põe alguns temas da Básica, porque seria impossível 
trabalhar assuntos da Avançada sem noção de conceitos básicos, como o que é uma distribuição 
de frequências, o que é a média do conjunto, o q
 
# A Média Aritmética: X 
 Quando falarmos simplesmente em Média, saiba que estaremos nos referindo à Média 
Aritmética. Ok? Existem outras espécies de Média, além da Aritmética, que serão estudadas 
oportunamente. 
Comecemos pelo cálculo da Média de um Rol.
Estou certo que esse é um 
ainda está na faculdade. O semestre começou, e você nem se deu conta disso. Eis que chegou o 
dia da primeira prova! A sua nota foi um desastre: nota 
 
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Assim, nosso Diagrama de Ramos e Folhas acima se transformou no seguinte rol:
{82, 90, 90, 93, 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104, 105, 107, 107,
107, 107, 107, 110, 111, 113, 115, 115, 116, 117, 119, 120, 120, 121, 121, 124, 
125, 125, 125, 127, 130, 130, 134, 140, 143, 158} 
Pois bem! O que fizemos nesta aula, até o momento, foi conhecer as maneiras pelas quais 
a Esaf, ou qualquer outra elaboradora, pode se utilizar para apresentar um conjunto de 
elementos numa prova de Estatística. 
conjunto – seja na forma de um rol, ou de dados tabulados
s, ou de um Histograma, ou de um Diagrama de Ramos e 
já poderão ser solicitados, nas questões da prova, os cálculos de uma infinidade deOu seja, para um determinado conjunto, pode-se pedir o cálculo de:
Medidas de Tendência Central (Média, Moda, Mediana); 
Medidas Separatrizes (Mediana, Quartis, Decis, Centis); 
Medidas de Dispersão (Amplitude Total, Desvio Absoluto, Desvio Padrão, Variância, 
Coeficiente de Variação, Desvio Quartílico, Variância Relativa); 
Histograma será transformado em uma Distribuição de 
ama de Ramos e Folhas será transformado num Rol, resta que as três formas básicas 
de apresentação dos dados serão, realmente: o Rol, os Dados Tabulados e a Distribuição de 
Assim, para cada uma das medidas estatísticas que formos estudar, apre
ela será calculada para o caso de o conjunto estar na forma de um Rol, ou de Dados Tabulados 
Frequências. Ok? 
Começaremos conhecendo as Medidas de Tendência Central – 
Uma vez considerando que a maior parte do programa do ICMS/RJ diz respeito a temas da 
-nos mais conveniente usar de maior brevidade no estudo das 
Medidas de Posição, resumindo esta teoria o quanto possível, haja vista, sobretud
maioria dos alunos (muito provavelmente) já a conheceu, durante o estudo da Estatística Básica. 
Pelo histórico de provas passadas, outros concursos cujos Editais exigem tópicos da 
Estatística Básica e da Estatística Avançada, praticamente só a Avançada é a que vem nas 
questões! Normalmente, o elaborador põe alguns temas da Básica, porque seria impossível 
trabalhar assuntos da Avançada sem noção de conceitos básicos, como o que é uma distribuição 
s, o que é a média do conjunto, o que é o desvio padrão, a variância, entre outros.
Quando falarmos simplesmente em Média, saiba que estaremos nos referindo à Média 
Aritmética. Ok? Existem outras espécies de Média, além da Aritmética, que serão estudadas 
Comecemos pelo cálculo da Média de um Rol. 
Estou certo que esse é um cálculo que todos nós já realizamos. Suponhamos que você 
ainda está na faculdade. O semestre começou, e você nem se deu conta disso. Eis que chegou o 
dia da primeira prova! A sua nota foi um desastre: nota 3 (três). 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Ramos e Folhas acima se transformou no seguinte rol: 
{82, 90, 90, 93, 100, 100, 101, 101, 102, 102, 102, 103, 104, 104, 105, 107, 107, 
107, 107, 107, 110, 111, 113, 115, 115, 116, 117, 119, 120, 120, 121, 121, 124, 
Pois bem! O que fizemos nesta aula, até o momento, foi conhecer as maneiras pelas quais 
a Esaf, ou qualquer outra elaboradora, pode se utilizar para apresentar um conjunto de 
dados tabulados, ou de 
Diagrama de Ramos e 
já poderão ser solicitados, nas questões da prova, os cálculos de uma infinidade de 
se pedir o cálculo de: 
Medidas de Dispersão (Amplitude Total, Desvio Absoluto, Desvio Padrão, Variância, 
será transformado em uma Distribuição de Frequências e 
será transformado num Rol, resta que as três formas básicas 
de apresentação dos dados serão, realmente: o Rol, os Dados Tabulados e a Distribuição de 
que formos estudar, aprenderemos como 
ela será calculada para o caso de o conjunto estar na forma de um Rol, ou de Dados Tabulados 
 Média Aritmética, Moda 
Uma vez considerando que a maior parte do programa do ICMS/RJ diz respeito a temas da 
nos mais conveniente usar de maior brevidade no estudo das 
Medidas de Posição, resumindo esta teoria o quanto possível, haja vista, sobretudo, que a 
maioria dos alunos (muito provavelmente) já a conheceu, durante o estudo da Estatística Básica. 
Pelo histórico de provas passadas, outros concursos cujos Editais exigem tópicos da 
a Avançada é a que vem nas 
questões! Normalmente, o elaborador põe alguns temas da Básica, porque seria impossível 
trabalhar assuntos da Avançada sem noção de conceitos básicos, como o que é uma distribuição 
ue é o desvio padrão, a variância, entre outros. 
Quando falarmos simplesmente em Média, saiba que estaremos nos referindo à Média 
Aritmética. Ok? Existem outras espécies de Média, além da Aritmética, que serão estudadas 
cálculo que todos nós já realizamos. Suponhamos que você 
ainda está na faculdade. O semestre começou, e você nem se deu conta disso. Eis que chegou o 
31 http://www.olaamigos
 
Que lástima! Aí você disse: “Valha
descoberta...!) O fato é que você procurou se redimir da nota baixa que tirou, e dedicou esforços 
para a segunda prova. O resultado se fez perceber, e você conseguiu agora tirar um 
Ora, você sabia que para passar 
prova, uma vez que a média naquela sua faculdade era 7 (sete).
Assim, virou várias noites estudando e se dedicando àquela disciplina, de sorte que 
conseguiu, merecidamente, tirar um 
Tão logo recebeu esta última nota, você correu às contas, pois desejava saber se havia 
passado por média, ou se necessitaria fazer a prova final.
Suas contas foram as seguintes:
� 
( )
3
21
3
1083
=
++
=7,0 
Parabéns! Você acaba de provar que é um 
arrastando)! Mas passou, não foi? Isso é o que importa! (Igual no concurso: se você passar em 
último lugar, vai ganhar o mesmo salário de quem passou em primeiro)!
Vejamos novamente as notas d
Isto é um rol? Sim! 
Então, esta conta que foi feita para o cálculo da 
mesmo cálculo que se faz para se descobrir a 
forma de um rol. 
Ou seja: somam-se as notas, e divide
Falando-se de um modo genérico: somam
resultado pelo número de elementos do conjunto!
Colocando-se essa definição em uma fórmula
teremos que: 
 Onde: 
 � X é a Média Aritmética;
 � ΣΣΣΣ é o sinal de somatório
 � Xi é cada elemento do conjunto;
 � n é o número de elementos do conjunto.
 Só isso! Nada mais fácil que se calcular a Média de um rol.
 Pena que o Rol seja tão raro em provas...!
 
# A TRANSIÇÃO: 
 Esta palavra – Transição 
durante nosso Curso! 
 Aprenderemos, meus queridos, que há uma maneira facílima de 
fórmula de Rol para a fórmula de 
fórmula dos Dados Tabulados 
 E essa maneira de fazer a 
Transição que vamos aprender agora! Vamos lá!
 
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Que lástima! Aí você disse: “Valha-me Deus, as aulas já começaram!” (Meio tardia essa 
descoberta...!) O fato é que você procurou se redimir da nota baixa que tirou, e dedicou esforços 
para a segunda prova. O resultado se fez perceber, e você conseguiu agora tirar um 
ue para passar por média, teria que tirar um notaço
naquela sua faculdade era 7 (sete). 
Assim, virou várias noites estudando e se dedicando àquela disciplina, de sorte que 
conseguiu, merecidamente, tirar um 10 (dez) na terceira prova. 
Tão logo recebeu esta última nota, você correu às contas, pois desejava saber se havia 
, ou se necessitaria fazer a prova final. 
Suas contas foram as seguintes: 
 
Você acaba de provar que é um aluno cobra! (Aquele que passa se 
arrastando)! Mas passou, não foi? Isso é o que importa! (Igual no concurso: se você passar em 
último lugar, vai ganhar o mesmo salário de quem passou em primeiro)! 
Vejamos novamente as notas das três provas dessa pessoa: (3, 8, 10
Então, esta conta que foi feita para o cálculo da média das notas foi, rigorosamente, o 
mesmo cálculo que se faz para se descobrir a Média Aritmética de um conjunto apresentado na 
se as notas, e divide-se este resultado pelo número de provas.
se de um modo genérico: somam-se os elementos do conjunto, e divide
resultado pelo número de elementos do conjunto! 
se essa definição em uma fórmula, usando-se da linguagem estatística, 
n
Xi
X ∑= 
é a Média Aritmética; 
somatório. O que vier após este símbolo deverá ser somado!
é cada elemento do conjunto; 
de elementos do conjunto. 
Só isso! Nada mais fácil que se calcular a Média de um rol. 
seja tão raro em provas...! 
Transição – está em destaque,porque nos acompanhará longamente 
Aprenderemos, meus queridos, que há uma maneira facílima de 
para a fórmula de Dados Tabulados. Da mesma forma, há como 
Dados Tabulados para a fórmula da Distribuição de Frequência
E essa maneira de fazer a migração de uma fórmula para outra é justamente a tal da 
que vamos aprender agora! Vamos lá! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
eus, as aulas já começaram!” (Meio tardia essa 
descoberta...!) O fato é que você procurou se redimir da nota baixa que tirou, e dedicou esforços 
para a segunda prova. O resultado se fez perceber, e você conseguiu agora tirar um 8 (oito). 
notaço na terceira e última 
Assim, virou várias noites estudando e se dedicando àquela disciplina, de sorte que 
Tão logo recebeu esta última nota, você correu às contas, pois desejava saber se havia 
! (Aquele que passa se 
arrastando)! Mas passou, não foi? Isso é o que importa! (Igual no concurso: se você passar em 
3, 8, 10). 
das notas foi, rigorosamente, o 
de um conjunto apresentado na 
se este resultado pelo número de provas. 
se os elementos do conjunto, e divide-se esse 
se da linguagem estatística, 
. O que vier após este símbolo deverá ser somado! 
está em destaque, porque nos acompanhará longamente 
Aprenderemos, meus queridos, que há uma maneira facílima de migrarmos de uma 
. Da mesma forma, há como migrarmos da 
Frequências! 
de uma fórmula para outra é justamente a tal da 
32 http://www.olaamigos
 
 1º) Como passar da fórmula do 
 Manda a primeira transição que façamos o seguinte:
 � Repete-se a fórmula do rol; e
 � Acrescenta-se no numerador da fórmula, 
frequência absoluta simples fi. 
 Só isso! 
 Assim, se eu já aprendi que a fórmula usada para se calcular a Média Aritmética de um 
conjunto apresentado na forma de um rol é:
 �
n
Xi
X ∑= ... 
 ... então, querendo agora 
apresentado na forma de Dados Tabulados
teremos: 
 Para Dados Tabulados:
 
 Viram? Bastou repetir a fórmula do 
junto ao sinal de somatório! 
 Usamos a primeira Transição
 E agora, caso queiramos 
Frequências, como devemos proceder? Aí surge a segunda 
 2º) Como passar da fórmula do
Frequências? 
 Manda a segunda transição que façamos o seguinte:
 � Repete-se a fórmula dos Dados Tabulados; e
 � Troca-se o Xi (elemento individualizado do conjunto) por 
 E é só isso! 
 Mas qual seria o motivo de essa transição se fazer desta forma? Ora, por uma razão muito 
simples. Basta comparar as duas primeiras formas de apresentação (
com a Distribuição de Frequência
Xi (elementos individualizados do conjunto). Mas na Distribuição de 
de trabalhar com elementos individualizados, uma vez que agora nossa variável passará a ser 
agrupada em classes! 
 Daí, na Distribuição, não há mais que se falar em elemento individualizado 
que ser substituído por aquele elemento que melhor representa cada classe. E esse elemento é 
justamente o Ponto Médio! 
 Assim, conhecendo a fórmula da Média Aritmética para Dados Tabulados, e aplicando o 
que nos manda a segunda transição, 
será dada por: 
 
 
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1º) Como passar da fórmula do Rol para a dos Dados Tabulados?
Manda a primeira transição que façamos o seguinte: 
a fórmula do rol; e 
se no numerador da fórmula, sempre junto ao sinal de somatório 
 
Assim, se eu já aprendi que a fórmula usada para se calcular a Média Aritmética de um 
a forma de um rol é: 
... então, querendo agora construir a fórmula da Média Aritmética para um conjunto 
Dados Tabulados, eu só precisarei seguir o que manda a transição! E 
Dados Tabulados: 
n
Xi
X ∑= ...... 
Viram? Bastou repetir a fórmula do Rol (já conhecida!) e acrescentar o 
! 
Transição! 
E agora, caso queiramos construir a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuição de 
s, como devemos proceder? Aí surge a segunda transição. Vejamos.
º) Como passar da fórmula dos Dados Tabulados para a d
Manda a segunda transição que façamos o seguinte: 
se a fórmula dos Dados Tabulados; e 
(elemento individualizado do conjunto) por PM (Ponto Médio) da classe!
Mas qual seria o motivo de essa transição se fazer desta forma? Ora, por uma razão muito 
rar as duas primeiras formas de apresentação (Rol 
Frequências, e veremos que naquelas estamos sempre trabalhando com 
(elementos individualizados do conjunto). Mas na Distribuição de Frequência
rabalhar com elementos individualizados, uma vez que agora nossa variável passará a ser 
Daí, na Distribuição, não há mais que se falar em elemento individualizado 
que ser substituído por aquele elemento que melhor representa cada classe. E esse elemento é 
Assim, conhecendo a fórmula da Média Aritmética para Dados Tabulados, e aplicando o 
que nos manda a segunda transição, teremos que a Média para uma Distribuição de 
n
fi
X ∑= . 
fi 
PM 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
? 
sempre junto ao sinal de somatório (Σ), a 
Assim, se eu já aprendi que a fórmula usada para se calcular a Média Aritmética de um 
a fórmula da Média Aritmética para um conjunto 
, eu só precisarei seguir o que manda a transição! E 
(já conhecida!) e acrescentar o fi no numerador, 
para uma Distribuição de 
. Vejamos. 
para a da Distribuição de 
(Ponto Médio) da classe! 
Mas qual seria o motivo de essa transição se fazer desta forma? Ora, por uma razão muito 
Rol e Dados Tabulados) 
, e veremos que naquelas estamos sempre trabalhando com 
Frequências, nós deixamos 
rabalhar com elementos individualizados, uma vez que agora nossa variável passará a ser 
Daí, na Distribuição, não há mais que se falar em elemento individualizado Xi. Terá ele 
que ser substituído por aquele elemento que melhor representa cada classe. E esse elemento é 
Assim, conhecendo a fórmula da Média Aritmética para Dados Tabulados, e aplicando o 
teremos que a Média para uma Distribuição de Frequências 
33 http://www.olaamigos
 
A boa notícia, meus amigos, é que essa mesmíssima transição, que acabamos de 
aprender, não se aplica somente a fórmulas de Média Aritmética. Não! Vai muito além
Vamos usá-la para a memorização de várias outras medidas estatísticas, a exemplo do Desvio 
Absoluto, do Desvio Padrão, da Variância, entre outras.
 Primeiro, vejamos se ficou mesmo bem memorizada a nossa 
 Teremos: 
 Resumo da Transição:
 1º) Você memoriza a fórmula do 
 2º) Repete a fórmula do 
somatório, e aqui chegamos à fórmula dos 
 3º) Repete a fórmula dos 
chegamos à fórmula da Distribuição de 
 
# Resumo das Fórmulas da Média Aritmética:
 � Média Aritmética para Rol:
 � Média Aritmética para Dados Tabulados:
 � Média Aritmética para Distribuição de 
 Agora, considerando que em aproximadamente 99% dos casos o conjunto vem, na prova, 
expresso na forma de uma Distribuição de 
forma de apresentação! 
 Passemos a alguns exemplos:
Exemplo 1) A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de crianças. Obtenha o 
médio desse conjunto. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes
 
 Antes de mais nada, viram a frase em destaque no enunciado? Foi pergunta de algumas 
pessoas no Fórum de aulas passadas. Vamos entendê
os limites (inferior e superior). 
 
 
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A boa notícia, meus amigos, é que essa mesmíssima transição, que acabamos de 
aprender, não se aplica somente a fórmulas de Média Aritmética. Não! Vai muitoalém
la para a memorização de várias outras medidas estatísticas, a exemplo do Desvio 
Absoluto, do Desvio Padrão, da Variância, entre outras. 
Primeiro, vejamos se ficou mesmo bem memorizada a nossa Transição
Resumo da Transição: 
1º) Você memoriza a fórmula do Rol; 
2º) Repete a fórmula do Rol e acrescenta fi no numerador, sempre junto ao sinal de 
somatório, e aqui chegamos à fórmula dos Dados Tabulados; 
3º) Repete a fórmula dos Dados Tabulados e troca-se Xi por PM 
Distribuição de Frequências! 
Resumo das Fórmulas da Média Aritmética: 
Média Aritmética para Rol: 
n
Xi
X ∑= 
Média Aritmética para Dados Tabulados: 
n
Xifi
X ∑= . 
Média Aritmética para Distribuição de Frequências: 
n
PMfi
X ∑= . 
Agora, considerando que em aproximadamente 99% dos casos o conjunto vem, na prova, 
expresso na forma de uma Distribuição de Frequências, convém que nos dediquemos mais a esta 
Passemos a alguns exemplos: 
A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de crianças. Obtenha o 
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes
Classes 
(em Kg) 
fi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
Antes de mais nada, viram a frase em destaque no enunciado? Foi pergunta de algumas 
pessoas no Fórum de aulas passadas. Vamos entendê-la. Quais são os extremos das classes? São 
 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
A boa notícia, meus amigos, é que essa mesmíssima transição, que acabamos de 
aprender, não se aplica somente a fórmulas de Média Aritmética. Não! Vai muito além disso! 
la para a memorização de várias outras medidas estatísticas, a exemplo do Desvio 
Transição! 
no numerador, sempre junto ao sinal de 
PM (Ponto Médio), e aqui 
Agora, considerando que em aproximadamente 99% dos casos o conjunto vem, na prova, 
s, convém que nos dediquemos mais a esta 
A tabela abaixo representa os pesos de um grupo de crianças. Obtenha o peso 
Não existem observações coincidentes com os extremos das classes. 
Antes de mais nada, viram a frase em destaque no enunciado? Foi pergunta de algumas 
la. Quais são os extremos das classes? São 
34 http://www.olaamigos
 
Se o enunciado diz que 
classes, é porque não há nenhum elemento do conjunto cujo valor coincida exatamente com 
algum dos limites (inferiores ou superiores) de nenhuma das classes.
 No caso em tela, como tratamos de pesos de crianças, diremos 
crianças tem peso coincidente com os limites das classes. Ou seja, nenhuma delas pesa 0, 10, 
20, 30, 40, nem 50 quilos. 
 Em termos práticos, o que isso importará para nós? Importará que, sabendo disso, a 
tabela pode trazer o símbolo que 
simplesmente considerá-lo como aquela simbologia clássica, de intervalo fechado à esquerda e 
aberto à direita, que não haverá problema algum! Só isso!
 Voltemos ao exemplo. A questão pede o 
dos pesos! 
 Se o conjunto representasse 
representasse alturas, a questão pediria a 
questão pediria a idade média. (E não é prova de História, hein!). E assim por diante!
 (Quem já foi meu aluno presencial deve, a esta hora, estar balançando a cabeça e 
dizendo: puxa, até as mesmas piadas 
 Vamos repetir o conjunto, para poderm
 
 Se eu quero a média aritmética de uma Distribuição de 
a fórmula no papel. E será sempre assim! A fórmula é quem 
resolução! Teremos: 
 � 
n
PMfi
X ∑= . 
 Olhando para o numerador da fórmula, perguntaremos: já conhecemos a coluna do 
Sim, já é nossa conhecida! E se não fosse? E se a coluna de 
alguma daquelas outras cinco (
trabalho preliminar, que aprendemos na primeira aula, a fim de construirmos a coluna da 
(frequência absoluta simples). 
 Neste nosso exemplo, isso não se fez necessário!
 Próxima pergunta, ainda olhando para o numerador: já conhecemos a coluna dos Pontos 
Médios (PM)? Ainda não! Assim, será nosso primeiro trabalho: construir a coluna dos Pontos 
Médios! Já sabemos fazer isso! Teremos:
 
 
 
 
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Se o enunciado diz que não existem observações coincidentes com os extremos das 
, é porque não há nenhum elemento do conjunto cujo valor coincida exatamente com 
algum dos limites (inferiores ou superiores) de nenhuma das classes. 
No caso em tela, como tratamos de pesos de crianças, diremos 
crianças tem peso coincidente com os limites das classes. Ou seja, nenhuma delas pesa 0, 10, 
Em termos práticos, o que isso importará para nós? Importará que, sabendo disso, a 
que quiser para definir os intervalos de classe
lo como aquela simbologia clássica, de intervalo fechado à esquerda e 
aberto à direita, que não haverá problema algum! Só isso! 
Voltemos ao exemplo. A questão pede o peso médio, o que traduziremos como 
Se o conjunto representasse salários, a questão pediria o salário médio
, a questão pediria a altura média. Se o conjunto representasse 
. (E não é prova de História, hein!). E assim por diante!
(Quem já foi meu aluno presencial deve, a esta hora, estar balançando a cabeça e 
puxa, até as mesmas piadas bestas que ele diz em sala...) 
Vamos repetir o conjunto, para podermos trabalhar com ele: 
Classes fi 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
Se eu quero a média aritmética de uma Distribuição de Frequência
a fórmula no papel. E será sempre assim! A fórmula é quem guiará os nossos passos de 
Olhando para o numerador da fórmula, perguntaremos: já conhecemos a coluna do 
Sim, já é nossa conhecida! E se não fosse? E se a coluna de frequência fornecida na tabela fosse 
alguma daquelas outras cinco (fac, fad, Fi, Fac ou Fad)? Então, teríamos que fazer todo aquele 
, que aprendemos na primeira aula, a fim de construirmos a coluna da 
 
exemplo, isso não se fez necessário! 
Próxima pergunta, ainda olhando para o numerador: já conhecemos a coluna dos Pontos 
)? Ainda não! Assim, será nosso primeiro trabalho: construir a coluna dos Pontos 
Médios! Já sabemos fazer isso! Teremos: 
Classes fi PM 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
15 
25 
35 
45 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
ões coincidentes com os extremos das 
, é porque não há nenhum elemento do conjunto cujo valor coincida exatamente com 
No caso em tela, como tratamos de pesos de crianças, diremos que nenhuma dessas 
crianças tem peso coincidente com os limites das classes. Ou seja, nenhuma delas pesa 0, 10, 
Em termos práticos, o que isso importará para nós? Importará que, sabendo disso, a 
intervalos de classe, e nós poderemos 
lo como aquela simbologia clássica, de intervalo fechado à esquerda e 
, o que traduziremos como a média 
salário médio. Se o conjunto 
o conjunto representasse idades, a 
. (E não é prova de História, hein!). E assim por diante! 
(Quem já foi meu aluno presencial deve, a esta hora, estar balançando a cabeça e 
Frequências, começarei colocando 
guiará os nossos passos de 
Olhando para o numerador da fórmula, perguntaremos: já conhecemos a coluna do fi? 
fornecida na tabela fosse 
)? Então, teríamos que fazer todo aquele 
, que aprendemos na primeira aula, a fim de construirmos a coluna da fi 
Próxima pergunta, ainda olhando para o numerador: já conhecemos a coluna dos Pontos 
)? Ainda não! Assim, será nosso primeiro trabalho: construir a coluna dos Pontos 
35 http://www.olaamigos
 
 Reparem que todas as classes têm a mesma amplitude, não é isso? Quanto? 
Assim, se vocês estiverembem lembrados, basta calcular o valor do primeiro 
próximos serão obtidos apenas somando com a amplitude (
 Ainda tratando do numerador da fórmula, perguntaremos agora: já conhecemos a coluna 
do produto fi.PM? Ainda não! Conhecemos essas colunas separadamente
produto! Daí, está definido o nosso próximo passo: construir a coluna do 
 
 
 O que nos pede mesmo o 
elementos desta coluna que acabamos de construir.
 E o denominador, o que nos pede? Pede
conjunto). Ora, sabemos que n 
Fazendo esses dois somatórios, teremos:
 
 Finalmente, aplicando a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuição de 
Frequências, teremos: 
 � 
n
PMfi
X ∑= . � � 
 
# Algumas Propriedades da Média Aritmética:
 Considere o seguinte conjunto original (um rol): 
 Qual é a média deste conjunto? Teremos: (1+2+3+4+5)/5=15/5 
 E se agora tomarmos cada elemento (Xi) daquele conjunto original, e resolvermos 
adicionar cada um deles à constante 10, por exemplo. O que teremos? Ora, teremos um novo 
conjunto: {11, 12, 13, 14, 15}
 Assim, já não mais estamos diante daquela 
transformada! Transformada por meio de quê? De uma operação de s
 E qual é a Média desse novo conjunto (dessa nova variável)? Façamos as contas: 
(11+12+13+14+15)/5=65/5 �
 Ora, nem precisaríamos ter feito essa conta! Pois existe uma propriedade que diz: 
somando-se todos os elementos do 
igual à Média do conjunto original também somada com aquela mesma constante
 
 
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Reparem que todas as classes têm a mesma amplitude, não é isso? Quanto? 
Assim, se vocês estiverem bem lembrados, basta calcular o valor do primeiro 
próximos serão obtidos apenas somando com a amplitude (h). Viram? Isso já foi falado!
Ainda tratando do numerador da fórmula, perguntaremos agora: já conhecemos a coluna 
? Ainda não! Conhecemos essas colunas separadamente
produto! Daí, está definido o nosso próximo passo: construir a coluna do fi.PM
Classes fi PM fi.PM 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
15 
25 
35 
45 
10 
45 
200 
210 
45 
O que nos pede mesmo o numerador da fórmula? Pede o somatório (a soma) dos 
elementos desta coluna que acabamos de construir. 
E o denominador, o que nos pede? Pede-nos o valor de n (número de elementos do 
n é obtido somando-se a coluna da frequência
Fazendo esses dois somatórios, teremos: 
Classes fi PM fi.PM 
0 --- 10 
10 --- 20 
20 --- 30 
30 --- 40 
40 --- 50 
2 
3 
8 
6 
1 
5 
15 
25 
35 
45 
10 
45 
200 
210 
45 
 n=20 510 
Finalmente, aplicando a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuição de 
20
510
=X � X =25,5 ���� Resposta! 
# Algumas Propriedades da Média Aritmética: 
Considere o seguinte conjunto original (um rol): {1, 2, 3, 4, 5} 
Qual é a média deste conjunto? Teremos: (1+2+3+4+5)/5=15/5 �
E se agora tomarmos cada elemento (Xi) daquele conjunto original, e resolvermos 
à constante 10, por exemplo. O que teremos? Ora, teremos um novo 
{11, 12, 13, 14, 15}. Concordam? 
Assim, já não mais estamos diante daquela variável original, e sim de uma 
! Transformada por meio de quê? De uma operação de soma! 
E qual é a Média desse novo conjunto (dessa nova variável)? Façamos as contas: 
� X =13. 
Ora, nem precisaríamos ter feito essa conta! Pois existe uma propriedade que diz: 
se todos os elementos do conjunto com uma constante, a Média do novo conjunto será 
igual à Média do conjunto original também somada com aquela mesma constante
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Reparem que todas as classes têm a mesma amplitude, não é isso? Quanto? h=10. 
Assim, se vocês estiverem bem lembrados, basta calcular o valor do primeiro ponto médio, e os 
). Viram? Isso já foi falado! 
Ainda tratando do numerador da fórmula, perguntaremos agora: já conhecemos a coluna 
? Ainda não! Conhecemos essas colunas separadamente, mas não o seu 
fi.PM. Teremos: 
numerador da fórmula? Pede o somatório (a soma) dos 
(número de elementos do 
frequência absoluta simples (fi). 
Finalmente, aplicando a fórmula da Média Aritmética para uma Distribuição de 
� X =3 
E se agora tomarmos cada elemento (Xi) daquele conjunto original, e resolvermos 
à constante 10, por exemplo. O que teremos? Ora, teremos um novo 
, e sim de uma variável 
oma! 
E qual é a Média desse novo conjunto (dessa nova variável)? Façamos as contas: 
Ora, nem precisaríamos ter feito essa conta! Pois existe uma propriedade que diz: 
conjunto com uma constante, a Média do novo conjunto será 
igual à Média do conjunto original também somada com aquela mesma constante! 
36 http://www.olaamigos
 
 Foi verdade isso? Sim. A Média do conjunto original era 
elemento do conjunto original com constante 
anterior (3) somada também à constante 10. Ou seja, a nova Média será 
 E se serve para soma, serve também para subtração!
 Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original será multiplicado pela 
constante 10. Ok? O que ocorrerá àquele conjunto? Será transformado em outro. Passaremos a 
ter: {10, 20, 30, 40, 50}. 
 Não se trata mais da variável original
por quem? Por uma operação de multiplicação! Calculando a média do novo conjunto, teremos: 
(10+20+30+40+50)/5=150/5 �
 E nem precisaríamos ter feito este cálculo, pois existe uma propriedade da Média que diz: 
multiplicando-se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova Média será 
igual à média anterior também multiplicada pela mesma constante
 Senão, vejamos: a média do conjunto original era 
elemento do conjunto original pela constante 
anterior (3) multiplicada também pela constante 10. Ou seja, a nova Média 
 E se serve para produto, serve também para divisão!
 Para melhorar a nossa vida e a nossa memorização, resumiremos essas propriedades 
todas em uma única (e pequena) frase:
A MÉDIA É INFLUENCIADA PELAS QUATRO OPERAÇÕES!
 Ok? É essa a frase que dev
 
# Outras Propriedades da Média:
 Vejamos logo duas propriedades irmãs:
 ���� A soma dos desvios dos elementos do conjunto em torno da Média é igual a 
zero! 
 Como é isso? Vamos considerar o seguinte conjunto: 
 Qual é a Média desse conjunto? Faremos (1+2+3+4+5)/5=15/5 
 Pois bem! O que construiremos agora é o 
diferença. Daí, vamos construir o conjunto formado pela diferença entre cada element
conjunto original e a Média. Teremos:
 � (Xi- X ) = {(1-3), (2
 � (Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2}
 Fazendo o somatório dos 
 � ∑(Xi- X ) = {(-2)+(
 Enfim, esse é o resumo da propriedade: 
 De uma forma resumida, memorizaremos: 
 Só isso! Esta propriedade poderá ser objet
provas mais antigas. 
 
 
 
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Foi verdade isso? Sim. A Média do conjunto original era X =
original com constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a média 
anterior (3) somada também à constante 10. Ou seja, a nova Média será 13
E se serve para soma, serve também para subtração! 
Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original será multiplicado pela 
constante 10. Ok? O que ocorrerá àquele conjunto? Será transformado em outro. Passaremos a 
variável original e sim de uma variável transformada
por quem? Por uma operação de multiplicação! Calculando a média do novo conjunto, teremos: 
� X =30. 
E nem precisaríamos ter feito este cálculo, pois existe uma propriedade da Média que diz: 
se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova Média será 
igual à média anterior também multiplicadapela mesma constante! 
ejamos: a média do conjunto original era X =3. Nós multiplicamos cada 
elemento do conjunto original pela constante 10. Daí, a Média do novo conjunto será a média 
anterior (3) multiplicada também pela constante 10. Ou seja, a nova Média 
E se serve para produto, serve também para divisão! 
Para melhorar a nossa vida e a nossa memorização, resumiremos essas propriedades 
todas em uma única (e pequena) frase: 
A MÉDIA É INFLUENCIADA PELAS QUATRO OPERAÇÕES!
Ok? É essa a frase que deve ficar guardada em nossa memória! 
# Outras Propriedades da Média: 
Vejamos logo duas propriedades irmãs: 
A soma dos desvios dos elementos do conjunto em torno da Média é igual a 
Como é isso? Vamos considerar o seguinte conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}
Qual é a Média desse conjunto? Faremos (1+2+3+4+5)/5=15/5 �
Pois bem! O que construiremos agora é o conjunto dos desvios! Desvio é sinônimo de 
diferença. Daí, vamos construir o conjunto formado pela diferença entre cada element
conjunto original e a Média. Teremos: 
3), (2-3), (3-3), (4-3), (5-3)} 
1, 0, 1, 2} 
Fazendo o somatório dos desvios em torno da média, teremos: 
2)+(-1)+(0)+(1)+(2)}=0 
Enfim, esse é o resumo da propriedade: ∑(Xi- X ) = 0 
De uma forma resumida, memorizaremos: A soma dos desvios é zero
Só isso! Esta propriedade poderá ser objeto de uma questão teórica, como já foi, em 
 
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=3. Nós somamos cada 
. Daí, a Média do novo conjunto será a média 
13. 
Agora consideremos que cada elemento daquele conjunto original será multiplicado pela 
constante 10. Ok? O que ocorrerá àquele conjunto? Será transformado em outro. Passaremos a 
variável transformada! Transformada 
por quem? Por uma operação de multiplicação! Calculando a média do novo conjunto, teremos: 
E nem precisaríamos ter feito este cálculo, pois existe uma propriedade da Média que diz: 
se cada elemento de um conjunto original por uma constante, a nova Média será 
. Nós multiplicamos cada 
. Daí, a Média do novo conjunto será a média 
anterior (3) multiplicada também pela constante 10. Ou seja, a nova Média será 30. 
Para melhorar a nossa vida e a nossa memorização, resumiremos essas propriedades 
A MÉDIA É INFLUENCIADA PELAS QUATRO OPERAÇÕES! 
A soma dos desvios dos elementos do conjunto em torno da Média é igual a 
{1, 2, 3, 4, 5} 
� X =3. 
! Desvio é sinônimo de 
diferença. Daí, vamos construir o conjunto formado pela diferença entre cada elemento Xi do 
A soma dos desvios é zero! 
o de uma questão teórica, como já foi, em 
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 ���� A soma dos quadrados dos 
Média é um valor mínimo! 
 Essa é de compreensão menos imediata. Mas igualmente fácil.
Tomemos novamente o conjunto: 
Assim, tomando a média 3 como referência, e construindo o conjunto dos desvios em 
torno da média, teremos: 
 � (Xi- X ) = {-2, -1, 0, 1, 2}
Agora, se elevarmos cada um desses valores ao quadrad
 � (Xi- X )2 = {-22, -12, 0
 Fazendo o somatório dos quadrados dos desvios, teremos:
� ∑(Xi- X )2 = {4+1+0+1+4}=
Mínimo por quê? Porque encontraríamos um valor maior que 10, caso percorrêssemos 
todo esse mesmo trajeto, tendo partido do conjunto dos desvios em torno de uma origem 
qualquer diferente da Média. 
Entenderam? Ainda não? Então, escolham um valor qualquer diferente da Média 
conjunto. Qualquer valor serve! Pode ser o 2, então? Ok! Lembrem
conjunto! Comecemos. Vamos construir o conjunto dos desvios, em torno dessa origem 2. 
Teremos: 
 � (Xi-2) = {(1-2),(2-2), (3
 Construindo os quadrados desses desvios, teremos:
 
 � (Xi-2)2 = {-12, 02, 1
 Fazendo o somatório dos quadrados desses desvios, teremos:
� ∑(Xi-2)2 = {1+0+1+4+9}=
Por quê? Porque 10 é um valor mínimo!
Ficou compreendido? 
Professor, como é que essas duas propriedades podem ser cobradas numa prova? 
Basicamente, numa questão teórica. Nas provas mais antigas, nos idos dos anos noventa, era 
muito comum a presença de questões mais conce
nada impeça de você se deparar com uma delas!
Então, resumindo essas duas propriedades irmãs, teremos:
� A soma dos desvios é igual a zero!
���� A soma dos quadrados dos desvios é um valor mínimo!
É isso! Há ainda outra propriedade importante da Média que precisamos conhecer:
 
 ���� A Média das Médias:
 Essa propriedade tratará de uma situação em que haverá alguns conjuntos menores. Para 
cada um desses conjuntos menores, a questão fornecerá o valor do seu número de 
o valor da sua Média. Assim, supondo que estejamos trabalhando com apenas dois conjuntos 
menores (A e B), teremos, como dados da questão, os seguintes:
 
 
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quadrados dos desvios dos elementos do conjunto em torno da 
Essa é de compreensão menos imediata. Mas igualmente fácil. 
Tomemos novamente o conjunto: {1, 2, 3, 4, 5}. Já sabemos que a Média é 3.
Assim, tomando a média 3 como referência, e construindo o conjunto dos desvios em 
1, 0, 1, 2} 
Agora, se elevarmos cada um desses valores ao quadrado, teremos:
, 02, 12, 22} = {4, 1, 0, 1, 4} 
Fazendo o somatório dos quadrados dos desvios, teremos: 
= {4+1+0+1+4}=10 ���� Este é um valor mínimo! 
Porque encontraríamos um valor maior que 10, caso percorrêssemos 
todo esse mesmo trajeto, tendo partido do conjunto dos desvios em torno de uma origem 
Entenderam? Ainda não? Então, escolham um valor qualquer diferente da Média 
conjunto. Qualquer valor serve! Pode ser o 2, então? Ok! Lembrem-se que 2 não é a Média do 
conjunto! Comecemos. Vamos construir o conjunto dos desvios, em torno dessa origem 2. 
2), (3-2), (4-2), (5-2)} = {-1, 0, 1, 2, 3}
Construindo os quadrados desses desvios, teremos: 
, 12, 22, 32} = {1, 0, 1, 4, 9} 
Fazendo o somatório dos quadrados desses desvios, teremos: 
= {1+0+1+4+9}=15 ���� E 15 é maior que 10. 
10 é um valor mínimo! 
Professor, como é que essas duas propriedades podem ser cobradas numa prova? 
Basicamente, numa questão teórica. Nas provas mais antigas, nos idos dos anos noventa, era 
muito comum a presença de questões mais conceituais. Hoje, são questões mais raras, embora 
nada impeça de você se deparar com uma delas! 
Então, resumindo essas duas propriedades irmãs, teremos: 
A soma dos desvios é igual a zero! 
A soma dos quadrados dos desvios é um valor mínimo! 
outra propriedade importante da Média que precisamos conhecer:
A Média das Médias: 
Essa propriedade tratará de uma situação em que haverá alguns conjuntos menores. Para 
cada um desses conjuntos menores, a questão fornecerá o valor do seu número de 
o valor da sua Média. Assim, supondo que estejamos trabalhando com apenas dois conjuntos 
menores (A e B), teremos, como dados da questão, os seguintes: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
desvios dos elementos do conjunto em torno da 
. Já sabemos que a Média é 3. 
Assim, tomando a média 3 como referência, e construindo o conjunto dos desvios em 
o, teremos: 
 
Porque encontraríamos um valor maior que 10, caso percorrêssemos 
todo esse mesmo trajeto, tendo partido do conjunto dos desvios em torno de uma origem 
Entenderam? Ainda não? Então, escolham um valor qualquer diferente da Média (3) do 
se que 2 não é a Média do 
conjunto! Comecemos. Vamos construir o conjunto dos desvios, em torno dessa origem 2. 
3} 
Professor, como é que essas duas propriedades podem ser cobradas numa prova? 
Basicamente, numa questão teórica. Nas provas mais antigas, nos idos dos anos noventa, era 
ituais. Hoje, são questõesmais raras, embora 
outra propriedade importante da Média que precisamos conhecer: 
Essa propriedade tratará de uma situação em que haverá alguns conjuntos menores. Para 
cada um desses conjuntos menores, a questão fornecerá o valor do seu número de elementos, e 
o valor da sua Média. Assim, supondo que estejamos trabalhando com apenas dois conjuntos 
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 � conjunto A: número de elementos do conjunto A (
 Média dos elementos do conj
 
 � conjunto B: número de elementos do conjunto B (
 Média dos elementos do conjunto B (
 
 O que nos irá perguntar a questão da prova? Irá nos perguntar o seguinte: se juntarmos 
todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, e os unirmos em um só 
conjunto maior, qual será a Média desse 
 Responderemos a esta pergunta usando a seguinte fórmula:
 
 Trata-se de uma das questões mais fáceis da prova, pois se resume a aplicar a fórmula 
acima. Faz-se o copiar-colar e chega
 Virão duas questões que exploram o conhecimento desta propriedade no dever de casa 
que deixarei nesta aula de hoje. 
 Existe ainda uma informação acerca da Média, e que às vezes, inclusive, é tratada como 
uma propriedade, que diz o seguinte:
 � A Média é influenciada por valores extremos!
 O que quer dizer isso? Vejamos o conjunto abaixo:
 � {1, 2, 3, 4, 5} 
 A média desse conjunto, já fizemos esse cálculo hoje, é igual a 3.
 E se trocarmos o valor extremo 5 por, digamos, 500? Teremos:
 � {1, 2, 3, 4, 500} 
 A média desse novo conjunto será, feitos os cálculos, igual 102.
Houve um grande salto, não é verdade? Sim! E por quê? Porque 
pelos valores extremos! 
Essa propriedade costumava ser mais exigida para efeitos comparativos com outras 
medidas estatísticas, como Moda e Mediana. Assim, mais adiante, voltaremos a falar sobre ela. 
Ok? 
Pois bem! Acho que agora já podemos passar a falar na segunda medida de tendência 
central: a Moda! 
 
# MODA: Mo 
 Esse é um dos assuntos prediletos das alunas! Qualquer concurseira de respeito sabe que 
Moda é aquilo que está em evidência. É isso mesmo? Assim na vida, assim na Estatística.
 Moda, em sentido estatístico, será aquele elemento que 
 Só isso! Nada mais fácil! Vamos aprender a reconhecer a moda de um rol, de dados 
tabulados e de uma distribuição de 
 
 
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conjunto A: número de elementos do conjunto A (nA) 
Média dos elementos do conjunto A ( AX ) 
conjunto B: número de elementos do conjunto B (nB) 
Média dos elementos do conjunto B ( BX ) 
O que nos irá perguntar a questão da prova? Irá nos perguntar o seguinte: se juntarmos 
todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, e os unirmos em um só 
conjunto maior, qual será a Média desse conjunto global? 
ta pergunta usando a seguinte fórmula: 
( ) ( )[ ]
( )BA
BBAA
GLOBAL
nn
XnXnX
+
+
=
..
 
se de uma das questões mais fáceis da prova, pois se resume a aplicar a fórmula 
e chega-se à resposta! Ok? 
Virão duas questões que exploram o conhecimento desta propriedade no dever de casa 
que deixarei nesta aula de hoje. 
Existe ainda uma informação acerca da Média, e que às vezes, inclusive, é tratada como 
uma propriedade, que diz o seguinte: 
nfluenciada por valores extremos! 
O que quer dizer isso? Vejamos o conjunto abaixo: 
A média desse conjunto, já fizemos esse cálculo hoje, é igual a 3. 
E se trocarmos o valor extremo 5 por, digamos, 500? Teremos: 
conjunto será, feitos os cálculos, igual 102. 
Houve um grande salto, não é verdade? Sim! E por quê? Porque 
costumava ser mais exigida para efeitos comparativos com outras 
medidas estatísticas, como Moda e Mediana. Assim, mais adiante, voltaremos a falar sobre ela. 
Pois bem! Acho que agora já podemos passar a falar na segunda medida de tendência 
Esse é um dos assuntos prediletos das alunas! Qualquer concurseira de respeito sabe que 
Moda é aquilo que está em evidência. É isso mesmo? Assim na vida, assim na Estatística.
Moda, em sentido estatístico, será aquele elemento que mais aparece no conjunto!
Só isso! Nada mais fácil! Vamos aprender a reconhecer a moda de um rol, de dados 
tabulados e de uma distribuição de frequências. Vamos lá. 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
O que nos irá perguntar a questão da prova? Irá nos perguntar o seguinte: se juntarmos 
todos os elementos do conjunto A com todos os elementos do conjunto B, e os unirmos em um só 
se de uma das questões mais fáceis da prova, pois se resume a aplicar a fórmula 
Virão duas questões que exploram o conhecimento desta propriedade no dever de casa 
Existe ainda uma informação acerca da Média, e que às vezes, inclusive, é tratada como 
 
Houve um grande salto, não é verdade? Sim! E por quê? Porque a média é influenciada 
costumava ser mais exigida para efeitos comparativos com outras 
medidas estatísticas, como Moda e Mediana. Assim, mais adiante, voltaremos a falar sobre ela. 
Pois bem! Acho que agora já podemos passar a falar na segunda medida de tendência 
Esse é um dos assuntos prediletos das alunas! Qualquer concurseira de respeito sabe que 
Moda é aquilo que está em evidência. É isso mesmo? Assim na vida, assim na Estatística. 
mais aparece no conjunto! 
Só isso! Nada mais fácil! Vamos aprender a reconhecer a moda de um rol, de dados 
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���� Moda do Rol: 
 Analise o conjunto abaixo, e me diga qual é o elemento que se sobressai a
 {1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 10}
 Facilmente se vê que o elemento de maior 
conjunto, é o elemento Xi=3,0. 
 Está terminado! A Moda desse conjunto é 3. Diremos: 
 E não se fala mais nisso! V
como essa em prova? 
 Quem pensou que não errou! Confira a questão abaixo, extraída do AFRF
(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de 
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13,
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.
a) 7 b) 23 
 
 Sol.: Vejam que o conjunto foi apresentado na forma de um rol. E seus elementos 
representam preços. Daí, a questão pede que se calcule o 
 Se os elementos representassem salários, a questão pediria o salário modal.
 Se os elementos representassem pes
 Se representassem idades, a idade modal. E assim por diante!
 Pois bem! Aqui, usaremos a técnica milenar do 
elementos do conjunto, e contar, para descobrir aquele que aparece mais 
 Conclusão: o elemento Xi=8 
a Moda desse conjunto e a resposta da questão!
 E acreditem: isso valeu um ponto numa prova de Auditor
 Isso corrobora a minha tese de que nem só de questões difíceis se faz uma prova!
 Também existem as fáceis, as muito fáceis, as facílimas, e as estupidamente bestas!
 E essas nós não podemos errar, nem em pesadelo.
 Pois bem. Mais algumas informações: 
 � Se o conjunto apresenta uma só moda, será dito 
 Mas, considere o rol abaixo:
 {1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 10}
 Quem é a moda desse conjunto? Não é apenas uma, mas são duas: o elemento 2 e o 
elemento 7. Estamos, pois, diante de um con
 E se houver três ou mais modas em um conjunto? Então estaremos diante de um conjunto 
multimodal. 
 Atente agora para o seguinte conjunto:
 {1, 2, 3, 4, 5} 
 Quem arrisca dizer qual é a Moda dele? Existe algum elemento que se destaca em relação 
aos demais? Um elemento que aparecemais que os outros? Não! Nenhum elemento se destaca. 
Daí, concluímos que não há moda neste rol, de sorte que estamos diante de um con
 
 
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Analise o conjunto abaixo, e me diga qual é o elemento que se sobressai a
{1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 10} 
Facilmente se vê que o elemento de maior frequência, aquele que mais aparece no 
. 
Está terminado! A Moda desse conjunto é 3. Diremos: Mo=3. 
E não se fala mais nisso! Vocês acham, sinceramente, que a Esaf iria colocar uma questão 
errou! Confira a questão abaixo, extraída do AFRF
98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de 
tória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 
10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal.
 c) 10 d) 8 
Vejam que o conjunto foi apresentado na forma de um rol. E seus elementos 
representam preços. Daí, a questão pede que se calcule o preço modal. 
Se os elementos representassem salários, a questão pediria o salário modal.
Se os elementos representassem pesos, a questão pediria o peso modal.
Se representassem idades, a idade modal. E assim por diante! 
Pois bem! Aqui, usaremos a técnica milenar do dedo. Basta colocar o dedo em cima dos 
elementos do conjunto, e contar, para descobrir aquele que aparece mais 
Xi=8 é o que mais aparece. É aquele de maior 
a Moda desse conjunto e a resposta da questão! 
E acreditem: isso valeu um ponto numa prova de Auditor-Fiscal da Receita Federal.
minha tese de que nem só de questões difíceis se faz uma prova!
Também existem as fáceis, as muito fáceis, as facílimas, e as estupidamente bestas!
E essas nós não podemos errar, nem em pesadelo. 
Pois bem. Mais algumas informações: 
Se o conjunto apresenta uma só moda, será dito conjunto modal
Mas, considere o rol abaixo: 
{1, 2, 2, 2, 3, 3, 5, 7, 7, 7, 9, 10} 
Quem é a moda desse conjunto? Não é apenas uma, mas são duas: o elemento 2 e o 
elemento 7. Estamos, pois, diante de um conjunto dito bimodal. 
E se houver três ou mais modas em um conjunto? Então estaremos diante de um conjunto 
Atente agora para o seguinte conjunto: 
Quem arrisca dizer qual é a Moda dele? Existe algum elemento que se destaca em relação 
aos demais? Um elemento que aparece mais que os outros? Não! Nenhum elemento se destaca. 
Daí, concluímos que não há moda neste rol, de sorte que estamos diante de um con
 
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Analise o conjunto abaixo, e me diga qual é o elemento que se sobressai aos demais: 
, aquele que mais aparece no 
ocês acham, sinceramente, que a Esaf iria colocar uma questão 
errou! Confira a questão abaixo, extraída do AFRF-1998: 
98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de 
tória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 
13,14, 15, 15, 15, 16, 16, 18, 23 
Com base nestes dados, assinale a opção que corresponde ao preço modal. 
 e) 9 
Vejam que o conjunto foi apresentado na forma de um rol. E seus elementos 
Se os elementos representassem salários, a questão pediria o salário modal. 
os, a questão pediria o peso modal. 
. Basta colocar o dedo em cima dos 
elementos do conjunto, e contar, para descobrir aquele que aparece mais vezes que os demais! 
é o que mais aparece. É aquele de maior frequência. Logo, é 
Fiscal da Receita Federal. 
minha tese de que nem só de questões difíceis se faz uma prova! 
Também existem as fáceis, as muito fáceis, as facílimas, e as estupidamente bestas! 
conjunto modal. 
Quem é a moda desse conjunto? Não é apenas uma, mas são duas: o elemento 2 e o 
E se houver três ou mais modas em um conjunto? Então estaremos diante de um conjunto 
Quem arrisca dizer qual é a Moda dele? Existe algum elemento que se destaca em relação 
aos demais? Um elemento que aparece mais que os outros? Não! Nenhum elemento se destaca. 
Daí, concluímos que não há moda neste rol, de sorte que estamos diante de um conjunto amodal. 
40 http://www.olaamigos
 
 Conclusão: diferentemente da Média Aritmética, que sempre existe e é única, a Moda pode 
existir, pode não existir e, no primeiro caso, pode haver uma, ou duas, ou várias Modas em um 
mesmo conjunto! 
 Alguma dúvida para a Moda de um rol? Crei
 
���� Moda de Dados Tabulados:
 Aqui estamos diante do que há de mais fácil neste Curso! 
 Ora, sabemos que a Moda é o elemento de maior 
seguinte, tente dizer qual é o elemento modal:
 
 Neste caso, de o conjunto estar apresentado na forma de Dados Tabulados, sequer 
precisamos aplicar a técnica do dedo
(fi), procurando pela maior fi. Ao encontrarmos, saberemos que o elemento 
refere será a Moda do conjunto!
 Assim: 
 A Moda do conjunto é 3.
 Só e somente só! 
 Viram como é fácil? Essa aí nunca caiu em prova, até agora! 
 
���� Moda para Distribuição de 
 Aqui estamos diante de uma questão de prova em potencial.
Há dois métodos distintos para calcularmos a Moda de uma Distribuição: A Moda de 
Czuber e a Moda de King. 
Precisamos saber que a regra 
Dito de outra forma: só calcularemos a Moda de uma distribuição de 
método de King se a questão expressamente o determinar! Ok?
Consideremos o seguinte conjunto, supondo que represente os pesos de um 
crianças: 
 
 
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Conclusão: diferentemente da Média Aritmética, que sempre existe e é única, a Moda pode 
existir, pode não existir e, no primeiro caso, pode haver uma, ou duas, ou várias Modas em um 
Alguma dúvida para a Moda de um rol? Creio que não! Adiante. 
Moda de Dados Tabulados: 
Aqui estamos diante do que há de mais fácil neste Curso! 
Ora, sabemos que a Moda é o elemento de maior frequência. Assim, diante do conjunto 
seguinte, tente dizer qual é o elemento modal: 
Xi fi 
1 
2 
3 
4 
5 
2 
3 
7 
5 
1 
Neste caso, de o conjunto estar apresentado na forma de Dados Tabulados, sequer 
técnica do dedo. Basta deslizar pela coluna da frequência
. Ao encontrarmos, saberemos que o elemento 
refere será a Moda do conjunto! 
Xi fi 
1 
2 
3 
4 
5 
2 
3 
7 
5 
1 
A Moda do conjunto é 3. 
Viram como é fácil? Essa aí nunca caiu em prova, até agora! 
Moda para Distribuição de Frequências: 
Aqui estamos diante de uma questão de prova em potencial. 
Há dois métodos distintos para calcularmos a Moda de uma Distribuição: A Moda de 
regra é trabalharmos com o método de Czuber
Dito de outra forma: só calcularemos a Moda de uma distribuição de 
método de King se a questão expressamente o determinar! Ok? 
Consideremos o seguinte conjunto, supondo que represente os pesos de um 
Classes fi 
0-10 2 
10-20 4 
20-30 7 
30-40 5 
40-50 2 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Conclusão: diferentemente da Média Aritmética, que sempre existe e é única, a Moda pode 
existir, pode não existir e, no primeiro caso, pode haver uma, ou duas, ou várias Modas em um 
. Assim, diante do conjunto 
Neste caso, de o conjunto estar apresentado na forma de Dados Tabulados, sequer 
frequência absoluta simples 
. Ao encontrarmos, saberemosque o elemento Xi a que ela se 
Há dois métodos distintos para calcularmos a Moda de uma Distribuição: A Moda de 
Czuber. 
Dito de outra forma: só calcularemos a Moda de uma distribuição de frequências pelo 
Consideremos o seguinte conjunto, supondo que represente os pesos de um grupo de 
41 http://www.olaamigos
 
Comecemos aprendendo o cálculo da 
1º) Identificar a classe modal. 
Ora, classe modal é aquela de maior 
caso, a maior fi é 7, de sorte que a terceira classe será a classe modal. Teremos:
 
Até aqui, tudo tranqüilo? Tranqüilíssimo! Pois bem. O segundo passo 
2º) Aplicar a Equação da Moda de Czuber. É a seguinte:
Observem que os elementos desta fórmula serão extraídos daquela Classe Modal que 
acabamos de identificar no primeiro passo. Ok? Assim, o limite inferior (
equação é o limite inferior da classe modal; a amplitude (
amplitude da classe modal. 
E esses deltas da fórmula, significam o quê? 
Quando falamos em ∆∆∆∆a 
∆∆∆∆p estamos nos referindo à diferença posterior
Tanto ∆∆∆∆a quanto ∆∆∆∆p serão calculados com base em um mesmo referencial: a 
absoluta simples da classe modal. Assim:
� ∆∆∆∆a é a diferença entre a 
� ∆∆∆∆p é a diferença entre a 
No caso do nosso exemplo teremos:
 
 
Finalmente, resta-nos aplicar a 
���� 
pa
alMo .inf 





∆+∆
∆
+=
 
 Pode haver questão mais fácil do que esta? Não pode! E cai na prova, exatamente desse 
jeito! Um ponto garantido a mais para nós.
 Aprendamos agora o cálculo da Moda de King. Em dois passos:
 1º) Identificar a Classe Modal.
 
 
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Comecemos aprendendo o cálculo da Moda de Czuber. São dois passos:
1º) Identificar a classe modal. 
Ora, classe modal é aquela de maior frequência absoluta simples (maior fi). Só isso! Neste 
caso, a maior fi é 7, de sorte que a terceira classe será a classe modal. Teremos:
Classes fi 
0-10 2 
10-20 4 
20-30 7 
30-40 5 
40-50 2 
Até aqui, tudo tranqüilo? Tranqüilíssimo! Pois bem. O segundo passo 
2º) Aplicar a Equação da Moda de Czuber. É a seguinte: 
h
pa
alMo .inf 





∆+∆
∆
+= 
Observem que os elementos desta fórmula serão extraídos daquela Classe Modal que 
acabamos de identificar no primeiro passo. Ok? Assim, o limite inferior (
equação é o limite inferior da classe modal; a amplitude (h) a que se refere a equação é a 
da fórmula, significam o quê? Delta significa diferença
 estamos nos referindo à diferença anterior
diferença posterior. 
serão calculados com base em um mesmo referencial: a 
absoluta simples da classe modal. Assim: 
é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe anterior; e
é a diferença entre a fi da classe modal e a fi da classe posterior. 
No caso do nosso exemplo teremos: 
Classes fi 
0-10 2 
10-20 4 
20-30 7 
30-40 5 
40-50 2 
nos aplicar a fórmula de Czuber. E teremos que: 
h. ���� 10.
23
320 



+
+=Mo ���� Mo=26 ���� Resposta!
Pode haver questão mais fácil do que esta? Não pode! E cai na prova, exatamente desse 
jeito! Um ponto garantido a mais para nós. 
cálculo da Moda de King. Em dois passos: 
1º) Identificar a Classe Modal. 
∆∆∆∆a=3 
∆∆∆∆p=2 
 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
. São dois passos: 
absoluta simples (maior fi). Só isso! Neste 
caso, a maior fi é 7, de sorte que a terceira classe será a classe modal. Teremos: 
Até aqui, tudo tranqüilo? Tranqüilíssimo! Pois bem. O segundo passo consiste em: 
Observem que os elementos desta fórmula serão extraídos daquela Classe Modal que 
acabamos de identificar no primeiro passo. Ok? Assim, o limite inferior (linf) a que se refere a 
) a que se refere a equação é a 
diferença. 
a anterior. E quando falamos em 
serão calculados com base em um mesmo referencial: a frequência 
da classe anterior; e 
da classe posterior. 
 
Resposta! 
Pode haver questão mais fácil do que esta? Não pode! E cai na prova, exatamente desse 
42 http://www.olaamigos
 
 Já sabemos fazer isso: a classe modal é sempre aquela de maior 
simples! 
 2º) Aplicar a equação de King, que é a seguinte:
 
 Os dados da equação da Moda de King serão também extraídos da Classe Modal. 
 Assim: linf se referirá ao limite inferior da classe modal; 
 E estas fp e fa, o que são? São, respectivamente:
� fp: frequência absoluta simples 
� fa: frequência absoluta simples da classe anterior à da classe modal.
Nesta fórmula não calcularemos 
próprias frequências simples, a anterior e a posterior à 
Assim, para o nosso exemplo, teremos que:
Daí: 
� hfafp
fplMo .inf 





+
+=
Quero chamar atenção para um detalhe: na Moda de Czuber (que é a 
numerador do colchete é o ∆∆∆∆a, enquanto o numerador da Moda de King é a 
Não pode errar a fórmula, senão a questão está perdida!
Vou frisar novamente: só usaremo
expressamente. Se ela não o fizer, trabalharemos com a Moda de Czuber, que é a moda dos 
deltas, que é a regra! Ok? 
Vamos dar uma olhadinha no rol abaixo:
� {1, 2, 2, 3} 
Quem é a Moda deste rol? É 
original e os somarmos à constante 10, por exemplo, o que ocorrerá? Passaremos a ter um novo 
conjunto. O seguinte: 
� {11, 12, 12, 13} 
Quem é a nova Moda? É 
existe uma propriedade que afirma que: 
constante, a nova moda será a anterior também somada àquela constante
E se serve para soma, serve também para subtração!
Tomemos novamente o conjunto original. E se multiplicarmos cada elemento daquele 
conjunto pela constante 10, o que ocorreria? Chegaríamos ao seguinte conjunto:
� {10, 20, 20, 30} 
 
 
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Já sabemos fazer isso: a classe modal é sempre aquela de maior 
2º) Aplicar a equação de King, que é a seguinte: 
hfafp
fplMo .inf 





+
+= 
Os dados da equação da Moda de King serão também extraídos da Classe Modal. 
se referirá ao limite inferior da classe modal; h é a amplitude da classe modal.
, o que são? São, respectivamente: 
absoluta simples da classe posterior à da classe modal; e
absoluta simples da classe anterior à da classe modal.
Nesta fórmula não calcularemos deltas, ou seja, não faremos diferenças. Tomaremos as 
s simples, a anterior e a posterior à fi da classe modal. 
Assim, para o nosso exemplo, teremos que: 
Classes fi 
0-10 2 
10-20 4 
20-30 7 
30-40 5 
40-50 2 
h ���� 10.
54
520 



+
+=Mo ���� Mo=25,56 ���� 
Quero chamar atenção para um detalhe: na Moda de Czuber (que é a 
, enquanto o numerador da Moda de King é a 
Não pode errar a fórmula, senão a questão está perdida! 
Vou frisar novamente: só usaremos o cálculo da Moda de King se a questão mandar 
expressamente. Se ela não o fizer, trabalharemos com a Moda de Czuber, que é a moda dos 
Vamos dar uma olhadinha no rol abaixo: 
Quem é a Moda deste rol? É 2. Concordam? E se tomarmos cada elemento deste conjunto 
original e os somarmos à constante 10, por exemplo, o que ocorrerá? Passaremos a ter um novo 
Quem é a nova Moda? É 12. E nem precisávamos ter feito este cálculo,
existe uma propriedade que afirma que: somando todos os elementos do conjunto a uma mesma 
constante, a nova moda será a anterior também somada àquela constante
E se serve para soma, serve também para subtração! 
Tomemos novamente o conjunto original. E se multiplicarmos cada elemento daquele 
, o que ocorreria? Chegaríamos ao seguinte conjunto:
fa 
fpProf. Sérgio Carvalho 
Já sabemos fazer isso: a classe modal é sempre aquela de maior frequência absoluta 
Os dados da equação da Moda de King serão também extraídos da Classe Modal. 
é a amplitude da classe modal. 
da classe posterior à da classe modal; e 
absoluta simples da classe anterior à da classe modal. 
, ou seja, não faremos diferenças. Tomaremos as 
da classe modal. 
 Resposta! 
Quero chamar atenção para um detalhe: na Moda de Czuber (que é a regra!), o 
, enquanto o numerador da Moda de King é a fp. Perceberam isso? 
s o cálculo da Moda de King se a questão mandar 
expressamente. Se ela não o fizer, trabalharemos com a Moda de Czuber, que é a moda dos 
Concordam? E se tomarmos cada elemento deste conjunto 
original e os somarmos à constante 10, por exemplo, o que ocorrerá? Passaremos a ter um novo 
. E nem precisávamos ter feito este cálculo, uma vez que 
somando todos os elementos do conjunto a uma mesma 
constante, a nova moda será a anterior também somada àquela constante! 
Tomemos novamente o conjunto original. E se multiplicarmos cada elemento daquele 
, o que ocorreria? Chegaríamos ao seguinte conjunto: 
43 http://www.olaamigos
 
E a nova Moda é 20, como já poderíamos prever. Sim! Pois há uma propriedade,
a qual: multiplicando todos os elementos de um conjunto original por uma mesma constante, a 
nova moda será a anterior também multiplicada pela mesma constante
E se serve para multiplicação, serve também para divisão!
Resumo da história: a Moda, a
quatro operações! 
 
# Mediana: Md 
 Como o próprio nome pode sugerir, a Mediana é aquele elemento que está rigorosamente 
no meio do conjunto, dividindo-
 O cálculo da Mediana é quase sempre uma questão certa na prova! Uma questão que não 
podemos e não iremos errar de jeito nenhum!
 
���� Mediana para o Rol: 
 Consideremos o seguinte conjunto:
 � {10, 20, 30, 40, 50}
 Só olhando, seremos capazes de dizer qual é o elemento que está no meio deste 
conjunto? Claro! É o elemento 30
esquerda. Ele está, portanto, no meio do conjunto. E sendo assim, é a Mediana!
 � {10, 20, 30, 40, 50}
 Md=30
Vocês perceberam que o conjunto acima tem um número ímpar de elementos. Para ele, 
temos que n=5. 
Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto tiver um número ímpar de 
elementos, significa que só haverá uma 
E o elemento que ocupar esta 
Há um cálculo que podemos fazer para descobrir qual é a posição central, no caso de o 
conjunto apresentar um número ímpar de elem
� Posição Central = (n+1)/2
 Isto é para quando n for um número ímpar!
 Reparem bem que o resultado desta conta não é a Mediana do conjunto, e sim a sua 
posição central. O elemento que ocupar esta posição central será, est
 No nosso exemplo, tínhamos 
única posição central)! Assim, faremos: (n+1)/2=(5+1)/2=
 Esta é a posição central do conjunto! Daí, usando novamente a técnica milenar do 
você vai contar as posições do conjunto, até chegar à terceira. O elemento que a ocupar será a 
Mediana que estamos procurando! Teremos:
 � {10, 20, 30, 40, 50}
 3ª Posição 
 
 E se o conjunto tiver um número 
nosso conjunto for o seguinte: 
 � {10, 20, 30, 40, 50, 60
 
 
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, como já poderíamos prever. Sim! Pois há uma propriedade,
multiplicando todos os elementos de um conjunto original por uma mesma constante, a 
nova moda será a anterior também multiplicada pela mesma constante! 
E se serve para multiplicação, serve também para divisão! 
Resumo da história: a Moda, a exemplo da Média Aritmética, também é influenciada pelas 
Como o próprio nome pode sugerir, a Mediana é aquele elemento que está rigorosamente 
-o em duas partes iguais, ou seja, em duas metade
O cálculo da Mediana é quase sempre uma questão certa na prova! Uma questão que não 
podemos e não iremos errar de jeito nenhum! 
Consideremos o seguinte conjunto: 
} 
Só olhando, seremos capazes de dizer qual é o elemento que está no meio deste 
30. Concordam? Ficaram dois elementos à sua direita, e dois à sua 
esquerda. Ele está, portanto, no meio do conjunto. E sendo assim, é a Mediana!
} 
Md=30 
Vocês perceberam que o conjunto acima tem um número ímpar de elementos. Para ele, 
Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto tiver um número ímpar de 
significa que só haverá uma posição central. 
E o elemento que ocupar esta posição central será a própria Mediana do conjunto!
Há um cálculo que podemos fazer para descobrir qual é a posição central, no caso de o 
conjunto apresentar um número ímpar de elementos. Este cálculo é o seguinte:
Posição Central = (n+1)/2 
for um número ímpar! 
Reparem bem que o resultado desta conta não é a Mediana do conjunto, e sim a sua 
posição central. O elemento que ocupar esta posição central será, este sim, a Mediana.
No nosso exemplo, tínhamos n=5. (Um número ímpar, o que indica a existência de uma 
única posição central)! Assim, faremos: (n+1)/2=(5+1)/2=3ª Posição! 
Esta é a posição central do conjunto! Daí, usando novamente a técnica milenar do 
você vai contar as posições do conjunto, até chegar à terceira. O elemento que a ocupar será a 
Mediana que estamos procurando! Teremos: 
} 
3ª Posição ���� Md=30 
E se o conjunto tiver um número par de elementos? Aí a história é outra. Vejamos. Se 
 
10, 20, 30, 40, 50, 60} 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
, como já poderíamos prever. Sim! Pois há uma propriedade, segundo 
multiplicando todos os elementos de um conjunto original por uma mesma constante, a 
exemplo da Média Aritmética, também é influenciada pelas 
Como o próprio nome pode sugerir, a Mediana é aquele elemento que está rigorosamente 
o em duas partes iguais, ou seja, em duas metades! 
O cálculo da Mediana é quase sempre uma questão certa na prova! Uma questão que não 
Só olhando, seremos capazes de dizer qual é o elemento que está no meio deste 
. Concordam? Ficaram dois elementos à sua direita, e dois à sua 
esquerda. Ele está, portanto, no meio do conjunto. E sendo assim, é a Mediana! 
Vocês perceberam que o conjunto acima tem um número ímpar de elementos. Para ele, 
Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que o conjunto tiver um número ímpar de 
será a própria Mediana do conjunto! 
Há um cálculo que podemos fazer para descobrir qual é a posição central, no caso de o 
entos. Este cálculo é o seguinte: 
Reparem bem que o resultado desta conta não é a Mediana do conjunto, e sim a sua 
e sim, a Mediana. 
. (Um número ímpar, o que indica a existência de uma 
Esta é a posição central do conjunto! Daí, usando novamente a técnica milenar do dedo, 
você vai contar as posições do conjunto, até chegar à terceira. O elemento que a ocupar será a 
par de elementos? Aí a história é outra. Vejamos. Se 
44 http://www.olaamigos
 
 Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois: 
Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de elementos no conjunto, 
significa que haverá duas posições centrais
 Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma:
 � 1ª Posição Central: (n/2)
 � 2ª Posição Central: a vizinha posterior
 Neste caso, em que n=6
 � 1ª Posição Central: (n/2)=6/2= 
 � 2ª Posição Central: a vizinha posterior
 As duas posições centrais estão, portanto, identificadas. Resta de
elementos que as ocupam. 
E vejam o que será feito para calcularmos a Mediana. 
Teremos: 
 
 � {10, 20, 30, 40, 50, 60
 4ª Posição3ª Posição 
 
 Ou seja, se n é um número par, descobriremos quais são os dois elementos que ocupam 
as duas posições centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultado desta soma por 
dois. Assim, chegaremos à Mediana do conjunto!
 Ficou evidenciado neste exemplo que a Mediana não necessariamente terá que ser um dos 
elementos do conjunto! Viram? Esse valor 
 A prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma questão para se determinar a Mediana 
de um rol. Fazendo uma pequena e irrelevante adaptação, foi o seguinte:
(AFTN-98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de 
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7,
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 
15, 16, 16, 18, 23 
 
Assinale a opção que corresponde à mediana
a) 9,0 b) 9,5
 
Sol.: Estamos diante de um rol de 50 ele
um número par, teremos duas posições centrais, que serão, respectivamente:
 � 1ª Posição Central: (n/2)=50/2= 
 � 2ª Posição Central: a vizinha posterior
 Sabendo disso, e usando 
quais deles ocupam estas duas posições centrais. Vamos lá:
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13
15, 16, 16, 18, 23 
 
 
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Quantos elementos há? Seis elementos. Temos, pois: n=6. Um número par de elementos! 
Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de elementos no conjunto, 
duas posições centrais! 
Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma:
(n/2) 
a vizinha posterior. 
n=6, teremos: 
(n/2)=6/2= 3ª Posição! 
a vizinha posterior = 4ª Posição! 
As duas posições centrais estão, portanto, identificadas. Resta descobrir quais são os dois 
E vejam o que será feito para calcularmos a Mediana. 
, 50, 60} 
4ª Posição ���� 30 
 Md=(30+40)/2 ���� Md=35,
3ª Posição ���� 40 
é um número par, descobriremos quais são os dois elementos que ocupam 
ões centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultado desta soma por 
dois. Assim, chegaremos à Mediana do conjunto! 
Ficou evidenciado neste exemplo que a Mediana não necessariamente terá que ser um dos 
elementos do conjunto! Viram? Esse valor 35 não é um dos elementos! E no entanto é a Mediana!
A prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma questão para se determinar a Mediana 
de um rol. Fazendo uma pequena e irrelevante adaptação, foi o seguinte: 
98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de 
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
internacional. A unidade monetária é o dólar americano. 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 
Assinale a opção que corresponde à mediana:
b) 9,5 c) 8,0 d) 8,5
Estamos diante de um rol de 50 elementos. Portanto, n=50, que é um número par! Se 
um número par, teremos duas posições centrais, que serão, respectivamente:
(n/2)=50/2= 25ª Posição 
a vizinha posterior = 26ª Posição 
Sabendo disso, e usando a milenar técnica do dedo, contaremos os elementos, para saber 
quais deles ocupam estas duas posições centrais. Vamos lá: 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 
, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
. Um número par de elementos! 
Sempre que isso ocorrer, ou seja, sempre que houver um número par de elementos no conjunto, 
Estas posições centrais poderão ser encontradas da seguinte forma: 
scobrir quais são os dois 
Md=35, 
é um número par, descobriremos quais são os dois elementos que ocupam 
ões centrais, somaremos esses elementos e dividiremos o resultado desta soma por 
Ficou evidenciado neste exemplo que a Mediana não necessariamente terá que ser um dos 
35 não é um dos elementos! E no entanto é a Mediana! 
A prova do Fiscal da Receita de 1998 cobrou uma questão para se determinar a Mediana 
 
98) Os dados seguintes, ordenados do menor para o maior, foram obtidos de 
uma amostra aleatória, de 50 preços (Xi) de ações, tomada numa bolsa de valores 
8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 
9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 
: 
d) 8,5 e) 10 
, que é um número par! Se n é 
um número par, teremos duas posições centrais, que serão, respectivamente: 
a milenar técnica do dedo, contaremos os elementos, para saber 
4, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 
, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 12, 12, 13, 13,14, 15, 15, 
45 http://www.olaamigos
 
 Os dois elementos que ocupam as duas posições centrais são, ambos, iguais a 
precisaremos perder tempo somando
 Basta dizer que a Mediana é igual a 9 e pronto! Daí:
 
# Mediana para Distribuição de 
 Esta, sim, é questão muito provável na sua prova!
 Consideremos o seguinte conjunto:
 
 Se ele representa, suponhamos, os pesos de um grupo de crianças, então a questão lhe 
pedirá que encontre o peso mediano
fossem salários, o salário mediano
 O primeiro passo é identificar a 
 Para isso, trilharemos o seguinte caminho:
 � Calcular a fração da Mediana: 
 No cálculo da mediana de uma distribuição de 
n é par ou é ímpar. Seja como for, o nosso cálculo será s
 � Construirmos a coluna da 
 � Compararemos os valores da 
a seguinte pergunta: Esta fac é maior ou igual a (n/2)?
 Começaremos a fazer esta pergunta desde a 
repetiremos, descendo fac por fac
 Quando a resposta for 
será a nossa Classe Mediana. 
 Vamos fazer isso? Teremos:
 � n/2 = 10 
 Agora, construindo a fac
 
 
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Os dois elementos que ocupam as duas posições centrais são, ambos, iguais a 
precisaremos perder tempo somando-os e dividindo o resultado por dois. Concordam?
Basta dizer que a Mediana é igual a 9 e pronto! Daí: Md=9 ���� Resposta!
# Mediana para Distribuição de Frequências: 
Esta, sim, é questão muito provável na sua prova! 
Consideremos o seguinte conjunto: 
Classes fi 
0-10 2 
10-20 4 
20-30 7 
30-40 5 
40-50 2 
Se ele representa, suponhamos, os pesos de um grupo de crianças, então a questão lhe 
peso mediano; se fossem idades, a questão pediria a 
salário mediano. E assim por diante! 
ntificar a Classe Mediana! 
Para isso, trilharemos o seguinte caminho: 
Calcular a fração da Mediana: (n/2). 
No cálculo da mediana de uma distribuição de frequências, não faz nenhuma diferença se 
é par ou é ímpar. Seja como for, o nosso cálculo será sempre esse mesmo: 
Construirmos a coluna da fac (frequência absoluta acumulada crescente).
Compararemos os valores da fac com o resultado da fração da mediana (n/2), fazendo 
Esta fac é maior ou igual a (n/2)? 
Começaremos a fazer esta pergunta desde a fac da primeira classe (lá em cima) e a 
fac, até que a resposta seja SIM. 
Quando a resposta for sim, pararemos, procuraremos a classe correspondente, e esta 
Vamos fazer isso? Teremos: 
Classes fi 
0-10 2 
10-20 4 
20-30 7 
30-40 5 
40-50 2 
 n=20 
fac, teremos: 
Classes fi fac 
0-10 2 2 
10-20 4 6 
20-30 7 13 
30-40 5 18 
40-50 2 20 
 n=20Prof. Sérgio Carvalho 
Os dois elementos que ocupam as duas posições centrais são, ambos, iguais a 9. Nem 
os e dividindo o resultado por dois. Concordam? 
Resposta! 
Se ele representa, suponhamos, os pesos de um grupo de crianças, então a questão lhe 
; se fossem idades, a questão pediria a idade mediana; se 
s, não faz nenhuma diferença se 
empre esse mesmo: (n/2). 
absoluta acumulada crescente). 
com o resultado da fração da mediana (n/2), fazendo 
da primeira classe (lá em cima) e a 
, pararemos, procuraremos a classe correspondente, e esta 
46 http://www.olaamigos
 
Fazendo a pergunta, teremos: 
Classes fi fac
0-10 2 2
10-20 4 6
20-30 7 13
30-40 5 18
40-50 2 20
 n=20 
 
 E a terceira classe é a nossa 
 Uma vez conhecedores da Classe Mediana, faremos com ela um desenho! 
Vejamos novamente nosso conjunto:
 
Traremos essa classe mediana aqui para fora, e nosso desenho será construído da 
seguinte maneira: 
� Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Teremos:
Limites da Classe: 20 30
 
 Até aqui, tudo bem? 
 Na parte de baixo do desenho, colocaremos as 
crescentes (fac) associadas a esses dois limites! 
 Como assim? Vejamos: se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o 
limite inferior 20, o que você responderá? Ve
 
 Teremos acumulado 6 elementos, concordam?
 E se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o limite superior 30, o que 
você dirá? Vejamos no conjunto: 
 
 
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fac 
2 � 2 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!)
6 � 6 é maior ou igual a 10? Não! (Adiante!)
13 � 13 é maior ou igual a 10? SIM! (PARAMOS AQUI!)
18 
20 
 
E a terceira classe é a nossa classe mediana! 
Uma vez conhecedores da Classe Mediana, faremos com ela um desenho! 
Vejamos novamente nosso conjunto: 
Classes fi fac 
0-10 2 2 
10-20 4 6 
20-30 7 13 
30-40 5 18 
40-50 2 20 
 n=20 
Traremos essa classe mediana aqui para fora, e nosso desenho será construído da 
Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Teremos:
20 30 
Na parte de baixo do desenho, colocaremos as frequências absolutas acumuladas 
) associadas a esses dois limites! 
Como assim? Vejamos: se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o 
limite inferior 20, o que você responderá? Veja o conjunto novamente: 
Classes Fi Fac 
0-10 2 2 
10-20 4 6 
20-30 7 13 
30-40 5 18 
40-50 2 20 
 n=20 
elementos, concordam? 
E se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o limite superior 30, o que 
você dirá? Vejamos no conjunto: 
Classes Fi Fac 
0-10 2 2 
10-20 4 6 
20-30 7 13 
30-40 5 18 
40-50 2 20 
����Classe Mediana!
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
(Adiante!) 
(Adiante!) 
(PARAMOS AQUI!) 
Uma vez conhecedores da Classe Mediana, faremos com ela um desenho! 
Traremos essa classe mediana aqui para fora, e nosso desenho será construído da 
Na parte de cima do desenho, colocaremos os limites da classe. Teremos: 
s absolutas acumuladas 
Como assim? Vejamos: se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o 
E se eu perguntar quantos elementos já foram acumulados até o limite superior 30, o que 
Classe Mediana! 
47 http://www.olaamigos
 
 Teremos acumulado 13 
 Conclusão: na hora de identificar as 
da classe mediana, estas fac serão, sempre e respectivamente, 
fac da própria classe mediana
Limites da Classe: 20 30
fac associadas: 6 13
 Faltando quase nada para terminarmos o desenho! Agora perguntaremos: qual é a posição 
da Mediana? É o resultado da fração (n/2). Quanto? 10. Pois bem! Esse 10 corresponde à 
posição, e posição corresponde à 
do conjunto na parte de baixo do desenho. Teremos:
Limites da Classe: 20 30
fac associadas: 6 10 13
 
 Ora, a esta décima posição corresponde qual elemento dentro da classe? Corresponde
Mediana. Assim, concluiremos o desenho, fazendo:
Limites da Classe: 20 
fac associadas: 6 10 13
 
 É preciso agora que você releia com calma os passos necessários à feitura deste desenho 
acima. À primeira vista, parece ser complicado. 
com ele, estejam certos de que se tornará facílimo!
 Uma vez diante deste desenho, marcaremos o 
até a Mediana, e procuraremos por quatro valores. Os seguintes:
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 20 
fac associadas: 6 10 13
 
 
 
 
 
 
 
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13 elementos! 
Conclusão: na hora de identificar as frequências acumuladas associadas aos dois limites 
serão, sempre e respectivamente, a fac da classe anterior
fac da própria classe mediana! Assim, complementando nosso desenho, teremos:
20 30 
6 13 
Faltando quase nada para terminarmos o desenho! Agora perguntaremos: qual é a posição 
da Mediana? É o resultado da fração (n/2). Quanto? 10. Pois bem! Esse 10 corresponde à 
posição, e posição corresponde à frequência acumulada. Assim, localizaremos a décim
do conjunto na parte de baixo do desenho. Teremos: 
20 30 
6 10 13 
Ora, a esta décima posição corresponde qual elemento dentro da classe? Corresponde
Mediana. Assim, concluiremos o desenho, fazendo: 
20 Md 30 
6 10 13 
É preciso agora que você releia com calma os passos necessários à feitura deste desenho 
À primeira vista, parece ser complicado. Mas não é! Quando nos habituarmos a trabalhar 
com ele, estejam certos de que se tornará facílimo! 
Uma vez diante deste desenho, marcaremos o pedaço da classe que vai do limite inferior 
s por quatro valores. Os seguintes: 
20 Md 30 
6 10 13 
 
 
 
 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
s acumuladas associadas aos dois limites 
a fac da classe anterior, e a 
! Assim, complementando nosso desenho, teremos: 
Faltando quase nada para terminarmos o desenho! Agora perguntaremos: qual é a posição 
da Mediana? É o resultado da fração (n/2). Quanto? 10. Pois bem! Esse 10 corresponde à 
acumulada. Assim, localizaremos a décima posição 
Ora, a esta décima posição corresponde qual elemento dentro da classe? Corresponde à 
É preciso agora que você releia com calma os passos necessários à feitura deste desenho 
! Quando nos habituarmos a trabalhar 
da classe que vai do limite inferior 
48 http://www.olaamigos
 
 Encontrando estes quatro valores, teremos:
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 20 
fac associadas: 6 10 13
 
 
 
 
 
 
 
 Os quatro valores encontrados preencherão os quatro espaços de uma igualdade entre 
duas frações. Uma dessas frações será composta pelos valores referentes à classe inteira. E a 
segunda delas, pelos valores referentes à 
 
 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: 
 Agora, resta-nos olhar para o desenho, e constataremos que para chegar à Mediana, 
teremos que somar o limite inferior ao 
 
 Teremos: Md=20+X ���� 
 
 Façamos mais um exemplo: uma questão recente de AFRF. 
(AFRF-2002.2) Para a soluçãodas duas próximas questões utilize o enunciado que 
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
frequências seguinte: 
 
 
 
 
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Encontrando estes quatro valores, teremos: 
20 Md 30 
6 10 13 
Os quatro valores encontrados preencherão os quatro espaços de uma igualdade entre 
duas frações. Uma dessas frações será composta pelos valores referentes à classe inteira. E a 
segunda delas, pelos valores referentes à classe quebrada! Teremos: 
 10 x 
 7 4 
se cruzando, e teremos: � X=(4x10)/7 ���� X=5,71 
nos olhar para o desenho, e constataremos que para chegar à Mediana, 
teremos que somar o limite inferior ao X que acabamos de calcular. 
 Md=20+5,71 ���� Md=25,71 ���� Resposta!
Façamos mais um exemplo: uma questão recente de AFRF. 
2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que 
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
Classes Frequência (f) 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
7 
 
10 
4 
X 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Os quatro valores encontrados preencherão os quatro espaços de uma igualdade entre 
duas frações. Uma dessas frações será composta pelos valores referentes à classe inteira. E a 
nos olhar para o desenho, e constataremos que para chegar à Mediana, 
Resposta! 
2002.2) Para a solução das duas próximas questões utilize o enunciado que 
segue. O atributo do tipo contínuo X, observado como um inteiro, numa amostra de 
tamanho 100 obtida de uma população de 1000 indivíduos, produziu a tabela de 
49 http://www.olaamigos
 
 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo 
X. 
a) 71,04 
b) 65,02 
c) 75,03 
 
Sol.: A questão pediu o cálculo da Mediana da Distribuição de 
apenas seguindo os passos que aprendemos acima, como se estivéssemos seguindo uma receita 
de bolo. Não tem errada! Vamos:
 1º) Encontrar o valor do 
Teremos: 
 � (n/2)=50 
 
 2º) Construir a coluna da 
 
 
 3º) Comparar os valores da 
pergunta: esta fac é maior ou igual a (n/2)? 
Classes fi 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 100
 n=100 
 
 Com esses passos iniciais, conseguimos identificar qual é a 
 Resta-nos preparar o desenho
 
 
 
 
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Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo 
 d) 68,08 
 e) 70,02 
A questão pediu o cálculo da Mediana da Distribuição de Frequência
apenas seguindo os passos que aprendemos acima, como se estivéssemos seguindo uma receita 
de bolo. Não tem errada! Vamos: 
1º) Encontrar o valor do n (somando a coluna da fi) e calcular a fração da Mediana (
Classes fi 
29,5-39,5 4 
39,5-49,5 8 
49,5-59,5 14 
59,5-69,5 20 
69,5-79,5 26 
79,5-89,5 18 
89,5-99,5 10 
 n=100 
2º) Construir a coluna da fac (frequência absoluta acumulada crescente):
Classes fi fac 
29,5-39,5 4 4 
39,5-49,5 8 12 
49,5-59,5 14 26 
59,5-69,5 20 46 
69,5-79,5 26 72 
79,5-89,5 18 90 
89,5-99,5 10 100 
 n=100 
3º) Comparar os valores da fac com o valor da fração da Mediana (
esta fac é maior ou igual a (n/2)? até que a resposta seja sim! 
fac 
4 � 4 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
12 � 12 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
26 � 26 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
46 � 46 é maior ou igual a 50? Não! (Adiante!)
72 � 72 é maior ou igual a 50? SIM! (PARAMOS AQUI!)
90 
100 
 
Com esses passos iniciais, conseguimos identificar qual é a Classe Mediana
desenho, para cálculo da Mediana! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Assinale a opção que corresponde à estimativa da mediana amostral do atributo 
Frequências. Vamos fazer isso 
apenas seguindo os passos que aprendemos acima, como se estivéssemos seguindo uma receita 
) e calcular a fração da Mediana (n/2). 
absoluta acumulada crescente): 
com o valor da fração da Mediana (n/2), fazendo a velha 
 
(Adiante!) 
(Adiante!) 
(Adiante!) 
(Adiante!) 
(PARAMOS AQUI!) 
Classe Mediana (69,5-79,5). 
50 http://www.olaamigos
 
 
 Comecemos com a parte de cima do desenho, onde colocaremos os limites da Classe 
Mediana. Teremos: 
 
Limites da Classe: 69,5 79,5
 
 
 Na parte de baixo do desenho, colocaremos as 
crescentes associadas àqueles dois limites. Já sabemos: serão sempre a 
e a fac da própria classe mediana
 
Limites da Classe: 69,5 79,5
fac associadas: 46 72
 
 Quase lá! Qual é a posição da Mediana neste conjunto? É o resultado da fração: 50. Assim, 
associada à posição 50 teremos a Media
 
Limites da Classe: 69,5 
fac associadas: 46 50 72
 
 Uma vez que o desenho já está completo, iremos à procura de quatro valores. Faremos:
 
 
 
 
 
 
 
Limites da Classe: 69,5 
fac associadas: 46 50 72
 
 
 
 
 
 
 
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Comecemos com a parte de cima do desenho, onde colocaremos os limites da Classe 
69,5 79,5 
Na parte de baixo do desenho, colocaremos as frequências absolutas acumuladas 
crescentes associadas àqueles dois limites. Já sabemos: serão sempre a 
diana. Teremos: 
69,5 79,5 
46 72 
Quase lá! Qual é a posição da Mediana neste conjunto? É o resultado da fração: 50. Assim, 
associada à posição 50 teremos a Mediana. Nosso desenho completo é o seguinte:
69,5 Md 79,5 
46 50 72 
Uma vez que o desenho já está completo, iremos à procura de quatro valores. Faremos:
69,5 Md 79,5 
46 50 72 
26 
 
10 
4 
X 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Comecemos com a parte de cima do desenho, onde colocaremos os limites da Classe 
s absolutas acumuladas 
crescentes associadas àqueles dois limites. Já sabemos: serão sempre a fac da classe anterior 
Quase lá! Qual é a posição da Mediana neste conjunto? É o resultado da fração: 50. Assim, 
na. Nosso desenho completo é o seguinte: 
Uma vez que o desenho já está completo, iremos à procura de quatro valores. Faremos: 
51 http://www.olaamigos
 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:
 
 
 Multiplica-se cruzando, e teremos: 
 Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao 
valor do X que acabamos de calcular. Teremos:
 
 � Md=69,5+1,54 ���� Md=71,04 
 
 E aí? Fácil, não? Facílimo! E vai ficar ainda mais quando você praticar, resolvendo várias 
questões de provas recentes! 
 Convém que você repita as resoluções até que esses passos fiquem todos automatizados 
em sua mente. Na hora daprova, é só ligar o 
dificuldade alguma! 
 Mais algumas informações. Considere o seguinte conjunto:
 � {1, 2, 3} 
 A Mediana, todos concordam, é Md=2.
 Se somarmos os elementos deste conjunto com a constante 10, teremos:
 � {11, 12, 13} 
 E a nova mediana é 12. Ou seja, valeu aqui também para a Mediana a propriedade da 
soma (e da subtração)! 
 Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto original por 10, teremos:
 � {10, 20, 30} 
 A nova mediana é 20. Vale também para a Mediana a proprieda
divisão)! 
 Em suma: a Mediana também é influenciada pelas quatro operações!
 Se você trocar 3 por 300, nosso conjunto original agora será:
 � {1, 2, 300} 
 E a Mediana continuará a ser 2. Ou seja, a Mediana, assim como a Moda (e 
diferentemente da Média), não é influenciada por valores extremos!
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte:
 10 x 
 26 4 
se cruzando, e teremos: � X=(4x10)/26 ���� X=1,54 
Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao 
que acabamos de calcular. Teremos: 
Md=71,04 ���� Resposta! 
Fácil, não? Facílimo! E vai ficar ainda mais quando você praticar, resolvendo várias 
Convém que você repita as resoluções até que esses passos fiquem todos automatizados 
em sua mente. Na hora da prova, é só ligar o piloto automático e sair resolvendo a questão sem 
Mais algumas informações. Considere o seguinte conjunto: 
A Mediana, todos concordam, é Md=2. 
Se somarmos os elementos deste conjunto com a constante 10, teremos:
a nova mediana é 12. Ou seja, valeu aqui também para a Mediana a propriedade da 
Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto original por 10, teremos:
A nova mediana é 20. Vale também para a Mediana a proprieda
Em suma: a Mediana também é influenciada pelas quatro operações!
Se você trocar 3 por 300, nosso conjunto original agora será: 
E a Mediana continuará a ser 2. Ou seja, a Mediana, assim como a Moda (e 
emente da Média), não é influenciada por valores extremos! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Com esses quatro valores, formamos uma igualdade entre duas frações. A seguinte: 
Finalmente, o que falta ser feito é apenas somar o limite inferior da classe mediana ao 
Fácil, não? Facílimo! E vai ficar ainda mais quando você praticar, resolvendo várias 
Convém que você repita as resoluções até que esses passos fiquem todos automatizados 
e sair resolvendo a questão sem 
Se somarmos os elementos deste conjunto com a constante 10, teremos: 
a nova mediana é 12. Ou seja, valeu aqui também para a Mediana a propriedade da 
Se multiplicarmos todos os elementos do conjunto original por 10, teremos: 
A nova mediana é 20. Vale também para a Mediana a propriedade do produto (e da 
Em suma: a Mediana também é influenciada pelas quatro operações! 
E a Mediana continuará a ser 2. Ou seja, a Mediana, assim como a Moda (e 
52 http://www.olaamigos
 
# Medidas de Dispersão (ou de Variabilidade):
 O Edital do ICMS/RJ não especificou, no programa de Estatística, quais são as Medidas de 
Dispersão que poderão ser cobradas na prova! Disse apenas: 
Pelo histórico de provas anteriores, em casos semelhantes a este, em que
Estatística Básica e da Avançada, é praxe que tenhamos que conhecer o Desvio Padrão, a 
Variância e o Coeficiente de Variação. 
 E este conhecimento será bastante para seguirmos adiante, no estudo da Estatística 
Inferencial. Ok? Adiante! 
# Desvio Padrão: S 
 É sinônimo de Dispersão Absoluta
Essa é, de longe, a medida de dispersão mais presente em prova! E por uma razão bem 
simples: além da memorização das fórmulas
suas propriedades. Ok? Comecemos pelas fórmulas!
 Aqui novamente a transição
Aritmética!) vai nos socorrer! Você só terá o trabalho de memorizar a fórmula do Desvio Padrão 
para um rol. O restante das fórmulas (pa
você leva de graça! (Pague uma e leve três!). Teremos:
� Desvio Padrão para Rol: S
 E agora você vai lembrar: a fórmula do Desvio Padrão é a fórmula da raiz! Ok?
 E se aplicarmos aquela nossa conhecida 
Teremos: 
 1ª transição: colocando 
� Desvio Padrão para Dados Tabulados: 
 2ª transição: trocando Xi 
� Desvio Padrão para Distribuição de 
 
 Até agora, o que temos? Temos três fórmulas. Mas atenção: o Desvio Padrão é a primeira 
medida deste Curso em que haverá diferença na fórmula, caso estejamos trabalhando com um 
conjunto que represente toda a 
na fórmula do Desvio Padrão se o conjunto é a população ou se é uma amostra!
 Essas três fórmulas que vimos acima servem para o cálculo do 
Populacional. Nós as aplicaremos se o conjunto for uma população! E quando saberemos que o 
conjunto da questão é a população? Quando não for dito que é uma amostra! 
 Ou seja, a regra é a seguinte: o conjunto da questão da prova só será uma amostra se 
isso for dito pelo enunciado! Caso contrário, não será amostra: será população! Ok?
 Mas, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra ou, por outra, pedir o cálculo do 
Desvio Padrão Amostral? 
 
 
 
 
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# Medidas de Dispersão (ou de Variabilidade): 
O Edital do ICMS/RJ não especificou, no programa de Estatística, quais são as Medidas de 
Dispersão que poderão ser cobradas na prova! Disse apenas: Medidas de Variabilidade
Pelo histórico de provas anteriores, em casos semelhantes a este, em que
Estatística Básica e da Avançada, é praxe que tenhamos que conhecer o Desvio Padrão, a 
Variância e o Coeficiente de Variação. 
E este conhecimento será bastante para seguirmos adiante, no estudo da Estatística 
Dispersão Absoluta! (Guarde isso!). 
Essa é, de longe, a medida de dispersão mais presente em prova! E por uma razão bem 
lém da memorização das fórmulas, teremos sobretudo que conhecer com segurança as 
propriedades. Ok? Comecemos pelas fórmulas! 
transição (aquela que aprendemos para as fórmulas da Média 
vai nos socorrer! Você só terá o trabalho de memorizar a fórmula do Desvio Padrão 
para um rol. O restante das fórmulas (para Dados Tabulados e para Distribuição de 
você leva de graça! (Pague uma e leve três!). Teremos: 
( )
n
XXi
S ∑ −=
2
 
E agora você vai lembrar: a fórmula do Desvio Padrão é a fórmula da raiz! Ok?
quela nossa conhecida transição? Como ficarão as outras duas fórmulas? 
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: 
Desvio Padrão para Dados Tabulados: 
( )
n
XXifi
S ∑ −=
2
.
 
Xi por PM: 
Desvio Padrão para Distribuição de Frequências: 
(
n
PMfi
S ∑ −= .
Até agora, o que temos? Temos três fórmulas. Mas atenção: o Desvio Padrão é a primeira 
medida deste Curso em que haverá diferença na fórmula, caso estejamos trabalhando com um 
o que represente toda a população, ou apenas uma amostra! Entendido? Faz diferença 
na fórmula do Desvio Padrão se o conjunto é a população ou se é uma amostra!
Essas três fórmulas que vimos acima servem para o cálculo do 
. Nós as aplicaremos se o conjunto for uma população! E quando saberemos que o 
conjunto da questão é a população? Quando não for dito que é uma amostra! 
Ou seja, a regra é a seguinte: o conjunto da questão da prova só será uma amostra se 
lo enunciado! Caso contrário, não será amostra: será população! Ok?
Mas, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra ou, por outra, pedir o cálculo doProf. Sérgio Carvalho 
O Edital do ICMS/RJ não especificou, no programa de Estatística, quais são as Medidas de 
Medidas de Variabilidade. E pronto! 
Pelo histórico de provas anteriores, em casos semelhantes a este, em que há exigência da 
Estatística Básica e da Avançada, é praxe que tenhamos que conhecer o Desvio Padrão, a 
E este conhecimento será bastante para seguirmos adiante, no estudo da Estatística 
Essa é, de longe, a medida de dispersão mais presente em prova! E por uma razão bem 
, teremos sobretudo que conhecer com segurança as 
(aquela que aprendemos para as fórmulas da Média 
vai nos socorrer! Você só terá o trabalho de memorizar a fórmula do Desvio Padrão 
ra Dados Tabulados e para Distribuição de Frequências) 
E agora você vai lembrar: a fórmula do Desvio Padrão é a fórmula da raiz! Ok? 
? Como ficarão as outras duas fórmulas? 
)X− 2
 
Até agora, o que temos? Temos três fórmulas. Mas atenção: o Desvio Padrão é a primeira 
medida deste Curso em que haverá diferença na fórmula, caso estejamos trabalhando com um 
! Entendido? Faz diferença 
na fórmula do Desvio Padrão se o conjunto é a população ou se é uma amostra! 
Essas três fórmulas que vimos acima servem para o cálculo do Desvio Padrão 
. Nós as aplicaremos se o conjunto for uma população! E quando saberemos que o 
conjunto da questão é a população? Quando não for dito que é uma amostra! 
Ou seja, a regra é a seguinte: o conjunto da questão da prova só será uma amostra se 
lo enunciado! Caso contrário, não será amostra: será população! Ok? 
Mas, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra ou, por outra, pedir o cálculo do 
53 http://www.olaamigos
 
O que faremos? Ora, saberemos que 
três fórmulas vistas acima, que servem para o cálculo populacional, terão que sofrer uma 
pequena modificação, para se adequar ao cálculo amostral. Essa pequena modificação consiste 
em acrescentarmos um menos 1 
� Desvio Padrão Amostral para Rol: 
 1ª transição: colocando 
� Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: 
 2ª transição: trocando Xi 
� Desvio Padrão Amostral para Distribuição de 
 
 Mas, professor, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra, e eu esquecer de 
colocar o menos 1 no denominador da fórmula? Bem, neste caso, você errará a questão. 
Simplesmente isso! Ou seja, o 
imprescindível! Se esquecer, erra!
 Aliás, só a título de informação, esse 
Bessel. Esse nome não é importante. Pode ser esquecido sem problemas. O que não podemos 
esquecer de colocá-lo na fórmula.
 Pois bem, ainda não acabou o estudo das fórmulas!
 Se você reparar bem as equações que já dispomos, verá que em todas elas
produto notável no numerador. Repararam? É o que está no parêntese! Esse produto notável 
pode ser desenvolvido, de sorte que podemos realizar um 
fórmulas básica, até chegarmos a novas fórmulas, que nada mais s
apresentadas de outro jeito. 
 Entendido? Obviamente que irei poupar a todos do tal 
pense que na prova você teria tempo para fazê
fórmula desenvolvida do Desvio Padrão para um rol? É a seguinte:
� Fórmula Desenvolvida do S para Rol: 
 E aí? O que acharam? Ninguém se assuste, por favor! Tenho certeza que se você repetir 
esta fórmula umas dez vezes, na décima vez já estará parecendo 
 Uma pergunta: vocês acham que se tomarmos os elementos de um mesmo conjunto, e 
aplicarmos a eles as duas fórmulas do Desvio Padrão, a básica e a desenvolvida, chegaremos ao 
mesmo resultado? O que você diz?
 Claro que sim! Trata-se, na verdade, de u
duas maneiras diferentes! O resultado será necessariamente o mesmo!
 Então você dirá: se é assim, eu vou ficar apenas com a básica, que é menorzinha...
respondo: péssimo negócio! Haverá questões que serão imedi
você se lembrar da equação desenvolvida! Já veremos isso. 
 
 
 
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O que faremos? Ora, saberemos que amostral se refere a amostra
três fórmulas vistas acima, que servem para o cálculo populacional, terão que sofrer uma 
pequena modificação, para se adequar ao cálculo amostral. Essa pequena modificação consiste 
menos 1 no denominador. Assim, teremos: 
Desvio Padrão Amostral para Rol: 
( )
1
2
−
−
=
∑
n
XXi
S 
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: 
Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados: 
(
1
.
−
−
=
∑
n
XXifi
S
Xi por PM: 
Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Frequências: =S
Mas, professor, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra, e eu esquecer de 
no denominador da fórmula? Bem, neste caso, você errará a questão. 
Simplesmente isso! Ou seja, o menos um no denominador do desvio padrão amostral é 
imprescindível! Se esquecer, erra! 
Aliás, só a título de informação, esse menos um é chamado de 
. Esse nome não é importante. Pode ser esquecido sem problemas. O que não podemos 
lo na fórmula. 
Pois bem, ainda não acabou o estudo das fórmulas! 
Se você reparar bem as equações que já dispomos, verá que em todas elas
no numerador. Repararam? É o que está no parêntese! Esse produto notável 
pode ser desenvolvido, de sorte que podemos realizar um desenvolvimento algébrico
fórmulas básica, até chegarmos a novas fórmulas, que nada mais serão que as primeiras, 
Entendido? Obviamente que irei poupar a todos do tal desenvolvimento algébrico
pense que na prova você teria tempo para fazê-lo!). O que nos interessa é o resultado. Qual é a 
do Desvio Padrão para um rol? É a seguinte: 
Fórmula Desenvolvida do S para Rol: 
( )








−





= ∑ ∑
n
Xi
Xi
n
S
2
2
.
1
 
E aí? O que acharam? Ninguém se assuste, por favor! Tenho certeza que se você repetir 
esta fórmula umas dez vezes, na décima vez já estará parecendo fácil. 
Uma pergunta: vocês acham que se tomarmos os elementos de um mesmo conjunto, e 
aplicarmos a eles as duas fórmulas do Desvio Padrão, a básica e a desenvolvida, chegaremos ao 
mesmo resultado? O que você diz? 
se, na verdade, de uma mesma fórmula, apenas apresentada de 
duas maneiras diferentes! O resultado será necessariamente o mesmo! 
se é assim, eu vou ficar apenas com a básica, que é menorzinha...
respondo: péssimo negócio! Haverá questões que serão imediatamente resolvidas na prova, se 
você se lembrar da equação desenvolvida! Já veremos isso. 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
amostra, de sorte que todas as 
três fórmulas vistas acima, que servem para o cálculo populacional, terão que sofrer uma 
pequena modificação, para se adequar ao cálculo amostral. Essa pequena modificação consiste 
)2X
 
( )
1
.
2
−
−∑
n
XPMfi
 
Mas, professor, e se a questão disser que o conjunto é uma amostra, e eu esquecer de 
no denominador da fórmula? Bem, neste caso, você errará a questão. 
no denominador do desvio padrão amostral é 
é chamado de fator de correção de 
. Esse nome não é importante. Pode ser esquecido sem problemas. O que não podemos 
Se você reparar bem as equações que já dispomos, verá que em todas elas existe um 
no numerador. Repararam? É o que está no parêntese! Esse produto notável 
desenvolvimento algébrico com essas 
erão que as primeiras, 
desenvolvimento algébrico. (E nem 
lo!). O que nos interessa é o resultado. Qual é a 
 
E aí? O que acharam? Ninguém se assuste, por favor! Tenho certeza que se você repetir 
Uma pergunta: vocês acham que se tomarmos os elementos de um mesmo conjunto, e 
aplicarmos a eles as duas fórmulas do Desvio Padrão, a básica e a desenvolvida, chegaremos ao 
ma mesma fórmula, apenas apresentada de 
se é assim, eu vou ficar apenas com a básica, que é menorzinha...”E eu 
atamente resolvidas na prova, se 
54 http://www.olaamigos
 
Antes, porém, precisamos conhecer também as fórmulas desenvolvidas do desvio padrão 
para Dados Tabulados, e para Distribuição de 
 E como faremos isso? Aplicando a 
 1ª transição: colocando 
� Fórmula Desenvolvida do S para Dados Tabulados:
 
 2ª transição: trocando Xi 
� Fórmula Desenvolvida do S para Distribuição de 
S
 Quase lá! Só resta lembrar que
vimos acima servem apenas no caso de o conjunto trabalhado representar toda a populaçã
se a questão disser que o conjunto é uma amostra, ou exigir o cálculo do desvio padrão amostral, 
então precisaremos modificar também as fórmulas desenvolvidas, acrescentando aquele mesmo 
menos um no denominador. 
Teremos: 
 � Fórmula Desenvolvida do 
 1ª transição: colocando 
 
� Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dados Tabulados:
S
 
 2ª transição: trocando Xi 
 
� Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dist. de 
S
 
 E com isso, concluímos a primeira etapa do estudo do Desvio Padrão: a memorização das 
fórmulas. 
 
 
olaamigos.com.br 
Antes, porém, precisamos conhecer também as fórmulas desenvolvidas do desvio padrão 
para Dados Tabulados, e para Distribuição de Frequências! 
E como faremos isso? Aplicando a transição! Teremos: 
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: 
Fórmula Desenvolvida do S para Dados Tabulados: 
( )








−





= ∑ ∑
n
Xifi
Xifi
n
S
2
2 .
..
1
 
Xi por PM: 
Fórmula Desenvolvida do S para Distribuição de Frequências: 
( )








−





= ∑ ∑
n
PMfi
PMfi
n
S
2
2 .
..
1
 
Quase lá! Só resta lembrar que essas três fórmulas desenvolvidas do desvio padrão que 
vimos acima servem apenas no caso de o conjunto trabalhado representar toda a populaçã
se a questão disser que o conjunto é uma amostra, ou exigir o cálculo do desvio padrão amostral, 
então precisaremos modificar também as fórmulas desenvolvidas, acrescentando aquele mesmo 
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral de um Rol: 
( )








−





−
= ∑ ∑
n
Xi
Xi
n
S
2
2
.
1
1
 
1ª transição: colocando fi junto ao sinal de somatório: 
Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dados Tabulados:
( )








−





−
= ∑ ∑
n
Xifi
Xifi
n
S
2
2 .
..
1
1
 
Xi por PM: 
Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dist. de Frequência
( )








−





−
= ∑ ∑
n
PMfi
PMfi
n
2
2 .
..
1
1
 
E com isso, concluímos a primeira etapa do estudo do Desvio Padrão: a memorização das 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Antes, porém, precisamos conhecer também as fórmulas desenvolvidas do desvio padrão 
essas três fórmulas desenvolvidas do desvio padrão que 
vimos acima servem apenas no caso de o conjunto trabalhado representar toda a população! Mas 
se a questão disser que o conjunto é uma amostra, ou exigir o cálculo do desvio padrão amostral, 
então precisaremos modificar também as fórmulas desenvolvidas, acrescentando aquele mesmo 
Desvio Padrão Amostral de um Rol: 
Fórmula Desenvolvida do S Amostral para Dados Tabulados: 
Frequências: 
E com isso, concluímos a primeira etapa do estudo do Desvio Padrão: a memorização das 
55 http://www.olaamigos
 
 A rigor, se você prestar bem atenção, são doze fórmulas. 
e levou todas as outras para casa! Como foi isso? Bastou você memorizar a fórmula básica para o 
rol, e a fórmula desenvolvida para o rol. Daí, aplica
disser que o conjunto é amostra, você va
 Para estas fórmulas ficarem bem memorizadas, vou repeti
Teremos: 
# Fórmulas do Desvio Padrão: S
 
� Fórmula Básica do Desvio Padrão 
 Esta acima é a primeira que você terá realmente que memorizar!
� Fórmula Básica do Desvio Padrão 
� Fórmula Básica do Desvio Padrão 
� Fórmula Básica do Desvio Padrão 
 
� Fórmula Básica do Desvio Padrão 
 
� Fórmula Básica do Desvio Padrão 
 
� Fórmula Desenvolvida do 
 Esta acima é a segunda que você terá realmente que memorizar!
 
 
olaamigos.com.br 
A rigor, se você prestar bem atenção, são doze fórmulas. Mas você 
e levou todas as outras para casa! Como foi isso? Bastou você memorizar a fórmula básica para o 
rol, e a fórmula desenvolvida para o rol. Daí, aplica-se a transição, e pronto! E mais: se a questão 
disser que o conjunto é amostra, você vai e põe um menos 1 no denominador! 
Para estas fórmulas ficarem bem memorizadas, vou repeti-las todas na seqüência. 
# Fórmulas do Desvio Padrão: S 
Desvio Padrão Populacional para Rol: 
( )
n
XXi
S ∑ −=
2
 
primeira que você terá realmente que memorizar! 
Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados:
( )
n
XXifi
S ∑ −=
2
.
 
Fórmula Básica do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de 
( )
n
XPMfi
S ∑ −=
2
.
 
Desvio Padrão Amostral para Rol: 
( )
1
2
−
−
=
∑
n
XXi
S 
Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados:
( )
1
.
2
−
−
=
∑
n
XXifi
S 
Fórmula Básica do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de 
( )
1
.
2
−
−
=
∑
n
XPMfi
S 
 Desvio Padrão Populacional para Rol: 
( )








−





= ∑ ∑
n
Xi
Xi
n
S
2
2
.
1
 
Esta acima é a segunda que você terá realmente que memorizar! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Mas você pagou apenas duas, 
e levou todas as outras para casa! Como foi isso? Bastou você memorizar a fórmula básica para o 
, e pronto! E mais: se a questão 
no denominador! 
las todas na seqüência. 
para Dados Tabulados: 
para Distribuição de Frequências: 
para Dados Tabulados: 
para Distribuição de Frequências: 
 
56 http://www.olaamigos
 
� Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados:
� Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de 
Frequências: 
S
 
� Fórmula Desenvolvida do 
 
� Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Dados
S
 
� Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de 
S
 
IMPORTANTE: Reparem nestas últimas três fórmulas, que o 
entra no denominador que fica dentro do parêntese! Ok?
 Temos doze fórmulas no papel. E você só precisou memorizar duas delas! As demais 
saíram por transição! 
 
# Propriedades do Desvio Padrão:
 ���� O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração.
 Assim, se uma questão de prova nos der o seguinte rol: 
pedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer?
 Ora, as contas seriam muito grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensar 
assim: já que soma e subtração não a
desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem, por exemplo. E 
chegaremos a um novo conjunto, que é o seguinte: 
 São valores mais baixos? Sim, consid
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio 
Padrão daquele outro conjunto original! O mesmo!olaamigos.com.br 
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados:
( )








−





= ∑ ∑
n
Xifi
Xifi
n
S
2
2 .
..
1
 
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de 
( )








−





= ∑ ∑
n
PMfi
PMfi
n
S
2
2 .
..
1
 
 Desvio Padrão Amostral para Rol: 
( )








−





−
= ∑ ∑
n
Xi
Xi
n
S
2
2
.
1
1
 
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Dados Tabulados:
( )








−





−
= ∑ ∑
n
Xifi
Xifi
n
S
2
2 .
..
1
1
 
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de 
( )








−





−
= ∑ ∑
n
PMfi
PMfi
n
2
2 .
..
1
1
 
Reparem nestas últimas três fórmulas, que o fator de correção 
fica dentro do parêntese! Ok? 
Temos doze fórmulas no papel. E você só precisou memorizar duas delas! As demais 
# Propriedades do Desvio Padrão: 
O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração.
a questão de prova nos der o seguinte rol: (101, 102, 103, 104, 105)
pedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer? 
Ora, as contas seriam muito grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensar 
assim: já que soma e subtração não alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os elementos 
desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem, por exemplo. E 
chegaremos a um novo conjunto, que é o seguinte: (1, 2, 3, 4, 5). 
São valores mais baixos? Sim, consideravelmente! E se encontrarmos para este novo 
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio 
Padrão daquele outro conjunto original! O mesmo! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Dados Tabulados: 
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Populacional para Distribuição de 
Tabulados: 
Fórmula Desenvolvida do Desvio Padrão Amostral para Distribuição de Frequências: 
fator de correção (o menos 1) só 
Temos doze fórmulas no papel. E você só precisou memorizar duas delas! As demais 
O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração. 
(101, 102, 103, 104, 105), e 
Ora, as contas seriam muito grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensar 
lteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os elementos 
desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem, por exemplo. E 
eravelmente! E se encontrarmos para este novo 
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio 
57 http://www.olaamigos
 
 ���� O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto 
multiplicaremos ou dividiremos pela própria constante.
 Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original 
(por exemplo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por 
uma constante (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo 
novo desvio padrão será o S do conjunto original também multiplicado por 5.
 Entendido isso? 
 Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esse 
conhecimento. São questões que nos falam em 
 
Exemplo: Considere a seguinte transformação: 
transformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X?
Sol.: Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, de 
imediato, fazer o desenho de transformação
deixará você errar a questão de jeito nenhum! 
Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformação 
é a seguinte: Y=(X-2)/3. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos:
 
 
 
 
 
 Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos a 
variável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!): 
subtraímos todo mundo por 2, e depois 
 E se agora resolvermos desenhar o 
voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho de ida. Só 
isso! Nada mais fácil. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observem todos que se
em cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto! 
Não dá mais para errar essa questão!
 O dado fornecido pelo enunciado foi que o Desvio Padrão da variável
a 4. Quem é a variável transformada? É o 
 
 
 
 
olaamigos.com.br 
O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto 
multiplicaremos ou dividiremos pela própria constante. 
Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original 
(por exemplo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por 
nte (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo 
do conjunto original também multiplicado por 5.
Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esse 
conhecimento. São questões que nos falam em variável transformada! Passemos a um exemplo.
Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Se o desvio padrão da variável 
formada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X?
Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, de 
desenho de transformação. Esse desenho é simples, é rápido de ser feito, e não 
deixará você errar a questão de jeito nenhum! 
Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformação 
. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos:
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi 
Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos a 
variável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!): 
subtraímos todo mundo por 2, e depois dividimos todo mundo por 3. 
E se agora resolvermos desenhar o caminho de volta, ou seja, as operações que nos farão 
voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho de ida. Só 
 
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi 
 2º)+2 1º)x3 
se inverteu também a seqüência das operações: onde terminou lá 
em cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto! 
Não dá mais para errar essa questão! 
O dado fornecido pelo enunciado foi que o Desvio Padrão da variável
a 4. Quem é a variável transformada? É o Y. Assim, do lado do Y, teremos que:
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto ou divisão: 
Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original 
(por exemplo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por 
nte (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo 
do conjunto original também multiplicadopor 5. 
Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esse 
! Passemos a um exemplo. 
. Se o desvio padrão da variável 
formada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X? 
Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, de 
. Esse desenho é simples, é rápido de ser feito, e não 
Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformação 
. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos: 
Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos a 
variável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!): 
, ou seja, as operações que nos farão 
voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho de ida. Só 
inverteu também a seqüência das operações: onde terminou lá 
em cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto! 
O dado fornecido pelo enunciado foi que o Desvio Padrão da variável transformada é igual 
. Assim, do lado do Y, teremos que: 
58 http://www.olaamigos
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mas o Sy não me interessa! Interessa
lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações do 
caminho adequado (de cima ou de baixo), lembrando
 Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminho de 
volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio pa
não é alterado por soma e subtração!). Teremos:
 � 4 x 3 = 12 
 Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? O 
que vocês me dizem? Não! E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração) 
não alteram o desvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que:
 � Sx=12,00 
 Entendido? 
 Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabem 
todas numa única frase. Ninguém lembra? 
 Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável que vimos 
acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a 
calculemos a média da variável original (
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ora, simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo), 
lembrando-nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando.
 Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecer 
neste caminho de volta nós teremos que realizar. Assim, teremos que:
 � 8 x 3 = 24 e 24 +2 =26 
 Ou seja: X =26,0 
 
 
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 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi Sy=4,0
 2º)+2 1º)x3 
Mas o Sy não me interessa! Interessa-me o Sx. Assim, partindo do Desvio Padrão de um 
lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações do 
inho adequado (de cima ou de baixo), lembrando-me das propriedades do Desvio Padrão!
Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminho de 
volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio pa
não é alterado por soma e subtração!). Teremos: 
Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? O 
E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração) 
esvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que:
Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabem 
todas numa única frase. Ninguém lembra? A Média é influenciada pelas quatro operaçõ
Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável que vimos 
acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a 
calculemos a média da variável original ( X )? Vejamos: 
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi Y =8,0
 2º)+2 1º)x3 
simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo), 
nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando.
Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecer 
aminho de volta nós teremos que realizar. Assim, teremos que: 
24 +2 =26 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Sy=4,0 
me o Sx. Assim, partindo do Desvio Padrão de um 
lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações do 
me das propriedades do Desvio Padrão! 
Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminho de 
volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio padrão só 
Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? O 
E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração) 
esvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que: 
Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabem 
A Média é influenciada pelas quatro operações! 
Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável que vimos 
acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a Y =8,0, e pedir que 
=8,0 
simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo), 
nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando. 
Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecer 
59 http://www.olaamigos
 
# Variância: S2 
 Neste momento, vou aproveitar a ótima oportunidade, e dizer a todos que a próxima 
medida de dispersão que iremos estudar será a chamada Variância.
 Precisamos saber, precisamente agora, que a Variância é, conceitualmente, o quadrado do 
Desvio Padrão! 
 Ou seja: Variância = (Desvio Padrão)
 Ou seja de novo: Variância = S
 Ora, sabendo disso, e sabendo também 
quadrada, se as elevarmos ao quadrado, o que ocorrerá com todas elas? Perderão o sinal da raiz. 
Só isso! 
 Em suma: se eu conheço as fórmulas do Desvio Padrão, então também conheço as 
fórmulas da Variância: basta tirar o sinal da raiz! Assim, teremos:
# Fórmulas da Variância: 
 
� Fórmula Básica da Variância Populacional para Rol: 
� Fórmula Básica da Variância Populacional para Dados Tabulados:
� Fórmula Básica da Variância Populacional para Distribuição de 
� Fórmula Básica da Variância Amostral para Rol: 
� Fórmula Básica da Variância Amostral para Dados Tabulados:
� Fórmula Básica da Variância Amostral para Distribuição de 
� Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Rol: 
 
 
 
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Neste momento, vou aproveitar a ótima oportunidade, e dizer a todos que a próxima 
iremos estudar será a chamada Variância. 
Precisamos saber, precisamente agora, que a Variância é, conceitualmente, o quadrado do 
Ou seja: Variância = (Desvio Padrão)2 
Variância = S2 
Ora, sabendo disso, e sabendo também que todas as fórmulas do desvio padrão têm raiz 
quadrada, se as elevarmos ao quadrado, o que ocorrerá com todas elas? Perderão o sinal da raiz. 
Em suma: se eu conheço as fórmulas do Desvio Padrão,então também conheço as 
sta tirar o sinal da raiz! Assim, teremos: 
Fórmula Básica da Variância Populacional para Rol: 
( )
n
XXi
S ∑ −=
2
2 
Fórmula Básica da Variância Populacional para Dados Tabulados:
( )
n
XXifi
S ∑ −=
2
2 . 
Fórmula Básica da Variância Populacional para Distribuição de Frequência
( )
n
XPMfi
S ∑ −=
2
2 . 
Fórmula Básica da Variância Amostral para Rol: 
( )
1
2
2
−
−
=
∑
n
XXi
S 
Fórmula Básica da Variância Amostral para Dados Tabulados: 
( )
1
.
2
2
−
−
=
∑
n
XXifi
S 
Fórmula Básica da Variância Amostral para Distribuição de Frequência
( )
1
.
2
2
−
−
=
∑
n
XPMfi
S 
Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Rol: 
( )








−





= ∑ ∑
n
Xifi
Xifi
n
S
2
22 .
..
1
 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Neste momento, vou aproveitar a ótima oportunidade, e dizer a todos que a próxima 
Precisamos saber, precisamente agora, que a Variância é, conceitualmente, o quadrado do 
que todas as fórmulas do desvio padrão têm raiz 
quadrada, se as elevarmos ao quadrado, o que ocorrerá com todas elas? Perderão o sinal da raiz. 
Em suma: se eu conheço as fórmulas do Desvio Padrão, então também conheço as 
Fórmula Básica da Variância Populacional para Dados Tabulados: 
Frequências: 
Frequências: 
60 http://www.olaamigos
 
� Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Dados Tabulados:
 
� Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Distribuição de 
� Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Rol: 
 
� Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral 
� Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Distribuição de 
S
 
 Vejam que negócio da China nós fizemos: memorizamos duas fórmulas (as duas do rol), e 
levamos vinte e quatro para casa! Pague duas, e leve vinte e quatro! Excelente, não acham?
 Basta você lembrar de fazer a transição, e lembrar de pôr o 
o conjunto for uma amostra! 
 Pois bem! Ainda não acabamos o estudo do Desvio Padrão. Eu apenas 
para aproveitar as suas fórmulas que estavam no papel, para mostrar que bastava tirar o sinal da 
raiz, e já estaremos com as fórmulas da Variância.
 Voltemos agora ao estudo das Propriedades do Desvio Padrão.
 
# Propriedades do Desvio Pa
 ���� O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração.
 Assim, se uma questão de prova nos der o seguinte rol: 
pedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer?
 Ora, as contas seriam muito
assim: já que soma e subtração não alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os elementos 
desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem, por exemplo. E 
chegaremos a um novo conjunto, que é o seguinte: 
 São valores mais baixos? Sim, consideravelmente! E se encontrarmos para este novo 
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio 
Padrão daquele outro conjunto original! O mesmo! 
 
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Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Dados Tabulados:
( )








−





= ∑ ∑
n
Xifi
Xifi
n
S
2
22 .
..
1
 
Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Distribuição de 
( )








−





= ∑ ∑
n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 .
..
1
 
Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Rol: 
( )








−





−
= ∑ ∑
n
Xi
Xi
n
S
2
22
.
1
1
 
Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Dados Tabulados:
( )








−





−
= ∑ ∑
n
Xifi
Xifi
n
S
2
22 .
..
1
1
 
Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Distribuição de 
( )








−





−
= ∑ ∑
n
PMfi
PMfi
n
S
2
22 .
..
1
1
 
Vejam que negócio da China nós fizemos: memorizamos duas fórmulas (as duas do rol), e 
o para casa! Pague duas, e leve vinte e quatro! Excelente, não acham?
Basta você lembrar de fazer a transição, e lembrar de pôr o menos 1
Pois bem! Ainda não acabamos o estudo do Desvio Padrão. Eu apenas 
para aproveitar as suas fórmulas que estavam no papel, para mostrar que bastava tirar o sinal da 
raiz, e já estaremos com as fórmulas da Variância. 
agora ao estudo das Propriedades do Desvio Padrão. 
# Propriedades do Desvio Padrão: 
O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração.
Assim, se uma questão de prova nos der o seguinte rol: (101, 102, 103, 104, 105)
pedir que calculemos o seu desvio padrão, o que podemos fazer? 
Ora, as contas seriam muito grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensar 
assim: já que soma e subtração não alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os elementos 
desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem, por exemplo. E 
a um novo conjunto, que é o seguinte: (1, 2, 3, 4, 5). 
São valores mais baixos? Sim, consideravelmente! E se encontrarmos para este novo 
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio 
unto original! O mesmo! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Dados Tabulados: 
Fórmula Desenvolvida da Variância Populacional para Distribuição de Frequências: 
para Dados Tabulados: 
Fórmula Desenvolvida da Variância Amostral para Distribuição de Frequências: 
Vejam que negócio da China nós fizemos: memorizamos duas fórmulas (as duas do rol), e 
o para casa! Pague duas, e leve vinte e quatro! Excelente, não acham? 
menos 1 no denominador, se 
Pois bem! Ainda não acabamos o estudo do Desvio Padrão. Eu apenas abri um parêntese, 
para aproveitar as suas fórmulas que estavam no papel, para mostrar que bastava tirar o sinal da 
O desvio padrão não é influenciado por operações de soma ou subtração. 
(101, 102, 103, 104, 105), e 
grandes para chegarmos à resposta! Mas você pode pensar 
assim: já que soma e subtração não alteram o desvio padrão, eu posso pegar todos os elementos 
desse conjunto original, e subtrair cada um deles de uma mesma constante. Cem, por exemplo. E 
São valores mais baixos? Sim, consideravelmente! E se encontrarmos para este novo 
conjunto o valor do Desvio Padrão, esse resultado encontrado será exatamente o mesmo Desvio 
61 http://www.olaamigos
 
 ���� O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto ou divisão: 
multiplicaremos ou dividiremos pela própria constante.
 Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original 
(por exemplo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por 
uma constante (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo 
novo desvio padrão será o S do conjunto original também multiplicado por 5.
 Entendido isso? 
 Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esse 
conhecimento. São questões que nos falam em 
 
Exemplo: Considere a seguinte transformação: 
transformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X?
Sol.: Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, de 
imediato, fazer o desenho de transformação
deixará vocêerrar a questão de jeito nenhum! 
Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformação 
é a seguinte: Y=(X-2)/3. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos:
 
 
 
 
 
 Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos a 
variável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!): 
subtraímos todo mundo por 2, e depois dividimos todo mundo por 3.
 E se agora resolvermos desenhar o 
voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho de ida. Só 
isso! Nada mais fácil. Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Observem todos que inverteu
em cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto! 
Não dá mais para errar essa questão!
 O dado fornecido pelo enunciado foi que o Des
a 4. Quem é a variável transformada? É o 
 
 
 
 
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O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto ou divisão: 
multiplicaremos ou dividiremos pela própria constante. 
Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original 
lo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por 
uma constante (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo 
do conjunto original também multiplicado por 5.
Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esse 
conhecimento. São questões que nos falam em variável transformada! Passemos a um exemplo.
Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Se o desvio padrão da 
transformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X?
Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, de 
desenho de transformação. Esse desenho é simples, é rápido de ser
deixará você errar a questão de jeito nenhum! 
Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformação 
. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos:
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi 
Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos a 
variável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!): 
2, e depois dividimos todo mundo por 3. 
E se agora resolvermos desenhar o caminho de volta, ou seja, as operações que nos farão 
voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho de ida. Só 
 
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi 
 2º)+2 1º)x3 
Observem todos que inverteu-se também a seqüências das operações: onde terminou lá 
em cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto! 
Não dá mais para errar essa questão! 
O dado fornecido pelo enunciado foi que o Desvio Padrão da variável transformada é igual 
a 4. Quem é a variável transformada? É o Y. Assim, do lado do Y, teremos que:
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
O desvio padrão somente é influenciado por operações de produto ou divisão: 
Significa o quê? Significa que se conhecermos o desvio padrão de um conjunto original 
lo, S=2), e se todos os elementos desse conjunto original forem multiplicados por 
uma constante (por exemplo, multiplicados por 5), então chegaremos a um novo conjunto, cujo 
do conjunto original também multiplicado por 5. 
Muitas questões de provas recentes elaboradas pela Esaf têm explorado esse 
! Passemos a um exemplo. 
. Se o desvio padrão da variável 
transformada é igual a 4, qual será o desvio padrão da variável original X? 
Sempre que o enunciado nos fornecer uma transformação da variável, já podemos, de 
. Esse desenho é simples, é rápido de ser feito, e não 
Podemos chamar a variável transformada de Y, por exemplo. Assim, nossa transformação 
. Fazendo a parte de cima do desenho, teremos: 
Todos entenderam como se fez esse caminho de ida do desenho acima? Tomamos a 
variável original X e, com ela, realizamos duas operações (aquelas da transformação!): 
, ou seja, as operações que nos farão 
voltar à variável original. O que faremos? Fácil: inverteremos as operações do caminho de ida. Só 
se também a seqüências das operações: onde terminou lá 
em cima, começou aqui embaixo; e onde começou lá em cima, acabou cá em baixo. Ok? Pronto! 
vio Padrão da variável transformada é igual 
. Assim, do lado do Y, teremos que: 
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 Mas o Sy não me interessa! Interessa
lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações do 
caminho adequado (de cima ou de baixo), lembrando
 Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminho de 
volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio pa
não é alterado por soma e subtração!). Teremos:
 � 4 x 3 = 12 
 Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? O 
que vocês me dizem? Não! E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração) 
não alteram o desvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que:
 � Sx=12,00 
 Entendido? 
 Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabem 
todas numa única frase. Ninguém lembra? 
 Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável que vimos 
acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a 
calculemos a média da variável original (
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ora, simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo), 
lembrando-nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando.
 Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecer 
neste caminho de volta nós teremos que realizar. Assim, teremos que:
 � 8 x 3 = 24 e 24 +2 =26 
 Ou seja: X =26,0 
 Pois bem! Só falta misturar tudo agora com as propriedades da Variância. Vejamos quais 
são elas: 
 
 
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 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi Sy=4,0
 2º)+2 1º)x3 
Mas o Sy não me interessa! Interessa-me o Sx. Assim, partindo do Desvio Padrão de um 
lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações do 
inho adequado (de cima ou de baixo), lembrando-me das propriedades do Desvio Padrão!
Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminho de 
volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio pa
não é alterado por soma e subtração!). Teremos: 
Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? O 
E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração) 
esvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que:
Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não?Elas cabem 
todas numa única frase. Ninguém lembra? A Média é influenciada pelas quatro operaçõ
Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável que vimos 
acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a 
calculemos a média da variável original ( X )? Vejamos: 
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi Y =8,0
 2º)+2 1º)x3 
simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo), 
nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando.
Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecer 
minho de volta nós teremos que realizar. Assim, teremos que: 
24 +2 =26 
Pois bem! Só falta misturar tudo agora com as propriedades da Variância. Vejamos quais 
 
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Sy=4,0 
me o Sx. Assim, partindo do Desvio Padrão de um 
lado, chegarei ao Desvio Padrão do outro! Para tanto, precisarei percorrer as operações do 
me das propriedades do Desvio Padrão! 
Façamos isso: estamos partindo com Sy=4. A primeira operação que surge no caminho de 
volta (de baixo) é um produto! Você vai fazer esse produto? Claro que sim! (Desvio padrão só 
Por enquanto, temos S=12. Na seqüência, surge uma soma (+2). Faremos essa soma? O 
E por que não faremos? Porque operações de soma (ou subtração) 
esvio padrão. Passaremos direto pela soma, e teremos, enfim, que: 
Alguém se lembra de como são as propriedades da Média Aritmética? Não? Elas cabem 
A Média é influenciada pelas quatro operações! 
Assim, se a questão nos falasse sobre aquela mesma transformação da variável que vimos 
acima, e dissesse ainda que a média da variável transformada é igual a Y =8,0, e pedir que 
=8,0 
simplesmente percorreremos as operações do caminho de volta (caminho de baixo), 
nos das propriedades da Média, já que é com ela que estamos trabalhando. 
Se a Média é influenciada pelas quatro operações, então qualquer conta que aparecer 
Pois bem! Só falta misturar tudo agora com as propriedades da Variância. Vejamos quais 
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# Propriedades da Variância:
 
 ���� A Variância não é influenciada por operações de soma ou subtração.
 Mesmo entendimento que tivemos para o desvio padrão!
 
 ���� A Variância somente é influenciada por operações de produto ou divisão: 
multiplicaremos ou dividiremos 
 
 Ou seja, se a variância de um conjunto original é 2, e nós multiplicarmos todos os seus 
elementos por uma constante (3, por exemplo), qual será a nova variância? A nova variância será 
igual à anterior, agora multiplicada pelo quadrado da constante, o
quadrado de 3, ou seja, multiplicada por 9.
 Vejamos o exemplo abaixo:
Exemplo: Considere a seguinte transformação: 
transformada é igual a 5, qual será o desvio padrão da variável original X?
Sol.: Também em questões de variância poderemos trabalhar com a tal da variável 
transformada. Todos viram que há uma transformação bem aí, no enunciado? Ótimo! Podemos 
fazer, de pronto, o desenho de transformação. 
Teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Mas o que nos disse o enunciado? Que a variância do lado do Y é igual a 
teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 E o que faremos agora? Percorreremos 
lembrando-nos das propriedades da variância, já que agora é com ela que estamos trabalhando! 
Teremos: 
 Logo de cara surgiu um produto! Você multiplica? Sim. Mas multiplica por 3 ou pelo 
quadrado de 3? Pelo quadrado! Pois é exatamente o que reza a propriedade do produto (ou 
divisão)! 
 
 
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# Propriedades da Variância: 
A Variância não é influenciada por operações de soma ou subtração.
Mesmo entendimento que tivemos para o desvio padrão! 
A Variância somente é influenciada por operações de produto ou divisão: 
multiplicaremos ou dividiremos pelo quadrado da constante. 
Ou seja, se a variância de um conjunto original é 2, e nós multiplicarmos todos os seus 
elementos por uma constante (3, por exemplo), qual será a nova variância? A nova variância será 
igual à anterior, agora multiplicada pelo quadrado da constante, ou seja, multiplicada pelo 
quadrado de 3, ou seja, multiplicada por 9. 
Vejamos o exemplo abaixo: 
Considere a seguinte transformação: (X-2)/3. Se a variância da variável 
transformada é igual a 5, qual será o desvio padrão da variável original X?
Também em questões de variância poderemos trabalhar com a tal da variável 
transformada. Todos viram que há uma transformação bem aí, no enunciado? Ótimo! Podemos 
fazer, de pronto, o desenho de transformação. 
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi 
 2º)+2 1º)x3 
Mas o que nos disse o enunciado? Que a variância do lado do Y é igual a 
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi S2y=5,0
 2º)+2 1º)x3 
E o que faremos agora? Percorreremos as operações do caminho de volta (em vermelho), 
nos das propriedades da variância, já que agora é com ela que estamos trabalhando! 
Logo de cara surgiu um produto! Você multiplica? Sim. Mas multiplica por 3 ou pelo 
adrado! Pois é exatamente o que reza a propriedade do produto (ou 
 
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A Variância não é influenciada por operações de soma ou subtração. 
A Variância somente é influenciada por operações de produto ou divisão: 
Ou seja, se a variância de um conjunto original é 2, e nós multiplicarmos todos os seus 
elementos por uma constante (3, por exemplo), qual será a nova variância? A nova variância será 
u seja, multiplicada pelo 
. Se a variância da variável 
transformada é igual a 5, qual será o desvio padrão da variável original X? 
Também em questões de variância poderemos trabalhar com a tal da variável 
transformada. Todos viram que há uma transformação bem aí, no enunciado? Ótimo! Podemos 
Mas o que nos disse o enunciado? Que a variância do lado do Y é igual a 5. Assim, 
y=5,0 
as operações do caminho de volta (em vermelho), 
nos das propriedades da variância, já que agora é com ela que estamos trabalhando! 
Logo de cara surgiu um produto! Você multiplica? Sim. Mas multiplica por 3 ou pelo 
adrado! Pois é exatamente o que reza a propriedade do produto (ou 
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 Assim, teremos: 
 � 5 x (3)2 = 5 x 9 = 45
 Na seqüência surge uma soma (+2). Você vai somar? Claro que não, uma vez que soma 
não altera a variância! OK? 
 Para matarmos várias questões de provas recentes, resta
medida de dispersão: o coeficiente de variação. Vamos lá!
 
# Coeficiente de Variação: CV
 O CV é também conhecido por 
Conceitualmente, teremos que:
 Estão lembrados que o desvio padrão também se chama dispersão absoluta?
 Pois bem! O CV é dito 
absoluta (o desvio padrão) em relação a alguém. E esse alguém é a Média Aritmética! Ok?
 Precisamos saber ainda que o CV é uma medida 
unidade da variável trabalhada! 
 Essa informação já caiu muitas vezes, em questões teóricas deprovas mais antigas! 
 Mas o que significa isso? Ora, considere que estamos com um con
pesos de um grupo de crianças. Ok? Assim, nossa variável é peso, e é medida na unidade 
Assim, se calcularmos a Média, será um valor em kg. Se calcularmos o desvio padrão, será um 
valor em Kg. Finalmente, colocando Desvio Pad
corta com Kg. 
 Conclusão: o CV é adimensional. (Isso não cai mais em prova há um bom tempo...)
 Finalmente, vejamos o seguinte exemplo:
Exemplo: Considere a seguinte transformação: 
transformada Y, a média é igual a 8,0 e o desvio padrão é igual a 4,0, calcule o coeficiente de 
variação da variável original X. 
Sol.: Esta é, talvez, a mais típica das questões de uma prova de estatística básica! Cai o tempo 
todo em prova! Ora, o enunciado apresentou uma transformação da variável? O que você diz? 
Sim! Daí, nosso primeiro passo será desenhar essa transformação. Teremos:
 
 
 
 
 
 
 
 
 O que foi mais que a questão nos disse? Disse
dois valores já conhecidos: a média (igual a 8) e o desvio padrão (igual a 4). Ter
 
 
 
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= 5 x 9 = 45 
Na seqüência surge uma soma (+2). Você vai somar? Claro que não, uma vez que soma 
questões de provas recentes, resta-nos ainda conhecer a próxima 
medida de dispersão: o coeficiente de variação. Vamos lá! 
# Coeficiente de Variação: CV 
O CV é também conhecido por dispersão relativa! 
Conceitualmente, teremos que: 
X
SCV = 
Estão lembrados que o desvio padrão também se chama dispersão absoluta?
é dito dispersão relativa, exatamente porque ele é igual à dispersão 
absoluta (o desvio padrão) em relação a alguém. E esse alguém é a Média Aritmética! Ok?
s saber ainda que o CV é uma medida adimensional, ou seja, não depende da 
unidade da variável trabalhada! 
Essa informação já caiu muitas vezes, em questões teóricas de provas mais antigas! 
Mas o que significa isso? Ora, considere que estamos com um con
pesos de um grupo de crianças. Ok? Assim, nossa variável é peso, e é medida na unidade 
Assim, se calcularmos a Média, será um valor em kg. Se calcularmos o desvio padrão, será um 
valor em Kg. Finalmente, colocando Desvio Padrão e Média na fórmula do CV, teremos que Kg 
Conclusão: o CV é adimensional. (Isso não cai mais em prova há um bom tempo...)
Finalmente, vejamos o seguinte exemplo: 
Considere a seguinte transformação: Y=(X-2)/3. Sabendo que, para 
, a média é igual a 8,0 e o desvio padrão é igual a 4,0, calcule o coeficiente de 
variação da variável original X. 
Esta é, talvez, a mais típica das questões de uma prova de estatística básica! Cai o tempo 
Ora, o enunciado apresentou uma transformação da variável? O que você diz? 
Sim! Daí, nosso primeiro passo será desenhar essa transformação. Teremos:
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi 
 2º)+2 1º)x3 
O que foi mais que a questão nos disse? Disse-nos que a variável transformada Y possui 
dois valores já conhecidos: a média (igual a 8) e o desvio padrão (igual a 4). Ter
 
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Na seqüência surge uma soma (+2). Você vai somar? Claro que não, uma vez que soma 
nos ainda conhecer a próxima 
Estão lembrados que o desvio padrão também se chama dispersão absoluta? 
, exatamente porque ele é igual à dispersão 
absoluta (o desvio padrão) em relação a alguém. E esse alguém é a Média Aritmética! Ok? 
, ou seja, não depende da 
Essa informação já caiu muitas vezes, em questões teóricas de provas mais antigas! 
Mas o que significa isso? Ora, considere que estamos com um conjunto que representa os 
pesos de um grupo de crianças. Ok? Assim, nossa variável é peso, e é medida na unidade quilos. 
Assim, se calcularmos a Média, será um valor em kg. Se calcularmos o desvio padrão, será um 
rão e Média na fórmula do CV, teremos que Kg 
Conclusão: o CV é adimensional. (Isso não cai mais em prova há um bom tempo...) 
. Sabendo que, para a variável 
, a média é igual a 8,0 e o desvio padrão é igual a 4,0, calcule o coeficiente de 
Esta é, talvez, a mais típica das questões de uma prova de estatística básica! Cai o tempo 
Ora, o enunciado apresentou uma transformação da variável? O que você diz? 
Sim! Daí, nosso primeiro passo será desenhar essa transformação. Teremos: 
nos que a variável transformada Y possui 
dois valores já conhecidos: a média (igual a 8) e o desvio padrão (igual a 4). Teremos: 
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 E a questão pede o cálculo do CV do lado da variável X. 
 Ora, sabemos que CV=desvio padrão/média
 Mas não conhecemos nem o desvio padrão e nem a média, do lado do X. Mas os 
conhecemos a ambos do lado do Y. Assim, tomaremos as duas medidas, 
transportaremos para o lado do X.
 Como faremos isso? Percorrendo as operações do caminho de volta, e recordando as 
propriedades da média e do desvio padrão. Já fizemos isso agora há pouco. Teremos:
 � Média: 8x3=24 e 24+2=26
 � Desvio Padrão: 4x3=12 
 Assim, teremos que: 
 
 
 
 CVx=12/26=0,461 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi Y =8,0 
 2º)+2 1º)x3 
E a questão pede o cálculo do CV do lado da variável X. 
CV=desvio padrão/média. 
Mas não conhecemos nem o desvio padrão e nem a média, do lado do X. Mas os 
conhecemos a ambos do lado do Y. Assim, tomaremos as duas medidas, 
para o lado do X. 
Como faremos isso? Percorrendo as operações do caminho de volta, e recordando as 
propriedades da média e do desvio padrão. Já fizemos isso agora há pouco. Teremos:
24+2=26 
4x3=12 e só! 
 1º)-2 2º)÷3 
 Xi Yi Y =8,0 
 2º)+2 1º)x3 
 
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=8,0 e Sy=4,0 
Mas não conhecemos nem o desvio padrão e nem a média, do lado do X. Mas os 
conhecemos a ambos do lado do Y. Assim, tomaremos as duas medidas, uma por vez, e as 
Como faremos isso? Percorrendo as operações do caminho de volta, e recordando as 
propriedades da média e do desvio padrão. Já fizemos isso agora há pouco. Teremos: 
=8,0 e Sy=4,0 
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# Probabilidade: 
Pelo exame das últimas questões de concurso (sobretudo da Esaf), percebemos que há sete 
tópicos relacionados à Probabilidade, os quais, se bem compreendidos, serão a chave para 
acertarmos qualquer questão de prova. Senão, vejamos!
 Esses referidos tópicos são os seguintes:
 ���� Conceito de probabilidade;
 ���� Árvore de probabilidades;
���� Situações excludentes;
 ���� “Caminho de probabilidades”
 ���� Eventos independentes;
 ���� Probabilidade da união de dois eventos; e
 ���� Probabilidadecondicional.
 
 Aprenderemos esses tópicos, um a um, por meio da resolução de exercícios diversos. 
 
# Conceito de Probabilidade:
Exemplo 01) Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azu
vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade 
que ela seja vermelha? 
Sol.: 
 O conceito de Probabilidade é facílimo. Trata
 Antes de mais nada, convém saber que a questão de Probabilidade é inconfundível. 
Haverá no enunciado sempre a pergunta: 
trocará a palavra probabilidade 
ocorrer)! 
 Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinado 
Teremos, então, que o conceito que buscamos é o seguinte:
Probabilidade = 
 Pois bem! Vejamos como é fácil a coisa. Qual é o evento 
Retirar uma bola azul da urna! Ora, a tal urna contém dez bolas. Daí, se quero retirar apenas 
uma delas, quantos serão os resultados possíveis
nosso denominador! 
 Passemos ao numerador,
Favoráveis à realização do evento! Ora, se eu pretendo retirar uma bola azul da urna, então 
quantos serão os resultados que satisfarão essa 
quatro bolas azuis na urna!). 
 De posse dos resultados favoráveis e possíveis para o evento em tela, faremos:
 ���� P = 4 / 10 = 0,40 = 40% 
 
 
 
 
 
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Pelo exame das últimas questões de concurso (sobretudo da Esaf), percebemos que há sete 
tópicos relacionados à Probabilidade, os quais, se bem compreendidos, serão a chave para 
de prova. Senão, vejamos! 
Esses referidos tópicos são os seguintes: 
Conceito de probabilidade; 
Árvore de probabilidades; 
Situações excludentes; 
“Caminho de probabilidades” 
Eventos independentes; 
Probabilidade da união de dois eventos; e 
Probabilidade condicional. 
Aprenderemos esses tópicos, um a um, por meio da resolução de exercícios diversos. 
# Conceito de Probabilidade: 
Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azu
vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade 
O conceito de Probabilidade é facílimo. Trata-se de uma divisão! 
Antes de mais nada, convém saber que a questão de Probabilidade é inconfundível. 
Haverá no enunciado sempre a pergunta: Qual a probabilidade de ...? 
probabilidade pela palavra chance. (Mas isso também não é algo comum
Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinado 
Teremos, então, que o conceito que buscamos é o seguinte: 
Probabilidade = 
possíveisresultadosden
favoráveisresultadosden
°
°
 
Pois bem! Vejamos como é fácil a coisa. Qual é o evento em análise neste exemplo? 
Retirar uma bola azul da urna! Ora, a tal urna contém dez bolas. Daí, se quero retirar apenas 
resultados possíveis para essa retirada? Dez, é claro! Já temos o 
Passemos ao numerador, os resultados favoráveis. A pergunta é: 
Favoráveis à realização do evento! Ora, se eu pretendo retirar uma bola azul da urna, então 
quantos serão os resultados que satisfarão essa exigência do evento (bola azul)? Quatro! (Só há 
De posse dos resultados favoráveis e possíveis para o evento em tela, faremos:
P = 4 / 10 = 0,40 = 40% ���� Resposta! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Pelo exame das últimas questões de concurso (sobretudo da Esaf), percebemos que há sete 
tópicos relacionados à Probabilidade, os quais, se bem compreendidos, serão a chave para 
Aprenderemos esses tópicos, um a um, por meio da resolução de exercícios diversos. 
Uma urna contém dez bolinhas, sendo quatro delas azuis e seis 
vermelhas. Ao retirar aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade 
Antes de mais nada, convém saber que a questão de Probabilidade é inconfundível. 
Qual a probabilidade de ...? No máximo, a questão 
. (Mas isso também não é algo comum de 
Daí, procuraremos saber qual é a probabilidade de realização de um determinado evento! 
 
em análise neste exemplo? 
Retirar uma bola azul da urna! Ora, a tal urna contém dez bolas. Daí, se quero retirar apenas 
para essa retirada? Dez, é claro! Já temos o 
. A pergunta é: favoráveis a quem? 
Favoráveis à realização do evento! Ora, se eu pretendo retirar uma bola azul da urna, então 
do evento (bola azul)? Quatro! (Só há 
De posse dos resultados favoráveis e possíveis para o evento em tela, faremos: 
67 http://www.olaamigos
 
De antemão, convém sabermos que a 
caso (P=100%), estaremos diante do chamado 
 Por exemplo: qual a probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamento de 
um dado? Ora, trata-se de um evento certo! Há aqui uma certeza matemática! A probabili
será, portanto, de 100%. 
 A ideia oposta ao do evento certo é a do 
ocorrência é de 0% (zero por cento)! Exemplo: 
jogar? Nenhuma! Qualquer criança acerta 
 Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as possibilidades (e as 
probabilidades!). 
 Este é, pois, o conceito de probabilidade! 
 
Exemplo 02) Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao 
aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um 
número par? 
Sol.: 
 Retomemos o nosso conceito:
Probabilidade = 
 O evento agora é retirar uma bola da urna, e queremos que ela seja par!
 Daí, para retirar uma bola de urna que contém dez bolas, haverá 
resultados possíveis! Concordam? (Já temos o denominador!)
 Acerca do numerador, perguntaremos: qual é a exigência do evento? É que a bola retirada 
tenha um número par. Quantos
Ora, são cinco (as bolas de números 2, 4, 6, 8 e 10). 
 Pronto! Lançando os valores no conceito, teremos:
 � P=(5/10)=0,50=50% 
 
# Situações Excludentes, Árvore de Probabilidades e 
 Vejamos esses conceitos, por meio do exemplo seguinte:
Exemplo 03) (TCE-RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 
anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando 
os eventos independentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos 
é de: 
Sol.: 
 Vamos analisar a primeira frase do enunciado: “a probabilidade de um gato estar vivo 
daqui a 5 anos é 3/5”. 
 Temos que nos habituar a ler uma frase que fala da probabi
evento, já tentando vislumbrar se existe uma 
isso? Ora, o evento que estamos tratando é 
excludente para o gato estar vivo 
 
 
 
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De antemão, convém sabermos que a Probabilidade tem valor máximo de 100%. Neste 
caso (P=100%), estaremos diante do chamado evento certo! 
qual a probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamento de 
se de um evento certo! Há aqui uma certeza matemática! A probabili
oposta ao do evento certo é a do evento impossível: aquele cuja probabilidade de 
ocorrência é de 0% (zero por cento)! Exemplo: qual a probabilidade de eu ganhar na loteria sem 
Nenhuma! Qualquer criança acerta essa resposta! 
Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as possibilidades (e as 
Este é, pois, o conceito de probabilidade! Façamos outro exemplo:
Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao 
aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um 
Retomemos o nosso conceito: 
Probabilidade = 
possíveisresultadosden
favoráveisresultadosden
°
°
 
O evento agora é retirar uma bola da urna, e queremos que ela seja par!
retirar uma bola de urna que contém dez bolas, haverá –
resultados possíveis! Concordam? (Já temos o denominador!) 
Acerca do numerador, perguntaremos: qual é a exigência do evento? É que a bola retirada 
tenha um número par. Quantos são os resultadosque atendem, que satisfazem, essa exigência? 
Ora, são cinco (as bolas de números 2, 4, 6, 8 e 10). 
Pronto! Lançando os valores no conceito, teremos: 
P=(5/10)=0,50=50% ���� Resposta! 
# Situações Excludentes, Árvore de Probabilidades e Eventos Independentes: 
Vejamos esses conceitos, por meio do exemplo seguinte: 
RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 
anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando 
dependentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos 
Vamos analisar a primeira frase do enunciado: “a probabilidade de um gato estar vivo 
Temos que nos habituar a ler uma frase que fala da probabilidade de ocorrência de um 
evento, já tentando vislumbrar se existe uma situação excludente para aquele evento. Como é 
isso? Ora, o evento que estamos tratando é o gato estar vivo daqui a 5 anos
gato estar vivo é justamente o gato estar morto! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
valor máximo de 100%. Neste 
qual a probabilidade de obtermos um valor menor que 7 no lançamento de 
se de um evento certo! Há aqui uma certeza matemática! A probabilidade 
: aquele cuja probabilidade de 
qual a probabilidade de eu ganhar na loteria sem 
Entre um evento impossível e um evento certo, infindáveis são as possibilidades (e as 
Façamos outro exemplo: 
Uma urna contém dez bolinhas, numeradas de 1 a 10. Ao retirar 
aleatoriamente uma dessas bolas da urna, qual a probabilidade que ela tenha um 
 
O evento agora é retirar uma bola da urna, e queremos que ela seja par! 
– irrefutavelmente – dez 
Acerca do numerador, perguntaremos: qual é a exigência do evento? É que a bola retirada 
são os resultados que atendem, que satisfazem, essa exigência? 
Eventos Independentes: 
RN 2000 ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 
anos é 3/5. A probabilidade de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando 
dependentes, a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos 
Vamos analisar a primeira frase do enunciado: “a probabilidade de um gato estar vivo 
lidade de ocorrência de um 
para aquele evento. Como é 
o gato estar vivo daqui a 5 anos. A situação 
68 http://www.olaamigos
 
Claro! Por que razão chamamos 
seja, se o gato estiver vivo é porque não estará morto; e vice
não estará vivo. E não há uma terceira possibilidade!
 O que devemos saber sobre as situações excludentes? Devemos saber que a soma das 
probabilidades de ocorrência de situações excludentes será sempre igual a 
 Ou seja, se somarmos a probabilidade de o gato estar vivo daqui a cinco anos e a 
probabilidade de o gato estar morto daqui a cinco anos, teremos que 100% será o resultado 
desta soma! 
 Daí, sabendo que a probabilidade de o gato estar vivo é de (3/5), então a fração que 
representará o evento de o gato estar morto será exatamente de (2/5). Claro! Pois
(2/5) a (3/5) dará igual a 1, que é 100%.
 Ora, apenas analisando essa primeira frase, já podemos começar a compor a nossa 
árvore de probabilidades! O que é isso? É apenas um desenho, que nos ajudará a enxergar 
melhor a questão. Daí, até aqui, ter
 VIVO (3/5)
 
 GATO 
 MORTO (2/5)
 Prosseguindo a leitura do enunciado, é dito que 
daqui a 5 anos é 4/5. Facilmente conseguimos imaginar a 
vivo. Qual será? O cão estar morto! Claro! E se somarmos essas duas probabilidades (cão vivo e 
cão morto), o resultado será 100% (ou então 1, se estivermos trabalhando com a notação 
unitária)! 
 Daí, de quanto será a probabilidade de o cão estar morto daqui a cinco
que falta a 4/5 para chegar a 5/5, ou seja, para chegar a 100%. Será, portanto, de 1/5. 
 Com isso, já dá para completarmos a
Teremos: 
 VIVO (3/5)
 
 GATO 
 MORTO (2/5)
 
 
 VIVO (4/5)
 
 CÃO 
 MORTO (1/5)
 
 Pois bem! Até aqui, já aprendemos a desenhar uma 
o que são situações excludentes
excludentes será sempre 100% 
 Prosseguindo a leitura do enunciado, veremos o seguinte: “Considerando os 
independentes...” 
 Então esses quatro eventos que temos acima na árvore de probabilidades (gato vivo, gato 
morto, cão vivo, cão morto) são 
 O que temos que saber acerca de 
calcular a probabilidade de ocorr
multiplicar as probabilidades de cada um deles.
 
 
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Claro! Por que razão chamamos situações excludentes? Porque uma exclui a outra! Ou 
seja, se o gato estiver vivo é porque não estará morto; e vice-versa: se estiver morto é porque 
não estará vivo. E não há uma terceira possibilidade! 
O que devemos saber sobre as situações excludentes? Devemos saber que a soma das 
probabilidades de ocorrência de situações excludentes será sempre igual a 
Ou seja, se somarmos a probabilidade de o gato estar vivo daqui a cinco anos e a 
de o gato estar morto daqui a cinco anos, teremos que 100% será o resultado 
Daí, sabendo que a probabilidade de o gato estar vivo é de (3/5), então a fração que 
representará o evento de o gato estar morto será exatamente de (2/5). Claro! Pois
(2/5) a (3/5) dará igual a 1, que é 100%. 
Ora, apenas analisando essa primeira frase, já podemos começar a compor a nossa 
! O que é isso? É apenas um desenho, que nos ajudará a enxergar 
melhor a questão. Daí, até aqui, teremos que: 
VIVO (3/5) 
 
MORTO (2/5) 
Prosseguindo a leitura do enunciado, é dito que a probabilidade de um cão estar vivo 
. Facilmente conseguimos imaginar a situação excludente
al será? O cão estar morto! Claro! E se somarmos essas duas probabilidades (cão vivo e 
cão morto), o resultado será 100% (ou então 1, se estivermos trabalhando com a notação 
Daí, de quanto será a probabilidade de o cão estar morto daqui a cinco
que falta a 4/5 para chegar a 5/5, ou seja, para chegar a 100%. Será, portanto, de 1/5. 
Com isso, já dá para completarmos a árvore de probabilidades
VIVO (3/5) 
 
MORTO (2/5) 
VIVO (4/5) 
 
MORTO (1/5) 
Pois bem! Até aqui, já aprendemos a desenhar uma árvore de probabilidades
situações excludentes, e que a soma das probabilidades dessas situações 
excludentes será sempre 100% (ou sempre 1, que é o mesmo que 100%)!
Prosseguindo a leitura do enunciado, veremos o seguinte: “Considerando os 
Então esses quatro eventos que temos acima na árvore de probabilidades (gato vivo, gato 
morto, cão vivo, cão morto) são eventos independentes! 
O que temos que saber acerca de eventos independentes? Apenas que se quisermos 
calcular a probabilidade de ocorrência simultânea de dois ou mais desses eventos, teremos que 
multiplicar as probabilidades de cada um deles. 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
? Porque uma exclui a outra! Ou 
versa: se estiver morto é porque 
O que devemos saber sobre as situações excludentes? Devemos saber que a soma das 
probabilidades de ocorrência de situações excludentes será sempre igual a 100%. 
Ou seja, se somarmos a probabilidade de o gato estar vivo daqui a cinco anos e a 
de o gato estar morto daqui a cinco anos, teremos que 100% será o resultado 
Daí, sabendo que a probabilidade de o gato estar vivo é de (3/5), então a fração que 
representará o evento de o gato estar morto será exatamente de (2/5). Claro! Pois somando 
Ora, apenas analisando essa primeira frase, já podemos começar a compor a nossa 
! O que é isso? É apenas um desenho, que nos ajudará a enxergar 
a probabilidade de um cão estar vivo 
situação excludente para o cão estar 
al será? O cão estar morto! Claro! E se somarmos essas duasprobabilidades (cão vivo e 
cão morto), o resultado será 100% (ou então 1, se estivermos trabalhando com a notação 
Daí, de quanto será a probabilidade de o cão estar morto daqui a cinco anos? É a fração 
que falta a 4/5 para chegar a 5/5, ou seja, para chegar a 100%. Será, portanto, de 1/5. 
árvore de probabilidades dessa questão. 
árvore de probabilidades, e a saber 
, e que a soma das probabilidades dessas situações 
(ou sempre 1, que é o mesmo que 100%)! 
Prosseguindo a leitura do enunciado, veremos o seguinte: “Considerando os eventos 
Então esses quatro eventos que temos acima na árvore de probabilidades (gato vivo, gato 
? Apenas que se quisermos 
ência simultânea de dois ou mais desses eventos, teremos que 
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Ou seja, se temos que: 
P(cão vivo)=4/5 
 E quisermos saber a probabilidade, 
estar vivo, faremos: 
 P(gato vivo & cão vivo) = P(gato vivo) x P(cão vivo) = (3/5) x (4/5) = 12/25
 Então é isso que precisamos saber sobre 
 Agora retornemos ao enunciado: 
a 5 anos é de? 
 
 A palavra chave dessa pergunta é a palavra 
figuras: o cão e o gato. Se se deseja saber a probabilidade de 
5 anos, podemos traduzir essa pergunta de outra forma: 
vivo daqui a 5 anos & o gato estar morto?”
 Ora, se quero somente 
 Olhemos de novo para a nossa árvore de probabilidades:
 VIVO (3/5)
 
 GATO 
 MORTO 
 
 
 VIVO (4/5)
 
 CÃO 
 MORTO (1/5)
 
 Já vimos que esses eventos (cão vivo & gato morto) são eventos independentes! Daí, se 
procuramos a probabilidade de ocorrência 
 � P(cão vivo & gato morto)= P(cão vivo) x P(gato morto) 
� P(cão vivo & gato morto)= (4/5)x(2/5) =
 
Com base nessa resolução, você já temos plenas condições de resolver a questão 
seguinte, que por sinal também é da Esaf, e foi cobrada na prova do 
 
EXEMPLO 04) (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem 
de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do 
torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para par
torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, 
a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:
a) 4/5 b) 10/25 
Sol.: 
 Procuremos, na primeira leitura, verificar a existência de algum evento que admita uma 
situação excludente. Tem? Sim: 
Paulo não ser escolhido, obviamente! O mesmo se dá para o evento 
situação excludente seria Roberto não ser escolhido
 Aprendemos há pouco que a soma das probabilidades de 
igual a 100%. Daí, nossa árvore de probabilidades
 
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P(cão vivo)=4/5 e P(gato vivo)=3/5 
E quisermos saber a probabilidade, ao mesmo tempo, de o cão estar vivo e de o gato
P(gato vivo & cão vivo) = P(gato vivo) x P(cão vivo) = (3/5) x (4/5) = 12/25
Então é isso que precisamos saber sobre eventos independentes
Agora retornemos ao enunciado: a probabilidade de somente o cão estar vivo daqui 
A palavra chave dessa pergunta é a palavra somente! Ora, a questão falava de duas 
figuras: o cão e o gato. Se se deseja saber a probabilidade de somente 
5 anos, podemos traduzir essa pergunta de outra forma: “Qual a probabilidade de o cão estar 
vivo daqui a 5 anos & o gato estar morto?” 
somente o cão vivo, é porque quero também o gato morto!
Olhemos de novo para a nossa árvore de probabilidades: 
VIVO (3/5) 
 
MORTO (2/5) 
VIVO (4/5) 
 
MORTO (1/5) 
Já vimos que esses eventos (cão vivo & gato morto) são eventos independentes! Daí, se 
procuramos a probabilidade de ocorrência simultânea desses dois eventos, faremos:
gato morto)= P(cão vivo) x P(gato morto) 
P(cão vivo & gato morto)= (4/5)x(2/5) =8/25 (Resposta!)
Com base nessa resolução, você já temos plenas condições de resolver a questão 
seguinte, que por sinal também é da Esaf, e foi cobrada na prova do MPOG/2003. Foi a seguinte:
EXEMPLO 04) (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem 
de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do 
torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para par
torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, 
a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a:
 c) 12/25 d) 3/5 
imeira leitura, verificar a existência de algum evento que admita uma 
situação excludente. Tem? Sim: Paulo ser escolhido! Qual seria a situação excludente
, obviamente! O mesmo se dá para o evento Roberto ser escolhido
Roberto não ser escolhido. 
Aprendemos há pouco que a soma das probabilidades de situações excludentes
árvore de probabilidades para esse exemplo será a seguinte:
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
, de o cão estar vivo e de o gato 
P(gato vivo & cão vivo) = P(gato vivo) x P(cão vivo) = (3/5) x (4/5) = 12/25 
eventos independentes! 
o cão estar vivo daqui 
! Ora, a questão falava de duas 
o cão estar vivo daqui a 
probabilidade de o cão estar 
o cão vivo, é porque quero também o gato morto! 
Já vimos que esses eventos (cão vivo & gato morto) são eventos independentes! Daí, se 
desses dois eventos, faremos: 
8/25 (Resposta!) 
Com base nessa resolução, você já temos plenas condições de resolver a questão 
MPOG/2003. Foi a seguinte: 
EXEMPLO 04) (MPOG/2003/ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem 
de um torneio de basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do 
torneio é 3/5. A probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo 
torneio é 1/5. Sabendo que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, 
a probabilidade de somente Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a: 
 e) 4/5 
imeira leitura, verificar a existência de algum evento que admita uma 
situação excludente? Ora, seria 
Roberto ser escolhido, cuja 
situações excludentes é sempre 
para esse exemplo será a seguinte: 
70 http://www.olaamigos
 
 PARTICIPAR 
 
 PAULO 
 NÃO PARTICIPAR (2/5)
 
 
 
 
 ROBERTO 
 
 
 
 A questão também informa que estamos diante de 
queiramos descobrir a probabil
produto das respectivas probabilidades!
 Por fim, a questão pergunta qual é a probabilidade de 
torneio. Ora, ninguém se engana mais! Traduziremos esse questionamento da
Qual a probabilidade de o Paulo participar 
torneio? Entendido? Teremos: 
 
 PARTICIPAR (3/5)
 
 PAULO 
 NÃO PARTICIPAR (2/5)
 
 
 
 
 ROBERTO 
 
 
� P(Paulo participar & Roberto não participar) = (3/5) x (4/5) = 
 
# Caminho de Probabilidades:
 Conheceremos esse conceito por meio do exemplo seguinte:
EXEMPLO 05) Um juiz de futebol 
outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num 
determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao 
acaso, uma face do cartão a um jogador. As
ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:
Sol.: 
Começaremos analisando a questão dos cartões que o juiz tem no bolso. São três, e o 
enunciado disse que o juiz irá tirar qualqu
feita de forma aleatória, a probabilidade de ser retirado qualquer dos três cartões será a mesma e 
igual a 1/3 (um cartão favorável em três possíveis)! 
 
 Daí, já podemos começar a desenhar nossa 
 
 
 
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PARTICIPAR (3/5) 
 
NÃO PARTICIPAR (2/5)PARTICIPAR (1/5) 
 
 NÃO PARTICIPAR (4/5) 
A questão também informa que estamos diante de eventos independentes
queiramos descobrir a probabilidade simultânea de mais de um deles, teremos que fazer o 
produto das respectivas probabilidades! 
Por fim, a questão pergunta qual é a probabilidade de somente
torneio. Ora, ninguém se engana mais! Traduziremos esse questionamento da
Qual a probabilidade de o Paulo participar &, ao mesmo tempo, de o Roberto não participar do 
PARTICIPAR (3/5) 
 
NÃO PARTICIPAR (2/5) 
 PARTICIPAR (1/5) 
 
 NÃO PARTICIPAR (4/5) 
P(Paulo participar & Roberto não participar) = (3/5) x (4/5) = 12/25 
# Caminho de Probabilidades: 
Conheceremos esse conceito por meio do exemplo seguinte: 
EXEMPLO 05) Um juiz de futebol possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o 
outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num 
determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao 
acaso, uma face do cartão a um jogador. Assim, a probabilidade de a face que o juiz vê 
ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a:
Começaremos analisando a questão dos cartões que o juiz tem no bolso. São três, e o 
enunciado disse que o juiz irá tirar qualquer um deles, de forma aleatória! Ora, se a retirada é 
feita de forma aleatória, a probabilidade de ser retirado qualquer dos três cartões será a mesma e 
igual a 1/3 (um cartão favorável em três possíveis)! 
Daí, já podemos começar a desenhar nossa árvore de probabilidades
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
eventos independentes! Ou seja, caso 
de mais de um deles, teremos que fazer o 
somente o Paulo participar do 
torneio. Ora, ninguém se engana mais! Traduziremos esse questionamento da seguinte forma: 
, ao mesmo tempo, de o Roberto não participar do 
12/25 ���� Resposta! 
possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, o 
outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo do outro. Num 
determinado jogo, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra, também ao 
sim, a probabilidade de a face que o juiz vê 
ser vermelha e de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é igual a: 
Começaremos analisando a questão dos cartões que o juiz tem no bolso. São três, e o 
er um deles, de forma aleatória! Ora, se a retirada é 
feita de forma aleatória, a probabilidade de ser retirado qualquer dos três cartões será a mesma e 
de probabilidades! Teremos: 
71 http://www.olaamigos
 
 Cartão (vermelho
 
 
 
 Cartão (amarelho
 
 
 
 Cartão (amarelo
 
 Só que a questão não pára por aí. Segue com a seguinte pergunta: 
de, ao retirar o cartão do bolso, a face vermelha fique voltada para o juiz e a face amarela fique 
voltada para o jogador? 
 Ora, para que fique uma cor voltada para o juiz e outra cor voltada para o jogador, é 
óbvio que o cartão retirado do bolso terá que ser o 
impossível. Concordam? 
 Ocorre que, ao retirar o cartão de duas cores do bolso, surgem aqui duas novas situações, 
as quais deverão ser acrescidas à nossa árvore de probabilidades! São as seguintes:
 
 Cartão (vermelho
 
 
 
 Cartão (amarelho
 
 
 
 Cartão (amarelo
 
 
 
 Observemos que essas duas novas situações são também 
ocorrer a de cima, é porque não ocorreu a de baixo, e vice
situações excludentes, as probabilidades de cada uma ocorrer é 
 
Concluindo, portanto, nossa árvore de probabilidades, teremos:
 
 
 
 
 
 
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Cartão (vermelho-vermelho) (1/3) 
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3) 
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3) 
Só que a questão não pára por aí. Segue com a seguinte pergunta: 
retirar o cartão do bolso, a face vermelha fique voltada para o juiz e a face amarela fique 
Ora, para que fique uma cor voltada para o juiz e outra cor voltada para o jogador, é 
óbvio que o cartão retirado do bolso terá que ser o de duas cores! De outra forma, seria 
Ocorre que, ao retirar o cartão de duas cores do bolso, surgem aqui duas novas situações, 
as quais deverão ser acrescidas à nossa árvore de probabilidades! São as seguintes:
(vermelho-vermelho) (1/3) 
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3) 
 Face Vermelha p/ o juiz e
 Face Amarela p/ o jogador
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3) 
 Face Amarela p/ o juiz e
 Face Vermelha p
Observemos que essas duas novas situações são também situações excludentes
ocorrer a de cima, é porque não ocorreu a de baixo, e vice-versa! Como são apenas duas 
, as probabilidades de cada uma ocorrer é 1/2. 
Concluindo, portanto, nossa árvore de probabilidades, teremos: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Só que a questão não pára por aí. Segue com a seguinte pergunta: qual a probabilidade 
retirar o cartão do bolso, a face vermelha fique voltada para o juiz e a face amarela fique 
Ora, para que fique uma cor voltada para o juiz e outra cor voltada para o jogador, é 
de duas cores! De outra forma, seria 
Ocorre que, ao retirar o cartão de duas cores do bolso, surgem aqui duas novas situações, 
as quais deverão ser acrescidas à nossa árvore de probabilidades! São as seguintes: 
Face Vermelha p/ o juiz e 
Face Amarela p/ o jogador 
Face Amarela p/ o juiz e 
Face Vermelha p/ o jogador 
situações excludentes! Claro! Se 
versa! Como são apenas duas 
72 http://www.olaamigos
 
 Cartão (vermelho
 
 
 
 Cartão (amarelho
 
 
 
 Cartão (amarelo
 
 
 
Aqui, olhando para essa 
falando do caminho de probabilidades
duas (ou mais) probabilidades que se sucedem! Ou em outras palavras, é um caminho em que há 
mais de um evento, de modo que um é posterior ao outro. 
Olhando para o desenho acima, vemos que existem dois 
Vou destacar primeiro um, e depois o outro. Vejamos:
 
 Cartão (vermelho
 
 
 
 Cartão (amarelho
 
 
 
 Cartão (amarelo
 
 
 
Está em azul nosso caminho de probabilidades
ao outro. O primeiro é a escolha do cartão de duas faces; o 
ficar voltada para o juiz, e a amarela para o jogador!
O que interessa saber acerca de um 
estivermos diante de um, não nos interessará mais a 
outro: interessar-nos-á a probabilidade de todo o caminho
E para descobrirmos a probabilidade que é o 
probabilidades, teremos sempre que 
que compõe aquele caminho. 
Daí, para chegarmos à probabilidade que resulta deste caminho azul acima, faremos 
(1/3)x(1/2), e chegaremos ao seguinte:
 
olaamigos.com.br 
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3) 
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3) 
 Vermelho p/ o juiz e 
 Amarelo p/ o jogador
Cartão (amarelo-vermelho) (1/3) 
 Amarelo p/ o juiz e 
 Vermelho p/ o jogador
Aqui, olhando para essa árvore acima, veremos que surge um novo conceito! Estamos 
caminho de probabilidades! O que é isso? É tão-somente um caminho em que há 
duas (ou mais) probabilidades que se sucedem! Ou em outras palavras, é um caminho em que há 
mais de um evento, de modo que um é posterior ao outro. 
Olhando para o desenho acima, vemos que existem dois caminhos de probabilidade
Vou destacar primeiro um, e depois o outro. Vejamos: 
Cartão (vermelho-vermelho)(1/3) 
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3) 
 Vermelho p/ o juiz e (1/2)
 Amarelo p/ o jogador
o (amarelo-vermelho) (1/3) 
 Amarelo p/ o juiz e 
 Vermelho p/ o jogador
caminho de probabilidades. Nele, vemos que um evento se sucede 
ao outro. O primeiro é a escolha do cartão de duas faces; o segundo é o fato de a face vermelha 
ficar voltada para o juiz, e a amarela para o jogador! 
O que interessa saber acerca de um caminho de probabilidade
estivermos diante de um, não nos interessará mais a probabilidade individual
probabilidade de todo o caminho! 
E para descobrirmos a probabilidade que é o resultado 
, teremos sempre que multiplicar as probabilidades individuais
Daí, para chegarmos à probabilidade que resulta deste caminho azul acima, faremos 
(1/3)x(1/2), e chegaremos ao seguinte: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Vermelho p/ o juiz e (1/2) 
Amarelo p/ o jogador 
Amarelo p/ o juiz e (1/2) 
Vermelho p/ o jogador 
acima, veremos que surge um novo conceito! Estamos 
somente um caminho em que há 
duas (ou mais) probabilidades que se sucedem! Ou em outras palavras, é um caminho em que há 
inhos de probabilidade. 
Vermelho p/ o juiz e (1/2) 
Amarelo p/ o jogador 
Amarelo p/ o juiz e (1/2) 
Vermelho p/ o jogador 
. Nele, vemos que um evento se sucede 
segundo é o fato de a face vermelha 
caminho de probabilidade é que quando 
probabilidade individual de um evento ou do 
resultado de um caminho de 
probabilidades individuais de cada evento 
Daí, para chegarmos à probabilidade que resulta deste caminho azul acima, faremos 
73 http://www.olaamigos
 
 Cartão (vermelho
 
 
 
 Cartão (amarelho
 
 
 
 Cartão (amar.-
 
 
 
Essa probabilidade que encontramos 
probabilidade e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho. 
Ou seja, (1/6) é justamente a 
de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela
perguntando! 
Daí, nossa resposta, encontrada apenas pelo resultado de um 
probabilidades, é igual a (1/6)
Observemos que para acertar essa questão, tivemos que usar os seguintes 
conhecimentos: 1º) saber o que são 
probabilidades; 3º) saber o que é um 
probabilidade resultante! 
 
Passemos a mais um exemplo!
 
EXEMPLO 06) (SERPRO 2001 ESAF)
de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A 
probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de 
navio, a probabilidade de chegar ao congr
ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 
1%. Sabe-se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso 
em Genebra. A probabilidade de ele ter ido d
Sol.: 
Numa leitura calma deste enunciado, vemos que ele é todo muito propício para que 
façamos o desenho da árvore de probabilidades
excludentes que nos são apresentadas! 
Senão, vejamos: a primeira coisa qu
dois modos: navio ou avião. E diz também que estes dois modos de ele viajar são 
excludentes! Ora, aqui foi dito de forma expressa: são duas situações excludentes! 
Foi dito ainda quais são as
Daí, já podemos iniciar o desenho da 
Teremos: 
 
 
olaamigos.com.br 
Cartão (vermelho-vermelho) (1/3) 
Cartão (amarelho-amarelo) (1/3) 
 Vermelho p/ o juiz e (1/2) 
 Amarelo p/ o jogador
verm.) (1/3) 
 Amarelo p/ o juiz e (1/2)
 Vermelho p/ o jogador
Essa probabilidade que encontramos (1/6) é o resultado deste 
e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho. 
é justamente a probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e 
de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela. É exatamente isso o que a questão está 
Daí, nossa resposta, encontrada apenas pelo resultado de um 
(1/6). 
Observemos que para acertar essa questão, tivemos que usar os seguintes 
conhecimentos: 1º) saber o que são situações excludentes; 2º) saber desenhar um
; 3º) saber o que é um caminho de probabilidades, e como se chega a sua 
Passemos a mais um exemplo! 
(SERPRO 2001 ESAF) Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, 
de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A 
probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de 
navio, a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se 
ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 
se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso 
em Genebra. A probabilidade de ele ter ido de avião é: 
Numa leitura calma deste enunciado, vemos que ele é todo muito propício para que 
árvore de probabilidades, observando atentamente as 
que nos são apresentadas! 
Senão, vejamos: a primeira coisa que nos diz a questão é que o Genésio só pode viajar de 
. E diz também que estes dois modos de ele viajar são 
! Ora, aqui foi dito de forma expressa: são duas situações excludentes! 
Foi dito ainda quais são as probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião. 
Daí, já podemos iniciar o desenho da árvore de probabilidades! 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Vermelho p/ o juiz e (1/2) ⇒⇒⇒⇒ (1/6) 
Amarelo p/ o jogador 
(1/2) 
Vermelho p/ o jogador 
é o resultado deste caminho de 
e representa a ocorrência dos dois eventos que compõem este caminho. 
probabilidade de a face que o juiz vê ser vermelha e 
. É exatamente isso o que a questão está 
Daí, nossa resposta, encontrada apenas pelo resultado de um caminho de 
Observemos que para acertar essa questão, tivemos que usar os seguintes 
; 2º) saber desenhar uma árvore de 
, e como se chega a sua 
Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, 
de Genésio ir para Genebra participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A 
probabilidade de Genésio ir de navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de 
esso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se 
ele for de avião a probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 
se que Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso 
Numa leitura calma deste enunciado, vemos que ele é todo muito propício para que 
, observando atentamente as situações 
e nos diz a questão é que o Genésio só pode viajar de 
. E diz também que estes dois modos de ele viajar são mutuamente 
! Ora, aqui foi dito de forma expressa: são duas situações excludentes! 
probabilidades de o Genésio viajar de navio e de avião. 
 
74 http://www.olaamigos
 
 Navio (40%) 
 
 
 
 
 Avião (60%) 
 
Só uma observação: na hora que o enunciado falou que viajar de navio e 
são situações excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio é de 40%, 
então não seria necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião é de 60%. Já 
seria nossa obrigação saber disso, uma vez que
excludentes é sempre 100%. Não é verdade?
Pois bem! Só que o enunciado não parou por aí! Surgem, na seqüência da leitura, mais 
duas outras situações. Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião
poderá chegar com atraso ao congresso! Isso é dito pelo enunciado!
E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele 
pode também chegar em tempo
tempo é porque não atrasou; e se atrasar, é porque não conseguiu chegar em tempo. 
Concordam?Ou seja, essas duas situações 
excludentes! O enunciado traz quais são as probabilidades de Genésio chegar atrasado nos doi
casos (tendo ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremos como completar a 
nossa árvore de probabilidades, da seguinte forma:
 
 Navio (40%) 
 
 
 
 
 Avião (60%) 
 
Boa oportunidade essa para nós explorarmos o desenho acima! 
Quantos caminhos de probabilidade
Temos quatro caminhos:
1º) viajar de navio & chegar atrasado;
2º) viajar de navio & chegar em tempo;
3º) viajar de avião & chegar atrasado;
4º) viajar de avião & chegar em tempo.
Já sabemos que, diante de um 
já deixaram de ser interessantes para nós! Só nos vão
cada caminho! Sabemos também que, para chegar a essas 
que multiplicar as probabilidades individuais
mesmo! 
Daí, analisemos esta árvor
seguintes perguntas: 
 
olaamigos.com.br 
 
 
Só uma observação: na hora que o enunciado falou que viajar de navio e 
são situações excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio é de 40%, 
então não seria necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião é de 60%. Já 
seria nossa obrigação saber disso, uma vez que a soma das probabilidades de situações 
excludentes é sempre 100%. Não é verdade? 
Pois bem! Só que o enunciado não parou por aí! Surgem, na seqüência da leitura, mais 
duas outras situações. Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião
poderá chegar com atraso ao congresso! Isso é dito pelo enunciado! 
E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele 
em tempo, ou seja, sem atraso. É evidente que se Genésio chegar em 
que não atrasou; e se atrasar, é porque não conseguiu chegar em tempo. 
Concordam? Ou seja, essas duas situações – chegar atrasado e chegar em tempo
excludentes! O enunciado traz quais são as probabilidades de Genésio chegar atrasado nos doi
casos (tendo ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremos como completar a 
nossa árvore de probabilidades, da seguinte forma: 
 Atrasado (8,5%) 
Navio (40%) 
 Em tempo (91,5%) 
 Atrasado (1%) 
 
 Em tempo (99%) 
Boa oportunidade essa para nós explorarmos o desenho acima! 
caminhos de probabilidade nós temos nessa árvore de probabilidades? 
Temos quatro caminhos: 
1º) viajar de navio & chegar atrasado; 
2º) viajar de navio & chegar em tempo; 
3º) viajar de avião & chegar atrasado; 
4º) viajar de avião & chegar em tempo. 
Já sabemos que, diante de um caminho de probabilidades, as probabilidades individuais
já deixaram de ser interessantes para nós! Só nos vão interessar as probabilidades resultantes
cada caminho! Sabemos também que, para chegar a essas probabilidades resultantes
probabilidades individuais de cada caminho! Não é isso mesmo? É isso 
árvore e esses caminhos, caso a questão fizesse uma dessas 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Só uma observação: na hora que o enunciado falou que viajar de navio e viajar de avião 
são situações excludentes, e acrescentou que a probabilidade de o Genésio ir de navio é de 40%, 
então não seria necessário ter informado que a probabilidade de ele ter ido de avião é de 60%. Já 
a soma das probabilidades de situações 
Pois bem! Só que o enunciado não parou por aí! Surgem, na seqüência da leitura, mais 
duas outras situações. Quer tenha o Genésio viajado de navio, quer tenha viajado de avião, ele 
E se pode chegar com atraso, nós já somos capazes de deduzir que, contrariamente, ele 
, ou seja, sem atraso. É evidente que se Genésio chegar em 
que não atrasou; e se atrasar, é porque não conseguiu chegar em tempo. 
chegar em tempo – são situações 
excludentes! O enunciado traz quais são as probabilidades de Genésio chegar atrasado nos dois 
casos (tendo ido de navio e tendo ido de avião), de modo que já teremos como completar a 
nós temos nessa árvore de probabilidades? 
probabilidades individuais 
probabilidades resultantes de 
probabilidades resultantes, teremos 
de cada caminho! Não é isso mesmo? É isso 
, caso a questão fizesse uma dessas 
75 http://www.olaamigos
 
1) Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado?
O que lhes parece? Será que isso que está sendo pedido acima é o resultado de algum 
caminho de probabilidade? Claro
 
 Navio (40%) 
 
 
 
 
 Avião (60%) 
 
Daí, multiplicando-se as 
� (0,40)x(0,085)= 0,034 = 3,4% 
Na linguagem da probabilidade, diremos: 
 
 
2) Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado?
Novamente a pergunta feita acima nos remete 
deles? O terceiro. Vejamos: 
 
 
 Navio (40%) 
 
 
 
 
 Avião (60%) 
 
 
Multiplicando-se as probabilidades individuais
� (0,60)x(0,01)= 0,006 = 0,6% 
Na linguagem da probabilidade, diremos: 
 
3) Qual a probabilidade de Genésio chegar atrasado?
A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento “atraso”, sem estabelecer o meio de 
transporte! Daí, fica claro que há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado 
atrasado. E são justamente os seguintes:
 
 
 
 
olaamigos.com.br 
Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado?
O que lhes parece? Será que isso que está sendo pedido acima é o resultado de algum 
? Claro! É logo do primeiro caminho! Vejamos: 
 Atrasado (8,5%) 
Navio (40%) 
 Em tempo (91,5%) 
 Atrasado (1%) 
 
 Em tempo (99%) 
se as probabilidades individuais desse caminho, teremos:
0,034 = 3,4% ���� Resposta! 
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(navio & atrasado)=0,034
Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado?
Novamente a pergunta feita acima nos remete a um dos caminhos de probabilidade. Qual 
 Atrasado (8,5%) 
Navio (40%) 
 Em tempo (91,5%) 
 Atrasado (1%) 
 
 Em tempo (99%) 
probabilidades individuais desse caminho, teremos:
0,006 = 0,6% ���� Resposta! 
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(avião & atrasado)=0,006
Qual a probabilidade de Genésio chegar atrasado? 
A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento “atraso”, sem estabelecer o meio de 
transporte! Daí, fica claro que há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado 
. E são justamente os seguintes: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Qual a probabilidade de Genésio ir de navio e de chegar atrasado? 
O que lhes parece? Será que isso que está sendo pedido acima é o resultado de algum 
desse caminho, teremos: 
P(navio & atrasado)=0,034 
Qual a probabilidade de Genésio ir de avião e chegar atrasado? 
a um dos caminhos de probabilidade. Qual 
desse caminho, teremos: 
P(avião & atrasado)=0,006 
A pergunta aqui foi diferente! Só falou no evento “atraso”, sem estabelecer o meio de 
transporte! Daí, fica claro que há dois caminhos que nos conduzem a esse resultado chegar 
76 http://www.olaamigos
 
 
 Navio (40%) 
 
 
 
 
 Avião (60%) 
 
Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos 
portanto que somar essas duas 
� 3,4% + 0,6% = 4% ����
Na linguagem da probabilidade, diremos: 
 
4)Qual a probabilidade de Genésio chegar em tempo?
Aqui também não foi estabelecido qual
não se atrasar! De modo que essa pergunta ficou muito fácil de ser respondida. Senão, vejamos: 
no item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado (independente do 
transporte utilizado) foi de 4%. 
Ora, será que chegar atrasado
que sim! Já sabemos disso! Logo, se somarmos as probabilidades dessas duas situações (chegar 
atrasado e chegar em tempo), teremos que chegar a 100%. Daí, f
� P(atrasado) + P(em tempo) = 100%
� 4% + P(em tempo) = 100%
� P(em tempo)=100% -
� P(em tempo) = 96% 
Na linguagem da probabilidade, diremos: 
 
 Com essas quatro perguntas acima, queremos mostrar que uma questão de probabilidade 
pode morrer tão somente pela análise desses tais 
árvore de probabilidades! Ou não! 
 Por que “ou não”? Porque pode haver mais! E o qu
mais o seguinte: pode ocorrer de a questão, após fornecer todos os elementos necessários e 
suficientes para que nós desenhemos a 
quem não quer nada!) mais uma informação. 
 Essa informação adicional, que muito pode nos parecer inservível, será na verdade 
essencial para nossa resolução. O que temos de saber é que essa informação adicional 
nos falando de uma probabilidade
 Ou seja, uma informação que é um 
conhecimento! 
 Vamos fazer um teste: vamos recolocar abaixo o nosso enunciado. Você vai lê
novamente, com muita calma e muita atenção, tentando descobrir se foi fornecida pela questão 
esta tal de informação adicional
segue o enunciado: 
 
 
olaamigos.com.br 
 Atrasado (8,5%) ⇒⇒⇒⇒ 3,4% 
Navio (40%) 
 Em tempo (91,5%) 
 Atrasado (1%) ⇒⇒⇒⇒ 0,6% 
 
 Em tempo (99%) 
Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos 
essas duas probabilidades resultantes de ambos. Teremos, pois, que:
���� Resposta! 
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(chegar atrasado)=0,04
Qual a probabilidade de Genésio chegar em tempo? 
Aqui também não foi estabelecido qual seria o meio de transporte que levaria Genésio a 
não se atrasar! De modo que essa pergunta ficou muito fácil de ser respondida. Senão, vejamos: 
no item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado (independente do 
 
chegar atrasado e chegar em tempo não são situações excludentes? Claro 
que sim! Já sabemos disso! Logo, se somarmos as probabilidades dessas duas situações (chegar 
atrasado e chegar em tempo), teremos que chegar a 100%. Daí, faremos:
P(atrasado) + P(em tempo) = 100% 
4% + P(em tempo) = 100% 
- 4% 
P(em tempo) = 96% ���� Resposta! 
Na linguagem da probabilidade, diremos: P(em tempo)=0,96 
Com essas quatro perguntas acima, queremos mostrar que uma questão de probabilidade 
pode morrer tão somente pela análise desses tais caminhos de probabilidade
! Ou não! 
Por que “ou não”? Porque pode haver mais! E o que pode haver a mais? Pode haver a 
mais o seguinte: pode ocorrer de a questão, após fornecer todos os elementos necessários e 
suficientes para que nós desenhemos a árvore de probabilidades, ela trazer (assim como 
quem não quer nada!) mais uma informação. 
Essa informação adicional, que muito pode nos parecer inservível, será na verdade 
para nossa resolução. O que temos de saber é que essa informação adicional 
nos falando de uma probabilidade! Não! Ela virá falando de um FATO
ma informação que é um fato dado; algo que passa a ser do nosso 
Vamos fazer um teste: vamos recolocar abaixo o nosso enunciado. Você vai lê
novamente, com muita calma e muita atenção, tentando descobrir se foi fornecida pela questão 
informação adicional; este fato dado, que passa a ser do seu conhecimento. Ok? Aí 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Ora, como são dois os caminhos que nos conduzem ao resultado procurado, teremos 
de ambos. Teremos, pois, que: 
P(chegar atrasado)=0,04 
seria o meio de transporte que levaria Genésio a 
não se atrasar! De modo que essa pergunta ficou muito fácil de ser respondida. Senão, vejamos: 
no item anterior, encontramos que a probabilidade de Genésio chegar atrasado (independente do 
não são situações excludentes? Claro 
que sim! Já sabemos disso! Logo, se somarmos as probabilidades dessas duas situações (chegar 
aremos: 
Com essas quatro perguntas acima, queremos mostrar que uma questão de probabilidade 
caminhos de probabilidade, oriundos da 
e pode haver a mais? Pode haver a 
mais o seguinte: pode ocorrer de a questão, após fornecer todos os elementos necessários e 
, ela trazer (assim como 
Essa informação adicional, que muito pode nos parecer inservível, será na verdade 
para nossa resolução. O que temos de saber é que essa informação adicional não virá 
FATO! 
; algo que passa a ser do nosso 
Vamos fazer um teste: vamos recolocar abaixo o nosso enunciado. Você vai lê-lo 
novamente, com muita calma e muita atenção, tentando descobrir se foi fornecida pela questão 
, que passa a ser do seu conhecimento. Ok? Aí 
77 http://www.olaamigos
 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de 
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de 
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A 
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
 E aí? Alguém achou uma frase suspeita? Uma frase que veio sozinha? E que não falou 
nada de probabilidade? E que só nos informou um 
 NÃO?????? Não é possível...! Tente novamente:
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de 
navio é de 40% e de ir de avião é de 6
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. 
Genésio chegou com dois dias de atraso para participa
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
 E agora, melhorou? Agora todo mundo vai dizer que já tinha visto da primeira vez...
 Pois é, minha gente! Aqui teremos novidades: quando a questão fornecer todos os 
elementos necessários para desenharmos a árvore de probabilidades e para construirmos os 
caminhos de probabilidades, mas não se contentar apenas com isso, de modo a nos revelar ainda 
um fato, estaremos diante de uma questão da chamada 
 E o que é isso? É muito fácil. 
ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos que ocorreu um outro evento “B”
 Esse evento “B” é justamente aquele que nos é dado a conhecer pela informação 
adicional; por aquela frase que vem sozinha, e apenas nos revela um 
a ser do nosso conhecimento. 
 Retornemos novamente ao nosso enunciado, para ver se entendemos o que está sendo 
solicitado por esta questão. 
 Vamos por partes! Podemos dividir esse enunciado e
em cores diferentes: 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de 
navio é de 40% e de ir de avião é de 
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. 
Genésio chegou com dois dias de atraso para particip
probabilidade de ele ter ido de avião é:”
1º) O primeiro pedaço que destacamos (em vermelho) servirá apenas para uma coisa: para 
desenharmos a árvore de probabilidadese os respectivos caminhos de probabilidade. 
2º) A segunda parte do enunciado (destacada em azul) se resume a uma única frase: é o 
dado! É aquela informação que passa a ser conhecida por nós todos! Repito: não é uma 
probabilidade: é um fato! 
3º) A terceira e última parte do enunciado (destacada em
 
 Pronto! Estamos quase lá! Agora só nos resta definir exatamente o que a questão quer de 
nós. Para saber isso, começaremos pela pergunta do enunciado: a terceira parte! 
probabilidade de Genésio ter ido de avião?
 
 
olaamigos.com.br 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de 
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de 
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe
enésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A 
probabilidade de ele ter ido de avião é:” 
E aí? Alguém achou uma frase suspeita? Uma frase que veio sozinha? E que não falou 
de probabilidade? E que só nos informou um fato dado? 
NÃO?????? Não é possível...! Tente novamente: 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de 
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de 
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. 
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra
probabilidade de ele ter ido de avião é:” 
E agora, melhorou? Agora todo mundo vai dizer que já tinha visto da primeira vez...
Pois é, minha gente! Aqui teremos novidades: quando a questão fornecer todos os 
os para desenharmos a árvore de probabilidades e para construirmos os 
caminhos de probabilidades, mas não se contentar apenas com isso, de modo a nos revelar ainda 
, estaremos diante de uma questão da chamada probabilidade condicional
so? É muito fácil. Probabilidade condicional será a probabilidade de 
dado que sabemos que ocorreu um outro evento “B”
” é justamente aquele que nos é dado a conhecer pela informação 
ue vem sozinha, e apenas nos revela um fato dado
Retornemos novamente ao nosso enunciado, para ver se entendemos o que está sendo 
Vamos por partes! Podemos dividir esse enunciado em três pedaços, representados abaixo 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de 
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de 
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. 
Genésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. 
probabilidade de ele ter ido de avião é:” 
O primeiro pedaço que destacamos (em vermelho) servirá apenas para uma coisa: para 
desenharmos a árvore de probabilidades e os respectivos caminhos de probabilidade. 
A segunda parte do enunciado (destacada em azul) se resume a uma única frase: é o 
! É aquela informação que passa a ser conhecida por nós todos! Repito: não é uma 
A terceira e última parte do enunciado (destacada em verde) é a pergunta! 
Pronto! Estamos quase lá! Agora só nos resta definir exatamente o que a questão quer de 
nós. Para saber isso, começaremos pela pergunta do enunciado: a terceira parte! 
probabilidade de Genésio ter ido de avião? 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de 
navio é de 40% e de ir de avião é de 60%. Se ele for de navio, a probabilidade de 
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que 
enésio chegou com dois dias de atraso para participar do congresso em Genebra. A 
E aí? Alguém achou uma frase suspeita? Uma frase que veio sozinha? E que não falou 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de 
0%. Se ele for de navio, a probabilidade de 
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que 
r do congresso em Genebra. A 
E agora, melhorou? Agora todo mundo vai dizer que já tinha visto da primeira vez... 
Pois é, minha gente! Aqui teremos novidades: quando a questão fornecer todos os 
os para desenharmos a árvore de probabilidades e para construirmos os 
caminhos de probabilidades, mas não se contentar apenas com isso, de modo a nos revelar ainda 
probabilidade condicional. 
será a probabilidade de 
dado que sabemos que ocorreu um outro evento “B”. 
” é justamente aquele que nos é dado a conhecer pela informação 
fato dado; algo que passa 
Retornemos novamente ao nosso enunciado, para ver se entendemos o que está sendo 
m três pedaços, representados abaixo 
“Há apenas dois modos, mutuamente excludentes, de Genésio ir para Genebra 
participar de um congresso: ou de navio ou de avião. A probabilidade de Genésio ir de 
60%. Se ele for de navio, a probabilidade de 
chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 8,5%. Se ele for de avião a 
probabilidade de chegar ao congresso com dois dias de atraso é de 1%. Sabe-se que 
ar do congresso em Genebra. A 
O primeiro pedaço que destacamos (em vermelho) servirá apenas para uma coisa: para 
desenharmos a árvore de probabilidades e os respectivos caminhos de probabilidade. 
A segunda parte do enunciado (destacada em azul) se resume a uma única frase: é o fato 
! É aquela informação que passa a ser conhecida por nós todos! Repito: não é uma 
verde) é a pergunta! 
Pronto! Estamos quase lá! Agora só nos resta definir exatamente o que a questão quer de 
nós. Para saber isso, começaremos pela pergunta do enunciado: a terceira parte! Qual a 
78 http://www.olaamigos
 
 Sabendo que esta é a pergunta da questão, só nos falta averiguar uma coisa: foi fornecido 
pelo enunciado aquela informação adicional? Aquele 
 E qual foi mesmo esse fato dado? Foi que 
 Daí, o que a questão está mesmo 
“Qual a probabilidade de Genésio ter
 Essa é a pergunta completa! 
 Essa é a pergunta da 
submetida a uma condição! Qual condiç
ocorreu! 
 Veja como a pergunta acima se enquadra perfeitamente no 
condicional: 
“Qual a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos 
 Observemos que o que virá após o 
enunciado! 
 Utilizando a nomenclatura própria da matemática, reduziremos a pergunta acima ao 
seguinte: P(A dado B)=? 
 Esta é a pergunta da probabilidade condicional
a seguinte fórmula: 
 Aplicando a fórmula acima à nossa questão, teremos:
���� P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado)
 
 Vejamos que o numerador desta fórmula 
da “pergunta b”, que foi analisado há pouco por nós, e em que concluímos que: 
atrasado)=0,006. 
 Vejamos ainda que o denominador da fórmula 
resposta da “pergunta c” , vista acima, com o
 Pronto! Dispondo dos elementos todos da fórmula da probabilidade condicional, 
chegaremos ao seguinte: 
 ���� P(avião dado atraso) = P(avião & atraso) / P(atraso)���� P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 
 
Passemos a outro exemplo, cobrado na prova do Analista do MPU, ainda recente!
Exemplo 07) (Analista MPU/2004)
mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que 
lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% 
das vezes por Maria. João salga demais a 
vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa 
e, ao experimentá-la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa 
sopa tenha sido feita por José é igual a?
Sol.: Convém relermos o enunciado, tentado já ver se é possível estabelecermos aquela divisão 
em partes! Será que é possível. Vejamos:
 
 
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esta é a pergunta da questão, só nos falta averiguar uma coisa: foi fornecido 
pelo enunciado aquela informação adicional? Aquele fato dado? Foi? Sim!
E qual foi mesmo esse fato dado? Foi que Genésio chegou atrasado
Daí, o que a questão está mesmo querendo saber é o seguinte: 
“Qual a probabilidade de Genésio ter ido de avião, dado que chegou atrasado
Essa é a pergunta completa! 
Essa é a pergunta da probabilidade condicional. Por que condicional? Porque está 
submetida a uma condição! Qual condição? A de que exista um fato que nós estamos certos que 
Veja como a pergunta acima se enquadra perfeitamente no modelo
“Qual a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos 
que ocorreu um evento “B”? 
Observemos que o que virá após o dado que será sempre o 
Utilizando a nomenclatura própria da matemática, reduziremos a pergunta acima ao 
probabilidade condicional. Para respondê-
)(
)()(
BP
BeAPBdadoAP = 
Aplicando a fórmula acima à nossa questão, teremos: 
P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado)
Vejamos que o numerador desta fórmula P(avião & atrasado) é exatamente a resposta 
, que foi analisado há pouco por nós, e em que concluímos que: 
Vejamos ainda que o denominador da fórmula P(atraso) corresponde, por sua vez, à 
, vista acima, com o que concluímos que: P(atrasado)=0,04
Pronto! Dispondo dos elementos todos da fórmula da probabilidade condicional, 
P(avião dado atraso) = P(avião & atraso) / P(atraso) 
P(avião dado atraso) = 0,006 / 0,04 = 0,15 = 15% ���� Res
Passemos a outro exemplo, cobrado na prova do Analista do MPU, ainda recente!
(Analista MPU/2004) Carlos diariamente almoça um prato de sopa no 
mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que 
lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% 
das vezes por Maria. João salga demais a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das 
vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa 
la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa 
sopa tenha sido feita por José é igual a? 
onvém relermos o enunciado, tentado já ver se é possível estabelecermos aquela divisão 
em partes! Será que é possível. Vejamos: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
esta é a pergunta da questão, só nos falta averiguar uma coisa: foi fornecido 
! 
Genésio chegou atrasado! 
chegou atrasado?” 
. Por que condicional? Porque está 
que nós estamos certos que 
modelo da probabilidade 
“Qual a probabilidade de ocorrência de um evento “A”, dado que sabemos 
será sempre o fato fornecido pelo 
Utilizando a nomenclatura própria da matemática, reduziremos a pergunta acima ao 
-la, teremos que aplicar 
P(avião dado atrasado) = P(avião & atrasado) / P(atrasado) 
é exatamente a resposta 
, que foi analisado há pouco por nós, e em que concluímos que: P(avião & 
corresponde, por sua vez, à 
P(atrasado)=0,04. 
Pronto! Dispondo dos elementos todos da fórmula da probabilidade condicional, 
Resposta! 
Passemos a outro exemplo, cobrado na prova do Analista do MPU, ainda recente! 
Carlos diariamente almoça um prato de sopa no 
mesmo restaurante. A sopa é feita de forma aleatória por um dos três cozinheiros que 
lá trabalham: 40% das vezes a sopa é feita por João; 40% das vezes por José, e 20% 
sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das 
vezes, e Maria 20% das vezes. Como de costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa 
la, verifica que está salgada demais. A probabilidade de que essa 
onvém relermos o enunciado, tentado já ver se é possível estabelecermos aquela divisão 
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“Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de 
forma aleatória por um dos três cozinheiros
feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais 
a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. 
costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, a
salgada demais. A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?”
 
 A primeira parte é aquela que usaremos para desenhar a árvore de probabilidades, 
observando as situações excludentes
 A segunda parte (em vermelho) é um informação adicional que nos revela um 
que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um 
 A terceira parte é a pergu
 
 Trabalhando a primeira parte do enunciado, chegaremos à seguinte 
probabilidades: 
 
 JOÃO (40%) 
 
 
 
 JOSÉ (40%) 
 
 
 MARIA (20%)
 
 
 Agora temos que formular a pergunta completa da questão!
 O que está sendo questionado na última parte do enunciado? A pergunta é 
probabilidade de José ter feito a sopa? 
 Existe dentro do enunciado uma informação adicional, que nos dá a conhecer um 
Sim! Qual é esse fato? É que a sopa ficou salgada! Ora, 
pela questão. É algo do qual agora temos conhecimento.
 Daí, a pergunta completa desta questão é a seguinte:
“Qual a probabilidade de 
 Estamos diante de uma probabilidade condicional
 Na linguagem da probabilidade, teremos: 
 Aí é só aplicar a fórmula da 
 � P(José dado salgada)= P(José & salgada) / P(salgada)
 O numerador P(José & salgada)
probabilidade. O primeiro deles! Vejamos:
 
 
 
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“Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de 
forma aleatória por um dos três cozinheiros que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é 
feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais 
a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. 
costume, um dia qualquer Carlos pede a sopa e, ao experimentá
A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?”
A primeira parte é aquela que usaremos para desenhar a árvore de probabilidades, 
situações excludentes, e construindo, se for o caso, os caminhos de probabilidade. 
A segunda parte (em vermelho) é um informação adicional que nos revela um 
que passa a ser do nosso conhecimento! Não é uma probabilidade: é um fato
A terceira parte é a pergunta da questão! 
Trabalhando a primeira parte do enunciado, chegaremos à seguinte 
 sopa salgada (10%) 
 
 sopa normal (90%) 
 sopa salgada (5%) 
 sopa normal (95%) 
 
sopa salgada (20%) 
MARIA (20%) 
 sopa normal (80%) 
Agora temos que formular a pergunta completa da questão! 
O que está sendo questionado na última parte do enunciado? A pergunta é 
probabilidade de José ter feito a sopa? 
Existe dentro do enunciado uma informação adicional, que nos dá a conhecer um 
Sim! Qual é esse fato? É que a sopa ficou salgada! Ora, que a sopaficou salgada
l agora temos conhecimento. 
Daí, a pergunta completa desta questão é a seguinte: 
“Qual a probabilidade de José ter feito a sopa, dado que a sopa ficou salgada
probabilidade condicional. 
Na linguagem da probabilidade, teremos: P(José dado salgada)=?
Aí é só aplicar a fórmula da probabilidade condicional. Teremos:
P(José dado salgada)= P(José & salgada) / P(salgada) 
P(José & salgada) será a probabilidade resultante de um único caminho de 
eles! Vejamos: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
“Carlos diariamente almoça um prato de sopa no mesmo restaurante. A sopa é feita de 
que lá trabalham: 40% das vezes a sopa é 
feita por João; 40% das vezes por José, e 20% das vezes por Maria. João salga demais 
a sopa 10% das vezes; José o faz em 5% das vezes, e Maria 20% das vezes. Como de 
o experimentá-la, verifica que está 
A probabilidade de que essa sopa tenha sido feita por José é igual a?” 
A primeira parte é aquela que usaremos para desenhar a árvore de probabilidades, 
caminhos de probabilidade. 
A segunda parte (em vermelho) é um informação adicional que nos revela um fato. Algo 
fato dado! 
Trabalhando a primeira parte do enunciado, chegaremos à seguinte árvore de 
O que está sendo questionado na última parte do enunciado? A pergunta é qual a 
Existe dentro do enunciado uma informação adicional, que nos dá a conhecer um fato? 
que a sopa ficou salgada é um fato dado 
a sopa ficou salgada?” 
)=? 
. Teremos: 
será a probabilidade resultante de um único caminho de 
80 http://www.olaamigos
 
 
 
 JOÃO (40%) 
 
 
 
 JOSÉ (40%) 
 
 
 MARIA (20%)
 
 
 Já no tocante ao denominador 
resultantes de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:
 
 
 JOÃO (40%) 
 
 
 
 JOSÉ (40%) 
 
 
 MARIA (20%)
 
 
 Daí, jogando os dados na fórmula da 
 
� P(José dado salgada)= 0,02 / (0,04+0.02+0,04) 
���� P (José dado salgada) = 0,02/0,10 = 
 
 Dando continuidade ao estudo da Probabilidade, veremos agora mais alguns 
ainda não foram comentados. Quais sejam:
 ���� Probabilidade da união de dois eventos; e
 ���� Probabilidade binomial.
 Aprenderemos igualmente esses tópicos por meio da resolução de exercícios diversos. 
 
 
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 sopa salgada (10%) 
 
 sopa normal (90%) 
 sopa salgada (5%) ⇒⇒⇒⇒ 0,40 x 0,05 = 0,02
 sopa normal (95%) 
 
sopa salgada (20%) 
MARIA (20%) 
 sopa normal (80%) 
Já no tocante ao denominador P(salgada), teremos que somar
de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos:
 sopa salgada (10%) ⇒⇒⇒⇒ 0,40 x 0,10 = 0,04
 
 sopa normal (90%) 
 sopa salgada (5%) ⇒⇒⇒⇒ 0,40 x 0,05 = 0,02
 sopa normal (95%) 
 
sopa salgada (20%) ⇒⇒⇒⇒ 0,20 x 0,20 = 0,04
MARIA (20%) 
 sopa normal (80%) 
Daí, jogando os dados na fórmula da probabilidade condicional, teremos que:
P(José dado salgada)= 0,02 / (0,04+0.02+0,04) 
P (José dado salgada) = 0,02/0,10 = 20% ���� Resposta! 
Dando continuidade ao estudo da Probabilidade, veremos agora mais alguns 
ainda não foram comentados. Quais sejam: 
Probabilidade da união de dois eventos; e 
Probabilidade binomial. 
Aprenderemos igualmente esses tópicos por meio da resolução de exercícios diversos. 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
0,40 x 0,05 = 0,02 
somar as probabilidades 
de três caminhos de probabilidades para chegarmos a ele. Teremos: 
0,40 x 0,10 = 0,04 
0,40 x 0,05 = 0,02 
0,20 x 0,20 = 0,04 
, teremos que: 
Dando continuidade ao estudo da Probabilidade, veremos agora mais alguns conceitos que 
Aprenderemos igualmente esses tópicos por meio da resolução de exercícios diversos. 
81 http://www.olaamigos
 
# Probabilidade da União de Dois Eventos
 Esta situação se verificará sempre que a questão de probabilidade trouxer uma pergunta 
referente a dois eventos, conectados entre si pela partícula 
 Por exemplo, pode ser que a questão apresente uma série de dados e no final pergunte: 
Qual a probabilidade de ocorrência do evento A 
 Saberemos, então, de imediato, que a partícula 
assim, com uma fórmula própria: a da 
P(evento A ou evento B)=P(evento A)+P(evento B) 
 Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: 
parcela trata acerca da probabilidade de ocorrência 
 Aprendemos na aula passada que, 
então a probabilidade de ocorrência de A 
das probabilidades individuais! Lembrados disso?
 Pois bem! Vejamos alguns exemplos que nos ajudarão a entender me
 
Exemplo 1) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é 
escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de se observar um 
Sol.: Vemos facilmente que esta questão trata de dois eventos, e não apenas de u
esses dois eventos? 
� Retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de dois; e
� retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de quatro.
 Na pergunta da questão, esses dois eventos estão conectados entre si pela partícula 
que nos leva a concluir que estamos trabalhando com a 
 Teremos, pois, que: 
� P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=P(múltiplo de 2)+P(múltiplo de 4)
 
 O que temos a fazer é descobrir 
 ���� P(múltiplo de 2)=? 
 Sabemos que probabilidade é uma fração: Resultados favoráveis / resultados possíveis! 
 Daí, na hora de retirarmos uma bolinha de uma urna que contém dez delas, quantos serão 
os resultados possíveis? Serão 10, obviamente! É esse nosso denominador.
 Queremos agora que a bolinha retirada seja múltiplo de 2. Quantos são os resultados que 
satisfazem essa exigência (resultados favoráveis
 � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
 Daí, teremos: 
 ���� P(múltiplo de 2)= (5/10)
 Passemos a trabalhar a segunda parcela da equação: 
 ���� P(múltiplo de 4)=? 
 Quantos são os resultados possíveis para a retirada de uma bola, se a urna tem dez bolas? 
Dez. (É o nosso denominador)! 
 E quantos são os resultados que satisfazem a exigência de a bola retirada ser múltiplo de 
4? Ou seja, quantos são os resultados favoráveis
 
 
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# Probabilidade da União de Dois Eventos: 
Esta situação se verificará sempre que a questão de probabilidade trouxer uma pergunta 
referente a dois eventos, conectados entre si pela partícula ou. 
Por exemplo, pode ser que a questão apresente uma série de dados e no final pergunte: 
Qual a probabilidade de ocorrência do evento A ou do evento B? 
Saberemos, então, de imediato, que a partícula ou significará 
assim, com uma fórmula própria: a da Probabilidade da União de Dois Eventos
evento B)=P(evento A)+P(evento B) – P(evento A 
Reparemos bem na terceira parcela da fórmula acima: P(evento A 
parcela trata acerca da probabilidade de ocorrência simultânea dos eventos A e B.
Aprendemos na aula passada que, caso os eventos A e B sejam 
então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo 
das probabilidades individuais! Lembrados disso? 
Pois bem! Vejamos alguns exemplos que nos ajudarão a entender me
Exemplo 1) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é 
escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de se observar um múltiplo de 2 ou de 4
Vemos facilmente que esta questão trata de dois eventos, e não apenas de u
Retiraruma bolinha numerada com um múltiplo de dois; e 
retirar uma bolinha numerada com um múltiplo de quatro. 
Na pergunta da questão, esses dois eventos estão conectados entre si pela partícula 
que nos leva a concluir que estamos trabalhando com a probabilidade da união de dois eventos
múltiplo de 4)=P(múltiplo de 2)+P(múltiplo de 4)
e múltiplo de 4) 
O que temos a fazer é descobrir o valor de cada uma das parcelas. Vamos lá!
 
Sabemos que probabilidade é uma fração: Resultados favoráveis / resultados possíveis! 
Daí, na hora de retirarmos uma bolinha de uma urna que contém dez delas, quantos serão 
possíveis? Serão 10, obviamente! É esse nosso denominador.
Queremos agora que a bolinha retirada seja múltiplo de 2. Quantos são os resultados que 
resultados favoráveis)? Ora, são 5. Senão, vejamos:
8, 9, 10} ⇒ (cinco múltiplos de 2)! 
P(múltiplo de 2)= (5/10) 
Passemos a trabalhar a segunda parcela da equação: 
 
Quantos são os resultados possíveis para a retirada de uma bola, se a urna tem dez bolas? 
 
E quantos são os resultados que satisfazem a exigência de a bola retirada ser múltiplo de 
resultados favoráveis? São 2. Vejamos: 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Esta situação se verificará sempre que a questão de probabilidade trouxer uma pergunta 
Por exemplo, pode ser que a questão apresente uma série de dados e no final pergunte: 
significará união! Trabalharemos, 
Probabilidade da União de Dois Eventos: 
P(evento A e evento B) 
P(evento A e evento B). Esta 
dos eventos A e B. 
caso os eventos A e B sejam eventos independentes, 
B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto 
Pois bem! Vejamos alguns exemplos que nos ajudarão a entender melhor essa teoria. 
Exemplo 1) Uma urna contém 10 bolinhas numeradas de 1 a 10. Uma bolinha é 
múltiplo de 2 ou de 4? 
Vemos facilmente que esta questão trata de dois eventos, e não apenas de um! Quais são 
Na pergunta da questão, esses dois eventos estão conectados entre si pela partícula ou, o 
probabilidade da união de dois eventos! 
múltiplo de 4)=P(múltiplo de 2)+P(múltiplo de 4)-P(múltiplo de 2 
o valor de cada uma das parcelas. Vamos lá! 
Sabemos que probabilidade é uma fração: Resultados favoráveis / resultados possíveis! 
Daí, na hora de retirarmos uma bolinha de uma urna que contém dez delas, quantos serão 
possíveis? Serão 10, obviamente! É esse nosso denominador. 
Queremos agora que a bolinha retirada seja múltiplo de 2. Quantos são os resultados que 
)? Ora, são 5. Senão, vejamos: 
Quantos são os resultados possíveis para a retirada de uma bola, se a urna tem dez bolas? 
E quantos são os resultados que satisfazem a exigência de a bola retirada ser múltiplo de 
82 http://www.olaamigos
 
 � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} 
 Daí, teremos que: 
 � P(múltiplo de 4)=(2/10)
 Pois bem! Só nos falta calcular agora a terceira parcela da equação:
 � P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=?
 Já sabemos que há dez resultados possíveis para a retirada de uma bola dessa urna!
 Mas quantos serão os resultados favoráveis? Ou seja, quantos serão os resultados que 
satisfazem, ao mesmo tempo, a exigência de a bola retirada ser um múltiplo de 2 
de 4? Essa é fácil. Vejamos: 
 � {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
múltiplos de 2 e múltiplos de 4)!
 Daí, teremos que: 
 � P(múltiplo de 2 e múltiplo de 4)=(2/10)
 Finalmente, lançando todos esses resultados na equação da união de dois eventos, 
teremos: 
���� P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)+(2/10)
E: 
���� P(múltiplo de 2 ou múltiplo de 4)=(5/10)=0,50= 
 
 Ou seja, não tem segredo! Basta recordar da fórmula e aplicá
Exemplo 2) (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não 
viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na 
moeda é: 
a) 1/5 
b) 1/4 
c) 2/4 
d) 3/5 
e) 3/4 
 
Sol.: Percebemos que aqui também haverá dois eventos envolvidos: o lançamento de um dado 
e o lançamento de uma moeda. Obviamente que lançar um dado e lançar uma moeda são 
eventos que não dependem um do outro, ou seja, 
resultado do outro. Em outras palavras, são 
tenha dito isso expressamente
 Pois bem! Vamos ao nosso raciocínio.
 Trabalhando primeiro com o dado. Quantas possibilidad
de um dado? Ora, há seis possibilidades: {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
 E quantos modos diferentes há de esse resultado ser um numero ímpar? Vejamos: {
3, 4, 5, 6}. Ora, haverá três possibilidades.
 Daí, ao lançarmos um dado, a 
P(resultado ímpar no dado)
 Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma 
moeda “não viciada”? Dois: {cara, coroa}. 
 
 
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, 9, 10} ⇒ (dois múltiplos de 4)! 
P(múltiplo de 4)=(2/10) 
Pois bem! Só nos falta calcular agora a terceira parcela da equação:
múltiplo de 4)=? 
Já sabemos que há dez resultados possíveis para a retirada de uma bola dessa urna!
Mas quantos serão os resultados favoráveis? Ou seja, quantos serão os resultados que 
, a exigência de a bola retirada ser um múltiplo de 2 
8, 9, 10} ⇒ (são também apenas 2 resultados, ao mesmo tempo, 
múltiplos de 2 e múltiplos de 4)! 
múltiplo de 4)=(2/10) 
Finalmente, lançando todos esses resultados na equação da união de dois eventos, 
múltiplo de 4)=(5/10)+(2/10)–(2/10) 
múltiplo de 4)=(5/10)=0,50= 50% ���� Resposta!
Ou seja, não tem segredo! Basta recordar da fórmula e aplicá-la! Mais um exemplo.
Exemplo 2) (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não 
viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na 
 
Percebemos que aqui também haverá dois eventos envolvidos: o lançamento de um dado 
e o lançamento de uma moeda. Obviamente que lançar um dado e lançar uma moeda são 
eventos que não dependem um do outro, ou seja, o resultado de um não influencia em nada o 
resultado do outro. Em outras palavras, são eventos independentes, embora o enunciado não 
tenha dito isso expressamente! 
Pois bem! Vamos ao nosso raciocínio. 
Trabalhando primeiro com o dado. Quantas possibilidades de resultado há no lançamento 
de um dado? Ora, há seis possibilidades: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
E quantos modos diferentes há de esse resultado ser um numero ímpar? Vejamos: {
, 6}. Ora, haverá três possibilidades. 
Daí, ao lançarmos um dado, a probabilidade de o resultado ser ímpar será:
P(resultado ímpar no dado)
2
1
6
3
== 
Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma 
moeda “não viciada”? Dois: {cara, coroa}. 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Pois bem! Só nos falta calcular agora a terceira parcela da equação: 
Já sabemos que há dez resultados possíveis para a retirada de uma bola dessa urna! 
Mas quantos serão os resultados favoráveis? Ou seja, quantos serão os resultados que 
, a exigência de a bola retirada ser um múltiplo de 2 e um múltiplo 
apenas 2 resultados, ao mesmo tempo, 
Finalmente, lançando todos esses resultados na equação da união de dois eventos, 
Resposta! 
la! Mais um exemplo. 
Exemplo 2) (ESAF) Um dado “honesto” é lançado juntamente com uma moeda não 
viciada. Assim, a probabilidade de se obter um número ímpar no dado ou coroa na 
Percebemos que aqui também haverá dois eventos envolvidos: o lançamento de um dado 
e o lançamento de uma moeda. Obviamente que lançar um dado e lançar uma moeda são 
o resultado de um não influencia em nada o 
embora o enunciado não 
es de resultadohá no lançamento 
E quantos modos diferentes há de esse resultado ser um numero ímpar? Vejamos: {1, 2, 
probabilidade de o resultado ser ímpar será: 
Passemos ao caso da moeda! Quantos resultados possíveis há no lançamento de uma 
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 Quantos resultados possíveis de 
lançarmos uma moeda, dar coroa é de:
 Quase lá! Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um 
número ímpar no dado ou coroa na moeda, estará 
dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos:
P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=P(ímpar dado)+P(coroa moeda)
 
 Pois bem! As duas primeiras parcelas da equação acima já foram calculadas. Resta
última! Eis o xis da questão: esta última parcela há que ser muito bem pensada por nós. Por quê? 
Porque se estivermos trabalhando com 
esta parcela será encontrada pelo 
 Teremos: 
 � P(ímpar no dado e coroa na moeda)=P(ímpar no dado) x P(coroa na moeda)
 Daí, encontraremos que:
 � P(ímpar no dado e coroa na moeda)=
 Finalmente, aplicando os resultados obtidos na nossa equação, encontraremos que:
 
���� P(ímpar no dado ou coroa na moeda)=(1/2)+(1/2)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Quantos resultados possíveis de “coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao 
lançarmos uma moeda, dar coroa é de: 
P(coroa na moeda)
2
1
= 
Quase lá! Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um 
coroa na moeda, estará falando, obviamente, da 
dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos:
coroa na moeda)=P(ímpar dado)+P(coroa moeda)
coroa moeda) 
Pois bem! As duas primeiras parcelas da equação acima já foram calculadas. Resta
da questão: esta última parcela há que ser muito bem pensada por nós. Por quê? 
Porque se estivermos trabalhando com eventos independentes – e esse é o 
esta parcela será encontrada pelo produto das probabilidades dos dois eventos.
coroa na moeda)=P(ímpar no dado) x P(coroa na moeda)
Daí, encontraremos que: 
coroa na moeda)= (1/2) x (1/2) = (1/4)
Finalmente, aplicando os resultados obtidos na nossa equação, encontraremos que:
coroa na moeda)=(1/2)+(1/2)–(1/4)=(3/4) 
 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
“coroa”? Apenas um. Logo, a probabilidade de, ao 
Quase lá! Quando o enunciado pede que se determine a probabilidade de se obter um 
falando, obviamente, da união entre esses 
dois eventos. Já sabemos que a existe uma fórmula própria para esses casos. Teremos: 
coroa na moeda)=P(ímpar dado)+P(coroa moeda)–P(ímpar dado e 
Pois bem! As duas primeiras parcelas da equação acima já foram calculadas. Resta-nos a 
da questão: esta última parcela há que ser muito bem pensada por nós. Por quê? 
e esse é o nosso caso! – então 
das probabilidades dos dois eventos. 
coroa na moeda)=P(ímpar no dado) x P(coroa na moeda) 
(1/4) 
Finalmente, aplicando os resultados obtidos na nossa equação, encontraremos que: 
(3/4) ���� Resposta! 
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# Distribuições de Probabilidade:
Distribuição Binomial: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E a questão de distribuição binomial fará a seguinte pergunta: 
Qual a probabilidade de se obter S sucessos, em n tentativas?
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como reconhecer a questão de Distribuição Binomial?
� Ela perguntará por uma probabilidade;
� Ela tratará de um experimento que se repetirá 
mesmas condições originais.
� Este experimento só admite dois resultados: 
� Este experimento diz respeito a uma variável discreta.
� Tais resultados (sucesso e fracasso) são mutuamente excludentes, ou seja, 
ocorrendo um, o outro está automaticamente descartado.
� A cada repetição do experimento, as probabilidade de 
se mantêm constantes. 
� Cada tentativa é independente da outra.
Se uma variável tem 
Equações: 
� Probabilidade Binomial:
P(S 
Onde: 
 Cn,s= n!/[s!(n
n é o número de repetições do experimento;
p é a probabilidade de ocorrência de 
q é a probabilidade de 
S é o número de sucessos desejados;
F é o número de fracassos.
� Valor Esperado: 
� Variância: 
� Desvio Padrão: 
Desvio Padrão(x)= 
 
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# Distribuições de Probabilidade: 
E a questão de distribuição binomial fará a seguinte pergunta: 
Qual a probabilidade de se obter S sucessos, em n tentativas?
Como reconhecer a questão de Distribuição Binomial? 
Ela perguntará por uma probabilidade; 
Ela tratará de um experimento que se repetirá n vezes, sempre mantidas as 
mesmas condições originais. 
Este experimento só admite dois resultados: sucesso e fracasso.
Este experimento diz respeito a uma variável discreta. 
Tais resultados (sucesso e fracasso) são mutuamente excludentes, ou seja, 
ocorrendo um, o outro está automaticamente descartado. 
A cada repetição do experimento, as probabilidade de sucesso p 
 
Cada tentativa é independente da outra. 
Se uma variável tem distribuição binomial, diremos que: 
X���� B(n,p) 
Probabilidade Binomial: 
P(S sucessos)=Cn,S.(p)S.(q)F 
= n!/[s!(n-s)!] 
é o número de repetições do experimento; 
é a probabilidade de ocorrência de sucesso; 
é a probabilidade de ocorrência de fracasso; 
é o número de sucessos desejados; 
é o número de fracassos. 
Valor Esperado: 
E(x)= µµµµ = n.p 
Var(x)= σσσσ2 = n.p.q 
Desvio Padrão: 
Desvio Padrão(x)= σσσσ = qpn .. 
 
 Prof. Sérgio Carvalho 
Qual a probabilidade de se obter S sucessos, em n tentativas? 
sempre mantidas as 
. 
Tais resultados (sucesso e fracasso) são mutuamente excludentes, ou seja, 
p e de fracasso q 
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Questões de Fixação: 
1ª) Uma moeda será lançada cinco vezes consecutivas. Qual a probabilidade de se verificarem 3 
resultados cara? 
2ª) Um casal quer ter oito filhos. Qual a probabilidade de nascerem exatamente 5 meninas, 
considerando que não venham gêmeos? 
3ª) Um candidato tem apenas 2% das intenções de voto. Qual a probabilidade de que, em 100 
eleitores escolhidos ao acaso, encontremos cinco que desejem votar nesse candidato?
 
 
Questões de Concursos: 
4ª) (ESAF) Em uma cidade, 10% das pessoas possuem carro importado
cidade são selecionadas, ao acaso e com reposição. A probabilidade de que exatamente 7 das 
pessoas selecionadas possuam carro importado é:
a) (0,1)7 . (0,9)3 
b) (0,1)3 . (0,9)7 
c) 120 . (0,1)7 . (0,9)3 
 
 
5ª) (ESAF) São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. Qual é a probabilidade de resultar 
exatamente duas caras e duas coroas?
a) 25% b) 37,5% 
 
 
 
Distribuição Poisson: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E a questão de distribuição de Poisson fará a seguinte pergunta: 
Qual a probabilidade de se obter S 
 
 
 
 
Como reconhecer a questão de Distribuição 
� Ela perguntará por uma probabilidade;
� Ela também é uma distribuição discreta;
� Ela se parece muito com a binomial;
� Não é empregada em experimentos nos quais se está interessado no número de 
sucessos obtidos em n tentativas, como ocorre no c
� Está-se interessado em saber o número de sucessos ocorridos durante um intervalo 
contínuo, que pode ser um intervalo