Relatorio4Fisica - Pêndulo Físico

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FÍSICA EXPERIMENTAL II 
ENGENHARIA CIVIL 
 
ANA CLARA PEDRAS BUENO 
 
 
 
 
 
 
PÊNDULO FÍSICO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVELO 
 2018 
 
OBJETIVO: 
 
 A prática teve por objetivo estudar as oscilações periódicas em pêndulos 
físicos. Além de determinar experimentalmente os momentos de inércia de uma barra 
cilíndrica e uma casca cilíndrica fina, relativos a um eixo arbitrário. 
 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO: 
 
 O procedimento experimental consistiu em duas etapas. 
A primeira delas teve por objetivo determinar os momentos de inércia de uma 
barra cilíndrica e de uma casca cilíndrica fina (espessura desprezível), em relação a 
um eixo de rotação O, através de suas devidas equações. 
Tomando, inicialmente, a barra cilíndrica, adotou-se o seguinte esquema de 
montagem: 
 
(Figura 1: Esquema pêndulo físico – barra cilíndrica.) 
 
Com o auxílio de uma trena, mediu-se o comprimento 𝐿 da barra cilíndrica, dado 
por: 
𝐿 = (0,5050 ± 0,0005) 𝑚 
Em seguida, utilizando novamente a trena, mediu-se a distância 𝑙, 
correspondente à distância entre o eixo de rotação 𝑂 e a extremidade da barra. 
Obteve-se: 
𝑙 = (0,4750 ± 0,0005) 𝑚 
 
Determinou-se então a distância 𝑑, entre o eixo de rotação 𝑂 e o centro de 
massa (𝐶𝑀) da barra cilíndrica, que é dado por: 
𝑑 = 𝑙 −
𝐿
2
= (0,4750 ± 0,0005)𝑚 −
(0,5050 ± 0,0005)𝑚
2
 
𝑑 = (0,2225 ± 0,0006) 𝑚 
 Por fim, a partir de uma balança eletrônica, determinou-se a massa da barra 
cilíndrica. O resultado obtido foi de: 
𝑚 = (0,49 ± 0,01) 𝑘𝑔 
Tem-se, que o momento de inércia de uma barra cilíndrica delgada em relação 
a um eixo de rotação 𝑂, situado a uma distância 𝑑 de seu centro de massa, é dado 
pela seguinte expressão: 
𝐼𝑂 =
𝑚𝐿2
12
+ 𝑚𝑑2 
Substituindo os valores obtidos: 
𝐼𝑂 =
(0,49 ± 0,01)𝑘𝑔 (0,5050 ± 0,0005)2𝑚2
12
+ (0,49 ± 0,01)𝑘𝑔 (0,2225 ± 0,0006)2𝑚2 
Tem-se que o momento de inércia (𝐼𝑂) da barra cilíndrica é de: 
𝐼𝑂 = (0,0347 ± 0,0007) 𝑘𝑔. 𝑚
2 (1) 
 
 Tomando, posteriormente, a casca cilíndrica fina, adotou-se o seguinte 
esquema de montagem: 
 
(Figura 2: Esquema pêndulo físico – casca cilíndrica fina.) 
 Mediu-se, com um paquímetro, o diâmetro interno 𝐷 da casca cilíndrica. 
Obteve-se: 
𝐷 = (0,04440 ± 0,00003)𝑚 
 
 Determinou-se então uma distância 𝑑, correspondente à distância entre o eixo 
de rotação 𝑂 e o centro de massa da casca cilíndrica (𝐶𝑀), que é dado por: 
𝑑 =
𝐷
2
=
(0,04440 ± 0,00003) 𝑚
2
 
𝑑 = (0,02220 ± 0,00002) 𝑚 
 Com o auxílio de um dinamômetro, pesou-se a casca cilíndrica, o resultado 
obtido foi de: 
𝑃𝑐𝑎𝑠𝑐𝑎 = (0,24 ± 0,01) 𝑁 
 Então, a partiu do peso da casca cilíndrica e tomando a aceleração da 
gravidade como 𝑔 = (9,80 ± 0,01) 𝑚 𝑠2⁄ , estimou-se a massa da casca: 
𝑃 = 𝑚𝑔 
𝑚 =
𝑃
𝑔
=
(0,24 ± 0,01) 𝑁
(9,80 ± 0,01) 𝑚 𝑠2⁄
 
𝑚 = (0,024 ± 0,001) 𝑘𝑔 
 Tem-se, que o momento de inércia de uma casca cilíndrica de espessura 
desprezível em relação a um eixo de rotação 𝑂, situado a uma distância 𝑑 de seu 
centro de massa , é dado por: 
𝐼𝑂 = 
𝑚𝐷2
4
+ 𝑚𝑑2 
 Então, substituindo os valores obtidos: 
𝐼𝑂 =
(0,024 ± 0,001)𝑘𝑔 (0,04440 ± 0,00003)2𝑚2
4
 
 + (0,024 ± 0,001)𝑘𝑔 (0,02220 ± 0,00002)2𝑚 
 
 Conclui-se que o momento de inércia (𝐼𝑂) da casca cilíndrica é de: 
𝐼𝑂 = (0,000024 ± 0,000001)𝑘𝑔. 𝑚
2 (2) 
 
A segunda etapa do procedimento experimental também teve como objetivo 
determinar os momentos de inércia da barra cilíndrica e da casca cilíndrica fina, em 
relação a um eixo de rotação O, no entanto, neste caso, a estimativa foi feita através 
da equação do período de oscilação de um pêndulo físico, descrita como: 
𝑇 = 2𝜋√
𝐼𝑂
𝑚𝑔𝑑
 (3) 
 
Onde, 𝑇 é o período de oscilação do pêndulo, 𝐼𝑂 é o momento de inércia do pêndulo 
em relação ao eixo de rotação 𝑂, 𝑚 é a massa do pêndulo, 𝑔 é a aceleração da 
gravidade e 𝑑 é a distância entre o centro de massa do pêndulo e o eixo de rotação. 
 Inicialmente, tomou-se mais uma vez, a barra cilíndrica, que foi colocada para 
oscilar em um suporte como o esquematizado na Figura 1, de modo que seu ângulo 
de deslocamento, em relação a vertical, fosse consideravelmente pequeno. Então 
cronometrou-se o tempo necessário para realização de 10 oscilações. O 
procedimento anterior foi repetido em um total de 5 vezes, e os resultados obtidos são 
apresentados na tabela a seguir: 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟏𝟎 
 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂çõ𝒆𝒔 (s) 
𝑷𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒔 
𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂çõ𝒆𝒔 (𝒔) 
1 11,12 1,112 
2 11,12 1,112 
3 11,16 1,116 
4 11,21 1,121 
5 11,09 1,109 
(Tabela 1: Resultados das medições experimentais – Barra cilíndrica.) 
 
 A partir dos dados apresentados na Tabela 1, foi possível estimar o período de 
oscilação da barra cilíndrica em relação ao eixo de rotação 𝑂, que é dado por: 
𝑇 = (1,114 ± 0,002) 𝑠 
 Tomando os valores da massa (𝑚 = (0,49 ± 0,01)𝑘𝑔) e da distância 𝑑 (𝑑 =
(0,2225 ± 0,0006)𝑚) da barra cilíndrica estimados na primeira etapa do procedimento 
experimental, e com o auxílio da equação (3) reescrita da seguinte forma: 
𝐼𝑂 =
𝑚𝑔𝑑 𝑇2
4𝜋2
 (4) 
 Obtém-se que o momento de inércia da barra cilíndrica é dado por: 
𝐼𝑂 = (0,0336 ± 0,0007) 𝑘𝑔. 𝑚
2 (5) 
 E dessa forma, o desvio percentual de 𝐼𝑂 apresentado acima, em relação ao 
valor obtido na primeira etapa, para a barra cilíndrica, é de: 
∆𝐼𝑂(%) = 3,17% 
 Resultando em um baixo desvio percentual. 
 Comparando o valor do momento de inércia apresentado anteriormente (5), 
obtido através da equação do período de um pêndulo físico, com o valor do momento 
 
de inércia obtido na primeira etapa do procedimento experimental (𝐼𝑂 = (0,0347 ±
0,0007) 𝑘𝑔. 𝑚2), através da equação do momento de inércia de uma barra delgada, 
observa-se que coincidentemente as incertezas entre os dois valores são iguais, e 
que dada suas incertezas, ambos os valores correspondem a faixas de valores 
semelhantes. Logo, embora os valores de momento de inércia obtidos não sejam 
iguais, como o esperado, eles são consideravelmente próximos. 
 Vale observar que a equação utilizada na primeira etapa do procedimento, é 
“idealizada” para barras cilíndricas delgadas, ou seja, barras cilíndricas de espessura 
desprezível, porém, a barra cilíndrica utilizada em todo o procedimento apresentava 
um diâmetro considerável. A falta da perfeita compatibilidade da equação com o 
procedimento experimental da primeira etapa, pode ter sido a causadora da 
divergência entre os dois valores obtidos. Além é claro, dos possíveis erros de 
medição, existentes em ambas as metodologias, decorrentes, principalmente, da 
subjetividade das leituras. 
 Assim, devido à todas as observações anteriormente feitas, pode-se intuir que 
o valor do momento de inércia obtido através da equação do período de um pêndulo 
físico, é, provavelmente, o que melhor condiz com o real valor do momento de inércia 
da barra. 
 
 Tomou-se em seguida, a casca cilíndrica, que também foi colocada para oscilar 
em um suporte como o representado na Figura 2, de modo que seu ângulo de 
deslocamento, em relação a vertical, fosse consideravelmente pequeno. Marcou-se o 
tempo necessário para 10 oscilações. O procedimento anterior foi então repetido em 
um total de 5 vezes, e obteve-se os seguintes resultados: 
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒅𝒂 𝑻𝒆𝒎𝒑𝒐 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝟏𝟎 
 𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂çõ𝒆𝒔 (s) 
𝑷𝒆𝒓í𝒐𝒅𝒐 𝒅𝒂𝒔 
𝒐𝒔𝒄𝒊𝒍𝒂çõ𝒆𝒔 (𝒔) 
1 4,21 0,421 
2 4,36 0,436 
3 4,25 0,425 
4 4,20 0,420 
5 4,36 0,436(Tabela 2: Resultados das medições experimentais – Casca cilíndrica.) 
 
 
A partir dos dados apresentados na Tabela 2, foi possível estimar o período de 
oscilação da casca cilíndrica em relação ao eixo de rotação 𝑂, que é dado por: 
𝑇 = (0,428 ± 0,004) 𝑠 
 Tomando os valores da massa (𝑚 = (0,024 ± 0,001)𝑘𝑔) e da distância 𝑑 (𝑑 =
(0,02220 ± 0,00002)𝑚) da casca cilíndrica estimados na primeira etapa do 
procedimento experimental, e com o auxílio da equação (4): 
𝐼𝑂 =
𝑚𝑔𝑑 𝑇2
4𝜋2
 
 Tem-se que o momento de inércia da casca cilíndrica é dado por: 
𝐼𝑂 = (0,000024 ± 0,000001) 𝑘𝑔. 𝑚
2 (6) 
 Neste caso, observa-se que o valor anterior (6), obtido através da equação do 
período de oscilação de um pêndulo físico, é exatamente igual ao valor obtido na 
primeira etapa do procedimento experimental, estimado a partir da equação do 
momento de inércia de uma casca cilíndrica. Logo, o desvio percentual do 𝐼𝑂 obtido 
nesta etapa em relação ao valor obtido na primeira etapa, para a casca cilíndrica, é 
de ∆𝐼𝑂(%) = 0%. 
 A compatibilidade dos dois valores obtidos é um excelente resultado 
experimental, já que condiz com o esperado. No entanto, não é possível afirmar que 
o valor obtido experimentalmente corresponde exatamente ao real valor do momento 
de inércia da casca cilíndrica, já que, os possíveis erros de medição estão presentes 
nos resultados experimentais. Porém, ainda assim, espera-se que este valor esteja 
muito próximo do ideal. 
 No caso da casca cilíndrica, diferentemente do que ocorreu com a barra 
cilíndrica, a idealização da casca cilíndrica como uma estrutura de espessura 
desprezível é mais razoável, o que implica em uma maior conformidade da utilização 
da equação de seu momento de inércia, e consequentemente resultados 
experimentais mais coerentes e de maior confiabilidade. 
 
Obs.: Para possível verificação de todas as incertezas apresentadas anteriormente, 
um rascunho dos cálculos foi anexado ao final deste relatório. 
 
 
 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
 Finalizado a prática, foi possível observar e estudar experimentalmente as 
pequenas oscilações periódicas de pêndulos físicos, além de determinar de duas 
maneiras distintas os momentos de inércia da barra cilíndrica e da casca cilíndrica em 
relação aos seus eixos de rotação. Constatando por fim, resultados compatíveis ou 
semelhantes dos momentos de inércia estimados. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
 Roteiro Física Experimental II;