GEOMETRIA 3 exercícios explicados

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1) Em maio de 1952, uma estudante de 14 anos, Johanna Mankiewicz, estava tendo 
problemas com o dever de casa de matemática. 
Ela se perguntou onde obter ajuda e decidiu escrever uma carta para Albert Einstein, de 
73 anos, perguntando: 
“Sei que você é um homem muito ocupado, mas você é a única pessoa que 
conhecemos que poderia nos fornecer a resposta.” 
“Qual é o comprimento da tangente externa comum a dois círculos tangentes de 
raios 8 polegadas e 2 polegadas?” 
E, incrivelmente, Einstein escreveu de volta! Ele frequentemente escrevia de volta aos 
alunos com perguntas genuínas. Embora Einstein não tenha resolvido o problema 
explicitamente, ele deu algumas dicas interessantes e uma construção geral que seria 
útil. 
 
O comprimento da tangente CD é: 
(a) 80 
(b) 100 
(c) 120 
(d) 130 
(e) 150 
 
 
 
 
2 
 
SOLUÇÃO: 
Observe a figura abaixo. No triângulo retângulo NHM temos seus catetos medindo: 
8 6
4 3 7
2 2
3 2 1
MH
NH NI HI
= + = + =
= − = − =
 
Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede: 
2 2 2 2 27 1 49 1 50
50 2 25 5 2
MN MH NH
MN
= + = + = + =
= =  =
 
 
 
ALTERNATIVA A. 
 
2) Em um quadrado ABCD de 50cm de lado quatro triângulos retângulos isósceles com 
catetos medindo 30cm são colocados nos quatro cantos do quadrado, conforme 
mostrado abaixo. 
 
 
A área da região dentro do quadrado não coberta pelos quatro triângulo, sombreada em 
verde é: 
(a) 2200cm 
(b) 2500cm 
(c) 2600cm 
(d) 2800cm 
(e) 2900cm 
 
 
 
 
3 
 
SOLUÇÃO: 
De acordo com os dados da questão, temos: 
 
Aplicando o Teoremas de Pitágoras ao triângulo retângulo isósceles de catetos 20cm e 
hipotenusa x : 
2 2 2 2 220 20 400 400 800x x x= +  = +  = 
Portanto a área do quadrado em verde é: 
2800S cm= 
ALTERNATIVA D. 
3) Observe a figura abaixo: 
 
O comprimento do segmento MN é: 
(a) 
145
6
 
(b) 
145
5
 
(c) 
145
3
 
(d) 
145
2
 
(e) 145 
4 
 
SOLUÇÃO: 
O segmento MN está contido na reta t cuja equação pode ser obtida da seguinte forma: 
( ) ( )
:
3;0 , 0;6
0 3
6 0 6
6
3 6 0 3 6 2
3
: 2 6
t y ax b
A B t
A t a b
B t a b b
a a a
t y x
= +


  = +

  = +  =
−
+ =  = −  = = −
= − +
 
As coordenadas dos pontos M e N , extremidade do segmento MN são dadas por: 
( )
: 5
;
: 2 6
1
2 6 5 2 6 5 2 1
2
M
M M
M M
M M M M
r y
M x y
t y x
x x x x
=

= − +
− + =  − = − + − = −  = −
 
( )
: 3
;
: 2 6
2
2 6 3 2 6 3 2 3
3
N
N N
N N
N N N N
s y
N x y
t y x
x x x x
=

= − +
− + =  − = − + − = −  = −
 
 
 
Logo, 
1
;5
2
M
 
− 
 
 e 
2
;3
3
N
 
− 
 
 
5 
 
O comprimento do segmento MN é: 
( )
( ) ( ) ( )
2
2
2 2 2
2 2 2
2 1
3 5
3 2
2 1 4 3 1
2 2 2
3 2 6 6
1 1 144 145 145
4
36 36 36 6
MN
MN
MN
  
= − − − + −  
  
− +     
= − + + − = + − = − + −     
     
+
= + = = =
 
ALTERNATIVA A. 
4) Observe a figura abaixo. 
 
A sua área é: 
(a) 80 
(b) 100 
(c) 120 
(d) 130 
(e) 150 
SOLUÇÃO: 
Considere os triângulos retângulos CDF , BCE e CDG . Como suas hipotenusas BC e 
CD são congruentes, estes triângulos são congruentes. (veja figura), logo, a área do 
quadrilátero ABCD é igual a área do retângulo AECG que vale: 
10 10 100AECG ABCDS S= =  = 
 
 
 
Alternativa B. 
 
 
 
 
 
6 
 
5) Considere o retângulo abaixo: 
 
Dois pontos G e H encontram-se no lado BC do retângulo ABCD . Se o triângulo EGF 
e EHF são triângulos retângulos de hipotenusa EF , as coordenadas dos pontos G e H 
são: 
(a) ( ) ( )5;2 , 5;2G H − 
(b) ( ) ( )2,5;2 , 2,5;2G H − 
(c) ( ) ( )3;2 , 3;2G H − 
(d) ( ) ( )2; 5 , 2; 5G H − 
(e) ( ) ( )5; 2 , 5;2G H− 
SOLUÇÃO: 
Vamos traçar a circunferência de centro O e raio OE cuja equação é: 
2 2 2
2 2 9
x y r
x y
+ =
+ =
 
 
Como EF é seu diâmetro os triângulos EHF e EGF são triângulos retângulos. As 
coordenadas desses pontos são: 
2 2 2 2
2 2
2
2 9 4 9 5 5
9
y
x x x x
x y
=
 + =  + =  =  = 
+ =
 
7 
 
Portanto, temos: 
( )
( )
5;2
5;2
G
H −
 
Alternativa A.