Algebra linear - APOL

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Questão 1/5 - Álgebra Linear
Seja T:R2→R2T:R2→R2 a transformação linear dada por T(x,y)=(x+2y,y).T(x,y)=(x+2y,y). Assinale a alternativa que contém a matriz de TT com relação à base canônica do R2R2:
Nota: 20.0
	
	A
	[1201].[1201].
Você acertou!
Observamos que
T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).T(1,0)=(1,0)=1(1,0)+0(0,1) e T(0,1)=(2,1)=2(1,0)+1(0,1).
Logo, a matriz de TT com relação à base canônica é [1201][1201](livro-base p. 130-137)
	
	B
	[1021].[1021].
	
	C
	[1210].[1210].
	
	D
	[2110].[2110].
	
	E
	[1012].[1012].
Questão 2/5 - Álgebra Linear
Seja T:R3→R3T:R3→R3 a transformação linear dada por T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z).T(x,y,z)=(x−3y+2z,−x+2y−4z,2x−y+3z). Assinale a alternativa que apresenta o vetor u∈R3u∈R3 tal que T(u)=(−7,7,−3)T(u)=(−7,7,−3).
Nota: 20.0
	
	A
	u=(1,2,−1).u=(1,2,−1).
Você acertou!
Basta verificar que T(1,2,−1)=(−7,7,−3)T(1,2,−1)=(−7,7,−3).  Outra forma de resolução é determinado a solução do sistema ⎧⎪⎨⎪⎩x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3{x−3y+2z=−7−x+2y−4z=72x−y+3z=−3 
(livro-base p. 124-127).
	
	B
	u=(2,2,−1).u=(2,2,−1).
	
	C
	u=(−3,−2,−1).u=(−3,−2,−1).
	
	D
	u=(6,4,−2).u=(6,4,−2).
	
	E
	u=(3,0,−5).u=(3,0,−5).
Questão 3/5 - Álgebra Linear
A inversa da matriz A=[3142]A=[3142] é
Nota: 20.0
	
	A
	A−1=[1−1/2−23/2].A−1=[1−1/2−23/2].
Você acertou!
Como A−1=1detAAdjA,A−1=1detAAdjA, temos A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2].A−1=12[2−1−43]=[1−1/2−23/2]. (livro-base p. 53-54)
	
	B
	A−1=[−11/2−2−3/2].A−1=[−11/2−2−3/2].
	
	C
	A−1=[12−23/2].A−1=[12−23/2].
	
	D
	A−1=[11/22−3/2].A−1=[11/22−3/2].
	
	E
	A−1=[−1−1/223/2].A−1=[−1−1/223/2].
Questão 4/5 - Álgebra Linear
Considere o conjunto formado pelos vetores v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2).v1=(1,−3,4), v2=(3,2,1) e v3=(1,−1,2). Com base neste conjunto, analise as afirmativas:
I. Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente independentes.
II. Os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes.
III. O conjunto {v1,v2,v3}{v1,v2,v3} forma uma base para o R3.R3.
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
Você acertou!
Observamos que det⎡⎢⎣131−32−1412⎤⎥⎦=0.det[131−32−1412]=0. Com isso, os vetores v1, v2 e v3v1, v2 e v3 são linearmente dependentes (LD), logo não formam uma base (o determinante deve ser diferente de zero ou os vetores devem ser LI).  Apenas o item II é verdadeiro (livro-base p. 96-103).
	
	E
	II e III, apenas.
Questão 5/5 - Álgebra Linear
Considere o espaço vetorial R2R2. O produto interno canônico do R2R2 é definido por
(x1,x2)⋅(y1,y2)=x1y1+x2y2 para todos (x1,x2),(y1,y2)∈R2.(x1,x2)⋅(y1,y2)=x1y1+x2y2 para todos (x1,x2),(y1,y2)∈R2.
Com base nisso, analise as afirmativas:
I. Os vetores (1,3)(1,3) e (3,−1)(3,−1) são ortogonais.
II. O vetor (−1√10,3√10)(−110,310) é unitário.
III. O conjunto {(−1,3),(2,1)}{(−1,3),(2,1)} forma uma base ortogonal para o R2.R2.
São corretas as afirmativas:
Nota: 20.0
	
	A
	I, apenas.
	
	B
	I e II, apenas.
Você acertou!
Como (1,3)⋅(3,−1)=0(1,3)⋅(3,−1)=0, os vetores (1,3) e (3,−1)(1,3) e (3,−1) são ortogonais. Desse modo, a afirmativa I é verdadeira. O vetor (−1√10,3√10)(−110,310) satisfaz ∣∣∣∣(−1√10,3√10)∣∣∣∣=1||(−110,310)||=1, o que mostra que este vetor é unitário e a afirmativa II é verdadeira. Os vetores (−1,3) e (2,1)(−1,3) e (2,1) formam uma base, pois são LI, porem não são ortogonais. Item III é Falso. (livro-base p. 146-152).
	
	C
	I e III, apenas.
	
	D
	II, apenas.
	
	E
	II e III, apenas.