Relatorio8Fisica - Equação de Newton Para o Resfriamento

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FÍSICA EXPERIMENTAL II 
ENGENHARIA CIVIL 
 
 
ANA CLARA PEDRAS BUENO 
 
 
 
 
 
EQUAÇÃO DE NEWTON PARA O RESFRIAMENTO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CURVELO 
 2018 
 
INTRODUÇÃO: 
 
 Quando se expõe um corpo de temperatura 𝑇𝑐 a um ambiente de temperatura 
𝑇𝑎, de forma que 𝑇𝑐 ≠ 𝑇𝑎, percebe-se que, após alguns instantes, o objeto atinge o 
equilíbrio térmico com o ambiente. 
 Comparando resultados de diferentes situações envolvendo resfriamento de 
um corpo, é possível constatar que a taxa de resfriamento depende de diferentes 
fatores, tais como: a diferença de temperatura entre o corpo e o meio externo, a 
superfície do corpo exposta, o calor especifico da substância que o constitui, as 
condições do ambiente no qual este corpo foi colocado e o tempo em que o objeto 
permaneceu em contato com o ambiente. 
 Dessa forma, a taxa de resfriamento de um corpo em contato térmico com um 
fluido, é dada pela equação: 
𝑑∆𝑇
𝑑𝑡
= −𝑘∆𝑇 (1) 
Onde, ∆𝑇 é a diferença entre a temperatura da superfície do corpo e do fluido, e 𝑘 
representa um coeficiente de proporcionalidade, que depende de fatores como a 
superfície exposta ser plana ou curva, ser vertical ou horizontal, do fluido ser um gás 
ou um líquido, da densidade, da viscosidade, do calor específico e da condutividade 
térmica do fluido, entre outros. Essa relação (1) é conhecida como Equação de 
Newton para o resfriamento. 
 Sendo ∆𝑇0 a diferença de temperatura entre um corpo e a vizinhança no 
instante 𝑡 = 0, 
∆𝑇0 = 𝑇0 − 𝑇𝑎 (2) 
 Observa-se que após um tempo 𝑡, a diferença de temperatura entre eles é dada 
por: 
∆𝑇 = ∆𝑇0𝑒
−𝑘𝑡 
 Que pode ser mais convenientemente reescrita como: 
𝑇 = 𝑇𝑎 + ∆𝑇0𝑒
−𝑘𝑡 (3) 
 
 
 
 
 
 
OBJETIVO: 
 
 A prática teve por objetivo verificar a validade da Lei de Newton para o 
resfriamento a partir da determinação das curvas de resfriamento de um termômetro 
 
 
MATERIAIS E MÉTODOS: 
 
 Os materiais utilizados para execução da prática são listados abaixo: 
 1 (um) termômetro (com escala de −10 °𝐶 a 110 °𝐶) ; 
 1 (um) ebulidor; 
 2 (dois) béqueres de 250 𝑚𝑙; 
 1 (um) tripé tipo estrela com manípulo; 
 1 (uma) mufa; 
 1 (um) cronômetro; 
 Barbante. 
 
Inicialmente, para determinação da temperatura ambiente, com o auxílio de um 
pequeno pedaço de barbante e uma mufa, prendeu-se o termômetro no tripé. Após 
um certo instante, até que o termômetro atingisse o equilíbrio térmico com o ambiente, 
a temperatura fornecida pelo termômetro foi anotada. 
Em seguida, um dos béqueres foi preenchido com água até que atingisse um 
volume de, aproximadamente, 150 𝑚𝑙. O béquer foi então colocado próximo a base 
do tripé, de modo que o termômetro preso ao tripé pôde ser deslocado e colocado em 
contato com a água contida no béquer. Com o auxílio do ebulidor, o volume de água 
no béquer foi aquecido até que se atingisse uma temperatura de, aproximadamente, 
60 °𝐶. 
Neste instante, o termômetro preso ao tripé foi mais uma vez deslocado, desta 
vez, de forma que o termômetro ficasse completamente circundado pelo ar do 
ambiente. A partir de então, com um cronômetro, foi registrado o tempo necessário 
para o decréscimo de sua temperatura, até que esta atingisse um valor próximo da 
temperatura ambiente. 
 
Todo o procedimento descrito anteriormente foi repetido, no entanto, para um 
resfriamento do termômetro em contato com água à temperatura ambiente. 
 
 
RESULTADOS E DISCUSSÃO: 
 
 O procedimento experimental consistiu em duas etapas. 
A primeira delas teve por objetivo determinar a curva de resfriamento do 
termômetro à temperatura ambiente. Nesta etapa, o valor da temperatura ambiente 
fornecido pelo termômetro, foi de: 
𝑇𝑎 = (26,0 ± 0,5)°𝐶 
 E os registros do tempo, em segundos, para o decréscimo de sua temperatura, 
após atingir uma temperatura de 60 °𝐶, até atingir, novamente, uma temperatura 
próxima da temperatura ambiente, são apresentados na tabela a seguir: 
 
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 (°𝐶) 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠) 
(60,0 ± 0,5) 0 
(55,0 ± 0,5) 10 
(50,0 ± 0,5) 24 
(45,0 ± 0,5) 42 
(40,0 ± 0,5) 66 
(38,0 ± 0,5) 82 
(36,0 ± 0,5) 95 
(34,0 ± 0,5) 112 
(32,0 ± 0,5) 137 
(30,0 ± 0,5) 169 
(28,0 ± 0,5) 221 
(26,0 ± 0,5) 310 
(Tabela 1: Resultados dos dados experimentais obtidos na primeira etapa.) 
 
 Os dados apresentados na Tabela 1 foram inseridos em um software de 
análises gráficas e obteve-se o seguinte gráfico da temperatura (𝑇) em função do 
tempo (𝑡): 
 
 
(Figura 1: Gráfico exponencial do resfriamento do termômetro à temperatura ambiente.) 
 
 O gráfico apresentado na Figura 1, descreve a seguinte função exponencial: 
𝑦 = 𝐴1 ∗ 𝑒
−𝑥
𝑡1 + 𝑦0 (4) 
Onde os parâmetros 𝐴1, 𝑡1 e 𝑦0 são dados, respectivamente, por: 
𝐴1 = (33,39649 ± 0,42994) °𝐶 
𝑡1 = (78,18381 ± 2,62274) 𝑠 
𝑦0 = (25,9122 ± 0,38946) °𝐶 
Comparando a equação (4) com a equação (3), obtém as seguintes relações: 
∆𝑇0 = 𝐴1 = (33,4 ± 0,4) °𝐶 
−1
 𝑘
= 𝑡1 = (78 ± 3) 𝑠 
𝑇𝑎 = 𝑦0 = (25,9 ± 0,4) °𝐶 
 Sendo assim, a partir do ajuste exponencial feito e das relações apresentadas 
anteriormente, foi possível estimar os valores de 𝑇0 ,que corresponde à temperatura 
do termômetro no tempo 𝑡 = 0, e da constante 𝑘. 
 Partindo da equação (2): 
∆𝑇0 = 𝑇0 − 𝑇𝑎 
 
 E substituindo os valores de 𝑇𝑎 (𝑇𝑎 = (26,0 ± 0,5) °𝐶) e de ∆𝑇0 (∆𝑇0 =
(33,4 ± 0,4) °𝐶), obtém-se: 
𝑇0 = ((33,4 ± 0,4) + (26,0 ± 0,5))°𝐶 
𝑇0 = (59,4 ± 0,6)°𝐶 (5) 
 Tomando agora, a relação: 
−1
 𝑘
= (78 ± 3) 𝑠 
 Obtém-se que a constante 𝑘 é dada por: 
𝑘 = (−0,0128 ± 0,0005) 𝑠−1 (6) 
 Como parte do objetivo proposto, e para uma segunda estimativa dos 
parâmetros 𝑇0 e 𝑘, foi realizada a linearização gráfica, seguida de uma regressão 
linear da equação (3). Sendo assim, esta equação foi reescrita na forma: 
ln(𝑇 − 𝑇𝑎) = 𝑙𝑛∆𝑇0 − 𝑘𝑡 (7) 
Os dados apresentados na Tabela 1 foram novamente inseridos em um 
software de análises gráficas e obteve-se o seguinte gráfico de ln (𝑇 − 𝑇𝑎) em função 
do tempo (𝑡): 
 
(Figura 2: Gráfico linearizado do resfriamento do termômetro à temperatura ambiente.) 
 
 
 Dessa forma, tem-se que o gráfico apresentado na Figura 2, é uma função 
linear que expressa a relação entre ln(𝑇 − 𝑇𝑎) e 𝑡 dada pela equação (7). Logo, 
conclui-se que a constante 𝑘 é obtida graficamente pela inclinação da função linear. 
Sendo assim, a partir dos dados expressos na Figura 2, tem-se que: 
𝑘 = (−0,01275 ± 0,000178431) 𝑠−1 
 Que pode ser reescrito mais corretamente na forma: 
𝑘 = (−0,01275 ± 0,0002) 𝑠−1 (8) 
 Observa-se ainda, que a partir dos dados expressos na Figura 2, tem-se que a 
interceptação da função linear com o eixo y é dado por: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡 = (3,52 ± 0,02) 
 Sendo assim, a partir da equação (7), para 𝑡 = 0, tem-se: 
ln (𝑇 − 𝑇𝑎) = (3,52 ± 0,02) = 𝑙𝑛∆𝑇0 
 Então ∆𝑇0 é dado por: 
∆𝑇0 = 𝑒
(3,52±0,02) 
∆𝑇0 = (33,8 ± 0,7) °𝐶 
 A partir da equação (2), do valor de 𝑇𝑎 (𝑇𝑎 = (26,0 ± 0,5) °𝐶) e do valor obtido 
anteriormente, foi possível estimar o valor de 𝑇0: 
𝑇0 = ((33,8 ± 0,7) + (26,0 ± 0,5))°𝐶 
𝑇0 = (59,8 ± 0,9) °𝐶 (9) 
 Comparando, inicialmente, o valor de 𝑇0 obtido e apresentado anteriormente , 
(9), com o valor de 𝑇0 obtido a partir da curva exponencial (5), observa-se que estes 
são muito próximos e condizem com a real situação da experimentação, já que o 
resfriamento do termômetro partiu de uma temperatura inicial de aproximadamente 
60 °𝐶. 
Comparandoagora os valores da constante 𝑘, obtidos pela curva exponencial 
(6) e pela sua linearização (8): 
𝑘 = (−0,0128 ± 0,0005) 𝑠−1 (6) 
𝑘 = (−0,01275 ± 0,0002) 𝑠−1 (8) 
 Observa-se que, como o esperado, os valores de 𝑘 são significativamente 
próximos, praticamente iguais. 
A coerência dos resultados experimentais, com os resultados fisicamente 
esperados qualifica, e muito, o procedimento experimental feito. 
 
Já a segunda etapa do procedimento experimental teve por objetivo determinar 
a curva de resfriamento do termômetro em água à temperatura ambiente. Nesta etapa, 
o valor da temperatura da água, à temperatura ambiente, fornecido pelo termômetro, 
foi de: 
𝑇á𝑔𝑢𝑎 = (25,0 ± 0,5)°𝐶 
 Os registros do tempo, em segundos, para o decréscimo da temperatura do 
termômetro quando colocado em contato com o béquer com água, após atingir uma 
temperatura de 60 °𝐶, até atingir, novamente, uma temperatura próxima da 
temperatura da água, são apresentados na tabela a seguir: 
 
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑒𝑟𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎 (°𝐶) 𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜 (𝑠) 
(60,0 ± 0,5) 0 
(55,0 ± 0,5) 0,68 
(50,0 ± 0,5) 1,78 
(45,0 ± 0,5) 3,31 
(40,0 ± 0,5) 4,94 
(35,0 ± 0,5) 7,20 
(30,0 ± 0,5) 11,57 
(25,0 ± 0,5) 30,27 
(Tabela 2: Resultados dos dados experimentais obtidos na segunda etapa.) 
 
Os dados apresentados na Tabela 2 foram inseridos em um software de análises 
gráficas e obteve-se o seguinte gráfico da temperatura (𝑇) em função do tempo (𝑡): 
 
 
(Figura 3: Gráfico exponencial do resfriamento do termômetro em água à temperatura ambiente.) 
 
O gráfico apresentado na Figura 3, descreve uma função exponencial dada por: 
𝑦 = 𝐴1 ∗ 𝑒
−𝑥
𝑡1 + 𝑦0 
Onde os parâmetros 𝐴1, 𝑡1 e 𝑦0 são dados, respectivamente, por: 
𝐴1 = (35,06836 ± 0,6445) °𝐶 
𝑡1 = (5,70548 ± 0,25749) 𝑠 
𝑦0 = (25,09127 ± 0,55639) °𝐶 
Comparando a função exponencial acima com a equação (3), obtém as 
seguintes relações: 
∆𝑇0 = 𝐴1 = (35,1 ± 0,6) °𝐶 
−1
 𝑘
= 𝑡1 = (5,7 ± 0,3) 𝑠 
𝑇𝑎 = 𝑦0 = (25,1 ± 0,6) °𝐶 
 Sendo assim, a partir do ajuste exponencial feito e das relações apresentadas 
anteriormente, foi possível estimar os valores de 𝑇0 ,que corresponde à temperatura 
do termômetro no tempo 𝑡 = 0, e da constante 𝑘. 
 Partindo da equação (2): 
 
∆𝑇0 = 𝑇0 − 𝑇𝑎 
 E substituindo os valores de 𝑇𝑎 (𝑇á𝑔𝑢𝑎 = (25,0 ± 0,5) °𝐶) e de ∆𝑇0 (∆𝑇0 =
(35,1 ± 0,6) °𝐶), obtém-se: 
𝑇0 = ((35,1 ± 0,6) + (25,0 ± 0,5))°𝐶 
𝑇0 = (60,1 ± 0,8)°𝐶 (10) 
 Tomando agora, a relação: 
−1
 𝑘
= (5,7 ± 0,3) 𝑠 
 Obtém-se que a constante 𝑘 é dada por: 
𝑘 = (−0,175 ± 0,009) 𝑠−1 (11) 
 De modo a se obter uma segunda estimativa dos parâmetros 𝑇0 e 𝑘, foi 
realizada a linearização gráfica, seguida de uma regressão linear da equação (3). 
Sendo assim, esta equação foi reescrita como na equação (7): 
ln(𝑇 − 𝑇𝑎) = 𝑙𝑛∆𝑇0 − 𝑘𝑡 
Os dados apresentados na Tabela 2 foram novamente inseridos em um 
software de análises gráficas e obteve-se o seguinte gráfico de ln (𝑇 − 𝑇𝑎) em função 
do tempo (𝑡): 
 
(Figura 4: Gráfico linearizado do resfriamento do termômetro em água à temperatura ambiente.) 
 
 
Dessa forma, tem-se que o gráfico apresentado na Figura 4, é uma função 
linear que expressa a relação entre ln(𝑇 − 𝑇𝑎) e 𝑡 dada pela equação (7). Logo, 
conclui-se que a constante 𝑘 é obtida graficamente pela inclinação da função linear. 
Sendo assim, a partir dos dados expressos na Figura 4, tem-se que: 
𝑘 = (−0,16458 ± 0,00491) 𝑠−1 
 Que pode ser reescrito mais corretamente na forma: 
𝑘 = (−0,16458 ± 0,005) 𝑠−1 (12) 
 Observa-se ainda, que a partir dos dados expressos na Figura 4, tem-se que a 
interceptação da função linear com o eixo y é dado por: 
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑐𝑒𝑝𝑡 = (3,53 ± 0,03) 
 Sendo assim, a partir da equação (7), para 𝑡 = 0, tem-se: 
ln (𝑇 − 𝑇𝑎) = (3,53 ± 0,03) = 𝑙𝑛∆𝑇0 
 Então ∆𝑇0 é dado por: 
∆𝑇0 = 𝑒
(3,53±0,03) 
∆𝑇0 = (34 ± 1) °𝐶 
 A partir da equação (2), do valor de 𝑇𝑎 (𝑇á𝑔𝑢𝑎 = (25,0 ± 0,5) °𝐶) e do valor 
obtido anteriormente, foi possível estimar o valor de 𝑇0: 
𝑇0 = ((34 ± 1) + (25,0 ± 0,5))°𝐶 
𝑇0 = (59 ± 1) °𝐶 (13) 
Observa-se que o valor de 𝑇0 apresentado anteriormente , (13), é 
significativamente próximo do valor de 𝑇0 obtido a partir da curva exponencial (10), 
observa-se ainda que estes estão coerentes com o real valor da temperatura inicial 
do resfriamento do termômetro, que foi de aproximadamente 60 °𝐶. 
Comparando também os valores da constante 𝑘, obtidos pela curva 
exponencial (11) e pela sua linearização (12): 
𝑘 = (−0,175 ± 0,009) 𝑠−1 (11) 
𝑘 = (−0,16458 ± 0,005) 𝑠−1 (12) 
 Percebe-se que, como o esperado, os valores de 𝑘 são relativamente próximos. 
 Realizando por fim, uma comparação entre os resultados obtidos na primeira e 
na segunda etapa do procedimento experimental, nota-se que, embora em geral os 
resultados experimentais obtidos tenham apresentado coerência, os resultados 
obtidos na segunda etapa apresentaram desvios sutilmente maiores, bem como, 
 
valores de incertezas mais elevados, quando comparados aos resultados obtidos na 
primeira etapa. 
Este fato se deu, provavelmente, a maior dificuldade na realização das 
medições do tempo e seu respectivo decaimento da temperatura, durante a segunda 
etapa do procedimento, já que o resfriamento do termômetro em contato com a água 
à temperatura ambiente ocorre muito rapidamente, principalmente nos instantes 
iniciais. 
Pôde ser observado também, que os valores da constante 𝑘 são 
consideravelmente diferentes, quando o resfriamento do termômetro ocorre ao ar 
ambiente e quando este resfriamento ocorre em água. Como nos dois casos foi 
realizado o resfriamento do mesmo objeto, à uma mesma temperatura inicial, é 
possível constatar que, de fato, essa constante depende de características do fluido, 
ou seja, do meio onde ocorre o resfriamento. 
 
Obs.: Para possível verificação dos valores das incertezas apresentadas 
anteriormente, um rascunho dos cálculos foi anexado ao final deste relatório. 
 
 
CONCLUSÃO: 
 
 Finalizado a prática, foi possível verificar e avaliar a Lei de Newton para o 
resfriamento a partir da análise do resfriamento de um termômetro à temperatura 
ambiente e o resfriamento deste mesmo termômetro em água à temperatura 
ambiente. As determinações das curvas de resfriamento e suas devidas linearização, 
possibilitaram ainda a obtenção dos valores da constante 𝑘 para cada uma das 
situações. 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
 Roteiro Física Experimental II.