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Profa. Alessandra Teixeira
Aula Apoio
Se a soma de dois ângulos resulta em:
 90º, dizemos que os ângulos são complementares; 
 180º, dizemos que os ângulos são suplementares.
Ângulos congruentes são aqueles que possuem a mesma medida.
Estudo dos ângulos
 O.P.V. (opostos pelo vértice): 1 e 3; 2 e 4; 5 e 7; 6 e 8 (congruentes) 
 Alternos externos: 1 e 7; 2 e 8 (congruentes)
 Alternos internos: 3 e 5; 4 e 6 (congruentes)
 Correspondentes: 1 e 5; 2 e 6; 3 e 7; 4 e 8 
(congruentes)
 Colaterais internos: 4 e 5; 3 e 6 
(suplementares)
 Colaterais externos: 1 e 8; 2 e 7 
(suplementares)
Pares de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma 
transversal
Fonte: 
https://webcache.googleus
ercontent.com/search?q=c
ache:5An9kyLckHsJ:https:/
/matematicauniban.files.wo
rdpress.com/2011/02/algun
s-conceitos-de-geometria-
plana.doc+&cd=20&hl=pt-
BR&ct=clnk&gl=br
 Bissetriz de um ângulo é a semirreta de origem no vértice do ângulo, dividindo-a 
em dois ângulos congruentes.
Bissetriz
Fonte: file:///F:/UNIP1/GEOMETRIA%20PLANA/apostila-de-geometria-plana.pdf
 Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais, que dividem as 
mesmas em segmentos proporcionais.
Teorema de Tales
Fonte: 
file:///F:/UNIP1/GEOMETRIA%20PLAN
A/apostila_resumao_geometria.pdf
Numa gincana, a equipe "Já Ganhou" recebeu o seguinte desafio:
Na cidade de Curitiba, fotografar a construção localizada na rua Marechal Hermes, 
no número igual a nove vezes o valor do ângulo  da figura a seguir:
Se a equipe resolver corretamente o problema, irá 
fotografar a construção localizada no número: 
a) 990 b) 261 c) 999 d) 1026 e) 1260
Exemplo
 Primeiramente, vamos encontrar o valor do ângulo para então determinar qual é o 
número da construção.
 Uma vez que as retas r e s são paralelas, a soma dos ângulos deve ser igual a 
zero, pois os ângulos dispostos são opostos.
 O ângulo  junto com o ângulo de 29º devem ser iguais com a soma de 65º e 75º. 
Então, podemos escrever:
 Â + 29º = 65º + 75º
 Â = 140º - 29º
 Â = 111º
Exemplo
 Com o ângulo encontrado, multiplicamos esse valor por 9 
para determinar o número da construção: n = 9*111 = 999
 Portanto, o número da construção a ser fotografada é 999.
 A medida de y na figura, em graus, é:
a) 42° b) 32° c) 142° d) 148° e) 24°
Exemplo
Os ângulos 6x+4º e 2x+100º são opostos pelo vértice.
Esses ângulos também são congruentes, ou seja, têm a mesma medida. Desse 
modo: 6x+4º = 2x+100º
6x-2x = 100º-4º
4x = 96º
x = 96º/4
x = 24º
A soma de todos os ângulos é igual a uma volta
completa, ou seja, 360º:
2y+6.24º+4º+2.24º+100º = 360º
2y+296º = 360º 2y = 360º-296º 2y = 64º
y = 64º/2 y = 32º
Exemplo
Júlia começou a estudar Geometria na sua escola. Com dúvida em um exercício 
passado pelo professor de matemática, ela pediu ajuda ao seu tio. O enunciado era: 
“As retas r e s são paralelas; as retas u e t, duas transversais. Encontre o valor do 
ângulo x na figura abaixo”. Portanto, o valor de x é:
a) 120º b) 125º c) 130º d) 135º e) 140º 
Exemplo
Primeiro, vamos analisar o ângulo de 120º. Ele está no ponto de interseção entre t e 
u, portanto, seu ângulo oposto também é 120º (O.P.V.). Agora note que temos 2 
ângulos dentro do triângulo superior. Sabemos que a soma dos ângulos do triângulo 
é sempre 180º. Então, o ângulo que falta é igual a:
20+120+y = 180
y = 180 – 140
y = 40º
Agora, note que o ângulo y mais o maior ângulo formado pela retas r e u são 
suplementares. Este maior ângulo é igual a x, pois r e s são paralelas. Então:
x + y = 180
x = 180 – 40
x = 140º
Exemplo
Determine o valor de x nas figuras abaixo:
Exemplo
 Na figura a seguir temos r//s e t//u//v.
Com base nos estudos dos ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma 
transversal, pode-se afirmar que:
I. O ângulo X mede 127° 30'.
II. O ângulo Y mede 117°.
III. O ângulo Z mede 64° 30'.
Interatividade
Analise as proposições e assinale a alternativa correta. 
a) Somente as afirmações I e II estão corretas. 
b) Somente as afirmações I e III estão corretas. 
c) Somente a afirmação I está correta. 
d) As afirmações I, II e III estão corretas. 
e) As afirmações I, II e III estão incorretas. 
Interatividade
Cálculo de x:
x e 52°30' são suplementares
x+52°30' = 180°
x = 180°-52°30'
x = 127°30'
Cálculo de y:
Prolongando a reta u até que ela cruze com 
a reta r, temos que:
y = 64°30'+52°30'
y = 117°
Resposta
Cálculo de z:
Os ângulos z e 52°30' são correspondentes. Então, z = 52°30'.
I. O ângulo X mede 127°30'; alternativa verdadeira.
II. O ângulo Y mede 117°; alternativa verdadeira.
III. O ângulo Z mede 64°30'; alternativa falsa.
Alternativa correta: a)
Resposta
Propriedades:
 A soma dos ângulos internos de todo e qualquer triângulo é 180º.
 A soma dos ângulos externos de qualquer triângulo é 360º. 
 Todo ângulo externo de um triângulo é igual à soma dos seus dois ângulos 
internos não adjacentes.
Semelhança de triângulos:
Dados dois triângulos (ΔABC e ΔDEF), dizemos que estes são semelhantes se, e 
somente se, estes forem formados pelos mesmos ângulos internos. Observado isso,
podemos afirmar ainda que: 
onde k é chamado de razão de semelhança.
Triângulos
 Mediana: segmento que une o vértice ao ponto médio do lado oposto.
Observe que as medianas concorrem no ponto G,
chamado de baricentro.
 Bissetriz: segmento que parte do vértice e divide o respectivo ângulo interno em 
duas partes iguais.
Observe que as bissetrizes concorrem 
no ponto I, chamado de incentro.
Observe ainda que o incentro é o 
centro da circunferência inscrita 
(“escrita dentro”) ao triângulo. 
Pontos notáveis dos triângulos
 Mediatriz: segmento perpendicular (“que forma um ângulo reto”) ao lado do 
triângulo, e passa ainda pelo seu ponto médio.
Observe que as mediatrizes concorrem no ponto O, 
chamado de circuncentro.
Observe ainda que o circuncentro é o centro da
circunferência circunscrita ao triângulo.
 Altura: segmento que une o vértice ao lado oposto e é perpendicular a este lado. 
Observe que as alturas concorrem no
ponto H, chamado de ortocentro.
 Os ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares:
α + β = 90º
 Como consequência das relações angulares do triângulo, tem-se: 
Se r//s, então, θ = α + β 
Nesse quadrilátero côncavo: α = a + b +c
Vale destacar
 Teorema de Pitágoras
 Razões trigonométricas no triângulo retângulo
Relações métricas no triângulo retângulo
 Na figura r e r’ são paralelas e a reta s é perpendicular a t. Se o menor ângulo 
entre r e s mede 72º, calcule o ângulo α. 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
Assim: 72º + 90º + x = 180º
x = 180º - 162º
x = 18º
Os ângulos  e x são alternos internos, que, por sua
vez, são congruentes, ou seja, possuem a mesma
medida. Então: x =  = 18º
Exemplo
 Na figura, sendo congruente a , congruente a ,, calcule a medida do 
ângulo C E, dado B D = 40º. 
Se é congruente a , significa que tem a
mesma medida, sendo ABC um triângulo isósceles.
Do mesmo modo, e também possuem as 
mesmas medidas.
De acordo com as informações do enunciado, temos que .
Logo, os ângulos da base são congruentes:
Exemplo
 Pela soma dos ângulos internos do triângulo BAD:
 Pela soma dos ângulos internos do triângulo ABC:
Exemplo
O triângulo ADE é isósceles. Logo, os ângulos da base 
são congruentes: .
 Pela soma dos ângulos internosdo triângulo ADE:
 O ângulo é um ângulo raso, isto é, sua medida é 180º.
A área do retângulo DEFB ao lado é:
a) 24 b) 160 c) 120 d) 20 e) 180
Utilizando a semelhança entre triângulos, 
temos que o triângulo ADE é semelhante ao triângulo ABC, logo:
Multiplicando em cruz a primeira pela terceira fração, 
temos: 18DE = 6.30  DE=  DE = 10.
Sabendo que AB = AD + DB, temos que: 18 = 6 + BD  BD 
= 12. Logo, a área do retângulo DEFB é: DE.BD = 10.12 = 
120.
Exemplo
Um prédio tem sombra, pela luz solar, projetada no solo horizontal com 70 m. 
Simultaneamente, um poste de 8 m de altura, localizado nas proximidades desse 
prédio, também tem sua sombra projetada no solo. Sabendo que nesse instante os 
raios solares fazem um ângulo de 45° com o solo, a altura do prédio e a sombra do 
poste, respectivamente, são:
Exemplo
a) 70 m e 8 m
b) 35 m e 8 m
c) 70 m e 4 m
d) 35 m e 4 m
e) 20 m e 8 m
Exemplo
A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m de altura mede 60 cm. No momento, a seu 
lado, a sombra projetada de um poste mede 2 m. Se, mais tarde, a sombra do poste 
diminui 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
a) 45 cm
b) 0,45 cm
c) 6 cm
d) 60 cm
e) 50 cm
Interatividade
a) 45 cm
Primeiro, vamos determinar a altura do poste por semelhança de triângulos:
Agora, fazendo outra semelhança de triângulos para o valor da sombra do poste de 6 
m de altura valendo 1,5 m:
Como a unidade de medida deve ser em centímetros: 0,45 
m = 45 cm.
Resposta
Soma dos ângulos de um polígono 
1) Ângulos internos: todo polígono pode ser dividido em triângulos. Um polígono 
de gênero “n” terá para soma dos ângulos internos: Si = 180º (n – 2).
2) Ângulos externos: como cada ângulo interno é suplemento do interno 
adjacente, temos: Si + Se = 180º . n. 
Então: Se = 180º. n – Si 
Se = 180º. n – 180º (n – 2) 
Se = 180º. n – 180º n + 360º 
Então, Se = 360º. A soma dos ângulos externos é 
constante. 
As medidas de seus ângulos interno e externo são:
Polígonos e quadriláteros
 Diagonal: chamamos de diagonal de um polígono o segmento de reta que possui 
como extremos dois vértices não consecutivos do polígono. 
Exemplo:
Polígonos e quadriláteros
Área e perímetro de figuras planas
A área A de um triângulo pode ser calculada pela fórmula: 
onde a, b, c são os comprimentos dos lados e p é o semiperímetro. Calcule a área 
do triângulo cujos lados medem 21, 17 e 10 centímetros.
Exemplo
 Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais 
compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.
Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os 
segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar 
um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, 
que custa R$30,00 o m2, e outro para a parte mais clara 
(regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$50,00 o m2. 
De acordo com esses dados, qual é o custo dos 
materiais usados na fabricação de um vitral?
a) 22,50 b) 35,00 
c) 40,00 d) 42,50 
e) 45,00
Exemplo
Lucas desenhou uma figura formada por dois hexágonos. 
Veja o que ele desenhou:
Nessa figura, a soma das medidas dos ângulos α e β é: 
a) 60º b) 120º c) 240º d) 720º
Exemplo
O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatro 
circunferências tangentes, de raios de mesma medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do 
losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma 
situação conforme ilustrado pela Figura 2.
Exemplo
O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da 
Figura 1, teve um aumento de:
a) 300% b) 200% c) 150% d) 100% e) 50%
Na primeira situação, temos que o lado do losango é 2R e o seu perímetro será 
2R.4 = 8R.
Na segunda situação, temos que o lado do losango é 2R + R, pois duas das 
circunferências diametralmente opostas tiveram seu raio dobrado e, o seu perímetro, 
logicamente, será 4.(2R + R) = 4.3R = 12R.
Agora é só dividir 12R por 8R, obtendo como resultado 1,50, 
que corresponde a 150%, tendo, obviamente, um aumento 
de seu perímetro em 50%.
Um arquiteto deseja construir um jardim circular de 20 m de diâmetro. Nesse jardim, 
uma parte do terreno será reservada para pedras ornamentais. Essa parte terá a 
forma de um quadrado inscrito na circunferência, como mostrado na figura. Na parte 
compreendida entre o contorno da circunferência e a parte externa ao quadrado, 
será colocada terra vegetal. Nessa parte do jardim, serão usados 15 kg de terra para 
cada m2. A terra vegetal é comercializada em sacos com exatos 15 kg cada. Use 3 
como valor aproximado para π.
O número mínimo de sacos de terra vegetal necessários 
para cobrir a parte descrita do jardim é:
a) 100 b) 140 c) 200 d) 800 e) 1000
Exemplo
Portanto, a área marcada é a área círculo menos a área quadrado: 
300 - 200 = 100 m².
Como para cada m² são necessários 15 kg de terra, para cobrir os 100 m² são 
necessários 100 * 15 = 1500 kg.
 O esquema I mostra a configuração de 
uma quadra de basquete. Os trapézios 
em cinza, chamados de garrafões, 
correspondem a áreas restritivas.
 Visando atender às orientações do Comitê Central da Federação Internacional de 
Basquete (Fiba) de 2010, que unificou as marcações das diversas ligas, foi 
prevista uma modificação nos garrafões das quadras, que passariam a ser 
retângulos, como mostra o Esquema II.
Interatividade
Esquema I: área 
restritiva antes 
de 2010
Esquema II: área 
restritiva a partir 
de 2010
Após executadas as modificações previstas, houve uma alteração na área ocupada 
por cada garrafão, que corresponde a um(a):
a) Aumento de 5.800 cm².
b) Aumento de 75.400 cm².
c) Aumento de 214.600 cm².
d) Diminuição de 63.800 cm².
e) Diminuição de 272.600 cm².
Interatividade
a) Aumento de 5.800 cm².
Diferença de área entre cada garrafão:
A = 284200 - 2784400 = 5.800 cm²
Resposta
Circunferência (C): dada uma circunferência de raio r, o perímetro (comprimento) da 
mesma é:
Arco de circunferência (L): dado um arco de circunferência (AB), representado pelo 
ângulo α, fazendo uma regra de três, temos:
Circunferências e círculos
Ângulo Perímetro
360° 2 . π . L
α L
C = 2 . π . r
L = π . r . α / 180°
B
O a
r
A
 Corda: qualquer segmento interno da circunferência com extremidades em dois 
pontos pertencentes à mesma.
 Diâmetro: qualquer corda da circunferência que contenha o centro da mesma. É a 
maior corda da circunferência. 
 Raio: qualquer segmento que liga o centro 
a um ponto qualquer da circunferência. 
PC é o raio da circunferência ao lado. 
 Note que o raio é metade do diâmetro! (D = 2.R)
 Arco: é uma parte da circunferência, definida 
por um ângulo central ma(AB) e um 
comprimento m(AB) (determinado por 
dois pontos da circunferência). 
Elementos da circunferência
P
C
r
B
A
O
C
A
B
D
 Teorema das cordas: dada a interseção de duas cordas da 
circunferência, o produto das partes de uma corda é igual ao 
produto das partes da outra corda.
 Teorema das secantes: dados dois segmentos secantes, “que cortam” a 
circunferência, partindo de um mesmo ponto, o produto das partes internas da 
circunferência pelas externas da circunferência é igual em ambos os segmentos.
Relações métricas na circunferência 
AP.PC = BP.PD
PQ.QR = TS.SR
P
T
S
Q
R
BA
CD
P
 Teorema da secante-tangente: dado um segmento secante da circunferênciae
outro tangente da mesma, o quadrado da medida do segmento tangente é igual ao
produto da parte interna do segmento que é secante pela sua parte externa.
(PA)2 = PB.BC
t
A
P
B
C
R
0
Na figura, OP = 2, AB = 8, O é o centro dos círculos e AB é tangente em P 
ao círculo menor. 
A área do disco maior é:
a) 8
b) 10
c) 20
Seja R o rádio do círculo maior, então, utilizando o Teorema das Cordas:
Desse modo, a área é:
Exemplo
d) 64
e) 68
(AP)(PB) = (R+OP)(R–OP)
(4)(4) = R2 – OP2
16 = R2 – 4
R2 = 20
A = πR2 A = 20π
A figura representa duas raias de uma pista de atletismo plana. Fábio (F) e André (A) 
vão apostar uma corrida nessa pista, cada um correndo em uma das raias. Fábio 
largará à distância FB da linha de partida para que seu percurso total, de F até a 
chegada em C’, tenha o mesmo comprimento do que o percurso total de André, que 
irá de A até D’.
Exemplo
Linha de 
chegada
Considere os dados:
 ABCD e A’B’C’D’ são retângulos. 
 B’, A’ e E estão alinhados. 
 C, D e E estão alinhados. 
 A’D e B’C são arcos de circunferências de centro E. 
Sabendo que AB = 10 m, BC = 98 m, ED = 30 m, ED’ = 34 m e  = 72°, calcule o 
comprimento da pista de A até D' e, em seguida, calcule a distância FB. Adote nos 
cálculos finais: π = 3. 
Linha de 
chegada
As três circunferências são tangentes entre si. O raio da menor mede 5 cm, AC = 17 
cm e BC = 21 cm. Quanto mede o raio das outras duas circunferências?
Rc = 5 cm
Segmento BC = 21 cm
O segmento BC é a soma dos raios das circunferências A e C.
21 = Ra + 5
Ra = 21 – 5
Ra = 16 cm
Segmento AC = 17 cm
O segmento AC é a soma dos raios das 
circunferências B e C.
AC = Rb + Rc
17 = Rb + 5
Exemplo
Rb = 17 – 5
Rb = 12 cm
Na figura a seguir, a circunferência C2 é tangente a duas circunferências exteriores 
(C1 e C3). O raio de C2 mede:
a) 3 cm D1 = 14 cm
b) 6 cm D3 = 10 cm
c) 8 cm
d) 9 cm
D1+D2+D3 = 30 Como o diâmetro é o dobro do raio:
14+D2+10 = 30 D2 = 2.R2
D2 = 30-14-10 6 = 2.R2
D2 = 30-24 R2 = 
6
2
D2 = 6 R2 = 3 cm
Exemplo
Considere o sistema de roldanas circulares, de centros A e B, respectivamente, e as 
medidas dadas no esquema a seguir. As roldanas estão envolvidas pela correia 
CDEFC, bem ajustada, que transmite o movimento de uma roldana para outra. 
Calcule o comprimento dessa correia em centímetros.
O comprimento da correia será calculado pela soma dos 
segmentos DC = EF com os comprimentos dos arcos DE e 
CF, externos, cujos ângulos centrais são, respectivamente, 
240º e 120º.
Logo, o comprimento será: 
Exemplo
As quatro circunferências da figura abaixo têm raios r = 0,5. O comprimento da linha 
que as envolve é, aproximadamente, igual a:
a) 6,96
b) 7,96
c) 8,96
d) 9,96
e) 10,96
Interatividade
b) 7,96
O comprimento da linha será a soma das curvas 
C1, C2 e C3, com as retas R1, R2 e R3. 
Observando os valores dos ângulos, calcula-se 
os comprimentos das curvas:
As retas R1 e R2 são hipotenusas dos triângulos isósceles, e R3 vale 4r:
 Total: 2(1,18) + 2(1,41) + 0,78 + 2 = 7,96.
Resposta
ATÉ A PRÓXIMA!