GEOMETRIA 2 exercícios explicados

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1) Na figura abaixo os pontos E, F, G e H são, respectivamente, os pontos médios das 
semidiagonais AO, BO, CO e DO do quadrado ABCD . 
 
A área total dos quatro quadriláteros congruentes em azul é: 
a) 3 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 9 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
 
SOLUÇÃO: 
Na figura dada vamos destacar o seguinte triângulo OCD . 
 
O ponto H é o ponto médio do lado OD do triângulo e G é o ponto médio do lado OC do 
triângulo, portanto: 
I. o segmento HG é base média do triângulo, portanto, mede a metade da base DC , isto 
é: 
6
3
2 2
DC
HG HG=  = = 
II. o ponto U é o ponto médio do segmento OM , como este segmento mede 3 , os 
segmentos OU e UM medem 1,5 cada. 
III. o ponto K é o baricentro deste triângulo (interseção das medianas), relembrando o 
teorema do baricentro: 
 
Teorema do Baricentro: 
As medianas de um triângulo interceptam-se num ponto chamado baricentro que divide 
cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
Neste caso: 
2
2
3 2 3 3 3
1 1 e 2
OK KM
KM x OK x
OK KM x x x
x KM OK
=
=  =
+ =  + =  =
=  = =
 
Como 2OK = e 1,5OU = temos então 0,5UK = . 
Nossa figura fica assim: 
 
Vamos agora calcular a área de alguns triângulos desta figura para determinarmos a área total 
dos triângulos em azul. Usaremos repetidas vezes a fórmula da área do triângulo como 
metade do produto da base pela sua altura (perpendicular a base). 
Triângulo OCD : Triângulo OGH : 
1
6 3 9
2
OCDS =  = 
1
3 1,5 2,25
2
OGHS =  = 
Triângulo HGK : Triângulo KCD : 
1
3 0,5 0,75
2
HGKS =  = 
1
6 1 3
2
KCDS =  = 
Levando estes valores calculados das áreas para a figura em destaque temos: 
 
A área total dos triângulos azuis vale: 
4 
 
2 9 (3 0,75 2,25) 9 6 3
3
1,5
2
A
A
= − + + = − =
= =
 
Como a figura original é formada por quatro destas figuras em destaque a área total em azul 
é: 
4 1,5 6S =  = 
ALTERNATIVA C. 
 
2) Considere o quadrilátero ABCD . 
 
Sua área é: 
a) 4; 
b) 5; 
c) 6; 
d) 7; 
e) 8. 
SOLUÇÃO: 
 
 
 
5 
 
Fórmula do Determinante para determinar a área de um triângulo de vértices , ,A B C : 
( ) ( ) ( ); , ; , ;
1
1
1
2
1
A A B B C C
A A
B B
C C
A x y B x y C x y
x y
S x y
x y
= 
 
Portanto, a área do triângulo em BCDT é: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1;2 , 4;3 , 1;0
1 2 1
1
4 3 1
2
1 0 1
1 1 1
3 0 2 3 8 0 2 14 12 6
2 2 2
BCD
BCD
B C D
T
T
−
−
= 
= − + + − − + = − =  − =
 
E a área do triângulo em BADT é: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1;2 , 2; 3 , 1;0
1 2 1
1
2 3 1
2
1 0 1
1 1 1
3 0 2 3 4 0 8 4 4 2
2 2 2
BAD
BAD
B A D
T
T
− −
−
=  −
= + + + − + = − =  =
 
A área do quadrilátero será, então: 
6 2 8BCD BADS T T= + = + = 
ALTERNATIVA E. 
3) Observe a figura abaixo formada por dois quadrados com centros nos pontos M e N . 
 
O comprimento do segmento MN é: 
a) 5 2 
6 
 
b) 3 2 
c) 5 3 
d) 2 3 
e) 3 5 
SOLUÇÃO: 
Observe a figura abaixo. No triângulo retângulo NHM temos seus catetos medindo: 
8 6
4 3 7
2 2
3 2 1
MH
NH NI HI
= + = + =
= − = − =
 
Logo, aplicando o Teorema de Pitágoras, a hipotenusa mede: 
2 2 2 2 27 1 49 1 50
50 2 25 5 2
MN MH NH
MN
= + = + = + =
= =  =
 
 
 
ALTERNATIVA A. 
 
4) No octógono regular ABCDEFGH abaixo as semirretas FE e BC se encontram no ponto 
I . 
 
A medida do ângulo EIC = é: 
a) 090 
b) 075 
c) 060 
d) 045 
e) 030 
 
7 
 
SOLUÇÃO: 
A soma nS dos ângulos internos de um polígono convexo qualquer de n lados é: 
( ) 02 180nS n= − 
Neste caso o polígono é um octógono, isto é, tem 8 lados, portanto, a soma de seus ângulos 
internos é: 
( ) 0 0 08 8 2 180 6 180 1080S = − =  = 
Como o octógono é regular, possui seus 8 ângulos internos de mesma medida, ou seja, cada 
ângulo interno é: 
01080 135
8
= 
 
Observando agora apenas o quadrilátero CDEI e lembrando que a soma dos ângulos 
internos de quadrilátero convexo é 0360 , temos: 
0 0 0 0 0 0
0 0
0
45 225 45 360 315 360
360 315
45
 


+ + + =  + =
= −
=
 
ALTERNATIVA D.