Relatório4Fisica - Constante Elásticas das Molas

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FÍSICA EXPERIMENTAL I 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
ANA CLARA PEDRAS BUENO 
 
 
 
 
 
 
 
CONSTANTE ELÁSTICA DAS MOLAS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVELO 
2017 
OBJETIVO: 
 
 A prática teve por objetivo determinar graficamente a constante elástica de duas 
molas, e a constante elástica resultante das associações em série e em paralelo destas 
molas. Por fim, encontrar relações entre as constantes elástica de associações em série e 
em paralelo com as constantes elástica de cada uma das molas. 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO: 
 
 Para obtenção das medidas de deformação das molas com diferentes aplicações de 
força (força peso) , inicialmente, suspendeu-se verticalmente uma das molas e em sua 
extremidade livre agregou-se um suporte para adição de massas. Aplicou-se diferentes 
forças às molas ,variando-se as massas adicionadas ao suporte. Com o auxílio de uma 
régua ,mensurou-se cada um dos prolongamentos produzidos (desprezando-se o 
prolongamento produzido pelo suporte). Para a mola 1 e para mola 2, respectivamente, 
foram obtidos os seguintes resultados: 
 Mola 1: 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠) 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 (∆𝑥)(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 
0,105 ± 0,001 0,0030 ± 0,0005 
0,593 ± 0,006 0,0160 ± 0,0005 
1,08 ± 0,01 0,1370 ± 0,0005 
1,57 ± 0,02 0,2030 ± 0,0005 
(Tabela 1: resultados experimentais de força e deformação referentes à mola 1.) 
 Mola 2: 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠) 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 (∆𝑥)(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 
0,105 ± 0,001 0,0010 ± 0,0005 
0,593 ± 0,006 0,0310 ± 0,0005 
1,08 ± 0,01 0,0940 ± 0,0005 
1,57 ± 0,02 0,1590 ± 0,0005 
(Tabela 2: resultados experimentais de força e deformação referentes à mola 2.) 
 Obtidos os resultados necessários para cada uma das molas, com um novo suporte 
associou-se as molas em paralelo, ou seja, uma ao lado da outra. De maneira semelhante, 
com o auxílio de uma régua, mensurou-se cada um dos prologamentos produzidos devido 
à variações da força peso. Os resultados foram como segue: 
 Molas 1 e 2 associadas em paralelo: 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠) 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 (∆𝑥)(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 
0,105 ± 0,001 0,0010 ± 0,0005 
0,593 ± 0,006 0,0130 ± 0,0005 
1,08 ± 0,01 0,0420 ± 0,0005 
1,57 ± 0,02 0,0760 ± 0,0005 
(Tabela 3: resultados experimentais de força e deformação referentes à associação em paralelo.) 
 Em seguida, pendurou-se a segunda mola sob a primeira mola, realizando uma 
associação em série. Mais uma vez, com o auxílio de uma régua, mensurou-se cada um 
dos prologamentos produzidos devido à variações da força peso. Os resultados são 
mostrados a seguir: 
 Molas 1 e 2 associadas em série: 
𝐹𝑜𝑟ç𝑎 𝑃𝑒𝑠𝑜 (𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛𝑠) 𝐷𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 (∆𝑥)(𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠) 
0,105 ± 0,001 0,0020 ± 0,0005 
0,593 ± 0,006 0,1050 ± 0,0005 
1,08 ± 0,01 0,2380 ± 0,0005 
1,57 ± 0,02 0,3720 ± 0,0005 
(Tabela 4: resultados experimentais de força e deformação referentes à associação em série.) 
Obs.: para possível verificação das incertezas contidas nas tabelas apresentadas 
anteriormente, o rascunho dos cálculos foi anexado ao final deste relatório. 
 
 Os dados apresentados nas Tabelas 1 e 2, foram inseridos no software de análises 
gráficas Origin 8.5 ®, e foi obtido o seguinte gráfico da força peso em função da 
deformação das molas: 
 
(Figura 1: Gráfico experimental da força peso em função da deformação.) 
 
 
 
 O gráfico apresentado na Figura 1, é uma função linear e expressa a seguinte relação 
entre a força e a deformação da mola: 
𝐹 = 𝑘𝑥 (1) 
Onde, 𝐹 é a força que age sob a mola, 𝑘 é a constante elástica da mola e 𝑥 é a deformação 
da mola devido a força aplicada. 
 No experimento em questão, a relação dada pela equação (1) pode ser reescrita na 
forma: 
𝑃 = 𝑚𝑔 = 𝑘𝑥 (2) 
Onde, 𝑃 é a força peso que age sob a mola, 𝑚 é a massa adcionada ao suporte agregado 
a mola e 𝑔 é a aceleração da gravidade na Terra. 
 Dessa forma, conclui-se que a constante elástica da mola (𝑘) é obtida graficamente 
pela inclinação da função linear (2). Sendo assim, a partir dos dados expressos na Figura 
1, tem-se que: 
𝑘1 = (6,83448 ± 1,14335) 𝑁 𝑚⁄ 
≫ 𝑘1 = (7 ± 1) 𝑁 𝑚⁄ 
𝑘2 = (9,4734 ± 0,98531) 𝑁 𝑚⁄ 
≫ 𝑘2 = (9 ± 1) 𝑁 𝑚⁄ 
Onde, 𝑘1 é a constante elástica da mola 1 e 𝑘2 é a constante elástica da mola 2. Estas 
constantes dependem das características das molas como : sua composição, espessura, 
tamanho, entre outras. 
 Ainda, a partir dos dados expressos na Figura 1, tem-se que a função linear que 
expressa o comportamento da mola 1 intercepta a coordenada y, em: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡1 = 0,17788 ± 0,1255 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡1 = 0,2 ± 0,1 
 Tem-se também que a função linear que expressa o comportamento da mola 2 
intercepta a coordenada y, em: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡2 = 0,12862 ± 0,08253 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡2 = 0,13 ± 0,08 
 Em ambos os casos, deveria-se obter: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡 = 0 ± 𝜎 
Onde, 𝜎 expressaria a incerteza deste valor. 
 Tendo em vista que, as funções expressas pela equação (2) interceptam o eixo das 
coordenadas quando se tem uma deformação nula (∆𝑥 = 0), resultante de uma força nula 
aplicada à mola (𝑃 = 0). Embora o erro não seja tão grosseiro, já que os valores 
apresentados considerando suas incertezas se aproxima muito do valor esperado, trata-se 
de um erro experimental. 
 
 Os dados apresentados na Tabelas 3, foram inseridos no software de análises gráficas 
Origin 8.5 ®, e foi obtido o seguinte gráfico da força peso em função da deformação das 
molas associadas em paralelo: 
 
(Figura 2: Gráfico experimental da força peso em função da deformação das molas associadas em paralelo.) 
 
 O gráfico apresentado na Figura 2 , também é uma função linear que expressa a 
relação entre a força peso e a constante elástica das molas associadas em paralelo, dada 
pela equação (2). 
 De modo semelhante, tem-se que a constante elástica ( 𝑘𝑃) é obtida graficamente 
pela inclinação da função linear apresentada na figura acima (Figura 2). 
 Logo, tem-se que: 
𝑘𝑃 = (19,86339 ± 2,48137) 𝑁 𝑚⁄ 
≫ 𝑘𝑃 = (20 ± 2) 𝑁 𝑚⁄ 
Onde, 𝑘𝑃 é a constante elástica resultante das molas associadas em paralelo. 
 Um deslocamento nulo, resultaria de uma força nula aplicada à mola. Assim, a 
interceptação da função linear apresentada na Figura 2, no eixo das coordenadas, deveria 
ser dado por: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡 = 0 ± 𝜎 
Onde, 𝜎 expressaria a incerteza deste valor. 
 No entanto, diferentemente do esperado, pelos dados obtidos na Figura 2, tem-se: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑃 = 0,14421 ± 0,09744 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑃 = 0,1 ± 0,1 
 Observa-se, que o valor apresentado embora não seja o ideal, se aproxima do valor 
esperado. A pequena divergência obtida, deve-se decorrer mais uma vez de erros 
experimentais ou de medição. 
 
 Os dados apresentados na Tabelas 4, foram inseridos no software de análises gráficas 
Origin 8.5 ®, e foi obtido o seguinte gráfico da força peso em função da deformação das 
molas associadas em série: 
 
(Figura 3: Gráfico experimental da força peso em função da deformação das molas associadas em série.) 
 
 O gráfico apresentado na Figura 3 , também é uma função linear que expressa a 
relação entre a força peso e a constante elástica das molas associadas em série, dada pela 
equação (2). 
 Mais uma vez, tem-se que a constante elástica ( 𝑘𝑆) é obtida graficamente pela 
inclinação da função linear apresentada na figura acima (Figura 3). 
 Sendo assim: 
𝑘𝑆 = (4,0931 ± 0,22323)𝑁 𝑚⁄ 
≫ 𝑘𝑆 = (4,1 ± 0,2) 𝑁 𝑚⁄ 
Onde, 𝑘𝑆 é a constante elástica resultante das molas associadas em série. 
 Como o que já foi observado e discutido nas análises anteriores, verifica-se um 
resultado experimental que diverge do valor ideal. A partir dos dados contidos na Figura 
3, tem-se: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑆 = 0,0816 ± 0,04532 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡𝑆 = 0,08 ± 0,05 
 Mas, na verdade deveria-se ter: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡 = 0 ± 𝜎 
Onde, 𝜎 expressaria a incerteza deste valor. 
 O valor apresentado, é o que mais se aproximada do valor esperado, dentre todas as 
quatro análises feitas e aqui apresentadas. Logo, é um bom resultado experimental. 
 Como parte do objetivo da prática e de promover um método de comparação com os 
resultados obtidos anteriormente, iremos encontrar relações entre as constantes elástica 
de associações em série e em paralelo com as constantes elástica de cada uma das molas. 
 Analisando, inicialmente, as molas associadas em paralelo, tem-se o seguinte 
esquema: 
 
(Figura 4: Esquema molas associadas em paralelo.) 
 Observa-se que neste caso, para uma força vertical aplicada sob a massa tem-se uma 
deformação igual para as duas molas, mas com constantes elásticas diferentes. Sendo 
assim: 
𝑥1 = 𝑥2 = 𝑥𝑒𝑞 (3) 
Onde, 𝑥1 é a deformação da mola 1, 𝑥2 a deformação da mola 2 e 𝑥𝑒𝑞 é a deformação 
correspondente a igualdade das deformações das molas 1 e 2. 
 
 Ainda, 
𝐹𝑒𝑞 = 𝐹1 + 𝐹2 (4) 
Onde, 𝐹1 é a força vertical que age sob a mola 1, 𝐹2 é a força vertical que age sob a mola 
2, e 𝐹𝑒𝑞 é a força resultante da soma das forças 𝐹1 e 𝐹2. 
 Mas, 
𝐹𝑒𝑞 = 𝑘𝑒𝑞𝑥𝑒𝑞 (5) 
𝐹1 = 𝑘1𝑥1 (6) 
𝐹2 = 𝑘2𝑥2 (7) 
 A partir das equações (4), (5), (6) e (7), obtemos: 
𝑘𝑒𝑞 = 
𝐹𝑒𝑞
𝑥𝑒𝑞
 = 
𝑘1𝑥1 + 𝑘2𝑥2 
𝑥𝑒𝑞
 
 Baseando-se na relação dada pela equação (3), a equação acima simplifica-se para: 
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 (8) 
 Aplicando a relação obtida ,dada pela equação acima, para os resultados obtidos 
experimentalmente de 𝑘1 e 𝑘2 de modo a se obter o 𝑘𝑒𝑞 da associação em paralelo. Tem-
se: 
𝑘1 = (7 ± 1) 𝑁 𝑚⁄ 
𝑘2 = (9 ± 1) 𝑁 𝑚⁄ 
𝑘𝑒𝑞 = 𝑘1 + 𝑘2 = (16 ± 11) 𝑁 𝑚⁄ 
 Experimentamente, o valor da constante elástica da associação em paralelo obtido 
graficamente foi de: 
𝑘𝑃 = (20 ± 2) 𝑁 𝑚⁄ 
 É evidente a grande incerteza obtida ao se estimar 𝑘𝑒𝑞 , além da divergência entre o 
resultado esperado e o resultado obtido. 
 Para as molas associadas em série, tem-se o seguinte esquema: 
 
(Figura 5: Esquema molas associadas em série.) 
 Neste caso, para uma força vertical aplicada sob a massa tem-se ação de forças iguais 
sob as duas molas, mas com constantes elásticas diferentes. Sendo assim: 
𝐹1 = 𝐹2 = 𝐹𝑒𝑞 (9) 
Onde, 𝐹1 é a força que age sob a mola 1, 𝐹2 é a força que age sob mola 2 e 𝐹𝑒𝑞 é a força 
correspondente a igualdade das forças 1 e 2. 
 Ainda, 
𝑥𝑒𝑞 = 𝑥1 + 𝑥2 (10) 
Onde, 𝑥1 é a deformação da mola 1, 𝑥2 a deformação da mola 2 e 𝑥𝑒𝑞 é a deformação 
resultante da soma das deformações das molas 1 e 2. 
 Mas, 
𝑥1 = 
𝐹1
𝑘1
 (11) 
𝑥2 = 
𝐹2
𝑘2
 (12) 
 A partir das equações (5), (10), (11) e (12), obtemos: 
𝑘𝑒𝑞 = 
𝐹𝑒𝑞
𝑥𝑒𝑞
 = 𝐹𝑒𝑞 ∗ 
1
(𝐹1 𝑘1) + (𝐹2 𝑘2)⁄⁄
 
1
𝑘𝑒𝑞
=
1
𝐹𝑒𝑞
(
𝐹𝑒𝑞
𝑘1
+ 
𝐹𝑒𝑞
𝑘2
) 
 Baseando-se na relação dada pela equação (9), a equação acima simplifica-se para: 
1
𝑘𝑒𝑞
=
1
𝑘1
+
1
𝑘2
 (13) 
 Aplicando a relação obtida (13), para os resultados obtidos experimentalmente de 
𝑘1 e 𝑘2 de modo a se obter o 𝑘𝑒𝑞 da associação em série. Tem-se: 
𝑘1 = (7 ± 1) 𝑁 𝑚⁄ 
𝑘2 = (9 ± 1) 𝑁 𝑚⁄ 
 
𝑘𝑒𝑞 =
𝑘1𝑘2
𝑘1 + 𝑘2
= 3,9 ± 0,4 
 Experimentamente, o valor da constante elástica da associação em série obtido 
graficamente foi de: 
𝑘𝑆 = (4,1 ± 0,2) 𝑁 𝑚⁄ 
 
 Neste caso, os valores obtidos não divergem tanto como os valores obtidos na análise 
anterior (associação em paralelo). Ou seja, o valor obtido experimentalmente para 
constante elástica associada em série (𝑘𝑆) está mais próximo do valor esperado (𝑘𝑒𝑞). 
 A divergência entre os valores,tanto para análise da associação em paralelo quanto 
para análise da associação em série, provavelmente se devem a erros de medição. Cada 
uma das leituras de medição da deformação das molas foram feitas apenas uma vez, por 
um único experimentador, o que pode implicar em erros devido à subjetividade da 
interpretação do resultado obtido e uma consequente maior incerteza deste valor. Erros 
nestas medições, podem provocar erros ainda mais grosseiros ao se estimar o valor das 
constantes graficamente. 
 Em todas as análises gráficas feitas, foi destacado desvios de certos parâmetros 
quanto ao resultado físico ideal, como no caso do valor da interceptação da função linear, 
da força peso em função da deformação da mola, com o eixo y. Foi verificado ainda, que 
o valor para interceptação que mais se aproximou do valor ideal, foi o referente a análise 
gráfica da associação das molas em série. Este fato pode implicar em uma maior qualidade 
e coerência nos resultados gerados por esta análise, e justificar a maior proximidade do 
valor da constante elástica associada em série (𝑘𝑆) com o valor esperado (𝑘𝑒𝑞). 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
 Mais uma vez foi possível verificar a praticidade de softwares de análises gráficas 
na obtenção e verificação de parâmetros físicos, o que auxilia bastante em procedimentos 
de física experimental. 
 A prática revisou ainda as constantes elástica das molas, e verificou a relação destas 
com as constantes elástica resultantes de associações em série e em paralelo. Onde, os 
resultados finais foram mais coerentes na análise e verificação para associação das molas 
em série. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 Roteiro Física Experimental I.