Relatório1Fisica - Medidas e Incertezas

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FÍSICA EXPERIMENTAL I 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
ANA CLARA PEDRAS BUENO 
 
 
 
 
 
 
MEDIDAS E INCERTEZAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVELO 
2017 
INTRODUÇÃO: 
 
 Uma medição tem por objetivo determinar o valor de uma grandeza específica a ser 
medida. Uma medição começa, com a especificação apropriada da grandeza, do método 
de medição e do procedimento de medição. Em alguns casos, o resultado de uma medição 
é determinado baseando-se em séries de observações obtidas sob condições de 
repetitividade. 
 Toda e qualquer medida experimental fornece como resultado apenas estimativas ou 
aproximações, já que nenhum processo de medição é completamente confiável. Em 
experimentos realizados com uma qualidade aceitável, as medições são feitas com 
instrumentos calibrados tais como réguas, paquímetros, cronômetros, voltímetros, 
termômetros, dentre outros. A menor graduação do instrumento representa o menor valor 
que ele é capaz de medir com confiança. De fato, ao registrar uma medição é necessário 
deixar indicado o ponto até o qual se pode confiar no resultado obtido. 
 Ao se expressar uma medição com um grande número de algarismos, a maioria dos 
algoritmos representados não tem significado algum. Ou seja, não são algarismos 
significativos. Os algarismos significativos são todos os números que representam as 
medidas determinadas experimentalmente, sendo que apenas o último número é um digito 
duvidoso. 
 Já que nenhum processo de medição é completamente confiável, se tornou 
importante considerar uma grandeza a partir da qual fosse possível avaliar 
quantitativamente a confiança que se pode ter no resultado de medição, essa grandeza é 
a incerteza. Quanto maior for a incerteza de uma medição, menos confiável é a medição. 
 A expressão da incerteza, ao se registrar o resultado de uma medição – em um 
relatório, ou anotações em laboratórios experimentais – não é opcional, mas obrigatória, 
já que esta é a única maneira de se avaliar a confiabilidade da medida. A incerteza de uma 
medição deve ser expressa sempre nas mesmas unidades dessa medição, além de 
apresentarem o mesmo número de casas decimais. Como regra geral, convenciona-se 
utilizar apenas 1 algarismo significativo na incerteza. É usual expressar a incerteza e o 
resultado da medição da seguinte forma: 
 
 O resultado de uma medida não é um valor pontual, é um intervalo. A incerteza 
denota o intervalo de confiança em que o(a) experimentador(a) garante o quão correto é 
o resultado da medida ou, de forma complementar, o quanto o valor mais confiável obtido 
pela medida pode diferir do valor verdadeiro. 
 Na grande maioria dos casos, a melhor estimativa do valor esperado de uma 
grandeza 𝑥 ,que varia aleatoriamente, e para o qual 𝑛 observações independentes 𝑥𝑛 
foram obtidas ,sob as mesmas condições de medição, é a média aritmética das 𝑛 
observações, dada por: 
⟨𝑥⟩ = 
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
 (1) 
 E a incerteza padrão da medida é identificada com o desvio padrão da medida das 
medias, dado por: 
𝜎 = √
1 
(𝑛 − 1)
∑(𝑥𝑖 − ⟨𝑥⟩)2
𝑛
𝑖=1
 (2) 
 O procedimento estatístico normalmente indicado para o tratamento de medidas 
experimentais, consiste justamente em expressar o valor de uma grandeza a partir dos 
dados obtidos com as relações (1) e (2): 
𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑎 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑𝑒𝑧𝑎 = 𝑚é𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑎𝑠 𝑛 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑎𝑠 ± 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑖𝑜 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝑚é𝑑𝑖𝑎 
 
 Quando não há a disposição de observações repetidas, a incerteza de uma medição 
pode ser avaliada através de meios não estatísticos. Essa avaliação baseia-se, 
normalmente, no bom senso do operador que, a fim de se estabelecer uma incerteza para 
a medição, deve utilizar toda a informação disponível. Essa avaliação é bastante subjetiva. 
 Em aparelhos analógicos, a incerteza de uma medição é dada pela metade da menor 
divisão do instrumento de medida utilizado. Já em aparelhos digitais, a incerteza de uma 
medição é a menor divisão do dispositivo utilizado. 
 Nem sempre é possível realizar uma medição direta de uma grandeza, já que em 
alguns casos o valor de uma grandeza é determinado por meio de medições de outras 
grandezas relacionadas a ela. Neste caso, a medição é dita indireta. 
 A incerteza padrão da medição de uma grandeza obtida de forma indireta, é chamada 
de incerteza padrão combinada 𝜎𝑐 , e é determinada por: 
𝜎𝑐
2(𝑦) = ∑(
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
𝑁
𝑖=1
)2𝜎2(𝑥𝑖) (3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO: 
 
 O experimento teve como objetivo realizar repetidas e diferentes medições com 
diferentes aparelhos, com suas respectivas incertezas. Além da aplicação da propagação 
de incerteza. 
 
 
MATERIAIS E MÉTODOS: 
 Paquímetro; 
 Micrômetro; 
 Esfera metálica; 
 Cilindro metálico; 
 
A prática consistiu basicamente em dois procedimentos: 
1. Com o auxílio de um micrômetro, cada um de um total de cinco alunos, mensurou 
o diâmetro de uma pequena esfera metálica, e os resultados foram anotados com 
suas respectivas incertezas. 
2. Em seguida, com o auxílio de um paquímetro, cada um dos mesmos cinco alunos, 
mensurou o diâmetro e a altura do cilindro metálico, e os resultados foram 
anotados com suas respectivas incertezas. 
 
 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO: 
 
 Os valores mensurados do diâmetro da esfera metálica, a partir do micrômetro, com 
suas devidas incertezas, são dados na tabela abaixo: 
𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑀𝑒𝑑𝑖çã𝑜 ± 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 
𝑑1 15,470 ± 0,005 𝑚𝑚 
𝑑2 15,460 ± 0,005 𝑚𝑚 
𝑑3 15,470 ± 0,005 𝑚𝑚 
𝑑4 15,460 ± 0,005 𝑚𝑚 
𝑑5 15,477 ± 0,005 𝑚𝑚 
(Tabela 1 – Medidas dos diâmetros da esfera) 
 
 
 A partir dos dados da Tabela 1 e da equação (1), foi possível calcular o diâmetro 
médio (⟨𝑑⟩) da esfera metálica: 
⟨𝑑⟩ = 
1
5
∑ 𝑑𝑖
5
𝑖=1
 
⟨𝑑⟩ = 
1
5
(15,470(2) + 15,460(2) + 15,475) = 15,467 ± 𝜎 𝑚𝑚 
 
 A partir da equação (2), foi possível calcular a incerteza de ⟨𝑑⟩ : 
𝜎 = √
1 
4
∑(𝑑𝑖 − 15,467)2
5
𝑖=1
 = 6,708204 × 10−3 𝑚𝑚 
 
 Como a incerteza deve conter apenas um algarismo significativo, arredondamos esse 
valor para 0,007mm. Assim, 𝜎 = 0,007𝑚𝑚, e então ⟨𝑑⟩ = 15,467 ± 0,007 𝑚𝑚 . 
 O objetivo final, é o de realizar o cálculo do volume da esfera. Como o volume é 
uma medida indireta, que depende do diâmetro, deve-se aplicar a propagação da incerteza. 
Temos que o volume da esfera, é dado por: 
𝑉 =
4
3
𝜋𝑟3 = 
𝜋⟨𝑑⟩3
6
= 
𝜋(15,467)3
6
= 1.937,3892 ± 𝜎𝑉 𝑚𝑚
3 
 
A partir da equação (3): 
𝜎𝑉
2(𝑦) = ∑(
𝜕𝑓
𝜕𝑑𝑖
5
𝑖=1
)2𝜎2(𝑑𝑖) = 
(𝜋⟨𝑑⟩2)
2
2
𝜎2(𝑑𝑖) 
 𝜎𝑉 =
(𝜋⟨𝑑⟩2)
2
 𝜎(𝑑𝑖) = 
𝜋(15,467)2 
2
 (0,007) = 2,630450 𝑚𝑚3 
 Mais uma vez, como a incerteza deve conter apenas um algarismo significativo, 
arredondamos esse valor para 3 mm3. Como a medição deve conter o mesmo número de 
casas decimais que a incerteza, o valor do volume também é arredondado para 1.937 mm3. 
Assim, 𝜎𝑉 = 3 𝑚𝑚
3 e 𝑉 = 1.937 𝑚𝑚3. Conclui-se então, que o volume da esfera 
metálica é dado por: 
𝑉𝐸 = 1.937 ± 3 𝑚𝑚
3 
 
 
 
 Os valores mensurados do diâmetro do cilindro metálico, a partir do paquímetro, 
com suas devidas incertezas, são dados na tabela abaixo: 
𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑀𝑒𝑑𝑖çã𝑜 ± 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎𝑑1 51,00 ± 0,03 𝑚𝑚 
𝑑2 51,00 ± 0,03 𝑚𝑚 
𝑑3 51,00 ± 0,03 𝑚𝑚 
𝑑4 51,00 ± 0,03 𝑚𝑚 
𝑑5 51,00 ± 0,03 𝑚𝑚 
(Tabela 2 – Medidas dos diâmetros do cilindro) 
 
 Os valores mensurados da altura do cilindro metálico, a partir do paquímetro, com 
suas devidas incertezas, são dados na tabela abaixo: 
𝐷𝑖â𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑀𝑒𝑑𝑖çã𝑜 ± 𝑖𝑛𝑐𝑒𝑟𝑡𝑒𝑧𝑎 
ℎ1 20,30 ± 0,03 𝑚𝑚 
ℎ2 20,30 ± 0,03 𝑚𝑚 
ℎ3 20,30 ± 0,03 𝑚𝑚 
ℎ4 20,30 ± 0,03 𝑚𝑚 
ℎ5 20,20 ± 0,03 𝑚𝑚 
(Tabela 3 – Medidas das alturas do cilindro) 
 
 A partir dos dados da Tabela 1 e 2 e da equação (1), foi possível calcular o diâmetro 
médio (⟨𝑑⟩) e a altura média (⟨ℎ⟩) do cilindro metálico: 
⟨𝑑⟩ = 
1
5
∑ 𝑑𝑖
5
𝑖=1
= 
1
5
(51 (5)) = 51 ± 𝜎 𝑚𝑚 
⟨ℎ⟩ = 
1
5
∑ ℎ𝑖
5
𝑖=1
= 
1
5
(20,30(4) + 20,20) = 20,28 ± 𝜎 𝑚𝑚 
A partir da equação (2), foi possível calcular as incerteza de ⟨𝑑⟩ e de ⟨ℎ⟩, 
respectivamente: 
𝜎(𝑑𝑖) = √
1 
4
∑(𝑑𝑖 − 51)2
5
𝑖=1
 = 0 𝑚𝑚 
𝜎(ℎ𝑖) = √
1 
4
∑(ℎ𝑖 − 20,28)2
5
𝑖=1
 = 0,044721 𝑚𝑚 
 
 
 Como a incerteza deve conter apenas um algarismo significativo, arredondamos a 
incerteza de ⟨ℎ⟩ para 0,04mm. Assim, 𝜎 = 0,04𝑚𝑚, então ⟨ℎ⟩ = 15,467 ± 0,04 𝑚𝑚 e 
⟨𝑑⟩ = 51 ± 0 𝑚𝑚. 
 O objetivo final, é o de realizar o cálculo do volume do cilindro. Como o volume é 
uma medida indireta, que neste caso depende do diâmetro e da altura, deve-se aplicar a 
propagação da incerteza. Temos que o volume do cilindro, é dado por: 
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ = 𝜋
⟨𝑑⟩2
4
⟨ℎ⟩ = 
𝜋(51)220,28
6
= 41.428,40223 ± 𝜎𝑉 𝑚𝑚
3 
A partir da equação (3): 
𝜎𝑉
2(𝑦) = ∑(
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑖
5
𝑖=1
)2𝜎2(𝑥𝑖) = ( 
⟨𝑑⟩
2
𝜋⟨ℎ⟩)2𝜎2(𝑑𝑖) + (𝜋
⟨𝑑⟩2
4
 )2𝜎2(ℎ𝑖) 
𝜎𝑉 =
⟨𝑑⟩
2
𝜋⟨ℎ⟩ 𝜎(𝑑𝑖) + 𝜋
⟨𝑑⟩2
2
 𝜎(ℎ𝑖) = ( 
⟨𝑑⟩
2
𝜋⟨ℎ⟩) (0) + 
𝜋
4
(51)2(0,04) 
𝜎𝑉 = 81,712825 𝑚𝑚
3 
 Mais uma vez, como a incerteza deve conter apenas um algarismo significativo, 
arredondamos esse valor para 8 × 101 mm3. Como a medição deve conter o mesmo 
número de casas decimais que a incerteza, o valor do volume também é arredondado para 
41.428 mm3. Assim, 𝜎𝑉 = 3 𝑚𝑚
3 e 𝑉 = 1.937 𝑚𝑚3. Conclui-se então, que o volume da 
esfera metálica é dado por: 
𝑉𝐶 = 41.428 ± (8 × 10
1) 𝑚𝑚3 
 
 Comparando os dois volumes obtidos, o volume da esfera (𝑉𝐸) e o volume do 
cilindro (𝑉𝐶), mais especificamente a incerteza de cada um deles, foi possível verificar 
que a incerteza de 𝑉𝐶 é de ordem 10
1, enquanto a incerteza de 𝑉𝐸 é de ordem 10
0 . Ou 
seja, ao se estimar o valor dos volumes , 𝑉𝐶 pode diferir do valor verdadeiro em até 10 
vezes mais, quando comparado a 𝑉𝐸. 
 Como o número de repetições na medição de cada uma das grandezas foram as 
mesmas, 5 repetições, a explicação para a diferença da ordem das duas incertezas pode 
estar na incerteza de cada um dos aparelhos utilizados para estimar o valor das grandezas. 
Já que para estimar o diâmetro da esfera foi utilizado o micrômetro, de incerteza 
0,005mm, e para estimar o diâmetro e a altura do cilindro foi utilizado o paquímetro, de 
incerteza 0,03mm. A incerteza do paquímetro é 10 vezes maior, do que a incerteza do 
micrômetro. 
 Além do mais, o volume 𝑉𝐸 possui apenas uma grandeza a ser estimada ( o diâmetro 
da esfera), enquanto o volume 𝑉𝐶 possui duas grandezas a serem estimadas (o diâmetro e 
a altura do cilindro), sendo assim o efeito da propagação da incerteza é maior ao se estimar 
𝑉𝐶, ou seja, propicia um maior erro em sua estimativa. 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
 Finalizado todas medições e cálculos propostos foi possível concluir que, além de 
possíveis limitações quanto a precisão dos aparelhos de medida, sejam eles analógicos ou 
digitais, há sempre uma subjetividade quanto a leitura e interpretação do valor da 
medição. Tendo em vista que as medições de cada grandeza foram feitas com o mesmo 
aparelho de medida em um mesmo objeto, e diferentes alunos tiveram diferentes leituras 
de medição de uma mesma grandeza. 
 Além é claro, de uma evidente maior e melhor estimativa daquelas medidas 
realizadas por aparelhos de medidas mais precisos. Já que as incertezas obtidas das 
medições feitas pelo micrômetro, foi consideravelmente menor que aquelas incertezas 
obtidas das medições feitas pelo paquímetro. 
 Embora as repetições de cada medição tenham sido iguais para cada uma das 
grandezas mensuradas, as fórmulas estatísticas revelam que quanto mais vezes se repetir 
uma medição menor será a incerteza da medida ao final do procedimento. Ou seja, mais 
próximo esse valor estará do valor real. 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 Lima Junior, P. et al. O laboratório de mecânica. Porto Alegre: IF-UFRGS,2012. 
Disponível em: <http://www.if.ufrgs.br/fis1258/index_arquivos/TXT_03.pdf>. 
Acesso em: 13 de agosto 2017. 
 Universidade Federal de Pernambuco. Apostila 1: Medidas e Incertezas. 
Departamento de Física-CCEN. Disponível em: 
<http://fep.if.usp.br/~villar/fisexp1/fisexp1_apostila1.pdf>. Acesso em: 13 de 
agosto de 2017. 
 Gallas R, M. Incerteza de Medição. IF-UFRGS. Disponível em: 
<http://www.if.ufrgs.br/~marcia/medidas.pdf> . Acesso em: 13 de agosto de 
2017.