Lista de Exercicios de Fixacao A5

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Lista de Exercícios – Fixação do Conteúdo AULA 5 
 
1-) Determine o centroide (�̅�, �̅�) da área sombreada. 
 
Resolução: 
Para determinar o centroide de área em relação temos que desenhar um retângulo infinitesimal. Vamos desenhá-
lo na vertical onde sua base é 𝑑𝑥 e sua altura é 𝑦 como mostra a imagem abaixo: 
 
A área desse elemento infinitesimal é a área do retângulo (base vezes altura) dada por: 
𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 
A equação para o cálculo do centroide em �̅� é definida pela Equação 3a vista na Aula 5, logo: 
�̅� =
∫ �̃�𝑑𝐴𝐴
∫ 𝑑𝐴𝐴
, 
onde �̃� corresponde ao centroide do elemento infinitesimal, ou seja, �̃� = 𝑥. A integral é função de 𝑥, logo, pela 
figura nota-se que a função varia de 0 a 1 m no eixo 𝑥. Esses são os nossos limites de integração. Substituindo 
�̃� = 𝑥 e 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥, onde 𝑦² = 𝑥³, logo, 𝑦 = 𝑥3/2, na equação acima, temos: 
�̅� =
∫ 𝑥𝑦𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑦𝑑𝑥
1
0
=
∫ 𝑥𝑥3/2𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑥3/2𝑑𝑥
1
0
=
∫ 𝑥5/2𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑥3/2𝑑𝑥
1
0
 
Resolvendo a integral polinomial acima (veja Equação 3 da Aula 4), temos que: 
�̅� =
(
2
7 𝑥
7/2)
(
2
5 𝑥
5/2)
|
0
1
=
5𝑥7/2
7𝑥5/2
|
0
1
=
5
7
𝑥|
0
1
 
Substituindo os limites de integração chegamos em: 
 
�̅� =
5
7
(1 − 0) → �̅� =
5
7
 𝑚 
Faremos um procedimento semelhante para determinarmos o centroide de área �̅�, só que agora vamos considerar a Equação 
3b da Aula 5, ou seja: 
�̅� =
∫ �̃�𝑑𝐴𝐴
∫ 𝑑𝐴𝐴
, 
onde �̃� corresponde ao centroide do elemento infinitesimal, ou seja, �̃� = 𝑦/2. A integral ainda é função de 𝑥, por 
conta do 𝑑𝑥 que vem da área do elemento infinitesimal, logo, a função varia de 0 a 1 m. Substituindo �̃� = 𝑦/2 e 
𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥, onde 𝑦² = 𝑥³, logo, 𝑦 = 𝑥3/2, na equação acima, temos: 
�̅� =
∫
𝑦
2 𝑦𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑦𝑑𝑥
1
0
=
∫
𝑥3/2
2 𝑥
3/2𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑥3/2𝑑𝑥
1
0
=
1
2 ∫ 𝑥
3/2𝑥3/2𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑥3/2𝑑𝑥
1
0
=
1
2 ∫ 𝑥
3𝑑𝑥
1
0
∫ 𝑥3/2𝑑𝑥
1
0
 
Resolvendo a integral polinomial acima (veja Equação 3 da Aula 4), temos que: 
�̅� =
(
1
2 .
𝑥4
4
)
(
2
5
𝑥5/2)
|
0
1
=
(
𝑥4
8
)
(
2
5
𝑥5/2)
|
0
1
=
5𝑥4
16𝑥5/2
|
0
1
=
5
16
𝑥3/2|
0
1
 
Substituindo os limites de integração chegamos em: 
�̅� =
5
16
(13/2 − 03/2) =
5
16
(1) → �̅� =
5
16
 𝑚 
Obs. Todos esses cálculos poderiam ser desenvolvidos considerando o elemento infinitesimal deitado (na 
horizontal). 
2-) Localize o centroide �̅� da área da seção transversal da viga. 
 
Resolução: 
Temos que encontrar o centroide em y, através da seguinte equação: 
�̅� =
∑ �̃�𝐴
∑ 𝐴
 
Temos que obter a posição no eixo y das duas figuras: 
 
Se considerarmos esta distância em relação a base da figura completa, temos: 
�̃�1 = 300 +
50
2
= 325 𝑚𝑚 
�̃�2 =
300
2
= 150 𝑚𝑚 
Vamos calcular as áreas das duas figuras: 
𝐴1 = 300.50 = 15000 𝑚𝑚² 
𝐴2 = 50.300 = 15000 𝑚𝑚
2 
Substituindo na equação do centroide: 
�̅� =
∑ �̃�𝐴
∑ 𝐴
=
(325.15000 + 150.15000)
(15000 + 15000)
 
Portanto, �̅� = 237,5 𝑚𝑚. 
 
 
3-) Determine o momento de inércia 𝐼𝑥 e 𝐼𝑦 da área azul: 
 
Resolução: 
Conforme o procedimento descrito na página 16 da Aula 5, temos que desenhar um elemento diferencial na 
horizontal para determinar o momento de inércia em 𝑥. 
 
A área desse elemento infinitesimal é dada pela multiplicação de sua base por sua altura, ou seja: 
𝑑𝐴 = (1 − 𝑥)𝑑𝑦 
A Equação que vamos utilizar é a 6 descrita na Aula 6 e definida como: 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2𝑑𝐴
𝐴
 
Essa integral varia em função de 𝑦, por conta do 𝑑𝑦, logo, seu intervalo é de 0 a 1m. 
A função é 𝑦2 = 𝑥3, logo, 𝑥 = 𝑦2/3. Substituindo esses termos na equação acima, temos: 
𝐼𝑥 = ∫ 𝑦
2(1 − 𝑥)𝑑𝑦 = ∫ 𝑦2(1 − 𝑦2/3)𝑑𝑦 = ∫ 𝑦2 − 𝑦8/3𝑑𝑦 = ∫ 𝑦2𝑑𝑦
1
0
1
0
1
0
1
0
− ∫ 𝑦8/3𝑑𝑦
1
0
 
Aplicando a Equação 3 da Aula 4 para resolver essa integral, temos: 
𝐼𝑥 =
𝑦³
3
|
0
1
−
3
11
𝑦11/3|
0
1
 
Substituindo os limites de integração, temos o seguinte resultado: 
𝐼𝑥 = (
1³
3
−
0³
3
) − (
3
11
1
11
3 −
3
11
0
11
3 ) =
1
3
−
3
11
=
11 − 9
33
=
2
33
 → 𝐼𝑥 = 0,0606 𝑚
4 
Para o cálculo do momento de inércia em y, vamos desenhar um elemento infinitesimal na vertical: 
 
A área desse elemento infinitesimal é dada pela multiplicação de sua base por sua altura, ou seja: 
𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 
A Equação que vamos utilizar é a 6 descrita na Aula 6 e definida como: 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2𝑑𝐴
𝐴
 
Essa integral varia em função de 𝑥, por conta do 𝑑𝑥, logo, seu intervalo é de 0 a 1m. 
A função é 𝑦2 = 𝑥3, logo, 𝑦 = 𝑥3/2. Substituindo esses termos na equação acima, temos: 
𝐼𝑦 = ∫ 𝑥
2𝑦𝑑𝑥 = ∫ 𝑥2𝑥3/2𝑑𝑥 = ∫ 𝑥7/2𝑑𝑥
1
0
1
0
1
0
 
Aplicando a Equação 3 da Aula 4 para resolver essa integral, temos: 
𝐼𝑦 =
2
9
𝑥9/2|
0
1
 
Substituindo os limites de integração, temos o seguinte resultado: 
𝐼𝑦 =
2
9
(19/2 − 0
9
2) =
2
9
1 → 𝐼𝑦 = 0,222 𝑚
4 
 
 
4-) Determine a distância �̅� até o centroide da área da seção transversal da viga, depois, ache o momento de 
inércia em relação ao eixo 𝑥′. 
 
Resolução: 
 
𝐶1 = �̃�1 = 50 𝑚𝑚 
𝐴1 = 200.100 = 20000 𝑚𝑚² 
𝐶2 = �̃�2 = 250 𝑚𝑚 
𝐴2 = 100.300 = 30000 𝑚𝑚² 
�̅� =
∑ �̃�𝐴
∑ 𝐴
=
(50.20000 + 250.30000)
(20000 + 30000)
 
Portanto, �̅� = 170 𝑚𝑚 
𝐼𝑥 = 𝐼�̅�′ + 𝐴𝑑𝑦² onde 𝐼�̅�′ =
𝑏ℎ³
12
 
𝐼𝑥1 =
200 100³
12
+ 20000. (50 − 170)² → 𝐼𝑥1 = 304,67. 10
6 𝑚𝑚4 
𝐼𝑥2 =
100 300³
12
+ 30000. (250 − 170)² → 𝐼𝑥2 = 417. 10
6 𝑚𝑚4 
𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1 + 𝐼𝑥2 = 721.67. 10
6 𝑚𝑚4. 
5-) O pêndulo consiste em uma barra espelta de 3 kg e uma placa fina de 5 kg. Determine a localização �̅� do 
centro de massa 𝐺 do pêndulo; depois, determine o momento de inércia de massa do pêndulo em relação a um 
eixo perpendicular à página e que passa por 𝐺. 
 
Resolução: 
O centro de massa do pêndulo pode ser obtido aplicando a Equação 5 vista na Aula 5: 
�̅� =
∑ �̃�𝑚
∑ 𝑚
 
Considerando a barra esbelta como o primeiro segmento e a placa fina como o segundo, temos: 
�̃�1 =
2
2
= 1 𝑚 e 𝑚1 = 3 𝑘𝑔 
�̃�2 = 2 +
0,5
2
= 2,25 𝑚 e 𝑚2 = 5 𝑘𝑔 
Substituindo na primeira equação, temos o seguinte resultado: 
�̅� =
1.3 + 2,25.5
3 + 5
 → �̅� = 1,78125 𝑚 
Aplicando o teorema dos eixos paralelos visto no tópico 5.1 da Aula 5, temos a seguinte equação: 
𝐼 = 𝐼𝐺 + 𝑚𝑑
2 
onde 𝐼𝐺 corresponde ao momento de inércia de massa em relação ao eixo que passa pelo centro de massa do corpo 
e 𝑑 é a distância entre os eixos paralelos. 
A Figura 17 da Aula 5 nos mostra as equações para os diferentes tipos de geometrias: 
 
Para o primeiro segmento, temos que o momento de inércia de área em relação ao centroide é dado por: 
𝐼𝐺1 =
1
12
𝑚𝑙2 =
1
12
3.22 = 1 𝑘𝑔. 𝑚² 
E para o segundo segmento, temos: 
𝐼𝐺2 =
1
12
𝑚𝑏² =
1
12
5.12 = 0,4167 𝑘𝑔. 𝑚² 
Aplicando esses termos na equação do teorema dos eixos paralelos, temos: 
𝐼 = 𝐼𝐺1 + 𝑚1𝑑1
2 + 𝐼𝐺 2 + 𝑚2𝑑2
2
 
onde 𝑑1 = �̅� − �̃�1 e 𝑑2 = �̅� − �̃�2 
𝐼 = (1 + 3. (1,78125 − 1)2) + (0,4167 + 5. (1,78125 − 2,25)2) = 2,831 + 1,515 → 𝐼 = 4,346 𝑘𝑔. 𝑚²