Tema 04 - 04 - Lista de Exercícios - Distribuição de Probabilidades - Valor Esperado - Distribuição Binomial - Gabarito

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CENTRO UNIVERSITÁRIO CARIOCA PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 
 
Catiúscia A. B. Borges 1 
Tema 04 – Lista de Exercícios – Distribuição de Probabilidades - Valor 
Esperado - Distribuição Binomial 
 
1) No lançamento de duas moedas X é o número de caras obtidas observando as 
duas moedas; construa uma tabela que represente a distribuição da variável 
aleatória. Determine a esperança (valor esperado). 
X P(X) 
0 0,25 
1 0,50 
2 0,25 
𝑒(𝑋) = 0.0,25 + 1 . 0,50 + 2 . 0,25 = 1 
 
2) Suponha o experimento aleatório correspondente ao lançamento de um dado 
honesto e que X representa o ponto obtido. Construa a tabela que represente a 
distribuição da variável aleatória e determine: 
X P(X) 
1 
1
6
 
2 
1
6
 
3 
1
6
 
4 
1
6
 
5 
1
6
 
6 
1
6
 
Σ 1 
a) A probabilidade de obter exatamente 5 pontos. 
𝑃(𝑋 = 5) =
1
6
 
 
b) A probabilidade de obter 5 pontos ou 6 pontos. 
𝑃(𝑋 ≥ 5) =
1
3
 
c) A probabilidade de obter menos de 3 pontos ou exatamente 3 pontos. 
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𝑃(𝑋 ≤ 3) =
1
2
 
d) Determine a esperança. 
𝑒(𝑋) = 1.
1
6
+ 2.
1
6
+ 3.
1
6
+ 4.
1
6
+ 5.
1
6
+ 6.
1
6
=
21
6
= 3,5 
 
3) Em um jogo disputado com um dado, em que um jogador ganha R$20,00 se o 
resultado é 2, R$ 40,00 se o resultado é 4, perde R$ 30,00 se o resultado é 6, e não 
ganha e nem perde se aparecer qualquer das outras faces. Determine o ganho 
esperado. 
Dado X P(X) 
6 -30,00 
1
6
 
1 , 3 ou 5 0 
1
2
 
2 20,00 
1
6
 
4 40,00 
1
6
 
Σ 1,00 
𝑒(𝑥) = −30 .
1
6
+ 0 .
1
2
+ 20.
1
6
+ 40.
1
6
 
𝑒(𝑥) =
−30 + 20 + 40
6
 
𝑒(𝑥) = 
30
6
= 5 
Ganho esperado R$ 5,00 
 
4) Duas peças são retiradas sucessivamente, sem reposição, de uma caixa que 
contém quatro peças boas (B) e 3 defeituosas (D). Construa uma tabela que 
represente a distribuição da variável aleatória X, onde X é o número de peças boas 
retiradas. 
 
X P(X) 
0 0,14 
1 0,57 
2 0,29 
Σ 1,00 
 
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5) Considere uma moeda viciada, onde a probabilidade de obtermos a face superior 
igual a cara é de 0,40. Suponha que esta moeda foi lançada três vezes, construa uma 
tabela de distribuição de probabilidade, onde a variável aleatória X é o número de 
vezes que a face cara se encontra na face superior. Determine a esperança. 
 
X P(X) 
0 0,22 
1 0,43 
2 0,29 
3 0,06 
Σ 1,00 
 
𝑒(𝑋) = 0,22 + 0,43 + 0,58 + 0,18 = 1,19 
 
6) Em um jogo onde um indivíduo lança uma moeda e um dado, temos as seguintes 
regras: 
* Se o jogador obtém Cara na face superior da moeda, ganha R$ 10,00 mais R$ 2,00 
por ponto obtido no dado; 
* Se o jogador obtém Coroa na face superior da moeda, ganha R$ 15,00 menos R$ 
3,00 por ponto obtido no dado. 
Determine o ganho esperado. 
 
Considerando as regras do jogo, temos que: 
 
Moeda Dado Moeda Dado Valor 
k 1 10,00 2,00 12,00 
k 2 10,00 4,00 14,00 
k 3 10,00 6,00 16,00 
k 4 10,00 8,00 18,00 
k 5 10,00 10,00 20,00 
k 6 10,00 12,00 22,00 
c 1 15,00 -3,00 12,00 
c 2 15,00 -6,00 9,00 
c 3 15,00 -9,00 6,00 
c 4 15,00 -12,00 3,00 
c 5 15,00 -15,00 0,00 
c 6 15,00 -18,00 -3,00 
 
 
 
 
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Organizando as informações em um holl: 
 
 
X P(X) X .P(X) 
-3,00 1/12 -3/12 
0,00 1/12 0 
3,00 1/12 3/12 
6,00 1/12 6/12 
9,00 1/12 9/12 
12,00 1/6 12/6 
14,00 1/12 14/12 
16,00 1/12 16/12 
18,00 1/12 18/12 
20,00 1/12 20/12 
22,00 1/12 22/12 
Σ 1,00 129/12 
 
E(x) = R$ 10,75 
 
7) Uma moeda é lançada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a 
probabilidade de serem obtidas 3 caras nessas 5 tentativas? Determine a média, a 
variância e o desvio padrão 
 
𝑛 = 5 𝑘 = 3 𝑝 = 0,50 
 
P(X = 3) = 31,25% 
 
𝜇 = 2,5 
𝜎² = 1,25 
𝜎 = 1,12 
 
8) A experiência passada mostra que 1% das lâmpadas incandescentes 
produzidas em numa fábrica são defeituosas. Encontre a probabilidade de mais que 
uma lâmpada numa amostra aleatória de 30 lâmpadas seja defeituosa, usando a 
distribuição Binomial. 
𝑛 = 30 𝑘 = 0 𝑜𝑢 1 𝑝 = 0,01 
 
 𝑃(𝑋 > 1) = 1 – 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 1 − 0,9639 = 0,0361 = 3,61% 
 
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9) Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla escolha com 10 
questões e cinco alternativas por questão respondendo cada uma das questões de 
forma aleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3 questões? 
𝑛 = 10 𝑘 = 0 , 1 , 2 𝑜𝑢 3 𝑝 = 0,20 
 
𝑃(𝑋 ≤ 3) = 0,1074 + 0,2684 + 0,3020 + 0,2013 = 0,8791 = 87,91% 
 
10) Bob é o jogador de basquete da faculdade. Ele é um lançador de 
arremessos livres 70%. Isto significa que sua probabilidade de acertar um 
arremesso livre é 0,70. Durante uma partida Bob realiza 10 arremessos livres, qual 
é a probabilidade que Bob acerte mais de sete arremessos? 
𝑛 = 10 𝑘 = 8, 9 𝑜𝑢 10 𝑝 = 0,70 
 
𝑃(𝑋 ≥ 8) = 0,2335 + 0,1211 + 0,0282 = 0,3828 = 38,28% 
 
 
11) Acredita-se que 20% dos moradores das proximidades de uma grande 
indústria siderúrgica tem alergia aos poluentes lançados ao ar. Admitindo que este 
percentual de alérgicos é real (correto), calcule a probabilidade de que pelo menos 
4 moradores tenham alergia entre 13 selecionados ao acaso. 
𝑛 = 13 𝑘 = 4,5,6 … 13 𝑝 = 0,20 
 
𝑃(𝑋 ≥ 4 ) = 1 − 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 1 − 0,7474 = 0,2526 = 25,26% 
 
12) Três em cada quatro alunos de uma universidade fizeram cursinho 
antes de prestar vestibular. Se 16 alunos são selecionados ao acaso, qual é a 
probabilidade de que: 
(a) Exatamente 12 tenham feito cursinho? 
P(X =12) = 0,2252 
 
(b) Pelo menos 12 tenham feito cursinho? 
𝑛 = 16 𝑘 = 12, 13 … 16 𝑝 = 0,75 
𝑃(𝑋  12) = 0,2252 + 0,2079 + 0,1336 + +0,0535 + 0,0100 = 0,6302 = 
= 63,02% 
 
(c) No máximo 13 tenham feito cursinho? 
𝑃(𝑋  13) = 1 − 𝑃(𝑋  14) = 1 – 0, 1971 = 0,8029 
 
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(d) Em um grupo de 80 alunos selecionados ao acaso, qual é o número esperado de 
alunos que fizeram cursinho? E a variância? 
Média: 
 = 𝑒(𝑋) = 𝑛 ∗ 𝑝 = 80 ∗ 0,75 = 𝟔𝟎 
Variância: 
2 = 𝑉𝑎𝑟(𝑥) = 𝑛 ∗ 𝑝 ∗ (1 − 𝑝) = 15 
 
13) Um agricultor cultiva laranjas e também produz mudas para vender. 
Após alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade de 2% e, 
nesse caso, ela tem probabilidade de 50% de ser recuperável. O custo de cada muda 
produzida é R$ 1,20, que será acrescido de mais R$ 0,50 se precisar ser recuperada. 
As irrecuperáveis são descartadas. Sabendo que cada muda é vendida a R$ 3,50, 
encontre a distribuição da variável aleatória “lucro por muda produzida”. 
 
Observe a função Lucro 
 
𝐿 = {
3,50 − 1,20 = 2,30 𝑀𝑢𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑚 𝑎𝑡𝑎𝑞𝑢𝑒
3,50 − 1,70 = 1,80 𝑀𝑢𝑑𝑎 𝑎𝑡𝑎𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑒 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
0 − 1,20 = −120 𝑀𝑢𝑑𝑎 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑢𝑝𝑒𝑟𝑎𝑑𝑎
 
 
Observe a árvore de probabilidade 
 
 
Assim, a distribuição da variável aleatória “lucro por muda produzida” é dada por: 
 
X P(X) 
-1,20 0,02 
1,80 0,02 
2,30 0,98 
Σ 1,00 
 
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(a) Qual é o lucro médio por muda produzida? 
 
E(x) = R$ 2,27 
 
(b) Em uma plantação de 10000mudas, qual é o lucro esperado? 
 
R$ 22700,00 
 
(c) Em um lote de 50 mudas, qual é a probabilidade de que pelo menos 
49 sejam aproveitáveis? 
 
𝑛 = 50 𝑘 = 49 𝑜𝑢 50 𝑝 = 0,99 ( = 0,98 + 0,01) 
 
𝑃(𝑋 49) = 𝑃(𝑋 = 49) + 𝑃(𝑋 = 50) = 0,3056 + 0,6050 = 0,9106